CN104459618A - 一种借助虚拟观测和距离等效交换的单站短基线相差定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用长度仅为数十个波长的短基线即可实现远距高精度单站相差定位的方法。先借助相似递推和近似测向法，将长基线程差测距方程转为仅基于测向的双站测距式。在此基础上，一方面在借助单站异端虚拟观测法将双站定位转化为单站探测的同时，保留了有助于提高定位精度的双站间的虚拟长基线。另一方面在利用单站短基线相差定位法将双站间未知的交会角消除掉的同时，将单站短基线相差测量所获得的目标距离和由虚拟双站所获得的目标距离进行等效交换，由此就能在数学形式上使测距误差函数与距离变量成反比。借助于虚拟长基线和误差与距离成反比的特性，最终可获得小于1％R的远程测距精度。

Description

一种借助虚拟观测和距离等效交换的单站短基线相差定位方法

技术领域

本发明涉及无线电定位技术，具体涉及一种基于短基线相差测量，并能实现远距高精度测量的单站定位方法。

背景技术

无源定位跟踪系统大致可以分为两大类型：多站系统和单站系统。多站系统需要各站之间同步工作并进行大量的数据传输，此外还要求对集中的数据进行融和处理，这不仅使定位系统变得复杂，也限制了系统的机动性。而单站系统恰好克服了这些缺点，具有良好的独立性、灵活性等优势，但由于单站所能获取的信息量相对少于多个观测站，故实现难度相对很大。

传统固定单站定位方法主要是利用到达方位角(DOA)信息对辐射源进行测向交叉定位，但由于该方法对测角精度的敏感性，仅利用DOA信息不仅定位精度低，而且还会导致算法收敛时间长等不良后果。

由于存有相对运动，运动单站具有更多的可观测量，可用于运动单站的传统方法有：测向定位法、到达时间定位法、多普勒频率定位法、方位-到达时间联合定位法、方位-频率联合定位法、幅度-方位定位法等等。

为提高定位精度，目前正在发展的各种新的定位技术是将目标的方位角变化率、相位差变化率、多普勒变化率等作为观测量。

传统的测量方法不仅定位精度低，而且收敛速度慢，缺乏实时性。而引入变化率的方法，因观测量本身就是关于时间导数的物理量，且在单站短基线应用的情况下，由于量级很小，所以在对实时性有较高要求的情况下检测相对比较困难，亦难以获得较好的测量精度。

实际上，相移与距离有着直接的对应关系，且根据这种对应关系即可获得与多站时差定位方程完全类似的相差定位方程。但各类基于程差的定位测量方法都具有测量精度是与基线长度成正比的特性，所以采用短基线通常无法实现远距精确定位。已有的基本分析表明，为实现较好的测距精度，用于定位系统的天馈阵列的基线长度至少需要几百米。

发明内容

针对目前单站短基线相差测量系统无法实时的实现远距高精度测距定位的问题，本发明的目的是先借助相似递推和近似测向法，将长基线程差测距方程转为仅基于测向的双站测距式。在此基础上，一方面在借助单站异端虚拟观测法将双站定位转化为单站探测的同时，保留了有助于提高定位精度的双站间的虚拟长基线。另一方面在利用单站短基线相差定位法将双站间未知的交会角消除掉的同时，将单站短基线相差测量所获得的目标距离和由虚拟双站所获得的目标距离进行等效交换，由此就能在数学形式上使测距误差函数与距离变量成反比。最终给出了一种采用长度仅为数十个波长的短基线即可实现远距高精度单站相差定位的方法。

本发明是通过如下技术方案实现的。

首先，采用相似递推法，将基于短基线的程差测量结果拓展到长基线，并利用短基线近似测向公式将长基线程差方程变换为仅基于角度测量的函数。由此得到一个仅含有角度变量，包括主站和辅站的目标方位角，以及两站之间交会角的双站测距公式。

然后，采用单站异端虚拟观测的方法利用主站短基线相差测向和测距的结果，并借助于两站之间的长基线，求解出辅站的目标方位角，由此将一个与高阶几何量相关的、基于角度测量的双站测距方程转化为一个借助于虚拟观测的单站定位问题。

随后再次利用主站短基线相差测向和测距的结果，由三角函数关系将双站间未知的交会角予以消除。

在此基础上，在确保测距计算准确的前提下，对单站测距定位方程中所包含的虚拟观测角进行近似简化处理，减少虚拟观测角所占的数量，以利于简化复杂的误差分析。进一步将单站测距定位方程中所包含的若干基于短基线相差测量所得到的目标距离和由虚拟双站所测定的目标距离进行等效交换，目的就是要使得借助虚拟观测的单站测距方程式所包含的目标距离变量的幂次小于1。从数学分析上来说，对低于1阶的距离变量的微分将能使测距误差函数与距离变量成反比。

误差分析表明，通过利用虚拟长基线和等效交换，由本专利所提出的测距算法最终可获得小于1％R的远程测距精度。

具体包括以下步骤：

步骤1、利用单站短基线相差测量法获取目标的距离和方位：

$r_{s2}=\frac{{2d}^2-{{\mathrm{\Δ}}_1}^2-{{\mathrm{\Δr}}_2}^2}{2({\mathrm{\Δr}}_1-{\mathrm{\Δr}}_2)}---\left(1\right)$

$\sin {\mathrm{\θ}}_2=\frac{(d^2-{\mathrm{\Δr}}_1^2){\mathrm{\Δr}}_2+(d^2-{\mathrm{\Δr}}_2^2){\mathrm{\Δr}}_1}{d({2d}^2-{\mathrm{\Δr}}_1^2-{\mathrm{\Δr}}_2^2)}---\left(2\right)$

式中：r_s2为径向距离，下标s表示基于短基线相差测量所得到的径向距离；d为阵元间的短基线长度；θ₂是目标到达角；是由相差测量所得到的短基线阵列的程差；λ为波长；Δn_i＝n_i-n_i+1是程差所包含的波长整周数差值；n_i为径向距离所包含的波长整周数；Δφ_i＝φ_i-φ_i+1为两阵元之间的相位差；φ_i是鉴相单元所测得的相移。

步骤2、从程差定位方程出发，采用相似递推法，将基于短基线的程差测量结果拓展到长基线，并对因相似递推所引入的几何误差做修正，所得到的长基线程差表示式是：

${\mathrm{\ΔR}}_i=\frac{D}{d}{\mathrm{\Δr}}_i-D\cos {\mathrm{\θ}}_i\·\mathrm{tg}\left(0.5{\mathrm{\Δ\θ}}_i\right)---\left(3\right)$

式中：ΔR_i是对应于长基线的程差；D表示长基线的长度；θ_i是各个站点的目标到达角；Δθ_i为两探测站点之间的交会角。

步骤3、由近似测向式：

$\sin {\mathrm{\θ}}_i\≈\frac{{\mathrm{\Δr}}_i}{d}---\left(4\right)$

将长基线程差表示式变换为仅与角度相关的函数：

ΔR_i＝Dsinθ_i-Dcosθ_i·tg(0.5Δθ_i)   (5)

步骤4、将基于角度测量的程差修正式代入长基线程差测距式：

$r_2=\frac{{2D}^2-{\mathrm{\ΔR}}_1^2-{\mathrm{\ΔR}}_2^2}{2({\mathrm{\ΔR}}_1-{\mathrm{\ΔR}}_2)}---\left(6\right)$

并经近似简化，可得到仅基于测角的双站测距公式为：

$r_2=D\frac{1-{[\sin {\mathrm{\θ}}_1-\cos {\mathrm{\θ}}_1\·\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)]}^2}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+(\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)}---\left(7\right)$

式中：r₂为长基线多站程差定位方程所测得的径向距离。

步骤5、基于单站短基线相差定位测量结果，计算虚拟观测站处的目标方位角：

$\mathrm{ctg}{\mathrm{\θ}}_1=\frac{r_{s2}\cos {\mathrm{\θ}}_2}{D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2}---\left(8\right)$

由此就将一个基于角度测量的双站测距方程转化为一个借助于虚拟观测的单站定位问题。

步骤6、利用单站短基线相差测距和测向结果，由正弦定理可得到关系式：

$\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Δ\θ}}{2}=0.5\sin \mathrm{\Δ\θ}=\frac{D\cos {\mathrm{\θ}}_1}{{2r}_{s2}}$

并用以将双站测距式中所包含的交会角正切函数代换掉：

$r_2=\frac{D}{r_{s2}}\frac{r_{s2}^2-{[r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_1-0.5D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1]}^2}{[r_{s2}(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+0.5D(\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}---\left(10\right)$

步骤7、将虚拟双站测距方程式右边分母上原本由短基线相差测量得到的目标径向距离移到方程的左侧，通过等效交换将其视为是由虚拟双站测量所获得的，并通过恰当的近似简化得到单站相差测距式：

$r_2=3\sqrt{D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1\frac{(r_{s2}^2+r_{s2}D\sin {\mathrm{\θ}}_2-0.25D^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_2)}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)}}---\left(11\right)$

本发明的特性：

1、探测平台和目标的移动速度都无关，适用于各种运动状态的观测平台使用。

2、天线阵列的最大长度不超过数十个波长，更适用于在对空间有限制要求的小型平台上使用。

3、远距定位测量误差可小于1％R。

附图说明

图1：一维双基相差定位阵

图2：程差的递推与修正

图3：虚拟双站的几何模型

图4：不同虚拟基线时的相对测距误差

具体实施方式

下面结合附图1-图4进一步说明本发明是如何实现的。

实施例

一种借助异端虚拟观测和对目标距离进行等效交换的单站短基线相差定位方法。附图1是一维双基相差定位阵；附图2说明程差的递推与修正；附图3给出了虚拟双站的几何模型；附图4描述了不同虚拟基线时的相对测距误差。

相差测量技术目前主要用于测向，实际上，相移与距离有着直接的对应关系，且根据这种对应关系即可获得与多站时差定位方程完全类似的相差定位方程，且和时差定位相比，相差测量能以相对更短的基线长度实现远距高精度定位。但各类基于程差的定位测量方法都具有测量精度是与基线长度成正比的特性，在通常情况下，采用长度为几十个波长的短基线是无法实现远距精确定位的。已有的基本分析表明，为实现较好的测距精度，用于相差定位的天馈阵列的基线长度至少需要几百米。

本专利在推证得到高阶双站测向交叉定位算法的基础上，借助单站异端的虚拟观测，并通过将由单站短基线相差测量所获得的目标距离和由虚拟双站所获得的目标距离进行等效交换，获得了一种能利用长度仅为数十个波长的短基线实现远距高精度单站相差定位的方法。

一、基于程差的三站测距算法

设定位系统利用附图1所示的一维双基阵对目标进行无源测距，在相邻阵元之间的程差方程是：

ΔR_i＝r_i-r_i+1    (1)

式中：ΔR_i是对应于长基线的程差；r_i为径向距离。

由余弦定理可列出如下两个几何辅助方程：

$r_1^2=r_2^2+D_1^2-{2D}_1{r}_2\cos (90+{\mathrm{\θ}}_2)=r_2^2+D_1^2+{2D}_1{r}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2---\left(2\right)$

$r_3^2=r_2^2+D_2^2-{2D}_2{r}_2\cos (90-{\mathrm{\θ}}_2)=r_2^2+D_2^2-{2D}_2{r}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2---\left(3\right)$

式中：θ₂是中心站点的目标到达角；D_i表示基线的长度。

因有：

x＝r₂sinθ₂   (4)

式中：x为目标在直角坐标系中的横坐标。

故几何辅助方程可改写为：

$r_1^2=r_2^2+D_1^2+{2D}_{1}x---\left(5\right)$

$r_3^2=r_2^2+D_1^2-{2D}_{2}x---\left(6\right)$

将程差方程：r_i-r_i+1＝ΔR_i代入几何辅助式(5)和(6)，在移项整理后有如下的二元一次线性方程组：

${2D}_{1}x-2\mathrm{\Δ}{R}_1{r}_2={\mathrm{\ΔR}}_1^2-D_1^2---\left(7\right)$

${2D}_{2}x-2\mathrm{\Δ}{R}_2{r}_2=D_2^2-{\mathrm{\ΔR}}_2^2---\left(8\right)$

从中可以直接解出目标的距离：

$r_2=\frac{(D_1^2-{\mathrm{\ΔR}}_1^2)D_2+(D_2^2-{\mathrm{\ΔR}}_2^2)D_1}{2({\mathrm{\ΔR}}_1{D}_2-{\mathrm{\ΔR}}_2{D}_1)}---\left(9\right)$

如相邻两基线相等，则有：

$r_2=\frac{{2D}^2-{\mathrm{\ΔR}}_1^2-{\mathrm{\ΔR}}_2^2}{2({\mathrm{\ΔR}}_1-{\mathrm{\ΔR}}_2)}---\left(10\right)$

二、对程差的相似递推、修正和变换

1、相似递推

如附图2所示，根据三角形的几何相似关系，长基线阵列的程差ΔR_i可以由短基线子阵的程差Δr_i递推得到：

${\mathrm{\ΔR}}_i=\frac{D}{d}{\mathrm{\Δr}}_i---\left(11\right)$

式中：d为短基线长度；Δr_i是对应于短基线的程差。

2、修正

从附图2所示几何关系可知，在对应于短基线d的程差三角形ΔR_iAE中，∠P_iAE将接近于直角，故由几何相似得到的对应于长基线D的程差三角形ΔP_iCP_i+1亦近似接近于直角三角形，于是，递推得到的程差值将大于真实的程差值为此，就必须对相似递推所得到的程差进行修正。

对于程差定位，存有在三角形ΔBTP_i+1中两底角需相等的条件，由此可写出如下等式：

0.5(180°-Δθ_i)＝α_i+90°-Δθ_i   (12)

式中：Δθ称为两探测站点之间的交会角；另称α＝∠BP_i+1C为补偿角。

由此即可证得：

α_i＝0.5Δθ_i   (13)

根据附图2所示的几何关系，可列出经过修正的程差表示式：

${\mathrm{\ΔR}}_i=\frac{D}{d}{\mathrm{\Δr}}_i-D\cos {\mathrm{\θ}}_i\·\mathrm{tg}\left(0.5{\mathrm{\Δ\θ}}_i\right)---\left(14\right)$

式中：θ_i是各个站点的目标到达角。

3、基于近似测向的变换

由近似测向式：

$\sin {\mathrm{\θ}}_i\≈\frac{{\mathrm{\Δr}}_i}{d}---\left(15\right)$

可将长基线程差方程变换为仅与角度相关的函数：

ΔR_i＝Dsinθ_i-Dcosθ·tg(0.5Δθ_i)    (16)

三、高阶双站测向交叉定位公式

1、基于角度测量的双站测距式

从分析过程可知，利用相似递推法，由短基线即可获得对应于长基线的程差，故实际上仅需两个站就能获得三站程差测距所需要的两个程差函数，一旦将程差修正式(16)代入测距式(10)，可得到仅基于测角的双站测距公式为：

$r_2=0.5D\frac{2-{[\sin {\mathrm{\θ}}_1-\cos {\mathrm{\θ}}_1\·\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)]}^2-{[\sin {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_2\·\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)]}^2}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+(\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)}---\left(17\right)$

2、简化

进一步根据已有的机载相差-频差测距方法的分析，在式(17)的分子项上，两个相邻程差ΔR_i在量级上是基本相同的，可被近似认为相等，于是式(17)可被简化为：

$r_2=D\frac{1-{[\sin {\mathrm{\θ}}_1-\cos {\mathrm{\θ}}_1\·\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)]}^2}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+(\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)}---\left(18\right)$

模拟计算的结果表明，采用简化后的公式具有更好的计算准确性。实际上，合理近似所得到的表示式更接近机载多普勒频差-相差所导出的形式，即合理近似的结果是在现有的分析范围之内的。

3、几何解释

如近似认为：Δθ≈0，则就有：

$r_2=D\frac{1-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1}{\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2}=D\frac{{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1}{\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2}---\left(19\right)$

利用三角函数中的和差化积公式进行变换，有：

$r_2=\frac{D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1}{2\sin \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_2}{2}\right)\cos \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2}{2}\right)}---\left(20\right)$

再做近似：就能得到直接利用正弦定理所给出的定位公式：

$r_2\≈\frac{D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1}{\mathrm{\Δ\θ}\cos {\mathrm{\θ}}_1}\≈\frac{D\cos {\mathrm{\θ}}_1}{\sin \mathrm{\Δ\θ}}---\left(21\right)$

对此，可以认为，直接利用三角几何函数所得到的定位测距公式仅是角度和长度的一阶组合，而基于程差公式所得到的基于角度测量的定位测距公式则是角度和长度的高阶组合，且对高阶组合进行近似简化就能得到一阶组合。

虽然由程差方程所得到的仅基于测向的定位公式能通过近似简化回归到直接利用三角几何函数所得到的定位公式。但实际上，从纯数学分析的角度，由直接利用三角几何函数所得到的定位公式并不能通过拓展导出高阶的测距算法。

四、观测量的变换

1、短基线相差定位

基于三站程差定位算法，可直接写出短基线相差测距和测向式：

$r_{s2}=\frac{{2d}^2-{\mathrm{\Δr}}_1^2-{\mathrm{\Δr}}_2^2}{2({\mathrm{\Δr}}_1-{\mathrm{\Δr}}_2)}---\left(22\right)$

$\sin {\mathrm{\θ}}_{s2}=\frac{(d^2-{\mathrm{\Δr}}_1^2){\mathrm{\Δr}}_2+(d^2-{\mathrm{\Δr}}_2^2){\mathrm{\Δr}}_1}{d({2d}^2-{\mathrm{\Δr}}_1^2-{\mathrm{\Δr}}_2^2)}---\left(23\right)$

式中：下标s表示基于短基线相差测量所得到的观测量。

符号Δr_i实际上表示的是基于相位测量的程差项，即径向距离和到达角都是由相差测量得到的，即有：

${\mathrm{\Δr}}_i=\mathrm{\λ}({\mathrm{\Δn}}_i+\frac{{\mathrm{\Δ\φ}}_i}{2\mathrm{\π}})---\left(24\right)$

式中：λ为波长；Δn_i＝n_i-n_i+1是程差所包含的波长整周数差值；Δφ_i＝φ_i-φ_i+1为两阵元之间的相位差；n_i为径向距离所包含的波长整周数；φ_i是鉴相单元所测得的相移。

基于现有的技术，假设测向主要是由短基线相位干涉测量获得的，为简化表达式，后面的公式中所有有关方位角的下标中的s都予以省略。

2、交会角的单站短基线相差测量

利用短基线相差测距和测向式，由正弦定理可得到交会角：

$\sin \mathrm{\Δ\θ}=\frac{D\cos {\mathrm{\θ}}_1}{r_{s2}}---\left(25\right)$

近似有：

$\sin \mathrm{\Δ\θ}=\mathrm{tg\Δ\θ}=2\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Δ\θ}}{2}---\left(26\right)$

于是有：

$\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Δ\θ}}{2}=0.5\sin \mathrm{\Δ\θ}=\frac{D\cos {\mathrm{\θ}}_1}{{2r}_{s2}}$

用上式就可将近似测距解中所包含的交会角正切函数代换掉，得：

$r_2=\frac{D}{r_{s2}}\frac{r_{s2}^2-[r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_1-0.5D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1{]}^2}{[r_{s2}(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+0.5D(\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}---\left(27\right)$

3、方位角的虚拟观测

附图3所示给出了一个虚拟双站的几何模型，其中在虚拟基线D的右端安置有一维双基短基线相差阵，基线左侧为虚拟观测站。按正弦定理可得到：

Dsinβ₁＝r_s2sinΔθ    (28)

式中：β₁是在虚拟站点对目标的观测角。

从中可解出基于右侧单站相差测量所获得的虚拟观测站点处的方位角：

$\mathrm{tg}{\mathrm{\β}}_1=\frac{r_{s2}\cos {\mathrm{\θ}}_2}{D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2}---\left(29\right)$

由β₁＝90°-θ₁，将将上式转化为到达角的表示式：

$\mathrm{ctg}{\mathrm{\θ}}_1=\frac{r_{s2}\cos {\mathrm{\θ}}_2}{D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2}---\left(30\right)$

五、距离的等效交换

将测距式(27)中等式右边分母上原本由短基线相差测量得到的目标径向距离移到方程的左侧，并将其等效视为是由虚拟双站测距所获得的，于是有：

$r_2=\sqrt{D\frac{[r_{s2}^2-(r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_1-0.5D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1{)}^2]}{[r_{s2}(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+0.5D(\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}}---\left(31\right)$

对分子项展开整理，并合并同类项之后有：

$r_2=\cos {\mathrm{\θ}}_1\sqrt{D\frac{(r_{s2}^2+r_{s2}D\sin {\mathrm{\θ}}_1-0.25D^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1)}{[r_{s2}(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+0.5D(\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}}$

通过模拟计算发现，分子上根号内的观测角θ₁可近似用观测角θ₂取代，分母上后一项可被忽略，于是上式可被近似简化为如下的形式：

$r_2=\cos {\mathrm{\θ}}_1\sqrt{D\frac{(r_{s2}^2+r_{s2}D\sin {\mathrm{\θ}}_2-0.25D^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_2)}{r_{s2}(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)}}---\left(32\right)$

如此做的目的就是要在不影响计算准确性的同时，最大限度的减少虚拟观测角θ₁所占有的数量，这不仅能进一步为方程式两边的距离等效交换创造有利条件，而且也将为测距方程的误差分析提供便利。

再次将右侧分母上的目标距离移项到左侧，通过等效交换后得到：

$r_2=\sqrt[3]{D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1\frac{(r_{s2}^2+r_{s2}D\sin {\mathrm{\θ}}_2-0.25D^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_2)}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)}}---\left(33\right)$

六、误差分析

1、测距式的复合微分

将虚拟单站相差测距方程变形，并看做是短基线测距r_s2和测角θ_i变量的函数：

$r_2^3=D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1\frac{(r_{s2}^2+r_{s2}D\sin {\mathrm{\θ}}_2-0.25D^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_2)}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)}=f(r_{s2},{\mathrm{\θ}}_1,{\mathrm{\θ}}_2)---\left(34\right)$

根据复合函数微分法，有：

${3r}_2^2\frac{{\∂r}_{\stackrel{.}{2}}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}\frac{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}{{\∂\mathrm{\Δ\φ}}_{\mathrm{si}}}=(\frac{\∂f}{{\∂r}_{s2}}\frac{{\∂r}_{s2}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}+\frac{\∂f}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_1}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}+\frac{\∂f}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}})\frac{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}{{\∂\mathrm{\Δ\φ}}_{\mathrm{si}}}---\left(35\right)$

由此解出径向距离对程差的偏微分：

$\frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}=\frac{1}{{3r}_2^2}(\frac{\∂f}{{\∂r}_{s2}}\frac{{\∂r}_{s2}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}+\frac{\∂f}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_1}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}+\frac{\∂f}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}})$

其中：

$\frac{\∂f}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}=-D\cos {\mathrm{\θ}}_1[2(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)\sin {\mathrm{\θ}}_1+{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1]\frac{(r_{s2}^2\·r_{s2}D\sin {\mathrm{\θ}}_2-0.25D^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_2)}{{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)}^2}$

$\frac{\∂f}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}=\frac{D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1}{{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)}^2}\left[\begin{array}{c}(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)(r_{s2}D\cos {\mathrm{\θ}}_2+0.5D^2\cos {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2)\\ +(r_{s2}^2+r_{s2}D\sin {\mathrm{\θ}}_2-0.25D^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_2)\cos {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right]$

$\frac{\∂f}{{\∂r}_{s2}}=D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1\frac{({2r}_{s2}+D\sin {\mathrm{\θ}}_2)}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)}$

$\frac{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}{{\∂\mathrm{\Δ\φ}}_{\mathrm{si}}}=\frac{\mathrm{\λ}}{2\mathrm{\π}}$

2、短基线测距r_s2对程差的偏微分

设：

$r_{s2}=\frac{{2d}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s1}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s2}^2}{2({\mathrm{\Δr}}_{s1}-{\mathrm{\Δr}}_{s2})}=\frac{p_r}{q_r}---\left(37\right)$

即有：

$p_r={2d}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s1}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s2}^2$

q_r＝2(Δr_s1-Δr_s2)

其对程差的偏微分是：

$\frac{{\∂r}_3}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}=\frac{1}{q_r^2}[q_r\frac{{\∂p}_r}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}-p_r\frac{{\∂q}_r}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}]---\left(38\right)$

其中：

$\frac{{\∂p}_r}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}=-{2\mathrm{\Δr}}_i$

$\frac{{\∂q}_r}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}=2{(-1)}^i$

3、短基线测向角θ₂对程差的偏微分

设：

$\sin {\mathrm{\θ}}_2=\frac{(d^2-{\mathrm{\Δr}}_{s1}^2){\mathrm{\Δr}}_{s2}+(d^2-{\mathrm{\Δr}}_{s2}^2){\mathrm{\Δr}}_{s1}}{d({2d}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s1}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s2}^2)}=\frac{p_{\mathrm{\θ}}}{q_{\mathrm{\θ}}}---\left(39\right)$

即有：

$p_{\mathrm{\θ}}=(d^2-{\mathrm{\Δr}}_{s1}^2){\mathrm{\Δr}}_{s2}+(d^2-{\mathrm{\Δr}}_{s2}^2){\mathrm{\Δr}}_{s1}$

$q_{\mathrm{\θ}}=d({2d}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s1}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s2}^2)$

方位角对程差的偏微分是：

$\frac{\∂\mathrm{\θ}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}=\frac{1}{q_{\mathrm{\θ}}^2\cos \mathrm{\θ}}[q_{\mathrm{\θ}}\frac{{\∂p}_{\mathrm{\θ}}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_i}-p_{\mathrm{\θ}}\frac{{\∂q}_{\mathrm{\θ}}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_i}]---\left(40\right)$

其中：

$\frac{{\∂p}_{\mathrm{\θ}}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}=d^2-{2\mathrm{\Δr}}_{s1}{\mathrm{\Δr}}_{s2}-{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{sk}}^2,k=1+2^{3-i}$

$\frac{{\∂q}_{\mathrm{\θ}}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}=-2\mathrm{d\Δ}{r}_{\mathrm{si}}$

4、虚拟观测角θ₁的偏微分

虚将拟观测角余切看成是实测站点短基线测距和测角的函数：

$\mathrm{ctg}{\mathrm{\θ}}_1=\frac{r_{s2}\cos {\mathrm{\θ}}_2}{D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2}=f_1(r_{s2},{\mathrm{\θ}}_2)---\left(41\right)$

根据复合函数微分法，有：

$-\frac{1}{{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1}\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_1}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}\frac{{\∂\mathrm{\Δr}}_i}{{\∂\mathrm{\Δ\φ}}_i}=[\frac{{\∂f}_1}{{\∂r}_{s2}}\frac{{\∂r}_{s2}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}+\frac{{\∂f}_1}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{si}}}]\frac{{\∂\mathrm{\Δr}}_i}{{\∂\mathrm{\Δ\φ}}_i}---\left(42\right)$

由此解得虚拟观测角对程差的偏微分：

$\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_1}{{\∂\mathrm{\Δr}}_i}=[\frac{{\∂f}_1}{{\∂r}_{s2}}\frac{{\∂r}_{s2}}{{\∂\mathrm{\Δr}}_i}+\frac{{\∂f}_1}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\Δr}}_i}]{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1---\left(43\right)$

其中：

$\frac{{\∂f}_1}{{\∂r}_{s2}}=\frac{1}{{(D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2)}^2}[(D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2)\cos {\mathrm{\θ}}_2-r_s\cos {\mathrm{\θ}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2]$

$\frac{{\∂f}_1}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}=\frac{1}{{(D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2)}^2}[-(D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2)r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2-r_{s2}^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_2]$

5、误差曲线

根据误差分析理论，由相差测量所产生的相对测距误差为：

${\mathrm{\σ}}_r=\frac{1}{r}\left\{\right|\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂r}{\∂\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i}\left|{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\φ}}\right\}---\left(44\right)$

附图4给出了不同虚拟基线时的相对测距误差曲线，显然，随着虚拟基线长度D的增加，相对测量误差将会逐渐降低。虽然虚拟基线是可以随意选择的，但经过近似简化处理后，测距公式的计算准确度将有所不足，受制于相对计算误差，虚拟基线长度一般需控制在10公里以内为好。由图示曲线可知，虚拟基线为5公里时即可在±60°范围内获得能满足1％R技术要求的定位精度。同时，仿真计算还表明，相对测量误差是与径向距离成正比的，增加短基线长度亦能降低测量误差。

Claims (8)

1.一种借助异端虚拟观测和对目标距离进行等效交换的单站短基线相差定位方法，其特征是在推证得到高阶双站测向交叉定位算法的基础上，一方面在借助单站异端虚拟观测法将双站定位转化为单站探测的同时，保留了有助于提高定位精度的双站间的虚拟长基线。另一方面在利用单站短基线相差定位法将双站间未知的交会角消除掉的同时，将单站短基线相差测量所获得的目标距离和由虚拟双站所获得的目标距离进行等效交换，由此就能使测距误差函数与距离变量成反比。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于利用单站短基线相差测量法获得目标的距离和方位：

$r_{s2}=\frac{{2d}^2-\mathrm{\Δ}{r}_{s1}^2-{\mathrm{\Δr}}_{s2}^2}{2({\mathrm{\Δr}}_{s1}-\mathrm{\Δ}{r}_{s2})}---\left(1\right)$

${\sin \mathrm{\θ}}_2=\frac{(d^2-\mathrm{\Δ}{r}_{s1}^2){\mathrm{\Δr}}_{s2}+(d^2-\mathrm{\Δ}{r}_{s2}^2)\mathrm{\Δ}{r}_{s1}}{d({2d}^2-\mathrm{\Δ}{r}_{s1}^2-\mathrm{\Δ}{r}_{s2}^2)}---\left(2\right)$

式中：r_s2为径向距离，下标s表示基于短基线相差测量所得到的径向距离；d为阵元间的短基线长度；θ₂是目标到达角；是由相差测量所得到的短基线阵列的程差；λ为波长；Δn_i＝n_i-n_i+1是程差所包含的波长整周数差值；n_i为径向距离所包含的波长整周数；Δφ_i＝φ_i-φ_i+1为两阵元之间的相位差；φ_i是鉴相单元所测得的相移。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于从程差定位方程出发，采用相似递推法，将基于短基线的程差测量结果拓展到长基线，并对因相似递推所引入的几何误差做修正，所得到的长基线程差表示式是：

$\mathrm{\Δ}{R}_i=\frac{D}{d}\mathrm{\Δ}{r}_i-D\cos {\mathrm{\θ}}_i\·\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_i\right)---\left(3\right)$

式中：ΔR_i是对应于长基线的程差；D表示长基线的长度；θ_i是各个站点的目标到达角；Δθ_i为两探测站点之间的交会角。

4.根据权利要求1和3所述的方法，其特征是由近似测向式：

$\sin {\mathrm{\θ}}_i\≈\frac{\mathrm{\Δ}{r}_i}{d}---\left(4\right)$

将长基线程差变换为仅与角度相关的函数：

ΔR_i＝Dsinθ_i-Dcosθ_i·tg(0.5Δθ_i)      (5)

5.根据权利要求1和4所述的方法，其特征是将基于角度测量的程差修正式代入长基线程差测距式：

$r_2=\frac{2D^2-\mathrm{\Δ}{R}_1^2-\mathrm{\Δ}{R}_2^2}{2(\mathrm{\Δ}{R}_1-\mathrm{\Δ}{R}_2)}---\left(6\right)$

并经近似简化，可得到仅基于测角的双站测距公式为：

$r_2=D\frac{1-{[\sin {\mathrm{\θ}}_1-\cos {\mathrm{\θ}}_1\·\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)]}^2}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+({\cos \mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\mathrm{tg}\left(0.5\mathrm{\Δ\θ}\right)}---\left(7\right)$

式中：r₂为长基线多站程差定位方程所测得的径向距离。

6.根据权利要求1和2所述的方法，其特征是基于单站短基线相差定位测量结果，计算虚拟观测站处的目标方位角：

$\mathrm{ctg}{\mathrm{\θ}}_1=\frac{r_{s2}\cos {\mathrm{\θ}}_2}{D+r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_2}---\left(8\right)$

由此就将一个基于角度测量的双站测距方程转化为一个借助于虚拟观测的单站定位问题。

7.根据权利要求1和2所述的方法，其特征是利用单站短基线相差测距和测向结果，由正弦定理可得到关系式：

$\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Δ\θ}}{2}=0.5\sin \mathrm{\Δ\θ}=\frac{D\cos {\mathrm{\θ}}_1}{{2r}_{s2}}---\left(9\right)$

并用以将测距式中所包含的交会角正切函数代换掉：

$r_2=\frac{D}{r_{s2}}\frac{r_{s2}^2-{[r_{s2}\sin {\mathrm{\θ}}_1-0.5D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1]}^2}{{[r}_{s2}(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)+0.5D(\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos {\mathrm{\θ}}_1)\cos {\mathrm{\θ}}_1]}---\left(10\right)$

8.根据权利要求1、6和7所述的方法，其特征是将虚拟双站测距方程式右边分母上原本由短基线相差测量得到的目标径向距离移到方程的左侧，通过等效交换将其视为是由虚拟双站测量所获得的，并通过恰当的近似简化得到单站相差测距式：

$r_2=\sqrt[3]{D{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_1\frac{(r_{s2}^2+r_{s2}D\sin {\mathrm{\θ}}_2-0.25D^2{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_2)}{(\sin {\mathrm{\θ}}_1-\sin {\mathrm{\θ}}_2)}}---\left(11\right)$