CN107391437A - 石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法 - Google Patents
石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，步骤如下：对石墨烯进行几何建模，用三角形网格离散石墨烯表面；采用矢量匹配法，用若干项极点和留数展开石墨烯频域表面阻抗，再经逆傅里叶变换到时域；使用石墨烯时域表面阻抗与时域表面电流的卷积，根据表面阻抗边界条件建立时域积分方程；用加权Laguerre多项式作为展开时域表面电流的时间基函数，得到计算时域表面阻抗和时域表面电流卷积的解析公式，经过空间测试和时间测试后进行阶数步进求解，获得时域表面电流，进行电磁特性分析。本发明可为石墨烯电磁、通信器件的数值仿真与设计提供重要的参考。
Description
技术领域
本发明涉及一种石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，属于电磁计算领域。
背景技术
近年来，通信技术迅速发展，太赫兹通信技术的兴起对通信器件提出了越来越高的要求，传统器件在处理速度、散热以及功耗等方面都面临着很大的挑战。而石墨烯作为一种电、光、热等性能极佳的纳米材料，将会大幅度提升太赫兹通信器件的处理能力和数据传输速率，深入理解石墨烯与太赫兹波的相互作用，计算石墨烯在太赫兹频段的瞬态电磁特性，有助于促进基于石墨烯的太赫兹通信器件的设计与制备。
分析瞬态电磁问题时，频域方法需要逐频点计算，计算量巨大，计算效率低，而时域偏微分方程方法须强加吸收边界条件，离散目标周围区域，合理设置边界条件，需要较高的工程实践经验。因此，分析瞬态电磁特性的时域积分方法(Time-Domain IntegralEquation，TDIE)越来越受到重视。文献(Y.F.Shi,I.E.Uysal,P.Li,et al,“Analysis ofelectromagnetic wave interactions on graphene sheets using time domainintegral equations,”31st International Review of Progress in AppliedComputational Electromagnetics,2015.)用时域积分方程法分析了石墨烯的瞬态电磁特性。该文献使用时间步进方法求解时域积分方程，有潜在的晚时不稳定问题，即晚时振荡现象。
发明内容
本发明提供一种石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，使用阶数步进(Marching-on-in-Degree,MOD)解法，将晚时收敛至0的加权Laguerre多项式作为时间基函数展开石墨烯时域表面电流，在晚时也可以获得稳定的结果，得到晚时无条件稳定的解。
本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：
本发明提供一种石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，包括以下步骤：
步骤一、对石墨烯进行几何建模，将石墨烯模型的厚度设置为0，并用三角形网格离散石墨烯模型的表面；
步骤二、采用矢量匹配法，用若干项极点和留数展开石墨烯频域表面阻抗，再经过逆傅里叶变换得到时域表面阻抗；
步骤三、使用石墨烯时域表面阻抗与时域表面电流的卷积，根据表面阻抗边界条件建立时域积分方程；
步骤四、用加权Laguerre多项式作为展开时域表面电流的时间基函数，得到石墨烯时域表面阻抗和时域表面电流卷积项的解析公式，经过空间测试和时间测试后进行阶数步进求解，获得时域表面电流，用于电磁特性分析。
作为本发明的进一步技术方案，步骤一中三角形网格的边长数量级为λH/10，其中，λH是太赫兹频段最高频率对应的波长。
作为本发明的进一步技术方案，步骤一中三角形网格离散石墨烯模型的表面后，得到包括各三角形编号、内边编号、节点编号、三角形面积、边长、节点坐标的网格信息。
作为本发明的进一步技术方案，步骤二中采用矢量匹配法，用若干项极点和留数展开石墨烯频域表面阻抗，再经过逆傅里叶变换得到时域表面阻抗，具体为：
(2.1)由Kubo公式计算石墨烯频域表面电导率σ＝σintra+σinter，其中，带内电导率σintra和带间电导率σinter分别为：
其中，ω、μc、Γ、T分别为角频率、化学势、散射率和绝对温度，e为电子电荷，kB为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数，j是虚数单位。
(2.2)采用矢量匹配法对石墨烯频域表面阻抗进行有理近似，选择η项极点和留数展开ρ(ω)为：
其中，al为第l项极点，且al的实部非负，cl为第l项留数；
将展开后的ρ(ω)进行逆傅里叶变换，获得时域表面阻抗ρ(t)为：
其中，μ(t)为单位阶跃函数。
作为本发明的进一步技术方案，步骤三中建立的时域积分方程为：
其中，是太赫兹频段瞬态电磁波，|tan表示切向，表示时间为t时石墨烯模型表面处在照射下感应出的时域表面电流，是对时间t的一阶导数，R表示场点和源点的空间距离， 和分别表示场点、源点相对于坐标原点的矢量，分别表示梯度和散度计算，S′是源点所在三角形，c0是自由空间光速，ε0和μ0分别为自由空间的介电常数和磁导率，*表示时域卷积。
作为本发明的进一步技术方案，步骤四的具体步骤为：
(4.1)第q阶加权Laguerre多项式定义为：
其中，s为缩放因子，s＝4πfbw，fbw是太赫兹频段瞬态电磁波的频域带宽，
(4.2)采用加权Laguerre多项式作为时间基函数展开时域表面电流为：
其中，NS是石墨烯模型表面用三角形网格离散后的内边数，是第n条内边的空间基函数，NL是的最高阶数，NL≥2fbwTs+1，Ts是太赫兹频段瞬态电磁波持续时间，Jn,q是第n条内边第q阶时间基函数的系数；
(4.3)将石墨烯时域表面阻抗展开为：
其中，bl＝al/s-1/2；
石墨烯时域表面阻抗与时域表面电流的卷积为：
其中：
其中，Jn,k是第n条内边第k阶时间基函数的系数；
(4.4)采用空间基函数和时间基函数分别对时域积分方程进行空间测试和时间测试，获得阶数为p时的矩阵方程：
其中，[Zmn]是NS×NS的矩阵，[Jn,p]、[V′m,q]均是NS×1的向量，m＝1,2,…,NS，p＝0,1,2,…,NL，且
其中，Rmn为第m条内边、第n条内边所在三角形质心的距离，S是场点所在三角形，是第m条内边的空间基函数；
(4.5)逐阶求解公式11的矩阵方程，得到第p阶电流系数组成的列向量[Jn,p]，再由公式7得到石墨烯时域表面电流的解，用于分析电磁特性。
作为本发明的进一步优化方案，步骤2.1中kBT＜|μc|。
本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：本发明求解稳定性高，采用加权Laguerre多项式作为时间基函数展开石墨烯时域表面电流，变传统的时间步进为阶数步进，消除晚时振荡，得到晚时无条件稳定的结果。
附图说明
图1是本发明方法流程图。
图2是石墨烯频域阻抗实部理论结果和矢量匹配计算结果图。
图3是石墨烯频域阻抗虚部理论结果和矢量匹配计算结果图。
图4是穿过石墨烯模型表面三角形网格离散后某条内边上的时域电流计算结果图。
图5(a)、5(b)、5(c)分别是频带内三个频点的双站雷达截面积计算结果图。
具体实施方式
如图1所示，本发明是一种石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，下面结合附图对本发明的步骤做进一步的详细说明：
步骤一、对石墨烯进行几何建模，将石墨烯模型的厚度设置为0，并用三角形网格离散石墨烯模型的表面，得到仿真计算所需要的信息，包括各三角形编号、内边编号、节点编号、三角形面积、边长、节点坐标。三角形网格的边长数量级为λH/10，其中，λH是太赫兹频段最高频率对应的波长。
步骤二、采用矢量匹配法，使用若干项极点和留数展开石墨烯频域表面阻抗，再经过逆傅里叶变换得到时域表面阻抗，具体步骤如下：
(2.1)由Kubo公式计算石墨烯频域表面电导率σ＝σintra+σinter，带内电导率σintra和带间电导率σinter分别为：
其中，ω、μc、Γ、T分别为角频率、化学势(费米能)、散射率和绝对温度，e为电子电荷，kB为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数，j是虚数单位，kBT＜|μc|。
(2.2)采用矢量匹配法对石墨烯频域表面阻抗进行有理近似，选择η项极点和留数展开ρ(ω)为：
其中，al为第l项极点(al的实部非负)，cl为第l项留数；
将展开后的ρ(ω)进行逆傅里叶变换，获得时域表面阻抗ρ(t)为：
其中，μ(t)是单位阶跃函数。
步骤三、使用石墨烯时域表面阻抗与时域表面电流的卷积，根据表面阻抗边界条件建立时域积分方程为：
其中，是太赫兹频段瞬态电磁波，|tan表示切向，表示时间为t时、石墨烯模型表面处在照射下感应出的时域表面电流，是对时间t的一阶导数，R表示场点和源点的空间距离， 和分别表示场点、源点相对于坐标原点的矢量，分别表示梯度和散度计算，S′是源点所在三角形，c0是自由空间光速，ε0和μ0分别为自由空间的介电常数和磁导率，*表示时域卷积。
步骤四、用加权Laguerre多项式作为展开时域表面电流的时间基函数，得到石墨烯时域表面阻抗和时域表面电流卷积的解析公式，经过空间测试和时间测试后进行阶数步进求解，获得时域表面电流，具体过程如下：
(4.1)第q阶加权Laguerre多项式定义为：
其中，s为缩放因子，s＝4πfbw，fbw是太赫兹频段瞬态电磁波的频域带宽，
(4.2)采用加权Laguerre多项式作为时间基函数展开时域表面电流为：
其中，NS是石墨烯模型表面用三角形网格离散后的内边数，是第n条内边的空间基函数，NL是的最高阶数，NL≥2fbwTs+1，Ts是太赫兹频段瞬态电磁波持续时间，Jn,q是第n条内边第q阶时间基函数的系数；
(4.3)将石墨烯时域表面阻抗展开为：
其中，bl＝al/s–1/2，且al的实部非负。
石墨烯时域表面阻抗与时域表面电流的卷积为：
其中
Jn,k是第n条内边第k阶时间基函数的系数，定义与式(7)处相同；
(4.4)采用空间基函数(其中m是内边编号，m＝1，2，3，…，NS)和时间基函数(其中p是加权Laguerre多项式的阶数，p＝0，1，2，3，…，NL)分别对时域积分方程进行空间测试和时间测试，获得阶数为p时的矩阵方程为：
其中，[Zmn]是NS×NS的矩阵，[Jn,p]、[V′m,q]是NS×1的向量，且
其中，Rmn为第m条内边、第n条内边所在三角形质心的距离，S是场点所在三角形；
(4.5)逐阶求解阶数为p(p＝0，1，2，3，…，NL)的矩阵方程(11)，得到式(13)即第p阶电流系数组成的列向量[Jn,p]，由式(7)得到石墨烯时域表面电流的解，用于分析电磁特性。
为验证本发明方法的正确性，给出以下算例。
本算例采用公式(21)中的调制高斯脉冲作为瞬态电磁波照射石墨烯：
式中，为极化方向，本例取沿+x轴方向，中心频率f0＝0.204THz， 为场点相对于坐标原点的位置矢量，为瞬态电磁波传播方向的单位向量，本例沿-z轴方向，c0为自由空间光速，tp为时间延迟，本例tp＝3.5σ，σ＝6/(2πfbw)，瞬态电磁波频域带宽fbw＝0.408THz。
石墨烯模型的尺寸是1mm×1mm，三角形网格离散后的内边数为313，使用RWG基函数作为空间基函数，加权Laguerre多项式最高阶数NL取80阶，缩放因子s＝9×1011。矢量匹配项数η＝2，表1给出了石墨烯频域表面阻抗展开式的极点、留数，图2和图3是μc＝0.01eV、Г＝5×1012/秒、T＝300K时石墨烯频域阻抗实部与虚部的理论结果和矢量匹配计算结果。图4是穿过石墨烯模型表面三角形网格离散后某条内边上的时域电流计算结果，该内边的两个节点坐标分别是(-0.413391×10-3,-0.254972×10-3,0)、(-0.326874×10-3,-0.205698×10-3,0)。时间单位是光米(light meter,lm)，1lm是光在自由空间传播1米需要的时间。随着时间的推进，电流稳定收敛至0。时域结果经过傅里叶变换到频域，图5(a)、5(b)、5(c)给出了平面三个频点的双站雷达截面积(Radar Cross Section,RCS)。对比作为参考的频域矩量法计算结果，本发明方法计算结果正确。
表1
| l | al×1013 | cl×1017 |
| 1 | -1.4148+6.8532j | 5.5230+0.33780j |
| 2 | -1.4148-6.8532j | 5.5230-0.33780j |
以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所公开的技术范围内，进行的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。
Claims (7)
1.石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，其特征在于，包括以下具体步骤：
步骤一、对石墨烯进行几何建模，将石墨烯模型的厚度设置为0，并用三角形网格离散石墨烯模型的表面；
步骤二、采用矢量匹配法，用若干项极点和留数展开石墨烯频域表面阻抗，再经过逆傅里叶变换得到时域表面阻抗；
步骤三、使用石墨烯时域表面阻抗与时域表面电流的卷积，根据表面阻抗边界条件建立时域积分方程；
步骤四、用加权Laguerre多项式作为展开时域表面电流的时间基函数，得到石墨烯时域表面阻抗和时域表面电流卷积项的解析公式，经过空间测试和时间测试后进行阶数步进求解，获得时域表面电流，用于电磁特性分析。
2.根据权利要求1所述的石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，其特征在于，步骤一中三角形网格的边长数量级为λH/10，其中，λH是太赫兹频段最高频率对应的波长。
3.根据权利要求1所述的石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，其特征在于，步骤一中三角形网格离散石墨烯模型的表面后，得到包括各三角形编号、内边编号、节点编号、三角形面积、边长、节点坐标的网格信息。
4.根据权利要求1所述的石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，其特征在于，步骤二中采用矢量匹配法，用若干项极点和留数展开石墨烯频域表面阻抗，再经过逆傅里叶变换得到时域表面阻抗，具体为：
(2.1)由Kubo公式计算石墨烯频域表面电导率σ＝σintra+σinter，其中，带内电导率σintra和带间电导率σinter分别为：
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其中，ω、μc、Γ、T分别为角频率、化学势、散射率和绝对温度，e为电子电荷，kB为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数，j是虚数单位；
(2.2)采用矢量匹配法对石墨烯频域表面阻抗进行有理近似，选择η项极点和留数展开ρ(ω)为：
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其中，al为第l项极点，且al的实部非负，cl为第l项留数；
将展开后的ρ(ω)进行逆傅里叶变换，获得时域表面阻抗ρ(t)为：
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<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，μ(t)为单位阶跃函数。
5.根据权利要求4所述的石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，其特征在于，步骤三中建立的时域积分方程为：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
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其中，是太赫兹频段瞬态电磁波，|tan表示切向，表示时间为t时石墨烯模型表面处在照射下感应出的时域表面电流，是对时间t的一阶导数，R表示场点和源点的空间距离， 和分别表示场点、源点相对于坐标原点的矢量，分别表示梯度和散度计算，S′是源点所在三角形，c0是自由空间光速，ε0和μ0分别为自由空间的介电常数和磁导率，*表示时域卷积。
6.根据权利要求5所述的石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，其特征在于，步骤四的具体步骤为：
(4.1)第q阶加权Laguerre多项式定义为：
其中，s为缩放因子，s＝4πfbw，fbw是太赫兹频段瞬态电磁波的频域带宽，
(4.2)采用加权Laguerre多项式作为时间基函数展开时域表面电流为：
其中，NS是石墨烯模型表面用三角形网格离散后的内边数，是第n条内边的空间基函数，NL是的最高阶数，NL≥2fbwTs+1，Ts是太赫兹频段瞬态电磁波持续时间，Jn,q是第n条内边第q阶时间基函数的系数；
(4.3)将石墨烯时域表面阻抗展开为：
其中，bl＝al/s-1/2；
石墨烯时域表面阻抗与时域表面电流的卷积为：
其中：
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<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，Jn,k是第n条内边第k阶时间基函数的系数；
(4.4)采用空间基函数和时间基函数分别对时域积分方程进行空间测试和时间测试，获得阶数为p时的矩阵方程：
<mrow>
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<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，[Zmn]是NS×NS的矩阵，[Jn,p]、[V′m,q]均是NS×1的向量，m＝1,2,…,NS，p＝0,1,2,…,NL，且
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>20</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，Rmn为第m条内边、第n条内边所在三角形质心的距离，S是场点所在三角形，是第m条内边的空间基函数；
(4.5)逐阶求解公式11的矩阵方程，得到第p阶电流系数组成的列向量[Jn,p]，再由公式7得到石墨烯时域表面电流的解，用于分析电磁特性。
7.根据权利要求4所述的石墨烯太赫兹频段瞬态电磁特性的时域积分方程计算方法，其特征在于，步骤2.1中kBT＜|μc|。
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| CN104915326A (zh) * | 2014-03-14 | 2015-09-16 | 南京理工大学 | 基于等效原理的区域分解阶数步进时域积分方法 |
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| CN105631182A (zh) * | 2014-11-07 | 2016-06-01 | 南京理工大学 | 分析导体瞬态电磁散射特性的阶数步进时域Nystrom方法 |
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- 2017-07-11 CN CN201710560998.4A patent/CN107391437B/zh active Active
Patent Citations (3)
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| CN109086493A (zh) * | 2018-07-13 | 2018-12-25 | 南京邮电大学 | 一种石墨烯及衬底太赫兹频段瞬态电磁特性的计算方法 |
| CN109086493B (zh) * | 2018-07-13 | 2023-07-11 | 南京邮电大学 | 一种石墨烯及衬底太赫兹频段瞬态电磁特性的计算方法 |
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