CN105157918A - 一种回转体立式极转动惯量测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种回转体立式极转动惯量测量方法，具体包括以下步骤：(1)采用转动惯量测量台来测量，在该测量台上能够测得回转体的极转动惯量和赤道转动惯量。(2)摆动周期测量：周期通过采样时间序列进行测量，采用光电计时系统；(3)回转体转动惯量的测量：用扭摆法测量转动惯量时将回转体绕指定轴自由摆动，测出摆动周期，然后由摆动周期计算出回转体转动惯量。(4)转动惯量测量误差分析。(5)阻尼对赤道转动惯量测试结果的影响。该发明能有效地针对回转体立式极转动惯量进行测量，使用方便，改善了测试效果，方便根据需要使用。

Description

一种回转体立式极转动惯量测量方法

技术领域

本发明涉及回转体转动惯量测量技术领域，具体涉及一种回转体立式极转动惯量测量方法。

背景技术

在一个物体的两端假设两个点，而两点连成一线穿过物体，物体以此线为旋转中心，在旋转时它的每个部分旋转到固定一个位置时都是一样的形状，此为标准回转体。质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。质量中心的简称。质点系的质心是质点系质量分布的平均位置。

发明内容

本发明的目的在于提供一种回转体立式极转动惯量测量方法，以便更好地针对回转体进行立式极转动惯量的测量，改善测试效果。

为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案如下。

一种回转体立式极转动惯量测量方法，具体包括以下步骤：

(1)采用转动惯量测量台来测量，在该测量台上能够测得回转体的极转动惯量和赤道转动惯量。该惯量测量台在立式装夹回转体时可以测量回转体的极转动惯量，在横置装夹时可以测量回转体的赤道转动惯量。该惯量测量台为了适应较小回转体的惯量测量，夹具尽可能的采用了轻质材料如铝合金等。该测量台由夹具、丝杠、释放机构、导轨和基座组成。夹具的装夹部位设计成横、纵向卡槽结构，能够实现回转体的横向和纵向的定位装夹，导轨丝杠的设计能够保证回转体的夹紧并使夹具的回转轴线与扭杆的回转轴线重合。

回转体赤道转动惯量测量台由基座、支架、导轨和装夹机构组成，测量时将回转体放置在支架上，一端固定在装夹机构内，施力释放后，回转体在装夹机构上的弹簧作用下沿着水平轴线方向往复转动，进而测得回转体的赤道转动惯量。

回转体极转动惯量测量台由基座、扭摆机构、支撑和测量平台组成。测量时，将回转体放置在测量平台的V型槽上，并使回转体的质心位置尽量与扭摆机构的回转中心线重合，对测量平台施力释放后，测量平台与回转体一起在扭摆弹簧的作用下沿着水平方向往复摆动，进而测得回转体的极转动惯量。

(2)摆动周期测量：周期通过采样时间序列进行测量，采用光电计时系统，用高速单周期c8051F单片机定时器组成计时电路，分辨率为10ns，满足转动惯量测量相对误差小于±0.5％的要求。

为了避免环境光干扰，采用交流调制光完成光电采集，在信号处理中，需要对定时器开始定时的时刻进行准确的测量，电路中为了抗干扰，采用了具有一定门限的电平参考和一定延时的展宽整形电路，但此时定时开始时刻必定有一个随机误差，同理在下一个计数脉冲到达时也必然在准确时刻上存在一个随机误差，作为一个完整周期的测量用两个脉冲之间的时间来表征周期量显然不可能达到要求，为了最大限度地降低该误差，根据振动周期基本不变的条件，测量多个周期并取平均数作为周期的测得值。在此时，若振动连续，则每个周期摆端将两次经过反射点，在一个周期内形成两个计数脉冲，可以知道每相邻三个脉冲之间的时间应为一个周期，即相邻两个时间段之和为一个周期。最终的处理方法是：去掉最初始有外力扰动的几个周期，采用每相邻的两个时间段为一个周期数，从有效计数脉冲开始计时，每两个计数脉冲为一次周期数据，并用总的计时时间去除得到的完整周期数(每两个脉冲)进而得到该时刻的周期值。由于系统仅对第一个脉冲的准确时刻敏感，之后的脉冲仅与计周期个数相关，对具体到达时刻不敏感，这样多次平均之后将获得较为准确的周期值。

(3)回转体转动惯量的测量：用扭摆法测量转动惯量时将回转体绕指定轴自由摆动，测出摆动周期，然后由摆动周期计算出回转体转动惯量。

由力学分析可得摆动物体的摆动方程为：

$\frac{d^2\mathrm{\θ}}{d{t}^2}+2n\frac{\mathrm{d\θ}}{\mathrm{dt}}+\frac{\mathrm{k\θ}}{J}=0---\left(1\right)$

式中，J为物体的转动惯量；n＝C/2J，n为空气阻尼系数；θ为物体的转角(即摆角)；k为扭杆的刚度系数。

一般情况下，空气阻尼很小，即n＜＜1，则

$J=\frac{k}{4{\mathrm{\π}}^2}{T}^2,$ 令 $A=\frac{k}{4{\mathrm{\π}}^2},$ 则

J＝AT²(2)

式(2)是一种理想情况，因为回转体必须装在摆动体上进行摆动，因此有

J_d+J_o＝AT_d ²(3)

式中，J_d是回转体的转动惯量；J_o是摆动体本身的转动惯量；A是与摆动体结构有关的常数；T_d为回转体和摆动体一起摆动时的摆动周期。

为求出J_d必须首先测出摆动体空摆的摆动周期T_o：

J_o＝AT_o ²(4)

然后测出标准件与摆动物体一起摆动时的摆动周期Ts：

J_s+J_o＝AT_s ²(5)

由式(3)、式(4)和式(5)式可得：

$J_d=J_s\frac{{T_d}^2-T_o^2}{T_s^2-T_o^2}---\left(6\right)$

式中，J_s是标准样件的转动惯量，预先给出出，因此，可以根据测出的T_o、T_d、T_s以及已知的J_s计算出J_d。

(4)转动惯量测量误差分析：测量误差由式(3)可得：

ΔJ_d＝2AT_d·ΔT_d略去J₀后可得：

${\mathrm{\μ}}_{J_d}=\frac{\mathrm{\Δ}{J}_d}{J_d}\≈\frac{2A{T}_d\·\mathrm{\Δ}{T}_d}{A{T_d}^2}\≈2\frac{\mathrm{\Δ}{T}_d}{T_d}=2{\mathrm{\μ}}_{T_d}---\left(7\right)$

由(7)可见，转动惯量测量的相对误差，仅为时间测试相对误差的两倍，是很小的。

经过推导对以上公式进行了进一步的整理，有：

${\mathrm{\μ}}_{J_d}={[\frac{4{T_d}^2}{{({T_d}^2-{T_0}^2)}^2}+\frac{4{T_s}^2}{{({T_s}^2-{T_0}^2)}^2}+\frac{4{({T_d}^2-{T_s}^2)}^2{T_0}^2}{{({T_d}^2-{T_0}^2)}^2{({T_s}^2-{T_0}^{2}8}^2}]}^{\frac{1}{2}}\·\left|\mathrm{\ΔT}\right|---\left(8\right)$

由此式还可以估算出转动惯量J₀，J_s和J_d之间的关系。

计算验证表明，误差满足技术指标1％要求。

位置误差：

a)回转体纵向轴线位置偏移对极转动惯量精度影响：

转轴偏移对极转动惯量的影响，设偏心为e，转轴与回转体形心轴偏离距离为△回转体对形心轴极转动惯量为：

J_极(形心)＝J_极(质心)+Me²

回转体对偏离的转轴的极转动惯量为：

J_极(偏心)＝J_极(质心)+(e²+Δ²-2e·Δ·cosθ)M

J_极(偏心)＝J_极(形心)+Δ²·M-2e·Δ·cosθ·M

ΔJ_极 ^max＝J_极(偏心) ^max-J_极(形心)＝MΔ²+2e·Δ·M

极转动惯量的相对误差(最大)：

相对误差大小，与质偏有关。

b)转轴偏移对赤道转动惯量的影响：

设y轴是通过质心轴线，那么回转体对y轴的转动惯量为(J_y)

由于定位误差造成的以y'轴为转轴，那么J_y'与J_y差值就是误差。

由平行轴定理可知：

J_y'＝J_y+d²M

c)转轴倾斜对极和赤道转动惯量的影响：

当倾斜α角时应用转轴公式得：

$J_x={\cos }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\sin }^2\mathrm{\α}+2J_{x_1{y}_1}\cos \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\α}$

$J_y={\sin }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}\mathrm{co}{s}^2\mathrm{\α}-2J_{x_1{y}_1}\cos \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\α}---\left(10\right)$

当α角很小，且J_xy也很小时，上式可以简化为：

$J_x={\cos }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\sin }^2\mathrm{\α}$

$J_y={\sin }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\cos }^2\mathrm{\α}---\left(11\right)$

当α≤0.5°时，倾斜角α对极转动惯量J_x相对误差的影响不超过2×10^-3，对赤道转动惯量的影响就更小了。

d)转轴倾斜和偏移同时存在时对转动惯量的影响

当转轴倾斜和偏移同时存在时，可由上述分析结果叠加得到。

(5)阻尼对赤道转动惯量测试结果的影响：

因为待测物体很长，且直径较大，尽管转速较慢，但空气阻力不能不考虑。在分析阻尼扭转振动之前，先分析无阻尼摆动测转动惯量的过程。

a)无阻尼测赤道转动惯量J_d：

测试过程如下：

第一步：测出空转台的振动周期T₀，此时转台上不放任何东西；

第二步：测出转台和标准件一起的振动周期T_s；

第三步：测出转台和待测物体一起的振动周期T_d。

测得三个已知数T₀，T_s，T_d，可根据振动频率与转动惯量之间的关系，列出三个方程，求解三个未知量：空转台转动惯量J_o，弹簧刚度k和待测物体转动惯量J_d。

由以下的方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{T_o}^2=4{\mathrm{\π}}^2\frac{J_o}{k}\\ {T_s}^2=4{\mathrm{\π}}^2\frac{J_s+J_0}{k}\\ {T_d}^2=4{\mathrm{\π}}^2\frac{J_d+J_0}{k}\end{array}\right.,$ J_s是标准件转动惯量。

可得： $k=\frac{4{\mathrm{\π}}^2{J}_0}{{T_0}^2},J_s=\frac{{T_o}^2}{{T_s}^2-{T_d}^2}{J}_0,J_d=\frac{{T_d}^2-{T_o}^2}{{T_s}^2-{T_o}^2}{J}_s$

b)有阻尼时测得的赤道转动惯量：

假定摆动阻力矩与摆角速度一次方成正比。这时摆动方程为：

式中：k——扭簧刚度

上式可化为：

式中：分别是阻尼系数和无阻尼频率，

当n＜P时，微分方程的解为：

阻尼频率： ${\stackrel{\‾}{p}}^2=p^2-n^2$

阻尼周期： $\stackrel{\‾}{T}=\frac{2\mathrm{\π}}{\stackrel{\‾}{p}}=\frac{2\mathrm{\π}}{\sqrt{p^2-n^2}}---\left(13\right)$

再通过测量阻尼振动周期来计算出待测物体的转动惯量J。

阻尼的实用测量方法：

阻尼的振动方程为：

其一般解为：

相继两个振幅之比为：

是有阻尼情况下测得的周期，n是阻尼系数。

为提高测量精度，可取相隔m个周期后的两个振幅之比。即：

只要测得第i个周期的振幅和第i+m个周期的振幅及周期，便可求出阻尼系数n。

例如：T_d＝0.8642″

则阻尼系数： $n=\frac{-1.470+1.560}{10\×0.8642}=0.0104$

经10个周期，因空气阻尼振幅减小1°，阻尼已经相当大，但计算结果表明其对周期的影响仍然可以略去，见式(13)。

该发明有益效果在于：该发明能有效地针对回转体立式极转动惯量进行测量，使用方便，改善了测试效果，方便根据需要使用。

具体实施例

下面继续以具体实施例针对本发明进行说明。

实施例

本实施例中的一种回转体立式极转动惯量测量方法，具体包括以下步骤：

(1)采用转动惯量测量台来测量，在该测量台上能够测得回转体的极转动惯量和赤道转动惯量。该惯量测量台在立式装夹回转体时可以测量回转体的极转动惯量，在横置装夹时可以测量回转体的赤道转动惯量。该惯量测量台为了适应较小回转体的惯量测量，夹具尽可能的采用了轻质材料如铝合金等。该测量台由夹具、丝杠、释放机构、导轨和基座组成。夹具的装夹部位设计成横、纵向卡槽结构，能够实现回转体的横向和纵向的定位装夹，导轨丝杠的设计能够保证回转体的夹紧并使夹具的回转轴线与扭杆的回转轴线重合。

回转体赤道转动惯量测量台由基座、支架、导轨和装夹机构组成，测量时将回转体放置在支架上，一端固定在装夹机构内，施力释放后，回转体在装夹机构上的弹簧作用下沿着水平轴线方向往复转动，进而测得回转体的赤道转动惯量。

回转体极转动惯量测量台由基座、扭摆机构、支撑和测量平台组成。测量时，将回转体放置在测量平台的V型槽上，并使回转体的质心位置尽量与扭摆机构的回转中心线重合，对测量平台施力释放后，测量平台与回转体一起在扭摆弹簧的作用下沿着水平方向往复摆动，进而测得回转体的极转动惯量。

(2)摆动周期测量：周期通过采样时间序列进行测量，采用光电计时系统，用高速单周期c8051F单片机定时器组成计时电路，分辨率为10ns，满足转动惯量测量相对误差小于±0.5％的要求。

为了避免环境光干扰，采用交流调制光完成光电采集，在信号处理中，需要对定时器开始定时的时刻进行准确的测量，电路中为了抗干扰，采用了具有一定门限的电平参考和一定延时的展宽整形电路，但此时定时开始时刻必定有一个随机误差，同理在下一个计数脉冲到达时也必然在准确时刻上存在一个随机误差，作为一个完整周期的测量用两个脉冲之间的时间来表征周期量显然不可能达到要求，为了最大限度地降低该误差，根据振动周期基本不变的条件，测量多个周期并取平均数作为周期的测得值。在此时，若振动连续，则每个周期摆端将两次经过反射点，在一个周期内形成两个计数脉冲，可以知道每相邻三个脉冲之间的时间应为一个周期，即相邻两个时间段之和为一个周期。最终的处理方法是：去掉最初始有外力扰动的几个周期，采用每相邻的两个时间段为一个周期数，从有效计数脉冲开始计时，每两个计数脉冲为一次周期数据，并用总的计时时间去除得到的完整周期数(每两个脉冲)进而得到该时刻的周期值。由于系统仅对第一个脉冲的准确时刻敏感，之后的脉冲仅与计周期个数相关，对具体到达时刻不敏感，这样多次平均之后将获得较为准确的周期值。

(3)回转体转动惯量的测量：用扭摆法测量转动惯量时将回转体绕指定轴自由摆动，测出摆动周期，然后由摆动周期计算出回转体转动惯量。

由力学分析可得摆动物体的摆动方程为：

$\frac{d^2\mathrm{\θ}}{d{t}^2}+2n\frac{\mathrm{d\θ}}{\mathrm{dt}}+\frac{\mathrm{k\θ}}{J}=0---\left(1\right)$

式中，J为物体的转动惯量；n＝C/2J，n为空气阻尼系数；θ为物体的转角(即摆角)；k为扭杆的刚度系数。

一般情况下，空气阻尼很小，即n＜＜1，则

$J=\frac{k}{4{\mathrm{\π}}^2}{T}^2,$ 令 $A=\frac{k}{4{\mathrm{\π}}^2},$ 则

J＝AT²(2)

式(2)是一种理想情况，因为回转体必须装在摆动体上进行摆动，因此有

J_d+J_o＝AT_d ²(3)

式中，J_d是回转体的转动惯量；J_o是摆动体本身的转动惯量；A是与摆动体结构有关的常数；T_d为回转体和摆动体一起摆动时的摆动周期。

为求出J_d必须首先测出摆动体空摆的摆动周期T_o：

J_o＝AT_o ²(4)

然后测出标准件与摆动物体一起摆动时的摆动周期Ts：

J_s+J_o＝AT_s ²(5)

由式(3)、式(4)和式(5)式可得：

$J_d=J_s\frac{{T_d}^2-T_o^2}{T_s^2-T_o^2}---\left(6\right)$

式中，J_s是标准样件的转动惯量，预先给出出，因此，可以根据测出的T_o、T_d、T_s以及已知的J_s计算出J_d。

(4)转动惯量测量误差分析：测量误差由式(3)可得：

ΔJ_d＝2AT_d·ΔT_d略去J₀后可得：

${\mathrm{\μ}}_{J_d}=\frac{\mathrm{\Δ}{J}_d}{J_d}\≈\frac{2A{T}_d\·\mathrm{\Δ}{T}_d}{A{T_d}^2}\≈2\frac{\mathrm{\Δ}{T}_d}{T_d}=2{\mathrm{\μ}}_{T_d}---\left(7\right)$

由(7)可见，转动惯量测量的相对误差，仅为时间测试相对误差的两倍，是很小的。

经过推导对以上公式进行了进一步的整理，有：

${\mathrm{\μ}}_{J_d}={[\frac{4{T_d}^2}{{({T_d}^2-{T_0}^2)}^2}+\frac{4{T_s}^2}{{({T_s}^2-{T_0}^2)}^2}+\frac{4{({T_d}^2-{T_s}^2)}^2{T_0}^2}{{({T_d}^2-{T_0}^2)}^2{({T_s}^2-{T_0}^{2}8}^2}]}^{\frac{1}{2}}\·\left|\mathrm{\ΔT}\right|---\left(8\right)$

由此式还可以估算出转动惯量J₀，J_s和J_d之间的关系。

计算验证表明，误差满足技术指标1％要求。

位置误差：

a)回转体纵向轴线位置偏移对极转动惯量精度影响：

转轴偏移对极转动惯量的影响，设偏心为e，转轴与回转体形心轴偏离距离为△回转体对形心轴极转动惯量为：

J_极(形心)＝J_极(质心)+Me²

回转体对偏离的转轴的极转动惯量为：

J_极(偏心)＝J_极(质心)+(e²+Δ²-2e·Δ·cosθ)M

J_极(偏心)＝J_极(形心)+Δ²·M-2e·Δ·cosθ·M

ΔJ_极 ^max＝J_极(偏心) ^max-J_极(形心)＝MΔ²+2e·Δ·M

极转动惯量的相对误差(最大)：

相对误差大小，与质偏有关。

b)转轴偏移对赤道转动惯量的影响：

设y轴是通过质心轴线，那么回转体对y轴的转动惯量为(J_y)

由于定位误差造成的以y'轴为转轴，那么J_y'与J_y差值就是误差。

由平行轴定理可知：

J_y'＝J_y+d²M

c)转轴倾斜对极和赤道转动惯量的影响：

当倾斜α角时应用转轴公式得：

$J_x={\cos }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\sin }^2\mathrm{\α}+2J_{x_1{y}_1}\cos \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\α}$

$J_y={\sin }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}\mathrm{co}{s}^2\mathrm{\α}-2J_{x_1{y}_1}\cos \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\α}---\left(10\right)$

当α角很小，且J_xy也很小时，上式可以简化为：

$J_x={\cos }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\sin }^2\mathrm{\α}$

$J_y={\sin }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\cos }^2\mathrm{\α}---\left(11\right)$

当α≤0.5°时，倾斜角α对极转动惯量J_x相对误差的影响不超过2×10^-3，对赤道转动惯量的影响就更小了。

d)转轴倾斜和偏移同时存在时对转动惯量的影响

当转轴倾斜和偏移同时存在时，可由上述分析结果叠加得到。

(5)阻尼对赤道转动惯量测试结果的影响：

因为待测物体很长，且直径较大，尽管转速较慢，但空气阻力不能不考虑。在分析阻尼扭转振动之前，先分析无阻尼摆动测转动惯量的过程。

a)无阻尼测赤道转动惯量J_d：

测试过程如下：

第一步：测出空转台的振动周期T₀，此时转台上不放任何东西；

第二步：测出转台和标准件一起的振动周期T_s；

第三步：测出转台和待测物体一起的振动周期T_d。

测得三个已知数T₀，T_s，T_d，可根据振动频率与转动惯量之间的关系，列出三个方程，求解三个未知量：空转台转动惯量J_o，弹簧刚度k和待测物体转动惯量J_d。

由以下的方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{T_o}^2=4{\mathrm{\π}}^2\frac{J_o}{k}\\ {T_s}^2=4{\mathrm{\π}}^2\frac{J_s+J_0}{k}\\ {T_d}^2=4{\mathrm{\π}}^2\frac{J_d+J_0}{k}\end{array}\right.,$ J_s是标准件转动惯量。

可得： $k=\frac{4{\mathrm{\π}}^2{J}_0}{{T_0}^2},J_s=\frac{{T_o}^2}{{T_s}^2-{T_d}^2}{J}_0,J_d=\frac{{T_d}^2-{T_o}^2}{{T_s}^2-{T_o}^2}{J}_s$

b)有阻尼时测得的赤道转动惯量：

假定摆动阻力矩与摆角速度一次方成正比。这时摆动方程为：

式中：k——扭簧刚度

上式可化为：

式中：分别是阻尼系数和无阻尼频率，

当n＜P时，微分方程的解为：

阻尼频率： ${\stackrel{\‾}{p}}^2=p^2-n^2$

阻尼周期： $\stackrel{\‾}{T}=\frac{2\mathrm{\π}}{\stackrel{\‾}{p}}=\frac{2\mathrm{\π}}{\sqrt{p^2-n^2}}---\left(13\right)$

再通过测量阻尼振动周期来计算出待测物体的转动惯量J。

阻尼的实用测量方法：

阻尼的振动方程为：

其一般解为：

相继两个振幅之比为：

是有阻尼情况下测得的周期，n是阻尼系数。

为提高测量精度，可取相隔m个周期后的两个振幅之比。即：

只要测得第i个周期的振幅和第i+m个周期的振幅及周期，便可求出阻尼系数n。

例如：T_d＝0.8642″

则阻尼系数： $n=\frac{-1.470+1.560}{10\×0.8642}=0.0104$

经10个周期，因空气阻尼振幅减小1°，阻尼已经相当大，但计算结果表明其对周期的影响仍然可以略去，见式(13)。

以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种回转体立式极转动惯量测量方法，其特征在于：具体包括以下步骤：

(1)采用转动惯量测量台来测量，在该测量台上能够测得回转体的极转动惯量和赤道转动惯量；该惯量测量台在立式装夹回转体时可以测量回转体的极转动惯量，在横置装夹时可以测量回转体的赤道转动惯量；该惯量测量台为了适应较小回转体的惯量测量，夹具尽可能的采用了轻质材料如铝合金等；该测量台由夹具、丝杠、释放机构、导轨和基座组成；夹具的装夹部位设计成横、纵向卡槽结构，能够实现回转体的横向和纵向的定位装夹，导轨丝杠的设计能够保证回转体的夹紧并使夹具的回转轴线与扭杆的回转轴线重合；回转体赤道转动惯量测量台由基座、支架、导轨和装夹机构组成，测量时将回转体放置在支架上，一端固定在装夹机构内，施力释放后，回转体在装夹机构上的弹簧作用下沿着水平轴线方向往复转动，进而测得回转体的赤道转动惯量；回转体极转动惯量测量台由基座、扭摆机构、支撑和测量平台组成；测量时，将回转体放置在测量平台的V型槽上，并使回转体的质心位置尽量与扭摆机构的回转中心线重合，对测量平台施力释放后，测量平台与回转体一起在扭摆弹簧的作用下沿着水平方向往复摆动，进而测得回转体的极转动惯量；

(2)摆动周期测量：周期通过采样时间序列进行测量，采用光电计时系统，用高速单周期c8051F单片机定时器组成计时电路，分辨率为10ns，满足转动惯量测量相对误差小于±0.5％的要求；

为了避免环境光干扰，采用交流调制光完成光电采集，在信号处理中，需要对定时器开始定时的时刻进行准确的测量，电路中为了抗干扰，采用了具有一定门限的电平参考和一定延时的展宽整形电路，但此时定时开始时刻必定有一个随机误差，同理在下一个计数脉冲到达时也必然在准确时刻上存在一个随机误差，作为一个完整周期的测量用两个脉冲之间的时间来表征周期量显然不可能达到要求，为了最大限度地降低该误差，根据振动周期基本不变的条件，测量多个周期并取平均数作为周期的测得值；在此时，若振动连续，则每个周期摆端将两次经过反射点，在一个周期内形成两个计数脉冲，可以知道每相邻三个脉冲之间的时间应为一个周期，即相邻两个时间段之和为一个周期；最终的处理方法是：去掉最初始有外力扰动的几个周期，采用每相邻的两个时间段为一个周期数，从有效计数脉冲开始计时，每两个计数脉冲为一次周期数据，并用总的计时时间去除得到的完整周期数进而得到该时刻的周期值；

(3)回转体转动惯量的测量：用扭摆法测量转动惯量时将回转体绕指定轴自由摆动，测出摆动周期，然后由摆动周期计算出回转体转动惯量；

由力学分析可得摆动物体的摆动方程为：

$\frac{d^2\mathrm{\θ}}{{\mathrm{dt}}^2}+2n\frac{\mathrm{d\θ}}{\mathrm{dt}}+\frac{\mathrm{k\θ}}{J}=0---\left(1\right)$

式中，J为物体的转动惯量；n＝C/2J，n为空气阻尼系数；θ为物体的转角(即摆角)；k为扭杆的刚度系数；

一般情况下，空气阻尼很小，即n＜＜1，则

$J=\frac{k}{4{\mathrm{\π}}^2}{T}^2,$ 令 $A=\frac{k}{4{\mathrm{\π}}^2},$ 则

J＝AT²(2)

式(2)是一种理想情况，因为回转体必须装在摆动体上进行摆动，因此有

J_d+J_o＝AT_d ²(3)

式中，J_d是回转体的转动惯量；J_o是摆动体本身的转动惯量；A是与摆动体结构有关的常数；T_d为回转体和摆动体一起摆动时的摆动周期；

为求出J_d必须首先测出摆动体空摆的摆动周期T_o：

J_o＝AT_o ²(4)

然后测出标准件与摆动物体一起摆动时的摆动周期Ts：

J_s+J_o＝AT_s ²(5)

由式(3)、式(4)和式(5)式可得：

$J_d=J_s\frac{{T_d}^2-T_o^2}{{T_s}^2-T_o^2}---\left(6\right)$

式中，J_s是标准样件的转动惯量，预先给出出，因此，可以根据测出的T_o、T_d、T_s以及已知的J_s计算出J_d；

(4)转动惯量测量误差分析：测量误差由式(3)可得：

ΔJ_d＝2AT_d·ΔT_d略去J₀后可得：

${\mathrm{\μ}}_{J_d}=\frac{{\mathrm{\ΔJ}}_d}{J_d}\≈\frac{{2\mathrm{AT}}_d\·{\mathrm{\ΔT}}_d}{{{\mathrm{AT}}_d}^2}\≈2\frac{{\mathrm{\ΔT}}_d}{T_d}={2\mathrm{\μ}}_{T_d}---\left(7\right)$

由(7)可见，转动惯量测量的相对误差，仅为时间测试相对误差的两倍，是很小的；

经过推导对以上公式进行了进一步的整理，有：

${\mathrm{\μ}}_{J_d}={[\frac{{{4T}_d}^2}{{({T_d}^2-{T_0}^2)}^2}+\frac{{{4T}_s}^2}{{({T_s}^2-{T_0}^2)}^2}+\frac{4{({T_d}^2-{T_s}^2)}^2{T_0}^2}{{({T_d}^2-{T_0}^2)}^2{({T_s}^2-{T_0}^2)}^2}]}^{\frac{1}{2}}\·\left|\mathrm{\ΔT}\right|---\left(8\right)$

由此式还可以估算出转动惯量J₀，J_s和J_d之间的关系；

计算验证表明，误差满足技术指标1％要求；

位置误差：

a)回转体纵向轴线位置偏移对极转动惯量精度影响：

转轴偏移对极转动惯量的影响，设偏心为e，转轴与回转体形心轴偏离距离为△回转体对形心轴极转动惯量为：

J_极(形心)＝J_极(质心)+Me²

回转体对偏离的转轴的极转动惯量为：

J_极(偏心)＝J_极(质心)+(e²+Δ²-2e·Δ·cosθ)M

J_极(偏心)＝J_极(形心)+Δ²·M-2e·Δ·cosθ·M

ΔJ_极 ^max＝J_极(偏心) ^max-J_极(形心)＝MΔ²+2e·Δ·M

极转动惯量的相对误差(最大)：

相对误差大小，与质偏有关；

b)转轴偏移对赤道转动惯量的影响：

设y轴是通过质心轴线，那么回转体对y轴的转动惯量为(J_y)

由于定位误差造成的以y'轴为转轴，那么J_y'与J_y差值就是误差；

由平行轴定理可知：

J_y'＝J_y+d²M

c)转轴倾斜对极和赤道转动惯量的影响：

当倾斜α角时应用转轴公式得：

$J_x={\cos }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\sin }^2\mathrm{\α}+{2J}_{x_1{y}_1}\cos \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\α}$

$J_y={\sin }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\cos }^2\mathrm{\α}+{2J}_{x_1{y}_1}\cos \mathrm{\α}\·\sin \mathrm{\α}---\left(10\right)$

当α角很小，且J_xy也很小时，上式可以简化为：

$J_x={\cos }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\sin }^2\mathrm{\α}$

$J_y={\sin }^2\mathrm{\α}\·J_{x_1}+J_{y_1}{\cos }^2\mathrm{\α}---\left(11\right)$

当α≤0.5°时，倾斜角α对极转动惯量J_x相对误差的影响不超过2×10^-3，对赤道转动惯量的影响就更小了；

d)转轴倾斜和偏移同时存在时对转动惯量的影响

当转轴倾斜和偏移同时存在时，可由上述分析结果叠加得到；

(5)阻尼对赤道转动惯量测试结果的影响：

在分析阻尼扭转振动之前，先分析无阻尼摆动测转动惯量的过程；

a)无阻尼测赤道转动惯量J_d：

测试过程如下：

第一步：测出空转台的振动周期T₀，此时转台上不放任何东西；

第二步：测出转台和标准件一起的振动周期T_s；

第三步：测出转台和待测物体一起的振动周期T_d；

测得三个已知数T₀，T_s，T_d，可根据振动频率与转动惯量之间的关系，列出三个方程，求解三个未知量：空转台转动惯量J_o，弹簧刚度k和待测物体转动惯量J_d；

由以下的方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{T_o}^2={4\mathrm{\π}}^2\frac{J_o}{k}\\ {T_s}^2={4\mathrm{\π}}^2\frac{J_s+J_0}{k}\\ {T_d}^2={4\mathrm{\π}}^2\frac{J_d+J_0}{k}\end{array}\right.,$ J_s是标准件转动惯量；

可得： $k=\frac{{4\mathrm{\π}}^2{J}_0}{{T_0}^2},J_s=\frac{{T_o}^2}{{T_s}^2-{T_d}^2}{J}_0,J_d=\frac{{T_d}^2-{T_o}^2}{{T_s}^2-{T_o}^2}{J}_s$

b)有阻尼时测得的赤道转动惯量：

假定摆动阻力矩与摆角速度一次方成正比；这时摆动方程为：

式中：k——扭簧刚度

上式可化为：

式中： 分别是阻尼系数和无阻尼频率，

当n＜P时，微分方程的解为：

阻尼频率： ${\stackrel{\‾}{p}}^2=p^2-n^2$

阻尼周期： $\stackrel{\‾}{T}=\frac{2\mathrm{\π}}{\stackrel{\‾}{p}}=\frac{2\mathrm{\π}}{\sqrt{p^2-n^2}}---\left(13\right)$

再通过测量阻尼振动周期来计算出待测物体的转动惯量J；

阻尼的实用测量方法：

阻尼的振动方程为：

其一般解为：

相继两个振幅之比为：

是有阻尼情况下测得的周期，n是阻尼系数；

为提高测量精度，可取相隔m个周期后的两个振幅之比；即：

只要测得第i个周期的振幅和第i+m个周期的振幅及周期，便可求出阻尼系数n；

例如：T_d＝0.8642″

则阻尼系数： $n=\frac{-1.470+1.560}{10\×0.8642}=0.0104$

经10个周期，因空气阻尼振幅减小1°，阻尼已经相当大，但计算结果表明其对周期的影响仍然可以略去，见式(13)。