CN104635741B - 可重复使用运载器再入姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种可重复使用运载器再入姿态控制方法，用于解决现有方法RCS指令分配效率低的技术问题。技术方案是首先设计RCS各个控制方向的所有推力器在各控制方向上的所有组合；在确定的需求力矩方向组合中，采用整数线性规划法实现实时指令分配，并利用遗传算法对整数规划问题进行求解。由于将RCS的控制指令分配转化为降维的整数线性规划问题，与背景技术相比，本发明结合RLV再入姿态控制的需求，既考虑推力器幅值和RCS燃耗，并且对于推力器故障情况不需要离线设计最优表，减少了离线设计最优表的复杂度，通过降维处理提高了RCS指令分配的实时效率，实现了RCS能量消耗以及指令力矩跟踪误差最小化的RCS故障重构。

Description

可重复使用运载器再入姿态控制方法

技术领域

本发明涉及一种运载器再入姿态控制方法，特别是涉及一种可重复使用运载器再入姿态控制方法。

背景技术

参照图1。文献“考虑推力器推力上界及故障情况的航天器实时指令分配最优查表法，宇航学报，2010，vol31(6),P1540-1546”公开了一种航天器的实时指令最优查表法。该方法分别考虑了推力器幅值存在上界以及卫星在轨运行出现推力器故障情况，依据线性规划中的单纯型算法对原最优查表法进行补充，给出这两种情况下推力器指令分配的实时最优查表法。算法能在保持原始最优查表法解的最优性及求解的快速性等诸多优点的前提下，增强了推力器配置的控制能力，并有效解决了推力器故障情况下的指令分配问题。该方法的缺点是离线查询表列写困难，尤其是在考虑各种故障情况时，增加了最优表的维数，每个控制周期都要遍历查询表，耗散较长，受计算机运算速度和存储空间限制，且随着推力器数量的增加，查询表会迅速增长，由此带来的运算速度和存储空间问题会更加突出。针对可重复使用运载器(以下简称RLV)再入初期的姿态控制问题，包含推力器的RCS(反作用控制系统)作为RLV再入控制阶段的主要控制方式，相对于航天器需要更高效的RCS控制方法以满足飞行器的高超声速再入的姿态稳定要求。

发明内容

为了克服现有方法RCS指令分配效率低的不足，本发明提供一种可重复使用运载器再入姿态控制方法。该方法首先根据最优查表法存储设计RCS各个控制方向的所有推力器在各控制方向上的所有组合；然后，在确定的需求力矩方向的组合中，采用整数线性规划法实现实时指令分配，并利用遗传算法快速实现整数规划问题的求解。由于将RCS的控制指令分配转化为降维的整数线性规划问题，并利用遗传算法快速实现整数规划问题的求解。与背景技术相比，本发明结合RLV再入姿态控制的需求，既考虑推力器幅值和RCS燃耗，并且对于推力器故障情况不需要离线设计最优表，减少了离线设计最优表的复杂度，通过降维处理提高了RCS指令分配的实时效率，实现了RCS能量消耗以及指令力矩跟踪误差最小化的RCS故障重构。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种可重复使用运载器再入姿态控制方法，其特点是采用以下步骤：

步骤一、忽略地球自转和哥氏力变化对倾角和偏角的影响，建立RLV再入过程的姿态运动模型

其中,

式中，α表示飞行器的气动攻角，β表示气动侧滑角，γ_v表示速度滚转角；ω_x、ω_y、ω_z分别为滚转、偏航、俯仰方向的姿态角速度；M_x,M_y,M_z为滚转、偏航、俯仰三通道力矩；L是作用在飞行器上的升力，Z是作用在飞行器上的侧向力，g表示重力加速度，m为飞行器质量，V为飞行器当前速度，θ为弹道倾角，σ为弹道偏角；J_i表示飞行器的转动惯量。

基于RLV再入过程的姿态运动模型设计退步控制器，得到RLV姿态控制系统的虚拟控制律。根据时标分离准则，RLV的运动写为：

式中x₁＝[α,β,γ_v]，x₂＝[ω_x,ω_y,ω_z]和ξ＝[θ,σ]是状态变量，跟踪误差 其中和分别为期望的姿态角和姿态角速度，f₁,G₁,f₂,G₂是描述非线性系统的状态方程的相关函数。

对姿态角回路误差向量求导，得

选择理想角速度指令为

式中Λ₁＞0为设计正定的参数矩阵，记矩阵Λ₁的最小特征值。

角速度回路控制是控制角速率x₂跟踪角速度指令值控制输入为控制力矩M。对求导，并代入式(2)得

选择虚拟控制力矩M为

式中：Λ₂＞0为设计正定的参数矩阵。记矩阵Λ₂的最小特征值，为的滤波向量。针对角速度回路，同时考虑姿态角误差方程，选择扩充的Lypunov方程，

步骤二、RCS点火逻辑方案：借鉴整最优查表法的思想，首先根据RCS配置方案和可能出现的虚拟力矩向量方向建立RCS开关指令的最优组合表，对实时整数规划问题进行降维。

控制分配方法由优化目标和约束条件组成，RCS控制分配算法的目标是实现量化误差在不增加推力器各轴力矩指令情况下最小，并能最小化在一定时间内推力器开启个数：

其中，是允许各轴力矩误差的罚系数权重；w_k为第k个推力器点燃的处罚权重；u_k代表第k个推力器的开启状态，是二进制数；T_i,k表示第j个推力器点火时在i轴方向提供的力矩，是第i轴的期望力矩指令。

将控制指令的方向平均分为三维空间的8部分及其交界部分。

步骤三、基于改进遗传算法实现RCS开关指令分配。首先，定义松弛向量：

其中M_des是期望力矩向量，T是推力器力矩配置矩阵，u是推力器开关逻辑向量。式(9)描述的最优求解问题则转换为：

s.t.

本发明的有益效果是：首先根据最优查表法存储设计RCS各个控制方向的所有推力器在各控制方向上的所有组合；然后，在确定的需求力矩方向的组合中，采用整数线性规划法实现实时指令分配，并利用遗传算法快速实现整数规划问题的求解。由于将RCS的控制指令分配转化为降维的整数线性规划问题，并利用遗传算法快速实现整数规划问题的求解。与背景技术相比，本发明结合RLV再入姿态控制的需求，既考虑推力器幅值和RCS燃耗，并且对于推力器故障情况不需要离线设计最优表，减少了离线设计最优表的复杂度，通过降维处理提高了RCS指令分配的实时效率，实现了RCS能量消耗以及指令力矩跟踪误差最小化的RCS故障重构，方法简单，有利于工程实际应用。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是背景技术文献中RCS的一般推力特性曲线图。

图2是本发明方法的RCS实时控制分配的仿真流程图。

图3是本发明方法具体实施方式中推力器故障情况下的RLV三通道姿态跟踪曲线。图3(a)是攻角指令跟踪曲线；图3(b)是侧滑角指令跟踪曲线；图3(c)是倾侧角指令跟踪曲线。

图4是本发明方法具体实施方式中推力器故障情况下的RLV推力器指令变化曲线。图4(a)是1～6号推力器开关指令变化曲线；图4(b)是7～12号推力器开关指令变化曲线。

具体实施方式

参照图2-4。本发明可重复使用运载器再入姿态控制方法具体步骤如下：

1、RLV的再入姿态控制器设计。

为了简化控制器的设计，忽略地球自传、哥氏力变化等小量给飞行器姿态变化带来的影响，RLV再入过程的非线性姿态运动模型为：

其中

式中，α表示飞行器的气动攻角，β表示气动侧滑角，γ_v表示速度滚转角；ω_x、ω_y、ω_z分别为滚转、偏航、俯仰方向的姿态角速度；M_x,M_y,M_z为滚转、偏航、俯仰三通道力矩；L是作用在飞行器上的升力，Z是作用在飞行器上的侧向力，g表示重力加速度，m为飞行器质量，V为飞行器当前速度，θ为弹道倾角，σ为弹道偏角；J_i表示飞行器的转动惯量。

然后基于该数学模型设计退步控制器，得到RLV姿态控制系统的虚拟控制律。首先定义状态变量x₁＝[α,β,γ_v]，x₂＝[ω_x,ω_y,ω_z]和ξ＝[θ,σ]，跟踪误差 其中和分别为期望的姿态角和姿态角速度。根据时标分离准则，RLV的运动写为：

上式中f₁,G₁,f₂,G₂是描述非线性系统的状态方程的相关函数，分别是

假设1：输出信号x₁和参考信号关于时间连续可微有界，且G₁、G₂非奇异。

采用退步法设计控制器，首先将角速度指令作为姿态角回路的虚拟控制量，设计鲁棒二阶滑模积分滤波器对输入υ的导数进行估计：

上式中：ρ_i为滤波器时间常数，ξ_i和为设计的常数，i∈1,2，为υ的滤波值，为的滤波值，即的估计值。

对姿态角回路误差向量求导可得

选择理想角速度指令为

上式中Λ₁＞0为设计正定的参数矩阵，记矩阵Λ₁的最小特征值。针对姿态角回路，选取Lyapunov函数沿着误差方程式(4)对V₁求导并代入式(5)可得

式中耦合项将在角速度回路中进行处理，若时，||e₁||有界的，即可实现姿态角x₁跟踪期望的制导指令

角速度回路控制是控制角速率x₂跟踪角速度指令值控制输入为控制力矩M。对求导，并代入式(2)可得

为实现e₂的稳定及消除式(6)中的耦合项，选择虚拟控制力矩M为

式中:Λ₂＞0为设计正定的参数矩阵。记矩阵Λ₂的最小特征值，为的滤波向量。针对角速度回路，同时考虑姿态角误差方程，选择扩充的Lypunov方程，对V求导并将式(6)、式(7)和式(8)代入可得

由于即可实现x₂跟踪期望的指令因此，至此给出了RLV姿态控制系统的理想控制力矩。

假设再入初始时刻，RLV的平衡飞行条件V₀＝2500m/s²,h₀＝70000m，θ₀＝-20⁰,σ₀＝167⁰,α₀＝40⁰,β₀＝0⁰，选取控制器参数Λ₁＝{4,3,5},Λ₂＝{3,2,6}。将飞行器的参数和控制器参数代入控制器方程式(5)和式(8)中，则得到系统的虚拟控制力矩。

2、RCS控制分配方案设计。

RCS推力器是一种通过开关方式提供控制输入的直接力执行机构。考虑到推力器的推力延迟、根据推力上升和下降时间所需要对推力改变的速率进行限制，从图1中可以看到其一般的推力特性变化曲线。为了简化计算，此处近似处理，得到以下的分段模型，

其中，T_ormax为发动机稳态推力，t₁是发动机的开机指令时刻，τ₁为推力由零增至稳态值的时间，t₂为发动机关机指令时刻，τ₂为推力由稳态值降至零的时间。

假设理想情况下每个推力器瞬时产生的力向量为其中F是推力幅值，表示推力方向的单位向量。每个推力器安装位置到飞行器重心的矢径为则推力器提供的力矩为RLV中使用的RCS推力器个数有限，且规格单一，推力较大且不能调节大小，并且考虑到故障情况时无法提供有效的分档控制。对每个控制力矩指令需要多个推力器点火近似实现，假设在RLV上一共布置了n个推力器，则可实现2ⁿ种不同的力矩指令。

假设飞行器的RCS系统布局形式为：

●数量：12。

●位置：尾部。

●推力：800N。

●力臂：俯仰、偏航L₁＝1.63m。滚转L₂＝0.82m。

表1 推力器配置参数表

配置6组推力器，其中3～8号推力器配置在侧机身，只用于提供偏航控制力矩，1～2号配置在上机身，只进行俯仰抬头控制，7～12号可进行三通道控制，其力矩分配根据控制需求而定。表1给出了各推力器工作时对飞行器产生的姿态控制力矩。其在本体系下产生的推力器力矩配置矩阵A为

控制分配方法由优化目标和约束条件组成，RCS控制分配算法的目标是：实现量化误差在不增加推力器各轴力矩指令情况下最小，并能最小化在一定时间内推力器开启个数:

其中，是允许各轴力矩误差的罚系数权重，w_k为第k个推力器点燃的处罚权重，u_k是二进制数(0或1)代表第k个推力器的开启状态，T_i,k表示第j个推力器点火时在i轴方向提供的力矩，是第i轴的期望力矩指令。式中的约束定义了量化策略。该策略确保有效力矩指令小于控制律输出的指令幅值，避免了无意中增加连续控制器的有效增益。

对于任意需求力矩指令一个全局最小优化目标可通过搜索2ⁿ个推力器点火组合实现。对于较小的推力器数，这种方法可以方便得到推力器点火逻辑，但是随着推力器数目增多，计算量增大。表2列举了该方法在每个飞行控制周期的计算量。在外大气层飞行时，对于确定项和可离线计算存储在数表中，这样可节约(n-1)2ⁿ⁺²加法次数和n2ⁿ⁺²次乘法运算。在内大气层飞行时，力矩矩阵的元素是飞行条件的函数，这些加法和乘法运算不能避免。

表2 采用枚举法每个控制更新时间需要的运算量

表3 降维整数线性规划每个控制更新时间需要的运算量

为了增加MILP算法的实时应用，需要采用高效的搜索算法或者优化搜索范围。本发明通过最优查表法对规划问题的搜索范围降维，以高效的加快RCS控制算法的速率。表3给出了结合最优查表法的在线整数线性规划的实时控制分配算法的计算量。结合查表控制的思想，在此将控制指令的方向分为8部分及其交界部分，对12个推力器进行分组，得到最优推力器组合。表4描述了包括所有推力器在各控制方向上的所有组合(如Mz+My+Mx+控制方向)及优先级状况，每个组合作为一个结构体，包含内容有：包含的推力器号码、可用与否、所能提供的力矩、针对控制方向，优先级用数组的顺序表示。

表4 最优推力器组合表

3、基于改进遗传算法实现RCS开关指令分配。

对于RCS控制分配问题提出的整数线性规划策略可用很多求解器求解这类问题。首先，定义松弛向量：

其中M_des是期望力矩向量，T是推力器力矩配置矩阵，u是推力器开关逻辑向量。式(10)描述的最优求解问题可转换为：

s.t.

RCS控制算法的首要任务是实现需求控制力矩，因此权重系数w₁,…,w_p＜＜w_roll,w_pitch,w_yaw。一般取w_k＝0.01,w_roll,w_pitch,w_yaw＝1。当跟踪误差较大时，在利用整数线性规划方法实现RCS分配策略时，基于各轴的瞬时误差动态调整各轴权重值可提高闭环姿态跟踪响应。特别取：

其中是误差向量表征各轴的跟踪误差。而当误差很小趋于零时，各轴相等的权值可减小极限环幅值。

本发明采用遗传算法求解上述规划问题，包括以下几个步骤：

①确定染色体编码方法，控制分配的目的是将虚拟控制量分配到RCS阵列中，采用二进制编码方式，染色体个体为：

u＝[u₁ u₂ … u₁₂]

将u编码为相应位数的二进制串(b_k-1 b_k-2 … b₀)满足：

式中k为推力器个数。

②初始种群：随机地生成一群个体形成初始种群。

③个体适应度：将式(12)作为个体适应度评价函数Fit(.)，即：

Fit(f(u))＝F_max(-J)

④遗传算子：选择算子采用轮盘赌选择法，交叉算子采用单点交叉法，变异算子采用基本二进制变异法。

⑤确定遗传算法的运行参数。包括群体大小、终止代数、交叉概率和变异概率。为了避免无效染色体，保证算法的有效性，通过结合最优查表法的离线工作，在运算过程中剔除不在优化表中的无效染色体。同时为了保证算法的收敛性，采用最优个体保留策略，在步骤④的选择运算时，将适应度最大的个体直接复制到下一代，并且避免其参与交叉运算和变异运算。

初始种群选择为当前控制方向下的最优推力器组合表中的第一种组合，然后利用遗传算法开始迭代求解最优推力器点火指令。利用本发明中的控制分配方法，对该飞行器再入初始段RCS实现姿态控制，逐次对一个或两个推力器故障情况进行仿真验证该算法的有效性。从图3和图4可以看出，在1～8号推力器发生故障后通过推力器重构，姿态跟踪响应误差依然很小，跟踪精度高，但是由于只有9～12号推力器可提供无耦合的滚转力矩，故障后难实现控制重构。

表5 RCS故障重构姿态跟踪误差仿真结果分析

本发明在最优查表控制分配方法的基础上，针对可重复使用运载器的RCS控制分配方法的计算效率问题以及没有考虑推力器实际工作耦合特性等各种约束的问题，综合整数线性规划和最优查表法，提出一种有效的实时的RCS控制分配方法。该方法首先根据最优查表法存储设计RCS各个控制方向的所有推力器在各控制方向上的所有组合；然后，在确定的需求力矩方向的组合中，采用整数线性规划法实现实时指令分配，并利用遗传算法快速实现整数规划问题的求解。取得如下研究结论：

(1)该实时指令分配方法既考虑推力器幅值，实际工作特性等各种约束条件和RCS燃耗，并且考虑推力器故障情况下的RCS重构。

(2)该方法通过结合最优查表法的离线工作加强整数线性规划法的实时效率，实现了RCS能量消耗以及指令力矩跟踪误差最小化的RCS故障重构。

(3)该方法的实施过程中使用算法简单，计算效率高，有利于工程实际应用。

Claims (1)

1.一种可重复使用运载器再入姿态控制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、忽略地球自转和哥氏力变化对倾角和偏角的影响，建立RLV再入过程的姿态运动模型

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\[L{\mathrm{cos\γ}}_v-Z{\mathrm{sin\γ}}_v-mg\cos \mathrm{\θ}\]/mV\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}=-\[L{\mathrm{sin\γ}}_v+Z{\mathrm{cos\γ}}_v\]/mV\cos \mathrm{\θ}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\α}}={\mathrm{\ω}}_z-\left({\mathrm{\ω}}_x\cos \mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_y\sin \mathrm{\α}\right)\tan \mathrm{\β}+\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}{\mathrm{cos\θsin\γ}}_v-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{\mathrm{cos\γ}}_v}{\cos \mathrm{\β}}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\β}}={\mathrm{\ω}}_x\sin \mathrm{\α}+{\mathrm{\ω}}_y\cos \mathrm{\α}-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\sin \mathrm{\ν}-\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}{\mathrm{cos\θcos\γ}}_v\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}}_v=\frac{{\mathrm{\ω}}_x\cos \mathrm{\α}-{\mathrm{\ω}}_y\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\β}}-\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}\left(\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{tan\βcos\θsin\γ}}_v\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{\mathrm{tan\βcos\γ}}_v\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_x=r_1{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z+r_2{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z+r_3{M}_x+r_4{M}_y\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_y=q_1{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_z+q_2{\mathrm{\ω}}_y{\mathrm{\ω}}_z+r_4{M}_x+q_3{M}_y\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_z=p_1{\mathrm{\ω}}_x{\mathrm{\ω}}_y+p_2\left({{\mathrm{\ω}}_x}^2-{{\mathrm{\ω}}_y}^2\right)+p_3{M}_z\end{array}---\left(1\right)$

其中

$r_1=-\frac{J_{xy}(J_x+J_y-J_z)}{J_x{J}_y-J_{xy}^2},r_2=-\frac{J_{xy}^2+J_y(J_z-J_y)}{J_x{J}_y-J_{xy}^2},r_3=\frac{J_y}{J_x{J}_y-J_{xy}^2},r_4=\frac{J_{xy}}{J_x{J}_y-J_{xy}^2},$

$q_1=-\frac{J_{xy}^2+J_x^2-J_x{J}_z}{J_x{J}_y-J_{xy}^2},q_2=-\frac{J_{xy}(J_x-J_y+J_z)}{J_x{J}_y-J_{xy}^2},q_3=\frac{J_x}{J_x{J}_y-J_{xy}^2},p_1=\frac{J_x-J_y}{J_z},$

$p_2=\frac{J_{xy}}{J_z},p_3=\frac{1}{J_z};$

式中，α表示飞行器的气动攻角，β表示气动侧滑角，γ_v表示速度滚转角；ω_x、ω_y、ω_z分别为滚转、偏航、俯仰方向的姿态角速度；M_x,M_y,M_z为滚转、偏航、俯仰三通道力矩；L是作用在飞行器上的升力，Z是作用在飞行器上的侧向力，g表示重力加速度，m为飞行器质量，V为飞行器当前速度，θ为弹道倾角，σ为弹道偏角；

基于RLV再入过程的姿态运动模型设计退步控制器，得到RLV姿态控制系统的虚拟控制律；根据时标分离准则，RLV的运动写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=f_1\left(x_1,\mathrm{\ξ}\right)+G_1\left(x_1\right)x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=f_2\left(x_2\right)+G_{2}M\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}=f_3\left(x_1,x_2,\mathrm{\ξ}\right)\end{array}---\left(2\right)$

式中x₁＝[α,β,γ_v]，x₂＝[ω_x,ω_y,ω_z]和ξ＝[θ,σ]是状态变量，跟踪误差 其中和分别为期望的姿态角和姿态角速度，f₁,G₁,f₂,G₂是描述非线性系统的状态方程的相关函数；

对姿态角回路误差向量求导，得

${\stackrel{\·}{e}}_1=f_1+G_1{x}_2-{\stackrel{\·}{x}}_1^d---\left(4\right)$

选择理想角速度指令为

$x_2^d=G_1^{-1}(-{\mathrm{\Λ}}_1{e}_1-f_1+{\stackrel{\·}{x}}_1^d)---\left(5\right)$

式中Λ₁>0为设计正定的参数矩阵，记Λ₁＝λ_min(Λ₁)矩阵Λ₁的最小特征值；

角速度回路控制是控制角速率x₂跟踪角速度指令值控制输入为控制力矩M；对求导，并代入式(2)得

${\stackrel{\·}{e}}_2=f_2+G_{2}M-{\stackrel{\·}{x}}_2^d---\left(7\right)$

选择虚拟控制力矩M为

$M=G_2^{-1}(-{\mathrm{\Λ}}_2{e}_2-f_2-G_1^T{e}_1+{\widehat{\mathrm{\λ}}}_2)---\left(8\right)$

式中：Λ₂>0为设计正定的参数矩阵；记Λ₂＝λ_min(Λ₂)矩阵Λ₂的最小特征值，为的滤波向量；针对角速度回路，同时考虑姿态角误差方程，选择扩充的Lypunov方程，

步骤二、RCS点火逻辑方案：借鉴最优查表法的思想，首先根据RCS配置方案和可能出现的虚拟力矩向量方向建立RCS开关指令的最优组合表，对实时整数规划问题进行降维；

控制分配方法由优化目标和约束条件组成，RCS控制分配算法的目标是实现量化误差在不增加推力器各轴力矩指令情况下最小，并能最小化在一定时间内推力器开启个数：

$\begin{array}{c}\underset{u}{\min }\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{{\mathrm{axis}}_i}|M_{i_{des}}-\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,k}{u}_k|+\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_k{u}_k\\ \begin{array}{ccc}s.t.& 0\≤\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,k}{u}_k\≤M_{i_{des}}& \∀M_{i_{des}}\≥0\\ & 0\≥\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,k}{u}_k\≥M_{i_{des}}& \∀M_{i_{des}}\≤0\end{array}\end{array}---\left(10\right)$

其中，是允许各轴力矩误差的罚系数权重；w_k为第k个推力器点燃的处罚权重；u_k代表第k个推力器的开启状态，是二进制数；T_i,k表示第j个推力器点火时在i轴方向提供的力矩，是第i轴的期望力矩指令；

将控制指令的方向平均分为三维空间的8部分及其交界部分；

步骤三、基于改进遗传算法实现RCS开关指令分配；首先，定义松弛向量：

$u_s\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{M}_{des}-Tu---\left(11\right)$

其中M_des是期望力矩向量，T是推力器力矩配置矩阵，u是推力器开关逻辑向量；式(9)描述的最优求解问题则转换为：

$\begin{array}{c}J=\underset{u,u_s}{min}\[\begin{array}{cccc}{w}_1& w_2& ...& w_p\end{array}|\begin{array}{ccc}{w}_{rool}& w_{pitch}& w_{yaw}\end{array}\]\left[\begin{array}{c}u\\ u_s\end{array}\right]\\ \begin{array}{ccc}s.t.& & \\ & 0\≤\underset{k=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,k}{u}_k\≤M_{i_{des}}& \∀M_{i_{des}}\≥0\\ & 0\≥\underset{k=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{T}_{i,k}{u}_k\≥M_{i_{des}}& \∀M_{i_{des}}\≤0\end{array}\end{array}---\left(12\right).$