CN104533701A - 一种水轮机调速系统控制参数的自动整定方法 - Google Patents

Abstract

发明涉及一种水轮机调速系统控制参数的优化整定方法，该方法首先通过对实际机组水轮机调速系统控制对象进行T-S模糊模型辨识，得到高精度的水轮机调速系统仿真系统，然后依据该仿真系统建立以PID控制参数为优化变量的目标函数，运用引力搜索算法求解目标函数得到最优PID控制参数。由于本发明建立的仿真系统精度高，能真实反映实际机组特性，在该仿真系统上得到控制参数优化结果能直接应用于实际机组，有效提高机组调速系统动态品质。

Description

一种水轮机调速系统控制参数的自动整定方法

技术领域

本发明属于水力发电技术领域，涉及水电机组优化控制技术领域，具体涉及一种水轮机调速系统控制参数的自动整定方法。

背景技术

水轮机调速系统是水电机组的核心控制系统，承担着稳定机组频率和调节机组功率的重任，工程应用中该系统采用的控制规律一般为比例积分微分控制器(proportion-integration-differentiation，PID)控制。PID控制参数对机组的调节品质和动态响应指标有着决定性影响，如何整定PID参数成为工程应用中的难题。在实际运行中，PID控制参数一般依赖专家整定，缺乏参数自动整定技术。在理论研究方面，有研究通过优化技术来整定PID控制参数，常用的优化技术有正交实验法、遗传算法、粒子群算法等。然而，在这些研究中，PID控制参数的优化依赖控制对象模型的精确建模和仿真，包括对调速器接力器、引水系统、水轮机和发电机的建模，由于控制对象中存在大量非线性因素，且水轮机的精确解析非线性模型一直无法获得，使得通过传统手段对控制对象进行精确建模仿真非常困难，导致在仿真系统基础上得到的控制参数优化技术在指导实际机组控制运行中存在一定不足。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出一种水轮机调速系统控制参数的自动整定方法，该方法不依赖被控对象的传统数学模型，通过T-S模糊模型辨识得到实际水轮机调速系统控制对象高精度模型，并建立基于T-S模糊模型的水轮机调速系统的仿真系统，在此基础上运用智能优化算法优化调速系统控制参数，获得可直接应用于原水轮机调速系统运行的最优控制参数。

为了实现上述目的，本发明提供了一种水轮机调速系统控制参数的自动整定方法，采用T-S模糊模型辨识得到水轮机调速系统控制对象的仿真系统，在该仿真系统基础上进行控制参数优化，优化后的控制参数能直接应用于水轮机调速系统，提升实际机组水轮机调速系统控制效果。

进一步地，所述方法包括如下步骤：

步骤(1)：采集实际机组水轮机调速系统动态过程数据：搜集不同PID控制参数、不同频率扰动值所对应的动态过程数据样本(c_k，u_k，x_k)_j组成数据样本集，c_k为k时刻的频率扰动值，u_k为k时刻调速器输出的控制量序列，x_k为k时刻的机组频率，k＝1，..，N_s，N_s为动态过程最大采样点数；j＝1，…，N_c，表示不同的动态过程，总共采集N_s*N_c个样本组成样本集，将样本集中若干动态过程样本作为训练样本；其中所述水轮机调速系统包括PID控制器、接力器、引水系统、水轮机，其中，接力器、引水系统、水轮机组成控制对象，由PID控制器进行调节控制；

步骤(2)：建立控制对象的T-S模糊模型：提取训练样本，以(c_k，u_k)为输入数据，x_k为输出数据，通过训练样本集建立控制对象的T-S模糊模型；

步骤(3)：建立基于T-S模糊模型的仿真系统：用得到的控制对象的T-S模糊模型替换控制对象，得到基于T-S模糊模型的水轮机调速系统的仿真系统，其中PID控制器按照实际机组水轮机调速系统PID控制器进行设计，K_p、K_i和K_d分别为比例、积分和微分增益，是需要整定的PID控制参数；

步骤(4)：建立PID控制参数优化目标函数：采用离散形式ITAE指标作为控制参数优化的目标函数，目标函数定义为：

$\min f_{\mathrm{ITAE}}(k_p,K_i,K_d)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{Ns}}{\mathrm{\Σ}}}T\left(k\right)\·\left|(c\left(k\right)-x\left(k\right))\right|$

其中c(k)为频率扰动值，为一常数，x为机组频率，N_s为采样点数，T为时间序列。

步骤(5)：运用GSA算法求解PID控制参数优化目标函数，得到最优控制参数。

进一步地，所述方法还包括：在所述步骤(1)中将样本集中其他样本作为测试样本，在所述步骤(2)中T-S模糊模型训练完成后，通过测试样本测试T-S模糊模型精度，将测试样本中的(c_k，u_k)作为模糊模型输入数据，计算T-S模糊模型输出t_k与测试样本x_k的均方根误差，均方根误差越小，说明T-S模糊模型与实际机组水轮机调速系统中的控制对象的误差越小，从而选择最优T-S模糊模型。

在本发明的一个实施例中，所述步骤(5)具体为：f_ITAE(K_p,K_i,K_d)是PID控制参数的函数，当PID控制参数发生变化时，利用步骤(3)中建立的仿真系统得到一组机组频率响应曲线，计算对应的f_ITAE值，极小化目标函数，得到最优控制参数。

在本发明的一个实施例中，，所述步骤(5)具体包括：

Step1：算法初始化：设置算法参数，包括群体规模N_p、最大迭代次数N_{max_it}、引力常数初值G₀、衰减指数α；确定优化控制参数范围，在此区间初始化群体中粒子的位置向量 $X_i=[x_i^1,x_i^2,x_i^3],x_i^1\∈[K_{p,\min },K_{p,\max }],$ $x_i^2\∈[K_{i,\min },K_{i,\max }],x_i^3\∈[K_{d,\min },K_{d,\max }]$ 分别代表控制参数参数K_p、K_i和K_d；初始化历史最优目标函数值f_best和最优解X_best，设置迭代次数t＝0；

Step2：计算目标函数值：从位置向量中取出控制参数，将控制参数输入步骤(3)中建立的基于T-S模糊模型的水轮机调速系统的仿真系统，得到仿真机组频率，按照步骤(4)计算粒子目标函数值f_i,i＝1,…,N_p；

Step3：求出群体最优目标函数值f_{best_current}＝min({f_i,i＝1,…,N_p})和对应的粒子位置X_{best_current}，如果f_{best_current}<f_best，则f_best<f_{best_current}，X_best＝X_{best_current}；

Step4：计算粒子质量M_i，i＝1,…,N_p：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_i=\frac{f_i-f_{\mathrm{worst}\_\mathrm{current}}}{f_{\mathrm{best}\_\mathrm{current}}-f_{\mathrm{worst}\_\mathrm{current}}}\\ M_i=m_i/\underset{j=1}{\overset{\mathrm{Np}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{m}_j\end{array}\right.$

其中，f_{worst_current}＝max({f_i,i＝1,…,N_p})；

Step5：计算引力F_i ^d:

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=G_0\&CenterDot;e^{-a\&CenterDot;t/N_{\max \_\mathrm{it}}}\&CenterDot;\frac{M_i\left(t\right)\&times;M_j\left(t\right)}{{\left|\right|X_i\left(t\right),X_j\left(t\right)\left|\right|}_2}(x_j^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))\\ F_i^d\left(t\right)=\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{\mathrm{Np}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{rand}}_j{F}_{\mathrm{ij}}^d\end{array}\right.$

其中，rand_j为[0,1]范围随机数，d＝1,…,3；

Step6：计算加速度： $a_i^d\left(t\right)=\frac{F_i^d\left(t\right)}{M_i\left(t\right)};$

Step7：更新粒子速度和粒子位置

$\left\{\begin{array}{c}{v}_i^d(t+1)={\mathrm{rand}}_i\&CenterDot;v_i^d\left(t\right)+a_i^d\left(t\right)\\ x_i^d(t+1)=x_i^d\left(t\right)+v_i^d(t+1)\end{array}\right.$

其中，rand_i为[0,1]范围随机数；

Step8：t＝t+1；如果t<N_{max_it}，转至Step2，否则结束循环，得到最优目标函数值f_best和最优位置向量X_best，所述最优位置向量即为最优控制参数向量。

与现有技术相比，本发明具有以下优点和效果：

(1)利用T-S模糊模型辨识技术可得到高精度的水轮机调速系统控制对象模型，从而建立高精度的水轮机调速系统仿真系统。本发明的建模技术能大幅提高现有控制参数优化中仿真系统的精度。

(2)由于本发明提出了基于T-S模糊模型辨识的水轮机调速系统建模方法，使得建立的仿真系统精度高，能真实反映实际机组水轮机调速系统非线性特性，在该仿真系统上进行的控制参数优化结果能直接应用于实际机组，从而提高机组调速系统动态品质。

附图说明

图1为本发明水轮机调速系统控制参数的自动整定方法流程图；

图2为本发明水轮机调速系统结构示意图；

图3为本发明基于T-S模糊模型的水轮机调速系统的仿真系统框图；

图4为本发明实施例中水轮机调速系统控制对象T-S模糊模型辨识的训练结果图；

图5为本发明实施例中水轮机调速系统控制对象T-S模糊模型辨识的测试结果图；

图6为本发明实施例中参数优化前实际机组频率与仿真系统机组频率对比；

图7为本发明实施例中参数优化后实际机组频率与仿真系统机组频率对比。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明采用如下技术方案实现：

步骤(1)：采集实际机组水轮机调速系统动态过程数据。水轮机调速系统结构图如图2所示，包括PID控制器、接力器、引水系统、水轮机，其中，接力器、引水系统、水轮机组成控制对象，由PID控制器进行调节控制。图2中，c为频率扰动值，m_g0为负荷扰动值，u为调速器输出的控制量，y为接力器行程，h为蜗壳水压，m_t为水轮机输出力矩，x为机组频率。

采集实际机组水轮机调速器系统频率扰动过程数据，包括k时刻的频率扰动值c_k，调速器输出的控制量序列u_k，和机组频率x_k，k＝1，..，N_s，N_s为动态过程最大采样点数。搜集不同PID控制参数、不同频率扰动值所对应的动态过程数据样本(c_k，u_k，x_k)_j组成数据样本集，j＝1，…，N_c表示不同的动态过程。则总共采集N_s*N_c个样本组成样本集，将样本集中若干动态过程样本作为训练样本，其他样本作为测试样本。

步骤(2)：建立控制对象的T-S模糊模型。提取训练样本，以(c_k，u_k)为输入数据，x_k为输出数据，通过训练样本集建立控制对象的T-S模糊模型。

训练完成后，可以通过测试样本测试T-S模糊模型精度，将测试样本中的(c_k，u_k)作为模糊模型输入数据，计算T-S模糊模型输出t_k与测试样本x_k的均方根误差，均方根误差越小，说明T-S模糊模型与实际机组水轮机调速系统中的控制对象的误差越小。

步骤(3)：建立基于T-S模糊模型的仿真系统。用辨识得到的T-S模糊模型替换图2中实际机组水轮机调速系统的控制对象，得到如图3所示的基于T-S模糊模型的水轮机调速系统的仿真系统，包括PID控制器和代表实际机组水轮机调速系统的控制对象的T-S模糊模型，控制器按照实际机组水轮机调速系统PID控制器进行设计，采用经典PID控制规律，K_p、K_i和K_d分别为比例、积分和微分增益，是需要整定的PID控制参数。

步骤(4)：建立PID控制参数优化目标函数。采用离散形式时间乘以误差绝对值积分(Integrated time absolute error，ITAE)指标作为控制参数优化的目标函数，定义为：

$\min f_{\mathrm{ITAE}}(k_p,K_i,K_d)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{Ns}}{\mathrm{\&Sigma;}}}T\left(k\right)\&CenterDot;\left|(c\left(k\right)-x\left(k\right))\right|$

其中c(k)为频率扰动值，为一常数，x为机组频率，N_s为采样点数，T为时间序列。f_ITAE是PID控制参数的函数，当PID控制参数发生变化时，利用步骤(3)中建立的仿真系统得到一组机组频率响应曲线，计算对应的f_ITAE值。极小化目标函数(1)，即可得到最优控制参数。

步骤(5)：运用引力搜索算法(Gravitational search algorithm，GSA)算法求解PID控制参数优化目标函数，得到最优控制参数。

Step1：算法初始化：设置算法参数，包括群体规模N_p、最大迭代次数N_{max_it}、引力常数初值G₀、衰减指数α；确定优化控制参数范围，在此区间初始化群体中粒子的位置向量 $X_i=[x_i^1,x_i^2,x_i^3],x_i^1\&Element;[K_{p,\min },K_{p,\max }],$ $x_i^2\&Element;[K_{i,\min },K_{i,\max }],x_i^3\&Element;[K_{d,\min },K_{d,\max }]$ 分别代表控制参数K_p、K_i和K_d；初始化历史最优目标函数值f_best和最优解X_best，设置迭代次数t＝0；

Step2：计算目标函数值：从位置向量中取出控制参数，将控制参数输入步骤(3)中建立的基于T-S模糊模型的水轮机调速系统的仿真系统，得到仿真机组频率，按照步骤(4)计算粒子目标函数值f_i,i＝1,…,N_p；

Step3：求出群体最优目标函数值f_{best_current}＝min({f_i,i＝1,…,N_p})和对应的粒子位置X_{best_current}，如果f_{best_current}<f_best，则f_best<f_{best_current}，X_best＝X_{best_current}；

Step4：计算粒子质量M_i，i＝1,…,N_p：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_i=\frac{f_i-f_{\mathrm{worst}\_\mathrm{current}}}{f_{\mathrm{best}\_\mathrm{current}}-f_{\mathrm{worst}\_\mathrm{current}}}\\ M_i=m_i/\underset{j=1}{\overset{\mathrm{Np}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{m}_j\end{array}\right.$

其中，f_{worst_current}＝max({f_i,i＝1,…,N_p})；

Step5：计算引力F_i ^d:

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=G_0\&CenterDot;e^{-a\&CenterDot;t/N_{\max \_\mathrm{it}}}\&CenterDot;\frac{M_i\left(t\right)\&times;M_j\left(t\right)}{{\left|\right|X_i\left(t\right),X_j\left(t\right)\left|\right|}_2}(x_j^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))\\ F_i^d\left(t\right)=\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{\mathrm{Np}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{rand}}_j{F}_{\mathrm{ij}}^d\end{array}\right.$

其中，rand_j为[0,1]范围随机数，d＝1,…,3；

Step6：计算加速度： $a_i^d\left(t\right)=\frac{F_i^d\left(t\right)}{M_i\left(t\right)};$

Step7：更新粒子速度和粒子位置

$\left\{\begin{array}{c}{v}_i^d(t+1)={\mathrm{rand}}_i\&CenterDot;v_i^d\left(t\right)+a_i^d\left(t\right)\\ x_i^d(t+1)=x_i^d\left(t\right)+v_i^d(t+1)\end{array}\right.$

其中，rand_i为[0,1]范围随机数；

Step8：t＝t+1；如果t<N_{max_it}，转至Step2，否则结束循环，得到最优目标函数值f_best和最优位置向量X_best，所述最优位置向量即为最优控制参数向量。

由GSA求解得到的最优位置向量即为最优控制参数向量。

为说明本发明效果，下面以某一仿真水轮机调速系统作为本发明的实施对象对本发明方法进行详细说明：

步骤(1)：利用非线性水轮机调速系统建模方法对我国某水电站机组进行建模并建立Simulink仿真平台，机组相关参数如下：管路直径：4.1m；额定水头：66m；额定转速：136.4r/min；额定流量：144m³/s；额定出力：87K_W；初始水头69.67m；机组惯性时间常数T_a＝7.85；辅助接力器时间常数T_y1＝0.02，接力器时间常数T_y＝0.2，水流惯性时间常数T_w＝1.0，水击相长T_r＝1.6。

在Simulink仿真平台中模拟产生辨识建模所需的频率扰动数据。仿真参数设置为：c＝0.5Hz，b_p＝0，T_1v＝0.01，K_p∈[0.1,10]，K_i∈[0.1,10]，K_d∈[0.1,10]参数在给定的参数范围内随机生成，仿真时间为50秒。仿真100次获得100组频率扰动过程数据，前50组数据(c_k，u_k，x_k)_j作为训练样本，后50组数据作为测试样本。

具体地，非线性水轮机调速系统建模方法可以参考：

1.周建中，赵峰，李超顺.基于GSA的水轮机调速系统非线性PID控制参数优化方法研究[J].水电能源科学，2014，(12):127-130

2.徐枋同，李植鑫.水电站机组控制计算机仿真[M].北京，水利电力出版社，1995。

当然，也有其他涉及非线性水轮机调速系统建模方法的文献。

步骤(2)：建立控制对象的T-S模糊模型。提取训练样本，以(c_k，u_k)为输入数据，x_k为输出数据，通过训练样本集建立控制对象的T-S模糊模型，训练得到的T-S模糊模型输出与实际系统输出对比如图4所示，训练误差MSE(均方根误差)为4.0578e-04。训练完成后，通过测试样本测试T-S模糊模型精度，T-S模糊模型输出与实际系统输出对比如图5所示，测试误差MSE为4.3486e-04。

步骤(3)：建立基于T-S模糊模型的仿真系统。用辨识得到的调速系统控制对象T-S模糊模型替换实际机组控制对象。设定实际机组PID控制参数为K_p＝1.595，K_i＝2.5655，K_d＝1.6639，频率扰动值c＝50.5，实际机组调速系统频率响应和基于T-S模糊模型的仿真调速系统频率响应对比如图6所示。由图6可知，此时机组的空载频率扰动动态特性不理想，超调量为0.2964Hz，占设定值比值59.28％。由此可见，控制参数需要优化。

步骤(4)：建立PID控制参数优化目标函数。采用常用的离散形式ITAE指标作为控制参数优化的目标函数，如式1所示，其中频率扰动值c(k)＝50.5，采样数N_s＝5000。

步骤(5)：运用GSA算法优化目标函数，设置GSA参数：群体规模N_p＝20，迭代次数N_{max_it}＝100，引力常数初值G₀＝20，引力常数衰减指数α＝8，优化求解得到最优控制参数为K_p＝10，K_i＝1.3811，K_d＝1.3631。参数优化后，基于T-S模糊模型的仿真水轮机调速系统与实际机组调速系统的频率响应曲线对比结果如图7，结果显示实际机组频率响应动态指标较优化前有显著改善，超调量为0。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种水轮机调速系统控制参数的自动整定方法，其特征在于，采用T-S模糊模型辨识得到实际机组水轮机调速系统控制对象的仿真系统，在该仿真系统基础上进行控制参数优化，优化后的控制参数能直接应用于水轮机调速系统。

2.如权利要求1所述的水轮机调速系统控制参数的自动整定方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤(1)：采集实际机组水轮机调速系统动态过程数据：搜集不同PID控制参数、不同频率扰动值所对应的动态过程数据样本(c_k，u_k，x_k)_j组成数据样本集，c_k为k时刻的频率扰动值，u_k为k时刻调速器输出的控制量序列，x_k为k时刻的机组频率，k＝1，..，N_s，N_s为动态过程最大采样点数；j＝1，…，N_c，表示不同的动态过程，总共采集N_s*N_c个样本组成样本集，将样本集中若干动态过程样本作为训练样本；其中所述水轮机调速系统包括PID控制器、接力器、引水系统、水轮机，其中，接力器、引水系统、水轮机组成控制对象，由PID控制器进行调节控制；

步骤(2)：建立控制对象的T-S模糊模型：提取训练样本，以(c_k，u_k)为输入数据，x_k为输出数据，通过训练样本集建立控制对象的T-S模糊模型；

步骤(3)：建立基于T-S模糊模型的仿真系统：用得到的控制对象的T-S模糊模型替换控制对象，得到基于T-S模糊模型的水轮机调速系统的仿真系统，其中PID控制器按照实际机组水轮机调速系统PID控制器进行设计，K_p、K_i和K_d分别为比例、积分和微分增益，是需要整定的PID控制参数；

步骤(4)：建立PID控制参数优化目标函数：采用离散形式ITAE指标作为控制参数优化的目标函数，目标函数定义为：

$\min f_{\mathrm{ITAE}}(K_p,K_i,K_d)=\underset{k=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\&Sigma;}}}T\left(k\right)\&CenterDot;\left|(c\left(k\right)-x\left(k\right))\right|$

其中c(k)为频率扰动值，为一常数，x为机组频率，N_s为采样点数，T为时间序列。

步骤(5)：运用GSA算法求解PID控制参数优化目标函数，得到最优控制参数。

3.如权利要求2所述的水轮机调速系统控制参数的自动整定方法，其特征在于，所述方法还包括：

在所述步骤(1)中将样本集中其他样本作为测试样本，在所述步骤(2)中T-S模糊模型训练完成后，通过测试样本测试T-S模糊模型精度，将测试样本中的(c_k，u_k)作为模糊模型输入数据，计算T-S模糊模型输出t_k与测试样本x_k的均方根误差，均方根误差越小，说明T-S模糊模型与实际机组水轮机调速系统中的控制对象的误差越小，从而选择最优T-S模糊模型。

4.如权利要求2或3所述的水轮机调速系统控制参数的自动整定方法，其特征在于，所述步骤(5)具体为：

f_ITAE(K_p,K_i,K_d)是PID控制参数的函数，当PID控制参数发生变化时，利用步骤(3)中建立的仿真系统得到一组机组频率响应曲线，计算对应的f_ITAE值，极小化目标函数，得到最优控制参数。

5.如权利要求4所述的水轮机调速系统控制参数的自动整定方法，其特征在于，所述步骤(5)具体包括：

Step 1：算法初始化：设置算法参数，包括群体规模N_p、最大迭代次数N_{max_it}、引力常数初值G₀、衰减指数α；确定优化控制参数范围，在此区间初始化群体中粒子的位置向量 $X_i=[x_i^{],1},x_i^2,x_i^3],x_i^1\&Element;[K_{p,\min },K_{p,\max }],$ $x_i^2\&Element;[K_{i,\min },K_{i,\max }],x_i^3\&Element;[K_{d,\min },K_{d,\max }]$ 分别代表控制参数K_p、K_i和K_d；初始化历史最优目标函数值f_best和最优解X_best，设置迭代次数t＝0；

Step 2：计算目标函数值：从位置向量中取出控制参数，将控制参数输入步骤(3)中建立的基于T-S模糊模型的水轮机调速系统的仿真系统，得到仿真机组频率，按照步骤(4)计算粒子目标函数值f_i,i＝1,…,N_p；

Step 3：求出群体最优目标函数值f_{best_current}＝min({f_i,i＝1,…,N_p})和对应的粒子位置X_{best_current}，如果f_{best_current}<f_best，则f_best<f_{best_current}，X_best＝X_{best_current}；

Step 4：计算粒子质量M_i，i＝1,…,N_p：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_i=\frac{f_i-f_{\mathrm{worst}\_\mathrm{current}}}{f_{\mathrm{best}\_\mathrm{current}}-f_{\mathrm{worst}\_\mathrm{curent}}}\\ M_i=m_i/\underset{j=1}{\overset{\mathrm{Np}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{m}_j\end{array}\right.$

其中，f_{worst_current}＝max({f_i,i＝1,…,N_p})；

Step 5：计算引力F_i ^d:

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=G_0\&CenterDot;e^{-a\&CenterDot;t/N_{\max \_\mathrm{it}}}\&CenterDot;\frac{M_i\left(t\right)\&times;M_j\left(t\right)}{{\left|\right|X_i\left(t\right),X_j\left(t\right)\left|\right|}_2}(x_j^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))\\ {F_i}^d\left(t\right)=\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{\mathrm{Np}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{rand}}_j{F}_{\mathrm{ij}}^d\end{array}\right.$

其中，rand_j为[0,1]范围随机数，d＝1,…,3；

Step 6：计算加速度：

Step 7：更新粒子速度和粒子位置

$\left\{\begin{array}{c}{v}_i^d(t+1)={\mathrm{rand}}_i\&CenterDot;v_i^d\left(t\right)+a_i^d\left(t\right)\\ x_i^d(t+1)=x_i^d\left(t\right)+v_i^d(t+1)\end{array}\right.$

其中，rand_i为[0,1]范围随机数；

Step 8：t＝t+1；如果t<N_{max_it}，转至Step 2，否则结束循环，得到最优目标函数值f_best和最优位置向量X_best，所述最优位置向量即为最优控制参数向量。