CN102621225A - 一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法 - Google Patents

Abstract

一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法。其主要目的在于精确地测出路面或桥面铺装材料的阻尼比。其实现步骤为：根据实测数据计算确定阻尼测试时需考虑的车辆荷载激振的时间频率范围，取铺装材料长梁，并用有限元方法计算得到铺装材料长梁在车辆荷载激振时间频率范围内的所有模态振型，及其各自对应的无阻尼自振频率。对计算得到的各阶模态振型进行测试，获取各阶模态振型对应的激振信号和响应信号。根据所获得的激振信号和响应信号计算得到各阶模态振型的频响函数，并绘制各阶模态振型的频响函数幅值与频率的关系曲线，确定各阶模态振型的阻尼自振频率，从而计算出各阶模态振型对应的阻尼比。

Description

一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法

技术领域

本发明属于道路工程领域，是一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，涉及路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试，适用于铺装结构的设计与研究、室内试验以及现场工程检测。

背景技术

在路面结构和桥面铺装体系的动力分析中，必须建立刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，其中阻尼矩阵是确定道路路面或桥面体系的振动特性的重要动力参数之一。首先，阻尼消耗能量，使振动衰减，对道路路面和桥梁的安全具有特殊意义；其次阻尼的大小直接关系到道路路面或桥面铺装体系在动荷载作用下的振动强弱；研究路面、桥面铺装材料的阻尼是准确的计算铺装动力响应的关键之一。但是阻尼矩阵比较复杂，通常在结构分析中将阻尼分为结构阻尼包括结构之间的连接摩擦等，材料阻尼或称粘性阻尼主要是材料的固有特性，以及其它阻尼，其它阻尼包括空气动力阻尼和附加阻尼器阻尼等。

目前国内外研究路面、桥面铺装材料阻尼的相关文献较少，并且在结合桥梁分析的研究中通常都忽略桥面铺装阻尼，在路面结构计算中对于沥青混合料一般也是直接给出假设的阻尼系数或阻尼比，一些国内学者直接设定路面混合料阻尼参数的范围，并在其中取值作为分析参数，一些国外学者则认为路面材料的阻尼和模量有很强的相关性，假设材料阻尼直接正比于材料的模量，进行路面结构分析。

本发明的一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法主要研究桥面铺装材料阻尼特性参数的测试求解方法，通过对梁理论的分析，建立适合于桥面铺装阻尼测试的试验模型以及信号采集和处理方法。

发明内容

本发明提供一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，由本发明可以得到合理、精确的路面或桥面铺装材料阻尼特性参数。

本发明采用以下技术方案：一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：试验前参数的确定

步骤1.1：通过路面或桥面的不平度实测数据，即沿行车方向不同位置处行车道表面的高程，计算得到空间频率的范围，具体步骤如下：

沿行车方向，对1km路面或桥面进行不平度测试，得到高程序列：{D(m)}，m＝0，1，2，…N-1，N为所测高程总点数，对该高程序列进行离散时间序列傅里叶变换，得到：

$a_k=\frac{1}{N}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}D\left(m\right)e^{-\mathrm{jk}{O}_{0}m}$

其中，N为所测高程总点数，a_k为离散时间序列傅里叶变换系数，k＝0，1，2，…N-1，

对求得的离散时间序列傅里叶变换系数a_k，k＝0，1，2，…N-1，进行归一化，也就是依次将离散时间序列傅里叶变换系数a_k除以a_k序列中的最大值，得到a′_k，选择大于1％的所有a′_k，假设其中下标的最小值为k_min，下标的最大值为k_max，则空间频率n的范围为

单位为m^-1，

步骤1.2：确定通行车辆的行车速度范围

根据道路或桥梁收费站或车辆监测点的车流数据，选择每日平均交通量中所占比例最大的车型作为代表性车型，通过车速监测点的监控数据，获得代表性车型的行车速度v的范围v_min～v_max，即为通行车辆的行车速度范围，

步骤1.3：确定阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围

根据步骤1.1得到的空间频率n的范围

和步骤1.2得到的通行车辆行车速度v的范围v_min～v_max，确定车辆荷载激振的时间频率范围，所述的车辆荷载激振的时间频率范围可以根据如下公式计算确定：

f＝nv

其中，n为空间频率，v为行车速度，f为时间频率，所述的车辆荷载激振的时间频率范围用圆频率表示为：

Ω＝2πf＝2πnv

其中，Ω为圆频率，

步骤1.4：从待测路面或桥面上取一根长宽比大于5且小于20的铺装材料长梁作为试件，铺装材料长梁横截面的宽度和高度均大于铺装材料中集料规格尺寸的倍且不大于100mm，

步骤1.5：在步骤1.3中确定的阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围内，采用有限元方法计算得到铺装材料长梁在车辆荷载激振的时间频率范围内的N′阶模态振型，所述N′阶模态振型包括第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第N′阶模态振型，N′为模态振型阶数，第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第N′阶模态振型所对应的模态振型向量依次分别为：{Ψ′}₁，{Ψ′}₂，{Ψ′}₂，……，{Ψ′}_N′，并同时计算出每一阶模态振型对应的无阻尼自振频率Ω₁，Ω₂，Ω₃，……，Ω_N′，

有限元方法计算得到铺装材料长梁的N′阶模态振型的具体步骤如下：

步骤1.5.1：定义单元类型为梁单元，并进行梁单元实常数的设置，具体包括铺装材料长梁横截面的面积、惯性矩、高度，其中铺装材料长梁横截面的高度为h，面积为A＝bh，惯性矩为

b为铺装材料长梁的宽度，铺装材料长梁的长度为L′，并定义铺装材料长梁的材料属性，包括弹性模量和密度，其中，按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20-2011)中T0715-2011沥青混合料弯曲试验，测定其弹性模量，并按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20-2011)中T0706-2011压实沥青混合料密度试验，即水中重法，测定其密度，根据铺装材料长梁的尺寸进行建模并划分网格，网格划分数为M′，具体如下：令x′为

取整，网格划分数M′在如下范围取值[x′，4x′]，

步骤1.5.2：将铺装材料长梁两端的边界条件设为简支，并定义分析类型为模态分析，进行分析参数的设置，

步骤1.5.3：进行求解和结果分析，

步骤2：阻尼测试

步骤2.1：采用压电材料传感器，作为激振力发射端，又兼作为响应信号接收端，分别同时连接到信号发生器和存储器，

步骤2.2：令r＝1，r为所测试的模态振型的阶次，

步骤2.3：根据第r阶模态振型，在铺装材料长梁上布设r个压电材料传感器，其中，r≤N′，所述压电材料传感器布设的具体位置为：

$\frac{(2i-1)L}{2r}$

其中，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，r为所测试的模态振型的阶次，L为铺装材料长梁的跨径，令其等于铺装材料长梁的长度L′，同时分别设置第i个压电材料传感器的初始相位

i＝1，2，…，r，当i为奇数时初始相位

设为0，当i为偶数时初始相位设为π，

步骤2.4：确定第r阶模态振型的频率扫描范围，具体过程如下：

由步骤1.5中获得的第r阶模态振型的无阻尼自振频率Ω_r，根据所测试的铺装材料长梁的材料种类选取其可能的阻尼比ξ^ke，对一般道路工程而言，结构阻尼比通常取0～14％，由下式：

${\mathrm{\ω}}_r^{\mathrm{ke}}=\sqrt{1-{\left({\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{ke}}\right)}^2}{\mathrm{\Ω}}_r$

计算得到第r阶模态振型可能的阻尼自振频率

其中

为第r阶模态振型可能的阻尼自振频率，并确定频率扫描范围，所述频率扫描范围为：

其中，

为第r阶模态振型频率扫描范围的下限，

取

为第r阶模态振型频率扫描范围的上限，

取

步骤2.5：选取第r阶模态振型，在步骤2.4确定的第r阶模态振型的频率扫描范围

内，以

为步长进行频率扫描，令

T为扫描时间，一般在2s～10s范围内取值，由公式

可得第r阶模态振型第i个压电材料传感器在在t_q时刻的激振力序列{y_qri}，其中y_qri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器在t_q时刻的激振力，t_q＝qΔt，

S为第r阶模态振型的频率扫描的激振力激励的时间点数，q＝1，2，3，…，S，

为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的初始相位，

由信号发生器分别产生对应于第i个压电材料传感器的激振信号{y_qri}，i＝1，2，…，r，并同时将激振信号发送给各对应的压电材料传感器，由各个压电材料传感器产生激振力，激起铺装材料长梁的第r阶模态振型，同时各压电材料传感器又兼作为响应信号接收端，接收铺装材料长梁的振动响应信号，并将接收到的铺装材料长梁的振动响应信号发送至存储器，

步骤2.6：如果r+1＞N′时，则停止振型测试，进入步骤3，否则，令r＝r+1，返回步骤2.3，继续进行振型测试，

步骤3：阻尼比确定方法

步骤3.1：令r＝1，r为所测试的模态振型阶次，

步骤3.2：根据步骤2.5所获得的第r阶模态振型的激振信号和响应信号获取第r阶模态振型的频响函数，当忽略噪声的影响时，进入步骤3.2.1，当考虑噪声的影响时，进入步骤3.2.2，

步骤3.2.1：在存储器中选取r个压电材料传感器中的任意一个压电材料传感器的激振信号和响应信号，并对选取的激振信号和响应信号进行傅里叶变换，根据激振信号的傅里叶变换和响应信号的傅里叶变换，根据以下公式求得在忽略噪声的影响时第r阶模态振型的频响函数H_r(ω)，

$H_r\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)}$

其中，ω为振动圆频率，也可采用时间频率

作为自变量，即用ω＝2πf′代入上述公式，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，X_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器采集到的响应信号的傅里叶变换，F_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器激振信号的傅里叶变换，

步骤3.2.2：在存储器中选取r个压电材料传感器中的任意一个压电材料传感器的激振信号和响应信号，根据选取的激振信号和响应信号，求得第r阶模态振型的激振信号与响应信号之间的互功率谱、激振信号的自功率谱和响应信号的自功率谱，根据以下公式求得在考虑噪声的影响时第r阶模态振型的频响函数H′_r(ω)，

$H_r^{\′}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)X_{\mathrm{ri}}^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)X_{\mathrm{ri}}^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}=\frac{G_{\mathrm{XXri}}}{G_{\mathrm{FXri}}}$

其中，ω为振动圆频率，也可采用时间频率

作为自变量，即用ω＝2πf′代入上述公式，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，X_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器采集到的响应信号的傅里叶变换，F_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器激振信号的傅里叶变换，*为共轭符号，G_FXri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的激振信号与响应信号之间的互功率谱，G_XXri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的响应信号的自功率谱，

步骤3.3：根据步骤3.2求得的第r阶模态振型的频响函数，绘制第r阶模态振型的频响函数幅值与频率的关系曲线，关系曲线中幅值最大值对应的频率即为第r阶模态振型的阻尼自振频率ω_r，其中r为所测试的模态振型的阶次，

步骤3.4：根据步骤1.5确定的第r阶模态振型的无阻尼自振频率Ω_r，以及步骤3.3求得的第r阶模态振型的阻尼自振频率ω_r，根据公式：

${\mathrm{\ω}}_r=\sqrt{1-{\left({\mathrm{\ξ}}_r\right)}^2}{\mathrm{\Ω}}_r$

就可以求得第r阶模态振型对应的阻尼比ξ_r，

步骤3.5：如果r+1＞N′时，则停止阻尼比计算，否则，令r＝r+1，返回步骤3.2，继续进行阻尼比计算。

与现有技术相比，本发明具有如下优点：

首先，本发明针对要分析的模态振型，通过如下三点，确保既能有效的激起该阶模态振型，又能消除其他阶模态振型的影响：①在靠近该阶模态振型的幅值极值处布设压电材料传感器，作为激振力发射端——能够有效的激起该阶模态振型；②设置各压电材料传感器的初始相位并进行同步激振——增强该阶模态振型的响应，消除其他阶模态振型的影响；③根据该阶模态振型的无阻尼自振频率进一步计算得到该阶模态振型的频率扫描范围——保证激振信号包含该阶模态振型的阻尼自振频率。这样可以有效地避免像单点脉冲激振或其他多点激振方法等常规激振方法由于包含多个模态振型，而无法准确求解阻尼比的显著缺点。其次，本发明提出的一种路面或桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，能够针对路面或桥面铺装的振动响应特性，准确的获得材料的阻尼比，填补了该领域的空白。再次，本发明提出的一种路面或桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，采用长宽比大于5且小于20的铺装材料长梁作为试件，铺装材料长梁横截面的宽度和高度均大于铺装材料中集料规格尺寸的

倍且不大于100mm，可以在振动分析中忽略铺装材料长梁横截面剪应力的影响，从而使测试和计算大大简化。最后，本发明提出的一种路面或桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，能够有效的激起要分析的模态振型，因此只需要在要分析的模态振型下任选该阶模态振型下的一个压电材料传感器的激振信号和响应信号，通过计算得出所要分析的模态振型的频响函数，从而绘制所设定模态振型的频响函数幅值与频率的关系曲线，幅值最大值对应的频率即为要分析的模态振型的阻尼自振频率，然后通过公式求解阻尼比，步骤简单，操作方便。

附图说明

图1是本发明的整个过程的流程图。

图2是试验前参数的确定的流程图。

图3是阻尼测试的流程图。

图4是阻尼比确定方法的流程图。

图5是有限元方法计算得到铺装材料长梁5阶模态振型的结果图。

图6是测试第二阶模态振型时传感器的布设位置的示意图。

图7是测试第二阶模态振型时激振力的时间序列。

图8是测试第二阶模态振型时激振力的频谱。

图9是测试第二阶模态振型时振动响应的频谱。

图10是测试第二阶模态振型时频响函数幅值与频率的关系曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

图1是本发明的整个过程的流程图。

图2是试验前参数的确定的流程图。

图3是阻尼测试的流程图。

图4是阻尼比确定方法的流程图。

本发明的一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，具体实施步骤如下：

实施例1

步骤1：试验前参数的确定

步骤1.1：通过路面或桥面的不平度实测数据，即沿行车方向不同位置处行车道表面的高程，计算得到空间频率的范围，具体步骤如下：

沿行车方向，对1km路面或桥面进行不平度测试，得到高程序列：{D(m)}，m＝0，1，2，…N-1，N为所测高程总点数，对该高程序列进行离散时间序列傅里叶变换，得到：

$a_k=\frac{1}{N}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}D\left(m\right)e^{-\mathrm{jk}{O}_{0}m}$

其中，

N为所测高程总点数，a_k为离散时间序列傅里叶变换系数，k＝0，1，2，…N-1，

对求得的离散时间序列傅里叶变换系数a_k，k＝0，1，2，…N-1，进行归一化，也就是依次将离散时间序列傅里叶变换系数a_k除以a_k序列中的最大值，得到a′_k，选择大于1％的所有a′_k，假设其中下标的最小值为k_min，下标的最大值为k_max，则空间频率n的范围为单位为m^-1，

步骤1.2：确定通行车辆的行车速度范围

根据道路或桥梁收费站或车辆监测点的车流数据，选择每日平均交通量中所占比例最大的车型作为代表性车型，通过车速监测点的监控数据，获得代表性车型的行车速度v的范围v_min～v_max，即为通行车辆的行车速度范围，

步骤1.3：确定阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围

根据步骤1.1得到的空间频率n的范围和步骤1.2得到的通行车辆行车速度v的范围v_min～v_max，确定车辆荷载激振的时间频率范围，所述的车辆荷载激振的时间频率范围可以根据如下公式计算确定：

f＝nv

其中，n为空间频率，v为通行车辆行车速度，f为时间频率，所述的车辆荷载激振的时间频率范围用圆频率表示为：

Ω＝2πf＝2πnv

其中，Ω为圆频率，

步骤1.4：从待测路面或桥面上取一根长宽比大于5且小于20的铺装材料长梁作为试件，铺装材料长梁横截面的宽度和高度均大于铺装材料中集料规格尺寸的

倍且不大于100mm，

步骤1.5：在步骤1.3中确定的阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围内，采用有限元方法计算得到铺装材料长梁在车辆荷载激振的时间频率范围内的N′阶模态振型，所述N′阶模态振型包括第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第N′阶模态振型，N′为模态振型阶数，第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第N′阶模态振型所对应的模态振型向量依次分别为：{Ψ′}₁，{Ψ′}₂，{Ψ′}₃，……，{Ψ′}_N′，并同时计算出每一阶模态振型对应的无阻尼自振频率Ω₁，Ω₂，Ω₃，……，Ω_N′，

有限元方法计算得到铺装材料长梁的N′阶模态振型的具体步骤如下：

步骤1.5.1：定义单元类型为梁单元，并进行梁单元实常数的设置，具体包括铺装材料长梁横截面的面积、惯性矩、高度，其中，其中铺装材料长梁横截面的高度为h，面积为A＝bh，惯性矩为

b为铺装材料长梁的宽度，铺装材料长梁的长度为L′，并定义铺装材料长梁的材料属性，包括弹性模量和密度，其中，按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20-2011)中T0715-2011沥青混合料弯曲试验，测定其弹性模量，并按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20-2011)中T0706-2011压实沥青混合料密度试验，即水中重法，测定其密度，根据铺装材料长梁的尺寸进行建模，令模型的跨径L等于铺装材料长梁的长度L′，并划分网格，网格划分数为M′，具体如下：令x′为取整，网格划分数M′在如下范围取值[x′，4x′]，

步骤1.5.2：将铺装材料长梁两端的边界条件设为简支，并定义分析类型为模态分析，进行分析参数的设置，

步骤1.5.3：进行求解和结果分析，

步骤2：阻尼测试

步骤2.1：采用压电材料传感器，作为激振力发射端，又兼作为响应信号接收端，分别同时连接到信号发生器和存储器，

步骤2.2：令r＝1，r为所测试的模态振型的阶次，

步骤2.3：根据第r阶模态振型，在铺装材料长梁上布设r个压电材料传感器，其中，r≤N′，所述压电材料传感器布设的具体位置为：

$\frac{(2i-1)L}{2r}$

其中，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，r为所测试的模态振型的阶次，L为铺装材料长梁的跨径，令其等于铺装材料长梁的长度L′，同时分别设置第i个压电材料传感器的初始相位

i＝1，2，…，r，当i为奇数时初始相位

设为0，当i为偶数时初始相位

设为π，

步骤2.4：确定第r阶模态振型的频率扫描范围，具体过程如下：

由步骤1.5中获得的第r阶模态振型的无阻尼自振频率Ω_r，根据所测试的铺装材料长梁的材料种类得到其可能的阻尼比ξ^ke，对一般道路工程而言，结构阻尼比通常取0～14％，根据：

${\mathrm{\ω}}_r^{\mathrm{ke}}=\sqrt{1-{\left({\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{ke}}\right)}^2}{\mathrm{\Ω}}_r$

计算得到第r阶模态振型可能的阻尼自振频率

其中

为第r阶模态振型可能的阻尼自振频率，并确定频率扫描范围，所述频率扫描范围为：

其中，

为第r阶模态振型频率扫描范围的下限，

取

为第r阶模态振型频率扫描范围的上限，

取

步骤2.5：选取第r阶模态振型，在步骤2.4中确定的第r阶模态振型的频率扫描范围

内，以

为步长进行频率扫描，令

T为扫描时间，一般在2s～10s范围内取值，由公式

可得第r阶模态振型第i个压电材料传感器在在t_q时刻的激振力序列{y_qri}，其中y_qri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器在t_q时刻的激振力，t_q＝qΔt，

S为第r阶模态振型的频率扫描的激振力激励的时间点数，q＝1，2，3，…，S，为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的初始相位，

由信号发生器分别产生对应于第i个压电材料传感器的激振信号{y_qri}，i＝1，2，…，r，并同时将激振信号发送给各对应的压电材料传感器，由各个压电材料传感器产生激振力，激起铺装材料长梁的第r阶模态振型，同时各压电材料传感器又兼作为响应信号接收端，接收铺装材料长梁的振动响应信号，并将接收到的铺装材料长梁的振动响应信号发送至存储器，

步骤2.6：如果r+1＞N′时，则停止振型测试，进入步骤3，否则，令r＝r+1，返回步骤2.3，继续进行振型测试，

步骤3：阻尼比确定方法

步骤3.1：令r＝1，r为所测试的模态振型阶次，

步骤3.2：根据步骤2.5所获得的第r阶模态振型的激振信号和响应信号获取第r阶模态振型的频响函数，当忽略噪声的影响时，进入步骤3.2.1，当考虑噪声的影响时，进入步骤3.2.2，

步骤3.2.1：在存储器中选取r个压电材料传感器中的任意一个压电材料传感器的激振信号和响应信号，并对选取的激振信号和响应信号进行傅里叶变换，根据激振信号的傅里叶变换和响应信号的傅里叶变换，根据以下公式求得在忽略噪声的影响时第r阶模态振型的频响函数H_r(ω)，

$H_r\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)}$

其中，ω为振动圆频率，也可采用时间频率

作为自变量，即用ω＝2πf′代入上述公式，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，X_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器采集到的响应信号的傅里叶变换，F_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器激振信号的傅里叶变换，

步骤3.2.2：在存储器中选取r个压电材料传感器中的任意一个压电材料传感器的激振信号和响应信号，根据选取的激振信号和响应信号，求得第r阶模态振型的激振信号与响应信号之间的互功率谱、激振信号的自功率谱和响应信号的自功率谱，根据以下公式求得在考虑噪声的影响时第r阶模态振型的频响函数H′_r(ω)，

$H_r^{\′}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)X_{\mathrm{ri}}^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)X_{\mathrm{ri}}^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}=\frac{G_{\mathrm{XXri}}}{G_{\mathrm{FXri}}}$

其中，ω为振动圆频率，也可采用时间频率

作为自变量，即用ω＝2πf′代入上述公式，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，X_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器采集到的响应信号的傅里叶变换，F_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器激振信号的傅里叶变换，*为共轭符号，G_FXri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的激振信号与响应信号之间的互功率谱，G_XXri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的响应信号的自功率谱，

互功率谱与互相关函数包含着因果信息，因而在检测并确定信号延迟和降低噪声方面是非常有用的工具。

步骤3.3：根据步骤3.2求得的第r阶模态振型的频响函数，绘制第r阶模态振型的频响函数幅值与频率的关系曲线，关系曲线中幅值最大值对应的频率即为第r阶模态振型的阻尼自振频率ω_r，其中r为所测试的模态振型的阶次，

步骤3.4：根据步骤1.5确定的第r阶模态振型的无阻尼自振频率Ω_r，以及步骤3.3求得的第r阶模态振型的阻尼自振频率ω_r，根据公式：

${\mathrm{\ω}}_r=\sqrt{1-{\left({\mathrm{\ξ}}_r\right)}^2}{\mathrm{\Ω}}_r$

就可以求得第r阶模态振型对应的阻尼比ξ_r，

步骤3.5：如果r+1＞N′时，则停止阻尼比计算，否则，令r＝r+1，返回步骤3.2，继续进行阻尼比计算。

为提高计算精度，可按照如下步骤，进行实测振型的检验：

根据结构动力学，依次可得第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第r阶模态振型……，第N′阶模态振型的频响函数如公式(1)所示：

$\left[H\left(\mathrm{\ω}\right)\right]=\frac{Q_r{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r^T}{(\mathrm{J\ω}-{\mathrm{\λ}}_r)}+\left[\mathrm{UR}\right]-\frac{\left[\mathrm{LR}\right]}{{\mathrm{\ω}}^2}---\left(1\right)$

其中，r＝1，2，3，……，N′，Q_r为模态比例换算因子，{Ψ}_r为第r阶模态振型向量，为第r阶模态振型向量的转置，λ_r为系统极点，[UR]为上剩余矩阵，[LR]为下剩余矩阵，J为虚数符号，

也可在(1)式中略去剩余项则第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第r阶模态振型……，第N′阶模态振型各自的频响函数在其对应的阻尼自振频率ω_r处的近似值为：

$H_{\mathrm{ij}}\left({\mathrm{\ω}}_r\right)\≈\frac{Q_r{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{jr}}}{(J{\mathrm{\ω}}_r-({\mathrm{\σ}}_r+J{\mathrm{\ω}}_r))}\≈\frac{Q_r{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{jr}}}{-{\mathrm{\σ}}_r}\≈\frac{A_{\mathrm{ijr}}}{-{\mathrm{\σ}}_r}---\left(2\right)$

其中，r＝1，2，3，……，N′，σ_r为第r阶模态振型的阻尼因子，ω_r为第r阶模态振型的阻尼自振频率，A_ij r为第r阶模态振型系数，也称为留数，J为虚数符号，

根据公式(2)，对于第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第r阶模态振型……，第N′阶模态振型这N′个模态振型，各自对应的频响函数在其各自的阻尼自振频率ω₁，ω₂，ω₃，……，ω_r，……，ω_N ′处的函数值乘以各自振型阻尼因子的相反数-σ_r，就可以得到这N′个模态振型各自对应的模态振型系数A_ij 1，A_ij 2，A_ij 3，……，A_ij r，……，A_ij N′的估计值，再根据：

${\left[A\right]}_r=Q_r{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r^T$

其中，[A]_r中元素为A_ij r，r＝1，2，3，……，N′，令Q_r等于1，可以得到第1阶实测模态振型向量{Ψ}₁，第2阶实测模态振型向量{Ψ}₂，第3阶实测模态振型向量{Ψ}₃，……，第r阶实测模态振型向量{Ψ}_r，……，第N′阶实测模态振型向量{Ψ}_N′，采用MAC指标依次将实测模态振型向量{Ψ}₁，{Ψ}₂，{Ψ}₃，……，{Ψ}_r……，{Ψ}_N′与步骤1.5中计算得到铺装材料长梁试件的模态振型向量，也就是频率扫描前假设的模态振型向量{Ψ′}₁，{Ψ′}₂，{Ψ′}₃……，{Ψ′}_r，……，{Ψ′}_N′进行对比，检验实测模态振型与假设的模态振型是否吻合，公式如(3)所示：

$\mathrm{MAC}({\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r,{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_r)=\frac{{\left|{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r^{*T}{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_r\right|}^2}{\left({\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r^{*T}{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r\right)\left({\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_r^{*T}{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_r\right)}---\left(3\right)$

其中，{Ψ}_r为第r阶实测模态振型向量，{Ψ′}_r为按有限元方法计算得到的第r阶模态振型向量，

为第r阶实测模态振型向量共轭的转置，

为按有限元方法计算得到的第r阶模态振型向量共轭的转置，r＝1，2，3，……N′，

如果实测模态振型与假设的模态振型没有吻合，需要找出原因，重新测试该阶模态振型及其阻尼自振频率，常见的原因如例如频率扫描范围过小，或者测试时引入了较大的噪声，

如果{Ψ}_r和{Ψ′}_r属于同一阶模态振型，那么MAC指标值应当接近1，如果{Ψ}_r和{Ψ′}_r是属于不同阶的模态振型，则MAC指标值应该接近于0，通常在MAC指标值大于80％时则判定{Ψ}_r和{Ψ′}_r属于同一阶模态振型。

实施例2

步骤1：试验前参数的确定

步骤1.1：根据某座桥梁桥面铺装不平度的实测数据，即沿行车方向不同位置处行车道表面的高程，确定其空间频率的范围，具体步骤如下：

沿行车方向，对该桥梁1km桥面进行不平度测试，得到沿行车方向不同位置处行车道表面的高程序列：{D(m)}，m＝0，1，2，…N-1，其中N为所测高程总点数，对该高程序列进行离散时间序列傅里叶变换，得到：

$a_k=\frac{1}{N}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}D\left(m\right)e^{-\mathrm{jk}{O}_{0}m}$

其中，

N为所测高程总点数，a_k为离散时间序列傅里叶变换系数，k＝0，1，2，…N-1，

对求得的离散时间序列傅里叶变换系数a_k，k＝0，1，2，…N-1，进行归一化，也就是依次将离散时间序列傅里叶变换系数a_k除以a_k序列中的最大值，得到a_k，选择大于1％的所有a_k，假设其中下标的最小值为k_min，下标的最大值为k_max，根据

单位为m^-1，确定其空间频率n的范围为0.02～30m^-1，

步骤1.2：确定通行车辆的行车速度范围

根据对该桥通行车辆的监测数据，每日平均交通量中所占比例最大的车型为两轴载重车，将其作为代表性车型，通过对该车型过桥车速的监控数据，获得两轴载重车的车速v的范围为0～100km/h即0～27.8m/s，即为通行车辆的车速范围，

步骤1.3：确定阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围

根据步骤1.1得到的空间频率n的范围0.02～30m^-1和步骤1.2得到的通行车辆速度v的范围0～27.8m/s，由公式f＝nv确定车辆荷载激振的时间频率范围为0～555.6Hz，从而得到阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围为0～555.6Hz，

步骤1.4：该桥梁桥面铺装为60mm厚的沥青混凝土AC-13，集料的规格为13.2mm，在该桥梁桥面上取一根铺装材料长梁作为试件，该铺装材料长梁横截面的宽度和高度均取为50mm，长度L′则取800mm，以保证其长宽比大于5且小于20，且铺装材料长梁的横截面的宽度和高度均大于铺装材料中集料规格尺寸的

倍且不大于100mm，

步骤1.5：在步骤1.3中确定的阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围0～555.6Hz内，采用有限元方法计算得到铺装材料长梁在此车辆荷载激振时间频率范围0～555.6Hz内总共有5阶模态振型，依次分别为第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，第4阶模态振型，第5阶模态振型，所对应的模态振型向量依次分别为：{Ψ′}₁，{Ψ′}₂，{Ψ′}₃，{Ψ′}₄，{Ψ′}₅，并同时计算出每一阶模态振型对应的无阻尼自振频率用时间频率表示为： $f_1=\frac{{\mathrm{\Ω}}_1}{2\mathrm{\π}}=21.9\mathrm{Hz},$ $f_2=\frac{{\mathrm{\Ω}}_2}{2\mathrm{\π}}=87.3\mathrm{Hz},$ $f_3=\frac{{\mathrm{\Ω}}_3}{2\mathrm{\π}}=195.0\mathrm{Hz},$ $f_4=\frac{{\mathrm{\Ω}}_4}{2\mathrm{\π}}=342.9\mathrm{Hz},$ $f_5=\frac{{\mathrm{\Ω}}_5}{2\mathrm{\π}}=528.5\mathrm{Hz},$ 其中，Ω₁，Ω₂，Ω₃，……，Ω_N′的依次为第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，第4阶模态振型，第5阶模态振型的无阻尼振动圆频率，f₁，f₂，f₃，f₄，f₅依次为第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，第4阶模态振型，第5阶模态振型的时间频率，求解结果如图5所示，

有限元方法计算得到铺装材料长梁的5阶模态振型的具体步骤如下：

步骤1.5.1：定义单元类型为梁单元，并进行梁单元实常数的设置，其中铺装材料长梁横截面的面积为A＝2.5×10^-3m²，惯性矩为I_ZZ＝5.21×10^-7m⁴，高度为h＝0.05m，并定义铺装材料长梁的材料属性，其中弹性模量为10⁹Pa，密度为2600kg/m³，其中，按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTGE20-2011)中T0715-2011沥青混合料弯曲试验，测定其弹性模量，并按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20-2011)中T0706-2011压实沥青混合料密度试验，即水中重法，测定其密度，根据铺装材料长梁的尺寸进行建模，模型的跨径L＝L′＝800mm，并将其划分为40等分，满足网格划分数的取值范围[16，64]，

步骤1.5.2：将铺装材料长梁两端的边界条件设为简支，并定义分析类型为模态分析，进行分析参数的设置，

步骤1.5.3：进行求解和结果分析，

其ANSYS命令流实现过程如下：

/PREP7

！*

ET，1，BEAM3  ！ELEMENT TYPE

MP，EX，1，1000E+06！定义沥青混凝土的弹性模量

MP，PRXY，1，0.3！定义沥青混凝土的泊松比

MP，DENS，1，2600！定义沥青混凝土的密度

！*

R，1，0.0025，5.21e-007，0.05，，，，！定义铺装材料长梁横截面的面积、惯性矩、高度

！*

K，1，0

K，2，0.8！定义铺装材料长梁跨度

L，1，2

！*

LSEL，S，LINE，，1

LATT，1，1，1，，，，1

LESIZE，1，，，40！将铺装材料长梁模型划分为40等分

LMESH，1

ALLSEL，ALL

！*

/SOL

D，1，，0，，，，UX，UY

D，2，，0，，，，UY！将铺装材料长梁两端的边界条件设为简支，当做悬臂分析时命令为D，1，，0，，，，ALL

！*

ANTYPE，2

！*

MODOP T，SUBSP，1000

EQSLV，FRONT

MXPAND，1000，，，0

LUMPM，0

PSTRES，0

！*

MODOP T，SUBSP，1000，0，555.6，，OFF！定义模态分析的频率范围为0-555.6Hz

RIGID，UX

SUBOPT，8，4，1004，0，0，ALL

！*

/STATUS，SOLU

SOLVE

！*

/POST1

SET，，，，，，，1

PLDISP，1

SET，，，，，，，2

PLDISP，1

SET，，，，，，，3

PLDISP，1

SET，，，，，，，4

PLDISP，1

SET，，，，，，，5

PLDISP，1

步骤2：阻尼测试

为便于说明，此处以第2阶模态振型为例进行说明

步骤2.1：采用压电材料传感器，作为激振力发射端，又兼作为响应信号接收端，分别同时连接到信号发生器和存储器，

步骤2.2：令r＝2，r为所测试的模态振型的阶次，

步骤2.3：根据第2阶模态振型，在铺装材料长梁上布设2个压电材料传感器，所述压电材料传感器布设的具体位置为：第1个压电材料传感布设在

处，第2个压电材料传感布设在

处，其中L为铺装材料长梁的跨径，令其等于铺装材料长梁的长度L′＝800mm，压电材料传感器的布设位置如图6所示，同时分别将第1个压电材料传感器的初始相位设为0，将第2个压电材料传感器的初始相位

设为π，

步骤2.4：确定第2阶模态振型的频率扫描范围，具体过程如下：

由步骤1.5中获得第2阶模态振型的无阻尼自振频率用时间频率表示为：

由于测试铺装材料长梁的材料为沥青混凝土，对一般道路工程而言，结构阻尼比通常取0～14％，故设其可能的阻尼比为ξ^ke＝10％，根据：

${\mathrm{\ω}}_2^{\mathrm{ke}}=\sqrt{1-{\left({\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{ke}}\right)}^2}{\mathrm{\Ω}}_2$

计算得到第2阶模态振型可能的阻尼自振频率用时间频率表示为：

取为86.9Hz，则第2阶模态振型频率扫描范围的下限用时间频率表示为：取为86.9-86.9×5.6％＝82Hz，上限用时间频率表示为：

取为86.9-86.9×3.6％＝90Hz，所以第2阶模态振型的频率扫描范围用时间频率表示为[82Hz，90Hz]，

步骤2.5：选取第2阶模态振型，在步骤2.4确定的频率扫描范围[82Hz，90Hz]内，由信号发生器产生第2阶模态振型下所布设的各个压电材料传感器的频率扫描激振信号，得到激振力的时间序列和激振力的频谱分别如图7和图8所示，并同时将激振信号发送给各对应的压电材料传感器，由各个压电材料传感器产生激振力，激起铺装材料长梁的第2阶模态振型，与此同时各压电材料传感器又兼作为响应信号接收端，接收铺装材料长梁的振动响应信号，并将接收到的铺装材料长梁的振动响应信号发送至存储器，得到位移响应的频谱如图9所示，

步骤3：阻尼比确定方法

为便于说明，此处仍以第2阶模态振型为例进行说明

步骤3.1：令r＝2，r为所测试的模态振型阶次，

步骤3.2：根据步骤2.5所获得的第2阶模态振型的激振信号和响应信号获取第2阶模态振型的频响函数，此处考虑噪声的影响，

在存储器中选择第2阶模态振型下2个压电材料传感器中的第1个压电材料传感器的激振信号和响应信号，根据获得的激振信号和响应信号，求得第2阶模态振型的激振信号和响应信号之间的互功率谱、激振信号的自功率谱和响应信号的自功率谱，考虑噪声的影响，根据以下公式求得第2阶模态振型的频响函数H′₂(ω)：

$H_2^{\′}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_{21}\left(\mathrm{\ω}\right)X_{21}^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_{21}\left(\mathrm{\ω}\right)X_{21}^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}=\frac{G_{\mathrm{XX}21}}{G_{\mathrm{FX}21}}$

其中，ω为振动圆频率，本例采用时间频率

作为自变量，即用ω＝2πf′代入上述公式，1为压电材料传感器的编号，X₂₁(ω)为第2阶模态振型下第1个压电材料传感器采集到的响应信号的傅里叶变换，F₂₁(ω)为第2阶模态振型下第1个压电材料传感器激振信号的傅里叶变换，*为共轭符号，G_FXri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的激振信号与响应信号之间的互功率谱，G_XXri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的响应信号的自功率谱，

步骤3.3：根据步骤3.2求得的第2阶模态振型的频响函数，绘制第2阶模态振型的频响函数幅值与频率的关系曲线，如图10所示，关系曲线中幅值最大值对应的频率为87.1Hz，即第2阶模态振型的阻尼自振频率用时间频率表示为

步骤3.4：根据步骤1.5确定的第2阶模态振型的无阻尼自振频率用时间频率表示为

以及步骤3.2求得的第2阶模态振型的阻尼自振频率用时间频率表示为

根据公式：

${\mathrm{\ω}}_2=\sqrt{1-{\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)}^2}{\mathrm{\Ω}}_2$

就可以求得第2阶模态振型对应的阻尼比ξ₂为7.3％，

为提高精度，进行实测振型的检验，具体过程如下：

根据结构动力学，可得第2阶模态振型的频响函数如公式(4)所示：

$\left[H\left(\mathrm{\ω}\right)\right]=\frac{Q_2{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_2{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_2^T}{(\mathrm{J\ω}-{\mathrm{\λ}}_2)}+\left[\mathrm{UR}\right]-\frac{\left[\mathrm{LR}\right]}{{\mathrm{\ω}}^2}---\left(4\right)$

其中，Q₂为模态比例换算因子，{Ψ}₂为第2阶模态振型向量，

为第2阶模态振型向量的转置，λ₂为系统极点，[UR]为上剩余矩阵，[LR]为下剩余矩阵，J为虚数符号，

也可在(4)式中略去剩余项

则第2阶模态振型的频响函数在其对应的阻尼自振频率ω₂处的近似值为：

$H_{\mathrm{ij}}\left({\mathrm{\ω}}_2\right)\≈\frac{Q_2{\mathrm{\Ψ}}_{i2}{\mathrm{\Ψ}}_{j2}}{(J{\mathrm{\ω}}_2-({\mathrm{\σ}}_2+J{\mathrm{\ω}}_2))}\≈\frac{Q_2{\mathrm{\Ψ}}_{i2}{\mathrm{\Ψ}}_{j2}}{-{\mathrm{\σ}}_2}\≈\frac{A_{\mathrm{ij}2}}{-{\mathrm{\σ}}_2}---\left(5\right)$

其中，σ₂为第2阶模态振型的阻尼因子，ω₂为第2阶模态振型的阻尼自振频率，A_ij 2为第2阶模态振型的系数，J为虚数符号，

根据公式(5)，第2阶模态振型的频响函数在其阻尼自振频率ω₂处的函数值乘以其振型阻尼因子的相反数-σ_r就是第2阶模态振型系数A_ij 2的估计值，再根据：

${\left[A\right]}_2=Q_2{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_2{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_2^T$

其中，[A]₂中元素为A_ij 2，

令Q₂等于1，可以得到第2阶实测模态振型向量{Ψ}₂，采用MAC指标将第2阶实测模态振型向量{Ψ}₂，与步骤1.5中计算得到铺装材料长梁的模态振型，也就是频率扫描前假设的模态振型向量{Ψ′}₂根据公式(6)进行对比，

$\mathrm{MAC}({\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_2,{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_2)=\frac{{\left|{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_2^{*T}{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_2\right|}^2}{\left({\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_2^{*T}{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_2\right)\left({\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_2^{*T}{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_2\right)}---\left(6\right)$

其中，{Ψ}₂为第2阶实测模态振型向量，{Ψ′}₂为按有限元方法计算得到的第2阶模态振型向量，为第2阶实测模态振型向量共轭的转置，为按有限元方法计算得到的第2阶模态振型向量共轭的转置，

计算得到MAC值计算结果为97.4％，大于判定标准80％，表明实测模态振型与理论分析模态振型属于同一阶模态振型。

相关原理

(1)动力学原理以及系统特征方程的根即系统极点的求解方法

根据动力学原理，单自由度系统的运动方程为：

$M\stackrel{\·\·}{x}+C\stackrel{\·}{x}+\mathrm{Kx}=f---\left(7\right)$

其中，M为系统的质量；C为系统的阻尼常数；K系统的刚度系数；f为系统受到的外荷载；x为系统的响应。

系统特征方程的根，即系统极点是：

$\mathrm{\λ}=-(C/\left(2M\right))\±\sqrt{{(C/\left(2M\right))}^2-(K/M)}---\left(8\right)$

根据此式可以得到一些重要的概念。如果没有阻尼(C＝0))，则所论系统是保守系统。定义系统的无阻尼自振频率为：

$\mathrm{\Ω}=\sqrt{K/M}---\left(9\right)$

临界阻尼C_C定义为使式(8)中根式项等于零的阻尼值：

$C_C=2M\sqrt{K/M}---\left(10\right)$

而阻尼比ξ为：

ξ＝C/C_C    (11)

设ω为阻尼自振频率则：

$\mathrm{\ω}=\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{\Ω}---\left(12\right)$

系统按阻尼比的大小可以分为过阻尼系统(ξ＞1)、临界阻尼系统(ξ＝1)和欠阻尼系统(ξ＜1)。过阻尼系统的响应只含有衰减的成分，没有震荡趋势。欠阻尼系统的响应是一种衰减振荡，而临界阻尼系统则是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。

在欠阻尼情况下，(8)式是两个共轭复根：

λ＝σ+jω，λ^*＝σ-jω    (13)

其中，σ为阻尼因子；ω为固有频率。

有关系统极点的另外一些关系式有：

$\mathrm{\λ}=(-\mathrm{\ξ}+j\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}^2})\mathrm{\Ω}---\left(14\right)$

$\mathrm{\ξ}=-\frac{\mathrm{\σ}}{\sqrt{{\mathrm{\ω}}^2+{\mathrm{\σ}}^2}}---\left(15\right)$

多自由度系统的运动方程为：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{\·\·}{x}\right\}+\left[C\right]\left\{\stackrel{\·}{x}\right\}+\left[K\right]\left\{x\right\}=\left\{f\right\}---\left(16\right)$

其中，[M]、[C]、[K]、{f(t)}和{x(t)}分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、力向量和响应向量。

上述方程也能描述自由度更多的系统的特性，只不过矩阵维数相应增多而已。把这个时域的矩阵方程变换到拉氏域，以p为变量，并且假定初始位移和初始速度为零，则得：

(p²[M]+p[C]+[K]){X(p)}＝{F(p)}(17)，或者

[Z(p)]{x(p)}＝[F(p)]    (18)

其中，[Z(p)]为动刚度矩阵。

颠倒一下(17)式或(18)式，可以得出传递函数矩阵[H(p)]的定义：

{X(p)}＝[H(p)][F(p)]    (19)

按照标准算法，一个矩阵的逆矩阵可以由它的伴随矩阵计算出来：

$\left[H\left(p\right)\right]={\left[Z\left(p\right)\right]}^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\left(\right[Z\left(p\right)\left]\right)}{\left|\right[Z\left(p\right)\left]\right|}---\left(20\right)$

其中，adj([Z(p)])为[Z(p)]的伴随矩阵，等于ε_ij[|Z_ij|]^T；|Z_ij|为[Z(p)]去掉第i行第j列后的行列式；

|Z(p)|为[Z(p)]的行列式。

(20)式的分母，即[Z(p)]的行列式，叫作系统特征方程。与单自由度情况一样，系统特征方程的根，即系统极点，决定系统的共振频率。根据特征值问题，可以求出系统特征方程的根。为了把系统特征方程(17)式转化为一般特征值问题公式，我们要加入下面的恒等式：

(p[M]-p[M]]){X}＝{0}    (21)

将此式与(17)式结合在一起得：

(p[A]+[B]){Y}＝{F′}    (22)

其中， $\left[A\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \left[M\right]\\ \left[M\right]& \left[C\right]\end{array}\right];$ $\left[B\right]=\left[\begin{array}{cc}-\left[M\right]& 0\\ 0& \left[K\right]\end{array}\right];$ $\left[Y\right]=\left\{\begin{array}{c}p\left\{X\right\}\\ \left\{X\right\}\end{array}\right\};$ $\left[F^{\′}\right]=\left\{\begin{array}{c}\left\{0\right\}\\ \left\{F\right\}\end{array}\right\}.$

如果力函数等于零，那么(22)式就成了关于实值矩阵的一般特征值问题，其特征值就是满足下列方程的p的值：

|p[A]+[B]|＝0    (23)

该方程的根就是特征方程|[Z(p)]|＝0的根。对于N自由度系统，此方程有2N个呈复共轭对出现的特征根，如(24)式所示：

$\left[\begin{array}{ccc}\backslash & & \\ & \mathrm{\Λ}& \\ & & \backslash \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\λ}}_1& & & & & \\ & & & & 0& \\ & & {\mathrm{\λ}}_N& & & \\ & & & {\mathrm{\λ}}_1^{*}& & \\ & 0& & & & \\ & & & & & {\mathrm{\λ}}_N^{*}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\σ}}_1+j{\mathrm{\ω}}_1& & & & & \\ & & & & 0& \\ & & {\mathrm{\σ}}_N+j{\mathrm{\ω}}_N& & & \\ & & & {\mathrm{\σ}}_1-j{\mathrm{\ω}}_1& & \\ & 0& & & & \\ & & & & & {\mathrm{\σ}}_N+j{\mathrm{\ω}}_N\end{array}\right]---\left(24\right)$

(2)离散时间序列傅里叶变换

设所测序列为{D(m)}，m＝0，1，2，…N-1，对该序列进行离散时间序列傅里叶变换，得到

$a_k=\frac{1}{N}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}D\left(m\right)e^{-\mathrm{jk}{O}_{0}m},$ (k＝0，1，2，…N-1)    (25)

其中，N为所测序列总点数。则

$D\left(m\right)=\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{e}^{\mathrm{jk}{O}_{0}m}---\left(26\right)$

其中，k＝0，1，2，…N-1。

因此所测序列{D(m)}可以表示成不同频率谐波的组合。

(3)自功率谱与自相关函数

时间信号a(t)的自功率谱定义为：

G_AA(f)＝A(f)A^*(f)    (27)

其中，A(f)为a(t)的傅里叶变换，*为共轭符号，A^*(f)为A(f)的共轭函数。自功率谱表示信号中的平均功率是如何按频率分布的。

瞬态时间信号a(t)的自相关函数为：

$R_{\mathrm{aa}}\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}a\left(t\right)a(t+\mathrm{\τ})\mathrm{dt}---\left(28\right)$

当a(t)为离散时间序列时，其自相关函数定义为：

$R_{\mathrm{aa}}\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}a\left(t_i\right)a(t_i+\mathrm{\τ})---\left(29\right)$

可以证明，自功率谱G_AA与自相关函数R_aa构成一个傅里叶变换对，此即Wiener-Kinchin定理。在实验模态分析中，自功率谱用于计算平均频响函数以及用以评判输入信号的质量。

(4)互功率谱和互相关函数

两个时间信号a(t)和b(t)之间的互功率谱为：

G_AB(f)＝A(f)B^*(f)    (30)

其中，A(f)和B(f)分别为a(t)和b(t)的傅里叶变换，*为共轭符号，B^*(f)为B(f)的共轭函数。

互功率谱幅值大小是两个信号中各个频率上联合功率的量度，而相位则是联合功率在各频率上的相对出现时间。

瞬态时间信号a(t)和b(t)的互相关函数为：

$R_{\mathrm{ab}}\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}a\left(t\right)b(t+\mathrm{\τ})\mathrm{dt}---\left(31\right)$

当a(t)为离散时间序列时，互相关函数为：

$R_{\mathrm{ab}}\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}a\left(t_i\right)b(t_i+\mathrm{\τ})---\left(32\right)$

同自功率谱与自相关函数构成一个傅里叶变换对一样，互功率谱与互相关函数也构成一个傅里叶变换对。

互功率谱与互相关函数包含着因果信息，因而在检测并确定信号延迟和降低噪声方面是非常有用的工具。

Claims (2)

1.一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：试验前参数的确定

步骤1.1：通过路面或桥面的不平度实测数据，即沿行车方向不同位置处行车道表面的高程，计算得到空间频率的范围，具体步骤如下：

沿行车方向，对1km路面或桥面进行不平度测试，得到高程序列：{D(m)}，m＝0，1，2，…N-1，N为所测高程总点数，对该高程序列进行离散时间序列傅里叶变换，得到：

$a_k=\frac{1}{N}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}D\left(m\right)e^{-\mathrm{jk}{O}_{0}m}$

其中，

N为所测高程总点数，a_k为离散时间序列傅里叶变换系数，k＝0，1，2，…N-1，

对求得的离散时间序列傅里叶变换系数a_k，k＝0，1，2，…N-1，进行归一化，也就是依次将离散时间序列傅里叶变换系数a_k除以a_k序列中的最大值，得到a_k，选择大于1％的所有a_k，假设其中下标的最小值为k_min，下标的最大值为k_max，则空间频率n的范围为

单位为m^-1，

步骤1.2：确定通行车辆的行车速度范围

根据道路或桥梁收费站或车辆监测点的车流数据，选择每日平均交通量中所占比例最大的车型作为代表性车型，通过车速监测点的监控数据，获得代表性车型的行车速度v的范围v_min～v_max，即为通行车辆的行车速度范围，

步骤1.3：确定阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围

根据步骤1.1得到的空间频率n的范围

和步骤1.2得到的通行车辆行车速度v的范围v_min～v_max，确定车辆荷载激振的时间频率范围，所述的车辆荷载激振的时间频率范围可以根据如下公式计算确定：

f＝nv

其中，n为空间频率，v为行车速度，f为时间频率，所述的车辆荷载激振的时间频率范围用圆频率表示为：

Ω＝2πf＝2πnv

其中，Ω为圆频率，

步骤1.4：从待测路面或桥面上取一根长宽比大于5且小于20的铺装材料长梁作为试件，铺装材料长梁横截面的宽度和高度均大于铺装材料中集料规格尺寸的

倍且不大于100mm，

步骤1.5：在步骤1.3中确定的阻尼测试时需要考虑的车辆荷载激振的时间频率范围内，采用有限元方法计算得到铺装材料长梁在车辆荷载激振的时间频率范围内的N′阶模态振型，所述N′阶模态振型包括第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第N′阶模态振型，N′为模态振型阶数，第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第N′阶模态振型所对应的模态振型向量依次分别为：{Ψ′}₁，{Ψ′}₂，{Ψ′}₃，……，{Ψ′}_N′，并同时计算出每一阶模态振型对应的无阻尼自振频率Ω₁，Ω₂，Ω₃，……，Ω_N′，

有限元方法计算得到铺装材料长梁的N′阶模态振型的具体步骤如下：

步骤1.5.1：定义单元类型为梁单元，并进行梁单元实常数的设置，具体包括铺装材料长梁横截面的面积、惯性矩、高度，其中铺装材料长梁横截面的高度为h，面积为A＝bh，惯性矩为

b为铺装材料长梁的宽度，铺装材料长梁的长度为L′，并定义铺装材料长梁的材料属性，包括弹性模量和密度，其中，按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20-2011)中T0715-2011沥青混合料弯曲试验，测定其弹性模量，并按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20-2011)中T0706-2011压实沥青混合料密度试验，即水中重法，测定其密度，根据铺装材料长梁的尺寸进行建模并划分网格，网格划分数为M′，具体如下：令x′为

取整，网格划分数M′在如下范围取值[x′，4x′]，

步骤1.5.2：将铺装材料长梁两端的边界条件设为简支，并定义分析类型为模态分析，进行分析参数的设置，

步骤1.5.3：进行求解和结果分析，

步骤2：阻尼测试

步骤2.1：采用压电材料传感器，作为激振力发射端，又兼作为响应信号接收端，分别同时连接到信号发生器和存储器，

步骤2.2：令r＝1，r为所测试的模态振型的阶次，

步骤2.3：根据第r阶模态振型，在铺装材料长梁上布设r个压电材料传感器，其中，r≤N′，所述压电材料传感器布设的具体位置为：

$\frac{(2i-1)L}{2r}$

其中，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，r为所测试的模态振型的阶次，L为铺装材料长梁的跨径，令其等于铺装材料长梁的长度L′，同时分别设置第i个压电材料传感器的初始相位i＝1，2，…，r，当i为奇数时初始相位

设为0，当i为偶数时初始相位设为π，

步骤2.4：确定第r阶模态振型的频率扫描范围，具体过程如下：

由步骤1.5中获得的第r阶模态振型的无阻尼自振频率Ω_r，根据所测试的铺装材料长梁的材料种类选取其可能的阻尼比ξ^ke，对一般道路工程而言，结构阻尼比通常取0～14％，由下式：

${\mathrm{\ω}}_r^{\mathrm{ke}}=\sqrt{1-{\left({\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{ke}}\right)}^2}{\mathrm{\Ω}}_r$

计算得到第r阶模态振型可能的阻尼自振频率

其中

为第r阶模态振型可能的阻尼自振频率，并确定频率扫描范围，所述频率扫描范围为：

其中，

为第r阶模态振型频率扫描范围的下限，取

为第r阶模态振型频率扫描范围的上限，

取

步骤2.5：选取第r阶模态振型，在步骤2.4确定的第r阶模态振型的频率扫描范围

内，以

为步长进行频率扫描，令

T为扫描时间，一般在2s～10s范围内取值，由公式

可得第r阶模态振型第i个压电材料传感器在在t_q时刻的激振力序列{y_qri}，其中y_qri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器在t_q时刻的激振力，t_q＝qΔt，

S为第r阶模态振型的频率扫描的激振力激励的时间点数，q＝1，2，3，…，S，

为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的初始相位，

由信号发生器分别产生对应于第i个压电材料传感器的激振信号{y_qri}，i＝1，2，…，r，并同时将激振信号发送给各对应的压电材料传感器，由各个压电材料传感器产生激振力，激起铺装材料长梁的第r阶模态振型，同时各压电材料传感器又兼作为响应信号接收端，接收铺装材料长梁的振动响应信号，并将接收到的铺装材料长梁的振动响应信号发送至存储器，

步骤2.6：如果r+1＞N′时，则停止振型测试，进入步骤3，否则，令r＝r+1，返回步骤2.3，继续进行振型测试，

步骤3：阻尼比确定方法

步骤3.1：令r＝1，r为所测试的模态振型阶次，

步骤3.2：根据步骤2.5所获得的第r阶模态振型的激振信号和响应信号获取第r阶模态振型的频响函数，当忽略噪声的影响时，进入步骤3.2.1，当考虑噪声的影响时，进入步骤3.2.2，

步骤3.2.1：在存储器中选取r个压电材料传感器中的任意一个压电材料传感器的激振信号和响应信号，并对选取的激振信号和响应信号进行傅里叶变换，根据激振信号的傅里叶变换和响应信号的傅里叶变换，根据以下公式求得在忽略噪声的影响时第r阶模态振型的频响函数H_r(ω)，

$H_r\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)}$

其中，ω为振动圆频率，也可采用时间频率

作为自变量，即用ω＝2πf′代入上述公式，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，X_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器采集到的响应信号的傅里叶变换，F_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器激振信号的傅里叶变换，

步骤3.2.2：在存储器中选取r个压电材料传感器中的任意一个压电材料传感器的激振信号和响应信号，根据选取的激振信号和响应信号，求得第r阶模态振型的激振信号与响应信号之间的互功率谱、激振信号的自功率谱和响应信号的自功率谱，根据以下公式求得在考虑噪声的影响时第r阶模态振型的频响函数H′_r(ω)，

$H_r^{\′}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)X_{\mathrm{ri}}^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_{\mathrm{ri}}\left(\mathrm{\ω}\right)X_{\mathrm{ri}}^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}=\frac{G_{\mathrm{XXri}}}{G_{\mathrm{FXri}}}$

其中，ω为振动圆频率，也可采用时间频率

作为自变量，即用ω＝2πf′代入上述公式，i为压电材料传感器的编号，i＝1，2，…，r，X_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器采集到的响应信号的傅里叶变换，F_ri(ω)为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器激振信号的傅里叶变换，*为共轭符号，G_FXri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的激振信号与响应信号之间的互功率谱，G_XXri为第r阶模态振型下第i个压电材料传感器的响应信号的自功率谱，

步骤3.3：根据步骤3.2求得的第r阶模态振型的频响函数，绘制第r阶模态振型的频响函数幅值与频率的关系曲线，关系曲线中幅值最大值对应的频率即为第r阶模态振型的阻尼自振频率ω_r，其中r为所测试的模态振型的阶次，

步骤3.4：根据步骤1.5确定的第r阶模态振型的无阻尼自振频率Ω_r，以及步骤3.3求得的第r阶模态振型的阻尼自振频率ω_r，根据公式：

${\mathrm{\ω}}_r=\sqrt{1-{\left({\mathrm{\ξ}}_r\right)}^2}{\mathrm{\Ω}}_r$

就可以求得第r阶模态振型对应的阻尼比ξ_r，

步骤3.5：如果r+1＞N′时，则停止阻尼比计算，否则，令r＝r+1，返回步骤3.2，继续进行阻尼比计算。

2.根据权利要求1所述的一种路面及桥面铺装材料阻尼特性参数的测试方法，其特征在于，步骤3.5完成后，继续以下步骤，进行实测振型的检验：

根据结构动力学，依次可得第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第r阶模态振型……，第N′阶模态振型的频响函数如公式(1)所示：

$\left[H\left(\mathrm{\ω}\right)\right]=\frac{Q_r{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r^T}{(\mathrm{J\ω}-{\mathrm{\λ}}_r)}+\left[\mathrm{UR}\right]-\frac{\left[\mathrm{LR}\right]}{{\mathrm{\ω}}^2}---\left(1\right)$

其中，r＝1，2，3，……，N′，Q_r为模态比例换算因子，{Ψ}_r为第r阶模态振型向量，

为第r阶模态振型向量的转置，λ_r为系统极点，[UR]为上剩余矩阵，[LR]为下剩余矩阵，J为虚数符号，

也可在(1)式中略去剩余项则第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第r阶模态振型……，第N′阶模态振型各自的频响函数在其对应的阻尼自振频率ω_r处的近似值为：

$H_{\mathrm{ij}}\left({\mathrm{\ω}}_r\right)\≈\frac{Q_r{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{jr}}}{(J{\mathrm{\ω}}_r-({\mathrm{\σ}}_r+J{\mathrm{\ω}}_r))}\≈\frac{Q_r{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{jr}}}{-{\mathrm{\σ}}_r}\≈\frac{A_{\mathrm{ijr}}}{-{\mathrm{\σ}}_r}---\left(2\right)$

其中，r＝1，2，3，……，N′，σ_r为第r阶模态振型的阻尼因子，ω_r为第r阶模态振型的阻尼自振频率，A_ij r为第r阶模态振型的系数，也称为留数，J为虚数符号，

根据公式(2)，对于第1阶模态振型，第2阶模态振型，第3阶模态振型，……，第r阶模态振型……，第N′阶模态振型这N′个模态振型，各自对应的频响函数在其各自的阻尼自振频率ω₁，ω₂，ω₃，……，ω_r，……，ω_N′ 处的函数值乘以各自振型阻尼因子的相反数-σ_r，就可以得到这N′个模态振型各自对应的模态振型系数A_ij 1，A_ij 2，A_ij 3，……，A_ij r，……，A_ij N′的估计值，再根据：

${\left[A\right]}_r=Q_r{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r^T$

其中，[A]_r中元素为A_ij r，r＝1，2，3，……，N′，令Q_r等于1，可以得到第1阶实测模态振型向量{Ψ}₁，第2阶实测模态振型向量{Ψ}₂，第3阶实测模态振型向量{Ψ}₃，……，第r阶实测模态振型向量{Ψ}_r，……，第N′阶实测模态振型向量{Ψ}_N′，采用MAC指标依次将实测模态振型向量{Ψ}₁，{Ψ}₂，{Ψ}₃，……，{Ψ}_r……，{Ψ}_N′与步骤1.5中计算得到铺装材料长梁试件的模态振型向量，也就是频率扫描前假设的模态振型向量{Ψ′}₁，{Ψ′}₂，{Ψ′}₃……，{Ψ′}_r，……，{Ψ′}_N′进行对比，检验实测振型与假设的振型是否吻合，如公式(3)所示：

$\mathrm{MAC}({\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r,{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_r)=\frac{{\left|{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r^{*T}{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_r\right|}^2}{\left({\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r^{*T}{\left\{\mathrm{\Ψ}\right\}}_r\right)\left({\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_r^{*T}{\left\{{\mathrm{\Ψ}}^{\′}\right\}}_r\right)}---\left(3\right)$

其中，{Ψ}_r为第r阶实测模态振型向量，{Ψ′}_r为按有限元方法计算得到的第r阶模态振型向量，

为第r阶实测模态振型向量共轭的转置，

为按有限元方法计算得到的第r阶模态振型向量共轭的转置，r＝1，2，3，……N′，

如果实测模态振型与假设的模态振型没有吻合，需要找出原因，重新测试该阶阻尼自振频率和模态振型，

如果{Ψ}_r和{Ψ′}_r属于同一阶模态振型，那么MAC指标值应当接近1，如果{Ψ}_r和{Ψ′}_r是属于不同阶的模态振型，则MAC指标值应该接近于0，通常在MAC指标值大于80％时则判定{Ψ}_r和{Ψ′}_r属于同一阶模态振型。

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