CN104935229A - 储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法 - Google Patents

Abstract

一种储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法，所述方法将涡簧的储能过程分为四个阶段：第一阶段为加装外盒后未储能时的初始阶段；第二阶段是缠绕于外盒内壁的簧片向自由状态的转变阶段；第三阶段是缠绕于外盒内壁的簧片完全释放后，自由状态的涡簧在主轴上缠绕的阶段；第四阶段为簧片全部缠绕于主轴上后的储能完成阶段，然后分别确定涡簧在四个阶段的实时转动惯量。本发明根据涡簧在储能过程中的形状变化分阶段计算其转动惯量，可精确获取机械弹性储能系统用涡卷弹簧的实时转动惯量，为实现电机转速的高精度控制创造了有利条件。

Description

储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法

技术领域

本发明涉及一种可在机械弹性储能系统用涡卷弹簧运行过程中实时获取其转动惯量的方法，属发电技术领域。

背景技术

近年来，涡卷弹簧(以下简称涡簧)以其诸多的优点获得了广泛应用，其中最重要的应用领域之一就是作为储能装置。申请号为201110008030.3的中国发明专利公开了一种采用涡卷弹簧作为核心储能元件的机械弹性储能系统。该系统选用永磁同步电动机(PMSM)作为储能过程驱动电机，储能时涡卷弹簧作为负载受电机控制。

涡簧加工制造完成时，大都以自由状态释放，如附图1所示。为方便应用，常将制造完成的涡簧安装于外盒中，如附图2所示。由附图2可以看出，储能时，需利用驱动技术控制电机以一定速度旋转主轴来拧紧涡簧，以实现能量存储。并且，随着涡簧不断向主轴收拢，涡簧的形状将不断变小，其转动惯量也将不断改变。

若以PMSM为研究对象，可列出其运动学方程如下式(1)所示：

$J\frac{d\mathrm{\ω}}{dt}=T_m-T_{sp}---\left(1\right)$

式中：J为涡簧等效到电机侧的转动惯量与电机转动惯量之和，ω为电机转子旋转角速度，T_m为电机电磁转矩，T_sp为涡簧扭矩等效到电机侧的负载转矩，t为时间。

由式(1)可以看出，PMSM转子旋转的角速度ω与涡簧转动惯量直接相关。由于涡簧转动惯量随储能过程实时变化，为实现储能过程中机械弹性储能系统转速的高精度控制，需要确定作为负载的涡卷弹簧的转动惯量。但是，传统转动惯量的计算公式或测量方法大都针对刚性元件，对于像涡簧这样在运行过程 中形状不断变化的物体，传统方法并不适用。因此，如何获取机械弹性储能系统用涡卷弹簧的实时转动惯量就成为有关技术人员面临的难题。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术之弊端，提供一种储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法，以实现电机转速的高精度控制。

本发明所述问题是以下述技术方案解决的：

一种储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法，储能涡卷弹簧系统包括涡簧、主轴和外盒，所述方法将涡簧的储能过程分为四个阶段：第一阶段为加装外盒后未储能时的初始阶段；第二阶段是缠绕于外盒内壁的簧片向自由状态的转变阶段；第三阶段是缠绕于外盒内壁的簧片完全释放后，自由状态的涡簧在主轴上缠绕的阶段；第四阶段为簧片全部缠绕于主轴上后的储能完成阶段，然后分别确定涡簧在四个阶段的实时转动惯量，各阶段转动惯量的确定方法如下：

第一阶段下涡簧的实时转动惯量J₁由下式确定：

$J_1=\frac{\mathrm{\ρ}bh}{3}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_{b1}^3-r_A^3)+\frac{\mathrm{\π}\mathrm{\ρ}b}{2}(r_C^4-r_{b1}^4);$

其中，r_b1为第一阶段下自由长度涡簧与缠绕于外盒内壁涡簧的分界点所对应径向半径, $r_{b1}=\frac{\frac{h}{\mathrm{\π}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}+\sqrt{\frac{h^2}{{\mathrm{\π}}^2}(1+\frac{1}{m^2})-4\[\frac{{\mathrm{hL}}_o}{\mathrm{\π}}+\frac{h}{\mathrm{\π}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}\left(\frac{2r_S+h}{2}\right)-{\left(\frac{2r_W-h}{2}\right)}^2\]}}{2};$ ρ、b、h分别为涡簧材料的密度、宽度和厚度；m是指涡簧型线的形状系数；r_A为主轴径向半径加上簧片厚度的一半；r_C为外盒内壁的径向半径减去簧片厚度的一半；L_o为涡簧全长；r_S为主轴径向半径；r_W为外盒内壁的径向半径；

第二阶段下涡簧的实时转动惯量J₂由下式确定：

$J_2=J_1+\frac{\mathrm{\π}\mathrm{\ρ}b}{2}(r_{j2}^4-r_A^4)+\frac{\mathrm{\ρ}bh}{3}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_{b1}^3-r_{f2}^3)+\frac{\mathrm{\π}\mathrm{\ρ}b}{2}(r_{b2}^4-r_{b1}^4);$

其中，r_b2为第二阶段下自由长度涡簧与缠绕于外盒内壁涡簧的分界点所对应径向半径，θ是极坐标下的角度坐标，此阶段下 r_j2为第二阶段下自由状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应径向半径，r_f2为第二阶段下处于自由状态涡簧的径向半径；

$r_{j2}=\frac{\frac{h}{\mathrm{\π}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}+\sqrt{\frac{h^2}{{\mathrm{\π}}^2}(1+\frac{1}{m^2})-4(\frac{h}{\mathrm{\π}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}{r}_{b2}-r_A^2-\frac{h}{\mathrm{\π}}{L}_o+r_C^2-r_{b2}^2)}}{2};$

$r_{f2}=r_{b1}-\frac{\frac{\mathrm{\π}}{h}(r_{b2}^2-r_{b1}^2-r_{j2}^2+r_A^2)}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}};$

第三阶段下涡簧的实时转动惯量J₃由下式确定：

$J_3=J_{p2m}+J_{f2m}+\frac{\mathrm{\π}\mathrm{\ρ}b}{2}(r_{b3}^4-r_{j2m}^4)+\frac{\mathrm{\ρ}bh}{3}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_{j2m}^3-r_{j3}^3);$

其中，J_p2m、J_f2m分别表示第二阶段完成时刻处于自由状态和缠绕于主轴状态涡簧的转动惯量值，r_b3为第三阶段下自由长度涡簧与缠绕于外盒内壁涡簧的分界点所对应径向半径，r_j3为第三阶段下自由状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应径向半径,r_j2m是第二阶段完成时刻自由长度状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应的径向半径,此阶段下  $\mathrm{\θ}\∈\[\frac{2\mathrm{\π}(r_C-r_{b1})}{h},{\mathrm{\θ}}_{max}\],{\mathrm{\θ}}_{max}=\frac{2\mathrm{\π}}{h}(r_{fs}-\frac{2r_S+h}{2});$

$r_{fs}=\sqrt{\frac{h}{\mathrm{\π}}{L}_o+{\left(\frac{2r_S+h}{2}\right)}^2-\frac{h^2}{2{\mathrm{\π}}^2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{h^4}{{\mathrm{\π}}^4}+\frac{4h^2}{{\mathrm{\π}}^2}\[{\left(\frac{2r_W-h}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2r_S+h}{2}\right)}^2-\frac{{\mathrm{hL}}_o}{\mathrm{\π}}\]}};$

$r_{b3}=\frac{\sqrt{\frac{h}{\mathrm{\π}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_{j3}-r_{j2m})+r_{j2m}^2}}{2};$

第四阶段下涡簧的实时转动惯量J₄由下式确定：

$J_4=\frac{\mathrm{\π}\mathrm{\ρ}b}{2}(r_{j4}^4-r_A^4)+\frac{\mathrm{\ρ}bh}{3}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_C^3-r_{j4}^3);$

其中，r_j4为第四阶段下自由状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应径 向半径, $r_{j4}=r_A+\frac{h}{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\θ}}_{max}.$

上述储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法，将涡簧的能量释放过程视为储能过程的逆过程，涡簧在能量释放过程中的形状和转动惯量的变化与储能过程正好相反，涡簧在能量释放过程中的转动惯量根据储能过程的转动惯量确定。

由于转角θ在每个阶段都有一定范围，通过测量转角的实际值就能确定涡簧处于哪个阶段，从而计算出涡簧的实时转动惯量。

本发明根据涡簧在储能过程中的形状变化分阶段计算其转动惯量，可精确获取机械弹性储能系统用涡卷弹簧的实时转动惯量，为实现电机转速的高精度控制创造了有利条件。

发明内容 

本发明的目的在于针对现有技术之弊端，提供一种储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法，以实现电机转速的高精度控制。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步说明。

图1是制造完成的涡簧；

图2是安装于外盒中的涡簧(尚未施加外力矩)；

图3是完全缠绕于主轴上的涡簧；

图4是储能过程涡簧状态变化示意图；

图5是实施例中求出的涡簧实时转动惯量。

图中各标号为：1、涡簧，2、主轴，3、外盒，4、外盒内壁。

文中各符号为：J₁、J₂、J₃、J₄分别为第一阶段、第二阶段、第三阶段、第四阶段下涡簧总的转动惯量；J_w1、J_w2、J_w3、J_w4分别为第一阶段、第二阶段、第三阶段、第四阶段下处于缠绕于外盒内壁状态涡簧的转动惯量；ΔJ_w2为第二阶段下处于缠绕于外盒内壁状态涡簧的转动惯量相对于第一阶段的变化值；J_f1、J_f2、J_f3、J_f4分别为第一阶段、第二阶段、第三阶段、第四阶段下处于自由长度状态涡簧的转动惯量；ΔJ_f2、ΔJ_f3分别为第二阶段、第三阶段下处于自由状态涡簧的转动惯量分别相对于第一阶段、第二阶段处于自由状态涡簧的转动惯量的 变化值；J_p1、J_p2、J_p3、J_p4分别为第一阶段、第二阶段、第三阶段、第四阶段下处于缠绕于主轴状态涡簧的转动惯量；ΔJ_p2、ΔJ_p3分别为第二阶段、第三阶段下处于缠绕于主轴状态涡簧的转动惯量分别相对于第一阶段、第二阶段处于缠绕于主轴状态涡簧的转动惯量的变化值；L_o为涡簧全长；L_w2、ΔL_w2分别为第二阶段下处于缠绕于外盒内壁状态的涡簧长度及其相对于第一阶段的变化值；L_f1、L_f2、L_f3、L_f4分别为第一阶段、第二阶段、第三阶段、第四阶段下处于自由状态的涡簧长度；ΔL_f2、ΔL_f3分别为第二阶段、第三阶段下处于自由状态的涡簧长度分别相对于第一阶段、第二阶段的变化值；L_p2、L_p3、L_p4分别为第二阶段、第三阶段、第四阶段下缠绕于主轴状态的涡簧长度；ΔL_p2、ΔL_p3分别为第二阶段、第三阶段下缠绕于主轴状态的涡簧长度分别相对于第一阶段、第二阶段的变化值；r_w1、r_w2分别为第一阶段、第二阶段下处于缠绕于外盒内壁状态涡簧的径向半径；r_f1、r_f2、r_f3分别为第一阶段、第二阶段、第三阶段下处于自由状态涡簧的径向半径；r_p2、r_p3、r_p4分别为第二阶段、第三阶段、第四阶段下缠绕于主轴状态涡簧的径向半径；r_b1、r_b2、r_b3分别为第一阶段、第二阶段、第三阶段下自由长度涡簧与缠绕于外盒内壁涡簧的分界点所对应径向半径；r_j2、r_j3、r_j4分别为第二阶段、第三阶段、第四阶段下自由状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应径向半径；ρ、b、h分别为涡簧材料的密度、宽度和厚度；θ为极坐标下的角度坐标；r_S为主轴径向半径；r_A为主轴径向半径加上簧片厚度的一半；r_W为外盒内壁的半径；r_C为外盒内壁的径向半径减去簧片厚度的一半。

具体实施方式

1.储能用涡簧储能过程分析

对于附图1中所示的制造完成的自由释放涡簧1，将其放置于外盒3中，会有一部分簧片或所有簧片缠绕于外盒3的内壁4上，也就是说，外盒3将整个涡簧的簧片分为了两种状态，缠绕于外盒内壁状态和自由状态。附图2所示的涡簧1在加装外盒3后有一部分簧片缠绕于外盒内壁4上，剩余部分簧片处于外盒3所包围空间的自由状态。设涡簧型线上某一点的曲率半径为c_F，该点至圆心o的径向半径为r_F，外盒内壁曲率半径为c_C，径向半径为r_W，显然，由于外盒内壁为圆形，故c_C＝r_W，由此可以得出，处于缠绕于外盒内壁状态的簧片， 它们的曲率半径c_F>c_C；处于自由状态的簧片，它们的曲率半径c_F<c_C；而对应c_F＝c_C这一点B，正是缠绕于外盒内壁状态簧片和自由状态簧片的分界点。若整个涡簧的最小曲率半径大于c_C，那么，加装外盒后，涡簧簧片都将缠绕于外盒内壁4上。设主轴曲率半径为c_A，半径为r_S，由于主轴为圆形，故c_A＝r_S。同样，若加盒前某些处于自由状态的簧片曲率半径小于c_A，那么这些簧片在加盒后将直接缠绕于主轴之上。只是这些簧片对于储能将不产生作用，造成材料和能量的浪费，因此，应避免这种情况发生。故在保证安全的前提下，主轴半径一般应小于所有簧片的最小曲率半径。

对于加盒后的涡簧，随着外力转动主轴2，缠绕于外盒内壁上的簧片将由分界点B逐次进入自由状态，而自由状态的簧片将逐次向主轴2收拢，并最终缠绕于主轴2上。因此，在储能过程中，整个涡簧的簧片将被分为三种状态，即缠绕于外盒内壁状态、自由状态和缠绕于主轴状态。为分析储能过程中涡簧状态的变化，将其一般过程绘制于附图4所示，可见，涡簧的一般储能过程可被分为四个阶段：第一，加盒后的初始阶段，一部分簧片缠绕于外盒内壁状态，一部分簧片处于自由状态；第二阶段，缠绕于外盒内壁状态的簧片向自由状态转变，且尚未全部释放，自由状态的簧片向主轴2收拢，涉及缠绕于外盒内壁状态、自由状态和缠绕于主轴三个状态；第三阶段，缠绕于外盒内壁状态的簧片向自由状态释放完成，自由状态的涡簧缠绕于主轴2上，但尚未缠绕完成，涉及自由状态和缠绕于主轴两个状态；最后，储能完成阶段，自由状态的簧片最终缠绕于主轴2上，只涉及缠绕于主轴一个状态。

2.储能过程中涡簧实时转动惯量的通用计算

由上述分析可见，机械弹性储能系统储能过程下有盒涡簧实时转动惯量的大小与簧片所处的状态以及同一状态下簧片的数量密切相关，正是由于涡簧簧片所处状态的变化以及同一状态下簧片数量的变化导致了涡簧转动惯量的实时改变，因此，储能过程中涡簧转动惯量需根据簧片状态的变化以及不同状态下簧片的数量来确定。

为兼顾一般性，假设涡簧自储能开始至储能结束完整经历了上述四个阶段，那么，涡簧转动惯量的变化也将经历四个过程，为此，以下分四个阶段进行涡 簧实时转动惯量的计算。

(1)第一阶段下涡簧实时转动惯量

J₁＝J_p1+J_f1+J_w1   (2)

由于J_p1＝0，故

J₁＝J_f1+J_w1   (3)

下面对J_w1和J_f1分别进行计算。

在处于自由状态的涡簧中，取一极小段长度为dl的涡簧作为研究对象，对其进行积分求出自由状态的涡簧的转动惯量如下式所示：

$J_{f1}=\underset{0}{\overset{L_{f1}}{\&Integral;}}{r}_{f1}^2\mathrm{\&rho;}bhdl=\underset{r_A}{\overset{r_{b1}}{\&Integral;}}{r}_{f1}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(4\right)$

在缠绕于外盒内壁状态的涡簧中，取一极小段长度为dl的涡簧作为研究对象，对其进行积分求出缠绕于外盒内壁状态的涡簧的转动惯量如下式所示：

$J_{w1}=\underset{L_{f1}}{\overset{L_o}{\&Integral;}}{r}_{w1}^2\mathrm{\&rho;}bhdl=\underset{r_{b1}}{\overset{r_C}{\&Integral;}}{r}_{w1}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(5\right)$

故，

$J_1=J_{f1}+J_{w1}=\underset{r_A}{\overset{r_{b1}}{\&Integral;}}{r}_{f1}^2\mathrm{\&rho;}bhdl+\underset{r_{b1}}{\overset{r_C}{\&Integral;}}{r}_{w1}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(6\right)$

进一步，设dr_f1和dr_w1表示r_f1和r_w1的微分，那么，若将dl分别表示为dr_f1和dr_w1的形式，就可以得出J₁具体的结果。由于分别处于自由状态和缠绕于外盒内壁状态的涡簧的型线表达式是不同的，因此，将dl分别表示为dr_f1和dr_w1的具体形式也是不同的。

(2)第二阶段下涡簧实时转动惯量

J₂＝J_p2+J_f2+J_w2   (7)

其中，J_p2＝J_p1+ΔJ_p2，J_f2＝J_f1+ΔJ_f2，J_w2＝J_w1+ΔJ_w2。

需求出J₂，就是要分别对ΔJ_p2、ΔJ_f2和ΔJ_w2进行计算。

第二阶段开始时，处于内壁状态的簧片向自由状态释放，故在缠绕于外盒内壁状态涡簧中，取一小段从连接自由状态与内壁状态分界点开始的长度为dl的涡簧作为研究对象，对其进行积分可求出其缠绕于外盒内壁状态涡簧的转动 惯量的变化量如下式所示：

${\mathrm{\&Delta;J}}_{w2}=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&Delta;L}}_{w2}}{\&Integral;}}{r}_{w2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl=\underset{r_{b1}}{\overset{r_{b2}}{\&Integral;}}{r}_{w2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(8\right)$

随着储能过程的进行，这段长度为dl的涡簧将逐渐进入自由状态，导致自由状态中涡簧转动惯量发生变化，但需注意，此时自由状态涡簧长度的变化值ΔL_f2应小于dl，对其进行积分就可求出缠绕于自由状态涡簧的转动惯量的变化量如下式所示：

${\mathrm{\&Delta;J}}_{f2}=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&Delta;L}}_{f2}}{\&Integral;}}{r}_{f2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl=\underset{r_{f2}}{\overset{r_{b1}}{\&Integral;}}{r}_{f2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(9\right)$

此外，这段长度为dl的涡簧逐渐进入自由状态还会带来一部分簧片缠绕于主轴之上，缠绕于主轴状态的这段簧片长度应为ΔL_p2，对其进行积分可求出其转动惯量的变化值如下式所示：

${\mathrm{\&Delta;J}}_{p2}=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&Delta;L}}_{p2}}{\&Integral;}}{r}_{p2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl=\underset{r_A}{\overset{r_{j2}}{\&Integral;}}{r}_{p2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(10\right)$

故，

$J_2=J_{p2}+J_{f2}+J_{w2}=J_1+\underset{r_A}{\overset{r_{j2}}{\&Integral;}}{r}_{p2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl+\underset{r_{f2}}{\overset{r_{b1}}{\&Integral;}}{r}_{f2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl+\underset{r_{b1}}{\overset{r_{b2}}{\&Integral;}}{r}_{w2}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(11\right)$

进一步，需将dl分别表示为dr_p2、dr_f2和dr_w2的形式。由于分别处于缠绕于主轴状态、自由状态和缠绕于外盒内壁状态的涡簧的型线表达式是不同的，因此，将dl分别表示为dr_p2、dr_f2和dr_w2的具体形式也是不同的。

另外，在此过程中储能时，还需考虑如下两个约束条件：

第一，在储能过程中，涡簧总长L_o保持不变，即分别处于缠绕于外盒内壁状态、自由状态和缠绕于主轴状态的涡簧长度L_w2、L_f2、L_p2之和等于涡簧总长L_o，即

L_o＝L_w2+L_f2+L_p2   (12)

第二，在储能过程中，缠绕于外盒内壁状态涡簧长度变化值应等于自由状态和缠绕于主轴状态的涡簧长度变化值之和，即

ΔL_w2＝ΔL_f2+ΔL_p2   (13) 

根据式(12)和式(13)可找出r_A、r_j2、r_f2、r_b1和r_b2之间的关系，并将关系代入式(11)，就可以求出J₂具体的结果。

(3)第三阶段下涡簧实时转动惯量

J₃＝J_p3+J_f3+J_w3   (14)

由于J_w3＝0，故

J₃＝J_p3+J_f3   (15)

其中，J_p3＝J_p2m+ΔJ_p3，J_f3＝J_f2m+ΔJ_f3，J_p2m、J_f2m分别表示第二阶段完成时刻处于自由状态和缠绕于主轴状态涡簧的转动惯量值，同时假设第二阶段完成时刻自由长度状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应径向半径为r_j2m。

第三阶段开始时，处于自由状态的簧片将向主轴缠绕。在处于自由状态簧片中，取第二阶段完成时刻一小段从连接自由状态与主轴状态分界点开始的长度为dl的涡簧作为研究对象，对其进行积分求出自由状态的涡簧转动惯量的变化值如下式所示：

${\mathrm{\&Delta;J}}_{f3}=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&Delta;L}}_{f3}}{\&Integral;}}{r}_{f3}^2\mathrm{\&rho;}bhdl=\underset{r_{j3}}{\overset{r_{j2m}}{\&Integral;}}{r}_{f3}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(16\right)$

这段长度为dl的涡簧将缠绕于主轴，引起缠绕于主轴簧片转动惯量的变化，对其进行积分求出缠绕于主轴状态涡簧的转动惯量如下式所示：

${\mathrm{\&Delta;J}}_{p3}=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&Delta;L}}_{p3}}{\&Integral;}}{r}_{p3}^2\mathrm{\&rho;}bhdl=\underset{r_{j2m}}{\overset{r_{b3}}{\&Integral;}}{r}_{p3}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(17\right)$

故，

$J_3=J_{p3}+J_{f3}=J_{p2m}+J_{f2m}+\underset{r_{j2m}}{\overset{r_{b3}}{\&Integral;}}{r}_{p3}^2\mathrm{\&rho;}bhdl+\underset{r_{j3}}{\overset{r_{j2m}}{\&Integral;}}{r}_{f3}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(18\right)$

设dr_p3和dr_f3表示r_p3和r_f3的微分，进一步，需将dl分别表示为dr_p3和dr_f3的形式。由于分别处于缠绕于主轴状态和自由状态的涡簧的型线表达式是不同的，因此，将dl分别表示为dr_p3和dr_f3的具体形式也是不同的。

另外，在此过程中储能时，还需考虑如下两个约束条件：

第一，在储能过程中，涡簧总长L_o保持不变，即分别处于自由状态和缠绕于主轴状态的涡簧长度L_f3、L_p3之和等于涡簧总长L_o，即

L_o＝L_f3+L_p3   (19)

第二，在储能过程中，处于自由状态的涡簧长度变化值和缠绕于主轴状态的涡簧长度变化值应相等，即

ΔL_f3＝ΔL_p3   (20) 

根据式(19)和式(20)可找出r_b3和r_j3之间的关系，并将关系代入式(18)，就可以求出J₃具体的结果。

(4)第四阶段下涡簧实时转动惯量

J₄＝J_p4+J_f4+J_w4   (21)

由于J_w4＝0，故

J₄＝J_p4+J_f4   (22)

在缠绕于主轴状态涡簧中，取一极小段长度为dl的涡簧作为研究对象，对其进行积分求出缠绕于主轴状态涡簧的转动惯量如下式所示：

在自由状态的涡簧中，取一极小段长度为dl的涡簧作为研究对象，对其进行积分求出自由状态的涡簧的转动惯量如下式所示：

$J_{f4}=\underset{L_{p4}}{\overset{L_o}{\&Integral;}}{r}_{f4}^2\mathrm{\&rho;}bhdl=\underset{r_{j4}}{\overset{r_C}{\&Integral;}}{r}_{f4}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(24\right)$

故，

$J_4=J_{p4}+J_{f4}=\underset{r_A}{\overset{r_{j4}}{\&Integral;}}{r}_{p4}^2\mathrm{\&rho;}bhdl+\underset{r_{j4}}{\overset{r_C}{\&Integral;}}{r}_{f4}^2\mathrm{\&rho;}bhdl---\left(25\right)$

进一步，设dr_p4和dr_f4表示r_p4和r_f4的微分，若将dl分别表示为dr_p4和dr_f4的形式，就可以求出J₄具体的结果。由于分别处于缠绕于主轴状态和自由状态的涡簧的型线表达式是不同的，因此，将dl分别表示为dr_p4和dr_f4的具体形式也是不同的。其实，第四阶段的转动惯量值J₄就是第三阶段完成时刻的值，只是为了更加清晰、完整的展现涡簧储能过程，将其单独列出。

在考虑相应的约束条件后，将式(6)、(11)、(18)和(25)计算结果按储能过程的时间排序，就能得到整个储能过程中涡簧实时转动惯量的变化情况。 在控制过程中，只需监控涡簧转动惯量的变化，并将结果反馈给电机控制器，以实时更新式(1)中的转动惯量J值，就能实现电机转速的高精度控制。另外，需要指出的是，对涡卷弹簧而言，其在系统储能过程中的形状变化与发电过程正好相反，因此，一旦得到储能过程中涡卷弹簧的转动惯量变化情况，只需将该结果反向输入控制器，则无需计算发电过程涡簧转动惯量，就能实现发电过程对电机的高精度控制。

为进一步阐述发明内容，利用提出的转动惯量公式计算某涡簧在机械弹性储能系统储能过程下的实时转动惯量。根据上述分析知道，要计算涡簧的转动惯量，还需要事先知道涡簧型线的数学表达式，在附图1，附图2和附图3中已有显示，图中r_f、r_w、r_p分别表示处于自由状态、缠绕于外盒内壁状态和缠绕于主轴状态的涡簧所对应的径向半径。为此，作如下假设：

第一，处于自由状态的涡簧型线为指数型，即 m是指涡簧型线的形状系数。

第二，处于缠绕于外盒内壁状态和主轴状态的涡簧型线为阿基米德螺旋线，即 $r_{w1}=r_{b1}+\frac{h}{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&theta;},r_{w2}=r_{b2}+\frac{h}{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&theta;},r_{p2}=r_{j2}+\frac{h}{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&theta;},r_{p3}=r_{j3}+\frac{h}{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&theta;},r_{p4}=r_{j4}+\frac{h}{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&theta;}.$

基于以上假设，作计算如下：

第一阶段下涡簧实时转动惯量J₁为

$J_1=J_{f1}+J_{w1}=\frac{\mathrm{\&rho;}bh}{3}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_{b1}^3-r_A^3)+\frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&rho;}b}{2}(r_C^4-r_{b1}^4)---\left(26\right)$

其中，r_b1可由下式(27)确定：

$r_{b1}=\frac{\frac{h}{\mathrm{\&pi;}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}+\sqrt{\frac{h^2}{{\mathrm{\&pi;}}^2}(1+\frac{1}{m^2})-4\&lsqb;\frac{{\mathrm{hL}}_o}{\mathrm{\&pi;}}+\frac{h}{\mathrm{\&pi;}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}\left(\frac{2r_S+h}{2}\right)-{\left(\frac{2r_W-h}{2}\right)}^2\&rsqb;}}{2}---\left(27\right)$

第二阶段下涡簧实时转动惯量J₂为

$J_2=J_{f1}+J_{w1}+\frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&rho;}b}{2}(r_{j2}^4-r_A^4)+\frac{\mathrm{\&rho;}bh}{3}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_{b1}^3-r_{f2}^3)+\frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&rho;}b}{2}(r_{b2}^4-r_{b1}^4)---\left(28\right)$

其中， $r_{b2}=r_{b1}+\frac{h}{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&theta;},\mathrm{\&theta;}\&Element;\&lsqb;0,\frac{2\mathrm{\&pi;}(r_C-r_{b1})}{h}\&rsqb;.$

考虑约束条件(12)，可得

$r_{j2}=\frac{\frac{h}{\mathrm{\&pi;}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}+\sqrt{\frac{h^2}{{\mathrm{\&pi;}}^2}(1+\frac{1}{m^2})-4(\frac{h}{\mathrm{\&pi;}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}{r}_{b2}-r_A^2-\frac{h}{\mathrm{\&pi;}}{L}_o+r_C^2-r_{b2}^2)}}{2}---\left(29\right)$

考虑约束条件(13)，可得

$r_{f2}=r_{b1}-\frac{\frac{\mathrm{\&pi;}}{h}(r_{b2}^2-r_{b1}^2-r_{j2}^2+r_A^2)}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}---\left(30\right)$

第三阶段下涡簧实时转动惯量J₃为

$J_3=J_{p2m}+J_{f2m}+\frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&rho;}b}{2}(r_{b3}^4-r_{j2m}^4)+\frac{\mathrm{\&rho;}bh}{3}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_{j2m}^3-r_{j3}^3)---\left(31\right)$

其中， $r_{j3}=r_{j2m}+\frac{h}{2\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&theta;},\mathrm{\&theta;}\&Element;\&lsqb;\frac{2\mathrm{\&pi;}(r_C-r_{b1})}{h},{\mathrm{\&theta;}}_{max}\&rsqb;,$ θ_max为最大转角，其值可由下式(32)确定：

${\mathrm{\&theta;}}_{max}=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{h}(r_{fs}-\frac{2r_S+h}{2})---\left(32\right)$

其中， $r_{fs}=\sqrt{\frac{h}{\mathrm{\&pi;}}{L}_o+{\left(\frac{2r_S+h}{2}\right)}^2-\frac{h^2}{2{\mathrm{\&pi;}}^2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{h^4}{{\mathrm{\&pi;}}^4}+\frac{4h^2}{{\mathrm{\&pi;}}^2}\&lsqb;{\left(\frac{2r_W-h}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2r_S+h}{2}\right)}^2-\frac{{\mathrm{hL}}_o}{\mathrm{\&pi;}}\&rsqb;}}.$

根据约束条件(19)和(20)可找出r_b3和r_j3之间的关系如下：

$r_{b3}=\frac{\sqrt{\frac{h}{\mathrm{\&pi;}}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_{j3}-r_{j2m})+r_{j2m}^2}}{2}---\left(33\right)$

第四阶段下涡簧实时转动惯量J₄为

$J_4=\frac{\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&rho;}b}{2}(r_{j4}^4-r_A^4)+\frac{\mathrm{\&rho;}bh}{3}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}(r_C^3-r_{j4}^3)---\left(34\right)$

其中， $r_{j4}=r_A+\frac{h}{2\mathrm{\&pi;}}{\mathrm{\&theta;}}_{max}.$

取r_C＝12.014cm，r_A＝4.128cm，b＝1.255cm，h＝0.107cm，L_o＝447.04cm，m＝0.028，ρ＝7.81g/cm³，根据上述计算过程，可绘制出储能过程涡卷弹簧最终转动惯量如附图5所示。

Claims (2)

1.一种储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法，其特征是，所述方法将涡簧的储能过程分为四个阶段：第一阶段为加装外盒后未储能时的初始阶段；第二阶段是缠绕于外盒内壁的簧片向自由状态的转变阶段；第三阶段是缠绕于外盒内壁的簧片完全释放后，自由状态的涡簧在主轴上缠绕的阶段；第四阶段为簧片全部缠绕于主轴上后的储能完成阶段，然后分别确定涡簧在四个阶段的实时转动惯量，各阶段转动惯量的确定方法如下：

第一阶段下涡簧的实时转动惯量J₁由下式确定：

其中，r_b1为第一阶段下自由长度涡簧与缠绕于外盒内壁涡簧的分界点所对应径向半径,

其中，ρ、b、h分别为涡簧材料的密度、宽度和厚度；m是指涡簧型线的形状系数；r_A为主轴径向半径加上簧片厚度的一半；r_C为外盒内壁的径向半径减去簧片厚度的一半；L_o为涡簧全长；r_S为主轴径向半径；r_W为外盒内壁的径向半径；

第二阶段下涡簧的实时转动惯量J₂由下式确定：

其中，r_b2为第二阶段下自由长度涡簧与缠绕于外盒内壁涡簧的分界点所对应径向半径，θ是极坐标下的角度坐标，此阶段下 r_j2为第二阶段下自由状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应径向半径，r_f2为第二阶段下处于自由状态涡簧的径向半径；

第三阶段下涡簧的实时转动惯量J₃由下式确定：

其中，J_p2m、J_f2m分别表示第二阶段完成时刻处于自由状态和缠绕于主轴状态涡簧的转动惯量值，r_b3为第三阶段下自由长度涡簧与缠绕于外盒内壁涡簧的分界点所对应径向半径，r_j3为第三阶段下自由状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应径向半径,r_j2m是第二阶段完成时刻自由长度状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应的径向半径,此阶段下

第四阶段下涡簧的实时转动惯量J₄由下式确定：

其中，r_j4为第四阶段下自由状态涡簧与缠绕于主轴状态涡簧的分界点所对应径 向半径,

2.根据权利要求1所述的一种储能涡卷弹簧实时转动惯量的获取方法，其特征是，涡簧在能量释放过程中的转动惯量根据储能过程的转动惯量确定。