CN101634600A - 一种三线摆测量转动惯量的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种转动惯量测量方法，涉及一种三线摆测量转动惯量的方法，包括下列步骤：将三线摆的初始摆动的角度扭转到特定角度：使三线摆自由摆动，记录摆动的次数n及时间t，并计算摆动的周期T＝t/n，利用公式J_L＝(mgRrT²)/(4π²L)得到下圆盘m的转动惯量；将质量为M的待测刚体放在下圆盘上，并使待测刚体的转轴与OO′轴重合，同理测得其转动惯量J_L′＝((M+m)gRrT^′2)/(4π²L)，再利用公式J＝(gRr)/(4π²L)[(M+m)T^′2－mT²]，求出待测刚体绕中心转轴OO′轴的转动惯量。本发明突破了原有计算公式的局限性，而且创造性地提出了摆角限度，使三线摆转动惯量的测量更加有章可循，精度进一步提升。

Description

一种三线摆测量转动惯量的方法

技术领域

本发明涉及一种转动惯量测量方法，具体涉及一种三线摆转动惯量测量方法。

背景技术

三线摆测量转动惯量实验一直为人所研究。无论是从力的角度，还是运用能量，动量的观点，三线摆的各种参数，如振幅、周期、误差产生的原因等，都已臻完善，并得到了一个计算公式 $J_0=\frac{\mathrm{mgRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}H}{T}^2,$ 但是该方法忽略了一些细小的误差的影响，在某些摆角情况下测量值不能够很接近于真实值。

发明内容

本发明针对这一问题，提出一种新的三线摆转动惯量测量方法，本发明提供的方法，能够提高测量精度。

为此，本发明采用如下的技术方案：

一种三线摆测量转动惯量的方法，设测量采用的三线摆的下圆盘质量为m，用三根长为L的轻线对称地悬挂在上圆盘上，下圆盘悬线连接点至转轴OO′的距离为R，上圆盘悬线连接点至转轴OO′的距离为r，上下圆盘间的垂直距离OO′为H，取摆平衡时，下圆盘盘心为坐标原点，下圆盘所在的平面为xy平面，竖直向上为z轴正方向，包括下列步骤：

第一步：将三线摆的初始摆动的角度扭转 ${\mathrm{\θ}}_0=2\arctan \left(\frac{R-r}{H}\right);$

第二步：使三线摆自由摆动，记录摆动的次数n及时间t，并计算摆动的周期 $T=\frac{t}{n};$

第三步：利用公式 $J_L=\frac{{\mathrm{mgRrT}}^2}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}$ 得到下圆盘的转动惯量；

第四步：将质量为M的待测刚体放在下圆盘上，并使待测刚体的转轴与OO′轴重合，重复第一步和第二步，测出此时摆动的周期T′；

第五步：利用公式 $J_L^{\′}=\frac{(M+m)g{\mathrm{RrT}}^{\′2}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}$ 求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO′轴的总转动惯量；

第六步：利用公式 $J=\frac{\mathrm{gRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}[(M+m)T^{\′2}-m{T}^2],$ 求出待测刚体绕中心转轴OO′轴的转动惯量。

本发明从受力分析入手，在不作任何近似的条件下，根据质心运动定理和绕质心轴的转动定理写出了摆的动力学方程，由动力学方程导出了动能定理的微分表达式和积分表达式，根据转动动能、平动动能与角坐标间的关系曲线，分析了转动动能、平动动能变化的原因和线中张力变化的情况，以及平动动能对振动周期的影响。通过对其中一些被淡化的细小误差的深入分析，通过完善的证明，得到了一个形式相似但内涵不同的公式 $J_0=\frac{\mathrm{mgRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}{T}^2,$ 使得在一定摆角条件下，该测量方法将使测量值进一步逼近真实值。

附图说明

图1三线摆测量示意图。

具体实施方式

下面通过附图和具体实施例对发明内容做进一步详述。

三线摆的示意图如图1所示，三线摆的下圆盘质量为m，用三根长为L的轻线对称地悬挂在上圆盘上。下圆盘悬线连接点至转轴OO′的距离为R，上圆盘悬线连接点至转轴OO′的距离为r，上下圆盘间的垂直距离OO′为H。取摆平衡时，下圆盘盘心为坐标原点，下圆盘所在的平面为xy平面，竖直向上为z轴正方向。

设欲测的下圆盘的转动惯量为J₀，摆动的周期为T。下圆盘自平衡位置转过θ角时，摆线与竖直向下方向的夹角为

转动的角速度为ω，盘心的z轴坐标为h。从上圆盘B点作下圆盘的垂线，与升高前后的下圆盘(以下为叙述方便，将下圆盘简称为圆盘)分别交于C和C1点。则在控制摆角

的情况下，使用公式 $J_L=\frac{\mathrm{mgRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}{T}^2$ 计算三线摆转动惯量得到的数值更准确。

测量步骤如下：

1.根据三线摆装置及公式

将初始摆动的角度扭转θ₀角度；

2.使三线摆自由摆动，通过摆动的次数n及时间t，得到摆动的周期 $T=\frac{t}{n};$

3.利用公式 $J_L=\frac{{\mathrm{mgRrT}}^2}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}$ 得到转动惯量。

对三线摆中的圆盘进行受力分析可知，圆盘受到重力和三根线中张力的作用。线中张力在z轴方向有分力，沿z轴正向；在盘面内的分力沿A₁C₁方向，此分力又可分解为沿圆周的切向分量和沿悬点指向圆心的法向分量。由于悬点的对称性，三根悬线中张力的法向分量的矢量和为零，不对圆盘的运动产生影响，而切向分量将对z轴产生力矩的作用。

测得的一组实验数据为R＝0.0832m，m＝0.579kg；r＝0.0372m，H＝0.478m，L＝0.48m。

1.根据三线摆装置及公式

将初始摆动的角度扭转θ₀角度，即

时；

2.使三线摆自由摆动，测得摆动的次数n＝60及时间t＝90s，得到摆动的周期 $T=\frac{t}{n}=1.5s;$

3.利用公式 $J_L=\frac{{m_0\mathrm{gRrT}}^2}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}$ 得到转动惯量 $J_L=\frac{m_{0}g{\mathrm{RrT}}^2}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}=2.08\×{10}^{-3}\mathrm{kg}\·m^2.$

求得理论值为： $J_0=\frac{\mathrm{mgRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}H}{T}^2\×{\left(\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\sin }^2\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{2}+{\left(\frac{1\×3}{2\×4}\right)}^2{\sin }^4\frac{{\mathrm{\θ}}_0}{2}}\right)}^2=2.0808\×{10}^{-3}\mathrm{kg}\·m^2,$

按照惠更斯的理论得到的测量值为： $J_H=\frac{{m_0\mathrm{gRrT}}^2}{4{\mathrm{\π}}^{2}H}=2.0887\×{10}^{-3}\mathrm{kg}\·m^2$

由此可以看出在角幅度为时，本发明更接近理论值。

在某一三线摆实验装置中，仅用公式 $J_0=\frac{\mathrm{mgRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}H}{T}^2$ 测量转动惯量会使测量值偏大；但凭经验选取了某一个角振幅，也会产生一定的误差。两次误差之后，测量的精度便会大打折扣了。

而本发明提出的公式 $J_L=\frac{\mathrm{mgRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}{T}^2,$ 突破了原有计算公式的局限性，而且创造性地提出了摆角限度。这让三线摆转动惯量的测量更加有章可循，精度进一步提升。

以上实施例以下圆盘为待测物体，求得其转动惯量。在实际应用中，还可以利用本发明改进的方法测，设测量一个待测刚体的转动惯量，测量方法如下：

1)利用上述的方法测得质量为m的下圆盘的转动惯量 $J_L=\frac{\mathrm{mgRr}{T}^2}{4{\mathrm{\π}}^{2}L};$

2)将质量为M的待测刚体放在下圆盘上，并使待测刚体的转轴与OO′轴重合，按照同样的方法先测出摆动的周期T′；

3)利用公式 $J_L^{\′}=\frac{(M+m)\mathrm{gRr}{T}^{\′2}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}$ 求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO′轴的总转动惯量；

4)利用公式 $J=\frac{\mathrm{gRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}[(M+m)T^{\′2}-m{T}^2],$ 求出待测刚体绕中心转轴OO′轴的转动惯量。

Claims (1)

1.一种三线摆测量转动惯量的方法，设测量采用的三线摆的下圆盘质量为m，用三根长为L的轻线对称地悬挂在上圆盘上，下圆盘悬线连接点至转轴OO′的距离为R，上圆盘悬线连接点至转轴OO′的距离为r，上下圆盘间的垂直距离OO′为H，取摆平衡时，下圆盘盘心为坐标原点，下圆盘所在的平面为xy平面，竖直向上为z轴正方向，其特征在于，包括下列步骤：

第一步：将三线摆的初始摆动的角度扭转 ${\mathrm{\θ}}_0=2\arctan \left(\frac{R-r}{H}\right);$

第二步：使三线摆自由摆动，记录摆动的次数n及时间t，并计算摆动的周期 $T=\frac{t}{n};$

第三步：利用公式 $J_L=\frac{\mathrm{mgRr}{T}^2}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}$ 得到下圆盘的转动惯量；

第四步：将质量为M的待测刚体放在下圆盘上，并使待测刚体的转轴与OO′轴重合，重复第一步和第二步，测出此时摆动的周期T′；

第四步：利用公式 $J_L^{\′}=\frac{(M+m)\mathrm{gRr}{T}^{\′2}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}$ 求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO′轴的总转动惯量；

第五步：利用公式 $J=\frac{\mathrm{gRr}}{4{\mathrm{\π}}^{2}L}[(M+m)T^{\′2}-m{T}^2],$ 求出待测刚体绕中心转轴OO′轴的转动惯量。

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