CN105912758A - 端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法，属于悬架钢板弹簧技术领域。本发明可根据端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的结构参数、弹性模量、许用应力、副簧起作用载荷及最大载荷，对各片主簧和各片副簧的应力强度进行校核。通过实例及仿真验证可知，该发明所提供的端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法是正确的，利用该方法可得到准确可靠的各片主簧和副簧的最大应力校核值，提高少片根部加强型变截面主副簧的设计水平、产品质量和使用寿命、及车辆行驶平顺性；同时，还可降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

Description

端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法

技术领域

本发明涉及车辆悬架钢板弹簧，特别是端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法。

背景技术

少片变截面钢板弹簧与多片叠加钢板弹簧相比，具体节省材料、减轻簧下质量、提高车辆平顺性和运输效率等优点，引起了国内外车辆专家的高度重视，并且在国外已进行了广泛的推广和应用。对于少片变截面钢板弹簧，通常将其设计为主副簧，并通过主副簧间隙，确保在大于副簧起作用载荷之后，主副簧接触而一起工作，满足车辆悬架在不同载荷情况下对钢板弹簧刚度和应力强度的设计要求。由于第1片主簧的受力复杂，不仅承受垂向载荷，同时还承受扭转载荷和纵向载荷，因此，实际所设计的第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，通常大于他各片主簧的端部平直段的厚度和长度，即在实际设计和生产中，大都采用端部非等构的少片变截面主副簧。少片变截面钢板弹簧主要有两种类型，一种是抛物线型，另外一种是斜线型，其中，抛物线型的应力为等应力，其所受应力比斜线型的更加合理；同时，为了加强抛物线型变截面钢板弹簧的根部强度，可在根部平直段与抛物线段之间增加一斜线段，即采用根部加强型变截面主副簧。少片抛物线型变截面主副簧，可采用不同的副簧长度以满足不同复合刚度和应力强度的设计要求，因此，根据副簧的长度不同即主副的不同接触位置，可将少片变截面主副簧分为端部接触式和非端部接触式两种，在相同副簧根部平直段厚度情况下，端部接触式的少片变截面主副簧的复合刚度大于非端部接触式。对于所设计的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧，其强度应满足悬架弹簧的使用寿命和安全性要求，然而，由于端部接触式少片根部加强型变截面主副钢板弹簧的主簧长度与副簧长度不相等、各片主簧的端部平直段非等构，且主副簧接触之后，主簧和副簧的变形和内力存有耦合，因此，端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的端点力及最大应力计算非常复杂，先前一直未能给出简便、准确、可靠的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧各片强度的校核方法。因此，必须建立一种精确、可靠的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧各片强度的校核方法，满足车辆行业快速发展及对悬架钢板弹簧精确设计的要求，提高端部接触式少片根部型变截面主副簧的设计水平、产品质量和使用寿命；同时，降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、可靠的端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法，其校核流程图，如图1所示。端部接触式少片根部加强型变截面主副簧为对称结构，可将对称的一半弹簧看作悬臂梁，即将对称中心线看作一半弹簧的固定根部，将主簧端部受力点和副簧触点受力点看作一半主、副簧的端点，其一半对称结构示意图，如图2所示，包括：主簧1，根部垫片2，副簧3，端部垫片4，主簧1和副簧3的各片是由根部平直段、斜线段、抛物线段、端部平直段四段构成，其中，斜线段对钢板弹簧根部起加强作用；主簧1的各片根部平直段之间、副簧3各片根部平直段之间、及主簧1与副簧3之间设置有根部垫片2；主簧1的各片端部平直段之间设置有端部垫片4，端部垫片4的材料为碳纤维复合材料，以防止工作时产生摩擦噪声。各片根部加强型变截面主簧的根部平直段的厚度为h_2M，宽度为b，一半长度为L_M，安装间距的一半l₃，斜线段的长度为Δl，斜线段的根部到主簧端点的距离为l_2M，斜线段的端部到主簧端点的距离为l_2Mp；各片主簧的斜线段的端部厚度为h_2Mp，斜线段的厚度比γ_M＝h_2Mp/h_2M；各片主簧的端部平直段非等构，即第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的端部平直段的厚度和长度；各片主簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_1i和l_1i，抛物线段的厚度比为β_i＝h_1i/h_2Mp，i＝1,2,…,m，m为主簧片数。各片副簧的根部平直段的厚度为h_2A，宽度为b，一半长度为L_A，安装间距的一半l₃，副簧斜线段的长度为Δl，斜线段的根部到副簧3端点的距离为l_2A，斜线段的端部到副簧端点的距离为l_2Ap；各片副簧的斜线段的端部厚度为h_2Ap，斜线段的厚度比γ_A＝h_2Ap/h_2A；各片副簧的端部平直段的厚度和长度分别为h_A1j和l_A1j，抛物线段的厚度比为β_Aj＝h_A1j/h_2Ap，j＝1,2,…,n，n为副簧片数。副簧长度的一半长度L_A小于主簧的一半长度L_M，副簧触点与主簧端点的水平距离为l₀＝L_M-L_A；副簧触点与主簧端部平直段之间的垂向距离为主副簧间隙为δ，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与第m片主簧的端部平直段内某点相接触；当主副簧接触之后，主副簧的各片端点力不相等，且第m片主簧除了受端点力之外，还受副簧触点支撑力的作用。在主副簧的各片结构参数、弹性模量、许用应力、副簧起作用载荷、最大载荷给定情况下，对端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的应力强度进行校核。

为解决上述技术问题，本发明所提供的端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法，其特征在于采用以下校核步骤：

(1)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的一半夹紧刚度计算：

I步骤：主副簧接触之前的各片主簧的一半夹紧刚度K_Mi计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，各片主簧的斜线段的长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃，主簧的斜线段的厚度比γ_M；第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m，对主副簧接触之前的各片主簧的一半夹紧刚度K_Mi进行计算，即

$K_{Mi}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Ei}},i=1,2,...,m;$

式中，

$\begin{array}{c}{G}_{x-Ei}=\frac{4\[{(L_M-l_3/2)}^3-l_{2M}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_i^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3};\end{array}$

II步骤：主副簧接触之后的各片主簧的一半夹紧刚度K_MAi计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，各片主簧的斜线段的长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃，各片主簧的斜线段的厚度比γ_M，第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m；副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝L_A-l₃-Δl，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，副簧斜线段的厚度比γ_A，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，n为副簧片数，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀；对主副簧接触之后的各片主簧的一半夹紧刚度K_MAi进行计算，即

$K_{MAi}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Ei}},& i=1,2,\mathrm{...},m-1\\ \frac{h_{2M}^3(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-Em}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-E_{z}m}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3},& i=m\end{array}\right.;$

式中，

$\begin{array}{c}{G}_{x-\mathrm{Ei}}=\frac{4[{(L_M-l_3/2)}^3-l_{2M}^2]}{\mathrm{Eb}}+\frac{{4l}_{2\mathrm{Mp}}^3(2-{\mathrm{\β}}_i^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δl}}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}({4l}_{2\mathrm{Mp}}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2\mathrm{Mp}}^2-{3l}_{2\mathrm{Mp}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-{4l}_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δl}}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}({3l}_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-{2l}_{2\mathrm{Mp}}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+{2l}_{2\mathrm{Mp}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{\γ}}_M+{2l}_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_m^2{\ln \mathrm{\γ}}_M+{2l}_{2\mathrm{Mp}}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{{24l}_{2\mathrm{Mp}}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\mathrm{\Δ}l\ln {\mathrm{\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3};\end{array}$

$G_{x-EAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-EAj}}};$

$\begin{array}{c}{G}_{x-EAj}=\frac{4{(L_A-l_3/2)}^3-l_{2A}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3(2-{\mathrm{\β}}_{Aj}^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3};\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-DE}=\frac{4{(L_M-l_3/2)}^3-6l_0{(L_M-l_3/2)}^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2Mp}+l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2}+\frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m^3}+\\ \frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_m)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3-4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M);\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-E_{z}m}=\frac{4{(L_M-l_3/2)}^3-6l_0{(L_M-l_3/2)}^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-3l_{2Mp}^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2M}{l}_{2Mp}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{4{\mathrm{\Δl}}^3{l}_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}\]+\\ \frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}+\frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_m)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp})}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2};\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{DE}}_z}=\frac{4(L_M-l_3/2-l_{2M})\[{(L_M-l_3/2)}^2-3(L_M-l_3/2)l_0+(L_M-l_3/2)l_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2\]}{Eb}-\\ \frac{4{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-2l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(6l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_0{l}_{2M}-3l_{2Mp}^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2Mp}{l}_{2M}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-4l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_{2Mp}^2+4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}\]+\frac{4l_{2Mp}(6l_0^2+12l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2-2l_{2Mp}^2{\mathrm{\β}}_m^4)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m}+\\ \frac{4l_{2Mp}(2{\mathrm{\β}}_m{l}_{2Mp}^2-6l_0^2{\mathrm{\β}}_m-12{\mathrm{\β}}_m{l}_0{l}_{2Mp})}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m};\end{array}$

III步骤：各片副簧的一半夹紧刚度K_Aj计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，安装间距的一半l₃，副簧斜线段的长度Δl，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝L_A-l₃-Δl，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，副簧斜线段的厚度比γ_A，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，对各片副簧的一半夹紧刚度K_Aj进行计算，即

$K_{Aj}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-EAj}},j=1,2,\mathrm{...},n;$

式中，

$\begin{array}{c}{G}_{x-EAj}=\frac{4{(L_A-l_3/2)}^3-l_{2A}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3(2-{\mathrm{\β}}_{Aj}^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3};\end{array}$

(2)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的最大端点力计算：

i步骤：各片主簧的最大端点力P_imax计算：

根据少片根部加强型变截面主副簧所受最大载荷的一半即单端点最大载荷P_max，副簧起作用载荷P_K，副簧片数m，I步骤中计算得到的K_Mi，及II步骤中计算所得到的K_MAi，其中，i＝1,2,…,m，对各片主簧的最大端点力P_imax进行计算，即

$P_{i\max }=\frac{K_{Mi}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MAi}(2P_{\max }-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}},i=1,2,\mathrm{...},m;$

ii步骤：各片副簧的最大端点力P_Ajmax计算：

根据少片根部加强型变截面主副簧所受最大载荷的一半即单端点最大载荷P_max，副簧起作用载荷P_K，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，II步骤中计算得到的K_MAi、G_x-DE、G_x-DEz和G_x-EAT，及III步骤中计算得到的K_Aj，对各片副簧的最大端点力P_Ajmax进行计算，即

$P_{Aj\max }=\frac{K_{Aj}{K}_{MAm}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3(2P_{\max }-P_K)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)},j=1,2,\mathrm{...},n;$

(3)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的最大应力计算：

A步骤：前m-1片主簧的最大应力计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，安装间距的一半l₃，i步骤中计算得到的P_imax，对前m-1片主簧的各片最大应力分别进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{imax}=\frac{6P_{imax}(L_M-l_3/2)}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},i=1,2,\mathrm{...},m-1;$

B步骤：第m片主簧的最大应力计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的宽度b，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，安装间距的一半l₃，各片主簧的斜线段的长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl，斜线段的厚度比γ_M，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m；副簧片数n，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，i步骤中计算得到的第m片主簧的最大端点力P_mmax，ii步骤中计算得到的P_Ajmax，对第m片根部加强型变截面主簧的最大应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{mmax}=\frac{6\[P_{m\max }{\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2Mp}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj\max }({\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2Mp}-l_0)\]}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{\mathrm{\γ}}_M{h}_{2M}\right)}^2};$

C步骤：各片副簧的最大应力计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，安装间距的一半l₃，ii步骤中计算得到的P_Ajmax，对各片副簧的最大应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{Ajmax}=\frac{6P_{Ajmax}(L_A-l_3/2)}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2},j=1,2,\mathrm{...},n;$

(4)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的应力强度校核：

①步骤：前m-1片主簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]，及A步骤中计算得到的前m-1片主簧的各片的最大应力，对端部接触式少片根部加强型变截面钢板弹簧的前m-1片主簧的各片的应力强度进行校核，即：如果σ_imax>[σ]，则第i片主簧，不满足应力强度要求；如果σ_imax≤[σ]，则第i片主簧，满足应力强度要求，i＝1,2,…，m-1；

②步骤：第m片主簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]，及B步骤中计算得到的第m片主簧的最大应力，对端部接触式少片根部加强型变截面钢板弹簧的第m片主簧的应力强度进行校核，即：如果σ_mmax>[σ]，则第m片主簧，不满足应力强度要求；如果σ_mmax≤[σ]，则第m片主簧满足应力强度要求；

③步骤：各片副簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]，及C步骤中计算得到的各片副簧的最大应力，对端部接触式少片根部加强型变截面钢板弹簧的各片副簧的应力强度进行校核，即：如果σ_Ajmax>[σ]，则第j片副簧，不满足应力强度要求；如果σ_Ajmax≤[σ]，则第j片副簧，满足应力强度要求，j＝1,2,…,n。

本发明比现有技术具有的优点

由于端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧的端部平直段非等构，且副簧的长度小于主簧的长度，同时，在最大载荷情况下，第m片主簧除了受端点力之外，还在端部平直段受副簧触点支撑力的作用，因此，各片主簧和副簧的端点力及最大应力计算非常复杂，先前一直未能给出端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法。本发明可根据端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧的结构参数、弹性模量、许用应力、副簧起作用载荷、及最大载荷，对端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和各片副簧的应力强度进行校核。通过实例及ANSYS仿真验证可知，该发明所提供的端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的强度校核方法是正确的，利用该方法可得到准确可靠的各片主簧和各片副簧的最大应力校核计算值，可提高端部接触式少片根部加强型变截面主副钢板弹簧的设计水平、产品质量和使用寿命、及车辆行驶平顺性；同时，还可降低设计及试验费用，加快产品开发速度。

附图说明

为了更好地理解本发明，下面结合附图做进一步的说明。

图1是端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片应力强度校核的流程图；

图2是端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的一半对称结构示意图；

图3是实施例的第1片主簧的最大应力仿真云图；

图4是实施例的第2片主簧的最大应力仿真云图；

图5是实施例的1片副簧的最大应力仿真云图。

具体实施方案

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例：某端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的主簧片数m＝2，副簧的片数n＝1，其中，各片主簧的一半长度L_M＝575mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线段的长度Δl＝30mm，主簧的抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl＝490mm，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃＝520mm；各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，斜线段的端部厚度h_2Mp＝10.23mm，斜线段的厚度比γ_M＝h_2Mp/h_2M＝0.93；第1片主簧的端部平直段的厚度h₁₁＝7mm，第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝h₁₁/h_2Mp＝0.69；第2片主簧的端部平直段的厚度h₁₂＝6mm，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝h₁₂/h_2Mp＝0.59。该片副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝L-L_A＝50mm，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃＝470mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝L_A-l₃-Δl＝440mm；该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，斜线段的端部厚度h_2Ap＝13mm，副簧的斜线段的厚度比γ_A＝h_2Ap/h_2A＝0.93；该片副簧的端部平直段的厚度h_A11＝8mm，副簧的抛物线的厚度比β_A1＝h_A11/h_2Ap＝0.62。副簧起作用载荷P_K＝2603.80N，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触。该主副簧所受最大载荷的一半即单端点最大载荷P_max＝3040N情况下，钢板弹簧的许用应力[σ]＝700MPa，对该端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片应力强度进行校核。

本发明实例所提供的端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法，其校核流程如图1所示，具体步骤如下：

(1)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的一半夹紧刚度计算：

I步骤：主副簧接触之前的各片主簧的一半夹紧刚度K_Mi计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，斜线段的长度Δl＝30mm，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝490mm，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，各片主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.93；第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.69，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.59，对主副簧接触之前的第1片主簧和第2片主簧的一半夹紧刚度K_M1和K_M2分别进行计算，即

$K_{M1}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-E1}}=13.46N/mm;$

$K_{M2}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-E2}}=12.71N/mm;$

式中，

$\begin{array}{c}{G}_{x-E1}=\frac{4\[{(L_M-l_3/2)}^3-l_{2M}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_1^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}=98.87{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-E1}=\frac{4\[{(L_M-l_3/2)}^3-l_{2M}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_1^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}=104.76{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

II步骤：副簧接触之后的各片主簧的一半夹紧刚度K_MAi计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，弹性模量E＝200GPa，安装间距的一半l₃＝55mm，各片主簧的斜线段的长度Δl＝30mm，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝490mm，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝520mm，主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.93；第1片主簧的抛物线段的厚度比β₁＝0.69，第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.59。副簧片数n＝1，该片副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝440mm，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝470mm，该片副簧的斜线段的厚度比γ_A＝0.93，副簧抛物线段的厚度比β_A1＝0.62，对主副簧接触之后的第1片主簧和第2片主簧的一半夹紧刚度K_MA1和K_MA2分别进行计算，即

$K_{MA1}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-E1}}=13.46N/mm;$

$K_{MA2}=\frac{h_{2M}^3(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-E2}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-E_{z}2}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3}=36.52N/mm;$

式中，

$\begin{array}{c}{G}_{x-E1}=\frac{4\[{(L_M-l_3/2)}^3-l_{2M}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_1^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}=98.87{\mathrm{mm}}^4/N,\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-E1}=\frac{4\[{(L_M-l_3/2)}^3-l_{2M}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_1^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}={104.76}^4/N;\end{array}$

$G_{x-EAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-EAj}}}=76.03{\mathrm{mm}}^4/N;$

$\begin{array}{c}{G}_{x-EA1}=\frac{4{(L_A-l_3/2)}^3-l_{2A}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3(2-{\mathrm{\β}}_{A1}^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}=76.03{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-DE}=\frac{4{(L_M-l_3/2)}^3-6l_0{(L_M-l_3/2)}^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2Mp}+l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2}+\frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_2^3}+\\ \frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_2)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3-4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M)=86.47{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-E_{z}2}=\frac{4{(L_M-l_3/2)}^3-6l_0{(L_M-l_3/2)}^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-3l_{2Mp}^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2M}{l}_{2Mp}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{4{\mathrm{\Δl}}^3{l}_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}\]+\\ \frac{2{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2)}^2(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2+l_0)}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3{\mathrm{\γ}}_M^3}+\frac{8l_{2Mp}^2(1-{\mathrm{\β}}_2)(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l(l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp})}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2}\\ =86.47{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{DE}}_z}=\frac{4(L_M-l_3/2-l_{2M})\[{(L_M-l_3/2)}^2-3(L_M-l_3/2)l_0+(L_M-l_3/2)l_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2\]}{Eb}-\\ \frac{4{(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_2^3{\mathrm{\γ}}_M^3}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-2l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(6l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_0{l}_{2M}-3l_{2Mp}^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2Mp}{l}_{2M}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-4l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3(l_{2Mp}^2+4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2)}{2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}\]+\frac{4l_{2Mp}(6l_0^2+12l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\β}}_2^2-2l_{2Mp}^2{\mathrm{\β}}_2^4)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_2}+\\ \frac{4l_{2Mp}(2{\mathrm{\β}}_2{l}_{2Mp}^2-6l_0^2{\mathrm{\β}}_2-12{\mathrm{\β}}_2{l}_0{l}_{2Mp})}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_2}=72.59{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

III步骤：各片副簧的一半夹紧刚度K_Aj计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧片数n＝1，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，副簧斜线段的长度Δl＝30mm，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝440mm，副簧斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝470mm，副簧斜线段的厚度比γ_A＝0.93，副簧抛物线段的厚度比β_A1＝0.62，对该片副簧的一半夹紧刚度K_A1进行计算，即

$K_{A1}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-EA1}}=36.09N/mm;$

式中，

$\begin{array}{c}{G}_{x-EA1}=\frac{4{(L_A-l_3/2)}^3-l_{2A}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3(2-{\mathrm{\β}}_{A1}^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}(3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{({\mathrm{\γ}}_A-1)}^3}=76.03{\mathrm{mm}}^4/N;\end{array}$

(2)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的最大端点力计算：

i步骤：各片主簧的最大端点力计算：

根据少片根部加强型变截面主副簧所受最大载荷的一半即单端点最大载荷P_max＝3040N，副簧起作用载荷P_K＝2603.80N，主簧片数m＝2，I步骤中计算得到的K_M1＝13.46N/mm和K_M2＝12.71N/mm，及II步骤中计算所得到的K_MA1＝13.46N/mm和K_MA2＝36.52N/mm，对第1片主簧和第2片主簧的最大端点力P_1max、P_2max进行计算，分别为

$P_{1\max }=\frac{K_{M1}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MA1}(2P_{\max }-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}}=1138N;$

$P_{2\max }=\frac{K_{M2}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MA2}(2P_{\max }-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}}=1902N;$

ii步骤：各片副簧的最大端点力计算：

根据少片根部加强型变截面主副簧所受最大载荷的一半即单端点最大载荷P_max＝3040N，副簧起作用载荷P_K＝2603.80N，主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm；副簧片数n＝1，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm；II步骤中计算得到的K_MA1＝13.46N/mm、K_MA2＝36.52N/mm、G_x-DE＝86.47mm⁴/N、G_x-DEz＝72.59mm⁴/N和G_x-EAT＝76.03mm⁴/N，及III步骤中计算得到的K_A1＝36.09N/mm，对该片副簧的最大端点力P_A1max进行计算，即

$P_{A1\max }=\frac{K_{A1}{K}_{MA2}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3(2P_{\max }-P_K)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)}=1003.10N;$

(3)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的最大应力计算：

A步骤：第1片主簧的最大应力计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M＝575mm，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，宽度b＝60mm，安装间距的一半l₃＝55mm，i步骤中计算得到的P_1max＝1138N，对第1片根部加强型变截面主簧的最大应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{1max}=\frac{6P_{1max}(L_M-l_3/2)}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2}=514.90MPa;$

B步骤：第2片主簧的最大应力计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的宽度b＝60mm，主簧片数m＝2，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M＝11mm，安装间距的一半l₃＝55mm，各片主簧的斜线段的长度Δl＝30mm，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl＝490mm，各片主簧的斜线段的厚度比γ_M＝0.93；第2片主簧的抛物线段的厚度比β₂＝0.59；副簧片数n＝1，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀＝50mm，i步骤中计算得到的P_2max＝1902N，ii步骤中计算得到的P_A1max＝1003.10N，对第2片根部加强型变截面主簧的最大应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{2max}=\frac{6\[P_{2\max }{\mathrm{\β}}_2^2{l}_{2Mp}-\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{Aj\max }({\mathrm{\β}}_2^2{l}_{2Mp}-l_0)\]}{b{\left({\mathrm{\β}}_2{\mathrm{\γ}}_M{h}_{2M}\right)}^2}=562.70MPa;$

C步骤：各片副簧的最大应力计算：

根据副簧的一半长度L_A＝525mm，副簧片数n＝1，该片副簧的根部平直段的厚度h_2A＝14mm，宽度b＝60mm，安装间距的一半l₃＝55mm，ii步骤中计算所得到的P_A1max＝1003.10N，对该片根部加强型变截面副簧的最大应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{A1max}=\frac{6P_{A1max}(L_A-l_3/2)}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2}=254.61MPa;$

(4)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的应力强度校核：

①步骤：第1片主簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]＝700MPa，及A步骤中计算得到的第1片主簧的最大应力σ_1max＝514.90MPa，可知σ_1max≤[σ]，即第1片主簧能够满足应力强度要求；

②步骤：第2片主簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]＝700MPa，及B步骤中计算得到的第2片主簧的最大应力σ_2max＝562.70MPa，可知σ_2max≤[σ]，即第2片主簧能够满足应力强度要求；

③步骤：1片副簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]＝700MPa，及C步骤中计算得到的该片副簧的最大应力

σ_A1max＝254.61MPa，可知σ_A1max≤[σ]，即该片副簧能够满足应力强度要求。

利用ANSYS有限元仿真软件，根据该少片根部加强型变截面钢板弹簧的主副簧结构参数和材料特性参数，建立一半对称结构主副簧的ANSYS仿真模型，划分网格，设置副簧端点与主簧接触，并在仿真模型的根部施加固定约束，在主簧端点施加集中载荷F＝P_max-P_K/2＝1738.10N，对该少片根部加强型变截面钢板弹簧在夹紧状态下的主副簧的应力进行ANSYS仿真，所得到的第1片主簧的最大应力仿真云图，如图3所示；第2片主簧的最大应力仿真云图，如图4所示；第1片副簧的最大应力仿真云图，如图5所示，其中，第1片主簧在夹紧根部的最大应力σ_1max＝212.62MPa、第2片主簧在抛物线段与端部平直段接触位置处的最大应力σ_2max＝263.59MPa、1片副簧在夹紧根部的最大应力σ_A1max＝252.72MPa。

可知，在相同载荷情况下，该钢板弹簧第1片和第2片主簧、及第1片副簧最大应力的ANSYS仿真验证值σ_1max＝212.62MPa、σ_2max＝263.59MPa、σ_A1max＝252.72MPa，分别与解析计算值σ_1max＝211.83MPa、σ_2max＝264.97MPa、σ_A1max＝254.61MPa，相吻合，相对偏差分别为0.37％、0.52％、0.75％；结果表明该发明所提供的端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法是正确的，各片主簧和副簧的应力强度校核值是准确可靠的。

Claims (1)

1.端部接触式少片根部加强型主副簧各片强度的校核方法，其中，根部加强型变截面主副簧为对称结构，其一半对称结构是由根部平直段、斜线段、抛物线段和端部平直段4段所构成；各片主簧的端部平直段非等构，即第1片主簧的端部平直段的厚度和长度，大于其他各片主簧的端部平直段的厚度和长度；副簧的长度小于主簧的长度，当载荷大于副簧起作用载荷时，副簧触点与主簧端部平直段内某点相接触，即主副簧为端部接触式；主副簧接触之后，各片主副簧的端点力不相同，且与副簧相接触的1片主簧除了受端点力之外，还受副簧触点支撑力的作用；在主副簧的各片结构参数、弹性模量、许用应力、副簧起作用载荷、最大载荷给定情况下，对端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的应力强度进行校核，具体校核步骤如下：

(1)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的一半夹紧刚度计算：

I步骤：主副簧接触之前的各片主簧的一半夹紧刚度K_Mi计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，各片主簧的斜线段的长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃，主簧的斜线段的厚度比γ_M；第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m，对主副簧接触之前的各片主簧的一半夹紧刚度K_Mi进行计算，即

$K_{Mi}=\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Ei}},i=1,2,...,m;$

式中，

$\begin{array}{c}{G}_{x-Ei}=\frac{4\[{\left(L_M-l_3/2\right)}^3-l_{2M}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3\left(2-{\mathrm{\β}}_i^3\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3\right)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3};\end{array}$

II步骤：主副簧接触之后的各片主簧的一半夹紧刚度K_MAi计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，弹性模量E，安装间距的一半l₃，各片主簧的斜线段的长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl，斜线段的根部到主簧端点的距离l_2M＝L_M-l₃，各片主簧的斜线段的厚度比γ_M，第i片主簧的抛物线段的厚度比β_i，其中，i＝1,2,…,m；副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝L_A-l₃-Δl，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，副簧斜线段的厚度比γ_A，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，n为副簧片数，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀；对主副簧接触之后的各片主簧的一半夹紧刚度K_MAi进行计算，即

$K_{MAi}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{h_{2M}^3}{G_{x-Ei}},& i=1,2,...,m-1\\ \frac{h_{2M}^3(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)}{G_{x-Em}(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3)-G_{x-E_{z}m}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3},& i=m\end{array}\right.;$

式中，

$G_{x-Ei}=\frac{4\[{(L_M-l_3/2)}^3-l_{2M}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Mp}^3(2-{\mathrm{\β}}_i^3)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3)+$

$\begin{array}{c}\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{({\mathrm{\γ}}_M-1)}^3}(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3)-\\ \frac{24l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3};\end{array}$

$G_{x-EAT}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{G_{x-EAj}}};$

$\begin{array}{c}{G}_{x-EAj}=\frac{4{\left(L_A-l_3/2\right)}^3-l_{2A}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3\left(2-{\mathrm{\β}}_{Aj}^3\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3}\left(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3}\left(3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3\right)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3};\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-DE}=\frac{4{\left(L_M-l_3/2\right)}^3-6l_0{\left(L_M-l_3/2\right)}^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l\left(l_{2Mp}+l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2}+\frac{2{\left(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2\right)}^2\left(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m^3}+\\ \frac{8l_{2Mp}^2\left(1-{\mathrm{\β}}_m\right)\left(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M-l_{2Mp}^2-3l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^3+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^4-2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+2l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M+2l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\left(2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^3-4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2{\mathrm{ln\γ}}_M\right);\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-E_{z}m}=\frac{4{\left(L_M-l_3/2\right)}^3-6l_0{\left(L_M-l_3/2\right)}^2-4l_{2M}^3+6l_0{l}_{2M}^2}{Eb}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(-3l_{2Mp}^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2M}{l}_{2Mp}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{4{\mathrm{\Δl}}^3{l}_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}^2+4l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2M}{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}\]+\\ \frac{2{\left(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2\right)}^2\left(2l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_0\right)}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}+\frac{8l_{2Mp}^2\left(1-{\mathrm{\β}}_m\right)\left(l_{2Mp}-3l_0+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2+l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3}-\frac{6l_0\mathrm{\Δ}l\left(l_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+l_{2Mp}\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^2};\end{array}$

$\begin{array}{c}{G}_{x-{\mathrm{DE}}_z}=\frac{4\left(L_M-l_3/2-l_{2M}\right)\[{\left(L_M-l_3/2\right)}^2-3\left(L_M-l_3/2\right)l_0+\left(L_M-l_3/2\right)l_{2M}+3l_0^2-3l_0{l}_{2M}+l_{2M}^2\]}{Eb}-\\ \frac{4{\left(l_0-l_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2\right)}^3}{{\mathrm{Eb\β}}_m^3{\mathrm{\γ}}_M^3}-\frac{12}{Eb}\[-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3{\mathrm{ln\γ}}_M}{{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3}-\frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-2l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(6l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_0{l}_{2M}-3l_{2Mp}^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M+4l_{2Mp}{l}_{2M}+l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2-4l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(l_0^2{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0^2{\mathrm{\γ}}_M+l_0^2-4l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M^2+6l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\γ}}_M+2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2-2l_0{l}_{2Mp}-2l_0{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-4l_{2Mp}^2{\mathrm{\γ}}_M\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}+\\ \frac{{\mathrm{\Δl}}^3\left(l_{2Mp}^2+4l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M^2+2l_{2Mp}{l}_{2M}{\mathrm{\γ}}_M-3l_{2M}^2{\mathrm{\γ}}_M^2\right)}{2{\left({\mathrm{\γ}}_M-1\right)}^3{\mathrm{\Δl}}^2{\mathrm{\γ}}_M^2}\]+\frac{4l_{2Mp}\left(6l_0^2+12l_0{l}_{2Mp}{\mathrm{\β}}_m^2-2l_{2Mp}^2{\mathrm{\β}}_m^4\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m}+\\ \frac{4l_{2Mp}\left(2{\mathrm{\β}}_m{l}_{2Mp}^2-6l_0^2{\mathrm{\β}}_m-12{\mathrm{\β}}_m{l}_0{l}_{2Mp}\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_M^3{\mathrm{\β}}_m};\end{array}$

III步骤：各片副簧的一半夹紧刚度K_Aj计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，安装间距的一半l₃，副簧斜线段的长度Δl，副簧抛物线段的根部到副簧端点的距离l_2Ap＝L_A-l₃-Δl，斜线段的根部到副簧端点的距离l_2A＝L_A-l₃，副簧斜线段的厚度比γ_A，第j片副簧的抛物线段的厚度比β_Aj，其中，j＝1,2,…,n，对各片副簧的一半夹紧刚度K_Aj进行计算，即

$K_{Aj}=\frac{h_{2A}^3}{G_{x-EAj}},j=1,2,...,n;$

式中，

$\begin{array}{c}{G}_{x-EAj}=\frac{4{\left(L_A-l_3/2\right)}^3-l_{2A}^3\]}{Eb}+\frac{4l_{2Ap}^3\left(2-{\mathrm{\β}}_{Aj}^3\right)}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^3}+\frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3}\left(4l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A-l_{2Ap}^2-3l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2-4l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^3\right)+\\ \frac{6\mathrm{\Δ}l}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3}\left(3l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2+l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^4-2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A+2l_{2Ap}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2A}^2{\mathrm{\γ}}_A^2{\mathrm{ln\γ}}_A+2l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^3\right)-\\ \frac{24l_{2Ap}{l}_{2A}{\mathrm{\γ}}_A^2\mathrm{\Δ}l{\mathrm{ln\γ}}_A}{{\mathrm{Eb\γ}}_A^2{\left({\mathrm{\γ}}_A-1\right)}^3};\end{array}$

(2)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的最大端点力计算：

i步骤：各片主簧的最大端点力P_imax计算：

根据少片根部加强型变截面主副簧所受最大载荷的一半即单端点最大载荷P_max，副簧起作用载荷P_K，副簧片数m，I步骤中计算得到的K_Mi，及II步骤中计算所得到的K_MAi，其中，i＝1,2,…,m，对各片主簧的最大端点力P_imax进行计算，即

$P_{imax}=\frac{K_{Mi}{P}_K}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{Mi}}+\frac{K_{MAi}(2P_{max}-P_K)}{2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{K}_{MAi}},i=1,2,...,m;$

ii步骤：各片副簧的最大端点力P_Ajmax计算：

根据少片根部加强型变截面主副簧所受最大载荷的一半即单端点最大载荷P_max，副簧起作用载荷P_K，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，II步骤中计算得到的K_MAi、G_x-DE、G_x-DEz和G_x-EAT，及III步骤中计算得到的K_Aj，对各片副簧的最大端点力P_Ajmax进行计算，即

$P_{Aj\max }=\frac{K_{Aj}{K}_{MAm}{G}_{x-DE}{h}_{2A}^3\left(2P_{\max }-P_K\right)}{2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{K}_{Aj}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{K}_{MAi}\left(G_{x-EAT}{h}_{2M}^3+G_{x-{\mathrm{DE}}_z}{h}_{2A}^3\right)},j=1,2,...,n;$

(3)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的最大应力计算：

A步骤：前m-1片主簧的最大应力计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的一半长度L_M，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，宽度b，安装间距的一半l₃，i步骤中计算得到的P_imax，对前m-1片主簧的各片最大应力分别进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{imax}=\frac{6P_{i\max }(L_M-l_3/2)}{{\mathrm{bh}}_{2M}^2},i=1,2,...,m-1;$

B步骤：第m片主簧的最大应力计算：

根据少片根部加强型变截面主簧的宽度b，主簧片数m，各片主簧的根部平直段的厚度h_2M，安装间距的一半l₃，各片主簧的斜线段的长度Δl，抛物线段的根部到主簧端点的距离l_2Mp＝L_M-l₃-Δl，斜线段的厚度比γ_M，第m片主簧的抛物线段的厚度比β_m；副簧片数n，副簧触点与主簧端点的水平距离l₀，i步骤中计算得到的第m片主簧的最大端点力P_mmax，ii步骤中计算得到的P_Ajmax，对第m片根部加强型变截面主簧的最大应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{mmax}=\frac{6\[P_{mmax}{\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2Mp}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{Ajmax}({\mathrm{\β}}_m^2{l}_{2Mp}-l_0)\]}{b{\left({\mathrm{\β}}_m{\mathrm{\γ}}_M{h}_{2M}\right)}^2};$

C步骤：各片副簧的最大应力计算：

根据少片根部加强型变截面副簧的一半长度L_A，副簧片数n，各片副簧的根部平直段的厚度h_2A，宽度b，安装间距的一半l₃，ii步骤中计算得到的P_Ajmax，对各片副簧的最大应力进行计算，即

${\mathrm{\σ}}_{Ajmax}=\frac{6P_{Ajmax}(L_A-l_3/2)}{{\mathrm{bh}}_{2A}^2},j=1,2,...,n;$

(4)端部接触式少片根部加强型变截面主副簧的各片主簧和副簧的应力强度校核：

①步骤：前m-1片主簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]，及A步骤中计算得到的前m-1片主簧的各片的最大应力，对端部接触式少片根部加强型变截面钢板弹簧的前m-1片主簧的各片的应力强度进行校核，即：如果σ_imax>[σ]，则第i片主簧，不满足应力强度要求；如果σ_imax≤[σ]，则第i片主簧，满足应力强度要求，i＝1,2,…，m-1；

②步骤：第m片主簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]，及B步骤中计算得到的第m片主簧的最大应力，对端部接触式少片根部加强型变截面钢板弹簧的第m片主簧的应力强度进行校核，即：如果σ_mmax>[σ]，则第m片主簧，不满足应力强度要求；如果σ_mmax≤[σ]，则第m片主簧满足应力强度要求；

③步骤：各片副簧的应力强度校核：

根据钢板弹簧的许用应力[σ]，及C步骤中计算得到的各片副簧的最大应力，对端部接触式少片根部加强型变截面钢板弹簧的各片副簧的应力强度进行校核，即：如果σ_Ajmax>[σ]，则第j片副簧，不满足应力强度要求；如果σ_Ajmax≤[σ]，则第j片副簧，满足应力强度要求，j＝1,2,…,n。