CN104866715A - 基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，包括以下步骤：1)建立基于自适应核密度估计理论的状态估计数学模型；2)获取自适应带宽；3)根据步骤1)的状态估计数学模型和步骤2)获得的自适应带宽进行电力系统抗差状态估计。与现有技术相比，本发明在保证量测数据的冗余度、系统的可观性及消除残差污染和残差淹没的同时，提高了状态估计的辨识精度及收敛性，具有抗差性强、计算精度高、适用性广、灵活性大等优点。

Description

基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法

技术领域

本发明涉及一种电力系统状态估计方法，尤其是涉及一种基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法。

背景技术

电力系统状态估计是EMS中最基础的软件之一。如何进行不良数据的辨识和剔除，以获得一个鲁棒性强，计算精度高且计算速度快的状态估计算法一直是一个备受关注的研究课题。

对于不良数据的辨识，其方法大致可分为三类。第一类可以简称为逐步剔除法。其基本思路是在采用加权最小二乘法(Weighted Least Square method,WLS)初步完成状态估计计算的基础上，基于残差灵敏度矩阵将量测残差进行正则化，并把最大正则化残差超过某一门槛经验值的量测数据归为不良数据并加以剔除；反复进行上述操作直到认为所有不良数据均被剔除为止。但这些方法存在的共同缺点是计算时间相对较长，对于强相关不良数据辨识能力相对弱。

第二类不良数据辨识方法是基于抗差估计辨识算法。所谓抗差估计是指通过构造与残差相关的函数和最小的非二次目标函数，并根据迭代过程中量测残差值的不同大小对各个量测设定不同的权重，而实现不良数据的辨识和剔除。该类算法存在的共同缺点是所构造的目标函数相对于量测残差而言不是在整个定义域内连续可微的，当残差位于不可微(残差阈值点)处或其邻域内时，对其相应的量测值只能作出“非好即坏”的判定，或由于信息矩阵接近奇异，使得牛顿法迭代收敛性变得很差或不收敛，而不得不采用如内点法等的计算量大的多的其它算法。

第三类抗差方法是近些年提出的基于核密度估计理论的不良数据辨识及状态估计方法。该类方法通过构造一个全空间连续可微的核函数来描述样本的概率分布，并在迭代计算的过程中让不良数据在目标函数中所占份额自动降低而消除其影响，相当于自动调整其权重而实现了不良数据的自动辨识及剔除。该类方法不存在上述大部分抗差方法因目标函数在量测残差定义域范围内不连续所导致的相关问题。现有的基于一维带宽等比例放缩调整策略的电力系统不良数据辨识及状态估计方法由于实际电力系统的规模很大，各种量测仪表的精度相差较大，对于本身量测仪表精度较高的不良数据，为了避免漏辨识，需要采用较小带宽，而对于量测仪表精度较低的正常量测，为了使之不被误辨识为不良数据则需要采用较大的带宽，在这种情况下不易选择出单一的合适带宽，从而很可能导致不良数据的辨识失败，或导致正常量测的误辨识，相应也无法得到准确的系统状态估计值，甚至迭代不收敛。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种抗差性强、计算精度高、适用性广、灵活性大的基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，包括以下步骤：

1)建立基于自适应核密度估计理论的状态估计数学模型；

2)获取自适应带宽；

3)根据步骤1)的状态估计数学模型和步骤2)获得的自适应带宽进行电力系统抗差状态估计。

所述步骤1)中，基于自适应核密度估计理论的状态估计数学模型具体为：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{x}{\max }J\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\ω}}_i}{{\mathrm{\σ}}_i}\exp (-\frac{{\[h_i\left(x\right)-z_i\]}^2}{{2\mathrm{\σ}}_i^2})\\ \begin{array}{}\end{array}\begin{array}{cc}s.t.& c\left(x\right)=0\end{array}\end{array}\right.$

其中，J(x)表示目标函数，i表示量测序号，ω_i为第i个量测的权重，z_i为第i个量测的量测值，h_i(x)为第i个量测的估计值，x为系统状态变量，c(x)＝0为零注入节点功率约束方程，n表示量测数量，σ_i为第i个量测所对应的核函数带宽。

所述权重ω_i的计算公式为：

${\mathrm{\ω}}_i=\mathrm{\α}+\exp (-\frac{s_i^2}{s^2}),s=\frac{1}{n}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i^2}$

其中，α为正常数，s_i为第i个量测标准差，s为全部量测标准差的几何平均值。

所述步骤2)具体为：

对量测进行分组，对属于同一组的量测采用相同的带宽，第i个量测的量测值z_i的带宽σ_i为：

${\mathrm{\σ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_j},{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\\ \max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_j},{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\\ \max (\min ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_j},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_k}),{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\\ \max (\min ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_j},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_k}),{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.$

其中，分别表示节点j注入有功量测、无功量测， 分别表示支路j-k间传输的有功量测、无功量测，为节点j电压量测， 为状态变量分量带宽，σ_i,nor为带宽的量测标准差，θ_j、V_j分别为节点j的相角和幅值。

所述状态变量分量带宽的计算过程具体为：

a)获取状态变量分量带宽的近似最优带宽

b)建立状态变量分量带宽的初始约束条件：

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{ini}}}\≥\frac{\underset{i=1,2,\·\·\·,n^j}{\max }\left|r_i^k\right|}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}$

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{ini}}}\≥\frac{\underset{i=1,2,\·\·\·,n^j}{\max }\left|r_i^k\right|}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}$

其中，k表示迭代次数，且k≤2，为与节点j强相关的量测组中的第i个量测在第k次迭代中的残差，即x^k表示状态变量的第k次迭代值， 为初始带宽；

c)建立状态变量分量带宽的修正约束条件：

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{cre}}}\≥\frac{r_{\mathrm{mid}}^k}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}$

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{cre}}}\≥\frac{r_{\mathrm{mid}}^k}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}$

其中，上标k表示迭代次数且k＞2，下标mid表示1到n^j之间的中位数，n^j表示与节点j相关的相同类型量测个数，表示这些相同类型量测的残差中位数，δ_gd表示好数据门槛值，与所满足的条件称为带宽修正约束；

d)计算状态变量分量带宽

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_j}=\left\{\begin{array}{cc}\max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{ini}}},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{opt}}})& k\≤2\\ \max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{cre}}},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{opt}}})& k\≤2\end{array}\right.$

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_j}=\left\{\begin{array}{cc}\max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{ini}}},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{opt}}})& k\≤2\\ \max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{cre}}},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{opt}}})& k\≤2\end{array}\right..$

所述步骤a)中，近似最优带宽通过以下公式计算：

$4A\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}^5}+2B\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}^3}-C=0$

其中， $A=\frac{1}{4{\left(n^j\right)}^2}{\left(\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i^2}\right)}^2{\[{\∫u}^2\mathrm{\ψ}\left(u\right)\mathrm{du}\]}^2\∫f^{\′\′2}\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j$

$B=\frac{1}{n^j}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i^3}(\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i}-1){\∫u}^2\mathrm{\ψ}\left(u\right)\mathrm{du}\∫f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\∫f^{\′\′}\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j$

$C=\frac{f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\∫{\mathrm{\ψ}}^2\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j}{{\left(n^j\right)}^2}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i}$

$f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\≈\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}{s}_{{\mathrm{\θ}}_j}}\exp (-\frac{{({\mathrm{\θ}}_j-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_j)}^2}{2s_{{\mathrm{\θ}}_j}^2})$

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_j\≈\frac{1}{n^j}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{z_i-b_i}{c_i},s_{{\mathrm{\θ}}_j}=\frac{1}{n^j}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{s_i^2}{c_i^2}}$

式中，n^j为与节点j的相角强相关的量测个数，ψ(·)为高斯核函数，u表示任意变量，θ_j为状态变量的第j个分量，为相角估计值的均值，为θ_j的方差，n为节点j的邻接节点总数，参数c_i,b_i的具体表达式为：

$c_i\≈\left\{\begin{array}{cc}1& z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\\ B_{\mathrm{jj}}& z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\\ b_{\mathrm{jk}}& z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\\ -b_{\mathrm{jk}}& z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.$

$b_i\≈\left\{\begin{array}{cc}0& z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\\ & \∪z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\\ -\underset{k=1,k\≠j}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{\mathrm{jk}}& z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\\ -b_{\mathrm{jk}}& z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\\ b_{\mathrm{jk}}& z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.$

式中，B_jj、B_jk为节点j的自导纳及节点j与节点k之间的互导纳，b_jk为j-k支路的线路电纳值，为节点j的电压幅值量测；

同理获得

所述带宽的量测标准差满足约束：

σ_i,nor≥βs_υi  (3≤β≤5)

其中，s_υi为υ_i的方差，υ_i表示第i个量测的误差。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

(1)本发明建立了基于自适应核密度估计理论的状态估计数学模型，并提出自适应带宽的综合确定方法，在保证量测数据的冗余度、系统的可观性及消除残差污染和残差淹没的同时，提高了状态估计的辨识精度及收敛性。

(2)本发明通过自适应方法确定带宽，不仅可以使调度人员能够准确、全面地掌握电力系统的实际运行状态，大大提高电力系统安全与经济运行水平，同时也能增强电力系统运行数据库的可靠性，为安全分析和运行计划等提供准确的参考数据，提升电力公司的生产、管理效率，具有重要的工程实践意义和现实意义。

(3)当前国家电网正全面实施状态估计精度的行业对标，由于本发明具有较强的抗差能力，因此具有良好的工程应用前景。

附图说明

图1为本发明的流程示意图；

图2为本发明实施例中拥有363节点的实验系统的示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，本实施例提供一种基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，包括步骤：

S1、建立基于自适应核密度估计理论的状态估计数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{x}{\max }J\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\ω}}_i}{{\mathrm{\σ}}_i}\exp (-\frac{{\[h_i\left(x\right)-z_i\]}^2}{{2\mathrm{\σ}}_i^2})\\ \begin{array}{}\end{array}\begin{array}{cc}s.t.& c\left(x\right)=0\end{array}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，J(x)表示目标函数，i表示量测序号，ω_i为第i个量测的权重，z_i为第i个量测的量测值，h_i(x)为第i个量测的估计值，x为系统状态变量，c(x)＝0为零注入节点功率约束方程，n表示量测数量，σ_i为第i个量测所对应的核函数带宽。权重ω_i的计算公式为：

${\mathrm{\ω}}_i=\mathrm{\α}+\exp (-\frac{s_i^2}{s^2}),s=\frac{1}{n}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i^2}---\left(2\right)$

其中，α为正常数，s_i为第i个量测标准差，s为全部量测标准差的几何平均值。

该量测权重公式因拥有与核函数ψ(.)类似的指数函数表达式而能够恰当地反应量测标准差s_i对目标函数的影响，避免由于ω_i的值显著大过(或小于)ψ(.)(ψ(.)∈(0,1))而使得核函数在目标函数中的作用过小或过大。

S2、获取自适应带宽。

S201、量测和带宽分类

首先把量测分成两大类：与角度相关的有功量测类和电压相关的无功/电压量测类。对于电力系统状态变量的各分量，具有与其局部直接量测的相关性要明显大于与非直接量测的相关性的特点，对于节点j的电压值V_j，直接量测包括节点j的电压量测、与节点j直接相连支路的支路两端无功功率量测及无功负荷量测，所有的其它量测均为V_j的非直接量测，显然，V_j受直接量测的影响要大过受其非直接量测的影响，对于节点j的节点电压角度θ_j情况类似，即状态变量的各分量具有与局部直接量测强相关性的特点，故可以将各量测依据与其强相关的状态变量分量进行分组，对属于同一组的量测采用相同的带宽。

若量测z_i为注入功率量测或电压量测则该量测仅与相应节点j的相角θ_j，幅值V_j分别直接强相关，则这些量测可分为同一组，其相应的量测带宽σ_i采用同一带宽，称其为状态变量分量带宽合记为；若量测z_i为支路j-k的有功量测或无功量测，则存在两对可选的带宽 与由于较小的带宽对残差更灵敏，令其相应的带宽分别为故量测z_i的带宽σ_i与状态变量分量带宽之间的关系为：

${\mathrm{\σ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{\θj}}& z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\\ {\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{\mathrm{vj}}& z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\\ \min ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_j},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_k})& z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=p_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\\ \min ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_j},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_k})& z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.---\left(3\right)$

分别表示节点j注入有功量测、无功量测，分别表示支路j-k间传输的有功量测、无功量测，为节点j电压量测。

S202、获取状态变量分量带宽的近似最优带宽，包括相角近似最优带宽和电压近似最优带宽

$4A\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}^5}+2B\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}^3}-C=0---\left(4\right)$

其中， $A=\frac{1}{4{\left(n^j\right)}^2}{\left(\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i^2}\right)}^2{\[{\∫u}^2\mathrm{\ψ}\left(u\right)\mathrm{du}\]}^2\∫f^{\′\′2}\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j$

$B=\frac{1}{n^j}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i^3}(\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i}-1){\∫u}^2\mathrm{\ψ}\left(u\right)\mathrm{du}\∫f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\∫f^{\′\′}\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j$

$C=\frac{f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\∫{\mathrm{\ψ}}^2\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j}{{\left(n^j\right)}^2}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i}$

$f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\≈\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}{s}_{{\mathrm{\θ}}_j}}\exp (-\frac{{({\mathrm{\θ}}_j-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_j)}^2}{2s_{{\mathrm{\θ}}_j}^2})$

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}_j\≈\frac{1}{n^j}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{z_i-b_i}{c_i},s_{{\mathrm{\θ}}_j}=\frac{1}{n^j}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{s_i^2}{c_i^2}}$

式中，n^j为与节点j的相角强相关的量测个数，ψ(·)为高斯核函数，u表示任意变量，θ_j为状态变量的第j个分量，为相角估计值的均值，为θ_j的方差，n为节点j的邻接节点总数，参数c_i,b_i的具体表达式为：

$c_i\≈\left\{\begin{array}{cc}1& z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\\ B_{\mathrm{jj}}& z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\\ b_{\mathrm{jk}}& z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\\ -b_{\mathrm{jk}}& z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.$

$b_i\≈\left\{\begin{array}{cc}0& z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\\ & \∪z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\\ -\underset{k=1,k\≠j}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{\mathrm{jk}}& z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\\ -b_{\mathrm{jk}}& z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\\ b_{\mathrm{jk}}& z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.$

式中，B_jj、B_jk为节点j的自导纳及节点j与节点k之间的互导纳，b_jk为j-k支路的线路电纳值，为节点j的电压幅值量测。

同理获得

S203、建立状态变量分量带宽的初始约束条件：

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{ini}}}\≥\frac{\underset{i=\mathrm{1,2},\·\·\·,n^j}{\max }\left|r_i^k\right|}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}---\left(5\right)$

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{ini}}}\≥\frac{\underset{i=\mathrm{1,2},\·\·\·,n^j}{\max }\left|r_i^k\right|}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}---\left(6\right)$

其中，k表示迭代次数，且k≤2，为与节点j强相关的量测组中的第i个量测在第k次迭代中的残差，即x^k表示状态变量的第k次迭代值， 为初始带宽。

S204、建立状态变量分量带宽的修正约束条件：

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{cre}}}\≥\frac{r_{\mathrm{mid}}^k}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}---\left(7\right)$

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{cre}}}\≥\frac{r_{\mathrm{mid}}^k}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}---\left(8\right)$

其中，上标k表示迭代次数且k＞2，下标mid表示1到n^j之间的中位数，n^j表示与节点j相关的相同类型量测个数，表示这些相同类型量测的残差中位数，δ_gd表示好数据门槛值，与所满足的条件称为带宽修正约束。

S205、计算状态变量分量带宽

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_j}=\left\{\begin{array}{cc}\max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{ini}}},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{opt}}})& k\≤2\\ \max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{cre}}},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{opt}}})& k\≤2\end{array}\right.---\left(9\right)$

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_j}=\left\{\begin{array}{cc}\max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{ini}}},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{opt}}})& k\≤2\\ \max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{cre}}},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_{j,\mathrm{opt}}})& k\≤2\end{array}\right.$

S206、建立带宽的量测标准差约束条件：

σ_i，nor≥βs_υi(3≤β≤5)       (10)

其中，s_υi为υ_i的方差，υ_i表示第i个量测的误差。

S207、提出任一量测z_i自适应带宽σ_i的计算方法：

${\mathrm{\σ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_j},{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\\ \max ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_j},{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\\ \max (\min ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_j},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{{\mathrm{\θ}}_k}),{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\\ \max (\min ({\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_j},{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_{V_k}),{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.---\left(11\right)$

最后根据步骤S1的状态估计数学模型和步骤S2获得的自适应带宽进行电力系统抗差状态估计。

为了验证上述的模型及自适应带宽综合确定方法的有效性，以拥有363节点的福建电网实际系统作为实验系统。量测采用全量测配置，即全部的PV节点与平衡节点均配置电压量测，全部PQ节点配置功率量测，全部支路两端配备潮流量测。随机生成不良数据含量为8％的一组算例，构造方法均为：对全部量测以潮流计算为基准，通过随机叠加不同大小的量测误差，而构成正常量测数据，及不良量测数据，即：

z_i(gd)＝z_iTure+s_υiγ

z_i(bd)＝z_iTure+s_υiγ+100s_υiυ

其中，s_υi为量测误差的标准差，电压量测和有功量测标准差为实际值的0.2％，无功量测标准差为实际值的0.5％；z_iTure为实际值，即潮流计算结果；z_i(gd)，z_i(bd)分别为正常量测数据，和不良量测数据(即坏数据)；υ、γ为随机误差，采用Box-Muller法构造的服从标准正态分布的随机白噪声。为了方便，本实施例中所有的计算均是基于参数标幺化之后进行。

由步骤S207可知，任意量测i的自适应带宽σ_i均基于近似最优带宽，及三个带宽约束条件共同确定，为了比较其不同选择对于状态估计的影响，分别采用去除近似最优带宽、状态变量分量初始约束(简称约束1)、状态变量分量修正约束(简称约束2)、量测标准差约束(简称约束3)之后的带宽进行计算，其相应状态估计结果示于表1，表1中V_max表示最大电压幅值误差，θ_max表示相角最大误差，IT表示迭代次数：

表1自适应带宽选择采用不同约束条件下的估计结果对比

由表1，不计近似最优带宽造成估计结果发生较大误差，同时迭代次数增加，从而证明近似最优带宽的有效性；而不计状态变量分量带宽约束1、2，由于带宽过小造成了局部不可观测，导致雅克比矩阵奇异而估计失败；不计量测标准差约束3，部分正常量测被视为不良数据，导致冗余度下降，估计精度大大下降。

进一步验证带宽约束条件及状态变量的分量近似最优带宽具体约束大小对状态估计结果的精度及迭代次数的影响。分别改变近似最优带宽、状态变量分量初始约束、状态变量分量修正约束以及量测标准差约束，其计算结果分别列于表2-表4中。

表2不同近似最优带宽对估计结果的影响

表2为不同近似最优带宽(或)下的状态估计结果，β为对最优带宽的修正系数。由表2可以看出，过小的带宽(β＝0.6)和过大的带宽(β＝1.6)均导致了最大误差的明显增大，甚至导致了收敛性能的明显下降。从表2可以看出，在最优带宽的0.8～1.4倍范围内，估计的精度及迭代次数变化不大。

表3为不同状态变量分量约束下的估计结果。P表示量测在选定带宽下落入核函数ψ(z_i)的置信概率，δ_gd表示概率为P时核函数ψ(z_i)相应的好数据门槛值。

表3不同的状态变量分量带宽约束对估计结果的影响

由表3可以看出，随着δ_gd及P对于0.7966及50％的偏离，算法的收敛性与计算精度均有所下降，而过大的δ_gd(即相应过小的带宽)甚至导致大量量测被认为是不良数据，使得局部不可观测，雅克比矩阵秩亏而估计失败。

表4不同的量测标准差约束对估计结果的影响

表4为不同量测标准差约束下的估计结果。β为量测标准差的倍数。随着β变小，相应的σ_i,nor也减小，有效正常量测的减少意味着冗余度的下降，进而导致估计的收敛性及精度均下降。

表5列出了不同不良数据含量和量测标准差约束下的估计结果。根据表5综合不良数据量、估计误差和迭代次数可知β＝5的辨识效果较好。

表5福建电网不同不良数据含量下量测标准差约束对状态估计的影响

表1至表5表明：本发明所建立的状态估计新模型，所推导的近似最优核函数带宽表达式，所提出的核密度带宽约束条件及核密度带宽综合确定方法是有效的。以上所述的具体实施例仅为说明本发明的实现效果，并不用以限制本发明。凡在本发明所提出的方法的基本思路和框架之内所作的任何非实质性的修改、转换和改进，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立基于自适应核密度估计理论的状态估计数学模型；

2)获取自适应带宽；

3)根据步骤1)的状态估计数学模型和步骤2)获得的自适应带宽进行电力系统抗差状态估计。

2.根据权利要求1所述的基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，其特征在于，所述步骤1)中，基于自适应核密度估计理论的状态估计数学模型具体为：

$\left\{\begin{array}{cc}\underset{x}{\max }& J\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\ω}}_i}{{\mathrm{\σ}}_i}\exp (-\frac{{[h_i\left(x\right)-z_i]}^2}{{2\mathrm{\σ}}_i^2})\\ s.t.& c\left(x\right)=0\end{array}\right.$

其中，J(x)表示目标函数，i表示量测序号，ω_i为第i个量测的权重，z_i为第i个量测的量测值，h_i(x)为第i个量测的估计值，x为系统状态变量，c(x)＝0为零注入节点功率约束方程，n表示量测数量，σ_i为第i个量测所对应的核函数带宽。

3.根据权利要求2所述的基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，其特征在于，所述权重ω_i的计算公式为：

${\mathrm{\ω}}_i=\mathrm{\α}+\exp (-\frac{s_i^2}{s^2}),s=\frac{1}{n}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i^2}$

其中，α为正常数，s_i为第i个量测标准差，s为全部量测标准差的几何平均值。

4.根据权利要求1所述的基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，其特征在于，所述步骤2)具体为：

对量测进行分组，对属于同一组的量测采用相同的带宽，第i个量测的量测值z_i的带宽σ_i为：

${\mathrm{\σ}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\max (\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}},{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\\ \max (\widetilde{{\mathrm{\σ}}_{V_j}},{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\\ \max (\min (\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}},\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_k}}),{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\\ \max (\min (\widetilde{{\mathrm{\σ}}_{V_j}},\widetilde{{\mathrm{\σ}}_{V_k}}),{\mathrm{\σ}}_{i,\mathrm{nor}})& z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.$

其中，分别表示节点j注入有功量测、无功量测， 分别表示支路j-k间传输的有功量测、无功量测，为节点j电压量测， 为状态变量分量带宽，σ_i,nor为带宽的量测标准差，θ_j、V_j分别为节点j的相角和幅值。

5.根据权利要求4所述的基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，其特征在于，所述状态变量分量带宽的计算过程具体为：

a)获取状态变量分量带宽的近似最优带宽

b)建立状态变量分量带宽的初始约束条件：

$\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{ini}}}}\≥\frac{\underset{i=\mathrm{1,2},...,n^j}{\max }\left|{r_i}^k\right|}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}$

$\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{V_{j,\mathrm{ini}}}}\≥\frac{\underset{i=\mathrm{1,2},...,n^j}{\max }\left|{r_i}^k\right|}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}$

其中，k表示迭代次数，且k≤2，r_i ^k为与节点j强相关的量测组中的第i个量测在第k次迭代中的残差，即r_i ^k＝h_i(x^k)-z_i，x^k表示状态变量的第k次迭代值， 为初始带宽；

c)建立状态变量分量带宽的修正约束条件：

$\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{cre}}}}\≥\frac{r_{\mathrm{mid}}^k}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}$

$\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{V_{j,\mathrm{cre}}}}\≥\frac{r_{\mathrm{mid}}^k}{\sqrt{-2\ln {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{gd}}}}$

其中，上标k表示迭代次数且k＞2，下标mid表示1到n^j之间的中位数，n^j表示与节点j相关的相同类型量测个数，表示这些相同类型量测的残差中位数，δ_gd表示好数据门槛值，与所满足的条件称为带宽修正约束；

d)计算状态变量分量带宽

$\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}}=\left\{\begin{array}{cc}\max (\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{ini}}}},\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{opt}}}})& k\≤2\\ \max (\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{cre}}}},\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_{j,\mathrm{opt}}}})& k>2\end{array}\right.$

$\widetilde{{\mathrm{\σ}}_{V_j}}=\left\{\begin{array}{cc}\max (\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{V_{j,\mathrm{ini}}}},\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{V_{j,\mathrm{opt}}}})& k\≤2\\ \max (\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{V\θ}}_{j,\mathrm{cre}}}},\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{V_{j,\mathrm{opt}}}})& k>2\end{array}\right..$

6.根据权利要求5所述的基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，其特征在于，所述步骤a)中，近似最优带宽通过以下公式计算：

$4A\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}^5}+2B\stackrel{~}{{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_j}^3}-C=0$

其中， $A=\frac{1}{4{\left(n^j\right)}^2}{\left(\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i^2}\right)}^2{\left[{\∫u}^2\mathrm{\ψ}\left(u\right)\mathrm{du}\right]}^2\∫f^{\′\′2}\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j$

$B=\frac{1}{n^j}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i^3}(\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i}-1){\∫u}^2\mathrm{\ψ}\left(u\right)\mathrm{du}\∫f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)f^{\′\′}\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j$

$C=\frac{f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\∫{\mathrm{\ψ}}^2\left({\mathrm{\θ}}_j\right)d{\mathrm{\θ}}_j}{{\left(n^j\right)}^2}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{c_i}$

$f\left({\mathrm{\θ}}_j\right)\≈\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}{s}_{{\mathrm{\θ}}_j}}\exp (-\frac{{({\mathrm{\θ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\θ}}_j})}^2}{{2s}_{{\mathrm{\θ}}_j}^2})$

$\stackrel{\‾}{{\mathrm{\θ}}_j}\≈\frac{1}{n^j}\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{z_i-b_i}{c_i},s_{{\mathrm{\θ}}_j}=\frac{1}{n^j}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n^j}{\mathrm{\Σ}}}\frac{s_i^2}{c_i^2}}$

式中，n^j为与节点j的相角强相关的量测个数，ψ(·)为高斯核函数，u表示任意变量，θ_j为状态变量的第j个分量，为相角估计值的均值，为θ_j的方差，n为节点j的邻接节点总数，参数c_i,b_i的具体表达式为：

$c_i\≈\left\{\begin{array}{cc}1& z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\\ B_{\mathrm{jj}}& z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\\ b_{\mathrm{jk}}& z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\\ -b_{\mathrm{jk}}& z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=Q_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.$

$b_i\≈\left\{\begin{array}{cc}0& z_i=V_j^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_j^{\mathrm{mea}}\\ & \∪z_i=P_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\∪z_i=P_{\mathrm{kj}}^{\mathrm{mea}}\\ -\underset{k=1,k\≠j}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{\mathrm{jk}}& z_i=Q_j^{\mathrm{mea}}\\ -b_{\mathrm{jk}}& z_i=Q_{\mathrm{jk}}^{\mathrm{mea}}\end{array}\right.$

式中，B_jj、B_jk为节点j的自导纳及节点j与节点k之间的互导纳，b_jk为j-k支路的线路电纳值，为节点j的电压幅值量测；

同理获得

7.根据权利要求4所述的基于自适应核密度估计的电力系统抗差状态估计方法，其特征在于，所述带宽的量测标准差满足约束：

σ_i,nor≥βs_υi (3≤β≤5)

其中，s_υi为υ_i的方差，υ_i表示第i个量测的误差。