CN105136031A - 一种五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其包括如下步骤：在五轴联动机床的主轴上安装激光位移传感器，并在其工作台上安装三个不共线的标定球，设定标定球的齐次坐标表达式；分别以摆动轴A和回转轴C为标定轴，利用激光位移传感器测量摆动轴A及回转轴C在不同转角时，各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差；根据标定球圆心的位置偏差及标定球的齐次坐标表达式，计算获得摆动轴A和回转轴C的几何误差值。本发明利用斜曲面建立待测刚体X、Y、Z三个方向位置偏差的映射关系，将X、Y、Z三个维度的平移映射为单一维度的距离变化，在一次装卡的同时实现了连续采样，具有测量效率高、精度高等优点。

Description

一种五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法

技术领域

本发明属于机床旋转轴几何误差测量技术领域，更具体地，涉及一种五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法。

背景技术

五轴联动数控机床是目前解决叶轮、叶片、船用螺旋桨、重型发电机转子、汽轮机转子、大型柴油机曲轴等复杂零件加工的唯一手段，其在工业领域得到一定范围的应用。然而五轴联动数控机床在高速、高精、智能等性能方面，存在加工精度差、误差大等问题。机床的几何误差是产生零件加工误差的主要原因之一，几何误差为系统误差，具有良好的重复性，可以通过软件补偿而大大减小，而五轴联动机床由于引入了旋转轴，结构更为复杂，几何误差分量更多，其除了三个直线轴的21项误差外，还包括两个旋转轴引入的12项误差、两个旋转轴和空间平面之间的4项平行度误差以及由主轴运动引入的5项误差，因此采用现有的软件补偿方式对五轴联动机床的几何误差进行测量和补偿，特别是两个旋转轴几何误差的测量更为困难。

目前，针对五轴联动机床旋转轴几何误差的测量方法可分为离散式一次装卡测量和连续式多次装卡测量。离散式一次装卡测量方法采用了离散式测量仪器如触发式测头进行目标点坐标值的采集，基于微分运动方程及雅可比矩阵建立机床空间误差模型，并在此基础上完成旋转轴几何误差值的求解，该方法在一次装卡的前提下完成了整个测量流程，中途无需二次装卡，具有较高的测量效率。连续式多次装卡测量方法是采用连续式测量设备如接触式跟踪球、非接触式跟踪球、双球杆仪或多普勒激光干涉仪，多次装卡完成整个测量流程，进而利用机床空间误差模型求解出旋转轴几何误差值，该方法采用了连续式测量仪器，提高了几何误差的测量精度。

然而，进一步的研究，上述现有技术仍然存在以下的缺陷或不足：一方面，采用离散式测量仪器时，其测量精度受到旋转轴采样点分布密度的限制，测量精度低；另一方面，采用连续式测量仪时，通常将两端分别连接于主轴和工作台，而误差传导部分采用静态连接方式，即传感器形状外观保持不变，但一个刚体的空间位姿至少需要三个不共线点来确定，因此受限于误差传导部分静态连接的运动约束，其需多次装卡测量仪器才能执行整个测量流程，测量效率受到较大限制。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其中结合五轴联动机床旋转轴自身的特点，相应的设计了适合用于连续测量其几何误差的方法，其中利用斜曲面建立待测刚体X、Y、Z三个方向位置偏差的映射关系，将X、Y、Z三个维度的平移映射为单一维度的距离变化，在一次装卡的同时实现了连续采样，具有测量效率高、精度高等优点，因而尤其适用于五轴联动机床旋转轴几何误差测量等场合。

为实现上述目的，本发明提出了一种五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)在所述五轴联动机床的主轴上安装激光位移传感器并进行调试；在所述五轴联动机床的回转式工作台上安装三个不共线的标定球，其中，待测的五轴联动机床旋转轴包括摆动轴A和回转轴C；以所述五轴联动机床的坐标系为基准，设定所述标定球的齐次坐标表达式；

(2)以所述摆动轴A为标定轴，利用所述激光位移传感器测量所述摆动轴A在不同转角时，所述各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差；

(3)以所述回转轴C为标定轴，利用所述激光位移传感器测量所述回转轴C在不同转角时，所述各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差；

(4)根据步骤(2)和(3)获得的测量结果，并结合所述标定球的齐次坐标表达式，计算获得所述摆动轴A和回转轴C的几何误差值，以此方式，完成五轴联动机床旋转轴的几何误差的连续测量。

作为进一步优选的，所述摆动轴A与所述五轴联动机床的X直线轴平行，所述回转轴C与所述五轴联动机床的Z直线轴平行，所述摆动轴A控制所述五轴联动机床的摇篮式摆动台的摆动，所述回转轴C控制所述五轴联动机床的回转式工作台的转动。

作为进一步优选的，所述三个不共线的标定球采用如下方式进行安装：将所述三个标定球分别安装于所述回转式工作台上使各球的球杆垂直于回转式工作台的上表面，其中，各球的球心到回转式工作台上表面的距离等于摆动轴A的轴线到回转式工作台上表面的距离；此外，所述三个标定球的球心分别位于一等边三角形的三个顶点上，该等边三角形以所述摆动轴A的轴线与回转轴C的轴线的交点为中心，且其边长等于所述回转式工作台台面半径的1.5倍。

作为进一步优选的，所述标定球的齐次坐标表达式采用如下方式设定：令P(A_i,C_j,k)代表第k个标定球球心在机床坐标系中的坐标，其中k＝1、2、3，i、j分别为摆动轴A和回转轴C在扫描过程中的采样点个数；将所述摆动轴A和回转轴C旋转至零位置，用所述激光位移传感器从Z方向扫描三个标定球的球面，进而获得三个标定球的球心在机床坐标系中的初始位置P(0,0,1)、P(0,0,2)、P(0,0,3)；计算经过上述三个初始位置的圆的圆心坐标O，设定O为新坐标系原点，令第k个标定球的球心在新坐标系下的齐次坐标表达式为：

$M_k=\left[\begin{array}{c}{m}_x\left(k\right)\\ m_y\left(k\right)\\ m_z\left(k\right)\\ 1\end{array}\right].$

作为进一步优选的，以所述摆动轴A为标定轴，测量所述各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差的具体步骤如下；

(1)旋转摆动轴A和回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，使所

述激光位移传感器的光束定位于所述标定球的球心坐标系点处，其中R为标定球的半径，读取所述激光位移传感器的扫描值L_A1(0,0,k)；然后使摆动轴A从90°旋转至-90°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_A1(i,0,k)；令△x_A(i，0，k)、△y_A(i，0，k)、△z_A(i,0,k)分别表示标定球k的球心在A＝A_i、C＝0°时，相对于初始位置A＝0°、C＝0°在X、Y、Z方向上的偏移，获得如下方程：

-Δx_A(i,0,k)+Δy_A(i,0,k)-Δz_A(i,0,k)＝L_A1(i,0,k)-L_A1(0,0,k)；

(2)再次旋转摆动轴A至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于球心坐标系(0,0,R)点处，读取所述激光位移传感器的扫描值L_A2(0,0,k)；然后使摆动轴A从90°旋转至-90°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_A2(i,0,k)，获得如下方程：

-Δz_A(i,0,k)＝L_A2(i,0,k)-L_A2(0,0,k)；

(3)再次旋转摆动轴A至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于球心坐标系(-Rcos45°,0,Rcos45°)点处，读取所述激光位移传感器的扫描值L_A3(0,0,k)；然后使摆动轴A从90°旋转至-90°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_A3(i,0,k)，获得如下方程：Δx_A(i,0,k)-Δz_A(i,0,k)＝L_A3(i,0,k)-L_A3(0,0,k)；

(4)根据步骤(1)-(3)中获得的方程求得△x_A(i,0,k)、△y_A(i,0,k)、△z_A(i,0,k)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A3}\left(i,0,k\right)-L_{A3}\left(0,0,k\right)+L_{A2}\left(0,0,k\right)-L_{A2}\left(i,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δy}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A1}\left(i,0,k\right)-L_{A1}\left(0,0,k\right)+L_{A3}\left(i,0,k\right)-L_{A3}\left(0,0,k\right)\\ +2L_{A2}\left(0,0,k\right)-2L_{A2}\left(i,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δz}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A2}\left(0,0,k\right)-L_{A2}\left(i,0,k\right)\end{array}\right..$

作为进一步优选的，以所述回转轴C为标定轴，测量所述各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差的具体步骤如下；

(1)旋转摆动轴A和回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于所述标定球的球心坐标系点处，其中R为标定球的半径，读取所述激光位移传感器的扫描值L_C1(0,0,k)；然后使回转轴C从0°旋转至360°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_C1(0,j,k)；令△x_C(0,j,k)、△y_C(0,j,k)、△z_C(0,j,k)分别表示标定球k的球心在C＝C_j、A＝0°时，相对于初始位置C＝0°、A＝0°在X、Y、Z方向上的偏移，获得如下方程：-Δx_C(0,j,k)+Δy_C(0,j,k)-Δz_C(0,j,k)＝L_C1(0,j,k)-L_C1(0,0,k)；

(2)再次旋转回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于球心坐标系(Rcos45°,0,Rcos45°)点处，读取所述激光位移传感器的扫描值L_C2(0,0,k)；然后使回转轴C从0°旋转至360°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_C2(0,j,k)，获得如下方程：-Δx_C(0,j,k)-Δz_C(0,j,k)＝L_C2(0,j,k)-L_C2(0,0,k)；

(3)再次旋转回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于球心坐标系(0,0,R)点处，读取所述激光位移传感器的扫描值L_C3(0,0,k)；然后使回转轴C从0°旋转至360°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_C3(0,j,k)，获得如下方程：-Δz_C(0,j,k)＝L_C3(0,j,k)-L_C3(0,0,k)；

(4)根据步骤(1)-(3)中获得的方程求得△x_C(0,j,k)、△y_C(0,j,k)、△z_C(0,j,k)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C2}\left(0,0,k\right)-L_{C2}\left(0,j,k\right)-L_{C3}\left(0,0,k\right)+L_{C3}\left(0,j,k\right)\\ {\mathrm{\Δy}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C2}\left(0,0,k\right)-L_{C2}\left(0,j,k\right)-L_{C3}\left(0,0,k\right)+L_{C3}\left(0,j,k\right)\\ +L_{C3}\left(0,0,k\right)-L_{C3}\left(0,j,k\right)L_{C1}\left(0,j,k\right)-L_{C1}\left(0,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δz}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C3}\left(0,0,k\right)-L_{C3}\left(0,j,k\right)\end{array}\right..$

作为进一步优选的，所述摆动轴A的几何误差值具体采用如下方式进行计算：

(1)令^YE_A为摆动轴A坐标系到五轴联动机床的Y轴坐标系的齐次坐标变换矩阵，则

${E_Y}_A=\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\β}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\δ}}_{xAY}\left(A_i\right)\\ {\mathrm{\γ}}_{AY}\left(A_i\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\δ}}_{yAY}\left(A_i\right)\\ -{\mathrm{\β}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\α}}_{AY}\left(A_i\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{zAY}\left(A_i\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

(2)令D_Ai表示绕机床坐标系X轴的旋转矩阵，则

$D_{A_i}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\left(A_i\right)& -sin\left(A_i\right)& 0\\ 0& sin\left(A_i\right)& \cos \left(A_i\right)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

(3)以五轴联动机床空间几何误差模型为依据，获得如下矩阵方程： ${E_Y}_A\·D_{A_i}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_A\left(i,0,k\right),{\mathrm{\Δy}}_A\left(i,0,k\right),{\mathrm{\Δz}}_A\left(i,0,k\right),1\]}^T;$ 采用式所示的最小二乘法求解所述矩阵方程 ${E_Y}_A\·D_{A_i}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_A\left(i,0,k\right),{\mathrm{\Δy}}_A\left(i,0,k\right),{\mathrm{\Δz}}_A\left(i,0,k\right),1\]}^T,$ 最终求得所述摆动轴A的几何误差参数值。

作为进一步优选的，所述回转轴C的几何误差值具体采用如下方式进行计算：

(1)令^AE_C为回转轴C坐标系到五轴联动机床A轴坐标系的齐次坐标变换矩阵，则

${E_A}_C=\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\β}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\δ}}_{xCA}\left(C_j\right)\\ {\mathrm{\γ}}_{CA}\left(C_j\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\δ}}_{yCA}\left(C_j\right)\\ -{\mathrm{\β}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\α}}_{CA}\left(C_j\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{zCA}\left(C_j\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

(2)令D_Cj表示绕机床坐标系Z轴的旋转矩阵，则

$D_{C_j}=\left[\begin{array}{cccc}cos\left(C_j\right)& -sin\left(C_j\right)& 0& 0\\ sin\left(C_j\right)& \cos \left(C_j\right)& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

(3)以五轴联动机床空间几何误差模型为依据，获得如下矩阵方程： ${E_A}_C\·D_{C_j}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δy}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δz}}_C\left(0,j,k\right),1\]}^T;$ 采用如式所示的最小二乘法求解矩阵方程 ${E_A}_C\·D_{C_j}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δy}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δz}}_C\left(0,j,k\right),1\]}^T,$ 最终求得所述回转轴C的几何误差参数值。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，主要具备以下的技术优点：

1.本发明的五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法使用传感器结合三个不共线设置的标定球，利用斜曲面建立待测刚体X、Y、Z三个方向位置偏差的映射关系，将X、Y、Z三个维度的平移映射为单一维度的距离变化，从而实现了用一维测量仪器辨识旋转轴上相关联刚体的三维运动信息。采用本发明的测量方法，能够建立一维测量结果与球心三维位置偏差间的映射关系，实现用一维传感器从同一采集方向获取三维误差信息，使整个过程无需多次变换传感器的装卡位姿即可完成，提高了测量效率。

2.本发明还对传感器的测量轨迹进行研究与设计，能够实现三个标定球球心位置在旋转轴旋转过程中的连续采集，采用了较离散测量更高的采样频率，提高了测量精度。

3.本发明还建立了五轴联动机床空间误差模型、几何误差求解算法，可避免在各旋转轴零位置处几何误差冗余值的分析，简化了求解过程，加工时以本发明测量中新建工件坐标系为加工坐标系，求解结果可直接用于加工补偿，测量效率高。

附图说明

图1是激光位移传感器对中装置示意图；

图2是标定球安装位置示意图；

图3是新建工件坐标系前的标定球球面扫描轨迹；

图4是A轴几何误差测量示意图；

图5是激光光束在标定球上的扫描轨迹分布示意图；

图6是C轴几何误差测量示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明的目的主要通过如下方法实现：首先选用激光位移传感器(laserdisplacementsensor，LDS)作为测量仪器，其特性既能满足连续测量的需求，又具备误差传导部分是动态连接的特点；然后，为解决激光位移传感器一维测量的特点与三维测量需求间的矛盾，利用斜曲面建立待测刚体X、Y、Z三个方向位置偏差的映射关系，将X、Y、Z三个维度的平移映射为单一维度的距离变化，从而实现了用一维测量仪器辨识旋转轴上相关联刚体的三维运动信息；最后，在此基础上，利用五轴联动机床空间误差模型反求出旋转轴的六维几何误差信息，以一次装卡测量为前提建立了一维测量仪器到两组六维几何误差的映射关系。

本发明的一种五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其具体包括如下步骤：

(1)在五轴联动机床的主轴1上安装激光位移传感器并进行调试；在五轴联动机床的回转式工作台上安装三个不共线的标定球8，其中，待测的五轴联动机床旋转轴包括摆动轴A和回转轴C；以五轴联动机床的坐标系为基准，设定标定球的齐次坐标表达式。其中，待测轴为双转台结构五轴联动机床中旋转轴A6(与机床的X方向平行)和旋转轴C7(与机床的Z方向平行)，旋转轴A6控制摇篮式摆动台9的摆动，旋转轴C7控制回转式工作台10的转动，旋转轴C7安装于摇篮式摆动台的台面。

(2)以摆动轴A为标定轴，利用激光位移传感器测量摆动轴A在不同转角时，各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差：以摆动轴A为待标定轴，以标定球球心在X、Y、Z中某一方向的位置偏差为待测误差，以五轴联动机床X、Y、Z三个直线轴的联动坐标为测量基准，以RTCP刀具中心点控制功能约束测量轨迹，使摆动轴A在从正限位旋转至负限位的过程中，Y、Z轴联动控制激光位移传感器绕摆动轴A做圆弧运动，在机床坐标系中光束与标定球球面交点始终保持在相对于球心的指定位置(测量标定球球心X、Y、Z方向位置偏差时分别有不同的指定位置)，重复上述过程相继获得摆动轴A在不同转角时各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差；

(3)以回转轴C为标定轴，利用激光位移传感器测量回转轴C在不同转角时，各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差：以回转轴C为待标定轴，以标定球球心在X、Y、Z中某一方向的位置偏差为待测误差，以五轴联动机床X、Y、Z三个直线轴的联动坐标为测量基准，以RTCP刀具中心点控制功能约束测量轨迹，使回转轴C在从0°旋转至360°的过程中，X、Y轴联动控制激光位移传感器绕回转轴C做圆弧运动，在机床坐标系中光束与标定球球面交点始终保持在相对于球心的指定位置(测量标定球球心X、Y、Z方向位置偏差时分别有不同的指定位置)，重复上述过程相继获得回转轴C在不同转角时，各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差；

(4)几何误差计算：根据步骤(2)和(3)获得的测量结果，并根据标定球的齐次坐标表达式，以五轴联动机床空间误差模型为理论依据，反算出回转轴C和摆动轴A的十二项几何误差值，以此方式，完成五轴联动机床旋转轴的几何误差的连续测量。

具体的，如图1所示，激光位移传感器采用如下方式进行调试：利用如图1所示装置3将激光位移传感器安装于机床的主轴1上，使其光束4与调试试件5的斜面相交，旋转主轴1，记录激光位移传感器所测距离值的变化并依此调节装置上的四个螺钉2，再次旋转主轴，记录激光位移传感器所测距离值的变化并依此调节装置上的四个螺钉，重复上述调节过程直至主轴旋转过程中激光位移传感器所测距离值变化范围在±1μm以内，至此认为激光位移传感器光束与机床主轴同轴。

具体的，如图2所示，三个不共线的标定球采用如下方式进行安装：首先根据机床装配手册及出厂文件，获得摆动轴A的轴线到工作台上表面的距离值，依此设定标定球及球杆尺寸，将三个标定球分别安装于工作台上使各球杆均垂直于工作台上表面，各球心到工作台上表面距离均等于摆动轴A的轴线到工作台上表面距离。根据机床装配手册及出厂文件，获得摆动轴A的轴线与回转轴C的轴线理论上的交点位置，安装三个标定球时，使三个球心分别位于以上述交点为中心的等边三角形三个顶点上，且等边三角形边长为转台台面半径的1.5倍。

具体的，采用如下方式设定标定球的齐次坐标表达式：令P(A_i,C_j,k)代表第k个标定球球心在机床坐标系中的坐标(k＝1,2,3，i、j分别为A轴和C轴在扫描过程中的采样点个数，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n)，将A、C轴旋转至0位置(即机床回零点后A、C轴的位置)，用激光位移传感器从Z方向用图3所示轨迹扫描三个标定球球面，扫描时Z直线轴坐标指令根据选用的激光位移传感器使用手册设定为最佳测量距离，Z＝Z₀，根据扫描过程中X、Y轴的坐标指令以及扫描结果，拟合获得三个标定球球面轮廓，从而获得球心在机床坐标系中的初始位置P(0,0,1)、P(0,0,2)、P(0,0,3)，计算经过此三点的圆的圆心坐标O，设定O为新的工件坐标系原点，如图2所示，令第k个标定球球心在新工件坐标系下的齐次坐标表达式为：

$M_k=\left[\begin{array}{c}{m}_x\left(k\right)\\ m_y\left(k\right)\\ m_z\left(k\right)\\ 1\end{array}\right].$

下面将对摆动轴A几何误差的测量方法进行具体详细的说明，包括以下步骤：

(1)旋转摆动轴A和回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，调整机床的直线轴坐标指令使光束定位于球心坐标系点处，此时机床X、Y、Z直线轴在新工件坐标系下的坐标指令应分别为读取激光位移传感器的扫描值L_A1(0,0,k)；如图4，启用五轴联动机床的RTCP运动功能，使摆动轴A从90°旋转至-90°，此扫描过程中光束与球面交点轨迹如图5的标定摆动轴A时扫描轨迹11，读取激光位移传感器的扫描值序列L_A1(i,0,k)；令△x_A(i,0,k)、△y_A(i,0,k)、△z_A(i,0,k)分别表示标定球k的球心在A＝A_i及C＝0°时，相对于初始位置(A＝A₀＝0°、C＝C₀＝0°)在X、Y、Z方向上偏移，则有如下关系式：

-Δx_A(i,0,k)+Δy_A(i,0,k)-Δz_A(i,0,k)＝L_A1(i,0,k)-L_A1(0,0,k)。

(2)再次旋转摆动轴A至0°，以标定球k为扫描对象，调整机床直线轴坐标指令使光束定位于球心坐标系(0,0,R)点处，此时X、Y、Z直线轴在新工件坐标系下的坐标指令应分别为m_x(k)、m_y(k)、Z₀，读取激光位移传感器的扫描值L_A2(0,0,k)；如图4，启用五轴联动机床的RTCP运动功能，使摆动轴A从90°旋转至-90°，此扫描过程中光束与球面交点轨迹如图5的标定摆动轴A时扫描轨迹12；读取激光位移传感器的扫描值序列L_A2(i,0,k)，则有如下关系式：-Δz_A(i,0,k)＝L_A2(i,0,k)-L_A2(0,0,k)。

(3)再次旋转摆动轴A至0°，以标定球k为扫描对象，调整直线轴坐标指令使光束定位于球心坐标系(-Rcos45°,0,Rcos45°)点处，此时X、Y、Z直线轴在新工件坐标系下的坐标指令应分别为m_x(k)-Rcos45°、m_y(k)、Z₀，读取激光位移传感器的扫描值L_A3(0,0,k)；启用五轴联动机床的RTCP运动功能，使摆动轴A从90°旋转至-90°，此扫描过程中光束与球面交点轨迹如图5的标定摆动轴A时扫描轨迹13，读取激光位移传感器的扫描值序列L_A3(i,0,k)，则有如下关系式：Δx_A(i,0,k)-Δz_A(i,0,k)＝L_A3(i,0,k)-L_A3(0,0,k)。

(4)联立步骤(2)、(3)、(4)中的方程可求得△x_A(i,0,k)、△y_A(i,0,k)、△z_A(i,0,k)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A3}\left(i,0,k\right)-L_{A3}\left(0,0,k\right)+L_{A2}\left(0,0,k\right)-L_{A2}\left(i,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δy}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A1}\left(i,0,k\right)-L_{A1}\left(0,0,k\right)+L_{A3}\left(i,0,k\right)-L_{A3}\left(0,0,k\right)\\ +2L_{A2}\left(0,0,k\right)-2L_{A2}\left(i,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δz}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A2}\left(0,0,k\right)-L_{A2}\left(i,0,k\right)\end{array}\right..$

(5)令^YE_A为摆动轴A坐标系到Y轴坐标系的齐次坐标变换矩阵，则

${E_Y}_A=\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\β}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\δ}}_{xAY}\left(A_i\right)\\ {\mathrm{\γ}}_{AY}\left(A_i\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\δ}}_{yAY}\left(A_i\right)\\ -{\mathrm{\β}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\α}}_{AY}\left(A_i\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{zAY}\left(A_i\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

令D_Ai表示绕机床坐标系X轴的旋转矩阵，则

$D_{A_i}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\left(A_i\right)& -sin\left(A_i\right)& 0\\ 0& sin\left(A_i\right)& \cos \left(A_i\right)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

以五轴联动机床空间几何误差模型为依据，可得如下矩阵方程：

${E_Y}_A\·D_{A_i}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_A(i,0,k),{\mathrm{\Δy}}_A(i,0,k),{\mathrm{\Δz}}_A(i,0,k),1\]}^T---\left(1\right);$

由于每个A_i处有6个几何误差参数需要求解，而由步骤(4)可在每个A_i处获得三组△x_A(i,0,k)、△y_A(i,0,k)、△z_A(i,0,k)，即矩阵方程(1)为一个超定方程组，此处采用如式(2)所示的最小二乘法进行该方程组的求解，可求得摆动轴A的6个几何误差参数值。

$\underset{{\mathrm{\δ}}_{xAY}\left(A_i\right)~{\mathrm{\γ}}_{AY}\left(A_i\right)}{min}\underset{k=1}{\overset{3}{\Σ}}{\{{E_Y}_A\·D_{A_i}\·M_k-M_k-{\[{\mathrm{\Δx}}_A(i,0,k),{\mathrm{\Δy}}_A(i,0,k),{\mathrm{\Δz}}_A(i,0,k),1\]}^T\}}^2---\left(2\right).$

其中，上述每次扫描轨迹均重复执行4次，扫描结果取平均值。

下面再对回转轴C几何误差的测量方法进行具体详细的说明，包括以下步骤：

(1)旋转摆动轴A、回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，调整机床直线轴坐标指令使光束定位于球心坐标系点处，此时X、Y、Z直线轴在新工件坐标系下的坐标指令应分别为 读取激光位移传感器的扫描值L_C1(0,0,k)；启用五轴联动机床的RTCP运动功能，使回转轴C从0°旋转至360°，如图6所示。光束扫描点在球面形成如图5所示的整圆弧轨迹标定回转轴C时的扫描轨迹14，读取激光位移传感器的扫描值序列L_C1(0,j,k)；令△x_C(0,j,k)、△y_C(0,j,k)、△z_C(0,j,k)分别表示标定球k的球心在C＝C_j及A＝0°时，相对于初始位置(A＝A₀＝0°、C＝C₀＝0°)在X、Y、Z方向上偏移，则有如下关系式：

-Δx_C(0,j,k)+Δy_C(0,j,k)-Δz_C(0,j,k)＝L_C1(0,j,k)-L_C1(0,0,k)。

(2)再次旋转回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，调整直线轴坐标指令使光束定位于球心坐标系(Rcos45°,0,Rcos45°)点处，此时X、Y、Z直线轴在新工件坐标系下的坐标指令应分别为m_x(k)+Rcos45°、m_y(k)、Z₀，读取激光位移传感器的扫描值L_C2(0,0,k)；启用五轴联动机床的RTCP运动功能，使回转轴C从0°旋转至360°，光束扫描点在球面形成如图5所示的半圆弧轨迹标定回转轴C时的扫描轨迹15，读取激光位移传感器的扫描值序列L_C2(0,j,k)，则有如下关系式：

-Δx_C(0,j,k)-Δz_C(0,j,k)＝L_C2(0,j,k)-L_C2(0,0,k)。

(3)再次旋转回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，调整直线轴坐标指令使光束定位于球心坐标系(0,0,R)点处，此时X、Y、Z直线轴在新工件坐标系下的坐标指令应分别为m_x(k)、m_y(k)、Z₀，读取激光位移传感器的扫描值L_C3(0,0,k)；启用五轴联动机床的RTCP运动功能，使回转轴C从0°旋转至360°，光束扫描点在球面形成如图5所示的半圆弧轨迹标定回转轴C时的扫描轨迹14，读取激光位移传感器的扫描值序列L_C3(0,j,k)，则有如下关系式：

-Δz_C(0,j,k)＝L_C3(0,j,k)-L_C3(0,0,k)。

(4)联立步骤(1)-(3)中的方程可求得△x_C(0,j,k)、△y_C(0,j,k)、△z_C(0,j,k)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C2}\left(0,0,k\right)-L_{C2}\left(0,j,k\right)-L_{C3}\left(0,0,k\right)+L_{C3}\left(0,j,k\right)\\ {\mathrm{\Δy}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C2}\left(0,0,k\right)-L_{C2}\left(0,j,k\right)-L_{C3}\left(0,0,k\right)+L_{C3}\left(0,j,k\right)\\ +L_{C3}\left(0,0,k\right)-L_{C3}\left(0,j,k\right)L_{C1}\left(0,j,k\right)-L_{C1}\left(0,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δz}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C3}\left(0,0,k\right)-L_{C3}\left(0,j,k\right)\end{array}\right..$

(5)令^AE_C为回转轴C坐标系到摆动轴A坐标系的齐次坐标变换矩阵，则

${E_A}_C=\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\β}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\δ}}_{xCA}\left(C_j\right)\\ {\mathrm{\γ}}_{CA}\left(C_j\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\δ}}_{yCA}\left(C_j\right)\\ -{\mathrm{\β}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\α}}_{CA}\left(C_j\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{zCA}\left(C_j\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

令D_Cj表示绕机床坐标系Z轴的旋转矩阵，则

$D_{C_j}=\left[\begin{array}{cccc}cos\left(C_j\right)& -sin\left(C_j\right)& 0& 0\\ sin\left(C_j\right)& \cos \left(C_j\right)& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

以五轴联动机床空间几何误差模型为依据，可得如下矩阵方程：

${E_A}_C\·D_{C_j}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δy}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δz}}_C\left(0,j,k\right),1\]}^T---\left(3\right)$

由于每个C_j处有6个几何误差参数需要求解，而由步骤(4)可在每个C_j处获得三组△x_C(0,j,k)、△y_C(0,j,k)、△z_C(0,j,k)，即矩阵方程(3)为一个超定方程组，此处采用如式(4)所示的最小二乘法进行该方程组的求解，最终可求得回转轴C的6个几何误差参数值；

$\underset{{\mathrm{\δ}}_{xCA}\left(C_j\right)~{\mathrm{\γ}}_{CA}\left(C_j\right)}{min}\underset{k=1}{\overset{3}{\Σ}}{\{{E_A}_C\·D_{C_j}\·M_k-M_k-{\[{\mathrm{\Δx}}_C(0,j,k),{\mathrm{\Δy}}_C(0,j,k),{\mathrm{\Δz}}_C(0,j,k),1\]}^T\}}^2---\left(4\right).$

此外，步骤(1)、(2)、(3)中的扫描轨迹均重复执行4次，扫描结果取平均值。计算式中出现的轴A、C几何误差的定义见表1。

表1几何误差的定义

综上，利用本发明选用的测量仪器及标定球布局，通过上述测量方法，能够实现五轴联动机床两个旋转轴共十二项几何误差参数的一次装卡连续测量，既能达到连续测量的目的，又避免了测量仪器的多次装卡，因此保证了测量精度，提高了测量效率，达到了精度与效率的统一。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)在所述五轴联动机床的主轴上安装激光位移传感器并进行调试；在所述五轴联动机床的回转式工作台上安装三个不共线的标定球，其中，待测的五轴联动机床旋转轴包括摆动轴A和回转轴C；以所述五轴联动机床的坐标系为基准，设定所述标定球的齐次坐标表达式；

(2)以所述摆动轴A为标定轴，利用所述激光位移传感器测量所述摆动轴A在不同转角时，所述各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差；

(3)以所述回转轴C为标定轴，利用所述激光位移传感器测量所述回转轴C在不同转角时，所述各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差；

(4)根据步骤(2)和(3)获得的测量结果，并结合所述标定球的齐次坐标表达式，计算获得所述摆动轴A和回转轴C的几何误差值，以此方式，完成五轴联动机床旋转轴的几何误差的连续测量。

2.如权利要求1所述的五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，所述摆动轴A与所述五轴联动机床的X直线轴平行，所述回转轴C与所述五轴联动机床的Z直线轴平行，所述摆动轴A控制所述五轴联动机床的摇篮式摆动台的摆动，所述回转轴C控制所述五轴联动机床的回转式工作台的转动。

3.如权利要求1或2所述的五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，所述三个不共线的标定球采用如下方式进行安装：将所述三个标定球分别安装于所述回转式工作台上使各球的球杆垂直于回转式工作台的上表面，其中，各球的球心到回转式工作台上表面的距离等于摆动轴A的轴线到回转式工作台上表面的距离；此外，所述三个标定球的球心分别位于一等边三角形的三个顶点上，该等边三角形以所述摆动轴A的轴线与回转轴C的轴线的交点为中心，且其边长等于所述回转式工作台台面半径的1.5倍。

4.如权利要求3所述的五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，所述标定球的齐次坐标表达式采用如下方式设定：令P(A_i,C_j,k)代表第k个标定球球心在机床坐标系中的坐标，其中k＝1、2、3，i、j分别为摆动轴A和回转轴C在扫描过程中的采样点个数；将所述摆动轴A和回转轴C旋转至零位置，用所述激光位移传感器从Z方向扫描三个标定球的球面，进而获得三个标定球的球心在机床坐标系中的初始位置P(0,0,1)、P(0,0,2)、P(0,0,3)；计算经过上述三个初始位置的圆的圆心坐标O，设定O为新坐标系原点，令第k个标定球的球心在新坐标系下的齐次坐标表达式为：

$M_k=\left[\begin{array}{c}{m}_x\left(k\right)\\ m_y\left(k\right)\\ m_z\left(k\right)\\ 1\end{array}\right].$

5.如权利要求4所述的五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，以所述摆动轴A为标定轴，测量所述各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差的具体步骤如下；

(1)旋转摆动轴A和回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于所述标定球的球心坐标系点处，其中R为标定球的半径，读取所述激光位移传感器的扫描值L_A1(0,0,k)；然后使摆动轴A从90°旋转至-90°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_A1(i,0,k)；令△x_A(i，0，k)、△y_A(i，0，k)、△z_A(i,0,k)分别表示标定球k的球心在A＝A_i、C＝0°时，相对于初始位置A＝0°、C＝0°在X、Y、Z方向上的偏移，获得如下方程：

-Δx_A(i,0,k)+Δy_A(i,0,k)-Δz_A(i,0,k)＝L_A1(i,0,k)-L_A1(0,0,k)；

(2)再次旋转摆动轴A至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于球心坐标系(0,0,R)点处，读取所述激光位移传感器的扫描值L_A2(0,0,k)；然后使摆动轴A从90°旋转至-90°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_A2(i,0,k)，获得如下方程：

-Δz_A(i,0,k)＝L_A2(i,0,k)-L_A2(0,0,k)；

(3)再次旋转摆动轴A至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于球心坐标系(-Rcos45°,0,Rcos45°)点处，读取所述激光位移传感器的扫描值L_A3(0,0,k)；然后使摆动轴A从90°旋转至-90°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_A3(i,0,k)，获得如下方程：Δx_A(i,0,k)-Δz_A(i,0,k)＝L_A3(i,0,k)-L_A3(0,0,k)；

(4)根据步骤(1)-(3)中获得的方程求得△x_A(i,0,k)、△y_A(i,0,k)、△z_A(i,0,k)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A3}\left(i,0,k\right)-L_{A3}\left(0,0,k\right)+L_{A2}\left(0,0,k\right)-L_{A2}\left(i,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δy}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A1}\left(i,0,k\right)-L_{A1}\left(0,0,k\right)+L_{A3}\left(i,0,k\right)-L_{A3}\left(0,0,k\right)\\ +2L_{A2}\left(0,0,k\right)-2L_{A2}\left(i,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δz}}_A\left(i,0,k\right)=L_{A2}\left(0,0,k\right)-L_{A2}\left(i,0,k\right)\end{array}\right..$

6.如权利要求4所述的五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，以所述回转轴C为标定轴，测量所述各标定球圆心在X、Y、Z方向上的位置偏差的具体步骤如下；

(1)旋转摆动轴A和回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于所述标定球的球心坐标系点处，其中R为标定球的半径，读取所述激光位移传感器的扫描值L_C1(0,0,k)；然后使回转轴C从0°旋转至360°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_C1(0,j,k)；令△x_C(0,j,k)、△y_C(0,j,k)、△z_C(0,j,k)分别表示标定球k的球心在C＝C_j、A＝0°时，相对于初始位置C＝0°、A＝0°在X、Y、Z方向上的偏移，获得如下方程：-Δx_C(0,j,k)+Δy_C(0,j,k)-Δz_C(0,j,k)＝L_C1(0,j,k)-L_C1(0,0,k)；

(2)再次旋转回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于球心坐标系(Rcos45°,0,Rcos45°)点处，读取所述激光位移传感器的扫描值L_C2(0,0,k)；然后使回转轴C从0°旋转至360°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_C2(0,j,k)，获得如下方程：-Δx_C(0,j,k)-Δz_C(0,j,k)＝L_C2(0,j,k)-L_C2(0,0,k)；

(3)再次旋转回转轴C至0°，以标定球k为扫描对象，使所述激光位移传感器的光束定位于球心坐标系(0,0,R)点处，读取所述激光位移传感器的扫描值L_C3(0,0,k)；然后使回转轴C从0°旋转至360°，在旋转过程中，读取所述激光位移传感器的扫描值序列L_C3(0,j,k)，获得如下方程：-Δz_C(0,j,k)＝L_C3(0,j,k)-L_C3(0,0,k)；

(4)根据步骤(1)-(3)中获得的方程求得△x_C(0,j,k)、△y_C(0,j,k)、△z_C(0,j,k)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C2}\left(0,0,k\right)-L_{C2}\left(0,j,k\right)-L_{C3}\left(0,0,k\right)+L_{C3}\left(0,j,k\right)\\ {\mathrm{\Δy}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C2}\left(0,0,k\right)-L_{C2}\left(0,j,k\right)-L_{C3}\left(0,0,k\right)+L_{C3}\left(0,j,k\right)\\ +L_{C3}\left(0,0,k\right)-L_{C3}\left(0,j,k\right)L_{C1}\left(0,j,k\right)-L_{C1}\left(0,0,k\right)\\ {\mathrm{\Δz}}_C\left(0,j,k\right)=L_{C3}\left(0,0,k\right)-L_{C3}\left(0,j,k\right)\end{array}\right..$

7.如权利要求5所述的五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，所述摆动轴A的几何误差值具体采用如下方式进行计算：

(1)令^YE_A为摆动轴A坐标系到五轴联动机床的Y轴坐标系的齐次坐标变换矩阵，则

${E_Y}_A=\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\β}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\δ}}_{xAY}\left(A_i\right)\\ {\mathrm{\γ}}_{AY}\left(A_i\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\δ}}_{yAY}\left(A_i\right)\\ -{\mathrm{\β}}_{AY}\left(A_i\right)& {\mathrm{\α}}_{AY}\left(A_i\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{zAY}\left(A_i\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

(2)令D_Ai表示绕机床坐标系X轴的旋转矩阵，则

$D_{A_i}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\left(A_i\right)& -sin\left(A_i\right)& 0\\ 0& sin\left(A_i\right)& \cos \left(A_i\right)& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

(3)以五轴联动机床空间几何误差模型为依据，获得如下矩阵方程： ${E_Y}_A\·D_{A_i}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_A(i,0,k),{\mathrm{\Δy}}_A(i,0,k),{\mathrm{\Δz}}_A(i,0,k),1\]}^T;$ 采用式 $\underset{{\mathrm{\δ}}_{xAY}\left(A_i\right)~{\mathrm{\γ}}_{AY}\left(A_i\right)}{min}\underset{k=1}{\overset{3}{\Σ}}{\{{E_Y}_A\·D_{A_i}\·M_k-M_k-{\[{\mathrm{\Δx}}_A(i,0,k),{\mathrm{\Δy}}_A(i,0,k),{\mathrm{\Δz}}_A(i,0,k),1\]}^T\}}^2$ 所示的最小二乘法求解所述矩阵方程 ${E_Y}_A\·D_{A_i}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_A\left(i,0,k\right),{\mathrm{\Δy}}_A\left(i,0,k\right),{\mathrm{\Δz}}_A\left(i,0,k\right),1\]}^T,$ 最终求得所述摆动轴A的几何误差参数值。

8.如权利要求6所述的五轴联动机床旋转轴的几何误差连续测量方法，其特征在于，所述回转轴C的几何误差值具体采用如下方式进行计算：

(1)令^AE_C为回转轴C坐标系到五轴联动机床A轴坐标系的齐次坐标变换矩阵，则

${E_A}_C=\left[\begin{array}{cccc}1& -{\mathrm{\γ}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\β}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\δ}}_{xCA}\left(C_j\right)\\ {\mathrm{\γ}}_{CA}\left(C_j\right)& 1& -{\mathrm{\α}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\δ}}_{yCA}\left(C_j\right)\\ -{\mathrm{\β}}_{CA}\left(C_j\right)& {\mathrm{\α}}_{CA}\left(C_j\right)& 1& {\mathrm{\δ}}_{zCA}\left(C_j\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

(2)令D_Cj表示绕机床坐标系Z轴的旋转矩阵，则

$D_{C_j}=\left[\begin{array}{cccc}cos\left(C_j\right)& -sin\left(C_j\right)& 0& 0\\ sin\left(C_j\right)& \cos \left(C_j\right)& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

(3)以五轴联动机床空间几何误差模型为依据，获得如下矩阵方程： ${E_A}_C\·D_{C_j}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δy}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δz}}_C\left(0,j,k\right),1\]}^T;$ 采用如式 $\underset{{\mathrm{\δ}}_{xCA}\left(C_j\right)~{\mathrm{\γ}}_{CA}\left(C_j\right)}{min}\underset{k=1}{\overset{3}{\Σ}}{\{{E_A}_C\·D_{C_j}\·M_k-M_k-{\[{\mathrm{\Δx}}_C(0,j,k),{\mathrm{\Δy}}_C(0,j,k),{\mathrm{\Δz}}_C(0,j,k),1\]}^T\}}^2$ 所示的最小二乘法求解矩阵方程 ${E_A}_C\·D_{C_j}\·M_k-M_k={\[{\mathrm{\Δx}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δy}}_C\left(0,j,k\right),{\mathrm{\Δz}}_C\left(0,j,k\right),1\]}^T,$ 最终求得所述回转轴C的几何误差参数值。