CN104393588A - 一种基于最小均方误差的最优pmu布置方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于最小均方误差的最优PMU布置方法，属于电网技术领域，特别涉及电网中存在不可被检测攻击时的基于最小均方误差的PMU安装位置方法。本发明首先确定节点电压相位构成的状态向量θ和不会引起调度中心注意的攻击向量a，通过电网网络拓扑结构构造观测矩阵H；然后将节点的注入有功功率z_a作为系统观测量，建立电网的DC模型；通过对模型的分析，确定系数表达式J_iiR_aii。最后通过对系数由大到小的排序，选择前M个系数值对应的i作为安装PMU的节点。该方法涉及了存在不可被检测攻击时的均放误差，使得提高了电网状态估计的性能。

Description

一种基于最小均方误差的最优PMU布置方法

技术领域

本算法属于电网技术领域，涉及电网中存在不可被检测攻击时的基于最小均方误差的PMU安装位置布置方法。

背景技术

电力系统状态估计是电力系统调度中心的能量管理系统(EMS)的核心功能之一，其功能是根据电力系统的各种量测信息，估计出电力系统当前的运行状态。现代电网的安全经济运行依赖于能量管理系统，而能量管理系统的众多功能又可分为针对电网实时变化进行分析的在线应用和针对典型潮流断面进行分析的离线应用两大部分。电力系统状态估计可以说是大部分在线应用的高级软件的基础。如果电力系统状态估计结果不准确，后续的任何分析计算将不可能得到准确的结果。

对数据进行不良数据的检测与辨识，删除或改正不良数据，提高数据系统的可靠性是电力系统状态估计程序的主要功能之一。对于一些已知的检测方法，如使用目标函数极值进行检测、用加权残差检测等，可以检测出一般的不良数据。然而如果攻击者注入不良数据满足电网的网络拓扑结构，利用传统的检测方法很难检测到(见文献：False Data Injection Attacks AgainstState Estimation in Electric Power Grid,Yao Liu,Peng Ning,M.K.Reiter,ACM Trans.on Information and System Security,vol.14,no.1,article 13,May 2011)。因此，若存在不可被检测的攻击时，估计器估计出的参数相对于真实值有很大偏差。

相量测量装置(PMU)是利用GPS秒脉冲作为同步时钟构成的向量测量单元，可用来测量电力系统在暂态过程中各节点的电压向量，已被广泛应用于电力系统的动态监测、状态估计、系统保护、区域稳定控制、系统分析和预测等领域，是保障电网安全运行的重要设备。

随着电网的规模日益庞大，多种输电方式的出现，电网运行越来越复杂，导致电网安全经济运行难度加大。因此，对电力系统状态估计的研究及实现，无论从广度还是深度上都要求越高。与此同时，伴随电力系统数字化的发展，新技术的广泛应用，比如相量测量单元测量设备(PMU)组成的广域量测系统(WAMS)在电力系统调度中的应用，为电网安全紧急运行有了新的技术支持。然而由于价格和技术方面的原因，我国在相当长的时期内很难安装足够多的PMU以保证系统的安全可靠性。因此，有限的PMU在电网中的最优布置问题成为了焦点。

发明内容：

本发明针对背景技术的不足提供一种基于最小均方误差(MSE)的最优PMU布置方法，通过本发明可以快速找出有限PMU在电网中的安装位置使得估计性能达到最优，使不可被检测攻击的影响达到最小。

本发明主要通过对含有不可被检测的不良数据注入和PMU的电力系统建模，利用状态估计理论估计电网节点电压相位，并计算出估计的MSE反映估计性能，最后构建条件最优化，以此来设计最优PMU安装位置。

为了方便描述，首先进行如下定义：

DC模型：通过假设电网中节点的电压幅值已知，两节点的电压相位差很小，忽略接地电容和线电阻，简化潮流方程为线性方程。

均方误差(MSE)：参数估计值与参数真值之差平方的期望值，是衡量平均误差的一种较方便的方法，可以评价数据的变化程度。

最大后验估计(MAP)：是一种估计样本参数的统计方法，在已知实验结果(即是样本观测值)和先验概率的情况下，寻求使得后验概率最大的参数作为对真实参数的估计。

相量测量装置(PMU)：利用GPS秒脉冲作为同步时钟构成的相量测量单元，可用来测量电力系统在暂态过程中各节点的电压向量。

本发明采用如下步骤来实现电网中最优PMU安装布置：

步骤1构造状态向量θ，攻击向量a和PMU位置矩阵Q：

本发明将电网中各节点电压相位作为节点状态参数，因此，状态向量可以表示为各节点电压相位集合的向量：

θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_N]^T  (1)

其中N为节点的数目，节点电压相位服从高斯分布，均值为0，协方差为R_θ可以从历史数据确定，即θ～N(0,R_θ)，则状态向量的概率密度函数为

$p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\π}\right)}^{\frac{N}{2}}{\left|R_{\mathrm{\θ}}\right|}^{\frac{1}{2}}}\exp \{{\mathrm{\θ}}^T{R}_{\mathrm{\θ}}^{-1}\mathrm{\θ}/2\}---\left(2\right)$

不可被检测攻击a是攻击者在观测量里加入的不良数据，会影响到观测量，因而影响到估计的准确性，因为本发明采用的观测量为节点注入有功功率，所以攻击a的构造方法为：

a＝[a₁,a₂,…,a_N]^T  (3)

将不可被检测攻击a假设为独立高斯分布，其均值为0，协方差为R_a；

PMU测量的数据具有很高的准确性，可以保护节点数据不受攻击的影响，因此，PMU位置矩阵的构造方法如下：

$Q\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\mathrm{diag}(q_1,q_2,...,q_N)---\left(4\right)$

其中diag(q₁,q₂,...,q_N)表示对角线元素为q₁,q₂,...,q_N，其他元素为0的矩阵，

从(3)式和(4)式可以看出，PMU位置矩阵与不可被检测的攻击向量的乘积Qa可以反映攻击对观测量的影响；

步骤2构造观测矩阵H：

具体构造观测矩阵的方法如下：

步骤2-1利用基尔霍夫定律可以得到电力系统潮流方程：

$P_{\mathrm{ij}}=v_i^2(g_{\mathrm{io}}+g_{\mathrm{ij}})-v_i{v}_j(g_{\mathrm{ij}}\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_j)+b_{\mathrm{ij}}\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_j))---\left(6\right)$

其中P_ij为第i节点到j节点的流动有功功率，v_i和θ_i是第i节点的电压幅值和相位，g_io是第i节点的接地电导值，g_ij和b_ij分别为连接i节点和j节点的连接线的电导和电纳；通过假设已知节点电压且为1，忽略接地电导和线电导，两节点电压相位差很小，流动有功功率可以简化为：

P_ij＝b_ij(θ_i-θ_j)  (7)

(见文献：Power System State Estimation:Theory and Implementation,Ali Abur,A.Gomez-Exposito,New York:Marcel Dekker,2004)；

第i节点的注入有功功率可以表示为所有连接i节点的传输线的流动有功功率的总和：

其中是连接i节点的传输线的集合；

步骤2-2观测矩阵H是由传输线电纳组成的，(7)式可以表示为：

P_ij＝h_ijθ  (9)

(见文献：Malicious Data Attacks on the Smart Grid,IEEE Trans.on Smart Grid,vol.2,no.4,pp.645-658,December 2011)

其中

因此，根据(7)式，可以得到观测矩阵H为：

步骤3构造观测量z，z_a，建立与状态向量θ的联系：

将节点的注入有功功率作为系统观测量z，则观测量z可以建模成节点的真实注入有功功率加上高斯白噪声v，v的均值为0，协方差为R_v，即：

z＝Hθ+v  (12)

这样就把观测量和状态向量联系起来，通过这个模型，可以得到节点电压相位的估计值；

根据上述假设，在给定状态向量θ情况下的z的条件概率密度函数为

$p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\π}\right)}^{\frac{N}{2}}{\left|R_v\right|}^{\frac{1}{2}}}\exp \{-{(z-\mathrm{H\θ})}^T{R}_v^{-1}(z-\mathrm{H\θ})/2\}---\left(13\right)$

然而如果存在不可被检测的攻击和PMU时，实际得到的观测量z_a是和z不同的，实际观测量z_a是在z的基础上加上了不可被检测攻击的影响：

z_a＝Hθ+Qa+v  (14)

z_a反映了观测量与状态向量的真实关系；

步骤4构造用于确定PMU安装位置的系数J_iiR_aii：

通过(2)式，(13)式和(14)式，可以得到节点电压相位的MAP(最大后验)估计，再通过求MAP估计与实际电压相位之差平方的期望值得到估计的MSE(均方差)；MSE与PMU的位置的关系主要由系数J_iiR_aii决定，R_aii为攻击协方差矩阵R_a的第(i,i)项，J_ii为矩阵J的(i,i)项，J的定义如下：

J＝C^TC  (15)

其中

$C=B^{-1}{H}^T{R}_v^{-1}---\left(16\right)$

$B=H^T{R}_v^{-1}H+R_{\mathrm{\θ}}^{-1}---\left(17\right)$

步骤5通过排序系数找到最优PMU安装位置：

将系数J_iiR_aii由大到小排序，若有M个PMU，则选择排序的前M个数值对应的i值作为安装PMU的节点位置。

进一步的所述步骤4的具体步骤为：

步骤4-1电网节点电压相位θ的MAP估计是使后验概率最大时对应的相位值，即

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP}}=\arg \underset{\mathrm{\θ}}{\max }\left\{p_{\mathrm{\θ}|z}\left(\mathrm{\θ}\right|z)\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\θ}}{\max }\left\{\frac{p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)}{p\left(z\right)}\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\θ}}{\max }\left\{p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\θ}}{\max }\{\ln p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})+\ln p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)\}\end{array}---\left(18\right)$

步骤4-2步骤1和步骤3给出了(16)式所需的两个概率密度函数，通过将(16)式对θ求一阶导为0：

$[\frac{\∂\ln p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂\ln p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)}{\∂\mathrm{\θ}}]{|}_{\mathrm{\θ}={\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP}}}=0---\left(19\right)$

可以得到电压相位的MAP估计为：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP}}={(H^T{R}_v^{-1}H+R_{\mathrm{\θ}}^{-1})}^{-1}{H}^T{R}_v^{-1}z---\left(20\right)$

步骤4-3因为存在不可被检测的攻击向量a，所以实际的观测量为z_a，因此，实际的到的节点电压相位的MAP估计为：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP},a}={(H^T{R}_v^{-1}H+R_{\mathrm{\θ}}^{-1})}^{-1}{H}^T{R}_v^{-1}{z}_a---\left(21\right)$

因此，实际得到的MAP估计的MSE矩阵为：

其中

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\θ}-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP},a}\\ =\mathrm{\θ}-B^{-1}{H}^T{R}_v^{-1}(\mathrm{H\θ}+\mathrm{Qa}+v)\\ =B^{-1}[(H^T{R}_v^{-1}H+R_{\mathrm{\θ}}^{-1})\mathrm{\θ}-H^T{R}_v^{-1}\mathrm{H\θ}-H^T{R}_v^{-1}\mathrm{Qa}-H^T{R}_v^{-1}v]\\ =B^{-1}(R_{\mathrm{\θ}}^{-1}\mathrm{\θ}-H^T{R}_v^{-1}\mathrm{Qa}-H^T{R}_v^{-1}v)\end{array}---\left(23\right)$

步骤4-4：由(17)式可以看出B和B^-1都是对称的，因此MSE矩阵为：

其中

步骤4-5：考虑到MSE矩阵对角元素为每个节点电压相位估计的MSE，要确定使电网中不可被检测攻击的影响达到最小的PMU安装位置，即为MSE矩阵对角元素和最小时的PMU安装位置，目标函数为：

其中为矩阵的对角线元素之和，M为PMU的数量，表示的基数，为安装了PMU位置的集合，即

通过展开目标函数可以得到：

$\begin{array}{c}\mathrm{tr}\left(R_{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\θ}}}\right)=\mathrm{tr}(B^{-1}-D-D^T+{\mathrm{CQRQ}}^T{C}^T)\\ =\mathrm{tr}\left(B^{-1}\right)+\mathrm{tr}\left({\mathrm{JQRQ}}^T\right)-2\mathrm{tr}\left(D\right)\end{array}---\left(28\right)$

步骤4-6：考虑到(28)式的第一项是不包含优化的变量，a的均值为零，(26)式的优化目标函数为：

考虑到q_i为1或0,则目标函数等效于：

定义

x_i＝J_iiR_aii  (31)。

进一步的所述步骤5的具体步骤为：

对x_i进行降序排序，

$x_{d_1}>x_{d_2}>...x_{d_N}---\left(32\right)$

其中d_n表示第n个最大x_i的值对应的节点标号，显然，最优方法为

本发明一种基于最小均方误差的最优PMU布置方法，通过对含有不可被检测的不良数据注入和PMU的电力系统建模，利用状态估计理论估计电网节点电压相位，并计算出估计的MSE反映估计性能，最后构建条件最优化，以此来设计最优PMU安装位置，从而使不可被检测攻击的影响达到最小。

附图说明

图1是Chow标准下的9节点电力系统网络拓扑图；

图2是IEEE标准下的14节点电力系统网络拓扑图；

图3是Chow标准9节点电力系统下不同情况下的MSE随SNR(信噪比)的变化曲线，包括没有安装PMU情况下，没有按着本发明方法安装PMU情况下，按着列举法找出最佳安装PMU位置并安装情况下，按着本发明方法安装PMU情况下，所有节点安装PMU情况下，没有攻击情况下的MSE的变化曲线。其中PMU的数量为3，本发明所提供的方法得到的最优PMU安装位置为节点1，4，7，非最优安装位置为2，4，9。从中不难看出当所有节点安装PMU时估计性能达到最优，当有限PMU数量为3时，按着本发明方法安装PMU可以达到按列举法安装PMU时的相同性能，即使估计性能最接近无攻击时的性能，使得估计性能达到最优。然而按着本发明方法只需计算3次，按着列举法需要计算84次，大大提高了效率。

图4是IEEE标准14节点电力系统下不同情况下的MSE随SNR的变化曲线，包括没有安装PMU情况下，没有按着本发明方法安装PMU情况下，按着列举法找出最佳安装PMU位置并安装情况下，按着本发明方法安装PMU情况下，所有节点安装PMU情况下，没有攻击情况下的MSE的变化曲线。其中PMU的数量为3，本发明所提供的方法得到的最优PMU安装位置为节点4，7，14，非最优安装位置为2，4，14。图4表明了对于不同准则下不同数量下的电力系统，最优PMU的安装位置会发生变化。

具体实施方式：

仿真结果(图3、图4)采用的参数如下：

状态向量的协方差噪声的协方差定义PMU的数量为3。图3中，不可被检测的攻击的协方差R_a为对角矩阵，R_aii＝0.0002，i＝1,2,…,N，其他值为0。图4中，不可被检测的攻击的协方差R_a为：R_aii＝0.005,i＝2,R_aii＝0.003,i＝4,R_aii＝0.001,i＝7,R_aii＝0.002,i＝9,14,其他值为0。

Claims (3)

1.一种基于最小均方误差的最优PMU布置方法，该方法包括：

步骤1构造状态向量θ，攻击向量a和PMU位置矩阵Q：

本发明将电网中各节点电压相位作为节点状态参数，因此，状态向量可以表示为各节点电压相位集合的向量：

θ＝[θ₁,θ₂,...,θ_N]^T   (1)

其中N为节点的数目，节点电压相位服从高斯分布，均值为0，协方差为R_θ可以从历史数据确定，即θ～N(0,R_θ)，则状态向量的概率密度函数为

$p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\π}\right)}^{\frac{N}{2}}{\left|R_{\mathrm{\θ}}\right|}^{\frac{1}{2}}}\exp \{{\mathrm{\θ}}^T{R}_{\mathrm{\θ}}^{-1}\mathrm{\θ}/2\}---\left(2\right)$

不可被检测攻击a是攻击者在观测量里加入的不良数据，会影响到观测量，因而影响到估计的准确性，因为本发明采用的观测量为节点注入有功功率，所以攻击a的构造方法为：

a＝[a₁,a₂,...,a_N]^T   (3)

将不可被检测攻击a假设为独立高斯分布，其均值为0，协方差为R_a；

PMU测量的数据具有很高的准确性，可以保护节点数据不受攻击的影响，因此，PMU位置矩阵的构造方法如下：

$Q\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\mathrm{diag}(q_1,q_2,...,q_N)---\left(4\right)$

其中diag(q₁,q₂,...,q_N)表示对角线元素为q₁,q₂,...,q_N，其他元素为0的矩阵，

从(3)式和(4)式可以看出，PMU位置矩阵与不可被检测的攻击向量的乘积Qa可以反映攻击对观测量的影响；

步骤2构造观测矩阵H：

具体构造观测矩阵的方法如下：

步骤2-1利用基尔霍夫定律可以得到电力系统潮流方程：

$P_{\mathrm{ij}}=v_i^2(g_{\mathrm{io}}+g_{\mathrm{ij}})-v_i{v}_j(g_{\mathrm{ij}}\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_j)+b_{\mathrm{ij}}\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_j))---\left(6\right)$

其中P_ij为第i节点到j节点的流动有功功率，v_i和θ_i是第i节点的电压幅值和相位，g_io是第i节点的接地电导值，g_ij和b_ij分别为连接i节点和j节点的连接线的电导和电纳；通过假设已知节点电压且为1，忽略接地电导和线电导，两节点电压相位差很小，流动有功功率可以简化为：

P_ij＝b_ij(θ_i-θ_j)   (7)

第i节点的注入有功功率可以表示为所有连接i节点的传输线的流动有功功率的总和：

其中是连接i节点的传输线的集合；

步骤2-2观测矩阵H是由传输线电纳组成的，(7)式可以表示为：

P_ij＝h_ijθ   (9)

其中

因此，根据(7)式，可以得到观测矩阵H为：

步骤3构造观测量z，z_a，建立与状态向量θ的联系：

将节点的注入有功功率作为系统观测量z，则观测量z可以建模成节点的真实注入有功功率加上高斯白噪声v，v的均值为0，协方差为R_v，即：

z＝Hθ+v   (12)

这样就把观测量和状态向量联系起来，通过这个模型，可以得到节点电压相位的估计值；

根据上述假设，在给定状态向量θ情况下的z的条件概率密度函数为

$p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\π}\right)}^{\frac{N}{2}}{\left|R_v\right|}^{\frac{1}{2}}}\exp \{-{(z-\mathrm{H\θ})}^T{R}_v^{-1}(z-\mathrm{H\θ})/2\}---\left(13\right)$

然而如果存在不可被检测的攻击和PMU时，实际得到的观测量z_a是和z不同的，实际观测量z_a是在z的基础上加上了不可被检测攻击的影响：

z_a＝Hθ+Qa+v   (14)

z_a反映了观测量与状态向量的真实关系；

步骤4构造用于确定PMU安装位置的系数J_iiR_aii：

通过(2)式，(13)式和(14)式，可以得到节点电压相位的MAP(最大后验)估计，再通过求MAP估计与实际电压相位之差平方的期望值得到估计的MSE(均方差)；MSE与PMU的位置的关系主要由系数J_iiR_aii决定，R_aii为攻击协方差矩阵R_a的第(i,i)项，J_ii为矩阵J的(i,i)项，J的定义如下：

J＝C^TC   (15)

其中

$C=B^{-1}{H}^T{R}_v^{-1}---\left(16\right)$

$B=H^T{R}_v^{-1}H+R_{\mathrm{\θ}}^{-1}---\left(17\right)$

步骤5通过排序系数找到最优PMU安装位置：

将系数J_iiR_aii由大到小排序，若有M个PMU，则选择排序的前M个数值对应的i值作为安装PMU的节点位置。

2.如权利要求1所述的一种基于最小均方误差的最优PMU布置方法，其特征在于步骤4的具体步骤为：

步骤4-1电网节点电压相位θ的MAP估计是使后验概率最大时对应的相位值，即

$\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP}}=\arg \underset{\mathrm{\θ}}{\max }\left\{p_{\mathrm{\θ}|z}\left(\mathrm{\θ}\right|z)\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\θ}}{\max }\left\{\frac{p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)}{p\left(z\right)}\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\θ}}{\max }\left\{p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)\right\}\\ =\arg \underset{\mathrm{\θ}}{\max }\{\ln p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})+\ln p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)\}\end{array}---\left(18\right)$

步骤4-2步骤1和步骤3给出了(16)式所需的两个概率密度函数，通过将(16)式对θ求一阶导为0：

$[\frac{\∂\ln p_{z|\mathrm{\θ}}\left(z\right|\mathrm{\θ})}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂\ln p_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\θ}\right)}{\∂\mathrm{\θ}}]{|}_{\mathrm{\θ}={\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP}}}=0---\left(19\right)$

可以得到电压相位的MAP估计为：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP}}={(H^T{R}_v^{-1}H+R_{\mathrm{\θ}}^{-1})}^{-1}{H}^T{R}_v^{-1}z---\left(20\right)$

步骤4-3因为存在不可被检测的攻击向量a，所以实际的观测量为z_a，因此，实际的到的节点电压相位的MAP估计为：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP},a}={(H^T{R}_v^{-1}H+R_{\mathrm{\θ}}^{-1})}^{-1}{H}^T{R}_v^{-1}{z}_a---\left(21\right)$

因此，实际得到的MAP估计的MSE矩阵为：

其中

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\θ}-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{MAP},a}\\ =\mathrm{\θ}-B^{-1}{H}^T{R}_v^{-1}(\mathrm{H\θ}+\mathrm{Qa}+v)\\ =B^{-1}[(H^T{R}_v^{-1}H+R_{\mathrm{\θ}}^{-1})\mathrm{\θ}-H^T{R}_v^{-1}\mathrm{H\θ}-H^T{R}_v^{-1}\mathrm{Qa}-H^T{R}_v^{-1}v]\\ =B^{-1}(R_{\mathrm{\θ}}^{-1}\mathrm{\θ}-H^T{R}_v^{-1}\mathrm{Qa}-H^T{R}_v^{-1}v)\end{array}---\left(23\right)$

步骤4-4：由(17)式可以看出B和B^-1都是对称的，因此MSE矩阵为：

其中

步骤4-5：考虑到MSE矩阵对角元素为每个节点电压相位估计的MSE，要确定使电网中不可被检测攻击的影响达到最小的PMU安装位置，即为MSE矩阵对角元素和最小时的PMU安装位置，目标函数为：

其中为矩阵的对角线元素之和，M为PMU的数量，表示的基数，为安装了PMU位置的集合，即

通过展开目标函数可以得到：

$\begin{array}{c}\mathrm{tr}\left(R_{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\θ}}}\right)=\mathrm{tr}(B^{-1}-D-D^T+{\mathrm{CQRQ}}^T{C}^T)\\ =\mathrm{tr}\left(B^{-1}\right)+\mathrm{tr}\left({\mathrm{JQRQ}}^T\right)-2\mathrm{tr}\left(D\right)\end{array}---\left(28\right)$

步骤4-6：考虑到(28)式的第一项是不包含优化的变量，a的均值为零，(26)式的优化目标函数为：

考虑到q_i为1或0,则目标函数等效于：

定义

x_i＝J_iiR_aii   (31)。

3.如权利要求2所述的一种基于最小均方误差的最优PMU布置方法，其特征在于步骤5的具体步骤为：

对x_i进行降序排序，

$x_{d_1}>x_{d_2}>...>x_{d_N}---\left(32\right)$

其中d_n表示第n个最大x_i的值对应的节点标号，显然，最优方法为