CN105574249A - 蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型 - Google Patents

Abstract

本发明涉及蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型，属于齿轮机械制造领域。本发明基于G.Wener磨削力模型，提出了一种新的蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型。首先，根据蜗杆状砂轮磨齿过程中，接触点处珩磨轮和工件的几何形状和速度关系，建立一个近似模型；其次，以近似模型为基础建立切屑模型，计算出磨削过程中速度、磨削厚度和当量直径；最后，以近似模型为基础，建立间齿珩磨磨削力模型。这种磨削力模型适用于蜗杆砂轮磨齿和间齿珩齿加工方法。这种方法适用于计算采用蜗杆状砂轮的磨齿加工中的磨削力，包括蜗杆砂轮磨齿和间齿珩齿加工方法。这种方法将磨齿过程近似成外圆磨过程，从而简化了计算过程，填补了蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型的空白。

Description

蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型

技术领域

本发明涉及一种蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型，属于齿轮机械制造领域。

背景技术

磨削机理的研究可以有效的解决磨削过程中的关键问题。磨削机理的主要研究内容包括磨削参数、磨削力、磨削温度、砂轮磨损、砂轮修整、磨削液和磨削加工零件的表面完整性等。根据磨削参数和砂轮与工件的特征，可以建立磨削力模型。磨削功率则是建立在磨削力和磨削参数基础之上，功率消耗中的一部分能力转化为热量，便可建立磨削温度模型，磨削温度模型可以预测磨削烧伤现象，避免由于温度过高而产生对工件有害的磨削烧伤。通过磨削力的监测，可以有效的了解砂轮磨损情况，预测砂轮修整周期。对磨削过程建模，也可以得到表面粗糙度的经验公式。20世纪70年代G.Wener研究了材料对磨削力的影响，建立了磨削力经验模型，用于计算平面磨和外圆磨过程的磨削力。G.Wener磨削力模型为后来各种磨削过程中磨削力的研究奠定了基础。

齿轮磨削是一种复杂的磨削过程，其砂轮和工件并不是简单的圆柱或平面，同时，在磨削加工中，砂轮和工件上接触点的运动关系是实时变化的，因此很难建立其磨削力模型。BogdanW.Kruszynski等人针对Niles方法进行研究，Niles方法是Niles公司提出的一种齿轮展成磨加工方法，他们根据Niles方法中砂轮形状以及砂轮和工件的位置关系，建立切屑模型，从而建立简单的力学模型。E.Brinksmeier等人利用近似模型研究珩齿加工过程，根据实际加工过程中产生的速度建立近似模型，再针对近似模型建立磨削力模型。蜗杆状砂轮的形状更为复杂，为了更好的研究蜗杆状砂轮磨齿加工方法，有必要对蜗杆状砂轮磨齿过程的磨削力进行研究。

发明内容

为了更好的研究蜗杆状砂轮磨齿加工方法，有必要对蜗杆状砂轮磨齿过程的机理进行研究。

本发明采用的技术方案为蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型，首先，根据蜗杆状砂轮磨齿过程中，接触点处珩磨轮和工件的几何形状和速度关系，建立一个近似模型；其次，以近似模型为基础建立切屑模型，计算出磨削过程中速度、磨削厚度和当量直径；最后，以近似模型为基础，建立间齿珩磨磨削力模型。这种磨削力模型适用于蜗杆砂轮磨齿和间齿珩齿加工方法。

具体步骤如下：

S1.建立磨齿过程近似模型

磨齿过程中，被加工齿轮的理论齿面与砂轮表面为空间交错轴啮合，接触情况为点接触，坐标系如图1，其中S_c(O_c-X_c,Y_c,Z_c)和S_g(O_g-X_g,Y_g,Z_g)分别是砂轮和被加工齿轮所在的静止坐标系，S_c和S_g分别为砂轮和被加工齿轮的坐标系名称，O_c和O_g分别为砂轮和被加工齿轮的对称中心，Z_c和Z_g分别与砂轮和被加工齿轮的轴线重合，X_cO_cY_c平面为砂轮齿宽中点的轴截面所在平面，X_gO_gY_g平面为被加工齿轮齿宽中点的轴截面所在平面，l为砂轮沿着被加工齿轮轴线的移动距离。S₁(O₁-X₁,Y₁,Z₁)和S₂(O₂-X₂,Y₂,Z₂)分别是与砂轮和被加工齿轮固连的运动坐标系，S₁和S₂分别为砂轮和被加工齿轮的坐标系名称，O₁和O₂分别与O_c和O_g重合，Z₁和Z₂分别与砂轮和被加工齿轮的轴线重合，和为砂轮与被加工齿轮的转动角度，r_o1和r_o2分别为砂轮与被加工齿轮的工作节圆半径，λ是砂轮与被加工齿轮的轴交角,T是砂轮与被加工齿轮的节点。

根据啮合原理，在接触点处，被加工齿轮的齿面与砂轮表面的相对速度沿着法向的分量为零，被加工齿轮的速度v_g在切平面上的投影v_gt和珩磨轮的速度v_c在切平面上的投影v_ct共线。v_gt和v_ct是产生切削作用的速度，分别对应着磨削原理中工件速度和砂轮速度。过v_gt和v_ct所在直线做一个平面Σ，该平面同时经过接触点法向，平面Σ分别于被加工齿轮的理论齿面与珩磨轮表面相交，得到两条交线Γ_g和Γ_c，这两条曲线在接触点出的曲率半径分别为r_gΓ和r_cΓ。将接触点处的运动类比外圆磨削，分别以曲率半径r_gΓ和r_cΓ为工件和砂轮的半径，建立近似模型，如图2所示。

在实际接触中，被加工齿轮与珩磨轮并非点接触，由于存在磨削余量，实际接触过程为面接触。为更符合实际情况，将类比被加工齿轮与砂轮的两个圆柱设计成中鼓形状，中鼓形状为圆弧，如图3所示。v_gt和v_ct所在直线垂直做一个平面Σ₁，该平面同时经过接触点法向，平面Σ₁分别于被加工齿轮的理论齿面与珩磨轮表面相交，得到两条交线Γ_g1和Γ_c1，这两条曲线在接触点出的曲率半径分别为r_gΓ1和r_cΓ1。

沿着轴向，将上述模型进行无限分割，每两个分割界面之间的部分，能够被看做外圆磨削过程，因此，利用G.Wener提出的磨削力模型，建立每一个分割部分的外圆磨削力模型，对整个磨削宽度范围内的磨削力进行积分，便能够获得当前接触点处的磨削力。G.Wener的磨削力F′_n的模型为

F′_n＝K′_n[c₁]^γ[v_w/v_s]^2ε-1[a_p]^ε[d_e]^1-ε

其中，v_w和v_s分别为被加工齿轮和砂轮的速度，a_p为磨削厚度，d_e为当量直径，K′为单位切削面积的磨削力，c₁是与磨刃密度有关的系数，γ和ε是与磨刃在砂轮圆周表面的分布有关的指数。

S2.计算磨齿过程中近似外圆磨过程的v_w、v_s、a_p和d_e

(1)计算v_w和v_s

根据S1中所述，被加工齿轮的速度在切平面上的投影(即v_w)和珩磨轮的速度在切平面上的投影(即v_w)是产生切削的速度，因此需要根据间齿啮合模型推导这两个速度分量。

加工过程中砂轮转速为ω_c，被加工齿轮转速为ω_g，因此砂轮在S_c坐标系中的转速和被加工齿轮在S_g坐标系中的转速为

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{cc}={(0,0,{\mathrm{\ω}}_c)}^T$

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{gg}={(0,0,{\mathrm{\ω}}_g)}^T$

S_c坐标系中，珩磨轮在接触点处的线速度为

${\stackrel{\→}{v}}_{cc}={\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{cc}\×{\stackrel{\→}{r}}_{1c}={(-y_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,x_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,0)}^T$

在S_g坐标系中，被加工齿轮在接触点的线速度为

${\stackrel{\→}{v}}_{gg}={\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{gg}\×{\stackrel{\→}{r}}_{2g}={(-y_{2g}{\mathrm{\ω}}_g,x_{2g}{\mathrm{\ω}}_g,0)}^T$

将珩磨轮在接触点的速度由S_c坐标系转化到S_g坐标系中，

${\stackrel{\→}{v}}_{cg}=M_{gc}{\stackrel{\→}{v}}_{cc}=(y_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,-x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}cos\mathrm{\λ},x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}sin\mathrm{\λ})$

那么接触点处的相对速度为

${\stackrel{\→}{v}}_{cgg}={\stackrel{\→}{v}}_{cg}-{\stackrel{\→}{v}}_{gg}=\left(\begin{array}{c}{y}_{1c}{\mathrm{\ω}}_c+y_{2g}{\mathrm{\ω}}_g\\ -x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}cos\mathrm{\λ}-x_{2g}{\mathrm{\ω}}_g\\ x_{1c}{\mathrm{\ω}}_c\sin \mathrm{\λ}\end{array}\right)$

在S_g坐标系中，被加工齿面的法向量为n_2g。在齿面上一点处的切向量有无数条，利用齿面方程对齿面参数θ₂求导，得到一个切矢量与和都垂直的方向向量

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}={\stackrel{\→}{n}}_{2g}\×{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}$

也是齿面的一条切向量，与张成一个接触点处的切平面。和相互垂直，并且都是单位向量，在接触点处构成了一个新的直角坐标系S_t。

在坐标系S_t中，由于沿着齿面法向的速度并不起到切削的作用，因此只研究速度在切平面内的投影。被加工齿轮的速度和珩磨轮的速度在与方向上的投影分别为

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}={\stackrel{\→}{v}}_{cg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}& {\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}l}={\stackrel{\→}{v}}_{cg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}={\stackrel{\→}{v}}_{gg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}& {\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}={\stackrel{\→}{v}}_{gg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}\end{array}$

因此，珩磨轮的速度v_c在切平面上的投影与的夹角为 ${\mathrm{\ψ}}_{cg}=\arccos \frac{\left|{\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}l}\right|}{\left|{\stackrel{\→}{v}}_{ct}\right|}.$ 被加工齿轮的速度v_g在切平面上的投影 $\left|{\stackrel{\→}{v}}_{gt}\right|=\sqrt{{\left({\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}\right)}^2+{\left({\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}\right)}^2},{\stackrel{\→}{v}}_{gt}$ 与的夹角为 ${\mathrm{\ψ}}_{gg}=\arccos \frac{\left|{\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}\right|}{\left|{\stackrel{\→}{v}}_{gt}\right|}.$

(2)计算a_p

两个鼓形圆柱相交部分，除去已经被磨削的部分，即为切屑近似模型，事实上这个切屑模型为相交部分的四分之一，如图4所示。

将近似模型沿轴向分割成无限小切片，那么每一层切片为一个外圆磨模型。每个小外圆磨模型中，磨削深度最大的位置是在过两个轴线的平面上。不同切削宽度位置的磨削深度分布在过两个轴线的平面与切屑近似模型相交的截面上，某磨削宽度位置b_i处的磨削深度为a_pi，几何关系如图所示。

图4中，b_i为线段C_cC_g到线段O_gΓ1O_cΓ1的距离，因为线段A_cB_c远小于直径，这个公式简化为

$b_i^2\≈2r_{c\mathrm{\Γ}1}{A}_c{B}_c$

即

$A_c{B}_c\≈b_i^2/2r_{c\mathrm{\Γ}1}$

同理线段A_gB_g，

$A_g{B}_g\≈b_i^2/2r_{g\mathrm{\Γ}1}$

综上所述，磨削厚度a_pi为

$\begin{array}{c}{a}_{pi}=a_p-A_c{B}_c-A_g{B}_g\\ =a_p-b_i^2(1/2r_{c\mathrm{\Γ}1}-1/2r_{g\mathrm{\Γ}1})\end{array}$

上述公式中，r_cΓ1和r_gΓ1是未知的，a_p为最大磨削厚度。

根据S1节中分析可知，r_cΓ1和r_gΓ1是分别为珩磨轮和被加工齿轮的齿面在接触点处于相对速度垂直的方向上的曲率半径。

(3)计算d_e

在磨削力模型当中，与砂轮和工件几何尺寸相关的参数为当量直径d_e，无论是哪种类型的磨削过程，都有一个对应的当量直径。根据外圆磨当量直径公式通过公式看出与当量直径相关的砂轮和工件的几何尺寸为各自的半径，d_s和d_w分别对应着S1中建立的近似模型中接触点处的曲率半径r_gΓ和r_cΓ。曲率半径为曲率的倒数，因此需要求得曲率半径r_gΓ和r_cΓ分别对应的法曲率k_gΓ和k_cΓ。

当近似模型中，当量直径d_e为

$d_e=\frac{2r_{c\mathrm{\Γ}}{r}_{g\mathrm{\Γ}}}{r_{c\mathrm{\Γ}}+r_{g\mathrm{\Γ}}}$

实际接触时，接触区域很小，在接触区域内所有位置的当量直径变化很小，因此把接触点的当量直径近似看做接触区域的当量直径。

S3.计算磨削力

磨齿过程被类比成S1中提出的磨削近似模型，在近似模型当中，每一个垂直于轴的截面都看做外圆磨，那么根据G.Wener的模型有

F′_n＝K′_n[c₁]^γ[v_gt/v_ct]^2ε-1[a_pi]^ε[d_e]^1-ε

在同一接触点，切屑磨削宽度上不同位置的v_gt、v_ct和d_e是相同的，沿着磨削宽度不同位置的磨削深度是变化的，那么接触位置法向磨削力的模型表示为，

$F_n=\underset{o}{\overset{b_a}{\∫}}{F}_n^{\′}{\mathrm{db}}_i$

将单位宽度上磨削力模型带入上述公式，并进行积分，并得到

F_n＝K_n[c₁]^γ[v_gt/v_ct]^2ε-1[d_e]^1-ε{[a_p]^ε+1-[a_p-k_pb_a ²]^ε+1}

其中 $k_p=1/2r_{c\mathrm{\Γ}1}-1/2r_{g\mathrm{\Γ}1},K_n=\frac{K_n^{\′}}{2k_p(\mathrm{\ϵ}+1)}.$

所述的磨削力模型适用于蜗杆砂轮磨齿和间齿珩齿加工方法。

附图说明

图1空间交错轴啮合坐标系。

图2近似外圆磨模型。

图3中鼓形状近似模型。

图4切屑模型。

具体实施方式

以下结合具体加工实例对本发明进行说明：

采用蜗杆砂轮磨齿技术加工斜齿圆柱齿轮，被加工齿轮参数：法向压力角α_n2＝27.5°，法向模数m_n2＝3，齿数Z₂＝27，螺旋角β₂＝18°，右旋。蜗杆状砂轮参数：法向压力角α_n1＝27.5°，法向模数m_n1＝3，头数Z₁＝4，螺旋升角γ₁＝8°，右旋。轴交角λ＝100°，中心距a＝85.696。

S1.建立磨齿过程近似模型

磨齿过程中，被加工齿轮的理论齿面与砂轮表面为空间交错轴啮合，接触情况为点接触，坐标系如图1。根据啮合原理，在接触点处，齿面与砂轮表面的相对速度沿着法向的分量为零，被加工齿轮的速度v_g在切平面上的投影v_gt和珩磨轮的速度v_c在切平面上的投影v_ct共线。v_gt和v_ct是产生切削作用的速度，分别对应着磨削原理中工件速度和砂轮速度。过v_gt和v_ct所在直线做一个平面Σ，该平面同时经过接触点法向，平面Σ分别于被加工齿轮的理论齿面与珩磨轮表面相交，得到两条交线Γ_g和Γ_c，这两条曲线在接触点出的曲率半径分别为r_gΓ和r_cΓ。将接触点处的运动类比外圆磨削，分别以曲率半径r_gΓ和r_cΓ为工件和砂轮的半径，建立近似模型如图2。

在实际接触中，被加工齿轮与珩磨轮并非点接触，由于存在磨削余量，实际接触过程为面接触。为了更符合实际情况，将类比被加工齿轮与砂轮的两个圆柱设计成中鼓形状，中鼓形状为圆弧，如图3所示。v_gt和v_ct所在直线垂直做一个平面Σ₁，该平面同时经过接触点法向，平面Σ₁分别于被加工齿轮的理论齿面与珩磨轮表面相交，得到两条交线Γ_g1和Γ_c1，这两条曲线在接触点出的曲率半径分别为r_gΓ1和r_cΓ1。

沿着轴向，将上述模型进行无限分割，每两个分割界面之间的部分，可以被看做外圆磨削过程，因此，利用G.Wener提出的磨削力模型，建立每一个分割部分的外圆磨削力模型，对整个磨削宽度范围内的磨削力进行积分，便可以获得当前接触点处的磨削力。G.Wener的磨削力模型为

F′_n＝K′_n[c₁]^γ[v_w/v_s]^2ε-1[a_p]^ε[d_e]^1-ε

其中，v_w和v_s分别为工件和砂轮的速度，a_p为磨削厚度，d_e为当量直径，K′为单位切削面积的磨削力，c₁是与磨刃密度有关的系数，γ和ε是与磨刃在砂轮圆周表面的分布有关的指数。

S2.计算磨齿过程中近似外圆磨过程的v_w、v_s、a_p和d_e

(1)计算v_w和v_s

根据S1中所述，被加工齿轮的速度在切平面上的投影(即v_w)和珩磨轮的速度在切平面上的投影(即v_w)是产生切削的速度，因此需要根据间齿啮合模型推导这两个速度分量。

加工过程中砂轮转速为ω_c，被加工齿轮转速为ω_g，因此

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{cc}={(0,0,{\mathrm{\ω}}_c)}^T$

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{gg}={(0,0,{\mathrm{\ω}}_g)}^T$

珩磨轮在接触点处的线速度为

${\stackrel{\→}{v}}_{cc}={\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{cc}\×{\stackrel{\→}{r}}_{1c}={(-y_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,x_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,0)}^T$

被加工齿轮在接触点的线速度为

${\stackrel{\→}{v}}_{gg}={\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{gg}\×{\stackrel{\→}{r}}_{2g}={(-y_{2g}{\mathrm{\ω}}_g,x_{2g}{\mathrm{\ω}}_g,0)}^T$

将珩磨轮在接触点的速度由S_c坐标系转化到S_g坐标系中，

${\stackrel{\→}{v}}_{cg}=M_{gc}{\stackrel{\→}{v}}_{cc}=(y_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,-x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}cos\mathrm{\λ},x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}sin\mathrm{\λ})$

那么接触点处的相对速度 ${\stackrel{\→}{v}}_{12g}$ 为

${\stackrel{\→}{v}}_{cgg}={\stackrel{\→}{v}}_{cg}-{\stackrel{\→}{v}}_{gg}=\left(\begin{array}{c}{y}_{1c}{\mathrm{\ω}}_c+y_{2g}{\mathrm{\ω}}_g\\ -x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}cos\mathrm{\λ}-x_{2g}{\mathrm{\ω}}_g\\ x_{1c}{\mathrm{\ω}}_c\sin \mathrm{\λ}\end{array}\right)$

在S_g坐标系中，被加工齿面的法向量为n_2g。在齿面上一点处的切向量有无数条，利用齿面方程对齿面参数θ₂求导，可以得到一个切矢量与和都垂直的方向向量

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}={\stackrel{\→}{n}}_{2g}\×{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}$

也是齿面的一条切向量，与张成一个接触点处的切平面。和相互垂直，并且都是单位向量，在接触点处构成了一个新的直角坐标系S_t。

在坐标系S_t中，由于沿着齿面法向的速度并不起到切削的作用，因此只研究速度在切平面内的投影。被加工齿轮的速度和珩磨轮的速度在与方向上的投影分别为

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}={\stackrel{\→}{v}}_{cg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}& {\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}l}={\stackrel{\→}{v}}_{cg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}={\stackrel{\→}{v}}_{gg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}& {\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}={\stackrel{\→}{v}}_{gg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}\end{array}$

因此，珩磨轮的速度v_c在切平面上的投影与的夹角为 ${\mathrm{\ψ}}_{cg}=\arccos \frac{\left|{\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}l}\right|}{\left|{\stackrel{\→}{v}}_{ct}\right|}.$ 被加工齿轮的速度v_g在切平面上的投影 $\left|{\stackrel{\→}{v}}_{gt}\right|=\sqrt{{\left({\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}\right)}^2+{\left({\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}\right)}^2},{\stackrel{\→}{v}}_{gt}$ 与的夹角为 ${\mathrm{\ψ}}_{gg}=\arccos \frac{\left|{\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}\right|}{\left|{\stackrel{\→}{v}}_{gt}\right|}.$

(2)计算a_p

两个鼓形圆柱相交部分，除去已经被磨削的部分，即为切屑近似模型，事实上这个切屑模型为相交部分的四分之一，如图4所示。

将近似模型沿着轴向分割成无限小切片，那么每一层切片可看做一个外圆磨模型。每个小模型中，磨削深度最大的位置是在过两个轴线的平面上。不同切削宽度位置的磨削深度分布在过两个轴线的平面与切屑近似模型相交的截面上，某磨削宽度位置b_i处的磨削深度为a_pi，几何关系如图所示。

图中，因为A_cB_c远小于直径，这个公式可以简化为

$b_i^2\≈2r_{c\mathrm{\Γ}1}{A}_c{B}_c$

即

$A_c{B}_c\≈b_i^2/2r_{c\mathrm{\Γ}1}$

同理，

$A_g{B}_g\≈b_i^2/2r_{g\mathrm{\Γ}1}$

综上所述

$\begin{array}{c}{a}_{pi}=a_p-A_c{B}_c-A_g{B}_g\\ =a_p-b_i^2(1/2r_{c\mathrm{\Γ}1}-1/2r_{g\mathrm{\Γ}1})\end{array}$

上述公式中，r_cΓ1和r_gΓ1是未知的。

根据S1节中分析可知，r_cΓ1和r_gΓ1是分别为珩磨轮和被加工齿轮的齿面在接触点处于相对速度垂直的方向上的曲率半径。

(3)计算d_e

在磨削力模型当中，与砂轮和工件几何尺寸相关的参数为当量直径d_e，无论是哪种类型的磨削过程，都有一个对应的当量直径。根据外圆磨当量直径公式通过公式，可以看出与当量直径相关的砂轮和工件的几何尺寸为各自的半径，d_s和d_w分别对应着S1中建立的近似模型中接触点处的曲率半径r_gΓ和r_cΓ。曲率半径为曲率的倒数，因此需要求得曲率半径r_gΓ和r_cΓ分别对应的法曲率k_gΓ和k_cΓ。

当近似模型中，当量直径为

$d_e=\frac{2r_{c\mathrm{\Γ}}{r}_{g\mathrm{\Γ}}}{r_{c\mathrm{\Γ}}+r_{g\mathrm{\Γ}}}$

实际接触时，接触区域很小，可以认为在接触区域内所有位置的当量直径变化很小，因此可以把接触点的当量直径近似看做接触区域的当量直径。

S3.计算磨削力

磨齿过程被类比成S1中提出的磨削近似模型，在近似模型当中，每一个垂直于轴的截面都可以看做外圆磨，那么根据G.Wener的模型有

F′_n＝K′_n[c₁]^γ[v_gt/v_ct]^2ε-1[a_pi]^ε[d_e]^1-ε

在同一接触点，切屑磨削宽度上不同位置的v_gt、v_ct和d_e可认为是相同的，沿着磨削宽度不同位置的磨削深度是变化的，那么接触位置法向磨削力的模型可以表示为，

$F_n=\underset{o}{\overset{b_a}{\∫}}{F}_n^{\′}{\mathrm{db}}_i$

将单位宽度上磨削力模型带入上述公式，并进行积分，可以得到

F_n＝K_n[c₁]^γ[v_gt/v_ct]^2ε-1[d_e]^1-ε{[a_p]^ε+1-[a_p-k_pb_a ²]^ε+1}

其中 $k_p=1/2r_{c\mathrm{\Γ}1}-1/2r_{g\mathrm{\Γ}1},K_n=\frac{K_n^{\′}}{2k_p(\mathrm{\ϵ}+1)}.$

Claims (2)

1.蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型，其特征在于：首先，根据蜗杆状砂轮磨齿过程中，接触点处珩磨轮和工件的几何形状和速度关系，建立一个近似模型；其次，以近似模型为基础建立切屑模型，计算出磨削过程中速度、磨削厚度和当量直径；最后，以近似模型为基础，建立间齿珩磨磨削力模型；这种磨削力模型适用于蜗杆砂轮磨齿和间齿珩齿加工方法；

具体步骤如下：

S1.建立磨齿过程近似模型

磨齿过程中，被加工齿轮的理论齿面与砂轮表面为空间交错轴啮合，接触情况为点接触，坐标系如图1，其中S_c(O_c-X_c,Y_c,Z_c)和S_g(O_g-X_g,Y_g,Z_g)分别是砂轮和被加工齿轮所在的静止坐标系，S_c和S_g分别为砂轮和被加工齿轮的坐标系名称，O_c和O_g分别为砂轮和被加工齿轮的对称中心，Z_c和Z_g分别与砂轮和被加工齿轮的轴线重合，X_cO_cY_c平面为砂轮齿宽中点的轴截面所在平面，X_gO_gY_g平面为被加工齿轮齿宽中点的轴截面所在平面，l为砂轮沿着被加工齿轮轴线的移动距离；S₁(O₁-X₁,Y₁,Z₁)和S₂(O₂-X₂,Y₂,Z₂)分别是与砂轮和被加工齿轮固连的运动坐标系，S₁和S₂分别为砂轮和被加工齿轮的坐标系名称，O₁和O₂分别与O_c和O_g重合，Z₁和Z₂分别与砂轮和被加工齿轮的轴线重合，和为砂轮与被加工齿轮的转动角度，r_o1和r_o2分别为砂轮与被加工齿轮的工作节圆半径，λ是砂轮与被加工齿轮的轴交角,T是砂轮与被加工齿轮的节点；

根据啮合原理，在接触点处，被加工齿轮的齿面与砂轮表面的相对速度沿着法向的分量为零，被加工齿轮的速度v_g在切平面上的投影v_gt和珩磨轮的速度v_c在切平面上的投影v_ct共线；v_gt和v_ct是产生切削作用的速度，分别对应着磨削原理中工件速度和砂轮速度；过v_gt和v_ct所在直线做一个平面Σ，该平面同时经过接触点法向，平面Σ分别于被加工齿轮的理论齿面与珩磨轮表面相交，得到两条交线Γ_g和Γ_c，这两条曲线在接触点出的曲率半径分别为r_gΓ和r_cΓ；将接触点处的运动类比外圆磨削，分别以曲率半径r_gΓ和r_cΓ为工件和砂轮的半径，建立近似模型；

在实际接触中，被加工齿轮与珩磨轮并非点接触，由于存在磨削余量，实际接触过程为面接触；为更符合实际情况，将类比被加工齿轮与砂轮的两个圆柱设计成中鼓形状，中鼓形状为圆弧；v_gt和v_ct所在直线垂直做一个平面Σ₁，该平面同时经过接触点法向，平面Σ₁分别于被加工齿轮的理论齿面与珩磨轮表面相交，得到两条交线Γ_g1和Γ_c1，这两条曲线在接触点出的曲率半径分别为r_gΓ1和r_cΓ1；

沿着轴向，将上述模型进行无限分割，每两个分割界面之间的部分，能够被看做外圆磨削过程，因此，利用G.Wener提出的磨削力模型，建立每一个分割部分的外圆磨削力模型，对整个磨削宽度范围内的磨削力进行积分，便能够获得当前接触点处的磨削力；G.Wener的磨削力F′_n的模型为

F′_n＝K′_n[c₁]^γ[v_w/v_s]^2ε-1[a_p]^ε[d_e]^1-ε

其中，v_w和v_s分别为被加工齿轮和砂轮的速度，a_p为磨削厚度，d_e为当量直径，K′为单位切削面积的磨削力，c₁是与磨刃密度有关的系数，γ和ε是与磨刃在砂轮圆周表面的分布有关的指数；

S2.计算磨齿过程中近似外圆磨过程的v_w、v_s、a_p和d_e

(1)计算v_w和v_s

根据S1中所述，被加工齿轮的速度在切平面上的投影(即v_w)和珩磨轮的速度在切平面上的投影(即v_w)是产生切削的速度，因此需要根据间齿啮合模型推导这两个速度分量；

加工过程中砂轮转速为ω_c，被加工齿轮转速为ω_g，因此砂轮在S_c坐标系中的转速和被加工齿轮在S_g坐标系中的转速为

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{cc}={(0,0,{\mathrm{\ω}}_c)}^T$

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{gg}={(0,0,{\mathrm{\ω}}_g)}^T$

S_c坐标系中，珩磨轮在接触点处的线速度为

${\stackrel{\→}{v}}_{cc}={\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{cc}\×{\stackrel{\→}{r}}_{1c}={(-y_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,x_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,0)}^T$

在S_g坐标系中，被加工齿轮在接触点的线速度为

${\stackrel{\→}{v}}_{gg}={\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{gg}\×{\stackrel{\→}{r}}_{2g}={(-y_{2g}{\mathrm{\ω}}_g,x_{2g}{\mathrm{\ω}}_g,0)}^T$

将珩磨轮在接触点的速度由S_c坐标系转化到S_g坐标系中，

${\stackrel{\→}{v}}_{cg}=M_{gc}{\stackrel{\→}{v}}_{cc}=(y_{1c}{\mathrm{\ω}}_c,-x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}cos\mathrm{\λ},x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}sin\mathrm{\λ})$

那么接触点处的相对速度为

${\stackrel{\→}{v}}_{cgg}={\stackrel{\→}{v}}_{cg}-{\stackrel{\→}{v}}_{gg}=\left(\begin{array}{c}{y}_{1c}{\mathrm{\ω}}_c+y_{2g}{\mathrm{\ω}}_g\\ -x_{1c}{\mathrm{\ω}}_{c}cos\mathrm{\λ}-x_{2g}{\mathrm{\ω}}_g\\ x_{1c}{\mathrm{\ω}}_c\sin \mathrm{\λ}\end{array}\right)$

在S_g坐标系中，被加工齿面的法向量为n_2g；在齿面上一点处的切向量有无数条，利用齿面方程对齿面参数θ₂求导，得到一个切矢量与和都垂直的方向向量

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}={\stackrel{\→}{n}}_{2g}\×{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}$

也是齿面的一条切向量，与张成一个接触点处的切平面；和相互垂直，并且都是单位向量，在接触点处构成了一个新的直角坐标系S_t；

在坐标系S_t中，由于沿着齿面法向的速度并不起到切削的作用，因此只研究速度在切平面内的投影；被加工齿轮的速度和珩磨轮的速度在与方向上的投影分别为

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}={\stackrel{\→}{v}}_{cg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}& {\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}l}=\stackrel{\→}{v}{c}_{cg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}={\stackrel{\→}{v}}_{gg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{\θ}2g}& {\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}=\stackrel{\→}{v}{c}_{gg}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\ρ}}}_{l2g}\end{array}$

因此，珩磨轮的速度v_c在切平面上的投影 与的夹角为 ${\mathrm{\ψ}}_{cg}=\arccos \frac{\left|{\stackrel{\→}{v}}_c^{\mathrm{\ρ}l}\right|}{\left|{\stackrel{\→}{v}}_{ct}\right|};$ 被加工齿轮的速度v_g在切平面上的投影 $\left|{\stackrel{\→}{v}}_{gt}\right|=\sqrt{{\left({\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}\mathrm{\θ}2}\right)}^2+{\left({\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}\right)}^2},$ 与的夹角为 ${\mathrm{\ψ}}_{gg}=\arccos \frac{\left|{\stackrel{\→}{v}}_g^{\mathrm{\ρ}l}\right|}{\left|{\stackrel{\→}{v}}_{gt}\right|};$

(2)计算a_p

两个鼓形圆柱相交部分，除去已经被磨削的部分，即为切屑近似模型，事实上这个切屑模型为相交部分的四分之一；

将近似模型沿轴向分割成无限小切片，那么每一层切片为一个外圆磨模型；每个小外圆磨模型中，磨削深度最大的位置是在过两个轴线的平面上；不同切削宽度位置的磨削深度分布在过两个轴线的平面与切屑近似模型相交的截面上，某磨削宽度位置b_i处的磨削深度为a_pi；

b_i ²＝A_cB_c(2r_cΓ1-A_cB_c)，b_i为线段C_cC_g到线段O_gΓ1O_cΓ1的距离，因为线段A_cB_c远小于直径，这个公式简化为

$b_i^2\≈2r_{\mathrm{c\Γ}1}{A}_c{B}_c$

即

$A_c{B}_c\≈b_i^2/2r_{\mathrm{c\Γ}1}$

同理线段A_gB_g，

$A_g{B}_g\≈b_i^2/2r_{\mathrm{g\Γ}1}$

综上所述，磨削厚度a_pi为

$\begin{array}{c}{a}_{\mathrm{pi}}=a_p-A_c{B}_c-A_g{B}_g\\ =a_p-b_i^2(1/2r_{\mathrm{c\Γ}1}-1/2r_{\mathrm{g\Γ}1})\end{array}$

上述公式中，r_cΓ1和r_gΓ1是未知的，a_p为最大磨削厚度；

根据S1节中分析可知，r_cΓ1和r_gΓ1是分别为珩磨轮和被加工齿轮的齿面在接触点处于相对速度垂直的方向上的曲率半径；

(3)计算d_e

在磨削力模型当中，与砂轮和工件几何尺寸相关的参数为当量直径d_e，无论是哪种类型的磨削过程，都有一个对应的当量直径；根据外圆磨当量直径公式通过公式看出与当量直径相关的砂轮和工件的几何尺寸为各自的半径，d_s和d_w分别对应着S1中建立的近似模型中接触点处的曲率半径r_gΓ和r_cΓ；曲率半径为曲率的倒数，因此需要求得曲率半径r_gΓ和r_cΓ分别对应的法曲率k_gΓ和k_cΓ；

当近似模型中，当量直径d_e为

$d_e=\frac{2r_{c\mathrm{\Γ}}{r}_{g\mathrm{\Γ}}}{r_{c\mathrm{\Γ}}+r_{g\mathrm{\Γ}}}$

实际接触时，接触区域很小，在接触区域内所有位置的当量直径变化很小，因此把接触点的当量直径近似看做接触区域的当量直径；

S3.计算磨削力

磨齿过程被类比成S1中提出的磨削近似模型，在近似模型当中，每一个垂直于轴的截面都看做外圆磨，那么根据G.Wener的模型有

F′_n＝K′_n[c₁]^γ[v_gt/v_ct]^2ε-1[a_pi]^ε[d_e]^1-ε

在同一接触点，切屑磨削宽度上不同位置的v_gt、v_ct和d_e是相同的，沿着磨削宽度不同位置的磨削深度是变化的，那么接触位置法向磨削力的模型表示为，

$F_n=\underset{o}{\overset{b_a}{\∫}}{F}_n^{\′}{\mathrm{db}}_i$

将单位宽度上磨削力模型带入上述公式，并进行积分，并得到

$F_n=K_n{\[c_1\]}^{\mathrm{\γ}}{\[v_{gt}/v_{ct}\]}^{2\mathrm{\ϵ}-1}{\[d_e\]}^{1-\mathrm{\ϵ}}\left\{{\[a_p\]}^{\mathrm{\ϵ}+1}-{\[a_p-k_p{b}_a^2\]}^{\mathrm{\ϵ}+1}\right\}$

其中k_p＝1/2r_cΓ1-1/2r_gΓ1，

2.根据权利要求1所述的蜗杆状砂轮磨齿的磨削力模型，其特征在于：所述的磨削力模型适用于蜗杆砂轮磨齿和间齿珩齿加工方法。