CN104346532A - 一种mimo雷达降维自适应波束形成方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于雷达自适应波束形成技术领域，特别涉及一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法，其具体步骤为：对接收到的K次回波进行采样，并对同一次回波信号采样得到的所有向量按列排列成一个数据阵列，可以得到K个数据矩阵；记录同时刻的发射信号数据，排列成K个数据矩阵；用每次回波信号的采样数据矩阵乘以相应的发射信号数据矩阵的伪逆，并记录下每次相乘所得的结果；对权矢量的奇异向量进行多级降维处理，进而利用双迭代算法求解每一对奇异向量来逼近高维最优权矢量；用计算出来的最优权进行波束形成。

Description

一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法

技术领域

本发明属于雷达自适应波束形成技术领域，特别涉及基于权矩阵低秩逼近的MIMO雷达降维自适应波束形成方法，本发明通过对多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output,以下简称MIMO)雷达信号权矩阵的奇异值分解以逼近高维权矢量的多级Capon波束形成器，从而进行收发综合波束形成。

背景技术

自上世纪30年代第二次世界大战以来，现代雷达技术已经经历了70多年的蓬勃发展。今天，雷达的工作模式已由单站雷达发展到组网雷达、由单输入单输出(SISO，Single-Input Single-Output)雷达到MIMO雷达等。MIMO的概念最早来源于无线通信，其目的是利用空间分集技术提高信道容量和传输稳健性。鉴于雷达系统和无线通通信系统的相似性，人们将MIMO技术推广到雷达领域，从而产生了MIMO雷达的概念。MIMO雷达使用多个天线阵元发射多重信号照射目标，同时利用多个天线阵元接收目标回波信号。发射信号通常是相互正交或独立的，从而在接收端可以利用匹配滤波分离各发射信号分量。与传统雷达系统相比，MIMO雷达在抗目标衰落、分辨力以及干扰抑制等方面拥有许多潜在的优势。

MIMO雷达充分利用了多天线在地域上的广泛分布，以及发射信号的多样性，使得各接收天线信号之间相互独立以获得分集增益，包括空间分集(Spatial diversity)、谱分集(spectral diversity)以及频率分集(frequency diversity)等等，因此有效地克服了目标雷达截面积(RCS,Radar Cross Section)起伏对雷达检测性能的影响，并且提高了系统自由度的利用率，从而提高了雷达对目标的探测能力、杂波抑制能力、目标参数估计精度及目标识别能力等。

波束形成作为阵列信号处理的一项关键技术，在雷达、声纳、卫星通信、地震探测等军事和国民经济领域有着广泛的应用。所谓波束形成，就是对阵列的输出作加权求和，从而在特定方向形成主波束用来接收有用的期望信号，其实质是设计一个空域滤波器，抑制接收信号中的干扰成分，相应增强期望信号的功率。所谓自适应波束形成，是根据雷达工作环境或工作方式的变化，快速地改变空域滤波所需要的权矢量，使其具有自适应能力。

常用的采样协方差矩阵求逆(SMI，Sample-Matrix Inversion)波束形成方法求逆的计算量是观测数据维数的三次方，其工程实现十分困难；因此，MIMO雷达自适应波束形成必须进行降维处理，在各种降维自适应滤波技术中，主分量(PC，Principle Component)法是最受人们关注的方法之一。PC法利用干扰协方差矩阵的低秩特性，选取协方差矩阵大特征值对应的特征向量作为干扰子空间的基向量，然后将观测数据投影到低维的干扰子空间中进行自适应处理。然而，实际中干扰子空间的维数是未知的，如果选取的降维子空间的维数小于干扰子空间的维数，PC法的性能将严重下降。反之，若选取的降维子空间维数过高，PC法将不再具有优势。PC法的另一个缺点就是需要对数据协方差矩阵进行特征值分解，计算量并无实质性减小。而另一种降维方法为特征相消(Eigen-Canceler)法，该方法利用协方差矩阵的大特征值对应的特征矢量构成杂波子空间，然后计算权矢量进行自适应滤波，与PC法存在相同的缺点。而已提出的具有Kronecker积结构的波束形成器将发射-接收二维Capon权矢量表示成低维的发射权矢量和接收权矢量的Kronecker乘积，通过一种可快速收敛的迭代算法交替优化两个低维权矢量，避免了复杂的高维协方差矩阵估计和求逆运算，同时有效地降低了对训练样本的要求。然而其缺点是，利用两个低维权的Kronecker积逼近高维权会大幅降低信号处理自由度，从而在干扰较多时性能损失严重。

发明内容

本发明的目的在于提出一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法，本发明提出了一种基于权矩阵降秩逼近的自适应波束形成方法，即多级Capon波束形成方法。在本发明中，收发波束最优权是通过对权矩阵的奇异值分解然后进行双迭代的方法计算出来的，从而利用了更多的信号处理自由度，具有更强的抑制干扰能力。

为实现上述技术目的，本发明采用如下技术方案予以实现。

一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法包括以下步骤：

步骤1，所述MIMO雷达为单基地MIMO雷达，MIMO雷达的发射阵列为均匀线阵，MIMO雷达的发射阵列的阵元数为M，阵元间距为d_T；MIMO雷达的接收阵列为均匀线阵，MIMO雷达的接收阵列的阵元数为N，阵元间距为d_R；利用MIMO雷达的发射阵列发射信号，利用MIMO雷达的发射阵列每个阵元发射的信号相互正交；利用MIMO雷达的接收阵列接收K次回波，K为自然数且K≥max{M,N}，max{·}表示取最大值；目标波离方向表示为θ，目标波达方向表示为得出MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波的采样数据矩阵，MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵为Y_k，k＝1,2,...,K；

步骤2，得出MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵的修正矩阵为MIMO雷达的发射阵列发射的信号矩阵S的Moore-Penrose右伪逆，L表示MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波的采样数；

步骤3，构建双边约束加权自适应波束形成的代价函数，对所述双边约束加权自适应波束形成的代价函数进行求解，得出M组权矢量，第i组权矢量为(p_i,q_i)，i取1至M；p_i表示第i个接收波束形成权矢量，p_i是行数为N的列向量；q_i表示第i个发射波束形成权矢量，q_i时行数为M的列向量；根据求解得出的M组权矢量，构建双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数；

步骤4，对所述双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数进行求解，得出第1个最优接收波束形成权矢量u_1,opt至第M个最优接收波束形成权矢量u_M,opt、以及第1个最优发射波束形成权矢量v_1,out至第M个最优发射波束形成权矢量v_M,out；

步骤5，第1个最优接收波束形成权矢量u_1,opt至第M个最优接收波束形成权矢量u_M,opt、以及第1个最优发射波束形成权矢量v_1,out至第M个最优发射波束形成权矢量v_M,out，进行自适应波束形成。

本发明的有益效果为：1)与传统的自适应波束形成方法相比，本发明有效地提高了杂波抑制性能。2)与传统的自适应波束形成方法相比，本发明需要的回波数据的样本数更少。3)与传统的自适应波束形成方法相比，本发明可以有效地降低计算量。

附图说明

图1为本发明的一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法的流程图；

图2为本发明中MIMO雷达的发射阵列和接收阵列的结构示意图；

图3为双迭代方法的流程示意图；

图4a为本发明中利用步骤4得出的最优接收波束形成权矢量和最优发射波束形成权矢量形成的M级Capon波束形成器的示意图；

图4b为本发明中对M级Capon波束形成器其进行降秩处理得出的m级Capon波束形成器的示意图；

图5a为仿真实验中与目标多普勒通道相对应的最优权矩阵的奇异值的示意图；

图5b为仿真实验中与目标多普勒通道相对应的最优权矩阵的奇异值的归一化累积能量的示意图；

图6为仿真实验中采用本发明进行波束形成时多级Capon波束形成器输出信干噪比随处理器级数m的变化曲线；

图7为仿真实验中分别采用SMI波束形成方法、PC法、Kronecker积方法和本发明进行波束形成时目标多普勒通道的空域方向图；

图8为仿真实验中分别采用SMI波束形成方法、PC法、EC法、Kronecker积方法和本发明进行波束形成时得出的在不同多普勒通道的输出信干噪比曲线

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明：

参照图1，为本发明的一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法的流程图。该MIMO雷达降维自适应波束形成方法包括以下步骤：

步骤1，所述MIMO雷达为单基地MIMO雷达，MIMO雷达的发射阵列为均匀线阵，MIMO雷达的发射阵列的阵元数为M，阵元间距为d_T；MIMO雷达的接收阵列为均匀线阵，MIMO雷达的接收阵列的阵元数为N，阵元间距为d_R；利用MIMO雷达的发射阵列发射信号，利用MIMO雷达的发射阵列每个阵元发射的信号相互正交；利用MIMO雷达的接收阵列接收K次回波，K为自然数且K≥max{M,N}，max{·}表示取最大值；目标波离方向表示为θ，目标波达方向表示为得出MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波的采样数据矩阵，MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵为Y_k。

其具体步骤为：

参照图2，为本发明中MIMO雷达的发射阵列和接收阵列的结构示意图。MIMO雷达的发射阵列为均匀线阵，MIMO雷达的发射阵列的阵元数为M，MIMO雷达的发射阵列的阵元间距为d_T。MIMO雷达的接收阵列为均匀线阵，MIMO雷达的接收阵列的阵元数为N，例如，N＝M，MIMO雷达的接收阵列的阵元间距为d_R。MIMO雷达的发射阵列和接收阵列可同置也可分置，MIMO雷达的发射阵列和接收阵列位于同一平面内，在MIMO雷达的发射阵列和接收阵列所处的平面内，建立X-Y二维平面直角坐标系，得出MIMO雷达的发射阵列的每个阵元在X-Y二维平面直角坐标系的坐标矢量、以及MIMO雷达的接收阵列的每个阵元在X-Y二维平面直角坐标系的坐标矢量；其中，MIMO雷达的发射阵列的第m个阵元在X-Y二维平面直角坐标系的坐标矢量为x_T,m，m＝1,2,...,M，x_T,m∈R²；MIMO雷达的接收阵列的第n个阵元在X-Y二维平面直角坐标系的坐标矢量为x_R,n，n＝1,2,...,N，x_R,n∈R²。

本发明实施例中，MIMO雷达为单基地MIMO雷达，对于单基地MIMO雷达来说，MIMO雷达的发射阵列和接收阵列位于同一直线上，MIMO雷达的发射阵列和接收阵列的第1个阵元为同一个阵元，此时X-Y二维平面直角坐标系的原点MIMO雷达的发射阵列/接收阵列的第1个阵元，X轴为MIMO雷达的发射阵列/接收阵列所在直线，Y轴为MIMO雷达的发射阵列的法线，则MIMO雷达的发射阵列的第m个阵元在X-Y二维平面直角坐标系的坐标矢量x_T,m为：x_T,m＝[(m-1)d_T,0]^T，上标T表示矩阵或向量的转置；MIMO雷达的接收阵列的第n个阵元在X-Y二维平面直角坐标系的坐标矢量x_R,n为：x_R,n＝[(n-1)d_R,0]^T。

为不失一般性，设在整个观测过程中目标相对于单基地MIMO雷达静止不动(即不考虑目标的多普勒频移)，目标波离方向(目标相对于MIMO雷达的发射阵列的方位角)表示为θ，目标波达方向(目标相对于MIMO雷达的接收阵列的方位角)表示为则在单基地MIMO雷达中，

利用MIMO雷达的发射阵列发射信号，利用MIMO雷达的发射阵列每个阵元发射的信号相互正交；利用MIMO雷达的接收阵列接收K次回波，K为自然数且K≥max{M,N}，max{·}表示取最大值。对MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波进行观测和采样，MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波的采样数为L；得出MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波的采样数据矩阵，MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵Y_k为：

$Y_k={\mathrm{\α}}_k{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)a_t^T\left(\mathrm{\θ}\right)S+Z_k,k=\mathrm{1,2},...,K$

其中，α_k表示MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的信号幅度增益，a_r(θ)表示目标相对于MIMO雷达的接收阵列的导向矢量，a_t(θ)表示目标相对于MIMO雷达的发射阵列的导向矢量，上标T表示矩阵或向量的转置；S为MIMO雷达的发射阵列发射的信号矩阵，S为M×L维的矩阵；Z_k为MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的干扰和噪声。S＝[s[1],s[2],...,s[L]]_M×L，Z_k＝[z_k[1],z_k[2],...,z_k[L]]_N×L，Y_k＝[y_k[1],y_k[2],...,y_k[L]]_N×L。

本发明实施例中，目标相对于MIMO雷达的接收阵列的导向矢量a_r(θ)和目标相对于MIMO雷达的发射阵列的导向矢量a_t(θ)分别为：

a_r(θ)＝[exp(-j(2π/λ)p^Tx_R,1)…exp(-j(2π/λ)p^Tx_R,N)]^T

a_t(θ)＝[exp(-j(2π/λ)p^Tx_T,1)…exp(-j(2π/λ)p^Tx_T,M)]^T

其中，λ为MIMO雷达的发射阵列发射信号的载波波长，p＝[sinθ,cosθ]^T，p为收发阵列(MIMO雷达的接收阵列和发射阵列)指向目标的单位方向矢量，a_r(θ)是行数为N的列向量，a_t(θ)是行数为M的列向量。

步骤2，得出MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵的修正矩阵为MIMO雷达的发射阵列发射的信号矩阵S的Moore-Penrose右伪逆，L表示MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波的采样数，k＝1,2,…,K，K为MIMO雷达的接收阵列接收的回波次数。

其具体步骤为：

由于MIMO雷达发射阵列各阵元所发射的信号相互正交，所以矩阵S是行满秩的，则其中I_M为M维单位矩阵，为MIMO雷达的发射阵列发射的信号矩阵S的Moore-Penrose右伪逆。于是，MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵的修正矩阵为：

步骤3，构建双边约束加权自适应波束形成的代价函数，对所述双边约束加权自适应波束形成的代价函数进行求解，得出M组权矢量，第i组权矢量为(p_i,q_i)，i取1至M；p_i表示第i个接收波束形成权矢量，p_i是行数为N的列向量；q_i表示第i个发射波束形成权矢量，q_i时行数为M的列向量；根据求解得出的M组权矢量，构建双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数。

其具体子步骤为：

(3.1)在得出MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵的修正矩阵之后，就可以设置权矢量对进行加权，得出MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的滤波后信号y_k。例如，设置M组权矢量，第i组权矢量为(p_i,q_i)，i取1至M，p_i表示第i个接收波束形成权矢量，p_i是行数为N的列向量；q_i表示第i个发射波束形成权矢量，q_i时行数为M的列向量。p_i和q_i分别为奇异向量。在向量p₁,p₂,p₃,…,p_M中，任意两个向量相互正交，在向量q₁,q₂,q₃,…,q_M中，任意两个向量相互正交。M组权矢量可以根据双边约束加权自适应波束形成的代价函数进行求解，此时，双边约束加权自适应波束形成的代价函数为：

其中， $f(p_1,q_1,...,p_M,q_M)=E\left\{{\left|\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{p}_i^H{\mathrm{Yq}}_i\right|}^2\right\}=\frac{1}{K}\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{p}_i^H{\stackrel{\‾}{Y}}_k{q}_i\right|}^2,$ 为一平稳随机过程，上标H表示矩阵的共轭转置，|·|表示取模值，E{·}表示求期望。

对上述双边约束加权自适应波束形成的代价函数进行求解，得出使f(p₁,q₁,…,p_M,q_M)最小的M组权矢量。然后用其中第第i组权矢量(p_i,q_i)对MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵的修正矩阵进行加权，得出MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的滤波后信号y_k：

(3.2)在得出使f(p₁,q₁,…,p_M,q_M)最小的M组权矢量之后，定义降维后第i个接收波束形成权矢量u_i和降维后第i个发射波束形成权矢量v_i，i＝1,2,…,M；当i＝1时，u₁＝p₁，v₁＝q₁；当i＞1时，u_i和v_i满足以下关系式：

$p_i=\underset{i1=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Π}}}{G}_{i1}{u}_i,q_i=\underset{i1=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Π}}}{H}_{i1}{v}_i$

其中，i1取1至i-1，i＝1,2,…,M；总的来说，有以下关系式：

$p_1=u_1,p_2=G_1{u}_2,...,p_M=G_1...G_{M-1}{u}_M=\underset{i2=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Π}}}{G}_{i2}{u}_M$

$q_1=v_1,q_2=H_1{v}_2,...,q_M=H_1...H_{M-1}{v}_M=\underset{i2=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\Π}}}{H}_{i2}{v}_M$

其中，G_i2∈C^{(N-i2+1)×(N-i2)}，G_i2为(N-i2+1)×(N-i2)的矩阵，i2取1至M-1；H_i2∈C^{(M-i+1)×(M-i)}，H_i2为(M-i2+1)×(M-i2)的矩阵。可以看出，u_i∈C^(N-i+1)×1，降维后第i个接收波束形成权矢量u_i是行数为N-i+1的列向量；v_i∈C^(M-i+1)×1，降维后第i个发射波束形成权矢量v_i是行数为M-i+1的列向量。

矩阵G_i2是与u_i2相对应的降维矩阵，张成了u_i2的正交补空间；矩阵H_i2是与v_i2相对应的降维矩阵，张成了v_i2的正交补空间，即有：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_{i2}^H{u}_{i2}=0_{N-i2}\\ H_{i2}^H{v}_{i2}=0_{M-i2}\end{array}\right.$

其中，0_N-i2表示行数为N-i2的全零列向量，0_M-i2表示行数为M-i2的全零列向量。另外，降维矩阵G_i2和H_i2还需满足

$\left\{\begin{array}{c}{G}_{i2}^H{G}_{i2}=I_{N-i2}\\ H_{i2}^H{H}_{i2}=I_{M-i2}\end{array}\right.$

其中，I_N-i2表示N-i2阶的单位矩阵，I_M-i2表示M-i2阶的单位矩阵。

得出双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数，所述双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数为：

$\left\{\begin{array}{c}\min f(u_1,v_1,...,u_M,v_M)=E\left\{{\left|\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i^H{\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}{v}_i\right|}^2\right\}\\ s.t.\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i^H{a}_{r,i}{a}_{t,i}^H{v}_i=1\end{array}\right.$

其中， ${\stackrel{\‾}{Y}}_1^{\′}=Y,E\left\{{\left|\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i^H{\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}{v}_i\right|}^2\right\}=\frac{1}{K}\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i^H{\stackrel{\‾}{Y}}_k{v}_i\right|}^2,Y=\{{\stackrel{\‾}{Y}}_k,k=\mathrm{1,2},...,K\}$ 为一平稳随机过程，上标H表示矩阵的共轭转置，|·|表示取模值，E{·}表示求期望。a_r,1＝a_r(θ)，a_t,1＝a_t(θ)^*，上标*表示取共轭；当i＞1时，有：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}=G_{i-1}^H...G_1^H{\stackrel{\‾}{Y}}_1^{\′}{H}_1...H_{i-1}=\underset{i1=i-1}{\overset{1}{\mathrm{\Π}}}{G}_{i1}^H{\stackrel{\‾}{Y}}_1^{\′}\underset{i1=1}{\overset{i1-1}{\mathrm{\Π}}}{H}_{i1}\\ a_{r,i}=G_{i-1}^H...G_1^H{a}_{r,1}=\underset{i1=i-1}{\overset{1}{\mathrm{\Π}}}{G}_{i1}^H{a}_{r,1}\\ a_{t,i}=H_{i-1}^H...H_1^H{a}_{t,1}=\underset{i1=i-1}{\overset{1}{\mathrm{\Π}}}{H}_{i1}^H{a}_{t,1}\end{array}\right.$

其中，i＝2,3…,M。

步骤4，对所述双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数进行求解，第1个最优接收波束形成权矢量u_1,opt至第M个最优接收波束形成权矢量u_M,opt、以及第1个最优发射波束形成权矢量v_1,out至第M个最优发射波束形成权矢量v_M,out，i＝1,2,…,M。

其具体步骤为：

在计算降维后第i个接收波束形成权矢量u_i和降维后第i个发射波束形成权矢量v_i时，可令其后的权矢量(u_i+1,v_i+1),…,(u_M,v_M)都为零，可构成多级Capon波束形成器。于是，得出双边约束加权自适应波束形成的简化后的代价函数，上述双边约束加权自适应波束形成的简化后的代价函数为：

$\left\{\begin{array}{c}\min f(u_i,v_i)=E\left\{{|a_{i-1}+u_i^H{\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}{v}_i|}^2\right\}\\ s.t.u_i^H{a}_{r,i}=0\end{array}\right.$

其中， $a_{i-1}={\mathrm{\Σ}}_{i1=1}^{i-1}{y}_{i1},y_{i1}=u_{i1}^H{\stackrel{\‾}{Y}}_{i1}^{\′}{v}_{i1},i1=1,...,i-1,$ y_i1表示第i1级滤波器的加权输出。利用拉格朗日乘子法将上述双边约束加权自适应波束形成的简化后的代价函数转化为以下无约束方程：

$f(u_i,v_i,{\mathrm{\λ}}^{\′})=E\left\{{|a_{i-1}+u_i^H{\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}{v}_i|}^2\right\}-{\mathrm{\λ}}^{\′}{u}_i^H{a}_{r,i}$

其中λ′为拉格朗日乘子，|·|表示取模值，E{·}表示求期望。

在得出上述无约束方程之后，求解出使f(u_i,v_i,λ′)最小的u_i和v_i，求解出的使f(u_i,v_i,λ′)最小的u_i为第i个最优接收波束形成权矢量u_i,opt，求解出的使f(u_i,v_i,λ′)最小的v_i为第i个最优发射波束形成权矢量v_i,out。本发明实施例中求解出使f(u_i,v_i,λ′)最小的u_i和v_i的过程为：

分别固定u_i和v_i，令f(u_i,v_i,λ)分别关于v_i和u_i的偏导数等于零，即

$\frac{\∂f(u_i,v_i,\mathrm{\λ})}{{\∂v}_i}=0$

$\frac{\∂f(u_i,v_i,\mathrm{\λ})}{{\∂u}_i}=0$

则使f(u_i,v_i,λ′)最小的u_i和v_i分别为：

$v_i=-R_{t,i}^{-1}{b}_{t,i}$

$u_i=-R_{r,i}^{-1}(b_{r,i}-\frac{a_{r,i}^H{R}_{r,i}^{-1}{b}_{r,i}}{a_{r,i}^H{R}_{r,i}^{-1}{a}_{r,i}}{a}_{r,i})$

其中， $R_{t,i}=E\left\{\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{u}_i\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_u^{\′H}{u}_i\right)}^H\right\},b_{t,i}=E\left\{a_{i-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{u}_i\right\},R_{r,i}=E\left\{\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}{v}_i\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}{v}_i\right)}^H\right\},$ 上标-1表示矩阵的逆，上标H表示矩阵的共轭转置，上标*表示取共轭，E{·}表示求期望； $a_{i-1}={\mathrm{\Σ}}_{i1=1}^{i-1}{y}_{i1},y_{i1}=u_{i1}^H{\stackrel{\‾}{Y}}_{i1}^{\′}{v}_{i1},i1=1,...,i-1.$

在步骤4中，采用双迭代的方法求解得出第i个最优接收波束形成权矢量u_i,opt和第i个最优发射波束形成权矢量v_i,out。参照图3，为双迭代方法的流程示意图。采用双迭代的方法求解得出第i个最优接收波束形成权矢量u_i,opt和第i个最优发射波束形成权矢量v_i,out的具体过程包括如下子步骤：

(4.1)将降维后第i个接收波束形成权矢量u_i的初值u_i(0)设为a_r,0，a_r,0为目标相对于MIMO雷达的接收阵列的导向矢量。设置迭代变量η＝1,2,...；当η＝1时，跳至子步骤(4.2)；

(4.2)将u_i(η-1)代入下式求出降维后第i个发射波束形成权矢量v_i的第η个取值v_i(η)：

v_i(η)＝-R_t,i(η)^-1b_t,i(η)

其中，

$\begin{array}{c}{R}_{t,i}\left(\mathrm{\η}\right)=E\left\{\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{u}_i(\mathrm{\η}-1)\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{u}_i(\mathrm{\η}-1)\right)}^H\right\}=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{u}_i(\mathrm{\η}-1)\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{u}_i(\mathrm{\η}-1)\right)}^H\\ ,b_{t,i}\left(\mathrm{\η}\right)=E\left\{a_{i-1}{\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{u}_i(\mathrm{\η}-1)\right\}=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\Σ}}_{i1=1}^{i-1}{y}_{i1}\right){\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{u}_i(\mathrm{\η}-1)\end{array}$

其中，上标H表示矩阵的共轭转置，E{·}表示求期望。 $y_{i1}=u_{i1}^H{\stackrel{\‾}{Y}}_{i1}^{\′}{v}_{i1},i1=1,...,i-1.$

(4.3)将降维后第i个发射波束形成权矢量v_i的第η个取值v_i(η)代入下式，求出降维后第i个接收波束形成权矢量u_i的第η个取值u_i(η)

$u_i\left(\mathrm{\η}\right)=-R_{r,i}^{-1}\left(\mathrm{\η}\right)(b_{r,i}\left(\mathrm{\η}\right)-\frac{a_{r,i}^H{R}_{r,i}^{-1}\left(\mathrm{\η}\right)b_{r,i}\left(\mathrm{\η}\right)}{a_{r,i}^H{R}_{r,i}^{-1}\left(\mathrm{\η}\right)a_{r,i}}{a}_{r,i})$

其中，

$R_{r,i}\left(\mathrm{\η}\right)=E\left\{\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{v}_i\left(\mathrm{\η}\right)\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{v}_i\left(\mathrm{\η}\right)\right)}^H\right\}=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{v}_i\left(\mathrm{\η}\right)\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′H}{v}_i\left(\mathrm{\η}\right)\right)}^H$

$b_{r,i}\left(\mathrm{\η}\right)=E\left\{a_{i-1}^{*}{\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}{v}_i\left(\mathrm{\η}\right)\right\}=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left({\mathrm{\Σ}}_{i1=1}^{i-1}{y}_{i1}\right)}^{*}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_i^{\′}{v}_i\left(\mathrm{\η}\right)\right)$

其中，上标H表示矩阵的共轭转置，上标*表示取共轭，E{·}表示求期望。

(4.4)判断||u_i(η)-u_i(η-1)||与ε的大小关系，||·||表示取模值，ε为设定的迭代终止阈值，0＜ε＜＜1；如果||u_i(η)-u_i(η-1)||≥ε，则令η的值自增1，返回至子步骤(4.2)，重复执行子步骤(4.2)到子步骤(4.4)；否则，如果||u_i(η)-u_i(η-1)||＜ε，则得出第i个最优接收波束形成权矢量u_i,opt和第i个最优发射波束形成权矢量v_i,out，u_i,opt＝u_i(η)，v_i,out＝v_i(η)。

步骤5，根据步骤4得出的第1个最优接收波束形成权矢量u_1,opt至第M个最优接收波束形成权矢量u_M,opt、以及第1个最优发射波束形成权矢量v_1,out至第M个最优发射波束形成权矢量v_M,out，进行自适应波束形成。根据最优接收波束形成权矢量和最优发射波束形成权矢量进行自适应波束形成的过程为本领域技术人员所公知，在此不再描述。

在步骤5中，作为本发明实施例的一种改进，利用步骤4得出的第1个最优接收波束形成权矢量u_1,opt至第M个最优接收波束形成权矢量u_M,opt、以及第1个最优发射波束形成权矢量v_1,out至第M个最优发射波束形成权矢量v_M,out形成M级Capon波束形成器。参照图4a，为本发明中利用步骤4得出的最优接收波束形成权矢量和最优发射波束形成权矢量形成的M级Capon波束形成器的示意图。

在得出M级Capon波束形成器之后，对其进行降秩处理，得出m级Capon波束形成器，m表示降秩处理后Capon波束形成器的处理器级数，m＜M，具体过程是，根据第1个最优接收波束形成权矢量至第m个最优接收波束形成权矢量、以及第1个最优发射波束形成权矢量v_1,out至第m个最优发射波束形成权矢量，得出m级Capon波束形成器，相当于进行了截断。参照图4b，为本发明中对M级Capon波束形成器其进行降秩处理得出的m级Capon波束形成器的示意图。优选地，将m设为4。进行降秩处理的原因是，多级Capon波束形成器只需要进行4级处理就可以获得比较理想的性能，因而在进行降秩处理后，有效地降低了计算量。

本发明的效果可以通过以下仿真实验进行说明：

1)仿真条件：

雷达的发射阵列发射信号的载波波长λ＝0.3m，MIMO雷达的发射阵列的阵元数M为10，，MIMO雷达的接收阵列的阵元数N为10。MIMO雷达的发射阵列和接收阵列位于同一直线上，MIMO雷达的发射阵列和接收阵列的第1个阵元为同一个阵元，MIMO雷达的发射阵列/接收阵列平行于载机速度矢量放置。MIMO雷达的接收阵列的阵元间距d_R＝0.5λ＝0.15m，MIMO雷达的发射阵列的阵元间距d_T＝Nd_R＝1.5m。设目标所在方位角为0度，其归一化多普勒频率设为0.375，接收信噪比SNR＝0dB，杂噪比(CNR,Clutter-to-NoiseRatio)为60dB。

2)仿真实验：

在仿真实验中，针对上述仿真条件，分别采用SMI(采样协方差矩阵求逆)波束形成方法、PC(主分量)法、EC(特征相消)法、Kronecker积方法(现有技术中提出的利用具有Kronecker积结构的波束形成器进行波束形成的方法)、以及本发明进行波束形成。对于SMI波束形成方法，其样本数为200个，对于其他的几种波束形成方法，使用的样本数为50。

参照图5a，为仿真实验中与目标多普勒通道相对应的最优权矩阵的奇异值的示意图。图5a中，横轴表示奇异值序号，纵轴表示最优权矩阵的奇异值。从图5a中看出，最优权矩阵的前四个奇异值比较大，而其余奇异值则很小。参照图5b，为仿真实验中与目标多普勒通道相对应的最优权矩阵的奇异值的归一化累积能量的示意图，图5b中，横轴表示奇异值序号，纵轴表示奇异值的归一化累积能量。从图5b中看出，最优权矩阵的能量主要集中在前四个大奇异值，它们占据了总能量的93.03％。因此，利用最优权矩阵的前四对奇异向量就可以很好地逼近最优权矩阵，同时也说明了本发明方法只需进行四级处理就可以获得较好的杂波抑制性能。参照图6，为仿真实验中采用本发明进行波束形成时多级Capon波束形成器输出信干噪比随处理器级数m的变化曲线，图6中，横轴表示降秩处理后Capon波束形成器的处理器级数，纵轴表示降秩处理后Capon波束形成器的输出信干噪比(SINR，Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio)，单位为dB。从图6中看出，当降秩处理后Capon波束形成器的处理器级数m＝4时，输出的信干噪比与最终的信干噪比只有0.4dB的性能损失，因此本发明中多级Capon波束形成器只需要进行4级处理就可以获得比较理想的性能，可以有效地降低计算量。

参照图7，为仿真实验中分别采用SMI波束形成方法、PC法、Kronecker积方法和本发明进行波束形成时目标多普勒通道的空域方向图。图7中，横轴表示目标方位角，单位为度，纵轴表示方向图，单位为dB图，中箭头为干扰处形成的凹口。图7中，SMI表示SMI波束形成方法，PC表示PC法，“多级Capon(m＝4)”表示本发明(降秩处理后Capon波束形成器的处理器级数m＝4)。从图7中看出，本发明只需要四级处理(m＝4)就能在相应的杂波方向形成零陷，从而滤除杂波。

参照图8，为仿真实验中分别采用SMI波束形成方法、PC法、EC法、Kronecker积方法和本发明进行波束形成时得出的在不同多普勒通道的输出信干噪比曲线。图8中，横轴表示归一化多普勒频率，纵轴表示输出信干噪比，单位为dB，SMI表示SMI波束形成方法，EC表示EC法、PC表示PC法，“多级Capon(m＝2)”表示本发明(降秩处理后Capon波束形成器的处理器级数m＝2)，“多级Capon(m＝3)”表示本发明(降秩处理后Capon波束形成器的处理器级数m＝3)，“多级Capon(m＝4)”表示本发明(降秩处理后Capon波束形成器的处理器级数m＝4)。从图8中看出，SMI波束形成方法的信干噪比性能最好，但是由于直接估计MN×MN维协方差矩阵R，因此需要大量样本数据的支撑。对于PC法和EC法，利用杂波协方差矩阵的低秩特性降低了对样本数目的要求，这两种方法的信干噪比性能相当，但都不及本发明。由于缺乏足够的自由度抑制地杂波，Kronecker方法得出的波束形成器的输出信干噪比性能下降比较严重。而对于本发明，如果降秩处理后Capon波束形成器的处理器级数m不同，则对应的输出信干噪比性能不同，本发明的降秩处理后Capon波束形成器的输出信干噪比性能随着m的增加而稳定增长，充分利用了自由度来抑制杂波，且仅用了50个样本就获得了与SMI方法相当的性能。

另外，对于SMI方法，协方差矩阵求逆运算的计算复杂度为O(M³N³)，计算量在M³N³的阶数上，SMI方法的计算量随接收阵列/发射阵列的阵元数的增加而快速增长。而本发明采用的多级Capon波束形成器实际上是一个多级广义旁瓣相消器，采用多级处理方式，某一级处理器的权值与其后面处理器的权值无关，故可以在得到较满意的检测结果时停止进行下一级处理，对多级Capon波束形成器进行截断以降低计算量；其运算量主要来自协方差矩阵求逆，当利用权矩阵的m个主分量对其近似时，其K次迭代的计算复杂度一共为 $O\left\{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{m}K\right[{(N-i+1)}^3+{(M-i+1)}^3\left]\right\}<O\left[\mathrm{Km}(M^3+N^2)\right],$ 可以看出本发明的计算量小于SMI方法。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (6)

1.一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，所述MIMO雷达为单基地MIMO雷达，MIMO雷达的发射阵列为均匀线阵，MIMO雷达的发射阵列的阵元数为M，阵元间距为d_T；MIMO雷达的接收阵列为均匀线阵，MIMO雷达的接收阵列的阵元数为N，阵元间距为d_R；利用MIMO雷达的发射阵列发射信号，利用MIMO雷达的发射阵列每个阵元发射的信号相互正交；利用MIMO雷达的接收阵列接收K次回波，K为自然数且K≥max{M,N}，max{·}表示取最大值；目标波离方向表示为θ，目标波达方向表示为得出MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波的采样数据矩阵，MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵为Y_k，k＝1,2,...,K；

步骤2，得出MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵的修正矩阵为MIMO雷达的发射阵列发射的信号矩阵S的Moore-Penrose右伪逆，L表示MIMO雷达的接收阵列接收的每次回波的采样数；

步骤3，构建双边约束加权自适应波束形成的代价函数，对所述双边约束加权自适应波束形成的代价函数进行求解，得出M组权矢量，第i组权矢量为(p_i,q_i)，i取1至M；p_i表示第i个接收波束形成权矢量，p_i是行数为N的列向量；q_i表示第i个发射波束形成权矢量，q_i时行数为M的列向量；根据求解得出的M组权矢量，构建双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数；

步骤4，对所述双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数进行求解，得出第1个最优接收波束形成权矢量u_1,opt至第M个最优接收波束形成权矢量u_M,opt、以及第1个最优发射波束形成权矢量v_1,out至第M个最优发射波束形成权矢量v_M,out；

步骤5，第1个最优接收波束形成权矢量u_1,opt至第M个最优接收波束形成权矢量u_M,opt、以及第1个最优发射波束形成权矢量v_1,out至第M个最优发射波束形成权矢量v_M,out，进行自适应波束形成。

2.如权利要求1所述的一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法，其特征在于，在步骤1中，MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的采样数据矩阵Y_k为：

$Y_k={\mathrm{\&alpha;}}_k{a}_r\left(\mathrm{\&theta;}\right)a_t^T\left(\mathrm{\&theta;}\right)S+Z_k,k=\mathrm{1,2},...,K$

其中，α_k表示MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的信号幅度增益，a_r(θ)表示目标相对于MIMO雷达的接收阵列的导向矢量，a_t(θ)表示目标相对于MIMO雷达的发射阵列的导向矢量，上标T表示矩阵或向量的转置；S为MIMO雷达的发射阵列发射的信号矩阵，S为M×L维的矩阵；Z_k为MIMO雷达的接收阵列接收的第k次回波的干扰和噪声。

3.如权利要求1所述的一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法，其特征在于，所述步骤3的具体子步骤为：

(3.1)设置M组权矢量，第i组权矢量为(p_i,q_i)，i取1至M，p_i表示第i个接收波束形成权矢量，p_i是行数为N的列向量；q_i表示第i个发射波束形成权矢量，q_i时行数为M的列向量；在向量p₁,p₂,p₃,···,p_M中，任意两个向量相互正交，在向量q₁,q₂,q₃,···,q_M中，任意两个向量相互正交；

构建双边约束加权自适应波束形成的代价函数，所述双边约束加权自适应波束形成的代价函数为：

其中， $f(p_1,q_1,...,p_M,q_M)=E\left\{{\left|\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_i^{H}Y{q}_i\right|}^2\right\}=\frac{1}{K}\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_i^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_k{q}_i\right|}^2,$ 上标H表示矩阵的共轭转置，|·|表示取模值，E{·}表示求期望；a_r(θ)表示目标相对于MIMO雷达的接收阵列的导向矢量，a_t(θ)表示目标相对于MIMO雷达的发射阵列的导向矢量；

对上述双边约束加权自适应波束形成的代价函数进行求解，得出使f(p₁,q₁,···,p_M,q_M)最小的M组权矢量；在求解出的M组权矢量中，第i组权矢量为(p_i,q_i)；

(3.2)在得出使f(p₁,q₁,···,p_M,q_M)最小的M组权矢量之后，定义降维后第i个接收波束形成权矢量u_i和降维后第i个发射波束形成权矢量v_i，i＝1,2,···,M；u_i和v_i满足以下关系式：

$p_1=u_1,p_2=G_1{u}_2,...,p_M=G_1...G_{M-1}{u}_M=\underset{i2=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{G}_{i2}{u}_M$

$q_1=v_1,q_2=H_1{v}_2,...,q_M=H_1...H_{M-1}{v}_M=\underset{i2=1}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{H}_{i2}{v}_M$

其中，G_i2为(N-i2+1)×(N-i2)的矩阵，i2取1至M-1，H_i2为(M-i2+1)×(M-i2)的矩阵；

矩阵G_i2和矩阵H_i2满足以下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_{i2}^H{u}_{i2}=0_{N-i2}\\ H_{i2}^H{v}_{i2}=0_{M-i2}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{G}_{i2}^H{G}_{i2}=I_{N-i2}\\ H_{i2}^H{H}_{i2}=I_{M-i2}\end{array}\right.$

其中，0_N-i2表示行数为N-i2的全零列向量，0_M-i2表示行数为M-i2的全零列向量，I_N-i2表示N-i2阶的单位矩阵，I_M-i2表示M-i2阶的单位矩阵；

得出双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数，所述双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数为：

$\left\{\begin{array}{c}\min f(u_1,v_1,...,u_M,v_M)=E\left\{{\left|\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{u}_i^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;}{v}_i\right|}^2\right\}\\ s.t.\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{u}_i^H{a}_{r,i}{a}_{t,i}^H{v}_i=1\end{array}\right.$

其中，上标H表示矩阵的共轭转置，|·|表示取模值，E{·}表示求期望，a_r,1＝a_r(θ)，a_t,1＝a_t(θ)^*，上标*表示取共轭；

当i>1时，有：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;}=G_{i-1}^H...G_1^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_1^{\&prime;}{H}_1...H_{i-1}=\underset{i1=i-1}{\overset{1}{\mathrm{\&Pi;}}}{G}_{i1}^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_1^{\&prime;}\underset{i1=1}{\overset{i1-1}{\mathrm{\&Pi;}}}{H}_{i1}\\ a_{r,i}=G_{i-1}^H...G_1^H{a}_{r,1}=\underset{i1=i-1}{\overset{1}{\mathrm{\&Pi;}}}{G}_{i1}^H{a}_{r,1}\\ a_{t,i}=H_{i-1}^H...H_1^H{a}_{t,1}=\underset{i1=i-1}{\overset{1}{\mathrm{\&Pi;}}}{H}_{i1}^H{a}_{t,1}\end{array}\right..$

4.如权利要求3所述的一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法，其特征在于，在步骤4中，对所述双边约束加权自适应波束形成的经降维处理后的代价函数进行简化，得出双边约束加权自适应波束形成的简化后的代价函数，所述双边约束加权自适应波束形成的简化后的代价函数为：

$\left\{\begin{array}{c}\min f(u_i,v_i)=E\left\{{|a_{i-1}+u_i^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;}{v}_i|}^2\right\}\\ s.t.u_i^H{a}_{r,i}=0\end{array}\right.$

其中， $a_{i-1}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i1=1}^{i-1}{y}_{i1},y_{i1}=u_{i1}^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_{i1}^{\&prime;}{v}_{i1},i1=1,...,i-1;f(u_i,v_i)=E\left\{{|a_{i-1}+u_i^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;}{v}_i|}^2\right\},$ |·|表示取模值，E{·}表示求期望；

对所述双边约束加权自适应波束形成的简化后的代价函数，得出使f(u_i,v_i)最小的u_i和v_i，求解出的使f(u_i,v_i)最小的u_i为第i个最优接收波束形成权矢量u_i,_opt，求解出的使f(u_i,v_i)最小的v_i为第i个最优发射波束形成权矢量v_i,out，i＝1,2,···,M。

5.如权利要求4所述的一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法，其特征在于，在步骤4中，在得出双边约束加权自适应波束形成的简化后的代价函数之后，利用拉格朗日乘子法将所述双边约束加权自适应波束形成的简化后的代价函数转化为以下无约束方程：

$f(u_i,v_i,{\mathrm{\&lambda;}}^{\&prime;})=E\left\{\right|a_{i-1}+u_i^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;}{v}_i{|}^2\}-{\mathrm{\&lambda;}}^{\&prime;}{u}_i^H{a}_{r,i}$

其中λ'为拉格朗日乘子，|·|表示取模值，E{·}表示求期望；

对所述无约束方程进行求解，求解出使f(u_i,v_i,λ')最小的u_i和v_i，求解出的使f(u_i,v_i,λ')最小的u_i为第i个最优接收波束形成权矢量u_i,opt，求解出的使f(u_i,v_i,λ')最小的v_i为第i个最优发射波束形成权矢量v_i,out。

6.如权利要求5所述的一种MIMO雷达降维自适应波束形成方法，其特征在于，在步骤4中，对所述无约束方程进行求解的过程包括如下子步骤：

(4.1)将降维后第i个接收波束形成权矢量u_i的初值u_i(0)设为a_r,0，a_r,0为目标相对于MIMO雷达的接收阵列的导向矢量；设置迭代变量η＝1,2,...；当η＝1时，跳至子步骤(4.2)；

(4.2)将u_i(η-1)代入下式求出降维后第i个发射波束形成权矢量v_i的第η个取值v_i(η)：

v_i(η)＝-R_t,i(η)^-1b_t,i(η)

其中，

$R_{t,i}\left(\mathrm{\&eta;}\right)=E\left\{\left({\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;H}{u}_i(\mathrm{\&eta;}-1)\right){\left({\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;H}{u}_i(\mathrm{\&eta;}-1)\right)}^H\right\},$

$b_{t,i}\left(\mathrm{\&eta;}\right)=E\left\{a_{i-1}{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;H}{u}_i(\mathrm{\&eta;}-1)\right\}$

其中，上标H表示矩阵的共轭转置，E{·}表示求期望； $y_{i1}=u_{i1}^H{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_{i1}^{\&prime;}{v}_{i1},i1=1,...,i-1;$

(4.3)将降维后第i个发射波束形成权矢量v_i的第η个取值v_i(η)代入下式，求出降维后第i个接收波束形成权矢量u_i的第η个取值u_i(η)

$u_i\left(\mathrm{\&eta;}\right)=-R_{r,i}^{-1}\left(\mathrm{\&eta;}\right)(b_{r,i}\left(\mathrm{\&eta;}\right)-\frac{a_{r,i}^H{R}_{r,i}^{-1}\left(\mathrm{\&eta;}\right)b_{r,i}\left(\mathrm{\&eta;}\right)}{a_{r,i}^H{R}_{r,i}^{-1}\left(\mathrm{\&eta;}\right)a_{r,i}}{a}_{r,i})$

其中，

$R_{r,i}\left(\mathrm{\&eta;}\right)=E\left\{\left({\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;H}{v}_i\left(\mathrm{\&eta;}\right)\right){\left({\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;H}{v}_i\left(\mathrm{\&eta;}\right)\right)}^H\right\}$

$b_{r,i}\left(\mathrm{\&eta;}\right)=E\left\{a_{i-1}^{*}{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_i^{\&prime;}{v}_i\left(\mathrm{\&eta;}\right)\right\}$

(4.4)判断‖u_i(η)-u_i(η-1)‖与ε的大小关系，‖·‖表示取模值，ε为设定的迭代终止阈值，0<ε<1；如果‖u_i(η)-u_i(η-1)‖≥ε，则令η的值自增1，返回至子步骤(4.2)；否则，得出第i个最优接收波束形成权矢量u_i,opt和第i个最优发射波束形成权矢量v_i,out，u_i,opt＝u_i(η)，v_i,out＝v_i(η)。