CN105631182A - 分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法。针对导体结构，采用阶数步进时域积分方程方法可以分析其瞬态电磁散射特性。阶数步进的时域Nystrom方法与传统的基于RWG基函数的阶数步进时域积分方程方法相比，具有对离散网格鲁棒性的优点。因为传统的基于RWG基函数的时域积分方程，要求离散的三角形单元共内边，即离散网格之间要求共形，这极大限制了该方法在某些实际问题中的应用。而阶数步进时域Nystrom方法所用的矢量插值基函数定义在离散曲面三角形单元内的插值点处，对网格之间没有共形的要求。

Description

分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法

技术领域

本发明属于分析导体目标瞬态电磁散射特性的时域积分方程方法，具体是一种分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法。

背景技术

雷达目标电磁散射特性的获取与分析是电磁问题中的一个非常重要研究领域，目标的电磁散射波是雷达探测、遥感观测以及地质勘测邓众多应用的信息来源，散射特性的定量分析是这些应用系统在设计和工作时的主要依据。雷达目标的形状和体积等物理量都是通过对雷达散射截面等参数进行计算得出的。因此，对于各种目标散射特性的研究在这些应用领域具有特别重要的意义。

近年，随着宽频带电磁散射系统的发展，瞬态电磁散射特性的分析越来越引起科研学者和工程人员的关注。相比于其它方法，时域积分方程方法(S.M.RaoandD.R.Wilton,“Transientscatteringbyconductingsurfacesofarbitraryshape,”IEEETrans.AntennasPropag.,vol.39,no.1,pp.56–61,1991.)非常适合于理想电导体的瞬态电磁散射特性的分析。目前，时域积分方程方法主要包括基于阶数步进的和基于时间步进的。然而，基于时间步进时域积分方程方法的潜在高频振荡形式的晚时不稳定性限制了它的应用。基于阶数步进的时域积分方程(Z.Ji,T.K.Sarkar,B.H.Jung,M.T.Yuan,andM.Salazar-Palma,“Solvingtimedomainelectricfieldintegralequationwithoutthetimevariable,”IEEETrans.AntennasPropag.,vol.54,no.1,pp.258–262,Jan.2006.)方程采用加权Laguerre多项式作为全域时间基函数，变时间步进为加权Laguerre多项式的阶数步进，从本质上消除了晚时振荡，可以得到晚时无条件稳定的结果。

阶数步进的时域Nystrom方法与传统的基于RWG基函数的阶数步进时域积分方程方法相比，具有对离散网格鲁棒性的优点。因为传统的基于RWG基函数的时域积分方程，要求离散的三角形单元共内边，即要求离散网格共形，这极大限制了该方法在某些实际问题中的应用。而阶数步进时域Nystrom方法所用的矢量插值基函数定义在离散曲面三角形单元内的插值点处，对网格之间没有共形的要求。

发明内容

本发明的目的在于提供一种分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法，步骤如下：

第一步，建立导体表面时域积分方程，即根据理想导体表面切向连续的边界条件，在金属表面可以建立时域电场积分方程和时域磁场积分方程，入射电场和磁场分别为已知激励，通常使用调制高斯平面波作为入射场，散射场可以用待求的表面瞬态未知电流来表示；

第二步，对导体表面时域积分方程采用加权Laguerre多项式作为全域时间基函数进行时间上的离散，并采用曲面三角形单元进行空间上的离散；

第三步，形成待求解的矩阵方程，未知电流为导体瞬态面电流；

第四步，矩阵方程的求解以及瞬态电磁散射参数的计算。

本发明与传统的基于RWG的阶数步进时域积分方程方法相比，其显著优点是：在确保计算所得的瞬态电流晚时稳定性和准确性的前提下，对离散网格单元具有鲁棒性，即不需要离散三角形单元共内边。

附图说明

图1是曲三角形单元映射到局部空间(u,v)示意图。

图2是曲面三角形网格不共形的导体球示意图。

图3是导体球在不同频率点处的双站雷达散射截面(RCS)，(a)：频率为60MHz(b)：频率为150MHz(c)：频率为240MHz。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

结合图1，本发明基于分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法，步骤如下：

第一步，令电磁波照射到导体结构上，在导体表面上产生表面感应面电流J，根据理想导体的电场边界条件，即金属表面的总场切向分量为0，得到导体目标的时域积分方程TDIE，如下

$\hat{n}\left(r_o\right)\×[E^{\mathrm{inc}}(r_o,t)+E^{\mathrm{sca}}(r_o,t)]=0---\left(1\right)$

$\hat{n}\left(r_o\right)\×[H^{\mathrm{inc}}(r_o,t)+H^{\mathrm{sca}}(r_o,t)]=J(r_o,t)---\left(2\right)$

其中，导体表面单位外法向量，E^inc和H^inc表示照射在目标上的电磁波的入射电场和磁场，E^sca和H^sca表示目标在电磁波照射后产生的散射电场和磁场，散射场的表达形式为：

$E^{\mathrm{sca}}(r_o,t)=\▿\▿\·{\∫}_S\frac{{{\∂}_t}^{-1}J(r_s,t-|r_o-r_s|/c)}{4\mathrm{\π\ϵ}|r_o-r_s|}{\mathrm{dS}}^{\′}-{\∫}_S\frac{{\mathrm{\μ}\∂}_{t}J(r_s,t-|r_o-r_s|/c)}{4\mathrm{\π}|r_o-r_s|}{\mathrm{dS}}^{\′}---\left(3\right)$

$H^{\mathrm{sca}}(r_o,t)={\∫}_S\▿\×\left[\frac{J(r_s,t-|r_o-r_s|/c)}{4\mathrm{\π}|r_o-r_s|}\right]{\mathrm{dS}}^{\′}---\left(4\right)$

其中S表示金属表面单元，μ和ε分别表示自由空间的磁导率和介电参数，r_o和r_s分别为场和源的位置坐标，c表示真空中的光速，和分别表示对时间的积分和对时间的求导。

第二步，对导体表面时域积分方程采用加权Laguerre多项式作为全域时间基函数进行时间上的离散，并采用曲面三角形单元进行空间上的离散；

导体表面的瞬态感应电流可离散表示如下：

$J(r_s,t)=\underset{j=0}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Λ}}_j\left(r_s\right){\mathrm{\φ}}_j\left(\mathrm{st}\right)---\left(5\right)$

其中：

φ_j(st)＝e^-st/2L_j(st)(6)

${\mathrm{\Λ}}_j\left(r_s\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{p=1}{\overset{N_p}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{(p,n)}(u,v)[J_{(p,n)}^{u,j}\hat{u}+J_{(p,n)}^{v,j}\hat{v}]{\mathrm{\ψ}}^{-1}---\left(7\right)$

其中，和为方向和方向的待求瞬态未知电流系数，ψ为雅克比因子，N_t、N和N_p分别为加权Laguerre多项式的阶数、离散曲面三角形的数目和每个曲面三角形单元内插值点的数目，L_(p,n)(u,v)为曲面三角形单元的勒让德插值多项式，其求法如下：

将r空间内的曲面三角形单元映射到一个参数坐标系(u,v)，在参数坐标系(u,v)下，定义n次多项式空间：

$P_n^2=\mathrm{span}\{u^i{v}^j;i,j\≥0;i+j\≤n\}---\left(8\right)$

此多项式空间的维数为：

$\dim P_n^2=C_{n+2}^2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}---\left(9\right)$

对于n＝1,有选择3点高斯积分点；对于n＝2, $\dim P_n^2=6,$ 有 $P_n^2=\mathrm{span}\{1,u,v,u^2.\mathrm{uv},v^2\},$ 选择6点高斯积分点；当n次多项式选定之后，插值多项式L_p(u,v)通过以下的矩阵方程求得：

其中，(u_i,v_i)是插值点,m是每个曲面三角形内所有插值点的个数。

根据Laguerre多项式的递归特性，可以得到瞬态电流导数项和积分项的表达式：

$\frac{\∂}{\∂t}J(r_s,t)=s\underset{j=0}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{1}{2}{\mathrm{\Λ}}_j\left(r_s\right)+\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Λ}}_k\left(r_s\right)){\mathrm{\φ}}_j\left(\mathrm{st}\right)---\left(11\right)$

${\∫}_0^{\∞}J(r_s,t)\mathrm{dt}=\frac{2}{s}\underset{j=0}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}[{\mathrm{\Λ}}_j\left(r_s\right)+2\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^{j+k}{\mathrm{\Λ}}_k\left(r_s\right)]{\mathrm{\φ}}_j\left(\mathrm{st}\right)---\left(12\right)$

第三步，形成待求解的矩阵方程；

将式(3)-式(7)以及式(11)-式(12)代入式(1)和式(2)，可得阶数步进Nystrom方法的时域电场积分方程TD-EFIE和时域磁场积分方程TD-MFIE的矩阵方程形式如下：

$\left[\begin{array}{cc}{Z}_{E(q,m)(p,n)}^{\mathrm{uu}}& Z_{E(q,m)(p,n)}^{\mathrm{uv}}\\ Z_{E(q,m)(p,n)}^{\mathrm{vu}}& Z_{E(q,m)(p,n)}^{\mathrm{vv}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{J}_{(p,n)}^{u,i}\\ J_{(p,n)}^{v,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{V}_{E(q,m)}^{u,i}\\ V_{E(q,m)}^{v,i}\end{array}\right]---\left(13\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{Z}_{M(q,m)(p,n)}^{\mathrm{uu}}& Z_{M(q,m)(p,n)}^{\mathrm{uv}}\\ Z_{M(q,m)(p,n)}^{\mathrm{vu}}& Z_{M(q,m)(p,n)}^{\mathrm{vv}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{J}_{(p,n)}^{u,i}\\ J_{(p,n)}^{v,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{V}_{M(q,m)}^{u,i}\\ V_{M(q,m)}^{v,i}\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中：

$\begin{array}{c}{Z}_{E(q,m)(p,n)}^{\mathrm{\α\β}}={\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·{\∫}_{S_n}\frac{\mathrm{\μs}}{8\mathrm{\πR}}{N}_{(p,n)}(u,v){\mathrm{\β}}_{(p,n)}{e}^{-\mathrm{sR}/2c}{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\′}\\ -{\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·\frac{1}{2\mathrm{\π\ϵs}}{\∫}_{S_n}\▿\frac{e^{-\mathrm{sR}/2c}}{R}\frac{{\∂N}_{(p,n)}(u,v)}{\∂\mathrm{\β}}{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\′}\\ +{\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·\frac{1}{2\mathrm{\π\ϵs}}{\∫}_{{\∂S}_n}\▿\frac{e^{-\mathrm{sR}/2c}}{R}{N}_{(p,n)}(u,v){\mathrm{\β}}_{(p,n)}\·{\hat{n}}_l{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{dl}}^{\′}\end{array}---\left(15\right)$

$\begin{array}{c}{Z}_{M(q,m)(p,n)}^{\mathrm{\α\β}}=\frac{1}{2}{\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·{\mathrm{\β}}_{(p,n)}{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{qp}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{mn}}-{\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·\hat{n}\left(r\right)\\ \×[\frac{1}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S_n}{N}_{(p,n)}(u,v){\mathrm{\β}}_{(p,n)}\×\frac{R}{R^3}{e}^{-\mathrm{sR}/2c}{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\′}\\ +\frac{1}{8\mathrm{\π}}{\∫}_{S_n}{N}_{(p,n)}(u,v){\mathrm{\β}}_{(p,n)}\×\frac{\mathrm{sR}}{{\mathrm{cR}}^2}{e}^{-\mathrm{sR}/2c}{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\′}]\end{array}---\left(17\right)$

$\begin{array}{c}{V}_{M(q,m)}^{\mathrm{\α},i}={\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·{\∫}_0^{\∞}\hat{n}\left(r_{(q,m)}\right)\×H^{\mathrm{inc}}(r_{(q,m)},t){\mathrm{\φ}}_i\left(\mathrm{st}\right)d\left(\mathrm{st}\right)\\ +\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{p=1}{\overset{N_p}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·\hat{n}\left(r\right)\\ \×\frac{1}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S_n}{N}_{(p,n)}(u,v){\mathrm{\β}}_{(p,n)}{I}_{\mathrm{ij}}\left(\frac{\mathrm{sR}}{c}\right)\×\frac{R}{R^3}{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\′}\\ +\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{p=1}{\overset{N_p}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·\hat{n}\left(r\right)\\ \×\frac{s}{8\mathrm{\π}}{\∫}_{S_n}{N}_{(p,n)}(u,v){\mathrm{\β}}_{(p,n)}{I}_{\mathrm{ij}}\left(\frac{\mathrm{sR}}{c}\right)\×\frac{R}{{\mathrm{cR}}^2}{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\′}\\ +\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{p=1}{\overset{N_p}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{(q,m)}\·\hat{n}\left(r\right)\\ \×\frac{s}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S_n}{N}_{(p,n)}(u,v){\mathrm{\β}}_{(p,n)}{I}_{\mathrm{ij}}\left(\frac{\mathrm{sR}}{c}\right)\×\frac{R}{{\mathrm{cR}}^2}{\mathrm{\ψ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\′}\end{array}---\left(18\right)$

$\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{ij}}\left(\frac{\mathrm{sR}}{c}\right)={\&Integral;}_0^{\&infin;}{\mathrm{\&phi;}}_i\left(\mathrm{st}\right){\mathrm{\&phi;}}_j(\mathrm{st}-\mathrm{sR}/c)d\left(\mathrm{st}\right)\\ =\left\{\begin{array}{cc}{e}^{-\mathrm{sR}/2c}[L_{i-j}(\mathrm{sR}/c)-L_{i-j-1}(\mathrm{sR}/c)]& ,j<i\\ 0& ,j>i\end{array}\right.\end{array}---\left(19\right)$

α和β分别表示测试基函数和源基函数的分量，S_n表示第n个剖分单元，(q,m)表示第m个单元的第q个插值点。

线性叠加式(13)和式(14)，得到阶数步进时域Nystrom方法的混合场积分方程TD-CFIE的形式：

$\left[\begin{array}{cc}{Z}_{(q,m)(p,n)}^{\mathrm{uu}}& Z_{(q,m)(p,n)}^{\mathrm{uv}}\\ Z_{(q,m)(p,n)}^{\mathrm{vu}}& Z_{(q,m)(p,n)}^{\mathrm{vv}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{J}_{(p,n)}^{u,i}\\ J_{(p,n)}^{v,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{V}_{(q,m)}^{u,i}\\ V_{(q,m)}^{v,i}\end{array}\right]---\left(20\right)$

其中：

$Z_{(q,m)(p,n)}^{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{efie}}{Z}_{E(q,m)(p,n)}^{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}+(1-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{efie}})\mathrm{\&eta;}{Z}_{M(q,m)(p,n)}^{\mathrm{\&alpha;\&beta;}}---\left(21\right)$

$V_{(q,m)}^{\mathrm{\&alpha;},i}={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{efie}}{V}_{E(q,m)}^{\mathrm{\&alpha;},i}+(1-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{efie}})\mathrm{\&eta;}{V}_{M(q,m)}^{\mathrm{\&alpha;},i}---\left(22\right)$

其中，α_efie为混合积分方程的组合系数，η为自由空间波阻抗。

第四步，求解第三步所得矩阵方程，得到瞬态电流系数，再根据互易定理由瞬态电流系数计算瞬态电磁散射参量，如双站RCS。

为了验证本发明方法的正确性与有效性，下面给出了半径为0.25米的导体球的非共形网格示例，如图2，并且该导体球在多个频点处的双站RCS计算结果与解析值Mie级数进行了比较，均吻合得很好，如图3所示。

本算例中，入射电场采用调制高斯平面波，其表达式如下：

$E^{\mathrm{inc}}(r,t)={\hat{p}}^{\mathrm{inc}}\exp [-{\left(\frac{\mathrm{\&tau;}-t_c}{\sqrt{2}\mathrm{\&sigma;}}\right)}^2]\cos \left(2\mathrm{\&pi;}{f}_c\mathrm{\&tau;}\right)---\left(23\right)$

其中，极化方向传播方向σ＝6/(2πf_bw)，t_c＝3.5σ,E^inc(r,t)的频谱的中心频率为f₀＝150MHz，最高频率为300MHz，f_bw为频带宽度。

Claims (4)

1.一种分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法，其特征在于步骤如下：

第一步，建立导体表面时域积分方程；

第二步，对导体表面时域积分方程采用加权Laguerre多项式作为全域时间基函数进行时间上的离散，并采用曲面三角形单元进行空间上的离散；

第三步，形成待求解的矩阵方程，未知电流为导体瞬态面电流；

第四步，求解第三步所得矩阵方程，得到导体的瞬态面电流系数，再根据互易定理由电流系数计算瞬态电磁散射参量。

2.根据权利要求1所述的分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法，其特征在于所述步骤1中：

令电磁波照射到导体结构上，在导体表面上产生表面感应面电流J，根据理想导体的电场边界条件，即金属表面的总场切向分量为0，得到导体目标的时域积分方程TDIE，如下：

其中，导体表面单位外法向量，E^inc和H^inc表示照射在目标上的电磁波的入射电场和磁场，E^sca和H^sca表示目标在电磁波照射后产生的散射电场和磁场，散射场的表达形式为：

其中S表示金属表面单元，μ和ε分别表示自由空间的磁导率和介电参数，r_o和r_s分别为场和源的位置坐标，c表示真空中的光速，和分别表示对时间的积分和对时间的求导。

3.根据权利要求1所述的分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法，其特征在于所述步骤2中：

导体表面的瞬态感应电流可离散表示如下：

其中：

φ_j(st)＝e^-st/2L_j(st)(6)

其中，和为方向和方向的待求瞬态未知电流系数，ψ为雅克比因子，N_t、N和N_p分别为加权Laguerre多项式的阶数、离散曲面三角形的数目和每个曲面三角形单元内插值点的数目，L_(p,n)(u,v)为曲面三角形单元的勒让德插值多项式；

根据Laguerre多项式的递归特性，可以得到瞬态电流导数项和积分项的表达式：

。

4.根据权利要求1所述的分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法，其特征在于所述步骤3中：

将式(3)-式(7)以及式(8)-式(9)代入式(1)和式(2)，得到阶数步进Nystrom方法的时域电场积分方程TD-EFIE和时域磁场积分方程TD-MFIE的矩阵方程形式如下：

其中：

α和β分别表示测试基函数和源基函数的分量，s_n表示第n个剖分单元，(q,m)表示第m个单元的第q个插值点；

线性叠加式(10)和式(11)，得到阶数步进时域Nystrom方法的混合场积分方程TD-CFIE的形式：

其中：

其中，α_efie为混合积分方程的组合系数，η为自由空间波阻抗。