CN104780128A - 一种水声ofdma上行通信稀疏信道估计与导频优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法。在发送端建立基于梳状导频的多用户CS稀疏信道估计模型，得到测量矩阵互相关表达式；根据测量矩阵互相关表达式，在发送端进行导频图案和导频功率联合优化，减少CS信道估计模型下的测量矩阵互相关；在接收端利用多用户CS稀疏信道估计模型，并结合导频图案和导频功率联合优化的导频信息，采用CS框架下的匹配追踪算法实现多用户稀疏信道估计。本发明具有能够减小估计误差的优点。

Description

一种水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法

技术领域

本发明属于水声通信领域，尤其涉及一种基于压缩感知的，水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法。

背景技术

近年来，具有资源分配方式灵活、频谱利用率高、抗多径能力强等特点的正交频分多址(Orthogonal Frequency Division Multiple Access,OFDMA)技术逐渐受到关注，并广泛应用于水声媒体接入控制(MAC，Media Access Control)协议设计。OFDMA系统可为用户分配一段连续的子载波，即子带式子载波分配方式(subband Carrier Assignment Scheme,subbandCAS)来实现频谱资源共享；也可利用等间隔的交织式子载波分配方式(interleaved CAS)充分开发信道频率分集增益；还可根据信道条件及用户需求灵活分配频谱资源，采用非等间隔的广义式子载波分配方式(generalized CAS)进一步提高系统性能。然而灵活的子载波分配方式也导致用户导频在整个通信频段内无法均匀分布，给OFDMA上行通信中基于导频辅助的信道估计方法带来挑战。上行通信中，经历不同信道的多个用户同时接入，尤其对于频谱资源有限，多径扩展严重的水声信道，上行接收端如何利用各用户分配的少量、不均匀导频，实现多用户信道估计成为OFDMA上行通信亟需解决的关键技术。

公开号为CN103873422A的专利文件中公开一种水声正交频分复用(OFDM)系统符号内多径干扰消除方法，该技术方案利用梳状导频对频域的OFDM解调信号进行信道估计，估计方法是基于压缩感知(Compressed Sensing,CS)技术，利用正交匹配追踪算法重构未知的信道脉冲响应，获得信道多径复增益和时延。然而该专利在OFDM符号中插入均匀梳状导频辅助信道估计，未涉及在不规则导频分布下基于CS的水声信道估计方法。本发明针对水声OFDMA上行通信中用户导频数量少、分布不均匀，导致传统内插信道估计方法产生误码平层的问题，提出一种基于CS的稀疏信道估计与导频优化方法。在水声OFDMA上行通信发射端通过随机搜索算法对导频图案和导频功率联合优化；在接收端建立水声OFDMA上行通信下的CS信道估计模型，基于OFDMA上行系统各个用户分配的少量、非均匀导频，采用匹配追踪算法估计多用户信道冲激响应。

发明内容

本发明的目的是提供一种能够减小估计误差的，水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法。

本发明是通过以下技术方案实现的：

一种水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法，包括以下几个步骤，

步骤一：在发送端建立基于梳状导频的多用户CS稀疏信道估计模型，得到测量矩阵互相关表达式；

步骤二：根据测量矩阵互相关表达式，在发送端进行导频图案和导频功率联合优化，减少CS信道估计模型下的测量矩阵互相关；

步骤三：在接收端利用多用户CS稀疏信道估计模型，并结合导频图案和导频功率联合优化的导频信息，采用CS框架下的匹配追踪算法实现多用户稀疏信道估计。

本发明一种水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法，还可以包括：

1、多用户CS稀疏信道估计模型为：

z_u＝Ax_A+v

其中z_u表示以用户u的接收梳状导频构成的K维向量，K为系统子载波总数，索引集合S_u ^P外的子载波位置置零，x_A为一个具有少量非零元素的稀疏路径衰减系数向量：

x_A＝[ξ_1,u,ξ_2,u,...,ξ_Nτ,u]^T

其中N_τ为时延的最大搜索范围，A是K×N_τ维的测量矩阵：

A＝[Λ_1,ud_u,Λ_2,ud_u,...,Λ_Nτ,ud_u]

其中Λ_p,u,p＝1,2,...N_τ为对角阵，对角线元素满足[Λ_p,u]_m,m＝exp(-j2πτ_p,um/T)，T为一个OFDM符号周期，向量d_u中的非零元素为对应索引集合中用户u的梳状导频，

OFDMA上行通信用户u在CS模型下的测量矩阵互相关表达式为：

$M=M\left(A\right)=\underset{1\≤m,n\≤N_{\mathrm{\τ}},m\≠n}{\max }\frac{\left|\underset{k\∈S_u^P}{\mathrm{\Σ}}{\left|d_u\right[k\left]\right|}^2\exp (-j2\mathrm{\π}(m-n)k/\left(\mathrm{\λK}\right))\right|}{\underset{k\∈S_u^P}{\mathrm{\Σ}}{\left|d_u\right[k\left]\right|}^2}$

其中λ为时延分辨率的过采样因子。

2、在发送端进行导频图案和导频功率联合优化的方法为：

步骤一：初始化备选导频功率集合，将用户子载波索引排序并等分为多个索引子集；

步骤二：在子载波索引集合和备选导频功率集合中，每次选取一组导频图案和导频功率，计算测量矩阵互相关；

步骤三：重复步骤二，直到测量矩阵互相关值收敛或者循环次数超过预设值，并将测量矩阵互相关最小化的局部最优解作为导频图案和导频功率的优化方案。

3、采用CS框架下的匹配追踪算法实现多用户稀疏信道估计的方法为：

①初始化，迭代次数q＝0，残差向量r₀＝z_u，索引集

第q次迭代，q≥1：

②确定最匹配的索引： $s_q=\arg \underset{j=1,..,N_{\mathrm{\τ}},j\∉I_{q-1}}{\max }\frac{{\left|a_j^H{r}_{q-1}\right|}^2}{{\left|\right|a_j\left|\right|}_2^2};$

③更新索引集：I_q＝{I_q-1,s_q}；

④计算非零系数估计值：

⑤更新残差向量：其中符号|| ||₂表示向量的L₂范数，上标H表示向量的共轭转置，重复步骤②-⑤，直到残差向量L₂范数小于噪声门限；此时由最终的索引集I_q可确定多径时延估计值τ_p,u，而非零系数即对应多径衰减系数A_p,u，可以得到信道频响H_u估计：

$H_u=\underset{p=1}{\overset{N_{p,u}}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{p,u}{\mathrm{\Λ}}_{p,u}$

其中N_p,u为用户u的信道多径数目。

有益效果：

本发明的优点是：依据CS理论中测量矩阵互相关最小化原理，在发射端基于随机搜索算法对导频图案和导频功率联合优化，其性能优于单纯基于导频图案优化的方法；基于水声OFDMA上行通信应用，在接收端采用匹配追踪算法估计多用户信道冲激响应，克服传统内插方法在少量、非均匀导频下产生的误码平层现象。

附图说明

图1为稀疏信道估计与导频优化方案流程图；

图2为基于稀疏信道估计与导频优化的水声OFDMA上行通信系统结构框图；

图3为水声OFDMA上行通信子载波分配方式示意图；

图4为导频图案和导频功率联合优化算法与导频图案优化算法的收敛性对比图；

图5为均匀导频、导频图案和导频功率联合优化算法、导频图案优化算法下信道估计性能对比图；

图6为交织式与广义式子载波分配水声OFDMA上行通信最小二乘(LS)与CS信道估计方法性能对比图；

图7为交织式与广义式子载波分配水声OFDMA上行通信LS与CS信道估计方法下误比特率对比图。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明做进一步详细说明。

针对水声OFDMA上行通信中用户导频数量少、分布不均匀，导致传统内插信道估计方法产生误码平层的问题，提出一种基于CS的稀疏信道估计与导频优化方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

(1).基于水声OFDMA上行通信应用，选定多径时延搜索范围以及决定时延分辨率的过采样因子，在发送端建立基于梳状导频的多用户CS稀疏信道估计模型，得到测量矩阵互相关表达式。

(2).依据压缩感知理论中测量矩阵互相关最小化原理，在发送端进行导频图案和导频功率联合优化。具体包括：①初始化备选导频功率集合，并将用户子载波索引排序并等分为多个索引子集；②在子载波索引集合和备选导频功率集合中，每次随机选取一组导频图案和导频功率，代入步骤(1)中的测量矩阵互相关表达式，计算当前导频发送方案下的测量矩阵互相值；③重复步骤②直到测量矩阵互相关值收敛，或循环次数超过预设值，即可停止搜索，并将测量矩阵互相关最小化的局部最优解作为导频图案和导频功率的优化方案。

(3).在接收端利用步骤(1)中的多用户CS稀疏信道估计模型，并结合步骤(2)中经过优化的导频信息，采用CS框架下的匹配追踪算法实现多用户稀疏信道估计。

本发明的原理包括以下几个步骤：

(1).水声OFDMA上行系统模型

考虑一个具有U个用户的水声OFDMA上行通信系统，如图1所示。系统子载波总数为K，用户u分配K_u个不重叠的子载波，满足设OFDM符号周期为T，循环前缀(Cyclic Prefix,CP)长度为T_cp，子载波间隔即为1/T。系统载波频率为f_c，则第k个子载波频率f_k＝f_c+k/T,k＝-K/2,...,K/2-1。定义d_u[k]为用户u在第k个子载波上发送的编码信息符号，其符号映射方式可以为QPSK或16QAM等。则用户u的发送信号为

$x_u\left(t\right)=\mathrm{Re}\left\{\underset{k\∈S_u}{\mathrm{\Σ}}{d}_u\right[k\left]\exp \left(j2\mathrm{\π}{f}_{k}t\right)\right\},t\∈[0,T]---\left(1\right)$

其中S_u为用户u的子载波索引集合，包含数据子载波索引集和梳状导频索引集 用户子载波分配方式包括三种：子带式，交织式和广义式。假设系统子载波总数K等于16，用户数目为4，每个用户分配4个子载波，三种子载波分配方式示意图如图2所示。

考虑在一个CP-OFDM块内线性时不变的水声多径信道模型，用户u到达接收端的信道冲激响应可表示为

$h_u\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{p=1}{\overset{N_{p,u}}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{p,u}\mathrm{\δ}(\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_{p,u})---\left(2\right)$

其中N_p,u为用户u的信道多径数目；A_p,u为一个CP-OFDM块内恒定的路径p的衰减系数；τ_p,u为路径p对应的时延。假设循环前缀T_cp大于信道最大多径时延与用户间最大接入时间差之和，则上行OFDMA为一个准时间同步系统，各用户达到接收端的信号为

$y\left(t\right)=\underset{u=1}{\overset{U}{\mathrm{\Σ}}}\underset{p=1}{\overset{N_{p,u}}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{p,u}{x}_u(t-{\mathrm{\τ}}_{p,u})+w\left(t\right)---\left(3\right)$

其中w(t)为加性噪声。准同步的上行OFDMA系统各用户子载波保持正交，因此接收信号经过DFT变换后可以将各个用户子载波取出分别进行处理。将式(1)代入式(3)，去除循环前缀并经过DFT变换后，可得到用户u的频域基带接收向量z_u

z_u＝H_ud_u+v          (4)

其中z_u和d_u分别表示以用户u的子载波构成的K维接收、发送向量，索引集合S_u外的子载波位置置零即可。v为频域加性噪声向量。不考虑信道时变或同步误差带来的子载波间干扰，则信道频域矩阵H_u为K×K维对角阵

$H_u=\underset{p=1}{\overset{N_{p,u}}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{p,u}{\mathrm{\Λ}}_{p,u}---\left(5\right)$

其中Λ_p,u亦为对角阵，对角线元素满足

[Λ_p,u]_m,m＝exp(-j2πτ_p,um/T)        (6)

(2).基于压缩感知的稀疏信道估计

为克服OFDMA上行通信中用户导频数量少、分布不均匀的问题，本发明采用压缩感知的方法实现信道估计。通过建立一个包含足够多路径时延采样值的测量矩阵，利用CS理论估计稀疏路径时延τ_p,u以及路径的非零衰减系数A_p,u。定义路径时延参数集{T/(λK),2T/(λK),...,N_τT/(λK)}，其时间分辨率为T/(λK)，是基带采样率的1/λ，λ为时间过采样因子，N_τ为时延的最大搜索范围。根据时延参数集和式(6)构造一个K×N_τ维的测量矩阵

$A[{\mathrm{\Λ}}_{1,u}{d}_u,{\mathrm{\Λ}}_{2,u}{d}_u,...,{\mathrm{\Λ}}_{N_{\mathrm{\τ}},u}{d}_u]---\left(7\right)$

令A中的列向量为a_j＝Λ_j,ud_u,j＝1,2,...N_τ。向量d_u中的非零元素为对应索引集合中用户u的梳状导频，其余元素置零。定义时延参数集对应的路径衰减系数向量

$x_A={[{\mathrm{\ξ}}_{1,u},{\mathrm{\ξ}}_{2,u},...,{\mathrm{\ξ}}_{N_{\mathrm{\τ}},u}]}^T---\left(8\right)$

其中x_A为一个具有少量非零元素的稀疏向量。得到新的信道估计模型

z_u＝Ax_A+v          (9)

式(9)为满足CS理论的数学模型，即从观测向量z_u中重建N_τ维稀疏向量x_A，A为已知的测量矩阵。当已知的导频数目小于N_τ时，求解向量x_A为一个欠定问题。若稀疏向量x_A中非零元素个数远远小于N_τ；且测量矩阵A满足有限等距性质(RIP,Restricted IsometryProperty)，则可准确恢复稀疏向量。典型的稀疏信号重建算法主要有基追踪算法和匹配追踪类算法。匹配追踪类算法可以快速有效的恢复高度稀疏信号，且相对于基追踪算法计算量更低，更适用于实时处理系统。因此本发明利用匹配追踪算法进行稀疏信道估计。

下面由模型式(9)简要介绍基于匹配追踪算法的信道估计过程。

①初始化算法，迭代次数q＝0，残差向量r₀＝z_u，索引集

第q次迭代，q≥1：

②确定最匹配的索引： $s_q=\arg \underset{j=1,..,N_{\mathrm{\τ}},j\∉I_{q-1}}{\max }\frac{{\left|a_j^H{r}_{q-1}\right|}^2}{{\left|\right|a_j\left|\right|}_2^2};$

③更新索引集：I_q＝{I_q-1,s_q}；

④计算非零系数估计值：

⑤更新残差向量： $r_q=r_{q-1}-{\hat{x}}_q{a}_{s_q};$

其中符号|| ||₂表示向量的L₂范数，上标H表示向量的共轭转置。重复步骤②-⑤，直到残差向量L₂范数小于噪声门限即可迭代终止。此时由最终的索引集I_q可确定多径时延估计值，而非零系数即对应多径衰减系数A_p,u，则通过式(5)可以得到信道频响估计。

(3).导频优化设计

本发明在CS理论框架下进行导频优化设计。根据式(9)，设频域噪声向量||v||₂≤ε，则有噪条件下求解稀疏向量x_A的问题可描述为

m_xi_An||x_A||₀s.t||z_u-Ax_A||₂≤δ       (10)

其中|| ||₀表示向量的L₀范数，δ≥ε。定义测量矩阵A的互相关

$M=M\left(A\right)=\underset{1\≤m,n\≤N_{\mathrm{\τ}},m\≠n}{\max }\frac{\left|a_m^H{a}_n\right|}{{\left|\right|a_m\left|\right|}_2{\left|\right|a_n\left|\right|}_2}---\left(11\right)$

如果稀疏信号x_A满足

||x_A||₀＝N＜(1/M+1)/2           (12)

其中N为稀疏信号x_A中的非零元素个数。则从有噪观测信号z_u中得到的x_A的近似解满足

${\left|\right|{\hat{x}}_A-x_A\left|\right|}_2\≤{\mathrm{\Θ}}_0\·(\mathrm{\ϵ}+\mathrm{\δ}),\mathrm{\δ}\≥\mathrm{\ϵ}>0---\left(13\right)$

其中定义稳定性系数Θ₀＝1/(1-M(2N-1))。从式(13)可以看出，稀疏信号估计误差上限与稳定性系数Θ₀和观测信号噪声有关。而Θ₀由信号稀疏度N和测量矩阵的互相关M决定。如果通过合理设计测量矩阵减小互相关M，将在很大程度上降低稀疏信号估计误差上限。

把式(6)和式(7)代入式(11)，得到OFDMA上行通信用户u在CS信道估计模型下的测量矩阵互相关

$M=M\left(A\right)=\underset{1\≤m,n\≤N_{\mathrm{\τ}},m\≠n}{\max }\frac{\left|\underset{k\∈S_u^P}{\mathrm{\Σ}}{\left|d_u\right[k\left]\right|}^2\exp (-j2\mathrm{\π}(m-n)k/\left(\mathrm{\λK}\right))\right|}{\underset{k\∈S_u^P}{\mathrm{\Σ}}{\left|d_u\right[k\left]\right|}^2}---\left(14\right)$

实际应用中，多径时延搜索范围N_τ以及决定时延分辨率的过采样因子λ可选为定值。则根据式(14)可知，测量矩阵的互相关M仅由导频图案索引集合和导频功率集合决定。通过合理设计导频图案和导频功率，即可降低测量矩阵互相关，减少信道估计误差。因此OFDMA上行通信的导频优化问题可转化为以下目标函数

$\underset{S_u^P,P_u}{\min }M\left(A\right)=\underset{S_u^P,P_u}{\min }M(S_u^P,P_u)---\left(15\right)$

式(15)是一个复杂的二维优化问题。设用户μ在K_u个可用子载波中放置K_P,u个梳状导频。当导频功率确定的情况下，仍需要搜索种组合才能得到导频图案的全局最优解，计算量过高而无法实现。因此本发明提出基于随机搜索的导频图案和导频功率联合优化算法：在子载波索引集合和备选导频功率集合中，每次随机选取一组导频图案和导频功率，在给定的搜索次数内重复该步骤，最后将目标函数式(15)的局部最优解作为导频图案和导频功率的优化方案。下面详细说明导频图案和导频功率联合优化算法。

OFDMA上行通信中广义式子载波分布较为灵活，可能集中出现在部分频段上，或者分散在距离较远的少数几个频点上。为了克服水声信道频域选择性衰落影响，应尽量保证梳状导频等概率分散在整个用户子载波集合内。因此本发明将用户子载波索引排序并等分为多个索引子集，分别在每个子集中选取索引构成导频图案，在提高频率分集增益的同时缩小了搜索范围。下面给出导频图案和导频功率联合优化算法的详细步骤：

1)初始化：对用户u的子载波索引集合S_u进行升序排列，并尽可能等分成K_P,u个索引子集；设置备选导频功率集合集合大小Q＞1，且集合内元素的均值为1。

2)导频图案选取：分别在K_P,u个索引子集中随机选取一个索引值，生成用户u的导频图案索引集合并存储。

3)导频功率选取：从备选集合中随机选取K_P,u个元素(可重复选取同一元素)，得到用户u的导频功率集合并存储。

4)根据第i次随机选取的导频图案和导频功率由式(14)计算测量矩阵互相关

5)重复步骤2)-4)，直到值收敛，或循环次数超过预设值，即可停止搜索。在搜索范围内选择得到对应的最佳导频图案索引集合和导频功率集合 $P_u^f=\left\{{\left|d_u\right[k\left]\right|}^2\right\},k\∈S_u^{P,f}.$

省略步骤3)，将用户全部导频功率设置为1，即可实现单纯基于导频图案优化的方法。然而由公式(14)可知，导频功率同样影响互相关大小，且通过改变导频功率，导频图案与导频功率联合优化算法在同等搜索次数下比单纯基于导频图案优化的方法互相关M更低，信道估计误差更小。本发明在图4和图5中验证了这一结论。图6为交织式与广义式子载波分配水声OFDMA上行通信最小二乘(LS)与CS信道估计方法性能对比，图中“导频优化”指导频图案和导频功率联合优化。图7为交织式与广义式子载波分配水声OFDMA上行通信LS与CS信道估计方法下误比特率对比，图中“导频优化”指导频图案和导频功率联合优化。

Claims (4)

1.一种水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法，其特征在于：包括以下几个步骤，

步骤一：在发送端建立基于梳状导频的多用户CS稀疏信道估计模型，得到测量矩阵互相关表达式；

步骤二：根据测量矩阵互相关表达式，在发送端进行导频图案和导频功率联合优化，减少CS信道估计模型下的测量矩阵互相关；

步骤三：在接收端利用多用户CS稀疏信道估计模型，并结合导频图案和导频功率联合优化的导频信息，采用CS框架下的匹配追踪算法实现多用户稀疏信道估计。

2.根据权利要求1所述的一种水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法，其特征在于：所述的多用户CS稀疏信道估计模型为：

z_u＝Ax_A+v

其中z_u表示以用户u的接收梳状导频构成的K维向量，K为系统子载波总数，索引集合外的子载波位置置零，x_A为一个具有少量非零元素的稀疏路径衰减系数向量：

$x_A={[{\mathrm{\ξ}}_{1,u},{\mathrm{\ξ}}_{2,u},...,{\mathrm{\ξ}}_{N_{\mathrm{\τ}},u}]}^T$

其中N_τ为时延的最大搜索范围，A是K×N_τ维的测量矩阵：

$A=[{\mathrm{\Λ}}_{1,u}{d}_u,{\mathrm{\Λ}}_{2,u}{d}_u,...,{\mathrm{\Λ}}_{N_{\mathrm{\τ}},u}{d}_u]$

其中Λ_p,u,p＝1,2,...N_τ为对角阵，对角线元素满足[Λ_p,u]_m,m＝exp(-j2πτ_p,um/T)，T为一个OFDM符号周期，向量d_u中的非零元素为对应索引集合中用户u的梳状导频，

OFDMA上行通信用户u在CS模型下的测量矩阵互相关表达式为：

$M=M\left(A\right)=\underset{1\≤m,n\≤N_{\mathrm{\τ}},m\≠n}{\max }\frac{\left|\underset{k\∈S_u^P}{\mathrm{\Σ}}{\left|d_u\right[k\left]\right|}^2\exp (-j2\mathrm{\π}(m-n)k/\left(\mathrm{\λK}\right))\right|}{\underset{k\∈S_u^P}{\mathrm{\Σ}}{\left|d_u\right[k\left]\right|}^2}$

其中λ为时延分辨率的过采样因子。

3.根据权利要求1所述的一种水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法，其特征在于：所述的在发送端进行导频图案和导频功率联合优化的方法为：

步骤一：初始化备选导频功率集合，将用户子载波索引排序并等分为多个索引子集；

步骤二：在子载波索引集合和备选导频功率集合中，每次选取一组导频图案和导频功率，计算测量矩阵互相关；

步骤三：重复步骤二，直到测量矩阵互相关值收敛或者循环次数超过预设值，并将测量矩阵互相关最小化的局部最优解作为导频图案和导频功率的优化方案。

4.根据权利要求1所述的一种水声OFDMA上行通信稀疏信道估计与导频优化方法，其特

征在于：所述的采用CS框架下的匹配追踪算法实现多用户稀疏信道估计的方法为：

①初始化，迭代次数q＝0，残差向量r₀＝z_u，索引集

第q次迭代，q≥1：

②确定最匹配的索引： $s_q=\arg \underset{j=1,..,N_{\mathrm{\τ}},j\∉I_{q-1}}{\max }\frac{{\left|a_j^H{r}_{q-1}\right|}^2}{{\left|\right|a_j\left|\right|}_2^2};$

③更新索引集：I_q＝{I_q-1,s_q}；

④计算非零系数估计值： ${\hat{x}}_q=\frac{\left|a_{s_q}^H{r}_{q-1}\right|}{{\left|\right|a_{s_q}\left|\right|}_2^2};$

⑤更新残差向量：其中符号|| ||₂表示向量的L₂范数，上标H表示向量的共轭转置，重复步骤②-⑤，直到残差向量L₂范数小于噪声门限；此时由最终的索引集I_q可确定多径时延估计值τ_p,u，而非零系数即对应多径衰减系数A_p,u，可以得到信道频响H_u估计：

$H_u=\underset{p=1}{\overset{N_{p,u}}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{p,u}{\mathrm{\Λ}}_{p,u}$

其中N_p,u为用户u的信道多径数目。