CN106202599A - 加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法，步骤如下：建立体面积分方程；对介质部分未知量利用SWG基函数离散，金属部分未知量利用RWG基函数离散，并利用伽辽金方法对体面积分方程进行测试，形成待求解的矩阵方程组；引入多层复点源方法，加速矩阵方程组求解；根据求解出的介质体内部和金属表面上的感应电流，确定目标的电磁散射特性。本发明方法中，互为近场的组对之间相互作用利用传统矩量法求解，互为远场的组对之间相互作用可以引入多层复点源方法加速求解，基于多层复点源加速的体面积分方程可以更加高效的求解混合目标的电磁散射问题，降低计算复杂度。

Description

加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法

一技术领域

本发明属于电磁仿真技术领域，特别是一种加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法。

二背景技术

目标电磁散射特性的获取与分析是电磁问题中的一个非常重要研究领域，目标的电磁散射波是雷达探测、遥感观测以及地质勘测邓众多应用的信息来源，散射特性的定量分析是这些应用系统在设计和工作时的主要依据。金属介质混合目标在现实中有较广泛的应用领域，例如，金属目标涂覆隐身材料，FSS等等。因此，对其电磁散射特性的分析具有特别重要的现实意义。

体面积分方程(VSIE)(Lu CC,Chew WC,“A coupled surface-volume integral equationapproach for the calculation of electromagnetic scattering from composite metallic andmaterial targets,”IEEE Transactions on Antennas Propagation,vol.48,pp.1866–1868,2000)作为一种灵活有效的方法，可以用来求解金属介质混合目标的电磁特性，特别是对于分析含有不均匀介质的混合目标。但是，随着求解目标的未知量越来越大，传统的体面积分方程将无法高效地进行求解。此时，需要利用某些高效的快速方法来打破瓶颈。复点源方法(CSB)(K.Tap,P.H.Pathak,and R.J.Burkholder,“Complex source beam-momentmethod procedure for accelerating numerical integral equation solutions of radiation andscattering problems,”IEEE Transactions on Antennas Propagation,vol.62,pp.2052–2062,2014)是近年来兴起的一种加速求解电磁散射问题的快速方法。利用八叉树分层分组思想，将待求目标上基函数之间的作用分为近场组对之间的作用和远场组对之间的作用，近场组对之间仍采用矩量法进行求解，远场组对之间利用复点源方法加速求解。将基函数等效到等效球面的复点源上，利用复点源之间的互作用代替远场组对之间基函数的相互作用。但是目前的复点源方法只应用于分析金属目标的电磁散射特性，对于介质目标或混合目标尚未研究。

三发明内容

本发明的目的在于提供一种能够用于介质目标或混合目标的加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法，步骤如下：

步骤1，建立体面积分方程；

步骤2，对介质部分未知量利用SWG基函数离散，金属部分未知量利用RWG基函数离散，并利用伽辽金方法对体面积分方程进行测试，形成待求解的矩阵方程组；

步骤3，引入多层复点源方法，加速矩阵方程组求解；

步骤4，根据求解出的介质体内部和金属表面上的感应电流，确定目标的电磁散射特性。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)将复点源思想推广到体面积分方程，将复点源方法与体面积分方程相结合，加速了体面积分方程的求解；(2)拓展了复点源思想的应用范围，将复点源思想推广到体积分方程，分析含介质的目标，将介质体上的SWG基函数用复点源进行展开，可以更加高效地求解含介质材料的混合目标的电磁散射特性；(3)利用多层的结构以及格林函数平移不变性的思想进一步扩大了复点源方法的效率。

四附图说明

图1为本发明中等效面上复点源分布的示意图。

图2为本发明中互为远场组的复点源截取角度示意图。

图3为本发明中介质涂覆金属球目标的示意图。

图4为本发明中双站RCS与解析方法结果对比示意图。

五具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

本发明加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法，步骤如下：

步骤1，建立体面积分方程，具体如下：

令电磁波照射到金属介质混合目标上，在介质体内产生感应体电流金属表面产生感应面电流根据电场边界条件，得到体面积分方程VSIE的表达式，如下：

${\stackrel{\→}{E}}^i=\frac{\stackrel{\→}{D}\left(\stackrel{\→}{r}\right)}{\mathrm{\ϵ}\left(\stackrel{\→}{r}\right)}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\∫\stackrel{\‾}{G}\left(\stackrel{\→}{r}{,\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right){\stackrel{\→}{J}}_v\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d\stackrel{\→}{r^{\′}}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\∫\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′}){\stackrel{\→}{J}}_s\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d{\stackrel{\→}{r}}^{\′}(\stackrel{\→}{r}\∈V)---\left(1\right)$

${\stackrel{\→}{E}}_{\tan }^i={[\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′}){\stackrel{\→}{J}}_v\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d{\stackrel{\→}{r}}^{\′}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′}){\stackrel{\→}{J}}_s\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d{\stackrel{\→}{r}}^{\′}]}_{\tan }(\stackrel{\→}{r}\∈S)---\left(2\right)$

其中，表示照射在混合目标上的入射电场，表示并矢格林函数，表示电通量密度，μ₀表示自由空间的磁导率，ε₀表示自由空间的介电常数，ε表示介质的介电常数，ω表示角频率，为场的位置坐标，为源的位置坐标，c表示真空中的光速，tan表示金属表面的切向分量，V表示介质区域，S表示金属区域。

步骤2，对介质部分未知量利用SWG基函数离散，金属部分未知量利用RWG基函数离散，并利用伽辽金方法对体面积分方程进行测试，形成待求解的矩阵方程组，具体如下：

介质目标的体电流可离散表示如下：

${\stackrel{\→}{J}}_v\left(\stackrel{\→}{r}\right)=\mathrm{j\ω}\underset{n=1}{\overset{N_D}{\mathrm{\Σ}}}K\left(\stackrel{\→}{r}\right){\stackrel{\→}{f}}_n^V\left(\stackrel{\→}{r}\right)D_n---\left(3\right)$

金属目标的面电流可离散表示如下：

${\stackrel{\→}{J}}_s\left(\stackrel{\→}{r}\right)=\underset{n=1}{\overset{N_S}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{f}}_n^s\left(\stackrel{\→}{r}\right)I_n---\left(4\right)$

其中：称为对比度。为SWG基函数，为RWG基函数，N_D为介质部分未知量的个数，N_S为金属部分未知量的个数，D_n为第n个介质未知量的待求系数，I_n为第n个金属未知量的待求系数。

将式(3)、(4)带入式(1)、(2)，并利用伽辽金方法对其进行测试，形成了如下式所示的矩阵方程形式：

$\left[\begin{array}{cc}{Z}^{\mathrm{DD}}& Z^{\mathrm{MD}}\\ Z^{\mathrm{DM}}& Z^{\mathrm{MM}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}D\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}^V\\ v^S\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中：Z^DD表示介质之间的互作用矩阵，Z^MM表示金属之间的互作用矩阵，Z^MD表示金属对介质作用的矩阵，Z^DM表示介质对金属作用的矩阵，v^V表示入射电场在介质表面产生的激励向量，v^S表示入射电场在金属表面产生的激励向量。

步骤3，引入多层复点源方法，加速矩阵方程组求解，具体如下：

将待求混合目标利用八叉树思想进行分组，近场组对之间仍采用传统矩量法进行计算，远场组对之间利用多层复点源加速求解，在每个组外面建立一个等效球面，再在各等效球面外面建立一个大于它的测试球面，利用组内RWG和SWG基函数在测试面产生的场等于等效球面上复点源在测试球面产生的场来将RWG和SWG基函数等效到等效球面复点源上，如图1所示。Δθ是复点源在Theta方向上的间距角，是复点源在Phi方向上的点的个数，其中n＝1,...,N_θ+1，N_θ＝180°/Δθ。为了引出RWG和SWG基函数与复点源之间的关系，有如下等式：

对于金属互作用部分，

$\underset{S_n}{\∫}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{f}}_n^S\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right){\mathrm{ds}}^{\′}=\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{np}}---\left(6\right)$

$\underset{s_m}{\∫}{{\stackrel{\→}{f}}_m}^S\left(\stackrel{\→}{r}\right)\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{np}}\mathrm{ds}=\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{mq}}\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}({\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{mq}},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{np}}---\left(7\right)$

对于介质互作用部分，

$\underset{V_n}{\∫}\mathrm{j\ωK}\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{f}}_n^V\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d{v}^{\′}=\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{u}}_{\mathrm{np}}---\left(8\right)$

$\underset{V_m}{\∫}{{\stackrel{\→}{f}}_m}^V\left(\stackrel{\→}{r}\right)\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{u}}_{\mathrm{np}}\mathrm{dv}=\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{\mathrm{\η}}}_{\mathrm{mq}}\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}({\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{mq}},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}u}_{\mathrm{np}}---\left(9\right)$

其中，P为包围源组的等效球面上复点源的个数，Q为包围场组的等效球面上复点源的个数， 表示对第n个基函数展开时对应的等效面上第p个点的坐标，表示球心指向点p的单位向量，b₀的物理意义是复点源波束的宽度，表示对第n个源RWG基函数展开时等效球面上第p个点对应的复点源系数，表示对第m个场RWG基函数展开时等效球面上第p个点对应的复点源系数，表示对第n个源SWG基函数展开时等效球面上第p个点对应的复点源系数，表示对第m个场SWG基函数展开时等效球面上第q个点对应的复点源系数；

对于互为远场的基函数之间的相互作用而言，式(5)所示的方程组可以具体表示为：

$Z_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{DD}}=\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{\mathrm{\η}}}_{\mathrm{mq}}\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}({\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{mq}},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{u}}_{\mathrm{np}}---\left(10\right)$

$Z_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{DM}}=\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{mq}}\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}({\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{mq}},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{u}}_{\mathrm{np}}---\left(11\right)$

$Z_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{MD}}=\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{\mathrm{\η}}}_{\mathrm{mq}}\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}({\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{mq}},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{np}}---\left(12\right)$

$Z_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{MM}}=\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{mq}}\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}({\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{mq}},{\stackrel{\widetilde{\→}}{r}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{np}}---\left(13\right)$

由于复点源具有方向性，所以在利用复点源方法加速计算互为远场组对的相互作用时，只需考虑截取角度内的复点源之间的互作用即可，如图2所示。

通过以上关系的确立，式(5)所示的方程组可以改写成如下的形式：

$\{\left[Z_{\mathrm{Near}}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ηTu}& \mathrm{\ηTw}\\ \mathrm{wTu}& \mathrm{wTw}\end{array}\right]\}\·\left[\begin{array}{c}D\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}^V\\ v^S\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，Z_Near表示近场组对互作用矩阵，T为远场组对之间的等效面上复点源的相互作用矩阵，可以利用格林函数的平移不变性思想简化计算。通过(14)式的求解，可以实现加速矩失乘计算并降低内存消耗的效果，实现了复点源方法加速体面积分方程的求解。

步骤4，根据求解出的介质体内部和金属表面上的感应电流，确定目标的电磁散射特性。

实施例1

为了验证本发明方法的准确性与有效性，下面给出了一个介质涂覆金属球目标的电磁散射分析，如图3，其中，金属球的半径为0.45m,涂覆介质的厚度为0.05m，介质的相对介电常数为2。入射频率为300MHz,入射波沿着Z轴方向入射。本算例的Δθ取值为30°，截取角取值为160°。双站RCS的计算结果与Mie级数的精确结果进行了比较，吻合得较好，如图4所示。表1给出了计算数据的对比，体现出本方法的高效性。

表1计算效率对比

	时间(s)	内存(GB)
			VSIE	1905	3.0
CSB-VSIE	536	1.3

综上所述，本发明方法中，互为近场的组对之间相互作用利用传统矩量法求解，互为远场的组对之间相互作用可以引入多层复点源方法加速求解。与传统的体面积分方程方法相比，基于多层复点源加速的体面积分方程可以更加高效的求解混合目标的电磁散射问题,降低计算复杂度。

Claims (4)

1.一种加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1，建立体面积分方程；

步骤2，对介质部分未知量利用SWG基函数离散，金属部分未知量利用RWG基函数离散，并利用伽辽金方法对体面积分方程进行测试，形成待求解的矩阵方程组；

步骤3，引入多层复点源方法，加速矩阵方程组求解；

步骤4，根据求解出的介质体内部和金属表面上的感应电流，确定目标的电磁散射特性。

2.根据权利要求1所述的加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法，其特征在于，步骤1中所述建立体面积分方程，具体如下：

令电磁波照射到金属介质混合目标上，在介质体内产生感应体电流金属表面产生感应面电流根据电场边界条件，得到体面积分方程VSIE的表达式，如下：

${\stackrel{\→}{E}}^i=\frac{\stackrel{\→}{D}\left(\stackrel{\→}{r}\right)}{\mathrm{\ϵ}\left(\stackrel{\→}{r}\right)}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\∫\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′}){\stackrel{\→}{J}}_v\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d{\stackrel{\→}{r}}^{\′}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\∫\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′}){\stackrel{\→}{J}}_s\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d{\stackrel{\→}{r}}^{\′}(\stackrel{\→}{r}\∈V)---\left(1\right)$

${\stackrel{\→}{E}}_{\tan }^i={[\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\∫\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′}){\stackrel{\→}{J}}_v\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d{\stackrel{\→}{r}}^{\′}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\∫\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′}){\stackrel{\→}{J}}_s\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)d{\stackrel{\→}{r}}^{\′}]}_{\tan }(\stackrel{\→}{r}\∈S)---\left(2\right)$

其中，表示照射在混合目标上的入射电场，表示并矢格林函数，表示电通量密度，μ₀表示自由空间的磁导率，ε₀表示自由空间的介电常数，ε表示介质的介电常数，ω表示角频率，为场的位置坐标，为源的位置坐标，c表示真空中的光速，tan表示金属表面的切向分量，V表示介质区域，S表示金属区域。

3.根据权利要求1所述的加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法，其特征在于，步骤2中所述对介质部分未知量利用SWG基函数离散，金属部分未知量利用RWG基函数离散，并利用伽辽金方法对体面积分方程进行测试，形成待求解的矩阵方程组，具体如下：

介质目标的体电流离散表示如下：

${\stackrel{\→}{J}}_v\left(\stackrel{\→}{r}\right)=\mathrm{j\ω}\underset{n=1}{\overset{N_D}{\mathrm{\Σ}}}K\left(\stackrel{\→}{r}\right){\stackrel{\→}{f}}_n^V\left(\stackrel{\→}{r}\right)D_n---\left(3\right)$

金属目标的面电流离散表示如下：

${\stackrel{\→}{J}}_s\left(\stackrel{\→}{r}\right)=\underset{n=1}{\overset{N_S}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{f}}_n^s\left(\stackrel{\→}{r}\right)I_n---\left(4\right)$

其中，称为对比度，为SWG基函数，为RWG基函数,N_D为介质部分未知量的个数，N_S为金属部分未知量的个数，D_n为第n个介质未知量的待求系数，I_n为第n个金属未知量的待求系数；

将式(3)、(4)带入式(1)、(2)，并利用伽辽金方法对对体面积分方程进行测试，形成了如下式所示的矩阵方程形式：

$\left[\begin{array}{cc}{Z}^{\mathrm{DD}}& Z^{\mathrm{MD}}\\ Z^{\mathrm{DM}}& Z^{\mathrm{MM}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}D\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}^V\\ v^S\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中：Z^DD表示介质之间的互作用矩阵，Z^MM表示金属之间的互作用矩阵，Z^MD表示金属对介质作用的矩阵，Z^DM表示介质对金属作用的矩阵，v^V表示入射电场在介质表面产生的激励向量，v^S表示入射电场在金属表面产生的激励向量。

4.根据权利要求1所述的加速求解混合目标电磁散射特性的多层复点源方法，其特征在于，步骤3中所述引入多层复点源方法，加速矩阵方程组求解，具体如下：

将待求混合目标利用八叉树思想进行分组，近场组对之间仍采用传统矩量法进行计算，远场组对之间利用多层复点源加速求解，在每个组外面建立一个等效球面，再在各等效球面外面建立一个大于它的测试球面，组内RWG和SWG基函数在测试面产生的场等于等效球面上复点源在测试球面产生的场，将RWG和SWG基函数等效到等效球面复点源上；有如下等式：

对于金属互作用部分，

$\underset{S_n}{\∫}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′})\·{{\stackrel{\→}{f}}_n}^S\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right){\mathrm{ds}}^{\′}=\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\widetilde{\stackrel{\→}{r}}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{np}}---\left(6\right)$

$\underset{S_m}{\∫}{{\stackrel{\→}{f}}_m}^S\left(\stackrel{\→}{r}\right)\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\widetilde{\stackrel{\→}{r}}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{np}}\mathrm{ds}=\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{mq}}\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}({\widetilde{\stackrel{\→}{r}}}_{\mathrm{mq}},{\widetilde{\stackrel{\→}{r}}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{w}}_{\mathrm{np}}---\left(7\right)$

对于介质互作用部分，

$\underset{V_n}{\∫}\mathrm{j\ωK}\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right)\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\stackrel{\→}{r}}^{\′})\·{{\stackrel{\→}{f}}_n}^V\left({\stackrel{\→}{r}}^{\′}\right){\mathrm{dv}}^{\′}=\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\widetilde{\stackrel{\→}{r}}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{u}}_{\mathrm{np}}---\left(8\right)$

$\underset{V_m}{\∫}{{\stackrel{\→}{f}}_m}^V\left(\stackrel{\→}{r}\right)\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}(\stackrel{\→}{r},{\widetilde{\stackrel{\→}{r}}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{u}}_{\mathrm{np}}\mathrm{dv}=\underset{q=1}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{\mathrm{\η}}}_{\mathrm{mq}}\·\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{G}({\widetilde{\stackrel{\→}{r}}}_{\mathrm{mq}},{\widetilde{\stackrel{\→}{r}}}_{\mathrm{np}}^{\′})\·{\stackrel{\→}{u}}_{\mathrm{np}}---\left(9\right)$

其中，P为包围源组的等效球面上复点源的个数，Q为包围场组的等效球面上复点源的个数， 表示对第n个基函数展开时对应的等效面上第p个点的坐标，表示球心指向点p的单位向量，b₀的物理意义是复点源波束的宽度，表示对第n个源RWG基函数展开时等效球面上第p个点对应的复点源系数，表示对第m个场RWG基函数展开时等效球面上第p个点对应的复点源系数，表示对第n个源SWG基函数展开时等效球面上第p个点对应的复点源系数，表示对第m个场SWG基函数展开时等效球面上第q个点对应的复点源系数；

通过以上关系的确立，式(5)所示的方程组改写成如下的形式：

$\left\{\right[Z_{\mathrm{Near}}]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ηTu}& \mathrm{\ηTw}\\ \mathrm{wTu}& \mathrm{wTw}\end{array}\right]\}\·\left[\begin{array}{c}D\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}^V\\ v^S\end{array}\right]---\left(10\right)$

其中，Z_Near表示近场组对互作用矩阵，T为远场组对之间的等效面上复点源的相互作用矩阵，利用格林函数的平移不变性简化计算。