CN103294857B - 以频响位移为优化目标的约束阻尼板的拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

以频响位移为优化目标的约束阻尼板的拓扑优化方法，涉及结构优化设计领域，包括以下步骤：1）建立约束阻尼结构有限元模型；2）建立拓扑优化模型；3）提取建立的约束阻尼胞单元的质量矩阵和刚度矩阵；4）计算每一个约束阻尼胞单元的灵敏度；5）计算下一步迭代的约束材料的目标使用量；6）判定是否达到约束条件。本发明解决了在一定频带的激励下，使目标位置的频响位移最小化的约束阻尼板的拓扑优化问题。计算了约束阻尼胞单元的灵敏度，以约束阻尼材料的使用量为约束，以目标位置的频响位移最小化为优化目标，采用渐进优化算法得到了约束阻尼板结构的拓扑优化构型。

Description

以频响位移为优化目标的约束阻尼板的拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及一种结构优化设计方法，特别是一种以频响位移为优化目标的阻尼板拓扑优化方法。

背景技术

随着结构静力优化设计的日益成熟和工程设计要求的逐步提高，结构动力学优化设计受到越来越多的关注。现代航空航天飞行器在服役过程中，常常要求结构在一定的频带范围内具有较好的隔振性能。如在大型空间望远镜隔振设计中，防止摄像器材在运行过程中抖动导致成像清晰度低，这就需要对结构在频带内的整体响应进行优化设计。本质上，这是一类多点响应优化的极大值极小化问题。

当前对于结构动力学优化的研究，大都以动力响应为约束。考虑到动力响应的结构拓扑优化涉及大量的设计变量以及复杂的灵敏度求解，因而，有关动力响应约束的拓扑优化设计工作研究甚少。特别是对于灵敏度的分析，设定结构的模态阻尼比为恒定值，没有考虑在优化过程中，结构变化对结构模态阻尼比的影响。对于约束阻尼结构，采用这种灵敏度分析方法对灵敏度计算会有很大的误差，从而使优化出来的约束阻尼结构拓扑构型并非最优构型。

发明内容

本发明的目的就是提供一种以频响位移为优化目标的约束阻尼板的拓扑优化方法，它解决了在一定频带的激励下，使目标位置的频响位移最小化的约束阻尼板的拓扑优化问题。

本发明的目的是通过这样的技术方案实现的，具体步骤如下：

1）建立待优化表面完全覆盖约束阻尼材料的约束阻尼结构有限元模型，定义载荷和边界条件，创建约束阻尼胞单元；

2）建立拓扑优化模型：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{find}:x_i,i=\mathrm{1,2}...n\\ \min :s=\left|U_i\left({\mathrm{\ω}}_f\right)\right|\\ s.t:M=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{v}_i\≤M^{*}\\ x_i=\left\{\mathrm{0,1}\right\};i=1,...n\\ {\mathrm{\ω}}_l\≤\mathrm{\ω}\≤{\mathrm{\ω}}_t\end{array}\right.$

其中，x_i为设计变量，其取值为{0,1}，当x_i=0时，表示约束阻尼胞单元i为空白单元，此处的约束阻尼材料被删除；当x_i=1时，表示约束阻尼胞单元i为实体单元，此处覆盖有约束阻尼材料；n为约束阻尼胞单元的数量，s为优化目标，表示目标点的频响位移，M^*为约束阻尼材料使用量，ω_l和ω_t分别为激励频率的下限值和上限值；

3）定义拓扑优化的进化量ER，提取约束阻尼胞单元的质量矩阵和刚度矩阵；

4）确定模态数，对有限元模型进行模态分析，提取各阶次的模态振型、固有频率和每个单元的模态应变能，利用灵敏度公式计算每一个约束阻尼胞单元的灵敏度，采用独立网格滤波技术对约束阻尼胞单元的灵敏度进行滤波；

5）根据进化量ER，计算下一步迭代的目标使用量，当下一步迭代的约束阻尼材料使用量M_k+1小于设定的约束阻尼材料的使用量约束M^*，计算公式为：M_k+1=M_k(1-ER)，当M_k+1大于等于M^*时，使M_k+1=M^*；根据M_k+1决定删除单元的门槛值；

6）判定约束阻尼材料的使用量M是否达到约束阻尼材料的使用量约束M^*；如果M>M^*，更新设计变量x_i，并转向步骤4）；如果M≤M^*，则结束迭代，输出约束阻尼板结构的优化构型和目标位置的频响位移值。

进一步，步骤1）中所述创建约束阻尼胞单元包括阻尼材料单元和阻尼材料所对应的约束层单元。

进一步，步骤4）中所述计算每一个约束阻尼胞单元的灵敏度公式为：

采用模态叠加法，结构的幅频响应表达式为：

$U\left({\mathrm{\ω}}_f\right)=\underset{n=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{\sqrt{{({\mathrm{\ω}}_n^2-{\mathrm{\ω}}_f^2)}^2+{\left(2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_f{\mathrm{\ω}}_n\right)}^2}}$

其中，ω_n，φ_n为结构的第n阶固有频率和相应的振型，ω_f为激励频率，m为模态截断的阶数，ξ为模态阻尼比；当结构为非密集模态、无重频、小阻尼情形时，共振频率ω_n处的响应近似为单模态的响应为：

$U\left({\mathrm{\ω}}_n\right)\≈\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_n^2}$

因此，目标函数对设计变量x_i的灵敏度公式为：

$\frac{\∂U(x_i,{\mathrm{\ω}}_n)}{{\∂x}_i}=[\frac{{\∂\mathrm{\φ}}_n}{{\∂x}_i}{\mathrm{\φ}}_n^T+{\mathrm{\φ}}_n\frac{{\∂\mathrm{\φ}}_n^T}{{\∂x}_i}]\frac{F}{2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_n^2}-2\mathrm{\ξ}\frac{{\∂\mathrm{\ω}}_n^2}{{\∂x}_i}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{{\left(2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_n^2\right)}^2}$

$-2{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂\mathrm{\ξ}}{{\∂x}_i}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{{\left(2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_n^2\right)}^2}$

其中，F为激励力向量。

进一步，根据模态叠加法，振型的灵敏度为：

$\frac{{\∂\mathrm{\φ}}_n}{{\∂x}_i}=\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nk}}{\mathrm{\φ}}_k$

当n≠k时，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nk}}=\frac{{\mathrm{\φ}}_k^T(\frac{\∂K}{{\∂x}_i}-{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂M}{{\∂x}_i}){\mathrm{\φ}}_n}{({\mathrm{\ω}}_n^2-{\mathrm{\ω}}_k^2)}$

当n=k时，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nk}}=-\frac{1}{2}{\mathrm{\φ}}_k^T\frac{\∂M}{{\∂x}_i}{\mathrm{\φ}}_k$

式中，K为结构的刚度矩阵；M为结构的质量矩阵；

特征值对设计变量的灵敏度为：

$\frac{\∂{\mathrm{\ω}}_n^2}{{\∂x}_i}={\mathrm{\φ}}_n^T(\frac{\∂K}{{\∂x}_i}-{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂M}{{\∂x}_i}){\mathrm{\φ}}_n$

模态阻尼比对设计变量的灵敏度为：

$\frac{\∂\left(\mathrm{\ξ}\right)}{{\∂x}_i}={\mathrm{\η}}_v\frac{U_{\mathrm{vri}}^e{U}_r-(U_{\mathrm{cri}}^e+U_{\mathrm{vri}}^e)U_{\mathrm{vr}}}{{2U}_r^2}$

式中，η_v为阻尼材料的损耗因子；U_vr和U_r分别为第r阶模态的阻尼材料应变能和约束阻尼结构总应变能；和分别为第r阶模态的阻尼单元i的模态应变能和阻尼单元i对应的约束层单元的模态应变能。

由于采用了上述技术方案，本发明具有如下的优点：

本发明解决了在一定频带激励下，使目标位置的频响位移最小化的约束阻尼板的拓扑优化问题。考虑到约束阻尼胞单元的灵敏度受模态阻尼比变化的影响，推导了约束阻尼胞单元的灵敏度公式，计算了目标函数对设计变量的灵敏度。以约束阻尼材料的使用量为约束，以目标位置的频响位移最小化为优化目标，采用渐进优化算法获得了约束阻尼板结构的拓扑优化构型。在灵敏度分析时，由于考虑了结构变化对模态阻尼比的影响，使约束阻尼胞单元的灵敏度计算更为准确。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书和权利要求书来实现和获得。

附图说明

本发明的附图说明如下。

图1为本发明拓扑优化流程图；

图2为实施例中约束阻尼有限元模型；

图3为实施例的拓扑构型。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

如图2所示，约束层阻尼板长0.07m，宽0.04m，基层厚度为0.0015m，粘弹性层厚度为0.00005m，约束层厚度为0.00013m。基板弹性模量为212GPa，泊松比为0.288，密度为7860kg/m³，粘弹性材料的弹性模量为12Mpa，泊松比0.495，密度为1200kg/m³，损耗因子为0.5，约束层弹性模量为70Gpa，泊松比为0.3，密度为2700kg/m³。约束层阻尼板的约束方式为短边一端全约束。在图2中，1为激励点位置，并以频率范围为[0,500]Hz、幅值为单位幅值的正弦信号进行激励，2为目标响应位置。以约束阻尼材料使用量为全覆盖约束阻尼材料质量的50%为约束条件，对约束阻尼材料板进行拓扑优化：

1)建立待优化表面完全覆盖约束阻尼材料的约束阻尼板结构有限元模型，定义载荷和边界条件，创建约束阻尼胞单元。

2)建立拓扑优化模型：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{find}:x_i,i=\mathrm{1,2}...n\\ \min :s=\left|U_i\left({\mathrm{\ω}}_f\right)\right|\\ s.t:M=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{v}_i\≤M^{*}\\ x_i=\left\{\mathrm{0,1}\right\};i=1,...n\\ {\mathrm{\ω}}_l\≤\mathrm{\ω}\≤{\mathrm{\ω}}_t\end{array}\right.$

其中，x_i为设计变量，其取值为{0,1}，当x_i=0时，表示约束阻尼胞单元i为空白单元，此处的约束阻尼材料被删除；当x_i=1时，表示约束阻尼胞单元i为实体单元，此处覆盖有约束阻尼材料。初始设计变量值都为1。n为约束阻尼胞单元的数量，s为优化目标，表示目标点的频响位移，M^*为约束阻尼材料使用量，ω_l和ω_t分别为激励频率的下限值和上限值。

3）定义拓扑优化的进化量ER，提取约束阻尼胞单元的质量矩阵和刚度矩阵；

4）确定模态数，对有限元模型进行模态分析，提取各阶次的模态振型、固有频率和每个单元的模态应变能，利用灵敏度公式计算每一个约束阻尼胞单元的灵敏度，采用独立网格滤波技术对约束阻尼胞单元的灵敏度进行滤波；

5）根据进化量ER，计算下一步迭代的约束阻尼材料的目标使用量，当下一步迭代的约束阻尼材料使用量M_k+1小于设定的约束阻尼材料的使用量约束M^*，计算公式为：M_k+1=M_k(1-ER)当M_k+1大于等于M^*时，使M_k+1=M^*；根据M_k+1决定删除单元的门槛值；

6）判定约束阻尼材料的使用量M是否达到约束阻尼材料的使用量约束M^*；如果M>M^*，更新设计变量x_i，并转向步骤4）；如果M≤M^*，则结束迭代，输出约束阻尼板结构的优化构型和目标位置的频响位移值。

进一步，步骤1）中所述创建约束阻尼胞单元包括阻尼材料单元和对应的约束材料单元。

进一步，步骤4）中所述，每一个约束阻尼胞单元的灵敏度公式为：

采用模态叠加法，结构的幅频响应表达式为：

$U\left({\mathrm{\ω}}_f\right)=\underset{n=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{\sqrt{{({\mathrm{\ω}}_n^2-{\mathrm{\ω}}_f^2)}^2+{\left(2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_f{\mathrm{\ω}}_n\right)}^2}}$

其中，ω_n，φ_n为结构的第n阶固有频率和相应的振型，ω_f为激励频率，m为模态截断的阶数，ξ为模态阻尼比；当结构为非密集模态、无重频、小阻尼情形时，共振频率ω_n处的响应近似为单模态的响应为：

$U\left({\mathrm{\ω}}_n\right)\≈\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_n^2}$

目标函数对设计变量x_i的灵敏度公式为：

$\frac{\∂U(x_i,{\mathrm{\ω}}_n)}{{\∂x}_i}=[\frac{{\∂\mathrm{\φ}}_n}{{\∂x}_i}{\mathrm{\φ}}_n^T+{\mathrm{\φ}}_n\frac{{\∂\mathrm{\φ}}_n^T}{{\∂x}_i}]\frac{F}{2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_n^2}-2\mathrm{\ξ}\frac{{\∂\mathrm{\ω}}_n^2}{{\∂x}_i}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{{\left(2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_n^2\right)}^2}$

$-2{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂\mathrm{\ξ}}{{\∂x}_i}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{{\left(2\mathrm{\ξ}{\mathrm{\ω}}_n^2\right)}^2}$

其中，F为激励力向量。

根据模态叠加法，振型的灵敏度为：

$\frac{{\∂\mathrm{\φ}}_n}{{\∂x}_i}=\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nk}}{\mathrm{\φ}}_k$

当n≠k时，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nk}}=\frac{{\mathrm{\φ}}_k^T(\frac{\∂K}{{\∂x}_i}-{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂M}{{\∂x}_i}){\mathrm{\φ}}_n}{({\mathrm{\ω}}_n^2-{\mathrm{\ω}}_k^2)}$

当n=k时，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nk}}=-\frac{1}{2}{\mathrm{\φ}}_k^T\frac{\∂M}{{\∂x}_i}{\mathrm{\φ}}_k$

式中，K为结构的刚度矩阵；M为结构的质量矩阵。

特征值对设计变量的灵敏度为：

$\frac{\∂{\mathrm{\ω}}_n^2}{{\∂x}_i}={\mathrm{\φ}}_n^T(\frac{\∂K}{{\∂x}_i}-{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂M}{{\∂x}_i}){\mathrm{\φ}}_n$

模态阻尼比对设计变量的灵敏度为：

$\frac{\∂\left(\mathrm{\ξ}\right)}{{\∂x}_i}={\mathrm{\η}}_v\frac{U_{\mathrm{vri}}^e{U}_r-(U_{\mathrm{cri}}^e+U_{\mathrm{vri}}^e)U_{\mathrm{vr}}}{{2U}_r^2}$

式中，η_v为阻尼材料的损耗因子；U_vr和U_r分别为第r阶模态的阻尼材料应变能和约束阻尼结构总应变能；和分别为第r阶模态的阻尼单元i的模态应变能和对应的约束层单元的模态应变能。

从图3拓扑构型可以看出，约束阻尼材料主要分布在约束端，而且布局较为规整，实用性较强。在约束阻尼材料使用量为全覆盖的50%时，得到的拓扑构型在目标位置的频响位移比全覆盖约束阻尼板目标位置的频响位移减小31%。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.以频响位移为优化目标的约束阻尼板的拓扑优化方法，其特征在于，具体步骤如下：

1)建立待优化表面完全覆盖约束阻尼材料的约束阻尼结构有限元模型，定义载荷和边界条件，创建约束阻尼胞单元；

2)建立拓扑优化模型：

$\left\{\begin{array}{c}find:x_i,i=1,\mathrm{2...}n\\ \min :s=\left|U_i\left({\mathrm{\ω}}_f\right)\right|\\ s.t:M=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{v}_i\≤M^{*}\\ x_i=\{0,1\};i=1,\mathrm{...}n\\ {\mathrm{\ω}}_l\≤\mathrm{\ω}\≤{\mathrm{\ω}}_t\end{array}\right.$

其中，x_i为设计变量，其取值为{0,1}，当x_i＝0时，表示约束阻尼胞单元i为空白单元，此处的约束阻尼材料被删除；当x_i＝1时，表示约束阻尼胞单元i为实体单元，此处覆盖有约束阻尼材料；n为约束阻尼胞单元的数量，s为优化目标，表示目标点的频响位移，M^*为约束阻尼材料使用量，ω_l和ω_t分别为激励频率的下限值和上限值；

3)定义拓扑优化的进化量ER，提取约束阻尼胞单元的质量矩阵和刚度矩阵；

4)确定模态数，对有限元模型进行模态分析，提取各阶次的模态振型、固有频率和每个单元的模态应变能，采用灵敏度公式，计算每一个约束阻尼胞单元的灵敏度，采用独立网格滤波技术对约束阻尼胞单元的灵敏度进行滤波；

5)根据进化量ER，计算下一步迭代的目标使用量，当下一步迭代的约束阻尼材料使用量M_k+1小于设定的约束阻尼材料的使用量约束M^*，计算公式为：M_k+1＝M_k(1-ER)，当M_k+1大于等于M^*时，使M_k+1＝M^*；根据M_k+1决定删除单元的门槛值；

6)判定约束阻尼材料的使用量M是否达到约束阻尼材料的使用量约束M^*；如果M＞M^*，更新设计变量x_i，并转向步骤4)；如果M≤M^*，则结束迭代，输出约束阻尼板结构的优化构型和目标位置的频响位移值。

2.如权利要求1所述的以频响位移为优化目标的约束阻尼板的拓扑优化方法，其特征在于：步骤1)中所述创建约束阻尼胞单元包括阻尼材料单元和阻尼材料所对应的约束层单元。

3.如权利要求1所述的以频响位移为优化目标的约束阻尼板的拓扑优化方法，其特征在于，步骤4)中所述计算每一个约束阻尼胞单元的灵敏度公式为：

采用模态叠加法，结构的幅频响应表达式为：

$U\left({\mathrm{\ω}}_f\right)=\underset{n=1}{\overset{m}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{\sqrt{{({\mathrm{\ω}}_n^2-{\mathrm{\ω}}_f^2)}^2+{\left(2{\mathrm{\ξ\ω}}_f{\mathrm{\ω}}_n\right)}^2}}$

其中，ω_n，φ_n为结构的第n阶固有频率和相应的振型，ω_f为激励频率，m为模态截断的阶数，ξ为模态阻尼比；当结构为非密集模态、无重频、小阻尼情形时，共振频率ω_n处的响应近似为单模态的响应为：

$U\left({\mathrm{\ω}}_n\right)\≈\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{2{\mathrm{\ξ\ω}}_n^2}$

因此，目标函数对设计变量x_i的灵敏度公式为：

$\begin{array}{c}\frac{\∂U(x_i,{\mathrm{\ω}}_n)}{\∂x_i}=\[\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_n}{\∂x_i}{\mathrm{\φ}}_n^T+{\mathrm{\φ}}_n\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_n^T}{\∂x_i}\]\frac{F}{2{\mathrm{\ξ\ω}}_n^2}-2\mathrm{\ξ}\frac{\∂{\mathrm{\ω}}_n^2}{\∂x_i}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{{\left(2{\mathrm{\ξ\ω}}_n^2\right)}^2}\\ -2{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂\mathrm{\ξ}}{\∂x_i}\frac{{\mathrm{\φ}}_n{\mathrm{\φ}}_n^{T}F}{{\left(2{\mathrm{\ξ\ω}}_n^2\right)}^2}\end{array}$

其中，F为激励力向量。

4.如权利要求3所述的以频响位移为优化目标的约束阻尼板的拓扑优化方法，其特征在于：

根据模态叠加法，振型的灵敏度：

$\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_n}{\∂x_i}=\underset{k=1}{\overset{m}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_{nk}{\mathrm{\φ}}_k$

当n≠k时，

${\mathrm{\α}}_{nk}=\frac{{\mathrm{\φ}}_k^T(\frac{\∂K}{\∂x_i}-{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂M}{\∂x_i}){\mathrm{\φ}}_n}{({\mathrm{\ω}}_n^2-{\mathrm{\ω}}_k^2)}$

当n＝k时，

${\mathrm{\α}}_{nk}=-\frac{1}{2}{\mathrm{\φ}}_k^T\frac{\∂M}{\∂x_i}{\mathrm{\φ}}_k$

式中，K为结构的刚度矩阵；M为结构的质量矩阵；

特征值对设计变量的灵敏度为：

$\frac{\∂{\mathrm{\ω}}_n^2}{\∂x_i}={\mathrm{\φ}}_n^T(\frac{\∂K}{\∂x_i}-{\mathrm{\ω}}_n^2\frac{\∂M}{\∂x_i}){\mathrm{\φ}}_n$

模态阻尼比对设计变量的灵敏度为：

$\frac{\∂\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\∂x_i}={\mathrm{\η}}_v\frac{U_{vri}^e{U}_r-(U_{cri}^e+U_{vri}^e)U_{vr}}{2U_r^2}$

式中，η_v为阻尼材料的损耗因子；U_vr和U_r分别为第r阶模态的阻尼材料应变能和约束阻尼结构总应变能；和分别为第r阶模态，约束阻尼胞单元i的模态应变能及对应的约束层单元的模态应变能。