CN107204616A - 基于自适应稀疏伪谱法的电力系统随机状态估计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种基于自适应稀疏伪谱法的电力系统随机状态估计方法，包括以下步骤：1）建立电力系统随机状态估计模型；2）采用自适应稀疏伪谱法求解电力系统随机状态估计模型。与现有技术相比，本发明在保证能处理各种类型的量测不确定性以及得到可信性的状态估计结果的同时，提高了电力系统随机状态估计的计算效率，并能根据精度要求自动确定计算量，具有适用性广、计算效率高、灵活性大等优点。
Description
技术领域
本发明涉及一种电力系统随机状态估计方法，尤其是涉及一种基于自适应稀疏伪谱法的电力系统随机状态估计方法。
背景技术
电力系统状态估计是能量管理系统(energy management system，EMS)中最基础的软件之一，其计算结果的准确性对于电力系统的分析和控制具有重要意义。当前大多数状态估计方法以某种类型的目标函数达到最大或最小值为目标，由一组确定的量测值计算出系统状态的一组估计值。然而，这类确定性状态估计方法由于没有量化量测值与真实值间误差的可能范围(即量测不确定性)，所以无法确定所计算出的状态估计值与状态真值之间的关系，不能给出状态真值可能的范围，使得估计结果的可信性不足。并且状态估计结果严重依赖于所使用的一组量测值的准确性，当量测的误差较大时，状态估计结果的准确性难以保证。尤其是在配电网和有大量分布式电源接入的系统中，许多负荷节点以及分布式电源节点因缺乏实时监测，为保证系统的可观性而必须使用误差较大的伪量测，此时状态估计结果的准确性更加难以保证。因此，为提高估计结果的准确性和可信性，亟待发展能够量化量测不确定性、不仅能够给出一组状态估计值还能给出状态真值可能范围的新状态估计方法。
量测不确定性模型分为区间模型和概率模型。区间模型在用加权最小二乘法估计出一组状态变量值后，在该值附近对量测计算值函数进行线性化展开，然后以量测计算值函数位于量测不确定区间内为约束，用最优化方法分别求每个状态变量的上下界，从而得到每个状态变量的不确定区间。由于量测计算值函数为非线性函数，且每个状态变量需要分别独立地求解上下界，所以区间模型的计算量较大，并且区间模型只能够反映量测不确定性的范围，而不能反映量测取各个值的可能性大小，因而其计算结果具有较大的保守性。概率模型则将负荷或分布式发电伪量测的不确定性建模成服从一定概率分布的随机变量，再将状态变量看成随机变量的函数，于是不确定性状态估计问题就变成了如下不确定量化问题：已知伪量测不确定性的概率分布以及它状态变量间的函数关系，求状态变量的期望、方差等矩信息以及概率密度。基于概率模型的不确定状态估计(以下记做随机状态估计)因为能够体现量测在不确定区间各点的可能性，所以不仅能得到状态变量所在的区间，还能提供状态变量的期望、方差等更多信息，有效降低了估计结果保守性。因此随机状态估计对于提高状态估计的准确性具有重要意义。
用于随机状态估计求解的不确定性量化方法包括模拟法、近似法等传统方法以及广义多项式混沌法这种新型不确定量化方法。
模拟法以蒙特卡罗法(Monte Carlo method，MCM)为代表，其收敛速度与随机变量维数无关，故可方便地应用于大规模系统，但其误差与抽样数的平方根成反比，若达到较高计算精度，其所需要的计算量较大，计算时间较长。近似法中的代表方法为点估计法，它通过对不确定变量在能反映输入随机变量中心矩信息的相应点处进行少量抽样，然后计算输出变量的期望、方差等各阶矩，虽然计算量较小，但因样本点少，其所计算得到的各阶矩精度较低，且无法反映输出变量的整体概率分布。
广义多项式混沌法(generalized polynomial chaos,gPC)是基于多项式函数逼近理论的不确定性量化方法。该类方法的基本思想是采用以输入随机变量为自变量的正交多项式基函数的线性组合逼近输入输出变量间的函数关系，从而可快速地求解出输出变量的各阶矩和概率密度。由于该方法能近似得到输入输出变量间完整的函数关系，而不仅仅是近似得到输入输出各阶矩之间的关系，因而其计算精度要高于点估计法。该方法达到相同计算精度所需要进行的抽样及相关的计算量远小于蒙特卡罗法，而备受数学理论界及工程界的重视。
广义多项式混沌法分成基函数集的构造和基函数系数的计算两部分。根据对这两部分的处理方法的不同，可有不同类型的广义多项式混沌法，如Galerkin法和随机配置点法。在所有类型的广义多项式混沌法总，自适应稀疏伪谱法因实现了基函数集的灵活构造和基函数系数的准确计算，而成为具有最高计算效率的方法。它利用与指标集对应的一般化Smolyak稀疏网格灵活地构造逼近函数，并使用与展开阶次相配合的数值积分计算各张量积网格逼近函数，再结合自适应算法对指标集、基函数集以及逼近函数进行自动扩展，直到满足事先给定的计算精度。但该方法也存在如下缺点：1)其终止判据不能准确估计出逼近函数的精度，导致所得逼近函数无法保证达到预期精度；2)该方法原本只适用于单输出量化问题，在直接推广到多输出量化问题时，难以充分利用抽样结果因而计算效率低。因此，需要针对上述两个缺点对自适应稀疏伪谱法进行改进，进一步提高其计算效率，以实现对随机状态估计问题更为准确和快速的求解。
发明内容
本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种计算效率高、适用性广、灵活性大的基于自适应稀疏伪谱方法的电力系统随机状态估计方法。
本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：
一种基于自适应稀疏伪谱法的电力系统随机状态估计方法，其特征在于，具体步骤如下：
(1)建立电力系统随机状态估计模型；
所述随机状态估计模型具体为：
式中：i为量测序号；d为随机量测的总个数；Nz为量测的总个数，所有Nz个量测构成量测向量其中Zi为以概率分布表示的随机量测， i＝1,...,d；所有随机量测相互独立并构成随机量测向量Z＝(Z1,...,Zd)，Z的定义域记为Ω；vj为以单个数值表示的普通量测，j＝d+1,...,Nz；hi(x)为第i个量测的计算值；σi为第i个量测的标准差；x＝(x1,...,xD)为状态变量，包括所有节点的电压幅值和非参考节点的电压相角，D为状态变量的总个数；l(x)为零注入节点的功率约束方程；X＝(X1,...,XD)为使式(1)取最小值的状态变量x的取值；
每给定随机量测Z的一组取值，都能根据式(1)计算出X的相应取值，所以式 (1)决定了X与Z间的函数关系，记为：
X＝f(Z) (2)
Xj＝f(j)(Z),j＝1,...D (3)
求解随机状态模型就是根据式(1)的模型，包括Z的概率分布以及X与Z间的函数关系f，计算出状态变量向量X的期望、方差、概率分布以及在一定置信概率下的置信区间；
(2)采用自适应稀疏伪谱法求解步骤(1)所述的电力系统随机状态估计模型；
(2.1)辨识并剔除量测向量中的不良数据：在随机量测向量Z取概率分布均值时，进行一次基于自适应核密度理论的确定性状态状态估计：
式中ωi为第i个量测的权重，δi为第i个量测所对应的核函数带宽，能在迭代求解过程中自动变化，以辨识不良数据；
根据式(4)计算出x后，遍历所有普通量测vi,i＝d+1,...,Nz，若vi满足 |hi(x)-vi|＞5σi，且剔除vi后电力系统仍是可观测的，则将vi辨识为不良数据并从量测向量中剔除；
(2.2)初始化自适应稀疏伪谱法的计算过程：
(2.2.1)根据随机量测向量Z的概率分布计算正交基函数系
所述正交基函数系的计算式为：
式中为关于Zi的ni次单维正交基函数；ρi(Zi)为Zi的概率密度函数； [ai,bi]为Zi的分布区间；Φn(Z)为关于Z正交基函数,n＝(n1,...,nd)为Φn(Z)的次数；
(2.2.2)选择次数分量s(i)(ki),i＝1,...,d随指标分量ki的增长关系，要求s(i)(ki)是 ki的单调递增函数，例如s(i)(ki)＝ki-1；
(2.2.3)选择单维积分算子要求的代数精度不小于2s(i)(ki)，例如为s(i)(ki)+1点高斯积分算子；
(2.2.4)令指标集为单元素集合{(1,...,1)}，有效集旧集给定误差槛值TOL；
(2.3)计算与指标集对应的Xj＝f(j)(Z)的多项式逼近函数
所述逼近函数的计算公式具体为：
式中k＝(k1,...,kd)和t＝(t1,...,td)为指标，是由正整数构成的向量，ki和ti分别是它们的第i个分量；是指标集，由旧集和有效集组成；和Δk(f)分别为与指标k对应的张量积网格逼近函数和张量积差分网格逼近函数；ck为的网格系数；为基函数集，包含逼近函数中所有的基函数Φn(Z)，并且与指标集相对应； s(k)＝(s(1)(k1),...,s(d)(kd))为中基函数的最高次数，s(i)(ki)为它的第i个分量；是d维张量积积分算子，其中为张量积运算符，为用计算积分∫ΩΦn(Z)·f(j)(Z)·ρ(Z)dZ所得近似值。
(2.4)计算全局误差估计值η，若η≤TOL，则迭代过程结束，转步骤(2.6)；
所述全局误差估计值η的计算公式为：
式中为的一个子集，为的系数，为多重指标集合(即相同的元素可以重复出现的集合)，删除中的重复元素并只保留其中一个之后所得到的集合即为的值等于指标t在中出现的次数；为指标k的所有后邻指标构成的集合，指标k的后邻指标为其中为d维正整数集，ei为单位指标，它的第i个分量为1，其余分量都为0，指标k的前邻指标为 k+ei，i＝1,...,d；
(2.5)添加新指标到指标集并转步骤(2.3)进行迭代计算；
所述添加新指标到指标集的具体过程为：
(2.5.1)计算
(2.5.2)找到集合中具有最大εk的指标k，并将k从移到中：
(2.5.3)添加指标到并将指标集更新为其中表示指标p的所有后邻指标构成的集合，表示k的所有前邻指标构成的集合；
(2.6)计算状态变量Xj,j＝1,...D的各阶矩、概率密度以及置信区间；
(2.6.1)将逼近函数写成基函数线性组合的形式：
式中为基函数Φn(Z)的系数；
(2.6.2)计算状态变量Xj,j＝1,...D的期望和方差：
(2.6.3)计算状态变量Xj,j＝1,...D的高阶矩、概率密度和置信区间：用代替状态变量Xj＝f(j)(Z)进行蒙特卡罗(Monte Carlo Method，MCM)抽样，并将得到的的抽样点从小到大排列为其中M为抽样点的总个数；
Xj的p(p≥3)阶矩为：
Xj在任意点a的概率密度函数值为Ma/(MΔx)，其中Δx是一较小正数，Ma为落在区间[a-Δx/2,a+Δx/2]内的抽样点的个数；Xj在处的分布函数值为 m/M；
Xj在给定置信水平q时的置信区间为其中mlower和mupper分别为不超过(1-q)M/2和(1+q)M/2的最大整数。
与现有技术相比，本发明具有以下优点：
(1)本发明使用了自适应稀疏伪谱方法，并在其基础上进行了一些改进，包括提出新的终止判据以及统一多输出变量情形下的指标集，从而一方面使得该方法的计算精度能够更接近给定的计算精度，减小计算精度超过给定计算精度时不必要的计算量或者避免算法未达到给定的计算精度，另一方面高效地将该方法推广到多输出变量的情形。
(2)本发明提出了电力系统随机状态估计模型，其状态估计结果不仅包含了状态变量可能位于的区间，还包含了状态变量在每个点取值的概率，因而比传统的确定性状态估计以及基于区间模型的不确定状态估计的估计结果更为准确。
(3)本发明提出了采用自适应稀疏伪谱法求解电力系统随机状态估计问题的方法，比用其他不确定性量化方法求解该问题具有更高的计算效率。
附图说明
图1为本发明的流程示意图；
图2为本发明实施例中拥有118节点的实验系统的示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。
如图1所示，本实施例提供一种基于自适应稀疏伪谱方法的电力系统随机状态估计方法，包括步骤：
S1、建立电力系统随机状态估计模型
基于加权最小二乘法的电力系统随机状态估计的数学模型具体为：
式中：i为量测序号；d为随机量测的总个数；Nz为量测的总个数，所有Nz个量测构成量测向量其中Zi为以概率分布表示的随机量测， i＝1,...,d；所有随机量测相互独立并构成随机量测向量Z＝(Z1,...,Zd)，Z的定义域记为Ω；vj为以单个数值表示的普通量测，j＝d+1,...,Nz；hi(x)为第i个量测的计算值；σi为第i个量测的标准差；x＝(x1,...,xD)为状态变量，包括所有节点的电压幅值和非参考节点的电压相角，D为状态变量的总个数；l(x)为零注入节点的功率约束方程；X＝(X1,...,XD)为使式(1)取最小值的状态变量x的取值；
每给定随机量测Z的一组取值，都能根据式(1)计算出X的相应取值，所以式 (1)决定了X与Z间的函数关系，记为：
X＝f(Z) (2)
Xj＝f(j)(Z),j＝1,...D (3)
求解随机状态模型就是根据式(1)的模型，包括Z的概率分布以及X与Z间的函数关系f，计算出状态变量向量X的期望、方差、概率分布以及在一定置信概率下的置信区间。
S2、采用自适应稀疏伪谱逼近新方法求解电力系统随机状态估计模型
S201、不良数据的辨识和剔除
辨识并剔除量测向量中的不良数据：在随机量测向量Z取概率分布均值时，进行一次基于自适应核密度理论的确定性状态状态估计：
式中ωi为第i个量测的权重，δi为第i个量测所对应的核函数带宽，能在迭代求解过程中自动变化，以辨识不良数据；
根据式(4)计算出x后，遍历所有普通量测vi,i＝d+1,...,Nz，若vi满足 |hi(x)-vi|＞5σi，且剔除vi后电力系统仍是可观测的，则将vi辨识为不良数据并从量测向量中剔除；
S202、初始化自适应稀疏伪谱法的计算过程
求出随机量测向量Z对应的正交多项式Φn(Z)以及张量积积分规则。给定误差槛值TOL。设定指标集
S203、对随机状态估计模型进行抽样计算
记积分规则对应的所有抽样点为Z(m)m＝1,2,...,M，根据S1的电力系统随机状态估计模型计算出Z(m)对应的状态变量的值X(m)＝f(Z(m)),m＝1,2,...,M。
S204、计算指标集对应的多项式逼近函数
逼近函数的计算公式具体为：
γn＝∫ΩΦn(Z)·Φn(Z)·ρ(Z)dZ
式中f(j)为Xj与Z的函数关系式；k＝(k1,...,kd)和t＝(t1,...,td)为指标，是由正整数构成的向量，ki和ti分别是它们的第i个分量；是指标集，由旧集和有效集组成，在首次迭代时，和Δk(f)分别为与指标k对应的张量积网格逼近函数和张量积差分网格逼近函数；ck为的网格系数；Φn(Z)为带权ρ(z)的正交基函数；n＝(n1,...,nd)为Φn(Z)的次数，ni为它的第i个分量；为基函数集，包含逼近函数中所有的基函数Φn(Z)，并且与指标集相对应； s(k)＝(s(1)(k1),...,s(d)(kd))为中基函数的最高次数，s(i)(ki)为它的第i个分量， s(i)(ki)＝ki-1。是d维(s(1)(k1)+1)×…×(s(d)(kd)+1)点高斯张量积积分算子，是它使用的所有积分点(即抽样点)，其中积分点在第i个维度的分量，为的权重分量。
S205、计算新型终止判据
全局误差估计值μ的计算公式为：
相应的新型终止判据为：
η≤TOL
式中式中η为新的全局误差估计值；TOL为给定的误差槛值；为的一个子集，为的系数，为多重指标集合(即相同的元素可以重复出现的集合)，删除中的重复元素并只保留其中一个之后所得到的集合即为的值等于指标t在中出现的次数；为指标k的所有后邻指标构成的集合，指标k的后邻指标为其中为d维正整数集，ei为单位指标，它的第i个分量为1，其余分量都为0，指标k的前邻指标k+ei，i＝1,...,d。
若η≤TOL，则终止判据得到满足，终止迭代并转S207，否则进行下一步的指标添加操作。
S206、添加新指标到指标集
将指标添加到指标集的具体过程如下：
(i)计算
(ii)找到集合中具有最大εk的指标k，
(iii)并更新其中表示指标p的所有后邻指标构成的集合。
(iiii)转S203进行迭代。
S207、计算状态变量的各阶矩、概率密度以及置信区间
(i)将逼近函数写成基函数线性组合的形式：
式中为基函数Φn(Z)的系数；
(ii)状态变量Xj,j＝1,...D的期望和方差通过以下公式计算：
(iii)用代替状态变量Xj＝f(j)(Z)进行蒙特卡罗抽样，就可得到Xj的高阶矩和概率密度；设从蒙特卡罗抽样得到的的M个样本为将 M个样本从小到大排列，则样本就是其在样本中的序号与总样本数M比值的分位数；给定置信概率p时的置信区间为其中分别为 (1-p)/2和(1+p)/2的分位数。
为了验证基于自适应稀疏伪谱法的电力系统随机状态估计方法的有效性，以拥有118节点IEEE系统作为实验系统。该系统共337个量测，电压、有功以及无功量测值分别通过在真实值的基础上添加0.1％、2％、3％的高斯随机噪声得到。随机量测个数d＝20，包括5个风力发电节点的随机量测(服从Weibull分布)、4个光伏发电节点的随机量测(服从Beta分布)以及11个负荷节点的随机量测。状态变量数D＝235，包括所有节点的电压幅值以及非平衡节点的电压相角。
自适应稀疏伪谱法的(以下记做NA-SPAM)的误差槛值TOL设定为0.002，逼近网格中基函数的最高次数s(k)的各个分量为，s(i)(ki)＝ki-1,i＝1,...,d，所用的积分规则为(s(1)(k1)+1)×…×(s(d)(kd)+1)点高斯积分规则。用2×105次抽样的蒙特卡罗法(以下记做MCM)求解随机状态估计问题得到的结果作为其他方法的基准。NA-SPAM和各抽样次数的拉丁超立方抽样(Latin Hypercube Sampling，LHS) 和MCM的抽样次数、计算时间和计算误差见表1，其中计算误差的计算式为：
式中τi为各种方法对状态变量Xj的标准差的计算值，τi,ref为基准MCM对Xj的标准差的计算值。
表1 NA-SPAM与LHS、MCM的计算时间和计算误差的对比
| 方法 | 抽样次数 | 用时(s) | 计算误差 |
| NA-SPAM | 41 | 4.494 | 1.61E-3 |
| LHS | 1000 | 28.64 | 1.08E-2 |
| MCM | 1000 | 28.64 | 2.02E-2 |
| MCM | 4000 | 114.5 | 1.01E-2 |
| MCM | 16855 | 482.7 | 5.00E-3 |
表1表明，NA-SPAM只需要41次抽样、少于5s的计算量，就可以达到比 1000次LHS抽样和16855次MCM抽样高得多的计算精度，在计算效率方面优势明显。这表明所提出的基于自适应稀疏伪谱法的电力系统随机状态估计方法是有效的。
以上所述的具体实施例仅为说明本发明的实现效果，并不用以限制本发明。凡在本发明所提出的方法的基本思路和框架之内所作的任何非实质性的修改、转换和改进，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (1)
1.一种基于自适应稀疏伪谱法的电力系统随机状态估计方法，其特征在于，具体步骤如下：
(1)建立电力系统随机状态估计模型；
所述随机状态估计模型具体为：
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式中：i为量测序号；d为随机量测的总个数；Nz为量测的总个数，所有Nz个量测构成量测向量其中Zi为以概率分布表示的随机量测，i＝1,...,d；所有随机量测相互独立并构成随机量测向量Z＝(Z1,...,Zd)，
vj为以单个数值表示的普通量测，j＝d+1,...,Nz；hi(x)为第i个量测的计算值；σi为第i个量测的标准差；x＝(x1,...,xD)为状态变量，包括所有节点的电压幅值和非参考节点的电压相角，D为状态变量的总个数；l(x)为零注入节点的功率约束方程；X＝(X1,...,XD)为使式(1)取最小值的状态变量x的取值；
每给定随机量测Z的一组取值，都能根据式(1)计算出X的相应取值，所以式(1)决定了X与Z间的函数关系，记为：
X＝f(Z) (2)
Xj＝f(j)(Z),j＝1,...D (3)
求解随机状态模型就是根据式(1)的模型，包括Z的概率分布以及X与Z间的函数关系f，计算出状态变量向量X的期望、方差、概率分布以及在一定置信概率下的置信区间；
(2)采用自适应稀疏伪谱法求解步骤(1)所述的电力系统随机状态估计模型；
(2.1)辨识并剔除量测向量中的不良数据：在随机量测向量Z取概率分布均值时，进行一次基于自适应核密度理论的确定性状态状态估计：
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<mfenced open = "{" close = "">
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式中ωi为第i个量测的权重，δi为第i个量测所对应的核函数带宽，能在迭代求解过程中自动变化，以辨识不良数据；
根据式(4)计算出x后，遍历所有普通量测vi,i＝d+1,...,Nz，若vi满足|hi(x)-vi|>5σi，且剔除vi后电力系统仍是可观测的，则将vi辨识为不良数据并从量测向量中剔除；
(2.2)初始化自适应稀疏伪谱法的计算过程：
(2.2.1)根据随机量测向量Z的概率分布计算正交基函数系
所述正交基函数系的计算式为：
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</mrow>
1
式中为关于Zi的ni次单维正交基函数；ρi(Zi)为Zi的概率密度函数；[ai,bi]为Zi的分布区间；Φn(Z)为关于Z正交基函数,n＝(n1,...,nd)为Φn(Z)的次数；(2.2.2)选择次数分量s(i)(ki),i＝1,...,d随指标分量ki的增长关系，要求s(i)(ki)是ki的单调递增函数，例如s(i)(ki)＝ki-1；
(2.2.3)选择单维积分算子要求的代数精度不小于2s(i)(ki)，例如为s(i)(ki)+1点高斯积分算子；
(2.2.4)令指标集为单元素集合{(1,...,1)}，有效集旧集给定误差槛值TOL；
(2.3)计算与指标集对应的Xj＝f(j)(Z)的多项式逼近函数
所述逼近函数的计算公式具体为：
γn＝∫ΩΦn(Z)·Φn(Z)·ρ(Z)dZ (9)
式中k＝(k1,...,kd)和t＝(t1,...,td)为指标，是由正整数构成的向量，ki和ti分别是它们的第i个分量；是指标集，由旧集和有效集组成；和△k(f)分别为与指标k对应的张量积网格逼近函数和张量积差分网格逼近函数；ck为的网格系数；为基函数集，包含逼近函数中所有的基函数Φn(Z)，并且与指标集相对应；s(k)＝(s(1)(k1),...,s(d)(kd))为中基函数的最高次数，s(i)(ki)为它的第i个分量；是d维张量积积分算子，其中为张量积运算符，为用计算积分∫ΩΦn(Z)·f(j)(Z)·ρ(Z)dZ所得近似值；
(2.4)计算全局误差估计值η，若η≤TOL，则迭代过程结束，转步骤(2.6)；
所述全局误差估计值η的计算公式为：
式中为的一个子集，为的系数，为多重指标集合(即相同的元素可以重复出现的集合)，删除中的重复元素并只保留其中一个之后所得到的集合即为 的值等于指标t在中出现的次数；为指标k的所有后邻指标构成的集合，指标k的后邻指标为其中为d维正整数集，ei为单位指标，它的第i个分量为1，其余分量都为0，指标k的前邻指标为k+ei，i＝1,...,d；
(2.5)添加新指标到指标集并转步骤(2.3)进行迭代计算；
所述添加新指标到指标集的具体过程为：
(2.5.1)计算
(2.5.2)找到集合中具有最大εk的指标k，并将k从移到中：
(2.5.3)添加指标到并将指标集更新为其中表示指标p的所有后邻指标构成的集合，表示k的所有前邻指标构成的集合；
(2.6)计算状态变量Xj,j＝1,...D的各阶矩、概率密度以及置信区间；
(2.6.1)将逼近函数写成基函数线性组合的形式：
式中为基函数Φn(Z)的系数；
(2.6.2)计算状态变量Xj,j＝1,...D的期望和方差：
(2.6.3)计算状态变量Xj,j＝1,...D的高阶矩、概率密度和置信区间：用代替状态变量Xj＝f(j)(Z)进行蒙特卡罗(Monte Carlo Method，MCM)抽样，并将得到的的抽样点从小到大排列为其中M为抽样点的总个数；
Xj的p(p≥3)阶矩为：
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Xj在任意点a的概率密度函数值为Ma/(M△x)，其中△x是一较小正数，Ma为落在区间[a-△x/2,a+△x/2]内的抽样点的个数；Xj在处的分布函数值为m/M；
Xj在给定置信水平q时的置信区间为其中mlower和mupper分别为不超过(1-q)M/2和(1+q)M/2的最大整数。
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