CN104020778A - 基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法 - Google Patents

Abstract

基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法，涉及一种挠性卫星姿态的机动控制方法。为了解决转动惯量拉偏和损失时间之间的矛盾问题和时间-能耗最优控制的问题，本发明在考虑挠性振动的影响下，根据时间-能耗最优控制方法，从机动开始时刻，实时算出一条最优角度跟踪轨线以及其对应的最优角速度跟踪轨线，并通过PD控制，使滚动通道的姿态角跟踪算出来的这条角度最优轨线，保证在损失时间较少的同时对转动惯量的拉偏具有较好的鲁棒性，并在考虑时间最优的同时兼顾飞轮的能耗。本发明适用于挠性卫星姿态的机动控制。

Description

基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法

技术领域

本发明涉及一种挠性卫星姿态的机动控制方法。

背景技术

伴随社会的发展，经济、科技等各项事业的进步，人类加快了探索太空的步伐，航天事业的发展与进步显然已经成为衡量一个国家综合实力和国际竞争力的主要指标。航天工程是复杂的系统工程，综合性较强。卫星系统具有许多分系统，包括结构、电源、热控、测控、姿态和轨道控制及其它相关系统。卫星姿态控制系统是一个非常关键的子系统，它的性能好坏将决定卫星总体所下达的预定指标或在轨任务能否顺利实现。

大角度姿态快速机动能力是当代卫星的一项重要技术。比如，星体与燃料仓分离以后的对地快速姿态稳定，星体从对日稳定到对地跟踪，从对地跟踪再到对日捕获等等都要求卫星的姿态控制系统具有大角度快速机动能力。同时为了满足提高星体相机立体成像精度和姿态稳定度高等要求，要求在快速机动后具有快速稳定的能力。

Chen等人运用反馈线性化方法处理卫星模型，并用推力器和偏置动量轮共同作为执行机构，通过跟踪一条参考轨迹，实现了某微小卫星的姿态大角度机动，实现45秒机动40°，并且精度可以达到0.4°。然而，该方法是针对刚体卫星进行设计，未考虑挠性振动的影响。

Yuan等人通过将PD控制器和PWPF、输入成形等技术结合的方式设计出了一种抑制干扰的卫星大角度姿态机动控制器，其中姿态机动主要通过PD反馈控制实现，干扰抑制主要通过输入成形前馈补偿实现。该方法当机动角度较小时，系统的稳态精度很高，而大角度机动时，稳态精度较低。而且没有对姿态角速度，即稳定度的稳态指标进行限制。

Zhang等人建立了含有挠性太阳帆板的卫星的降阶模态动力学模型，针对大角度姿态机动会导致挠性结构振动的特点，利用输入成形技术对于振动模态坐标进行了有效的估计，进而对星体姿态进行Bang-Bang控制。该控制算法未考虑输出力矩的保留设计，无法应对输出力矩的拉偏；此外，在机动临近结束阶段由于输出力矩仍然输出最大力矩，可能导致超调较大，进入稳态较慢，影响系统的快速性，同时该算法消耗能耗较多。

基于TS模糊区域模型的航天器姿态控制研究了参数不确定TS模糊系统的鲁棒控制器设计方法，并将其应用到平面机动挠性航天器的姿态机动控制问题中。该控制器对参数不确定性具有很强的鲁棒性，可以实现挠性航天器的高精度姿态控制和振动抑制。然而，该算法的稳定性分析及计算过程都比较复杂，应用仍相对较少。

基于时频域分析的轮控航天器姿态控制规律参数整定重点研究了航天器PID姿态控制规律的参数整定。分析了PD控制参数与系统带宽、截止频率、相位裕度等多项频域指标的关系，同时为快速完成姿态机动，结合时间最优控制特性分析了控制参数与机动角度的关系。该控制算法能有效隔离太阳帆板的挠性振动，实现姿态控制的指标要求。但是，设计过程中未考虑转动惯量参数的不确定性，导致转动惯量的拉偏对机动时间影响很大，达到姿态机动到位的精度或稳定度标准要很长的时间。

挠性卫星姿态快速机动算法研究研究了相对轨道坐标系的姿态快速机动问题，设计了单轴大角度快速机动策略，基于跟踪最优轨线的方法对传统阶跃响应的PD算法进行改进，该算法对转动惯量的拉偏测试具有较好的鲁棒性。该方法的设计过程中未考虑节约飞轮的能耗问题。

发明内容

本发明为了解决系统在损失时间较少的同时对转动惯量的拉偏具有较差的鲁棒性问题和只在时间最优时飞轮的能耗消耗较多的问题。本发明在阶跃响应PD算法的基础上，提出了一种基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法。

本发明基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法的过程为：

步骤1：采用x-y-z转序欧拉角描述卫星姿态，建立卫星的动力学和运动学方程，在带宽设计合理的前提下忽略挠性因素的影响，对飞轮做执行机构的动力学模型进行简化，设计非线性解耦力矩控制器；

步骤2：在初始姿态角、初始姿态角速度、目标姿态角、目标姿态角速度，转动惯量以及输出力矩幅值给定的前提下，根据时间-能耗最优控制方法，从机动开始时刻开始，实时算出一条最优角度跟踪轨线以及其对应的最优角速度跟踪轨线

步骤3：选取PD参数，并通过PD控制，使滚动通道的姿态角跟踪算出来的这条最优轨线，对PD控制算法的收敛性进行证明，确保选取的PD参数能够使实际姿态角准确地跟踪最优轨线。

本发明在考虑挠性振动的影响下，利用跟踪最优轨线的思想解决了转动惯量拉偏和损失时间之间的矛盾，使系统在损失时间较少的同时对转动惯量的拉偏具有较好的鲁棒性；时间-能耗最优轨线的设计在考虑时间最优的同时兼顾了飞轮的能耗。采用本发明中的方法，即跟踪时间-能耗最优轨线的方法，可以在损失一定机动时间的情况下，极大地节省飞轮的能耗。如当取时间加权系数ρ＝70时，理想机动到位时间为124秒，在三种转动惯量下，机动到位时间为137秒，损失时间为13秒，与跟踪时间最优轨线的方法相比，损失时间增加1秒，却可以节约飞轮11.7％的能耗。并且可以对±5％以内的转动惯量拉偏，具有完全的鲁棒性。

附图说明

图1基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法步骤流程图；

图2u^*(t)和的关系；

图3姿态机动的时间-能耗最优相轨迹；

图4滚动通道闭环传递函数；

图5干扰力矩到姿态角传递函数；

图6不同带宽需求下控制器参数可选域侧视图；

图7不同截止频率对应的控制器参数可选域侧视图；

图8三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的模态(ρ＝150)；

图9三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的模态(ρ＝70)；

图10三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的模态(ρ＝48)；

图11三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的模态(ρ＝38)；

图12三种转动惯量的跟踪时间最优轨线PD算法的姿态角；

图13三种转动惯量的跟踪时间最优轨线PD算法的姿态角速度；

图14三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的姿态角(ρ＝70)；

图15三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的姿态角速度(ρ＝70)；

图16三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的力矩(ρ＝150)；

图17三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的力矩(ρ＝70)；

图18三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的力矩(ρ＝48)；

图19三种转动惯量的跟踪时间-能耗最优PD算法的力矩(ρ＝38)。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明该实施方式，基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法。它包括下述步骤：

步骤1：采用x-y-z转序欧拉角描述卫星姿态，建立卫星的动力学和运动学方程，在带宽设计合理的前提下忽略挠性因素的影响，对飞轮做执行机构的动力学模型进行简化，设计非线性解耦力矩控制器；

步骤2：在初始姿态角、初始姿态角速度、目标姿态角、目标姿态角速度，转动惯量以及输出力矩幅值给定的前提下，根据时间-能耗最优控制方法，从机动开始时刻开始，实时算出一条最优角度跟踪轨线以及其对应的最优角速度跟踪轨线

步骤3：选取PD参数，并通过PD控制，使滚动通道的姿态角跟踪算出来的这条最优轨线，对PD控制算法的收敛性进行证明，确保选取的PD参数能够使实际姿态角准确地跟踪最优轨线。

具体实施方式二：本实施方式的步骤1的具体操作步骤为：

对于带有挠性太阳帆板的轮控航天器，考虑干扰力矩的影响，其姿态动力学方程及帆板挠性振动方程为：

$\begin{array}{c}{I}_s{\stackrel{.}{\mathrm{\ω}}}_s+{\mathrm{\ω}}_s^{\×}{I}_s{\mathrm{\ω}}_s+F_s\stackrel{..}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ω}}_s^{\×}{F}_s\stackrel{.}{\mathrm{\η}}=T_c+T_d\\ \stackrel{..}{\mathrm{\η}}+2\mathrm{\ϵ\Ω}\stackrel{.}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\Ω}}^2\mathrm{\η}+F_s^T{\stackrel{.}{\mathrm{\ω}}}_s=0\end{array}---\left(1\right)$

其中I_s＝diag(I_x,I_y,I_z)为航天器转动惯量矩阵，I_x为航天器对本体系x轴的转动惯量，I_y为航天器对本体系y轴的转动惯量，I_z为航天器对本体系z轴的转动惯量，ω_s＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T为航天器的惯性角速度矢量在本体系下的分量矩阵，为ω_s对时间的导数，T_c和T_d分别为控制力矩和外干扰力矩矢量。η,ε,Ω,F_s依次对应帆板挠性模态坐标、振动阻尼系数、振动频率矩阵和耦合系数矩阵，和分别为η对时间的一阶和二阶导数，为F_s的转置矩阵，

为ω_s的反对称矩阵 ${\mathrm{\ω}}_s^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z& 0& -{\mathrm{\ω}}_x\\ -{\mathrm{\ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_x& 0\end{array}\right];$

当姿态控制系统的带宽设计合理时，挠性振动将在其自身的阻尼作用下得到衰减抑制，因此先忽略挠性因素的影响，考虑以飞轮做执行机构的简化动力学模型为：

$\begin{array}{c}{I}_x{\stackrel{.}{\mathrm{\ω}}}_x-{\mathrm{\ω}}_z{h}_{\mathrm{wy}}+{\mathrm{\ω}}_y{h}_{\mathrm{wz}}+(I_z-I_y){\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z=T_{\mathrm{dx}}-{\stackrel{.}{h}}_{\mathrm{wx}}\\ I_y{\stackrel{.}{\mathrm{\ω}}}_y+{\mathrm{\ω}}_z{h}_{\mathrm{wx}}-{\mathrm{\ω}}_x{h}_{\mathrm{wz}}+(I_x-I_z){\mathrm{\ω}}_z{\mathrm{\ω}}_x=T_{\mathrm{dy}}-{\stackrel{.}{h}}_{\mathrm{wy}}\\ I_z{\stackrel{.}{\mathrm{\ω}}}_z-{\mathrm{\ω}}_y{h}_{\mathrm{wx}}+{\mathrm{\ω}}_x{h}_{\mathrm{wy}}+(I_y-I_x){\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_y=T_{\mathrm{dz}}-{\stackrel{.}{h}}_{\mathrm{wz}}\end{array}---\left(2\right)$

其中I_x为航天器对本体系x轴的转动惯量，I_y为航天器对本体系y轴的转动惯量，I_z为航天器对本体系z轴的转动惯量，ω_x为航天器的惯性角速度矢量在本体系下沿x轴方向的分量，ω_y为航天器的惯性角速度矢量在本体系下沿y轴方向的分量，ω_z为航天器的惯性角速度矢量在本体系下沿z轴方向的分量，分别为ω_x、ω_y、ω_z对时间的一阶导数，h_w＝(h_wx h_wy h_wz)^T为飞轮的角动量，h_wx为飞轮角动量在本体系下沿x轴方向的分量，h_wy为飞轮角动量在本体系下沿y轴方向的分量，h_wz为飞轮角动量在本体系下沿z轴方向的分量，分别为h_wx、h_wy、h_wz对时间的一阶导数，T_dx为外干扰力矩矢量在本体系下沿x轴方向的分量，T_dy为外干扰力矩矢量在本体系下沿y轴方向的分量，T_dz为外干扰力矩矢量在本体系下沿z轴方向的分量；

设计如公式(3)形式的非线性解耦力矩控制器：

$\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{cx}}=T_x^{*}-{\mathrm{\ω}}_z{h}_{\mathrm{wy}}+{\mathrm{\ω}}_y{h}_{\mathrm{wz}}+(I_z-I_y){\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z\\ T_{\mathrm{cy}}=T_y^{*}+{\mathrm{\ω}}_z{h}_{\mathrm{wx}}-{\mathrm{\ω}}_x{h}_{\mathrm{wz}}+(I_x-I_z){\mathrm{\ω}}_z{\mathrm{\ω}}_x\\ T_{\mathrm{cz}}=T_z^{*}-{\mathrm{\ω}}_y{h}_{\mathrm{wx}}+{\mathrm{\ω}}_x{h}_{\mathrm{wy}}+(I_y-I_x){\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_y\end{array}---\left(3\right)$

为待设计的控制器产生的控制力矩在本体系下沿x轴方向的分量，为待设计的控制器产生的控制力矩在本体系下沿y轴方向的分量，为待设计的控制器产生的控制力矩在本体系下沿z轴方向的分量；

采用相对轨道系三轴稳定的按x-y-z顺序旋转的欧拉角运动学方程：

为滚动角，θ为俯仰角，ψ为偏航角，分别为θ、ψ对时间的一阶导数，矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}& 0\\ -\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\ψ}& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& 0& 1\end{array}\right],$ A^-1为矩阵A的逆矩阵，T_bo为由卫星轨道系到卫星本体系的转化矩阵

ω_oi＝[0 -ω₀ 0]^T，ω₀是表示在卫星轨道系下的轨道角速度；

对于单轴机动情况，即滚动轴大角度机动，俯仰和偏航轴保持稳定时，卫星姿态运动学模型化简可得

由于飞轮是通过改变自身角动量来产生反作用姿态控制力矩，因此用式(3)中的T_cx代替并先忽略各种干扰，结合式(6)可得化简后待设计的控制力矩沿x轴方向分量的姿态方程：

同理可得化简后待设计的控制力矩沿y轴方向分量和沿z轴方向分量的姿态动力学方程为：

为滚动角对时间的二阶导数，为俯仰角θ对时间的二阶导数，为偏航角ψ对时间的二阶导数，ω₀是表示在卫星轨道系下的轨道角速度。

其它步骤与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式的步骤2的具体操作步骤为：

时间-能耗最优控制是时间最优控制和能耗最优控制的加权，即

$J={\∫}_0^{t_f}[\mathrm{\ρ}+|u\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}---\left(10\right)$

其中，ρ≥0，为时间加权系数，表示设计者对响应时间的重视程度；若取ρ＝0，表示不计响应时间长短，只考虑能耗最省；若取ρ＝∞，表示不计能耗消耗，只要求时间最短。tf为机动到位时间，u(t)是飞轮输出的力矩；从步骤2开始，与表示同一变量；

设机动开始时候的角度初值为角速度为0，目标机动角度为目标机动角速度为0，转动惯量为I_x，输出力矩幅值为u_x，加权时间系数为ρ；由时间-能耗最优控制方法可知，在理想情况下应当先全加速，即以u_x加速；再匀速；最后全减速，即以-u_x减速；之后是角度保持在角速度保持在0状态的姿态保持过程；

开始机动时

令则以上时间-能耗问题可以描述为如下形式：

系统的状态方程：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{.}{x}}_2\left(t\right)=u\left(t\right)/I_x\end{array}\right.---\left(12\right)$

分别为x₁(t)、x₂(t)对时间的导数；

初始状态为

确定满足不等式约束条件

|u(t)|≤u_x   (14)

的最优控制u^*(t)，使得系统由初始状态转移到目标集

且使目标函数

$J={\∫}_0^{t_f}[\mathrm{\ρ}+|u\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}---\left(16\right)$

达到极小值，终端时刻t_f自由；

对构造的模型进行求解，如下：

构造哈密顿函数

H(x(t),u(t),λ(t))＝ρ+|u(t)|+λ₁(t)x₂(t)+λ₂(t)u(t)   (17)

H(x(t),u(t),λ(t))为哈密顿函数，是状态量x(t)＝[x₁(t) x₂(t)]^T、执行机构的输出u(t)和λ(t)＝[λ₁(t) λ₂(t)]^T的函数，λ₁(t)、λ₂(t)为拉格朗日乘子；

时间-能耗最优控制为

$u^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{u}_x,& {\mathrm{\&lambda;}}_2<-I_x\\ 0,& -I_x<{\mathrm{\&lambda;}}_2<I_x\\ {-u}_x,& {\mathrm{\&lambda;}}_2>I_x\\ [0,u_x],& {\mathrm{\&lambda;}}_2=-I_x\\ [{-u}_x,0],& {\mathrm{\&lambda;}}_2=I_x\end{array}\right.---\left(18\right)$

协态方程为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\&lambda;}}}_1^{*}\left(t\right)=-\frac{\&PartialD;H}{{\&PartialD;x}_1^{*}}=0\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&lambda;}}}_2^{*}\left(t\right)=-\frac{\&PartialD;H}{{\&PartialD;x}_2^{*}}=-{\stackrel{.}{\mathrm{\&lambda;}}}_1^{*}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(19\right)$

式(19)的解为

${\mathrm{\&lambda;}}_1^{*}\left(t\right)=c_1,{\mathrm{\&lambda;}}_2^{*}\left(t\right)=-c_{1}t+c_2---\left(20\right)$

u^*(t)为最优的执行机构输出力矩，为最优的拉格朗日乘子，为对时间的导数，c₁、c₂为常数；

考察是否存在奇异解的情况，假设在一段时间内有成立，或者说c₁＝0,c₂＝±I_x，则有由最优控制的形式验证，H(x^*(t),u^*(t),λ^*(t))＝ρ≠0，这与终端时刻t_f自由时哈密顿函数沿最优轨线和最优控制必须为零是矛盾的，因此判断不存在奇异解；

u^*(t)为最优的执行机构输出力矩，为u^*(t)作用下求得的最优状态量、其中为u^*(t)作用下求得的最优的拉格朗日乘子；

能耗最优问题存在六种候选的控制序列：

{u_x,0,-u_x}，{0,-u_x}，{-u_x}，{-u_x,0,u_x}，{0,u_x}，{u_x}

可以判断出本问题中控制序列采用{u_x,0,-u_x}；最优控制u^*(t)和λ^*(t)的关系如图2所示，其最优状态轨迹如图3所示。其中，γ₊曲线是在u^*(t)＝u_x作用下的相轨迹，γ_-曲线是在u^*(t)＝-u_x作用下在的相轨迹，μ_-曲线是在u^*(t)＝0作用下的相轨迹。

由图3可以看出，整个时间-能耗最优相轨迹分为三段运行：AB段、BC段、CD段；初始状态点为A，在最优控制序列{u_x,0,-u_x}作用下到达终端状态点D，整个过程中将在B点和C点发生两次控制切换，在B点处，u^*(t)由u_x切换到0，而在C点处，u^*(t)由0切换到-u_x，已知第一次切换前运行在开关线γ₊上，第二次切换后运行在开关线γ_-上，即

接下来确定μ_-曲线。

设t_B，t_C分别为到达点B和C的切换时间，(x_1B,x_2B)和(x_1C,x_2C)分别为点B和C的坐标，显然有x_2B＝x_2C。

在BC段，u^*(t)＝0，由状态方程解得

x_1C＝x_1B+x_2B(t_C-t_B)   (23)

在CD段，u^*(t)＝-u_x，由状态方程解得

从图2可以看出，控制发生在第一次和第二次切换时，最优协态满足：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_1^{*}\left(t_B\right)=-c_1{t}_B+c_2=-I_x\\ {\mathrm{\&lambda;}}_1^{*}\left(t_C\right)=-c_1{t}_C+c_2=I_x\end{array}\right.---\left(25\right)$

另外，哈密顿函数在切换时刻满足

$\left\{\begin{array}{c}H\left(t_B\right)=\mathrm{\&rho;}+c_1{x}_{2B}=0\\ H\left(t_C\right)=\mathrm{\&rho;}+c_1{x}_{2C}=0\end{array}\right.---\left(26\right)$

由式(26)可知

$c_1=-\frac{\mathrm{\&rho;}}{x_{2B}}=-\frac{\mathrm{\&rho;}}{x_{2C}}---\left(27\right)$

由式(25)易得

$t_C-t_B=-\frac{{2I}_x}{c_1}=\frac{{2I}_x{x}_{2B}}{\mathrm{\&rho;}}---\left(28\right)$

将式(28)代入式(23)中，并由式(24)和x_2B＝x_2C整理可得

切换点B点位于抛物线μ_-上：

又由于点B在γ₊上，可得

联立式(29)和式(31)可求得

由式(28)可得

由x_2C＝x_2B及式(23)可求得

在CD段，u^*(t)＝-u_x，且在终点D处x_2D＝0，求得

因此，机动的全加速阶段、匀速阶段、全减速阶段、机动保持阶段的起止时间，角度变化和角速度变化总结如下：

(一)全加速阶段：

时间范围：

角度：

角速度：

(二)匀速阶段：

时间范围：

角度：

角速度：

(三)全减速阶段：

时间范围：

角度：

角速度：

(四)机动保持：

时间范围：

t＞t_f   (48)

角度：

角速度：

从上述计算公式可以看出，只要给出机动开始时刻的角度初值和期望机动到的角度位置，在给定I_x和u_x的条件下，实时算出最优角度轨线和角速度轨线。

其它步骤与具体实施方式二相同。

具体实施方式四：本实施方式的步骤3中的“选取PD参数，并通过PD控制，使滚动通道的姿态角跟踪算出来的这条最优轨线”具体操作步骤为：

滚动通道解耦后的传递函数如图4所示。其中飞轮采用一阶惯性环节和饱和环节串联形式。当不考虑执行机构力矩饱和时，从干扰力矩到姿态角的简化PD控制框图，如图5所示。

该系统的闭环传递函数为

为实际的姿态角度的拉氏变换，T_dx(s)为干扰力矩的拉氏变换，t_x为执行机构的延时，k_dx、k_px为待设计的控制参数。

其中幅频特性为

$M\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{\sqrt{1+t_x^2{\mathrm{\&omega;}}^2}}{\sqrt{{(k_{\mathrm{px}}-I_x{\mathrm{\&omega;}}^2)}^2+{(k_{\mathrm{dx}}\mathrm{\&omega;}-t_x{I}_x{\mathrm{\&omega;}}^3)}^2}}---\left(52\right)$

ω为频率，变化范围为[0,+∞)。

则根据带宽的定义，有

$\begin{array}{c}201g\left|M\left({\mathrm{\&omega;}}_b\right)\right|=201g\left|M\left(0\right)\right|-3\\ =201g[1/\left(\sqrt{2}{k}_{\mathrm{px}}\right)]\end{array}---\left(53\right)$

$M\left({\mathrm{\&omega;}}_b\right)=M\left(\mathrm{\&omega;}\right){|}_{\mathrm{\&omega;}={\mathrm{\&omega;}}_b}$

其中ω_b(rad/s)为系统带宽，上式即整理后可得系统带宽及控制参数满足如下方程：

$\frac{(1+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2){(\frac{k_{\mathrm{px}}}{I_x}+\frac{{\mathrm{\&omega;}}_b^2}{1+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2})}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_b^4\left(\frac{2+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2}{1+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2}\right)}-\frac{{(\frac{k_{\mathrm{dx}}}{I_x}-t_x{\mathrm{\&omega;}}_b^2)}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_b^2\left(\frac{2+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2}{1+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2}\right)}=1---\left(54\right)$

t_x为执行机构的延时，k_px、k_dx为待设计的控制参数。

系统的截止频率及系统参数的关系满足：

$\frac{{(k_{\mathrm{px}}/I_x)}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_c^4}-\frac{{(k_{\mathrm{dx}}/I_x-t_x{\mathrm{\&omega;}}_c^2)}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_c^2}=1---\left(55\right)$

ω_c为剪切频率，即开环频率特性幅值为1时所对应的角频率。

系统的相位裕度与系统参数的关系为：

通过PD参数与系统带宽、剪切频率、相角裕度满足的关系，确定PD参数的可选区域。

其它步骤与具体实施方式三相同。

具体实施方式五：本实施方式的步骤3中的“对PD控制算法的收敛性进行证明，确保选取的PD参数能够使实际姿态角准确地跟踪最优轨线”具体操作步骤为：

对PD控制算法的收敛性进行证明：设需要跟踪的姿态角度最优轨线为相应的姿态角速度为

为实际的姿态角度，为对时间的二阶导数， 分别为对时间的一阶导数；又由于所以有：

为对时间的二阶导数，为e对时间的二阶导数，其中

设取拉式变换有：

$e\left(s\right)=\frac{1}{I_x{s}^2+k_{\mathrm{dx}}s+k_{\mathrm{px}}}u\left(s\right)---\left(59\right)$

e(s)为e的拉氏变换，s为频率；

从公式(59)可以看出，只要保证传递函数的极点实部为负，就可以保证输出是稳定的。因此只要合理选取好参考轨线和PD参数，就可以保证跟踪误差的稳定性，即跟踪最优轨线的收敛性。

其它步骤与具体实施方式四相同。

实施例：

为了证明本发明提出的姿态快速机动算法的有效性和其可以降低飞轮能耗的特点，与孙延超在《挠性卫星姿态快速机动算法研究》中所提出的基于时间最优思想设计的跟踪时间最优轨线的PD控制器进行仿真对比研究。

仿真参数设计如下：

轨道信息

圆轨道：半长轴为7650公里，

卫星刚体部分信息

转动惯量 $I_x=\left[\begin{array}{ccc}760& 0& 0\\ 0& 390& 0\\ 0& 0& 600\end{array}\right]{\mathrm{kgm}}^2,$

模态参数

考虑到五阶模态，频率矩阵为

Ω＝diag(0.6305 1.35711.8225 2.84 5.8136)×2π(rad/s)

阻尼矩阵为

ε＝diag(0.0362 0.0367 0.0497 0.0259 0.0178)

耦合系数为

$F_{s1}=\left[\begin{array}{ccccc}-5.9& -4.0& 2& 0.02& -0.7\\ 0.5& 0.35& -0.18& -0.82& 0.12\\ 4.7& -5.06& 3.3& 0.194& 0.48\end{array}\right],F_{s2}=\left[\begin{array}{ccccc}-5.9& 4.0& -3& 0.018& -0.6\\ -0.5& 0.36& -0.21& 0.82& -0.12\\ 4.9& 5.06& -2.6& 0.314& 0.15\end{array}\right],$

飞轮饱和力矩u_max＝0.3Nm，并采用简化模型且t_x＝0.1s。

用下标0表示初始时刻的状态，初始姿态角取

初始角速度为ω_s0＝[0.10.1-0.1](deg/s)。

控制器参数设计如下：

滚动通道机动角度为80°，并从100s开始进行机动任务。机动过程中考虑±5％的转动惯量拉偏。

根据最优轨线设计原则，进行两组仿真。第一组是基于转动惯量的最优轨线设计，设计参数如下：u_x＝u_max＝0.3Nm，I_x按I滚动通道主惯量的1.2倍，即1.2×760(kgm²)进行设计；第二种是基于饱和力矩的最优轨线设计，设计参数如下：u_x＝0.9u_max＝0.27Nm，I_x＝I＝760(kgm²)。

控制参数方面，对于按挠性卫星姿态快速机动算法研究机动的情况，按其最优PD选择原则，带入仿真的相关参数，确定选择三个通道的P、D参数为：k_p＝[22.7 12.2 18.4]，k_d＝[673.76 105 158.9]；对于本节的算法，y和z通道的PD参数选取与之相同，对于具有机动任务的x通道选取控制参数为k_px＝10，k_dx＝1980。并且根据图6和图7可知上述两种情况所选取的所有控制参数不仅可以使三通道保持开环稳定，并且还具有较好的干扰带宽隔离效果(比模态一阶频率低10倍以上)。

仿真分析

本发明中机动到位的标准是姿态角误差，即机动精度要求达到±0.1°的同时，姿态角速度偏差，即机动稳定度必须达到±0.001°/s。

根据最优轨线不同的设计方法将仿真分为两部分：一部分是基于转动惯量最优轨线设计的仿真，另一部分是基于饱和力矩的轨线设计的仿真。

(1)基于转动惯量的最优轨线设计

以下分别在标称、正拉偏、负拉偏转动惯量下对滚动通道80°机动，在时间加权系数ρ取不同值时，对算法进行仿真，得到姿态角、姿态角速度、控制力矩、模态振动等曲线，分析损失时间、力矩输出利用、飞轮能耗等性能，并给出时间-能耗最优控制过程中时间加权系数ρ的选取原则。

通过仿真，可以看出：图8、图9、图10和图11表明在时间加权系数取不同值即ρ＝38,48,70,150时，都可以有效抑制模态振荡，从而证明了PD参数选取的合理性；对于该实施例，按基于转动惯量最优轨线的设计原则，得到理想机动到位时间t_ideal、三种转动惯量下机动到位时间t_real、损失时间t_loss及飞轮能耗节省百分比如表1所示。采用挠性卫星姿态快速机动算法研究中跟踪时间最优轨线的方法得到理想机动到位时间为122秒，图12和图13表明，在三种转动惯量下，机动到位时间都在134秒左右，因此损失时间只有12秒。而采用本发明中的算法，即跟踪时间-能耗最优轨线的方法，可以看出在损失一定机动时间的情况下，可以极大地节省飞轮的能耗。如当取时间加权系数ρ＝70时，理想机动到位时间为124秒，图14和图15表明，在三种转动惯量下，机动到位时间为137秒，损失时间为13秒，可以节约飞轮11.7％的能耗。并且可以看出对±5％以内的转动惯量拉偏，具有完全的鲁棒性；通过图16、图17、图18和图19表明，本发明提出的算法达到了预期的在饱和力矩限制内完成机动的任务要求，力矩稳定控制阶段，其大小恒定且低于0.3Nm。

通过仿真，总结时间加权系数ρ的选取原则如下：

当ρ＞1000时，时间-能耗最优轨线近似为时间最优轨线，系统的响应与跟踪时间最优轨线PD控制效果相同。

当30＜ρ＜1000时，随着ρ的减小，算法的必然损失时间变长，可控损失时间不变，导致系统机动到位时间变长，但是却可以极大地节约飞轮的能耗，提供多种机动方案。

当ρ＜30时，系统的响应时间过慢，但是可以进一步节省能耗。

因此，在设计过程中，要根据任务的要求，合理的选择时间加权系数的大小，一般ρ在30＜ρ＜1000中取值。

(2)基于饱和力矩的最优轨线设计

以下分别在标称、正拉偏、负拉偏转动惯量下对滚动通道80°机动，在时间加权系数ρ取不同值时，对算法进行仿真。仿真曲线的变化趋势和基于转动惯量的最优轨线进行控制律设计的情况类似，因此省略。表2记录了不同时间加权系数时对应的理想机动到位时间、三种转动惯量下的机动到位时间、损失时间及飞轮能耗的节省量。

从表2中可以得出以下结论：随着时间加权系数ρ的减小，系统的理想机动到位时间和三种转动惯量下机动到位时间都变长，但是可以降低飞轮的能耗，并且提供多种机动方案。此外，与基于转动惯量最优轨线设计方法相比，基于饱和力矩的最优轨线设计损失时间更短，机动过程更快，但是消耗的能量多一些。

表1 基于转动惯量最优轨线设计方法不同时间加权系数对应的各机动参数

表2 基于饱和力矩最优轨线设计方法不同时间加权系数对应的各机动参数

其中，ρ为时间加权系数，t_ideal为理想机动到位时间，t_real为三种转动惯量下的机动到位时间，t_loss——为损失时间，W₀为采用跟踪时间最优轨线PD控制时飞轮的能耗，为飞轮能耗节约的百分比。

通过仿真表明本发明所设计的方法，只要跟踪轨迹设计的合理，PD参数设计的合理，那么在有效抑制模态振荡的同时，可以极大地降低损失时间，且对转动惯量的拉偏具有较好的鲁棒性，并且可以在执行机构的饱和力矩限制内较好地完成挠性卫星单通道大角度快速机动的任务要求。并且合理的选取时间加权系数，满足任务要求的机动到位时间内，可以极大地降低飞轮的能耗，提供多种机动方案。

Claims (5)

1.基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法，其特征在于它包括下述步骤：

步骤1：采用x-y-z转序欧拉角描述卫星姿态，建立卫星的动力学和运动学方程，在带宽设计合理的前提下忽略挠性因素的影响，对飞轮做执行机构的动力学模型进行简化，设计非线性解耦力矩控制器；

步骤2：在初始姿态角、初始姿态角速度、目标姿态角、目标姿态角速度，转动惯量以及输出力矩幅值给定的前提下，根据时间-能耗最优控制方法，从机动开始时刻开始，实时算出一条最优角度跟踪轨线以及其对应的最优角速度跟踪轨线

步骤3：选取PD参数，并通过PD控制，使滚动通道的姿态角跟踪算出来的这条最优轨线，对PD控制算法的收敛性进行证明，确保选取的PD参数能够使实际姿态角准确地跟踪最优轨线。

2.根据权利要求1所述的基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法，其特征在于步骤1中的实现过程为：

对于带有挠性太阳帆板的轮控航天器，考虑干扰力矩的影响，其姿态动力学方程及帆板挠性振动方程为：

$\begin{array}{c}{I}_s{\stackrel{.}{\mathrm{\&omega;}}}_s+{\mathrm{\&omega;}}_s^{\&times;}{I}_s{\mathrm{\&omega;}}_s+F_s\stackrel{..}{\mathrm{\&eta;}}+{\mathrm{\&omega;}}_s^{\&times;}{F}_s\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}=T_c+T_d\\ \stackrel{..}{\mathrm{\&eta;}}+2\mathrm{\&epsiv;\&Omega;}\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}+{\mathrm{\&Omega;}}^2\mathrm{\&eta;}+F_s^T{\stackrel{.}{\mathrm{\&omega;}}}_s=0\end{array}---\left(1\right)$

其中I_s＝diag(I_x,I_y,I_z)为航天器转动惯量矩阵，I_x为航天器对本体系x轴的转动惯量，I_y为航天器对本体系y轴的转动惯量，I_z为航天器对本体系z轴的转动惯量，ω_s＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T为航天器的惯性角速度矢量在本体系下的分量矩阵，为ω_s对时间的导数，T_c和T_d分别为控制力矩和外干扰力矩矢量；η,ε,Ω,F_s依次对应帆板挠性模态坐标、振动阻尼系数、振动频率矩阵和耦合系数矩阵，和分别为η对时间的一阶和二阶导数，为F_s的转置矩阵，为ω_s的反对称矩阵 ${\mathrm{\&omega;}}_s^{\&times;}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\&omega;}}_z& {\mathrm{\&omega;}}_y\\ {\mathrm{\&omega;}}_z& 0& -{\mathrm{\&omega;}}_x\\ -{\mathrm{\&omega;}}_y& {\mathrm{\&omega;}}_x& 0\end{array}\right];$

考虑以飞轮做执行机构的简化动力学模型为：

$\begin{array}{c}{I}_x{\stackrel{.}{\mathrm{\&omega;}}}_x-{\mathrm{\&omega;}}_z{h}_{\mathrm{wy}}+{\mathrm{\&omega;}}_y{h}_{\mathrm{wz}}+(I_z-I_y){\mathrm{\&omega;}}_y{\mathrm{\&omega;}}_z=T_{\mathrm{dx}}-{\stackrel{.}{h}}_{\mathrm{wx}}\\ I_y{\stackrel{.}{\mathrm{\&omega;}}}_y+{\mathrm{\&omega;}}_z{h}_{\mathrm{wx}}-{\mathrm{\&omega;}}_x{h}_{\mathrm{wz}}+(I_x-I_z){\mathrm{\&omega;}}_z{\mathrm{\&omega;}}_x=T_{\mathrm{dy}}-{\stackrel{.}{h}}_{\mathrm{wy}}\\ I_z{\stackrel{.}{\mathrm{\&omega;}}}_z-{\mathrm{\&omega;}}_y{h}_{\mathrm{wx}}+{\mathrm{\&omega;}}_x{h}_{\mathrm{wy}}+(I_y-I_x){\mathrm{\&omega;}}_x{\mathrm{\&omega;}}_y=T_{\mathrm{dz}}-{\stackrel{.}{h}}_{\mathrm{wz}}\end{array}---\left(2\right)$

其中I_x为航天器对本体系x轴的转动惯量，I_y为航天器对本体系y轴的转动惯量，I_z为航天器对本体系z轴的转动惯量，ω_x为航天器的惯性角速度矢量在本体系下沿x轴方向的分量，ω_y为航天器的惯性角速度矢量在本体系下沿y轴方向的分量，ω_z为航天器的惯性角速度矢量在本体系下沿z轴方向的分量，分别为ω_x、ω_y、ω_z对时间的一阶导数，h_w＝(h_wx h_wy h_wz)^T为飞轮的角动量，h_wx为飞轮角动量在本体系下沿x轴方向的分量，h_wy为飞轮角动量在本体系下沿y轴方向的分量，h_wz为飞轮角动量在本体系下沿z轴方向的分量，分别为h_wx、h_wy、h_wz对时间的一阶导数，T_dx为外干扰力矩矢量在本体系下沿x轴方向的分量，T_dy为外干扰力矩矢量在本体系下沿y轴方向的分量，T_dz为外干扰力矩矢量在本体系下沿z轴方向的分量；

设计如公式(3)形式的非线性解耦力矩控制器：

$\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{cx}}=T_x^{*}-{\mathrm{\&omega;}}_z{h}_{\mathrm{wy}}+{\mathrm{\&omega;}}_y{h}_{\mathrm{wz}}+(I_z-I_y){\mathrm{\&omega;}}_y{\mathrm{\&omega;}}_z\\ T_{\mathrm{cy}}=T_y^{*}+{\mathrm{\&omega;}}_z{h}_{\mathrm{wx}}-{\mathrm{\&omega;}}_x{h}_{\mathrm{wz}}+(I_x-I_z){\mathrm{\&omega;}}_z{\mathrm{\&omega;}}_x\\ T_{\mathrm{cz}}=T_z^{*}-{\mathrm{\&omega;}}_y{h}_{\mathrm{wx}}+{\mathrm{\&omega;}}_x{h}_{\mathrm{wy}}+(I_y-I_x){\mathrm{\&omega;}}_x{\mathrm{\&omega;}}_y\end{array}---\left(3\right)$

为待设计的控制器产生的控制力矩在本体系下沿x轴方向的分量，为待设计的控制器产生的控制力矩在本体系下沿y轴方向的分量，为待设计的控制器产生的控制力矩在本体系下沿z轴方向的分量；

采用相对轨道系三轴稳定的按x-y-z顺序旋转的欧拉角运动学方程：

为滚动角，θ为俯仰角，ψ为偏航角，分别为θ、ψ对时间的一阶导数，矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&psi;}& 0\\ -\sin \mathrm{\&psi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&psi;}& 0\\ \sin \mathrm{\&theta;}& 0& 1\end{array}\right],$ A^-1为矩阵A的逆矩阵，T_bo为由卫星轨道系到卫星本体系的转化矩阵

ω_oi＝[0 -ω₀ 0]^T，ω₀是表示在卫星轨道系下的轨道角速度；

对于单轴机动情况，即滚动轴大角度机动，俯仰和偏航轴保持稳定时，卫星姿态运动学模型化简可得

由于飞轮是通过改变自身角动量来产生反作用姿态控制力矩，因此用式(3)中的T_cx代替并先忽略各种干扰，结合式(6)可得化简后待设计的控制力矩沿x轴方向分量的姿态方程：

同理可得化简后待设计的控制力矩沿y轴方向分量和沿z轴方向分量的姿态动力学方程为：

为滚动角对时间的二阶导数，为俯仰角θ对时间的二阶导数，为偏航角ψ对时间的二阶导数，ω₀是表示在卫星轨道系下的轨道角速度。

3.根据权利要求2所述的基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法，其特征在于步骤2中的实现过程为：

时间-能耗最优控制是时间最优控制和能耗最优控制的加权，即

$J={\&Integral;}_0^{t_f}[\mathrm{\&rho;}+|u\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}---\left(10\right)$

其中，ρ≥0，为时间加权系数，表示设计者对响应时间的重视程度；若取ρ＝0，表示不计响应时间长短，只考虑能耗最省；若取ρ＝∞，表示不计能耗消耗，只要求时间最短；t_f为机动到位时间，u(t)是飞轮输出的力矩；从步骤2开始，与表示同一变量；

设机动开始时候的角度初值为角速度为0，目标机动角度为目标机动角速度为0，转动惯量为I_x，输出力矩幅值为u_x，加权时间系数为ρ；由时间-能耗最优控制方法可知，在理想情况下应当先全加速，即以u_x加速；再匀速；最后全减速，即以-u_x减速；之后是角度保持在角速度保持在0状态的姿态保持过程；

开始机动时

令则以上时间-能耗问题描述为如下形式：

系统的状态方程：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{.}{x}}_2\left(t\right)=u\left(t\right)/I_x\end{array}\right.---\left(12\right)$

分别为x₁(t)、x₂(t)对时间的导数；

初始状态为

确定满足不等式约束条件

|u(t)|≤u_x   (14)

的最优控制u^*(t)，使得系统由初始状态转移到目标集

且使目标函数

$J={\&Integral;}_0^{t_f}[\mathrm{\&rho;}+|u\left(t\right)\left|\right]\mathrm{dt}---\left(16\right)$

达到极小值，终端时刻t_f自由；

对构造的模型进行求解，如下：

构造哈密顿函数

H(x(t),u(t),λ(t))＝ρ+|u(t)|+λ₁(t)x₂(t)+λ₂(t)u(t)   (17)

H(x(t),u(t),λ(t))为哈密顿函数，是状态量x(t)＝[x₁(t) x₂(t)]^T、执行机构的输出u(t)和λ(t)＝[λ₁(t) λ₂(t)]^T的函数，λ₁(t)、λ₂(t)为拉格朗日乘子；

时间-能耗最优控制为

$u^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{u}_x,& {\mathrm{\&lambda;}}_2<-I_x\\ 0,& -I_x<{\mathrm{\&lambda;}}_2<I_x\\ {-u}_x,& {\mathrm{\&lambda;}}_2>I_x\\ [0,u_x],& {\mathrm{\&lambda;}}_2=-I_x\\ [{-u}_x,0],& {\mathrm{\&lambda;}}_2=I_x\end{array}\right.---\left(18\right)$

协态方程为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\&lambda;}}}_1^{*}\left(t\right)=-\frac{\&PartialD;H}{{\&PartialD;x}_1^{*}}=0\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\&lambda;}}}_2^{*}\left(t\right)=-\frac{\&PartialD;H}{{\&PartialD;x}_2^{*}}=-{\stackrel{.}{\mathrm{\&lambda;}}}_1^{*}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(19\right)$

式(19)的解为

${\mathrm{\&lambda;}}_1^{*}\left(t\right)=c_1,{\mathrm{\&lambda;}}_2^{*}\left(t\right)=-c_{1}t+c_2---\left(20\right)$

u^*(t)为最优的执行机构输出力矩，为最优的拉格朗日乘子，为对时间的导数，c₁、c₂为常数；

考察是否存在奇异解的情况，假设在一段时间内有成立，或者说c₁＝0,c₂＝±I_x，则有由最优控制的形式验证，这与终端时刻t_f自由时哈密顿函数沿最优轨线和最优控制必须为零是矛盾的，因此判断不存在奇异解；

u^*(t)为最优的执行机构输出力矩，为u^*(t)作用下求得的最优状态量、其中为u^*(t)作用下求得的最优的拉格朗日乘子；

能耗最优问题存在六种候选的控制序列：

{u_x,0,-u_x}，{0,-u_x}，{-u_x}，{-u_x,0,u_x}，{0,u_x}，{u_x}

判断出本问题中控制序列采用{u_x,0,-u_x}；

γ₊曲线是在u^*(t)＝u_x作用下的相轨迹，γ_-曲线是在u^*(t)＝-u_x作用下的相轨迹，μ_-曲线是在u^*(t)＝0作用下的相轨迹；

整个时间-能耗最优相轨迹分为三段运行：AB段、BC段、CD段；初始状态点为A，在最优控制序列{u_x,0,-u_x}作用下到达终端状态点D，整个过程中将在B点和C点发生两次控制切换，在B点处，u^*(t)由u_x切换到0，而在C点处，u^*(t)由0切换到-u_x，第一次切换前运行在开关线γ₊上，第二次切换后运行在开关线γ_-上，即

接下来确定μ_-曲线；

设t_B，t_C分别为到达点B和C的切换时间，(x_1B,x_2B)和(x_1C,x_2C)分别为点B和C的坐标，x_2B＝x_2C；

在BC段，u^*(t)＝0，由状态方程解得

x_1C＝x_1B+x_2B(t_C-t_B)   (23)

在CD段，u^*(t)＝-u_x，由状态方程解得

控制发生在第一次和第二次切换时，最优协态满足：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_1^{*}\left(t_B\right)=-c_1{t}_B+c_2=-I_x\\ {\mathrm{\&lambda;}}_1^{*}\left(t_C\right)=-c_1{t}_C+c_2=I_x\end{array}\right.---\left(25\right)$

另外，哈密顿函数在切换时刻满足

$\left\{\begin{array}{c}H\left(t_B\right)=\mathrm{\&rho;}+c_1{x}_{2B}=0\\ H\left(t_C\right)=\mathrm{\&rho;}+c_1{x}_{2C}=0\end{array}\right.---\left(26\right)$

由式(26)可知

$c_1=-\frac{\mathrm{\&rho;}}{x_{2B}}=-\frac{\mathrm{\&rho;}}{x_{2C}}---\left(27\right)$

由式(25)易得

$t_C-t_B=-\frac{{2I}_x}{c_1}=\frac{{2I}_x{x}_{2B}}{\mathrm{\&rho;}}---\left(28\right)$

将式(28)代入式(23)中，并由式(24)和x_2B＝x_2C整理可得

切换点B点位于抛物线μ_-上：

又由于点B在γ₊上，可得

联立式(29)和式(31)可求得

由式(28)可得

由x_2C＝x_2B及式(23)可求得

在CD段，u^*(t)＝-u_x，且在终点D处x_2D＝0，求得

因此，机动的全加速阶段、匀速阶段、全减速阶段、机动保持阶段的起止时间，角度变化和角速度变化总结如下：

(一)全加速阶段：

时间范围：

角度：

角速度：

(二)匀速阶段：

时间范围：

角度：

角速度：

(三)全减速阶段：

时间范围：

角度：

角速度：

(四)机动保持：

时间范围：

t＞t_f   (48)

角度：

角速度：

从上述计算公式看出，只要给出机动开始时刻的角度初值和期望机动到的角度位置，在给定I_x和u_x的条件下，实时算出最优角度轨线和角速度轨线。

4.根据权利要求3所述的基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法，其特征在于步骤3中的“选取PD参数，并通过PD控制，使滚动通道的姿态角跟踪算出来的这条最优轨线”实现过程为：

滚动通道解耦后的传递函数中飞轮采用一阶惯性环节和饱和环节串联形式；

该系统的闭环传递函数为

为实际的姿态角度的拉氏变换，T_dx(s)为干扰力矩的拉氏变换，t_x为执行机构的延时，k_dx、k_px为待设计的控制参数；

其中幅频特性为

$M\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{\sqrt{1+t_x^2{\mathrm{\&omega;}}^2}}{\sqrt{{(k_{\mathrm{px}}-I_x{\mathrm{\&omega;}}^2)}^2+{(k_{\mathrm{dx}}\mathrm{\&omega;}-t_x{I}_x{\mathrm{\&omega;}}^3)}^2}}---\left(52\right)$

ω为频率，变化范围为[0,+∞)；

则根据带宽的定义，有

$\begin{array}{c}201g\left|M\left({\mathrm{\&omega;}}_b\right)\right|=201g\left|M\left(0\right)\right|-3\\ =201g[1/\left(\sqrt{2}{k}_{\mathrm{px}}\right)]\end{array}---\left(53\right)$

$M\left({\mathrm{\&omega;}}_b\right)=M\left(\mathrm{\&omega;}\right){|}_{\mathrm{\&omega;}={\mathrm{\&omega;}}_b}$

其中ω_b(rad/s)为系统带宽，上式即整理后可得系统带宽及控制参数满足如下方程：

$\frac{(1+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2){(\frac{k_{\mathrm{px}}}{I_x}+\frac{{\mathrm{\&omega;}}_b^2}{1+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2})}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_b^4\left(\frac{2+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2}{1+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2}\right)}-\frac{{(\frac{k_{\mathrm{dx}}}{I_x}-t_x{\mathrm{\&omega;}}_b^2)}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_b^2\left(\frac{2+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2}{1+{2t}_x^2{\mathrm{\&omega;}}_b^2}\right)}=1---\left(54\right)$

t_x为执行机构的延时，k_px、k_dx为待设计的控制参数；

系统的截止频率及系统参数的关系满足：

$\frac{{(k_{\mathrm{px}}/I_x)}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_c^4}-\frac{{(k_{\mathrm{dx}}/I_x-t_x{\mathrm{\&omega;}}_c^2)}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_c^2}=1---\left(55\right)$

ω_c为剪切频率，即开环频率特性幅值为1时所对应的角频率；

系统的相位裕度与系统参数的关系为：

通过PD参数与系统带宽、剪切频率、相角裕度满足的关系，确定PD参数的可选区域。

5.根据权利要求4所述的基于跟踪时间-能耗最优轨线的挠性卫星姿态机动控制方法，其特征在于步骤3中的“对PD控制算法的收敛性进行证明，确保选取的PD参数能够使实际姿态角准确地跟踪最优轨线”实现过程为：

对PD控制算法的收敛性进行证明：设需要跟踪的姿态角度最优轨线为相应的姿态角速度为

为实际的姿态角度，为对时间的二阶导数， 分别为对时间的一阶导数；又由于所以有：

为对时间的二阶导数，为e对时间的二阶导数，其中

设取拉式变换有：

$e\left(s\right)=\frac{1}{I_x{s}^2+k_{\mathrm{dx}}s+k_{\mathrm{px}}}u\left(s\right)---\left(59\right)$

e(s)为e的拉氏变换，s为频率。