CN105719023A - 一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法，其特点是：包括数据采集及处理、建立混合高斯分布模型、基于期望最大化算法计算混合分布函数参数和模型评价指标等步骤，通过将多个高斯分布进行线性组合得到“多权值混合高斯分布模型”，并通过期望最大化算法对模型参数进行估计，降低了最大似然估计的计算复杂度；直接依据误差分布本身的客观规律进行建模，避免了人为主观性，从而弥补了单一分布模型形状不够灵活，通用性差的缺点，实现了对风电功率实时预测误差更准确的描述，具有科学合理，适用性强，预测精度高等优点。

Description

一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法

技术领域

本发明涉及风电技术领域，是一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法。

背景技术

近年来，随着风电装机容量及渗透率在电力系统中的不断提高，风电功率预测方法更多地被国内外研究人员所关注。预测方法一直以来被认为是提高风电功率预测精度的最主要途径，国内外的相关学者做了大量工作，如时间序列法、相空间重构法、人工神经网络法、组合预测法、非参数估计法、支持向量机法等。风电功率的变化不具备明显的规律性，故目前的风电功率预测精度仍有限，因此对风电功率预测误差分析尤为重要。

风电功率预测所产生的误差从时域上分析应该属于无规则的白噪声序列，从误差出现频率来看应该呈现出一定的概率分布。在实际预测中大量样本所呈现的误差分布可能较为接近正态分布，但由于预测方法和实际环境的不同而存在较大的差异，因此应针对不同预测方法，不同风电场规模提出一种通用的方法。实时预测是指自上报时刻起未来15分至4小时的预测预报，时间分辨率为15分钟，可见对于风电功率实时预测，每天需要进行96次预测，每次预报的数据量为16个，而实时预测误差即为实时预测模式下的误差。

发明内容

本发明的目的是，提供一种科学合理，适用性强，预测精度高，直接依据实时预测误差分布特性的基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法。

本发明的目的是由以下技术方案来实现的：一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法，它包括以下步骤：

1)数据采集及处理

采集风电场风电功率实测数据和预测数据，采样时间间隔为15min，计算风电功率预测误差标幺值为

$P_w=\frac{P_R\left(t\right)-P\left(t\right)}{P_{cap}}---\left(1\right)$

其中，P_R(t)为风电功率预测值，P(t)为风电功率真实值，P_cap为风机开机容量；

2)建立混合高斯分布模型

混合高斯分布模型是多个高斯分布的线性组合，对于高斯分布的概率密度函数表达式，如式(2)所示，

$N({\mathrm{\μ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i^2)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\σ}}_i}{e}^{-\frac{1}{2{\mathrm{\σ}}_i^2}{(x-{\mathrm{\μ}}_i)}^2}---\left(2\right)$

其中，x为样本点，μ_i为样本均值，为样本方差，

混合高斯分布其概率密度函数表示为

$f\left(X\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{a}_{i}N(X_i;{\mathrm{\μ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i^2),i=1,...n---\left(3\right)$

其中，X为总体样本，a_i为第i个高斯分布的权值，μ_i为第i个高斯分布的均值，为第i个高斯分布的方差，σ_i为第i个高斯分布的标准差，n为高斯分布数目，当n＝1时，混合高斯模型f(x)＝N(μ,σ)即为一维高斯分布的概率密度函数；

3)基于期望最大化(ExpectationMaximization,EM)算法计算混合分布函数参数

设θ_j＝(a_j,μ_j,σ_j),j＝1,2,…,K，高斯混合模型由K个单一高斯模型线性组合而成，通过样本集X来估计混合高斯模型的所有参数：Θ＝(θ₁,θ₂,…θ_k)^T，包括权值，均值，标准差等，样本集X的对数似然函数可表示为如下形式：

$L\left(X\right|\mathrm{\Θ})=\ln \underset{i=1}{\overset{T}{\Π}}{f}_k\left(X_i\right)=\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}\ln \underset{j=1}{\overset{K}{\Σ}}{a}_j{f}_j(X_i;{\mathrm{\μ}}_j,{\mathrm{\σ}}_j)---\left(4\right)$

其中T为样本总数，适合当前样本集的混合模型参数Θ₀将会最大化式(4)对数似然函数，即混合模型统计参数的估计满足：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Θ}}_0=\arg & \underset{\mathrm{\θ}}{max}L\left(\mathrm{\Θ}\right)\end{array}---\left(5\right)$

设混合高斯模型参数的初始估计为Θ⁽⁰⁾，并设第q步迭代的混合模型参数为Θ^(q)，则第q+1步迭代过程为：

(a)计算期望(E-Step)

根据当前混合模型的参数Θ^(q)计算每个数据属于第j类分布的后验概率：

${\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}=\frac{a_j^{\left(q\right)}{f}_j(X_i;{\mathrm{\Θ}}^{\left(q\right)})}{\underset{r=1}{\overset{k}{\Σ}}{a}_r^{\left(q\right)}{f}_r(X_i;{\mathrm{\Θ}}^{\left(q\right)})},1\≤i\≤T,1\≤j\≤K---\left(6\right)$

(b)最大化期望(M-Step)

获得每个数据属于各子类的后验概率后，利用梯度下降法求解式(4)，得到Θ在第q+1步的估计，

权值计算： $a_j^{(q+1)}=\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}---\left(7\right)$

均值计算： ${\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)}=\frac{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}{X}_i}{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}}---\left(8\right)$

协方差矩阵计算：

${\mathrm{\σ}}_j^{(q+1)}=\frac{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}(X_i-{\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)}){(X_i-{\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)})}^T}{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}}---\left(9\right)$

重复(a)和(b)步骤，直到||Θ^(q+1)-Θ^(q)||无穷小，即收敛时停止；

4)模型评价指标

纵向误差采用绝对值平均误差和均方根误差，二者值越小，说明模型在纵向与实际值越接近，模型精度越高；横向误差采用相关系数用于描述两组序列的相关程度，其值越接近于1，表明两组序列形态相似程度越高，模型越好，

模型误差计算公式如下：

$y_i=f\left({\stackrel{\‾}{C}}_i\right)---\left(10\right)$

则模型误差为

$e_i=y_i-{\stackrel{\‾}{N}}_i---\left(11\right)$

式中：i＝1,2,...,M，其中M为频率分布直方图的数组；和分别为第i个直方柱的纵坐标数值和其中间位置对应的横坐标数值；f为拟合的概率密度函数；为在给定横坐标数值上对应的纵坐标数值，

指标定义如下：

$e_{MAE}=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left|e_i\right|---\left(12\right)$

$e_{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{e}_i^2}---\left(13\right)$

$R=\frac{\mathrm{cov}(Y_1,Y_2)}{\sqrt{D\left(Y_1\right)}\·\sqrt{D\left(Y_2\right)}}---\left(14\right)$

其中，m为数据序列的长度；cov(·)为样本协方差；D(·)为样本方差；Y₁,Y₂为两个样本。

本发明提出的一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法的优点体现在：

1.由于多个高斯分布模型进行线性组合，从而弥补了单一分布模型形状不够灵活的缺点，实现了对风电功率实时预测误差更准确的描述；

2.本发明方法的物理意义明确，对不同预测方法产生的预测误差都有很好的效果；

3.可为其他方法提够参考依据。

附图说明

图1为基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法的算法流程图；

图2为本发明的预测方法下某风电场风电功率预测误差分布曲线对比图。

具体实施方式

下面利用附图和实施例对本发明的一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法进行详细说明。

参照图1，本发明的一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法，包括以下步骤：

(1)数据采集及处理

采用东北地区某风电场实测数据为研究对象，该风电场位于吉林省，装机容量为400.5MW，选取2012年9月份30天数据为例，采用时间序列法进行风电功率实时预测，根据公式(1)计算其月预测误差标幺值，时间分辨率为15min。；

(2)建立混合高斯分布模型

根据混合高斯分布其概率密度函数表示式(3) $f\left(X\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{a}_{i}N(X_i;{\mathrm{\μ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i^2),i=1,...n$ 建立混合高斯分布模型，对2个高斯分布线性组合而成的混合高斯分布模型称为“二权重混合高斯分布模型”，其混合高斯分布的概率密度函数可表示为

$f\left(X\right)=\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{a}_{i}N(X_i;{\mathrm{\μ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i^2)$

对3个高斯分布线性组合而成的混合高斯分布模型称为“三权重混合高斯分布模型”，其混合高斯分布的概率密度函数可表示为

$f\left(X\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}{a}_{i}N(X_i;{\mathrm{\μ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i^2)$

式中，X为总体样本，a_i为第i个高斯分布的权值，μ_i为第i个高斯分布的均值，为第i个高斯分布的方差，σ_i为第i个高斯分布的标准差。

(3)基于EM算法计算混合分布函数参数

设θ_j＝(a_j,μ_j,σ_j),j＝1,2,…,K，分别计算由2个和3个单一高斯模型线性组合的“二权值混合高斯分布模型”和“三权值混合高斯分布模型”的参数值，即当K＝2和K＝3时，通过样本集X来估计混合高斯模型的所有参数：Θ＝(θ₁,θ₂,…θ_k)^T，包括权值，均值，标准差等，样本集X的对数似然函数可表示为如下形式：

$\begin{array}{c}L\left(X\right|\mathrm{\Θ})=\ln \underset{i=1}{\overset{T}{\mathrm{\Π}}}{f}_k\left(X_i\right)\\ =\underset{i=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}\ln \underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j(X_i;{\mathrm{\μ}}_j,{\mathrm{\σ}}_j)\end{array}---\left(6\right)$

其中T为样本总数。适合当前样本集的混合模型参数Θ₀将会最大化式(4)对数似然函数，即混合模型统计参数的估计满足：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Θ}}_0=\arg & \underset{\mathrm{\θ}}{max}L\left(\mathrm{\Θ}\right)\end{array}---\left(5\right)$

设混合高斯模型参数的初始估计为Θ⁽⁰⁾，并设第q步迭代的混合模型参数为Θ^(q)，则第q+1步迭代过程为：

1.计算期望(E-Step)

根据当前混合模型的参数Θ^(q)计算每个数据属于第j类分布的后验概率：

${\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}=\frac{a_j^{\left(q\right)}{f}_j(X_i;{\mathrm{\Θ}}^{\left(q\right)})}{\underset{r=1}{\overset{k}{\Σ}}{a}_r^{\left(q\right)}{f}_r(X_i;{\mathrm{\Θ}}^{\left(q\right)})},---\left(6\right)$

1≤i≤T,1≤j≤K

2.最大化期望(M-Step)

获得每个数据属于各子类的后验概率后，利用梯度下降法求解式(4)，得到Θ在第q+1步的估计。

权值计算： $a_j^{(q+1)}=\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}---\left(7\right)$

均值计算： ${\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)}=\frac{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}{X}_i}{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}}---\left(8\right)$

协方差矩阵计算：

${\mathrm{\σ}}_j^{(q+1)}=\frac{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}(X_i-{\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)}){(X_i-{\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)})}^T}{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}}---\left(9\right)$

重复1和2步骤，直到||Θ^(q+1)-Θ^(q)||无穷小，即收敛时停止。其参数估计值如表1所示：

表1某风电场模型参数估计值

(4)模型评价指标

纵向误差采用绝对值平均误差和均方根误差，二者值越小，说明模型在纵向与实际值越接近，模型精度越高；横向误差采用相关系数用于描述两组序列的相关程度，其值越接近于1，表明两组序列形态相似程度越高，模型越好。模型误差计算公式如下：

$y_i=f\left({\stackrel{\‾}{C}}_i\right)---\left(10\right)$

则模型误差为

$e_i=y_i-{\stackrel{\‾}{N}}_i---\left(11\right)$

式中：i＝1,2,…,M，其中M为频率分布直方图的数组；和分别为第i个直方柱的纵坐标数值和其中间位置对应的横坐标数值；f为拟合的概率密度函数；为在给定横坐标数值上对应的纵坐标数值，

指标定义如下：

$e_{MAE}=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left|e_i\right|---\left(12\right)$

$e_{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{e}_i^2}---\left(13\right)$

$R=\frac{\mathrm{cov}(Y_1,Y_2)}{\sqrt{D\left(Y_1\right)}\·\sqrt{D\left(Y_2\right)}}---\left(14\right)$

其中，m为数据序列的长度；cov(·)为样本协方差；D(·)为样本方差；Y₁,Y₂为两个样本。

各评价指标如表2所示：

表2不同模型评价指标统计

随混合高斯模型权值数量的增加，模型精度不断提高，“三权值混合高斯分布模型”有最优的评价指标，其绝对值平均误差均为0.1623，均方根误差为0.2608，相关系数为0.9582，较“二权值混合高斯分布模型”和单一高斯分布模型具有更好的精度。

本发明的具体实施方式并非穷举，本领域技术人员不经过创造性劳动的简单复制和改进，应属于本发明权利要求的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于混合高斯分布的风电功率实时预测误差分析方法，其特征是，它包括以下步骤：

1)数据采集及处理

采集风电场风电功率实测数据和预测数据，采样时间间隔为15min，计算风电功率预测误差标幺值为

$P_w=\frac{P_R\left(t\right)-P\left(t\right)}{P_{cap}}---\left(1\right)$

其中，P_R(t)为风电功率预测值，P(t)为风电功率真实值，P_cap为风机开机容量；

2)建立混合高斯分布模型

混合高斯分布模型是多个高斯分布的线性组合，对于高斯分布的概率密度函数表达式，如式(2)所示，

$N({\mathrm{\μ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i^2)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\σ}}_i}{e}^{-\frac{1}{2{\mathrm{\σ}}_i^2}{(x-{\mathrm{\μ}}_i)}^2}---\left(2\right)$

其中，x为样本点，μ_i为样本均值，为样本方差，

混合高斯分布其概率密度函数表示为

$f\left(X\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{a}_{i}N(X_i;{\mathrm{\μ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i^2),i=1,...n---\left(3\right)$

其中，X为总体样本，a_i为第i个高斯分布的权值，μ_i为第i个高斯分布的均值，为第i个高斯分布的方差，σ_i为第i个高斯分布的标准差，n为高斯分布数目，当n＝1时，混合高斯模型f(x)＝N(μ,σ)即为一维高斯分布的概率密度函数；

3)基于期望最大化(ExpectationMaximization,EM)算法计算混合分布函数参数

设θ_j＝(a_j,μ_j,σ_j),j＝1,2,…,K，高斯混合模型由K个单一高斯模型线性组合而成，通过样本集X来估计混合高斯模型的所有参数：Θ＝(θ₁,θ₂,…θ_k)^T，包括权值，均值，标准差等，样本集X的对数似然函数可表示为如下形式：

$L\left(X\right|\mathrm{\Θ})=\ln \underset{i=1}{\overset{T}{\Π}}{f}_k\left(X_i\right)=\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}\ln \underset{j=1}{\overset{K}{\Σ}}{a}_j{f}_j(X_i,\·{\mathrm{\μ}}_j,{\mathrm{\σ}}_j)---\left(4\right)$

其中T为样本总数，适合当前样本集的混合模型参数Θ₀将会最大化式(4)对数似然函数，即混合模型统计参数的估计满足：

${\mathrm{\Θ}}_0=\begin{array}{cc}\arg & \underset{\mathrm{\θ}}{max}L\left(\mathrm{\Θ}\right)\end{array}---\left(5\right)$

设混合高斯模型参数的初始估计为Θ⁽⁰⁾，并设第q步迭代的混合模型参数为Θ^(q)，则第q+1步迭代过程为：

(a)计算期望(E-Step)

根据当前混合模型的参数Θ^(q)计算每个数据属于第j类分布的后验概率：

${\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}=\frac{a_j^{\left(a\right)}{f}_j(X_i;{\mathrm{\Θ}}^{\left(q\right)})}{\underset{r=1}{\overset{k}{\Σ}}{a}_r^{\left(a\right)}{f}_r(X_i;{\mathrm{\Θ}}^{\left(q\right)})},1\≤i\≤T,1\≤j\≤K---\left(6\right)$

(b)最大化期望(M-Step)

获得每个数据属于各子类的后验概率后，利用梯度下降法求解式(4)，得到Θ在第q+1步的估计，

权值计算： $a_j^{(q+1)}=\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}---\left(7\right)$

均值计算： ${\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)}=\frac{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}{X}_i}{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}}---\left(8\right)$

协方差矩阵计算：

${\mathrm{\σ}}_j^{(q+1)}=\frac{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}(X_i-{\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)}){(X_i-{\mathrm{\μ}}_j^{(q+1)})}^T}{\underset{i=1}{\overset{T}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{a_{ij}}}^{(q+1)}}---\left(9\right)$

重复(a)和(b)步骤，直到||Θ^(q+1)-Θ^(q)||无穷小，即收敛时停止；

4)模型评价指标

纵向误差采用绝对值平均误差和均方根误差，二者值越小，说明模型在纵向与实际值越接近，模型精度越高；横向误差采用相关系数用于描述两组序列的相关程度，其值越接近于1，表明两组序列形态相似程度越高，模型越好，

模型误差计算公式如下：

$y_i=f\left({\stackrel{\‾}{C}}_i\right)---\left(10\right)$

则模型误差为

$e_i=y_i-{\stackrel{\‾}{N}}_i---\left(11\right)$

式中：i＝1,2,…,M，其中M为频率分布直方图的数组；和分别为第i个直方柱的纵坐标数值和其中间位置对应的横坐标数值；f为拟合的概率密度函数；为在给定横坐标数值上对应的纵坐标数值，

指标定义如下：

$e_{MAE}=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\left|e_i\right|---\left(12\right)$

$e_{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{e}_i^2}---\left(13\right)$

$R=\frac{\mathrm{cov}(Y_1,Y_2)}{\sqrt{D\left(Y_1\right)}\·\sqrt{D\left(Y_2\right)}}---\left(14\right)$

其中，m为数据序列的长度；cov(·)为样本协方差；D(·)为样本方差；Y₁,Y₂为两个样本。