CN103995914B - 基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于动态特性分析的机床立柱结构优化设计的方法，通过建立磨齿机立柱的有限元模型；对所述立柱进行动态分析，确定立柱的固有频率和振型；以立柱的设计空间单元体积为约束，以立柱固有频率为目标函数，对立柱进行独立的单阶拓扑优化；根据所述单阶拓扑优化结果，寻找结构质量轻且低阶频率提高的空间质量分布，根据所述立柱的单元密度的分布，优化立柱内部结构。本发明的磨齿机结构受力分布更合理，得到材料的最佳分布情况，材料更经济。此外，本发明分别运用到机床结构的分析和设计阶段，减少了反复的样机试验和方案修正工作，缩短了设计周期，降低了开发成本，同时由理论依据为指导，机床结构设计更加高效和高质量。

Description

基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法

技术领域

本发明属于机械结构优化设计领域，尤其涉及一种基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法。

背景技术

齿轮是机械传动系统的基本部件，用于传递空间任意两轴或多轴之间的运动和动力，其传动性能的优劣和承载能力的高低很大程度上决定着机械产品的质量和水平。磨齿是齿轮精加工最常用的一种方法，因此开发成形磨齿机对齿轮的加工具有重要意义。

目前发达国家在齿轮加工机床研究制造方面处于先进水平，已有可以加工外齿和内斜齿的磨齿机并已经产品化。在计算机软硬件技术飞速发展的背景下，发达国家在机床设计方面实现了计算机辅助设计制造，有限元分析软件与CAD系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃，缩短设计和分析的循环周期；增加产品和工程的可靠性；采用优化设计，降低材料的消耗或成本；在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题；模拟各种实验方案，减少实验时间和经费。我国机床结构设计的方法相对落后，大部分机床生产停留在经验设计阶段，不但开发周期长，设计成本高，资源浪费量大，而且精度和可靠性难以达到国际水平，很大程度上制约了我国机床业的发展。立柱是机床的重要组成部分，对于立柱结构分析，传统的材料力学方法很难求得需要的数据，而且计算量大计算结果误差也大，采用加大安全系数的方法可以保证结构的安全可靠运行，但结果使机床结构尺寸变大，不仅浪费材料，而且增加制造成本。有限元分析具有计算速度快、精度高的特点，通过三维建模和有限元分析计算，在设计阶段就能清晰地了解到构件每一点的应力、应变及位移、构件的稳定性等情况，同时可方便地对结构作反复的修改，为方案的选择和改进提供有利依据。近年来，结构有限元分析以及结构优化方法发展迅速，在工程结构设计中的应用越来越广泛。在机床结构设计领域，将结构有限元分析以及结构优化方法分别运用到机床结构的分析和设计阶段，减少了反复的样机试验和方案修正工作，缩短了设计周期，降低了开发成本，同时由理论依据为指导，机床结构设计更加高效和高质量。

虽然在机床结构分析设计领域，通过众多学者的研究，已经取得了丰硕的成果。然而从目前研究来看，有限元软件三维建模不强，无法反映模型的细节；如何将理论的抽象的结构优化结果设计成具体的实际的机床结构；现有结构优化方法无法得到材料的最佳分布情况，存在一定局限性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，旨在解决现有结构优化方法无法得到材料的最佳分布情况的问题。

本发明是这样实现的，一种基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，包括以下步骤：

建立磨齿机立柱的有限元模型；

对所述立柱进行动态分析，确定立柱的固有频率和振型；

以立柱的设计空间单元体积为约束，以立柱固有频率为目标函数，对立柱进行独立的单阶拓扑优化；

根据所述单阶拓扑优化结果，寻找结构质量轻且低阶频率提高的空间质量分布，根据所述立柱的单元密度的分布，优化立柱内部结构。

优选地，所述建立磨齿机立柱的有限元模型之后还包括步骤：对所述立柱进行静态分析，根据分析结果优化立柱的静态参数。

优选地，所述对所述立柱进行动态分析，确定立柱的固有频率和振型之后还包括步骤：建立磨齿机整机的有限元模型，对磨齿机中对立柱的动态性能影响不大的部件进行简化。

优选地，所述以立柱的设计空间单元体积为约束，以立柱固有频率为目标函数，对立柱进行独立的单阶拓扑优化之前还包括步骤：

通过灵敏度分析找到影响立柱最大的参数，根据所述参数建立立柱的有限元模型，然后在整机中进行模态分析，得到磨齿机整机的动态特性；

根据磨齿机整机的动态特性确定优化参数和对象。

优选地，所述灵敏度分析用函数定义为：其中，Sn为高阶微分灵敏度，若一函数F(x)可导，其高阶灵敏度可表示为分子为F9x)的偏导数。

优选地，所述建立磨齿机立柱的有限元模型具体为：去除所述立柱的外部孔、后窗以及底部的安装部分特征结构，只保留立柱的外形尺寸，建立立柱外形尺寸的有限元模型。

优选地，所述有限元模型的建立具体为：通过三维造型软件Pro/Engineer建立磨齿机立柱的三维实体模型，通过有限元分析软件ANSYS与三维造型软件Pro/Engineer专用接口无缝连接，将所述三维实体模型立柱的导入有限元分析软件ANSYS中生成有限元模型。

本发明克服现有技术的不足，提供一种基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，通过建立磨齿机立柱的有限元模型；对所述立柱进行动态分析，确定立柱的固有频率和振型；以立柱的设计空间单元体积为约束，以立柱固有频率为目标函数，对立柱进行独立的单阶拓扑优化；根据所述单阶拓扑优化结果，寻找结构质量轻且低阶频率提高的空间质量分布，根据所述立柱的单元密度的分布，优化立柱内部结构。

在本发明中，以立柱为优化对象，并综合考虑了立柱的静动态特性，使得磨齿机结构受力分布更合理，得到材料的最佳分布情况，材料更经济。此外，本发明分别运用到机床结构的分析和设计阶段，减少了反复的样机试验和方案修正工作，缩短了设计周期，降低了开发成本，同时由理论依据为指导，机床结构设计更加高效和高质量。

附图说明

图1是本发明的基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法一实施例的步骤流程图；

图2是本发明一实施例中优化输出的立柱设计区域的结构密度云图；

图3是本发明一实施例中立柱内部优化结构图以及立柱优化模型图；

图4是本发明一实施例中立柱的正面和侧面受力示意图；

图5是本发明一实施例中的立柱的结构参数。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

一种基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，如图1所示，包括以下步骤：

S1、建立磨齿机立柱的有限元模型

在步骤S1中，由于立柱结构相对复杂，在有限元软件中进行三维建模十分困难，在本发明实施例中，通过三维造型软件Pro/Engineer建立磨齿机立柱的三维实体模型，通过有限元分析软件ANSYS与三维造型软件Pro/Engineer专用接口无缝连接，将所述三维实体模型立柱的导入有限元分析软件ANSYS中生成有限元模型。

Pro/E4.0与ANSYS11.0无缝连接使立柱的建模过程大大简化。在Pro/E4.0建立立柱的三维实体模型，可以直接在ANSYS中生成有限元模型。在本发明实施例中，为了便于描述，本发明中的立柱是铸造结构，其规格为726×395×2020mm，其中壁厚为35mm，筋板厚度20mm。为便于有限元分析，去掉了对实际分析影响不大的部分特征，如安装孔、倒角等。

S2、对所述立柱进行动态分析，确定立柱的固有频率和振型

在步骤S2中，动态分析是研究结构动力学特性的一种方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用，它的出现为结构动力学研究注入了新的动力。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。通过模态分析方法搞清楚结构在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下的实际振动响应，通过模态分析知道了模态参数并给予验证，把这些参数用于设计过程，优化系统动态特性，或者研究把该结构连接到其他结构上时所产生的影响。

在步骤S2中，建立一个反映振动系统实际情况的动力学模型和对应的数学模型，是整个模态分析过程最基本的问题。模型建立的准确与否，将直接影响分析的结果。根据建立的数学模型求解系统的特征向量初特征值(主振型和固有频率)。

对于一个具有N个自由度的线性系统，其运动微分方程为：

式(1)中，M、C和K分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵，x(t)及f(t)分别为系统各点的位移响应向量和激励力向量。求解f(t)＝0时的齐次方程，可以得到方程的通解，它反映了系统的自由振动特性；求解它所对应的特征方程，可得到系统特征解，特征解反映了结构的固有特性。求解f(t)≠0时的非齐次方程，可以得到方程的特征解，它反映了输入载荷的特征。

固有频率和主振型是振动系统的自然属性，必须通过研究无阻尼的自由振动来求解。把式(1)变形为

假设它的解具有以下形式

x＝Φsinω(t-t₀) (3)

式中，Φ是N阶向量,ω是向量的振动频率，t是时间变量，t0是由初始条件确定的时间常数。

将式(3)代入式(2)，可以得出一个广义特征值问题，即

KΦ-ω²MΦ＝0 (4)

求解以上方程可以确定Φ和ω，结果得到N个特征解(ω12，1)，(ω22，2)，…，(ω32，Φn)，其中特征值ω1，ω2，…，ωn分别代表系统的N个固有频率，特征向量1，2，…，Φn分别代表系统的N个固有振型。

立柱的模态分析可以确定结构的固有频率和振型。固有频率和振型是承受动态载荷结构设计中的重要参数，同时也为结构的改进提供依据。在齿轮磨削过程中，必须最大限度避免磨齿机自身固有频率与外界激励频率间的耦合。将这种耦合降低到最小，不仅可以提高磨齿机立柱的结构刚度和可靠性，同时还可以把立柱的结构负荷降到最小，从而提高磨齿机的整体性能。立柱的质量和弹性都是连续分布的，所以具有无穷多阶模态，由于低阶模态对振动系统的动态性能影响较大，在本发明实施例中，仅取立柱的前四阶模态作为分析对象。如表1所示：

表1 样机立柱的动态分析结果

在表1中，第一阶振型为Z方向的摆动，相对位移量平均值为0.052157；第二阶振型为沿X方向的摆动，相对位移量平均值为0.050868；第三阶振型为绕Y轴的扭动，相对位移量平均值为0.0667；第四阶振型为立柱中间部位Z方向的凹凸扭动，相对位移量平均值为0.049501。综合分析可知，由于立柱采用传统的设计方法，安全系数取值比较大，立柱动态性能较好，但重量相对较大，所以有必要对立柱进行优化改进。

S3、以立柱的设计空间单元体积为约束，以立柱固有频率为目标函数，对立柱进行独立的单阶拓扑优化

在步骤S3中，结构优化是让设计结构受力分布更合理，材料更经济。如果考虑到动力优化，那么它与一般力学的部分内容也有一定相关。结构优化设计可以根据设计变量类型的不同划分为3个层次；优化结构元件的参数，称为参数优化或尺寸优化；优化结构的形状，称为形状优化；优化结构的拓扑结构，称为拓扑优化。其中拓扑优化的作用是重要的和决定的，而难度也是最大的。和尺寸优化、形状优化相比，其设计空间维数升高了，因而会得到更优的目标函数值，获得更大的收益。

拓扑优化对网格大小有一定的要求，网格划分的大小对优化结果也有一定影响。单元越小优化结果就越精确，根据优化结果建模就更准确，但网格过密会影响计算的收敛时间。

在本发明实施例中，以立柱是优化的重点，所以优化时只建立立柱的有限元模型加以分析，为加快计算的收敛，因此在ANSYS中建模时，去除外部孔、后窗以及底部的安装部分特征结构，只保留立柱的外形尺寸，立柱外部为非设计区域，内部为设计区域。

S4、根据所述单阶拓扑优化结果，寻找结构质量轻且低阶频率提高的空间质量分布，根据所述立柱的单元密度的分布，优化立柱内部结构

在步骤S4中，优化以设计空间单元体积为约束，减少体积的85％，固有频率为目标函数，即寻找结构质量轻且低阶频率提高的空间质量分布。

如图2所示，其中，图2为优化输出的立柱设计区域的结构密度云图。从图2中可以看出，密度云中设计区域的上部单元基本为空，单元密度主要集中在中下部，从底部密度云中看到设计区域的中部也为空，单元密度紧贴立柱四壁。这个结果说明立柱的下半空间比上半部分对机床的影响大，这个结构是由立柱的长方形结构决定的。

优化迭代次数10次，迭代精度1e^-5。

通过单元密度的分布，设计立柱内部结构，如图3所示，其中，图3中的a图是立柱内部优化结构图，b图是立柱优化模型图。立柱的厚度为50mm，并通过模态分析得到一下结果，如下表2所示：

表2 立柱拓扑对比分析

名称	1阶	2阶	3阶	重量/kg	一阶位移量
						拓扑优化分析	102.67	172.60	270.32	1400.239	0.068556
样机立柱分析	71.903	116.4	198.95	1460	0.071508

对立柱进行拓扑优化模型的动态分析图，和样机立柱对比分析结果上看，立柱的第一阶和第二阶频率有了很大的提高，分别提高了29％和32％，但重量和样机立柱的重量相同，需要改进立柱的优化模型。

改变立柱内部优化结构的壁厚为20mm，建立新的立柱优化模型，模态分析结果如下表3所示：

表3 立柱拓扑分析

名称	一阶	二阶	三阶	重量/kg	一阶位移量
						拓扑优化分析	95.541	161.406	214.847	1062.926	0.072301

从表3中可以看到，立柱的重量下降了27％，而频率下降约6％，综合分析优化结构采用20mm壁厚更为合理。

在进一步的实施过程中，为了使得优化结果更好，在本发明实施例中，所述步骤S1之后还包括步骤：

S11、对所述立柱进行静态分析，根据分析结果优化立柱的静态参数

在步骤S11中，首先建立立柱的力学模型：

该磨齿机主要用于成形磨削齿轮。磨削力可分为相互垂直的三个分力，即沿砂轮切向的切向磨削力F_t，沿砂轮径向的法向磨削力F_n以及沿砂轮轴向磨削力F_a。一般磨削中轴向力F_a较小，可以不计。立柱所受的力有顶部立柱头的重力，导轨的配重压力G，磨削力转换到立柱上的切向磨削力F_t和法向磨削力F_n，导轨座重力对立柱前端安装孔的压力F₁。立柱受力示意图如图4所示；其中，图4为立柱的正面和侧面受力示意图。

磨削力经验公式如下：

式(5)中，F_t，F_n分别为切向和法向磨削力(N)，F_p为单位磨削力，b为磨削加工宽度。α、β、δ、γ为指数。计算得到F_t＝198N,F_n＝100N

其次，对立柱进行静态分析：

将立柱的三维实体模型导入ANSYS中生成有限元模型，分析过程如下：定义有限元分析的单元类型为Solid92。立柱的材料采用HT300，弹性模量为EX＝1.5e11Pa，泊松比PRXY＝0.27。设置网格划分精度为0.05，智能网格划分，约束立柱底部所有自由度。实际情况中立柱所受的力都是面接触，所以立柱的受力要施加面载荷。

最后，分析求解和后处理：

分析结果如表4所示，其中，表4为样机立柱的静态分析结果。

表4 样机立柱的静态分析结果

根据表4的结果可以得到立柱结构在磨削条件下的变形情况，X方向的最大变形量为1.76×10^-6，在立柱前臂上部。Y方向的最大变形量为1.41×10^-9，在立柱底部与底座的连接处。Z方向的最大变形量为3.05×10^-7，在立柱前臂上部的左侧。综合变形量为2.34×10^-6，在立柱前臂上部前沿，主要是承担配重压力所致。从图中可以看到最大应力为268685Pa，应力区域为立柱前臂上部和底部，中间相对较好。从分析上看，在磨削时立柱的变形量和应力都相对较小，立柱的静刚度足够。

在本发明实施例中，通过将立柱壁厚由35mm减少到20mm时，立柱静力分析结果如表5所示：

表5 新立柱的静态分析结果

根据表5可以看出，X方向的最大变形量为5.94×10^-6，改变到立柱前中下部。Y方向的最大变形量为7.33×10^-8，在立柱底部与底座的连接处，壁厚的减少使得Y方向的变化最大，仍然是配重压力的作用。Z方向的最大变形量为6.32×10^-7，在立柱的两侧下面侧孔部位。综合变形量为7.93×10^-6，在立柱前臂中上部，主要是承担配重压力所致。从图中可以看到最大应力为699334Pa，应力区域主要为立柱前臂上部和两边侧孔周围，中间相对较好。从此分析上看，虽然立柱四壁的壁厚减少了，承担的力加大了，但是各部分的变形量最大应力都在允许范围之内，立柱的静刚度足够，静态分析并优化立柱结构后，在对立柱下阶段的模态分析可以不再考虑静态的影响。

在进一步的实施过程中，为了能够确定出对磨齿机的动态性能影响最大的部件，并对该部件的动态性能进行分析和优化，在本发明实施例中，在步骤S2之后还包括步骤S21：建立磨齿机整机的有限元模型，对磨齿机中对立柱的动态性能影响不大的部件进行简化。

在步骤S21中，对整机进行有限元模型建模，没有去除任何特征，单元类型选择SOLID92，网格划分为6级，从动态分析的结果判断出立柱及整机的变化不符合实际情况，需要简化模型结构并分析。

在简化过程中，通过排除分析法进行，例如，简化整机中各部件影响不大的孔和倒角特征，进行动态分析，前四阶振型中立柱和磨削头支架变化最大，说明其动态性能较差；然后，去除磨削头支架，分析整机，进行动态分析，整机中的立柱和分开分析的立柱振动类型相似，整机的其他部件变化不大；根据前两次分析结果，为了更好的了解立柱在整机中的作用，去除立柱顶盖并分析，由整机中立柱的振动形态和个体的立柱振动形态基本相似，立柱顶盖的在整机第三次和第四次对比分析中可以看到，它对立柱的动态性能没有多大影响。

通过这种分析，可以判断出这些部件的改变对立柱的动态性能影响不大，因此，在对磨齿机的优化结构过程中，以集中优化立柱结构为主。

在进一步的实施过程中，更具体的，在所述步骤S3之前还包括步骤：

S31、通过灵敏度分析找到影响立柱最大的参数，根据所述参数建立立柱的有限元模型，然后在整机中进行模态分析，得到磨齿机整机的动态特性；

在步骤S31中，灵敏度分析就是通过一定的数学方法和手段，计算出结构的动态性能参数随结构设计变量的变化灵敏度。通过结构的灵敏度分析可以确定结构中哪些部位参数对动态特性的改进有效，也可以确定结构中敏感性高的参数，通过修改结构重分析找到最优化设计方案。

数学意义上的灵敏度可以理解为：若函数F(x)可导,其一阶灵敏度可表示为

或

式(6)中前者称为一阶微分灵敏度，后者称为一阶差分灵敏度。除了一阶灵敏度外，还可以有高阶灵敏度：

或

对结构振动系统而言，动态灵敏特性可理解为结构特征参数(特征值ω，特征向量ξ等)对结构参数Pm的变化率,也就是所谓特征值灵敏度Δω/ΔPm和特征向量灵敏度Δξ/ΔPm(总称特征灵敏度)。

在本发明实施例中，以筋一型的结构为分析对象，如图5，图5中是立柱的结构参数。在图5中，t1是立柱两侧的厚度，t2为立柱前端的厚度，t3、t4和t5分别为立柱筋板纵板宽度、立柱筋板横板宽度和立柱筋板纵板厚度，t6为立柱筋板横板之间的距离，t7为立柱宽度，t8为立柱长度。

根据图5的结构参数进行灵敏度分析，t1的第三阶频率有所提高，变化对立柱的动态特性影响不大，其他频率的变化比较小。t2的前三阶变化不大。t3、t4和t5的模态频率变化不大。t6为立柱筋板横板之间的距离，距离增大导致频率有所增加。t7的变化比较大，可见立柱宽度的增加可提高动态性能。t8的立柱的变化曲率比较大，但第一阶变化不大，立柱长度灵敏度也相对较高。

通过立柱各特征的灵敏度分析，得到了立柱筋板厚度，宽度以及立柱外形长宽等参数对其固有频率的影响，且综合考虑特征变化对重量带来的影响，确定了个特征参数的最佳数值如表6所示：

表6 特征参数最佳参数表

名称	t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7	t8
									数值mm	20	20	10	24	10	220	395	626

从表6中可以看出，t7数值的增加可以很好的提高立柱的性能，但重量也相对增加，而且立柱的外形也很变化，暂不改变立柱的外形尺寸。进过灵敏度分析后的立柱模态参数如表7所示：

表7 立柱灵敏度分析

从表7中可以看出，从灵敏度分析的结果来看，虽然一阶频率没有提高多少，但重量的下降了近40％，可见通过灵敏度分析可以有效的找到影响立柱最大的参数，为以后的分析和设计做了良好准备。

通过灵敏度分析后，选择立柱模型的最佳设计参数，建立立柱三维有限元模型，然后在整机中进行模态分析，得到磨齿机整机的动态特性，如表8所示，表8为磨齿机整机动态分析结果。

表8 整机的动态分析结果

由表8可知整机第一阶频率有近20％的提高，而且立柱的重量又减轻了40％，可知利用有限元方法在产品生产加工前进行分析，既提高设计的效率和质量，又减小成本。

S32、根据磨齿机整机的动态特性确定优化参数和对象。

在步骤S32中，为提高磨齿机的动态性能和降低制造的成本，需要对磨齿机进行优化设计，优化方法有两种，(1)以机床的动静态参数为约束，机床的质量减轻为目标函数；(2)以机床的质量为约束，机床的动静态特性为目标函数。根据上述步骤S31分析可知，磨齿机的低阶固有频率比较低，优化的重点在提高立柱的动态性能上，因此采用以立柱为优化对象，前三阶固有频率为目标函数，体积为约束条件对磨齿机立柱进行独立的单阶拓扑优化。

相比与现有技术的缺点和不足，本发明具有以下有益效果：

(1)本发明的方法以立柱为优化对象，并综合考虑了立柱的静动态特性，使得磨齿机结构受力分布更合理，材料更经济.

(2)本发明将结构有限元分析以及结构优化方法分别运用到机床结构的分析和设计阶段，减少了反复的样机试验和方案修正工作，缩短了设计周期，降低了开发成本，同时由理论依据为指导，机床结构设计更加高效和高质量。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，其特征在于，包括以下步骤：

建立磨齿机立柱的有限元模型；

对所述立柱进行动态分析，确定立柱的固有频率和振型；

建立磨齿机整机的有限元模型，对磨齿机中对立柱的动态性能影响不大的部件进行简化；

通过灵敏度分析找到影响立柱最大的参数，根据所述参数建立立柱的有限元模型，然后在整机中进行模态分析，得到磨齿机整机的动态特性；

根据磨齿机整机的动态特性确定优化参数和对象：以立柱为优化对象，以立柱的设计空间单元体积为约束，以立柱固有频率为目标函数，对立柱进行独立的单阶拓扑优化；

根据所述单阶拓扑优化结果，寻找结构质量轻且低阶频率提高的空间质量分布，根据所述立柱的单元密度的分布，优化立柱内部结构。

2.如权利要求1所述的基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，其特征在于，所述建立磨齿机立柱的有限元模型之后还包括步骤：对所述立柱进行静态分析，根据分析结果优化立柱的静态参数。

3.如权利要求1所述的基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，其特征在于，所述灵敏度分析用函数定义为：

其中，Sⁿ为高阶微分灵敏度，若一函数F(x)可导，其高阶灵敏度可表示为：

分子为F(x)的偏导数。

4.如权利要求1所述的基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，其特征在于，所述建立磨齿机立柱的有限元模型具体为：去除所述立柱的外部孔、后窗以及底部的安装部分特征结构，只保留立柱的外形尺寸，建立立柱外形尺寸的有限元模型。

5.如权利要求1所述的基于动态特性分析的磨齿机立柱结构优化设计的方法，其特征在于，建立磨齿机立柱的有限元模型具体为：通过三维造型软件Pro/Engineer建立磨齿机立柱的三维实体模型，通过有限元分析软件ANSYS与三维造型软件Pro/Engineer专用接口无缝连接，将所述三维实体模型立柱的导入有限元分析软件ANSYS中生成有限元模型。