CN104155054B - 一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，属于转动惯量检测技术领域。本发明解决了现有的扭摆法转动惯量的时域测量方法受到周期测量精度的影响，最终影响转动惯量的测量精度的问题。本发明的技术要点为：阻尼的线性模型条件下，根据转动定律可写出扭摆运动微分方程，解该方程可得扭摆运动转角关于时间的函数，对表达式做近似处理，对其乘积项做幂级数展开忽略其高阶项，然后对表达式进行连续傅里叶变换可得解析式，最后根据峰值频率和阻尼比可计算出被测产品无阻尼自振频率的大小，进而得到产品转动惯量的大小。本发明主要应用于导弹、拦截器、无人机等飞行器的转动惯量测量中，也可应用到其他大型装备的转动惯量测量中。

Description

一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法

技术领域

本发明涉及一种转动惯量的检测方法，尤其涉及一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，属于转动惯量检测技术领域。

背景技术

转动惯量是物体的固有属性，作为质量特性参数之一，它是物体运动姿态控制中的重要参数之一。测量转动惯量的方法很多，其中扭杆扭摆法设计简单，容易操作，适合于大型被测物体，不需要测量被测物体的质量，测量准确度高。当前扭摆法对产品的转动惯量的测定均在时域内实现，通过测定产品做扭摆运动的周期，根据转动惯量与扭摆运动周期的平方成正比的关系得到被测产品的转动惯量值。

扭摆法转动惯量测量系统系统主要由气浮扭摆台、位移采集组件、数据采集卡以及上位机等组成，其中气浮扭摆台由载物台、气浮轴承组件、扭杆、基座等组成。位移采集组件则用于实时记录载物台做扭摆运动的位移，上位机通过数据采集卡可以实时采集载物台(被测物)扭摆位移参数。

测量产品转动惯量时，先进行空载测量，得到空载时载物台做扭摆运动的扭摆位移时间序列，进而可得空载时扭摆运动周期T_f；将被测产品加载到载物台做扭摆运动，采集得到产品与载物台做扭摆运动的扭摆位移时间序列，进而可得负载时扭摆运动周期T_o，根据扭摆法基本原理，则被测产品的转动惯量为：

J_o＝A(T_o ²-T_f ²)

式中，J_o为产品转动惯量；A为与扭杆的刚度系数K有关的常数，可通过标定获得。

扭摆法转动惯量的时域测量方法受到周期测量精度的影响，当扭摆运动受到空气阻尼及其他外界干扰的影响，扭摆运动的周期不再稳定，最终影响转动惯量的测量精度。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，以解决针对现有的扭摆法转动惯量的时域测量方法受到周期测量精度的影响，当扭摆运动受到空气阻尼及其他外界干扰的影响，扭摆运动的周期不再稳定，最终影响转动惯量的测量精度的问题。

为解决上述技术问题本发明采用技术方案如下：

本发明所述的一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，步骤一、根据虎克定律，扭杆受扭转而产生的恢复力矩Mn与所转过的角度θ成正比，即

M_n＝-Kθ (1)

式中，K为扭杆的刚度系数，考虑空气阻力、轴承机械摩擦产生的阻尼力矩时，气浮扭摆台的合力矩表示为扭杆恢复力矩和阻尼力矩之和，即

M＝M_n+M_z (2)

式中，Mn为扭杆作用下的恢复力矩，Mz为阻尼作用产生的阻尼力矩，阻尼的线性模型条件下，阻尼力矩用下式表达：

M_Z＝c*ω (3)

c为阻尼系数，ω为摆动的瞬时角速度；

步骤二、根据转动定律写出扭摆运动微分方程，得到扭摆运动转角θ关于时间t的函数表达式：

$\mathrm{\θ}\left(t\right)=\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}}\exp (-{\mathrm{\ζ\ω}}_{n}t)cos\left({\mathrm{\ω}}_{n}t\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}\right)---\left(4\right)$

式中，ζ为阻尼比，θ₀为初始摆角，ω_n为无阻尼自振频率，K为扭杆的刚度系数，I为转动惯量；通过式(4)可知，当阻尼比ζ为0时，即不存在阻尼时，扭摆运动为简谐振动，在频域内表示扭摆运动，则谱线仅出现在ωn/2π处；当阻尼比ζ不为0时，阻尼将对扭摆运动的频率和摆幅进行调制，此时扭摆运动不再是单纯的简谐振动，在频域内，频谱的分布将不再是单一谱线，而是具有一定带宽的频谱分布。

工程实践中，由气浮扭摆台的数据采集系统可采集得到扭摆运动转角θ关于时间t的离散序列。

步骤三、对式(4)做近似处理，对其乘积项exp(-ζω_nt)做幂级数展开忽略其高阶项，然后对θ(t)进行连续傅里叶变换得解析式：

$\begin{array}{c}F\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}}\{\mathrm{\π}\[\mathrm{\δ}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+\mathrm{\δ}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]\\ -\frac{{\mathrm{\π\ζ}}^2{{\mathrm{\ω}}_n}^2}{2}\[{\mathrm{\δ}}^{\′\′}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+{\mathrm{\δ}}^{\′\′}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]\\ +{\mathrm{\π\ζ\ω}}_n\[{\mathrm{\δ}}^{\′}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+{\mathrm{\δ}}^{\′}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]i\}\end{array}---\left(5\right)$

i是虚数符号，i前面的表达式就是虚数部分，由式(5)可知，在频域内表达扭摆运动时，处将出现频谱峰值，根据峰值频率f和阻尼比ζ计算出无阻尼自振频率的大小，进而得到转动惯量；δ为单位冲激函数(或被称为狄拉克分布函数)，δ′为单位冲激函数的一阶导数，δ″为单位冲激函数的二阶导数。

工程实践中通常采用FFT算法来实现对扭摆台采集到的扭摆运动转角θ时间序列进行频谱分析，进而方便地得到峰值频率，从而根据峰值频率f和阻尼比ζ计算出无阻尼自振频率的大小，进而得到转动惯量。

本发明的有益效果：

1)当有意外扰动时，时域测量方法对“周期”的测量会出现失真，而且难以进行自检，进而使转动惯量的测量结果存在较大误差。即使发现测量过程中有意外扰动，此测量过程得到的测量数据对时域法来讲完全成为无效数据，一次转动惯量测量过程往往耗时较多，因此时域法往往会降低的测量效率。但对于频域法而言，即使扭摆运动的测量数据中包含了意外扰动，该方法依然能够很好的确定扭摆运动的主频，图2为无扰动情况下，频域法对主频的定位，图3为有扰动情况下频域法对主频的定位，由两图比较可知，无扰动情况下扭摆运动的频谱分布曲线非常平滑，有扰动情况下频谱分布图出现较多尖刺，因此能判断出测量过程中有意外扰动，但是依然能够对主频进行定位。

2)当系统存在电气干扰，影响了传感器对扭摆运动的检测，使扭摆运动曲线出现了数据的漂移等，在处理扭摆运动曲线时，时域法会出现0点判断的误差，即实际扭摆运动0角位移点与检测到的0角位移点不一致，而频域法则依然能够准确地检测到主频，同时能够分析出电气噪声的频带分布和幅值大小。

3)时域法测量扭摆运动“周期”本身受到扭摆运动特点的影响，扭摆运动受到阻尼的影响，摆动的角幅度越来越小，因此实际上扭摆运动并不存在周期，实际上时域法希望测量得到无阻尼影响下的扭摆运动谐振周期，阻尼的存在使得周期的测量计算受到较大影响，通过观察实测的扭摆运动曲线可知所谓的扭摆运动的“周期”随着时间的推移是不断减小的，最终扭摆停止，因此“周期”的测量受阻尼影响较大。频域法则是对整个扭摆运动曲线进行分析，主频的确定不会受到阻尼的影响。

4)频域法和时域法的测量精度都受到测量系统数据采集模块的数据采集性能的影响。时域法的测量不确定度为：

$U_{JT}=\frac{K}{2{\mathrm{\π}}^2}{T}_0{u}_T$

其中u_T为周期测量的不确定度。

频域法的测量不确定度为：

$U_{Jf}=\frac{K}{2{\mathrm{\π}}^2}{f_0}^{-3}{u}_f=\frac{K}{2{\mathrm{\π}}^2}{f_0}^{-3}\frac{f_s}{N}$

其中f_s为采样率，N为采样点数，u_f为频率f的测量不确定度，这里就是指频率的分辨率。

理论上根据则有：

$u_T={f_0}^{-2}{u}_f$

那么时域法的测量不确定度可变形为：

$U_{JT}=\frac{K}{2{\mathrm{\π}}^2}{T}_0{u}_T=\frac{K}{2{\mathrm{\π}}^2}{f_0}^{-3}{u}_f=U_{Jf}$

即前文所述的两种方法本质上是一致的，时域法通过时间的测量进一步转换到转动惯量，频域法测量频率然后转换到转动惯量，理论上应具有相当的测量不确定度。但是工程实践中，时域法的周期测量不确定度u_T受到多方面的制约，很难保证其大小满足精度要求，具有很大不确定性；而对于频域法而言，转动惯量的测量精度由数据采集模块的采样率和采样点数来决定，这是确定性的，是可以通过系统设定来控制其大小的。因此频域法较时域法能够更好的实现测量精度的控制。

附图说明

图1是扭摆运动摆角时间序列仿真频谱图，其中f₀为主频；

图2为无扰动情况下，频域法对主频的定位；

图3为有扰动情况下频域法对主频的定位；

图4扭摆法测产品转动惯量示意图，其中坐标系xyz为被测产品自身坐标系，1为扭杆、2为转台、3为被测产品。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的方法作进一步描述。

转动惯量的频域检测方法是基于气浮扭摆测量台(即转动惯量测量应用最多的扭摆法)的，因此它不是测量装置的创新，而是在传统扭摆法的基础上数据处理方法上的创新。传统的扭摆法通过测量出扭摆运动“周期”来实现转动惯量的计算，转动惯量的频域检测方法通过测量扭摆运动的主频来实现转动惯量的计算。“周期”与频率本质上是一回事，“周期”的倒数不就是频率吗，但是两个参数的确定方法是截然不同的。“周期”的确定是通过记录扭摆运动曲线，然后对曲线做插值，然后可以得到各个0角位移点的时刻值，进而推算出所谓的“周期”；扭摆运动的主频是通过对扭摆运动曲线的频谱分析来得到频率参数。

具体实施方式一：本实施方式所述的一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，其特征在于所述方法包括以下步骤：

步骤一、根据虎克定律，扭杆受扭转而产生的恢复力矩M_n与所转过的角度θ成正比，即

M_n＝-Kθ (1)

式中，K为扭杆的刚度系数，考虑空气阻力、轴承机械摩擦产生的阻尼力矩时，气浮扭摆台的合力矩表示为扭杆恢复力矩和阻尼力矩之和，即

M＝M_n+M_z (2)

式中，M_n为扭杆作用下的恢复力矩，M_z为阻尼作用产生的阻尼力矩，阻尼的线性模型条件下，阻尼力矩用下式表达：

M_Z＝c*ω (3)

c为阻尼系数，ω为摆动的瞬时角速度；

步骤二、根据转动定律写出扭摆运动微分方程，得到扭摆运动转角θ关于时间t的函数表达式：

$\mathrm{\θ}\left(t\right)=\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}}\exp (-{\mathrm{\ζ\ω}}_{n}t)cos\left({\mathrm{\ω}}_{n}t\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}\right)---\left(4\right)$

式中，ζ为阻尼比，θ₀为初始摆角，ω_n为无阻尼自振频率，K为扭杆的刚度系数，I为转动惯量；通过式(4)可知，当阻尼比ζ为0时，即不存在阻尼时，扭摆运动为简谐振动，在频域内表示扭摆运动，则谱线仅出现在ω_n/2π处；当阻尼比ζ不为0时，阻尼将对扭摆运动的频率和摆幅进行调制，此时扭摆运动不再是单纯的简谐振动，在频域内，频谱的分布将不再是单一谱线，而是具有一定带宽的频谱分布。

步骤三、对式(4)做近似处理，对其乘积项exp(-ζω_nt)做幂级数展开忽略其高阶项，然后对θ(t)进行连续傅里叶变换得解析式：

$\begin{array}{c}F\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}}\{\mathrm{\π}\[\mathrm{\δ}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+\mathrm{\δ}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]\\ -\frac{{\mathrm{\π\ζ}}^2{{\mathrm{\ω}}_n}^2}{2}\[{\mathrm{\δ}}^{\′\′}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+{\mathrm{\δ}}^{\′\′}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]\\ +{\mathrm{\π\ζ\ω}}_n\[{\mathrm{\δ}}^{\′}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+{\mathrm{\δ}}^{\′}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]i\}\end{array}---\left(5\right)$

由式(5)可知，在频域内表达扭摆运动时，处将出现频谱峰值，根据峰值频率f和阻尼比ζ计算出被测对象无阻尼自振频率的大小，进而得到被测对象的转动惯量；δ为单位冲激函数(或被称为狄拉克分布函数)，δ′为单位冲激函数的一阶导数，δ″为单位冲激函数的二阶导数。

扭摆台的构造如图4所示，其中扭杆用以产生恢复力矩。在轴的上方测量台上可以装各种待测物体。将物体在水平面内转过一角度θ后，在扭杆的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭摆运动。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一所述的阻尼系数c用阻尼比ζ、无阻尼自振频率ω_n和转动惯量I三个参数来表示，即c＝2ζω_nI，ω为摆动的瞬时角速度。其它步骤与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤二所述的扭摆运动微分方程求取过程如下：根据转动定律得

$\mathrm{\β}=\frac{M}{I}---\left(6\right)$

β为角加速度，I为被测产品绕转铀的转动惯量，令则有运动微分方程：

$I\frac{d^2\mathrm{\θ}}{{\mathrm{dt}}^2}+c\frac{d\mathrm{\θ}}{dt}+k\mathrm{\θ}=0---\left(7\right)$

根据阻尼系数c和阻尼比ζ、无阻尼自振频率ω_n以及转动惯量I的关系，将式(7)化为扭摆运动微分方程：

其它步骤与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤三所述的转动惯量的求取过程如下：由峰值频率f和阻尼比ζ计算出被测对象无阻尼自振频率的大小，进而得到转动惯量大小其它步骤与具体实施方式一至三之一相同。

本发明的验证如下：

利用数值仿真来观察频谱峰值与无阻尼自振频率ω_n的关系。设定ζ＝0.005，ω_n＝5Hz，即理论峰值应该出现在f＝0.7958Hz处。先对摆角θ(t)进行时域采样，采样频率f_s＝200Hz，采样点数N＝2000000，得到摆角时间序列[θ(n),n＝0,1,2…],对该时间序列做FFT变换，其频谱分布如图1所示，频谱峰值出现在f₀＝0.7958Hz处，与理论分析一致。

多组实验仿真表明：在仿真序列FFT频率分辨率(0.0001Hz)的条件下，当阻尼比ζ小于0.03时，频谱的峰值始终位于处，当阻尼比ζ大于0.03时，频谱峰值将偏离理论位置，实际峰值位置介于理论峰值位置与无阻尼自振频率之间，这种偏离现象是由于理论分析时忽略了高阶项所致。在转动惯量的实际测量中，阻尼比远小于0.03，且转动惯量J与无阻尼自振频率ω_n存在确定的关系，因此，我们可以利用FFT对扭摆运动的摆角时间序列进行频谱分析获取频谱峰值频率进而实现产品转动惯量值的计算。本发明主要可应用到导弹、拦截器、无人机等飞行器的转动惯量测量中，也可应用到其他大型装备的转动惯量测量中。

Claims (4)

1.一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，其特征在于所述方法包括以下步骤：

步骤一、根据虎克定律，扭杆受扭转而产生的恢复力矩M_n与所转过的角度θ成正比，即

M_n＝-Kθ (1)

式中，K为扭杆的刚度系数，考虑空气阻力、轴承机械摩擦产生的阻尼力矩时，气浮扭摆台的合力矩表示为扭杆恢复力矩和阻尼力矩之和，即

M＝M_n+M_z (2)

式中，M_n为扭杆作用下的恢复力矩，M_z为阻尼作用产生的阻尼力矩，阻尼的线性模型条件下，阻尼力矩用下式表达：

M_Z＝c*ω (3)

c为阻尼系数，ω为摆动的瞬时角速度；

步骤二、根据转动定律写出扭摆运动微分方程，得到扭摆运动转角θ关于时间t的函数表达式：

$\mathrm{\θ}\left(t\right)=\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}}\exp (-{\mathrm{\ζ\ω}}_{n}t)cos\left({\mathrm{\ω}}_{n}t\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}\right)---\left(4\right)$

式中，ζ为阻尼比，θ₀为初始摆角，ω_n为无阻尼自振频率，K为扭杆的刚度系数，I为转动惯量；

步骤三、对式(4)做近似处理，对其乘积项exp(-ζω_nt)做幂级数展开忽略其高阶项，然后对θ(t)进行连续傅里叶变换得解析式：

$\begin{array}{c}F\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}}\{\mathrm{\π}\[\mathrm{\δ}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+\mathrm{\δ}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]\\ -\frac{{\mathrm{\π\ζ}}^2{{\mathrm{\ω}}_n}^2}{2}\[{\mathrm{\δ}}^{\′\′}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+{\mathrm{\δ}}^{\′\′}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]\\ +{\mathrm{\π\ζ\ω}}_n\[{\mathrm{\δ}}^{\′\′}({\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2}-\mathrm{\ω})+{\mathrm{\δ}}^{\′}(-\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}^2})\]i\}\end{array}---\left(5\right)$

由式(5)可知，在频域内表达扭摆运动时，处将出现频谱峰值，根据峰值频率f和阻尼比ζ计算出被测对象无阻尼自振频率的大小，进而得到被测对象的转动惯量；δ为单位冲激函数，δ′为单位冲激函数的一阶导数，δ″为单位冲激函数的二阶导数。

2.根据权利要求1所述的一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，其特征在于步骤一所述的阻尼系数c用阻尼比ζ、无阻尼自振频率ω_n和转动惯量I三个参数来表示，即c＝2ζω_nI，ω为摆动的瞬时角速度。

3.根据权利要求2所述的一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，其特征在于步骤二所述的扭摆运动微分方程求取过程如下：根据转动定律得

$\mathrm{\β}=\frac{M}{I}---\left(6\right)$

β为角加速度，令则有运动微分方程：

$I\frac{d^2\mathrm{\θ}}{{\mathrm{dt}}^2}+c\frac{d\mathrm{\θ}}{dt}+k\mathrm{\θ}=0---\left(7\right)$

根据阻尼系数c和阻尼比ζ、无阻尼自振频率ω_n以及转动惯量I的关系，将式(7)化为扭摆运动微分方程：

$\frac{d^2\mathrm{\θ}}{{\mathrm{dt}}^2}+2{\mathrm{\ζ\ω}}_n\frac{d\mathrm{\θ}}{dt}+{{\mathrm{\ω}}_n}^2\mathrm{\θ}=0---\left(8\right).$

4.根据权利要求3所述的一种基于气浮扭摆台的转动惯量的频域检测方法，其特征在于步骤三所述的转动惯量的求取过程如下：由峰值频率f和阻尼比ζ计算出被测对象无阻尼自振频率的大小，进而得到转动惯量大小