CN101221553A - 斜风作用下大跨度桥梁抖振响应分析时域方法 - Google Patents

Abstract

斜风作用下大跨度桥梁抖振响应时域分析方法以现有基于平均风分解法的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应分析方法为基础，结合SHMS实测风特性数据的特点对其进行了改进，建立了适于SHMS采集数据的风分解法。同时为了实现气动自激力的时域化，创建了专用于模拟气动刚度和气动阻尼的Aero－dyn18单元。在上述基础上引入现有正风下大跨度桥梁抖振响应的时域分析方法，发展了一套能够全面考虑各种复杂因素的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应的时域分析实用方法，编制了全部相关程序，从而实现了直接由SHMS实测风环境数据得到结构的抖振响应，便于广大桥梁工程技术人员推广应用。

Description

斜风作用下大跨度桥梁抖振响应分析时域方法

技术领域

本发明涉及一套完整的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应分析方法，尤其适用于由桥梁结构物所在场地实测各类风环境数据直接得到其抖振响应。

背景技术

目前国内外大多数常用的抖振分析方法都是假定平均风向与桥跨方向垂直(正风)。正风作用下大跨度桥梁抖振响应的计算主要有频域和时域两类分析方法。其中频域法是早期风工程研究领域最为主要的方法，但频域方法在分析过程中只能计入一定数量的模态，得出的是结构响应值的统计特征，且只能进行线性分析。时域分析法可以非常方便地计入各类非线性因素的影响，考虑因素比较全面，是抖振计算的发展方向，但在风场的模拟以及气动自激力时域化等问题上尚未得到很好地解决。另外，对桥梁结构物所在场地进行的风环境现场实测表明，各类强风常以一个较大的偏角偏离桥跨的法向，因此，现有正风下的抖振响应分析方法并不能直接应用于与现场实测结果的对比。

现有的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应分析方法都是基于线性准定常和气动片条理论，分析方法可分为有两类：平均风分解法和直接斜风分析法。由于早期研究当中实测风数据的缺乏，现有的平均风分解理论都是从已知主风向平均风速和三维脉动风速开始，未考虑现有风速仪实测数据的特点，另外目前还无法建立一套顺桥向风作用下的合理且适用的气动力模型，限制了平均风分解法的发展。直接斜风分析法虽然避开了斜风分解过程，但是需要进行斜风作用下结构模型的风洞试验，以提供分析中所必需的气动参数，增加了工作量和试验费用。

上述针对斜风的分析方法均在频域内进行，因此只能进行线性分析，不能够很好地应用于大跨度桥梁等非线性结构体系。另一方面，尚未检索到在时域内进行大跨度桥梁抖振响应理论分析的文章。随着近年来大跨度桥梁结构健康监测系统(SHMS)实测风特性数据的不断增多，迫切需要开发出一整套斜风作用下大跨度桥梁抖振响应分析实用方法。

发明内容

技术问题：本发明的目的是对现有的平均风分解法进行了改进，同时创建了一种专用于气动自激力模拟的单元(Aero-dyn18单元)，在此基础上发展了一套完整的、能够全面考虑各种复杂因素的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应时域分析方法，实现了直接由实测风环境数据的输入得到结构抖振响应的输出。

技术方案：本发明的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应时域分析方法包括以下步骤：

第一步：基于结构设计图纸和现场动静力响应实测数据，采用可编程参数化设计语言建立大跨度桥梁有限元计算模型，同时将主梁断面的颤振导数以可调用数组方式进行存储，

第二步：调用实测风环境数据之后，采用改进的斜风分解法对其进行处理，并基于分解后的风特性数据进行大跨度桥梁桥址区三维脉动风场模拟，

第三步：根据风速数据和颤振导数图确定式“4a、4b、5a、5b”中主梁断面的颤振导数：

$K_{\mathrm{ae}}^e=\left[\begin{array}{cc}{K}_{\mathrm{ael}}^e& 0\\ 0& K_{\mathrm{ael}}^e\end{array}\right]---4a$

其中， $K_{\mathrm{ael}}^e=\frac{\mathrm{\ρ}{U}^2{K}^2{L}_e}{2}\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& P_6^{*}& P_4^{*}& B{P}_3^{*}& 0& 0\\ 0& H_6^{*}& H_4^{*}& B{H}_3^{*}& 0& 0\\ 0& B{A}_6^{*}& B{A}_4^{*}& B^2{A}_3^{*}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---4b$

$C_{\mathrm{ae}}^e=\left[\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{ael}}^e& 0\\ 0& C_{\mathrm{ael}}^e\end{array}\right]---5a$

其中， $C_{\mathrm{ael}}^e=\frac{\mathrm{\ρUBK}{L}_e}{2}\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& P_5^{*}& P_1^{*}& B{P}_2^{*}& 0& 0\\ 0& H_5^{*}& H_1^{*}& B{H}_2^{*}& 0& 0\\ 0& B{A}_5^{*}& B{A}_1^{*}& B^2{A}_2^{*}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---5b$

式“4a、4b、5a、5b”中，K_ae ^e和C_ae ^e分别为当采用集中气动力矩阵模拟桥面受到的气动力时，与桥面单元e所受气动自激力等价的气动刚度和气动阻尼矩阵；ρ为空气密度；U为平均风速；B为桥面宽度；K＝Bω/U为无量纲频率；L_e为单元e的长度；H_i ^*为自激升力相关气动导数、P_i ^*为自激阻力相关气动导数、A_i ^*为自激升力矩相关气动导数，其中i＝1，2，...，6；

第四步：采用Aero-dyn18单元模拟K_ae ^e和C_ae ^e，并在初始模型的基础上添加Aero-dyn18单元，得到大跨度桥梁用于抖振分析的有限元模型，

第五步：由分解后的风速数据，采用结构静力三分力系数计算出静力风荷载，包括阻力、升力和扭矩，再利用第二步三维脉动风场模拟所得风速时程按照式“6a、6b、6c”计算出抖振力时程：

$L_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^{2}B[2C_L\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+(C_L^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)+C_D\left({\mathrm{\α}}_0\right))\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6a\right)$

$D_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^{2}B[2C_D\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+C_{\text{D}}^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6b\right)$

$M_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^2{B}^2[2C_M\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+C_{\text{M}}^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6c\right)$

式“6a、6b、6c”中，L_b(t)、D_b(t)和M_b(t)分别表示升力时程、阻力时程和升力矩时程，ρ为空气密度，U为平均风速，B为桥面宽度，α₀为平均风攻角，C_L、C_D、C_M分别为升力、阻力和升力矩系数，C_L′、C_D′、C_M′分别为升力、阻力和升力矩系数曲线斜率，u(t)、v(t)和w(t)分别代表顺风向、横风向和竖向脉动风速；

第六步：将第四步所得静风荷载以及抖振力时程同时施加到结构有限元模型上，采用纽马科数值积分法进行大跨度桥梁抖振响应非线性时程分析求解；

第七步：分析处理大跨度桥梁的加速度、位移等时程响应计算结果，求出统计量如加速度均方根响应值，并与现场实测结果进行对比分析。

以上第二步所述的改进的斜风分解法按照式“3a、3b”进行风速分解：

U_N＝Vcosβ    3a

U_P＝Vsinβ    3b

式“3a、3b”中，U_N和U_P分别表示分解之后横桥向和顺桥向的风速；V和β分别表示风速仪实测瞬时风速大小和方位角。

以上第三步所述的Aero-dyn18单元中具有两个节点，每个节点有6个自由度；该单元矩阵为12×12矩阵，其中包括C₁，C₂，...，C₉总计9个不同的系数：

$\left[\begin{array}{cccccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& C_1& C_2& C_3& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& C_4& C_5& C_6& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& C_7& C_8& C_9& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& C_1& C_2& C_3& \text{0}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& C_4& C_5& C_6& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& C_7& C_8& C_9& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

该单元没有固定的几何形状，它可以通过实常数的方式输入刚度矩阵K和阻尼矩阵C以模拟结构系统的气动刚度和气动阻尼矩阵。

有益效果：目前，许多SHMS中的风环境以及与其同步的结构响应监测数据因为没有合适的分析方法而大量积压。该专利在对现有的平均风分解法进行改进的基础上，提供了一套完整的、能够全面考虑各种复杂因素的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应时域分析实用方法，编制了全部相关计算程序，便于工程人员进行风环境和结构响应分析，使得SHMS监测得到的宝贵数据能够得到很好地应用，因此具有广阔的工程应用前景。

附图说明

图1斜风作用下桥梁抖振响应时域分析流程图，

图2斜风作用下的主梁平面示意图，

图3 Aero-dyn18单元示意图，

图4 Aero-dyn18单元的系数矩阵。

具体实施方式

为了能够发展一套便于广大工程人员使用的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应时域分析方法，本发明首先结合现有风速仪实测数据的特点对现有平均风分解法进行了改进。同时创建了Aero-dyn18单元以解决气动自激力的时域化问题。在此基础上将正风下的大跨度桥梁抖振响应时域分析方法引入到斜风中来进行分析，并编制了全部程序将上述方法进行软件集成。斜风作用下桥梁抖振响应时域分析流程图见图1。

解决上述问题所采用的技术方案流程如下：

假定大桥桥面受到主风向与桥跨法向夹角(风向偏角)为β的斜风袭击，如图2所示。此时现有的斜风分解理论均从平均风速和三维脉动风速开始进行，即假定U、u(t)、v(t)和w(t)为已知，如式(1)所示。

U+u(t)＝V_a(along-wind，顺风向)    (1a)

v(t)＝V_h(horizontal across-wind，横风向)    (1b)

w(t)＝V_w(vertical across-wind，竖向)        (1c)

图2和式(1)中，U为平均风速，u(t)、v(t)和w(t)分别代表顺风向、横风向和竖向脉动风速，风速沿表顺风向、横风向和竖向三个方向的分量分别用V_a、V_h和V_w来表示。按照斜风分解理论将U、u(t)和v(t)进行顺桥向和横桥向分解，如图2所示，则有

U_N＝(U+u)cosβ-vsinβ    (2a)

U_P＝(U+u)sinβ-vcosβ    (2b)

此时已将斜风的风速分解成横桥向的余弦分量和顺桥向的正弦分量，然后则可根据现有的正风理论计算出桥梁结构的抖振响应。式(2)中，U_N和U_P分别表示分解之后横桥向和顺桥向的风速。

由式(2)可知，为了得到U_N和U_P，必须先求出U、u(t)和v(t)，然而在风速仪实测数据当中，由于SHMS中风速仪实测数据为瞬时风速大小V和方位角β，需要经过一系列换算才能够得到U、u(t)和v(t)。但是很明显，我们的最终目的是要得到分解后的U_N和U_P，这由实测瞬时风速大小V和方位角β就可以非常方便地获得，换算方法为

U_N＝Vcosβ    (3a)

U_P＝Vsinβ    (3b)

对比式(2)和(3)可知，实测数据本身更加便于进行分解，这样不仅使得风速分解更为便捷，同时还减小了过多的数据处理过程可能带来的结果误差。

同时，为了实现气动自激力的时域化，基于准定常气动力模型和非线性动力学理论，推导了与主梁所受气动自激力等价的单元气动刚度矩阵和气动阻尼矩阵，并开发了一种专用于气动自激力模拟的单元(命名为Aero-dyn18单元)，给出了单元的示意图、单元矩阵构造参数及其意义。

采用改进的斜风分解法即公式(3)对SHMS中的风环境数据进行分解，其中

风速V和方位角β为常规风速仪均能采集的主要风特性数据。由此便获得了分解后的U_N和U_P，并据此建立全桥三维脉动风场，将复杂的斜风下的大跨度桥梁抖振响应时域分析转化成为正风作用来进行分析。

与主梁所受气动自激力等价的单元气动刚度矩阵和气动阻尼矩阵，分别如公式(4)和(5)所示。

$K_{\mathrm{ae}}^e=\left[\begin{array}{cc}{K}_{\mathrm{ael}}^e& 0\\ 0& K_{\mathrm{ael}}^e\end{array}\right]---\left(4a\right)$

其中， $K_{\mathrm{ael}}^e=\frac{\mathrm{\ρ}{U}^2{K}^2{L}_e}{2}\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& P_6^{*}& P_4^{*}& B{P}_3^{*}& 0& 0\\ 0& H_6^{*}& H_4^{*}& B{H}_3^{*}& 0& 0\\ 0& B{A}_6^{*}& B{A}_4^{*}& B^2{A}_3^{*}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(4b\right)$

$C_{\mathrm{ae}}^e=\left[\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{ael}}^e& 0\\ 0& C_{\mathrm{ael}}^e\end{array}\right]---\left(5a\right)$

其中， $C_{\mathrm{ael}}^e=\frac{\mathrm{\ρUBK}{L}_e}{2}\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& P_5^{*}& P_1^{*}& B{P}_2^{*}& 0& 0\\ 0& H_5^{*}& H_1^{*}& B{H}_2^{*}& 0& 0\\ 0& B{A}_5^{*}& B{A}_1^{*}& B^2{A}_2^{*}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(5b\right)$

式(4)和(5)中，K_ae ^e和C_ae ^e分别为当采用集中气动力矩阵模拟桥面受到的气动力时，桥面单元e的气动刚度和气动阻尼矩阵；ρ为空气密度；U为平均风速；B为桥面宽度；K＝Bω/U为无量纲频率；L_e为单元e的长度；H_i ^*为自激升力相关气动导数、P_i ^*为自激阻力相关气动导数、A_i ^*为自激升力矩相关气动导数，其中i＝1，2，…，6；

气动刚度和气动阻尼模拟专用单元——Aero-dyn18单元具有两个节点，每个节点有6个自由度，其示实意图见图3。图中，X、Y、Z轴和X_e、Y_e、Z_e轴分别表示单元e的整体坐标系和局部坐标系；i和j表示单元e的两个节点；K和C分别表示刚度矩阵和阻尼矩阵。该单元没有固定的几何形状，它可以通过实常数的方式输入K和C，以模拟结构系统的气动刚度和气动阻尼矩阵。

Aero-dyn18单元矩阵为12×12矩阵，共有C₁，C₂，...，C₉总计9个不同的系数，见图4。将式(4)和(5)已定义好的气动刚度矩阵系数或气动阻尼矩阵系数代入该矩阵，该单元就可以用来模拟桥面受到的气动自激力，由此便可获得用于抖振分析的大跨度桥梁有限元模型。

公式(6)用于将模拟出的脉动风速时程转化为抖振力时程。

$L_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^{2}B[2C_L\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+(C_L^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)+C_D\left({\mathrm{\α}}_0\right))\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6a\right)$

$D_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^{2}B[2C_D\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+C_{\text{D}}^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6b\right)$

$M_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^2{B}^2[2C_M\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+C_{\text{M}}^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6c\right)$

其中ρ、U、B的意义同式(4)；α₀为平均风攻角；C_L、C_D、C_M分别为升力、阻力和升力矩系数；C_L′、C_D′、C_M′分别为升力、阻力和升力矩系数曲线斜率；u(t)、v(t)和w(t)的意义同式(1)。

Claims (3)

1.一种斜风作用下大跨度桥梁抖振响应时域分析方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

第一步：基于结构设计图纸和现场动静力响应实测数据，采用可编程参数化设计语言建立大跨度桥梁有限元计算模型，同时将主梁断面的颤振导数以可调用数组方式进行存储，

第二步：调用实测风环境数据之后，采用改进的斜风分解法对其进行处理，并基于分解后的风特性数据进行大跨度桥梁桥址区三维脉动风场模拟，

第三步：根据风速数据和颤振导数图确定式“4a、4b、5a、5b”中主梁断面的颤振导数：

$K_{\mathrm{ae}}^e=\left[\begin{array}{cc}{K}_{\mathrm{ael}}^e& 0\\ 0& K_{\mathrm{ael}}^e\end{array}\right]---4a$

其中， $K_{\mathrm{ael}}^e=\frac{\mathrm{\ρ}{U}^2{K}^2{L}_e}{2}\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& P_6^{*}& P_4^{*}& B{P}_3^{*}& 0& 0\\ 0& H_6^{*}& H_4^{*}& B{H}_3^{*}& 0& 0\\ 0& B{A}_6^{*}& B{A}_4^{*}& B^2{A}_3^{*}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---4b$

$C_{\mathrm{ae}}^e=\left[\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{ael}}^e& 0\\ 0& C_{\mathrm{ael}}^e\end{array}\right]---5a$

其中， $C_{\mathrm{ael}}^e=\frac{\mathrm{\ρUBK}{L}_e}{2}\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& P_5^{*}& P_1^{*}& B{P}_2^{*}& 0& 0\\ 0& H_5^{*}& H_1^{*}& B{H}_2^{*}& 0& 0\\ 0& B{A}_5^{*}& B{A}_1^{*}& B^2{A}_2^{*}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---5b$

式“4a、4b、5a、5b”中，K_ae ^e和C_ae ^e分别为当采用集中气动力矩阵模拟桥面受到的气动力时，与桥面单元e所受气动自激力等价的气动刚度和气动阻尼矩阵；ρ为空气密度；U为平均风速；B为桥面宽度；K＝Bω/U为无量纲频率；L_e为单元e的长度；H_i ^*为自激升力相关气动导数、P_i ^*为自激阻力相关气动导数、A_i ^*为自激升力矩相关气动导数，其中i＝1，2，...，6；

第四步：采用Aero-dyn18单元模拟K_ae ^e和C_ae ^e，并在初始模型的基础上添加Aero-dyn18单元，得到大跨度桥梁用于抖振分析的有限元模型，

第五步：由分解后的风速数据，采用结构静力三分力系数计算出静力风荷载，包括阻力、升力和扭矩，再利用第二步三维脉动风场模拟所得风速时程按照式“6a、6b、6c”计算出抖振力时程：

$L_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^{2}B[2C_L\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+(C_L^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)+C_D\left({\mathrm{\α}}_0\right))\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6a\right)$

$D_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^{2}B[2C_D\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+C_{\text{D}}^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6b\right)$

$M_b\left(t\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^2{B}^2[2C_M\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{u\left(t\right)}{U}+C_{\text{M}}^{\text{'}}\left({\mathrm{\α}}_0\right)\frac{w\left(t\right)}{U}]---\left(6c\right)$

式“6a、6b、6c”中，L_b(t)、D_b(t)和M_b(t)分别表示升力时程、阻力时程和升力矩时程，ρ为空气密度，U为平均风速，B为桥面宽度，α₀为平均风攻角，C_L、C_D、C_M分别为升力、阻力和升力矩系数，C_L′、C_D′、C_M′分别为升力、阻力和升力矩系数曲线斜率，u(t)、v(t)和w(t)分别代表顺风向、横风向和竖向脉动风速；

第六步：将第四步所得静风荷载以及抖振力时程同时施加到结构有限元模型上，采用纽马科数值积分法进行大跨度桥梁抖振响应非线性时程分析求解；

第七步：分析处理大跨度桥梁的加速度、位移等时程响应计算结果，求出统计量如加速度均方根响应值，并与现场实测结果进行对比分析。

2.根据权利要求1所述的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应时域分析方法，其特征在于第二步所述的改进的斜风分解法按照式“3a、3b”进行风速分解：

U_N＝Vcosβ    3a

U_P＝Vsinβ    3b

式“3a、3b”中，U_N和U_P分别表示分解之后横桥向和顺桥向的风速；V和β分别表示风速仪实测瞬时风速大小和方位角。

3.根据权利要求1所述的斜风作用下大跨度桥梁抖振响应时域分析方法，其特征在于第三步所述的Aero-dyn18单元中具有两个节点，每个节点有6个自由度；该单元矩阵为12×12矩阵，其中包括C₁，C₂，...，C₉总计9个不同的系数：

$\left[\begin{array}{cccccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& C_1& C_2& C_3& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& C_4& C_5& C_6& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& C_7& C_8& C_9& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& C_1& C_2& C_3& \text{0}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& C_4& C_5& C_6& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& C_7& C_8& C_9& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

该单元没有固定的几何形状，它可以通过实常数的方式输入刚度矩阵K和阻尼矩阵C以模拟结构系统的气动刚度和气动阻尼矩阵。

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