CN104866666A - 一种基于有限元模型修正的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于有限元模型修正的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，包括建立索网反射面天线结构参考模型，计算得网面节点位置关于索长的敏度矩阵，测量实物反射面上各节点位置，计算将反射面节点调整到对应的最佳吻合抛物面上时的期望节点位移，求得最佳鲁棒索长调整量，将该调整量施加到实物反射面上，测量得到调整后实物反射面的节点位置，将最佳鲁棒索长调整量同时施加到参考模型上，得到参考模型调整后的反射面节点位置，进行参考模型修正；重复步骤，直至精度不再提高，即完成天线索网反射面形面精度的鲁棒调整。本发明考虑到了误差因素的影响和调整量的鲁棒性，确保了调整过程的收敛性，可显著提高天线索网反射面的形面调整效率。

Description

一种基于有限元模型修正的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法

技术领域

本发明涉及一种索网反射面设计方法，特别是一种索网反射面的形面精度调整方法。

背景技术

天线结构广泛应用于通信、导航、定位、雷达、射电天文等国防军事和国民经济的诸多领域。随着空间技术的发展和国防建设的需要，各国对于大型空间天线的需求更加迫切。采用索网反射面结构是大口径天线发展的主要趋势，也是星载大型可展开天线的重要形式。索网反射面具有结构简单、重量轻、易于实现大口径、收拢体积小等优点。

尽管索网反射面在设计阶段满足精度要求，但在后续的制造、安装、调试等过程中会不可避免地引入误差。为了补偿或者消除这些误差，提高天线的形面精度，必须进行形面精度调整。同时索网反射面在设计时，为降低加工制造难度，某些索段装有调整机构，具有索长调整功能，也只有进行精确的索长调整才能使索网反射面获得设计的精度。因此，十分有必要对索网反射面的形面精度调整展开分析，研究高效的形面精度调整方法。

与常规天线反射面相比，索网反射面中的长度可调整的索，即调整索数量多，而且调整索之间互相耦合，即任一根调整索进行索长调整时，都将会引起整个反射面节点位置的变化。一个已经调整在正确位置上的节点会由于随后其它索长的调整而偏离原来正确的位置。这种柔性变形上的耦合是索网反射面形面调整困难的主要原因。

为提高索网反射面形面调整效率，有必要研发新的形面精度调整方法，使用较少次数的测量和调整，使天线反射面达到期望的精度要求。

发明内容

本发明的目的是提供一种索网反射面形面精度的调整方法，能够快速提高天线索网反射面的形面精度。

本发明的目的是这样实现的，一种基于有限元模型修正的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，包括如下步骤：

1)根据天线索网反射面设计时的标称值，建立天线索网反射面结构有限元模型，静态分析得到对应的平衡状态，称该有限元模型为参考模型，此时索段放样长度记为索长令k＝1；

2)由参考模型计算得到网面节点位置关于索长的敏度矩阵然后测量实物反射面上各节点的位置；

3)根据实测节点位置，计算将反射面节点调整到对应的最佳吻合抛物面上时的期望节点位移ΔX^(k)；

4)第k次调整时的索长调整量需满足

$\frac{\∂X}{\∂L_0}\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)}=\mathrm{\Δ}{X}^{\left(k\right)}---\left(17\right)$

考虑到实际节点位置测量，参考模型建模和参数存在不确定误差，将上式修正为

$(\frac{\∂X}{\∂L_0}+\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{\∂L_0})\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)}=\mathrm{\Δ}{X}^{\left(k\right)}+\mathrm{\δ}{X}^{\left(k\right)}---\left(18\right)$

即需要确定索长调整量使得即使在有各种误差存在的前提下，上式也能尽量成立，从而使索长调整具有鲁棒性，通过优化方法求解式(2)得到最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)；

5)将该最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)施加到实物反射面上，测量得到调整后实物反射面的节点位置

6)将最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)同时施加到参考模型上，得到参考模型调整后的反射面节点位置以参考模型和实物反射面二者的节点位置之差最小为目标，对参考模型中的索长参数进行修正，得到新的参考模型；

7)重复上述2)、3)、4)、5)、6)过程，直到精度不再提高，即完成天线索网反射面形面精度的鲁棒调整。

进一步地，所述步骤2)中，确定第k次迭代时节点位置关于索长的敏度矩阵的过程如下：

2a)利用胡克定律，结合材料力学等知识，可得到索网反射面中索力和索长的关系式为：

$F_p=-\frac{\mathrm{EA}}{l_0}(l-l_0)\frac{X_q-X_p}{l}...\left(1\right)$

式中,E是索的弹性模量，A是横截面积。X_p和X_q分别表示索单元两个节点p和q的坐标，F_p表示作用在p节点上的外力，l和l₀分别是索单元受力后的长度和索单元的原长；

将(3)式用一阶泰勒公式展开后得到：

ΔF_p＝K_ck(ΔX_p-ΔX_q)+K_skΔl₀

式中基于上式采用有限元装配操作便可得到整个索网反射面的参考模型：

ΔF＝K_cΔX+K_sΔL₀           (2)

其中，ΔF为作用在索网反射面上外部节点载荷向量，ΔX为相应的节点位移向量，ΔL₀为索长增量向量，K_c和K_s为相应的整体系数矩阵；

2b)考虑到边界固定节点和内部节点后，将上式写成分块矩阵形式为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{F}_1\\ \mathrm{\Δ}{F}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{K}_c^{11}& K_c^{12}\\ K_c^{21}& K_c^{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{X}_1\\ \mathrm{\Δ}{X}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{K}_s^1\\ K_s^2\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{L}_0---\left(3\right)$

其中，ΔF₁和ΔX₁分别为内部节点对应的外部节点载荷向量和节点位移向量，ΔF₂和ΔX₂分别为固定节点对应的外部节点载荷向量和节点位移向量；和分别为与矩阵K_c对应的分块矩阵，和分别为与矩阵K_s对应的分块矩阵；

由于ΔX₂＝0(边界节点固定)，ΔF₁＝0(内部节点不受外力作用)，故有：

$K_c^{11}\mathrm{\Δ}{X}_1+K_s^1\mathrm{\Δ}{L}_0=0---\left(4\right)$

变形后得到网面节点位置关于索长的敏度矩阵：

$\frac{\∂X}{\∂L_0}=\frac{\mathrm{\ΔX}}{\mathrm{\Δ}{L}_0}=-K_c^{-1}{K}_s---\left(5\right)$

进一步地，所述步骤3)中，第k次迭代时索网的期望节点位移ΔX^(k)的确定过程如下：

3a)在设计要求的理想抛物面的顶点处建立直角坐标系Oxyz，z轴沿抛物面焦轴方向，则对应的抛物面方程表示为：

x²+y²＝4fz      (6)

其中，f表示抛物面的焦距，x,y,z为抛物面上点的坐标值。

为保证良好的张力状态，将理想抛物面方程修正为：

x²+y²＝4f(z+h)    (7)

其中，h为抛物面顶点沿z轴的偏移量，此抛物面即为最佳吻合抛物面；

3b)为确定每个节点的调整量，对于天线索网反射面上的第i个节点A，设其在当前位置的坐标为[x,y,z]^T，其中i＝1，2，…，c，c为反射面上的节点数目；调整时节点主要沿调整索方向运动，将沿该方向的单位向量记为p＝[p_x p_y p_z]^T；由点A沿可调整索方向向最佳吻合抛物面作交线，交于点C；

令AC＝d，则节点A位于最佳吻合抛物面上方时d为正，位于下方时d为负，这样点C的坐标表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x+p_{x}d\\ y_0=y+p_{y}d\\ z_0=z+p_{z}d\end{array}\right.---\left(8\right)$

由于点C位于最佳吻合抛物面上，故其坐标满足抛物面方程式(9)，即有

(x+p_xd)²+(y+p_yd)²＝4f(z+p_zd+h)    (9)

因为h和d均为小量，对式(11)展开并忽略二阶小量，得

x²+2xp_xd+y²+2yp_yd＝4fz+4fp_zd+4fh   (10)

于是得到

$d=-\frac{x^2+y^2-4\mathrm{fz}}{2x{p}_x+2y{p}_y-4f{p}_z}+\frac{4f}{2x{p}_x+2y{p}_x-4f{p}_z}h---\left(11\right)$

点A相对于最佳吻合抛物面的偏差及其方向用向量的形式表示为：

d＝p·d      (12)

节点的偏差仅与调整前的节点坐标和最佳吻合抛物面顶点沿z轴的偏移量h有关；

3c)调整时反射面上的节点均应位于最佳吻合抛物面上，相应的节点位移向量记为

${\mathrm{\Δ}}_c=[d_1^T,d_2^T,...d_i^T...,d_c^T{]}^T---\left(13\right)$

式中，d_i为第i个节点的位置偏差向量，c为反射面上的节点数目。对应的均方根误差为：

${\mathrm{\δ}}_c=\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_c^T{\mathrm{\Δ}}_c/c}---\left(14\right)$

通过调整天线反射面的形面使上述的均方根误差最小，下式取最小值

${\mathrm{\δ}}_c^2=\frac{1}{c}{\mathrm{\Δ}}_c^T{\mathrm{\Δ}}_c=\frac{1}{c}\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i^T{d}_i---\left(15\right)$

由于式(17)中仅含有变量h，故其取最小值的条件是

$\frac{\∂{\mathrm{\δ}}_c^2}{\∂h}=0---\left(16\right)$

由此得到此时的抛物面顶点沿z轴的偏移量h和对应的节点位移Δ_c的具体值，节点位移Δ_c便是反射面节点调整到对应的最佳吻合抛物面上时的期望节点位移ΔX^(k)。

进一步地，所述步骤4)中，最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)的计算包括：

4a)通过索长调整，需使反射面节点产生期望节点位移ΔX^(k)，即需满足下式

$\frac{\∂X}{\∂L_0}\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)}=\mathrm{\Δ}{X}^{\left(k\right)}---\left(19\right)$

对于实物反射面，因为参考模型中建模和参数存在一定的未知误差，导致灵敏度矩阵存在扰动位移向量会由于测量误差产生相应的扰动δX^(k)。

因此实际索长调整量ΔL^(k)的计算应该考虑到这些误差因素的影响，从而需将上式(19)改写为

$(\frac{\∂X}{\∂L_0}+\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{\∂L_0})\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)}=\mathrm{\Δ}{X}^{\left(k\right)}+\mathrm{\δ}{X}^{\left(k\right)}$

简记为 $(A+\mathrm{\δA})\hat{x}=b+\mathrm{\δb}---\left(20\right)$

其中， $A=\frac{\∂X}{\∂L_0},\mathrm{\δA}=\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{\∂L_0},$ b＝ΔX^(k)，δb＝δX^(k)， $\hat{x}=\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)};$

4b)由于不确定扰动因素的存在，对于实际索网调整，在误差影响最大的情况下确定最佳的索长调整量，将对式(20)的求解优化转换为：

$\underset{\hat{x}}{\min }\max \{{\left|\right|(A+\mathrm{\δA})\hat{x}-(b+\mathrm{\δb})\left|\right|}_2:{\left|\right|\mathrm{\δA}\left|\right|}_2\≤\mathrm{\η},{\left|\right|\mathrm{\δb}\left|\right|}_2\≤{\mathrm{\η}}_b\}---\left(21\right)$

其中η为灵敏度矩阵误差量模值的上界，当上界的具体值未知时取η＝||A||×10％，η_b为位移向量误差量模值的上界；

4c)再利用不等式

${\left|\right|(A+\mathrm{\δA})\hat{x}-(b+\mathrm{\δb})\left|\right|}_2\≤{\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+{\left|\right|\mathrm{\δA}\left|\right|}_2\·{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\left|\right|\mathrm{\δb}\left|\right|}_2$

$\begin{array}{c}{\left|\right|(A+\mathrm{\δA})\hat{x}-(b+\mathrm{\δb})\left|\right|}_2\≤{\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+{\left|\right|\mathrm{\δA}\left|\right|}_2\·{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\left|\right|\mathrm{\δb}\left|\right|}_2\\ \≤{\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+\mathrm{\η}{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\mathrm{\η}}_b\end{array}---\left(22\right)$

将式(21)所描述的最大值最小化问题转化为求解如下最小值问题

$\underset{\hat{x}}{\min }({\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+\mathrm{\η}{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\mathrm{\η}}_b)---\left(23\right)$

4d)采用优化方法对式(23)进行求解得到最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)。

进一步地，所述的步骤6)中模型修正的过程包括：

6a)第k次调整后测量得到的实物反射面的节点位置为对应的参考模型调整后的反射面节点位置为

由此可得参考模型相对实物模型的节点位置之差

$\mathrm{\Δ}{X}_d^{\left(k\right)}=X_d^{\left(k\right)}-X_r^{\left(k\right)}---\left(24\right)$

6b)利用参考模型计算出的节点位置相对于索长的敏度矩阵反推出参考模型中索段长度的修正量，

$\mathrm{\Δ}{L}_d^{\left(k\right)}={\left(\frac{\∂X}{\∂L_0}\right)}^{*}\·\mathrm{\Δ}{X}_d^{\left(k\right)},---\left(25\right)$

其中为的广义逆；

6c)更新参考模型中的索长

6d)重复6a)-6c)过程，直到节点位置之差不再减小为止。

本发明的优点如下：

1)所提的一种基于有限元模型修正的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，充分考虑到不确定的误差因素的影响，同时考虑了调整量的鲁棒性，此方法计算调整量十分有效，可以确保调整过程的收敛性。

2)考虑了参考模型与实物反射面的不一致性，以及各种不确定的误差因素的影响，在实际模型的调整过程中，用参考模型指导调整，并且边调整边修正，效率高，用很少的几次调整便可达到要求精度。

3)调整模型中引入了敏度矩阵，可显著提高天线索网反射面调整分析时的计算效率。

附图说明

图1是本发明实施例索网反射面中索网结构的示意图；

图2是本发明实施例天线索网反射面的有限元模型图；

图3是节点到最佳吻合抛物面的位移说明图；

图4是多种调整方式下反射面形面精度的调整过程图；

图5是5组仅基于标称模型的调整过程图；

图6是5组仅基于模型修正时的调整过程图；

图7是5组基于模型修正的鲁棒调整过程图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步详细说明。

本发明基于有限元模型修正的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，包括如下步骤：

步骤一：建立天线索网反射面结构参考模型

根据天线索网反射面设计时的标称值，建立天线索网反射面结构有限元模型，静态分析得到对应的平衡状态，称该有限元模型为参考模型，此时索段放样长度记为索长令k＝1。

步骤二：计算得到网面节点位置关于索长的敏度矩阵测量实物反射面上各节点的位置

由参考模型计算得到网面节点位置关于索长的敏度矩阵过程如下：

2a)利用胡克定律，得到天线索网反射面中索力和索长的关系式为：

$F_p=-\frac{\mathrm{EA}}{l_0}(l-l_0)\frac{X_q-X_p}{l}...\left(1\right)$

式中,E是索的弹性模量，A是横截面积。X_p和X_q分别表示索单元两个节点p和q的坐标，F_p表示作用在p节点上的外力，l和l₀分别是索单元受力后的长度和索单元的原长；

将(1)式用一阶泰勒公式展开后得到：

ΔF_p＝K_ck(ΔX_p-ΔX_q)+K_skΔl₀

式中基于上式采用有限元装配操作便可得到整个索网反射面的参考模型：

ΔF＝K_cΔX+K_sΔL₀      (2)

其中，ΔF为作用在索网反射面上外部节点载荷向量，ΔX为相应的节点位移向量，ΔL₀为索长增量向量，K_c和K_s为相应的整体系数矩阵；

2b)考虑到边界固定节点和内部节点后，将式(2)写成分块矩阵形式为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{F}_1\\ \mathrm{\Δ}{F}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{K}_c^{11}& K_c^{12}\\ K_c^{21}& K_c^{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{X}_1\\ \mathrm{\Δ}{X}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{K}_s^1\\ K_s^2\end{array}\right]\mathrm{\Δ}{L}_0---\left(3\right)$

其中，ΔF₁和ΔX₁分别为内部节点对应的外部节点载荷向量和节点位移向量，ΔF₂和ΔX₂分别为固定节点对应的外部节点载荷向量和节点位移向量；和分别为与矩阵K_c对应的分块矩阵，和分别为与矩阵K_s对应的分块矩阵；

由于ΔX₂＝0(边界节点固定)，ΔF₁＝0(内部节点不受外力作用)，故有：

$K_c^{11}\mathrm{\Δ}{X}_1+K_s^1\mathrm{\Δ}{L}_0=0---\left(4\right)$

变形后得到网面节点位置关于索长的敏度矩阵：

$\frac{\∂X}{\∂L_0}=\frac{\mathrm{\ΔX}}{\mathrm{\Δ}{L}_0}=-K_c^{-1}{K}_s---\left(5\right).$

步骤三：计算将反射面节点调整到对应的最佳吻合抛物面上时的期望节点位移ΔX^(k)

根据实测节点位置，计算将反射面节点调整到对应的最佳吻合抛物面上时的期望节点位移ΔX^(k)；

第k次迭代时索网需要产生的期望节点位移ΔX^(k)的确定过程如下：

3a)在设计要求的理想抛物面的顶点处建立直角坐标系Oxyz，z轴沿抛物面焦轴方向，则对应的抛物面方程表示为：

x²+y²＝4fz    (6)

其中，f表示抛物面的焦距，x,y,z为抛物面上点的坐标值；

为保证良好的张力状态，将理想抛物面方程修正为：

x²+y²＝4f(z+h)      (7)

其中，h为抛物面顶点沿z轴的偏移量，此抛物面即为最佳吻合抛物面；

3b)为确定每个节点的调整量，对于天线索网反射面上的第i个节点A，设其在当前位置的坐标为[x,y,z]^T，其中i＝1，2，…，c，c为反射面上的节点数目；调整时节点主要沿调整索方向运动，将沿该方向的单位向量记为p＝[p_x p_y p_z]^T；由点A沿可调整索方向向最佳吻合抛物面作交线，交于点C；如图3所示。

令AC＝d，则节点A位于最佳吻合抛物面上方时d为正，位于下方时d为负，这样点C的坐标表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x+p_{x}d\\ y_0=y+p_{y}d\\ z_0=z+p_{z}d\end{array}\right.---\left(8\right)$

由于点C位于最佳吻合抛物面上，故其坐标满足抛物面方程式(7)，即有

(x+p_xd)²+(y+p_yd)²＝4f(z+p_zd+h)   (9)

因为h和d均为小量，对式(9)展开并忽略二阶小量，得

x²+2xp_xd+y²+2yp_yd＝4fz+4fp_zd+4fh   (10)

于是得到

$d=-\frac{x^2+y^2-4\mathrm{fz}}{2x{p}_x+2y{p}_y-4f{p}_z}+\frac{4f}{2x{p}_x+2y{p}_x-4f{p}_z}h---\left(11\right)$

点A相对于最佳吻合抛物面的偏差及其方向用向量的形式表示为：

d＝p·d       (12)

节点的偏差仅与调整前的节点坐标和最佳吻合抛物面顶点沿z轴的偏移量h有关；

3c)调整时反射面上的节点均应位于最佳吻合抛物面上，相应的节点位移向量记为

${\mathrm{\Δ}}_c=[d_1^T,d_2^T,...d_i^T...,d_c^T{]}^T---\left(13\right)$

式中，d_i为第i个节点的位置偏差向量，c为反射面上的节点数目。对应的均方根误差为：

${\mathrm{\δ}}_c=\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_c^T{\mathrm{\Δ}}_c/c}---\left(14\right)$

通过调整天线反射面的形面使上述的均方根误差最小，下式取最小值

${\mathrm{\δ}}_c^2=\frac{1}{c}{\mathrm{\Δ}}_c^T{\mathrm{\Δ}}_c=\frac{1}{c}\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i^T{d}_i---\left(15\right)$

由于式(15)中仅含有变量h，故其取最小值的条件是

$\frac{\∂{\mathrm{\δ}}_c^2}{\∂h}=0---\left(16\right)$

由此得到此时的抛物面顶点沿z轴的偏移量h和对应的节点位移Δ_c的具体值，节点位移Δ_c便是反射面节点调整到对应的最佳吻合抛物面上时的期望节点位移ΔX^(k)。

步骤四：求得最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)

第k次调整时的索长调整量需满足

$\frac{\∂X}{\∂L_0}\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)}=\mathrm{\Δ}{X}^{\left(k\right)}---\left(17\right)$

考虑到实际节点位置测量，参考模型建模和参数存在不确定误差，将上式修正为

$(\frac{\∂X}{\∂L_0}+\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{\∂L_0})\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)}=\mathrm{\Δ}{X}^{\left(k\right)}+\mathrm{\δ}{X}^{\left(k\right)}---\left(18\right)$

即需要确定索长调整量使得即使在有各种误差存在的前提下，上式也能尽量成立，从而使索长调整具有鲁棒性，通过优化方法求解式(18)得到最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)。

最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)的计算包括下述步骤：

4a)通过索长调整，需使反射面节点产生期望节点位移ΔX^(k)，即需满足下式

$\frac{\∂X}{\∂L_0}\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)}=\mathrm{\Δ}{X}^{\left(k\right)}---\left(19\right)$

对于实物反射面，因为参考模型中建模和参数存在一定的未知误差，导致灵敏度矩阵存在扰动位移向量会由于测量误差产生相应的扰动δX^(k)。

因此最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)的计算应该考虑到这些误差因素的影响，从而需将上式(19)变换为

$(\frac{\∂X}{\∂L_0}+\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{\∂L_0})\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)}=\mathrm{\Δ}{X}^{\left(k\right)}+\mathrm{\δ}{X}^{\left(k\right)}$

简记为 $(A+\mathrm{\δA})\hat{x}=b+\mathrm{\δb}---\left(20\right)$

其中， $A=\frac{\∂X}{\∂L_0},\mathrm{\δA}=\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{\∂L_0},$ b＝ΔX^(k)，δb＝δX^(k)， $\hat{x}=\mathrm{\Δ}{L}^{\left(k\right)};$

4b)由于不确定扰动因素的存在，对于实际索网调整，在误差影响最大的情况下确定最佳的索长调整量，将对式(20)的求解转换为：

$\underset{\hat{x}}{\min }\max \{{\left|\right|(A+\mathrm{\δA})\hat{x}-(b+\mathrm{\δb})\left|\right|}_2:{\left|\right|\mathrm{\δA}\left|\right|}_2\≤\mathrm{\η},{\left|\right|\mathrm{\δb}\left|\right|}_2\≤{\mathrm{\η}}_b\}---\left(21\right)$

其中η为灵敏度矩阵误差量模值的上界，当上界的具体值未知时取η＝||A||×10％，η_b为位移向量误差量模值的上界；

4c)再利用不等式

$\begin{array}{c}{\left|\right|(A+\mathrm{\δA})\hat{x}-(b+\mathrm{\δb})\left|\right|}_2\≤{\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+{\left|\right|\mathrm{\δA}\left|\right|}_2\·{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\left|\right|\mathrm{\δb}\left|\right|}_2\\ \≤{\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+\mathrm{\η}{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\mathrm{\η}}_b\end{array}---\left(22\right)$

将式(21)所描述的最大值最小化问题转化为求解如下最小值问题

$\underset{\hat{x}}{\min }({\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+\mathrm{\η}{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\mathrm{\η}}_b)---\left(23\right)$

4d)对式(23)优化求解得到最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)。

步骤五：将最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)施加到实物反射面上，测量得到调整后实物反射面的节点位置

步骤六：将最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)同时施加到参考模型上，得到参考模型调整后的反射面节点位置对参考模型中的索长参数进行修正，使得参考模型和实物反射面二者的节点位置之差最小，得到新的参考模型；

模型修正的过程包括：

6a)第k次调整后测量得到的实物反射面的节点位置为对应的参考模型调整后的反射面节点位置为由此得参考模型相对实物模型的节点位置之差

$\mathrm{\Δ}{X}_d^{\left(k\right)}=X_d^{\left(k\right)}-X_r^{\left(k\right)}---\left(24\right)$

6b)利用参考模型计算出的节点位置相对于索长的敏度矩阵反推出参考模型中索段长度的修正量：

$\mathrm{\Δ}{L}_d^{\left(k\right)}={\left(\frac{\∂X}{\∂L_0}\right)}^{*}\·\mathrm{\Δ}{X}_d^{\left(k\right)},---\left(25\right)$

其中为的广义逆；

6c)更新参考模型中的索长

6d)重复步骤6a)-6c)，直到节点位置之差不再减小为止。

步骤七：重复步骤二至步骤六，直至精度不再提高，即完成天线索网反射面形面精度的鲁棒调整。

下面给出仿真实例来进一步说明本发明效果。

以AstroMesh天线索网反射面为例，对应的参数为：口径10m，上网面焦距6m，偏置距离6m，下网面焦距40m，天线高度1.2m，主索分段数为10，上下网面索单元总数均为288，竖向牵引索总数为85。索的横截面为圆形，直径为1.4mm，桁架横截面为空心圆管，内径14mm，外径15.2mm。图1为其中的索网结构，图2为该天线索网反射面的有限元模型，各部分的材料参数见表1。

表1天线索网反射面结构各部分的材料参数

采用本发明所述方法进行索网形面调整时，形面精度的调整过程如图4所示。在此对比分析了4种情况下的调整过程，即理想模型调整，基于标称模型的调整，仅基于模型修正时的调整，基于模型修正的鲁棒调整。理想模型调整时，调整前反射面的均方根误差为3.62mm，调整后提高到1.8×10^－7mm。理想模型调整时，认为标称模型的力学特性与实物反射面完全相同，即不考虑各种误差因素，在实际工程中是无法达到这种效果的。基于模型修正的鲁棒调整方法效果很好，经过6次调整后便可达到与理想模型调整时几乎相同的效果，调整效率显著提高。

为了让结论更具一般性，我们分别进行了5次模拟调整仿真，分别对基于标称模型的调整，基于模型修正时的调整和基于模型修正的鲁棒调整过程进行对比分析。由图5、图6和图7可以看出，首先，三种方法都可使形面精度得到提高。不过从调整速度和调整精度上来看，基于模型修正的鲁棒调整(图7)优于仅基于模型修正时的调整(图6)，更优于基于标称模型的调整(图5)。几种调整方法的总体效果对比可从图4中清楚地看出。从5组仿真统计的角度看，基于模型修正的鲁棒调整效果非常好，与理想的调整过程最为接近。

Claims (5)

1.一种基于有限元模型修正的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)根据天线索网反射面设计时的标称值，建立天线索网反射面结构有限元模型，静态分析得到对应的平衡状态，称该有限元模型为参考模型，此时索段放样长度记为索长令k＝1；

2)由参考模型计算得到网面节点位置关于索长的敏度矩阵然后测量实物反射面上各节点的位置；

3)根据实测节点位置，计算将反射面节点调整到对应的最佳吻合抛物面上时的期望节点位移ΔX^(k)；

4)第k次调整时的索长调整量需满足

$\frac{\∂X}{{\∂L}_0}{\mathrm{\ΔL}}^{\left(k\right)}={\mathrm{\ΔX}}^{\left(k\right)}---\left(17\right)$

将上式修正为

$(\frac{\∂X}{{\∂L}_0}+\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{{\∂L}_0}){\mathrm{\ΔL}}^{\left(k\right)}={\mathrm{\ΔX}}^{\left(k\right)}+{\mathrm{\δX}}^{\left(k\right)}---\left(18\right)$

为使索长调整具有鲁棒性，通过优化方法求解式(18)得到最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)；

5)将该最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)施加到实物反射面上，测量得到调整后实物反射面的节点位置

6)将最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)同时施加到参考模型上，得到参考模型调整后的反射面节点位置

对参考模型中的索长参数进行修正，使得参考模型和实物反射面二者的节点位置之差最小，得到新的参考模型；

7)重复步骤2)-6)，直至精度不再提高，即完成天线索网反射面形面精度的鲁棒调整。

2.根据权利要求1所述的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，其特征在于，所述步骤2)中，确定第k次迭代时节点位置关于索长的敏度矩阵的过程如下：

2a)利用胡克定律，得到天线索网反射面中索力和索长的关系式为：

$F_p=-\frac{\mathrm{EA}}{l_0}(l-l_0)\frac{X_q-X_p}{l}---\left(1\right)$

式中,E是索的弹性模量，A是横截面积，X_p和X_q分别表示索单元两个节点p和q的坐标，F_p表示作用在p节点上的外力，l和l₀分别是索单元受力后的长度和索单元的原长；

将(1)式用一阶泰勒公式展开后得到：

ΔF_p＝K_ck(ΔX_p-ΔX_q)+K_skΔl₀

式中基于上式采用有限元装配操作便可得到整个索网反射面的参考模型：

ΔF＝K_cΔX+K_sΔL₀   (2)

其中，ΔF为作用在索网反射面上外部节点载荷向量，ΔX为相应的节点位移向量，ΔL₀为索长增量向量，K_c和K_s为相应的整体系数矩阵；

2b)考虑到边界固定节点和内部节点后，将式(2)写成分块矩阵形式为：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔF}}_1\\ {\mathrm{\ΔF}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{K}_c^{11}& K_c^{12}\\ K_c^{21}& K_c^{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_1\\ {\mathrm{\ΔX}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{K}_s^1\\ K_s^2\end{array}\right]{\mathrm{\ΔL}}_0---\left(3\right)$

其中，ΔF₁和ΔX₁分别为内部节点对应的外部节点载荷向量和节点位移向量，ΔF₂和ΔX₂分别为固定节点对应的外部节点载荷向量和节点位移向量； 和分别为与矩阵K_c对应的分块矩阵，和分别为与矩阵K_s对应的分块矩阵；

由于ΔX₂＝0，ΔF₁＝0，故有：

$K_c^{11}{\mathrm{\ΔX}}_1+K_s^1{\mathrm{\ΔL}}_0=0---\left(4\right)$

变形后得到网面节点位置关于索长的敏度矩阵：

$\frac{\∂X}{{\∂L}_0}=\frac{\mathrm{\ΔX}}{{\mathrm{\ΔL}}_0}=-K_c^{-1}{K}_s---\left(5\right).$

3.根据权利要求1所述的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，其特征在于，所述步骤3)中，第k次迭代时索网的期望节点位移ΔX^(k)的确定过程如下：

3a)在设计要求的理想抛物面的顶点处建立直角坐标系Oxyz，z轴沿抛物面焦轴方向，则对应的抛物面方程表示为：

x²+y²＝4fz   (6)

其中，f表示抛物面的焦距，x,y,z为抛物面上点的坐标值；

将理想抛物面方程修正为：

x²+y²＝4f(z+h)   (7)

其中，h为抛物面顶点沿z轴的偏移量，此抛物面即为最佳吻合抛物面；

3b)为确定每个节点的调整量，对于天线索网反射面上的第i个节点A，设其在当前位置的坐标为[x,y,z]^T，其中i＝1，2，…，c，c为反射面上的节点数目；调整时节点主要沿调整索方向运动，将沿该方向的单位向量记为p＝[p_x p_y p_z]^T；由点A沿可调整索方向向最佳吻合抛物面作交线，交于点C；

令AC＝d，则节点A位于最佳吻合抛物面上方时d为正，位于下方时d为负，这样点C的坐标表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x+p_{x}d\\ y_0=y+p_{y}d\\ z_0=z+p_{z}d\end{array}\right.---\left(8\right)$

由于点C位于最佳吻合抛物面上，故其坐标满足抛物面方程式(7)，即有

(x+p_xd)²+(y+p_yd)²＝4f(z+p_zd+h)   (9)

因为h和d均为小量，对式(9)展开并忽略二阶小量，得

x²+2xp_xd+y²+2yp_yd＝4fz+4fp_zd+4fh   (10)

于是得到

$d=-\frac{x^2+y^2-4\mathrm{fz}}{{2\mathrm{xp}}_x+{2\mathrm{yp}}_y-{4\mathrm{fp}}_z}+\frac{4f}{{2\mathrm{xp}}_x+{2\mathrm{yp}}_y-{4\mathrm{fp}}_z}h---\left(11\right)$

点A相对于最佳吻合抛物面的偏差及其方向用向量的形式表示为：

d＝p·d   (12)

节点的偏差仅与调整前的节点坐标和最佳吻合抛物面顶点沿z轴的偏移量h有关；

3c)调整时反射面上的节点均应位于最佳吻合抛物面上，相应的节点位移向量记为

${\mathrm{\Δ}}_c={[d_1^T,d_2^T,...d_i^T...,d_c^T]}^T---\left(13\right)$

式中，d_i为第i个节点的位置偏差向量，c为反射面上的节点数目，对应的均方根误差为：

${\mathrm{\δ}}_c=\sqrt{{\mathrm{\Δ}}_c^T{\mathrm{\Δ}}_c/c}---\left(14\right)$

通过调整天线反射面的形面使上述的均方根误差最小，下式取最小值

${\mathrm{\δ}}_c^2=\frac{1}{c}{\mathrm{\Δ}}_c^T{\mathrm{\Δ}}_c=\frac{1}{c}\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i^T{d}_i---\left(15\right)$

由于式(15)中仅含有变量h，故其取最小值的条件是

$\frac{{\∂\mathrm{\δ}}_c^2}{\∂h}=0---\left(16\right)$

由此得到此时的抛物面顶点沿z轴的偏移量h和对应的节点位移Δ_c的具体值，节点位移Δ_c便是反射面节点调整到对应的最佳吻合抛物面上时的期望节点位移ΔX^(k)。

4.根据权利要求1所述的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，其特征在于，所述步骤4)中，最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)的计算包括下述步骤：

4a)通过索长调整，需使反射面节点产生期望节点位移ΔX^(k)，即需满足下式

$\frac{\∂X}{{\∂L}_0}{\mathrm{\ΔL}}^{\left(k\right)}={\mathrm{\ΔX}}^{\left(k\right)}---\left(19\right)$

最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)计算考虑到误差因素的影响，需将上式(19)变换为

$(\frac{\∂X}{{\∂L}_0}+\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{{\∂L}_0}){\mathrm{\ΔL}}^{\left(k\right)}={\mathrm{\ΔX}}^{\left(k\right)}+{\mathrm{\δX}}^{\left(k\right)}$

简记为 $(A+\mathrm{\δA})\hat{x}=b+\mathrm{\δb}---\left(20\right)$

其中， $A=\frac{\∂X}{{\∂L}_0},\mathrm{\δA}=\mathrm{\δ}\frac{\∂X}{{\∂L}_0},$ b＝ΔX^(k)，δb＝δX^(k)， $\hat{x}={\mathrm{\ΔL}}^{\left(k\right)};$

4b)在误差影响最大的情况下确定最佳的索长调整量，将对式(20)的求解转换为：

$\begin{array}{cc}\underset{\hat{x}}{\min }& \max \{{\left|\right|(A+\mathrm{\δA})\hat{x}-(b+\mathrm{\δb})\left|\right|}_2:{\left|\right|\mathrm{\δA}\left|\right|}_2\≤\mathrm{\η},{\left|\right|\mathrm{\δb}\left|\right|}_2\≤{\mathrm{\η}}_b\}\end{array}---\left(21\right)$

其中η为灵敏度矩阵误差量模值的上界，当上界的具体值未知时取η＝||A||×10％，η_b为位移向量误差量模值的上界；

4c)再利用不等式

$\begin{array}{c}{\left|\right|(A+\mathrm{\δA})\hat{x}-(b+\mathrm{\δb})\left|\right|}_2\≤{\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+{\left|\right|\mathrm{\δA}\left|\right|}_2\·{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\left|\right|\mathrm{\δb}\left|\right|}_2\\ \≤{\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+\mathrm{\η}{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\mathrm{\η}}_b\end{array}---\left(22\right)$

将式(21)所描述的最大值最小化问题转化为求解如下最小值问题

$\underset{\hat{x}}{\min }({\left|\right|A\hat{x}-b\left|\right|}_2+\mathrm{\η}{\left|\right|\hat{x}\left|\right|}_2+{\mathrm{\η}}_b)---\left(23\right)$

4d)对式(23)优化求解得到最佳鲁棒索长调整量ΔL^(k)。

5.根据权利要求1所述的索网反射面形面精度的鲁棒调整方法，其特征在于，所述步骤6)中，模型修正的过程包括：

6a)第k次调整后测量得到的实物反射面的节点位置为对应的参考模型调整后的反射面节点位置为由此得参考模型相对实物模型的节点位置之差

${\mathrm{\ΔX}}_d^{\left(k\right)}=X_d^{\left(k\right)}-X_r^{\left(k\right)}---\left(24\right)$

6b)利用参考模型计算出的节点位置相对于索长的敏度矩阵反推出参考模型中索段长度的修正量：

${\mathrm{\ΔL}}_d^{\left(k\right)}={\left(\frac{\∂X}{{\∂L}_0}\right)}^{*}\·{\mathrm{\ΔX}}_d^{\left(k\right)}---\left(25\right)$

其中为的广义逆；

6c)更新参考模型中的索长 $L_0^{(k+1)}=L_0^{\left(k\right)}+{\mathrm{\ΔL}}_d^{\left(k\right)};$

6d)重复步骤6a)-6c)，直到节点位置之差不再减小为止。