CN110321593A - 基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法 - Google Patents

Abstract

一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法，能够满足各种类型的桥梁结构的动挠度预测精度，方法包括：建立倾角‑动挠度方程，在有限元模型中模拟过车，提取倾角、位移时程数据和不同数量下倾角仪布设节点的前3‑前15阶振型向量作为数据集，采用信息熵作为衡量桥梁关键断面位移矩阵相对误差大小指标，得到倾角仪的各阶振型矩阵下的信息熵变化曲线，以桥梁关键断面时程位移的相对误差等于2％、5％为界限确定出临界信息熵，各阶数振型矩阵下出现小于等于临界信息熵最小阶数所对应的累积有效竖桥向模态质量参与率为满足相应精度要求的最小累积有效竖桥向模态质量参与率。本方法能够对桥梁的动挠度预测方程进行准确地构造。

Description

基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法

技术领域

本发明涉及桥梁工程健康监测领域，具体涉及一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法。

背景技术

桥梁动挠度监测是桥梁健康监测系统的重要组成部分，是评定桥梁承载能力、车辆行驶安全性的一项重要指标。近年来随着桥梁健康监测技术的发展，倾角仪被越来越广泛地应用在监测桥梁动挠度的桥梁健康监测系统中。然而，其倾角-动挠度构造原理大多是基于桥梁倾角的曲线积分，这种方法可能造成传感器布设的过度冗余，此外对于大型复杂结构桥梁，即使布置较多的传感器所预测的桥梁动挠度也不一定能够达到精度要求。因此可能造成不必要的人力、物力、财力的浪费，而且在预测桥梁动挠度、判断桥梁是否安全问题中存在着巨大的安全隐患。于是，能够适用于所有类型桥梁结构的基于模态理论的倾角-动挠度转化方法被开始研究，但是选取何种类型、选择多少数量的振型向量来构造其倾角-动挠度转化方程中的振型矩阵才能满足桥梁动挠度的相应预测精度，是一个亟待研究的问题。现有的倾角-动挠度构造方法不能够很好地适用于所有类型的桥梁结构尤其是大型复杂结构桥梁的动挠度监测、因而在预测桥梁动挠度、判断桥梁是否安全问题中存在着巨大的安全隐患，有的能够适用于所有类型桥梁结构，无法保证其预测精度。

发明内容

基于以上不足之处，本发明提出一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法，满足各种类型的桥梁结构的动挠度预测精度。

本发明所采用的技术如下：一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法：

步骤一、建立倾角仪所在桥梁节点的倾角来预测桥梁关键断面位移的倾角-动挠度结构动力学方程；

步骤二、在桥梁有限元模型中创建节点动力荷载来模拟桥面过车，节点动力荷载的大小与实验室载重小车的重量相一致，在桥面上的移动速度与载重小车的过车速度相一致；将有限元模型运行分析，提取出有限元模型中倾角仪布设节点的纵桥向竖直平面内的倾角时程数据与桥梁关键断面的竖向位移时程数据分别作为倾角-动挠度转化方程中倾角值和位移值的数据集，提取出有限元模型中特征值分析采用多重里兹向量法地面加速度Z方向，即竖桥向，分别分解为前3-前15阶的倾角仪布设节点的竖桥向位移振型向量与纵桥向竖直平面内的倾角振型向量作为倾角-动挠度转化方程中位移振型矩阵与倾角振型矩阵的候选集；

步骤三、采用信息熵作为衡量桥梁关键断面位移矩阵相对误差大小的指标，得到布设某固定数量与位置的倾角仪的各阶振型矩阵下的信息熵变化曲线；

步骤四、以预测的有限元模型中桥梁关键断面时程位移的相对误差等于2％、5％为界限确定出临界信息熵，各阶数振型矩阵下出现小于等于临界信息熵的最小阶数所对应的累积有效竖桥向模态质量参与率为满足相应精度要求的最小累积有效竖桥向模态质量参与率。

本发明还具有如下技术特征：

1、如上步骤一中倾角-动挠度结构动力学方程建立步骤如下：

步骤一一、对于梁式结构，根据结构动力学中的振型叠加法建立运动方程：

v_N＝Φ_Nq_m (1)

其中v_N∈R^N×1代表竖向位移矩阵，Φ_N∈R^N×m代表竖向位移振型矩阵，q_m∈R^m×1代表竖向位移矩阵的广义坐标向量矩阵，N代表布设倾角仪的个数，m代表所用阵型向量的阶数，在竖直平面内，Φ_N是关于桥梁纵桥向长度坐标x的函数矩阵，q_m是关于时间t的函数矩阵。

步骤一二、将公式(1)两边同时对x求偏导得：

其中θ_N∈R^N×1是纵桥向竖直平面内的倾角矩阵，Ψ_N∈R^N×m代表纵桥向竖直平面内的倾角振型矩阵，采用穆尔-彭罗斯广义逆来求解Ψ_N的伪逆；

当Ψ_N为列满秩矩阵时：

q_m＝(Ψ_N ^TΨ_N)^-1Ψ_N ^Tθ_N (3)

当Ψ_N为行满秩矩阵时：

q_m＝Ψ_N ^T(Ψ_NΨ_N ^T)^-1θ_N (4)

即使Ψ_N不是满秩矩阵，依然使用MATLAB中的命令来计算它的穆尔-彭罗斯广义逆；

由于q_m仅仅为时间t的函数，因此用来预测同一时刻桥梁其他P个断面的位移：

v_P＝Φ_Pq_m (5)

其中，其中Φ_P∈R^P×m,P代表沿桥梁关键断面测点的P个位置。

2、如上所述的步骤三具体包括如下：采用信息熵作为衡量桥梁关键断面位移矩阵相对误差大小的指标，依据在于：对于服从均值为零，方差为σ²的随机变量s，其概率密度函数为p(s)，则其信息熵为：

设预测桥梁关键断面位移的误差矩阵ε＝[ε¹,···,ε^m,ε^P]∈R^H×P(m＝1,2,···,P)中每个误差向量ε^m服从均值为零，方差为的高斯分布，其中P代表桥梁关键断面的个数，此时模型的信息熵为：

其中为误差向量ε^m方差估计值。

3、如上所述的步骤四具体包括如下：

步骤四一、以预测的有限元模型中桥梁关键断面时程位移的相对误差等于m为界限确定出临界信息熵的步骤，其中，m＝2％或5％；

ε_H×P＝m×v_H×P (8)

其中v_H×P为P个桥梁关键断面的实际时程位移矩阵，它的每一列代表一个关键断面的时程位移数据，其中H为每个测点时程位移数据的长度。

模型的临界信息熵为：

其中Θ_T代表模型的临界信息熵；

步骤四二、确定出临界信息熵后，各阶数振型矩阵下出现小于等于临界信息熵的最小阶数所对应的累积有效竖桥向模态质量参与率为满足相应精度要求的最小累积有效竖桥向模态质量参与率。

本发明的有益效果及优点为：本方法满足各种类型的桥梁结构的动挠度预测精度，极大地避免了不必要的人力、物力、财力的浪费，极大地消除了在预测桥梁动挠度、判断桥梁是否安全问题中所存在的巨大的安全隐患。本发明还能满足桥梁健康监测实时预警子系统的需求，采用基于累积有效竖桥向模态质量参与率的桥梁倾角-动挠度预测方程直接实时地对桥梁关键断面的预测挠度是否超限进行判断识别。本发明提高了桥梁健康监测实时预警子系统智能识别的自动化、智能化、准确性和鲁棒性，为桥梁健康监测动挠度在线实时预警子系统的建立提供了解决方案。

附图说明

图1为三跨连续刚构桥的有限元模型及其关键断面示意图；

图2为模型桥上分别布设5-8个倾角仪传感器时振型矩阵取不同阶数振型向量下的信息熵变化曲线图；

图3为模型桥上分别布设9-12个倾角仪传感器时振型矩阵取不同阶数振型向量下的信息熵变化曲线图；

图4为模型桥上分别布设13-16个倾角仪传感器时振型矩阵取不同阶数振型向量下的信息熵变化曲线图；

图5为三跨连续钢构桥振型矩阵取不同阶数振型向量下的累积有效竖桥向模态质量参与率图；

图6为基于本发明振型矩阵构造方法的倾角-动挠度算法所辨识有限元模型中关键断面时程位移与理论时程位移对比图，其中，(a)左边跨L/4断面；(b)左边跨L/2断面；(c)左边跨3L/4断面；(d)中跨L/4断面；(e)中跨L/2断面；(f)中跨3L/4断面；(g)右边跨L/4断面；(h)右边跨L/2断面；(i)右边跨3L/4断面

图7为倾角仪传感器所测的原始信号图；

图8为小波去噪处理后的倾角信号图；

图9为基于本发明振型矩阵构造方法的倾角-动挠度算法所辨识实验室某三跨连续钢构模型桥关键断面时程位移与实测时程位移对比图，其中(a)左边跨L/4断面；(b)左边跨L/2断面；(c)左边跨3L/4断面；(d)中跨L/4断面；(e)中跨L/2断面；(f)中跨3L/4断面；(g)右边跨L/4断面；(h)右边跨L/2断面；(i)右边跨3L/4断面。

具体实施方式

本发明的具体实施方案，通过结合实验室连续刚构桥Midas有限元模型的数值模拟分析及实验室连续刚构桥的模型实验进行说明。

实施例1

一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法，步骤如下：

步骤一、建立倾角仪所在桥梁节点的倾角来预测桥梁关键断面位移的倾角-动挠度结构动力学方程，方程建立步骤如下：

步骤一一、对于梁式结构，根据结构动力学中的振型叠加法建立运动方程：

v_N＝Φ_Nq_m (1)

其中v_N∈R^N×1代表竖向位移矩阵，Φ_N∈R^N×m代表竖向位移振型矩阵，q_m∈R^m×1代表竖向位移矩阵的广义坐标向量矩阵，N代表布设倾角仪的个数，m代表所用阵型向量的阶数，在竖直平面内，Φ_N是关于桥梁纵桥向长度坐标x的函数矩阵，q_m是关于时间t的函数矩阵。

步骤一二、将公式(1)两边同时对x求偏导得：

其中θ_N∈R^N×1是纵桥向竖直平面内的倾角矩阵，Ψ_N∈R^N×m代表纵桥向竖直平面内的倾角振型矩阵，采用穆尔-彭罗斯广义逆来求解Ψ_N的伪逆；

当Ψ_N为列满秩矩阵时：

q_m＝(Ψ_N ^TΨ_N)^-1Ψ_N ^Tθ_N (3)

当Ψ_N为行满秩矩阵时：

q_m＝Ψ_N ^T(Ψ_NΨ_N ^T)^-1θ_N (4)

即使Ψ_N不是满秩矩阵，依然使用MATLAB中的命令来计算它的穆尔-彭罗斯广义逆；

由于q_m仅仅为时间t的函数，因此用来预测同一时刻桥梁其他P个断面的位移：

v_P＝Φ_Pq_m (5)

其中，其中Φ_P∈R^P×m,P代表沿桥梁关键断面测点的P个位置。

步骤二、在桥梁有限元模型中创建节点动力荷载来模拟桥面过车，节点动力荷载的大小与实验室载重小车的重量相一致，在桥面上的移动速度与载重小车的过车速度相一致；将有限元模型运行分析，提取出有限元模型中倾角仪布设节点的纵桥向竖直平面内的倾角时程数据与桥梁关键断面的竖向位移时程数据分别作为倾角-动挠度转化方程中倾角值和位移值的数据集，提取出有限元模型中特征值分析采用多重里兹向量法地面加速度Z方向(竖桥向)分别分解为前3-前15阶的倾角仪布设节点的竖桥向位移振型向量与纵桥向竖直平面内的倾角振型向量作为倾角-动挠度转化方程中位移振型矩阵与倾角振型矩阵的候选集。

步骤三、采用信息熵作为衡量桥梁关键断面位移矩阵相对误差大小的指标，依据在于：对于服从均值为零，方差为σ²的随机变量s，其概率密度函数为p(s)，则其信息熵为：

设预测桥梁关键断面位移的误差矩阵ε＝[ε¹,···,ε^m,ε^P]∈R^H×P(m＝1,2,···,P)中每个误差向量ε^m服从均值为零，方差为的高斯分布，其中P代表桥梁关键断面的个数，此时模型的信息熵为：

其中为误差向量ε^m方差估计值，从而得到布设某固定数量与位置的倾角仪的各阶振型矩阵下的信息熵变化曲线；

步骤四、以预测的有限元模型中桥梁关键断面时程位移的相对误差等于m为界限确定出临界信息熵的步骤，其中，m＝2％或5％；

ε_H×P＝m×v_H×P (8)

其中v_H×P为P个桥梁关键断面的实际时程位移矩阵，它的每一列代表一个关键断面的时程位移数据，其中H为每个测点时程位移数据的长度。

模型的临界信息熵为：

其中Θ_T代表模型的临界信息熵；

步骤四二、确定出临界信息熵后，各阶数振型矩阵下出现小于等于临界信息熵的最小阶数所对应的累积有效竖桥向模态质量参与率为满足相应精度要求的最小累积有效竖桥向模态质量参与率。

实施例2

实验室某三跨连续刚构桥，其长度为8m，宽度为0.35m。用Midas Civil 2017建立了三跨连续刚构桥的有限元模型，三跨连续刚构桥的有限元模型由200个梁单元和201个节点组成，共有9个关键断面作为桥梁动挠度的监测断面，关键断面的位置分别取每一跨的L/4、L/2、3L/4处的断面，如图1所示三跨连续刚构桥的有限元模型及其关键断面示意图。

一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法，步骤如下：

步骤一、建立倾角仪所在桥梁节点的倾角来预测桥梁关键断面位移的倾角-动挠度结构动力学方程；本实例中建立实验室中三跨连续钢构桥布设的N(N＝5,6,···,16)个倾角仪传感器所在的节点倾角来预测其9个关键断面动挠度的结构动力学方程，提取出有限元模型中特征值分析采用多重里兹向量法地面加速度Z方向(竖桥向)分别分解为前3-前15阶的倾角仪布设节点的竖桥向位移振型向量与纵桥向竖直平面内的倾角振型向量作为倾角-动挠度转化方程中位移振型矩阵与倾角振型矩阵的候选集；

步骤二、在有限元模型中创建节点动力荷载来模拟桥面过车。节点动力荷载的大小为40kg，移动速度为0.12m/s，节点动力荷载从Midas模型桥的一侧加载到另一侧。令采样频率为50Hz，从Midas模型桥中提取出不同数量下倾角仪布设节点的纵桥向竖直平面内倾角的时程数据与桥梁9个关键断面所在节点的竖向时程位移数据作为有限元模型的数据集。

步骤三、采用信息熵作为衡量桥梁关键断面位移矩阵相对误差大小的指标，当位移振型矩阵、倾角振型矩阵分别取有限元模型中特征值分析采用多重里兹向量法地面加速度Z方向(竖桥向)分别分解为前3-前15阶的倾角仪布设节点的竖桥向位移振型向量与纵桥向竖直平面内的倾角振型向量时，计算出分别布设5-16个倾角仪传感器时振型矩阵取不同阶数振型向量下的信息熵变化曲线如图2、图3、图4所示。累积有效竖桥向模态质量参与率随振型矩阵的振型向量阶数的变化关系曲线如图5所示。

步骤四、以预测的有限元模型中桥梁关键断面时程位移的相对误差等于2％为界限确定出临界信息熵Θ_T1＝-20.15，以预测的有限元模型中桥梁关键断面时程位移的相对误差等于5％为界限确定出临界信息熵Θ_T2＝-11.91。从图2、图3、图4中可以看出，当振型矩阵的振型向量数目增加到6及其以上，且当传感器数目增加到一定数量时，信息熵开始小于临界信息熵Θ_T2＝-11.91。从图5中可以看出，当振型矩阵的振型向量数目增加到6及其以上时，累积有效竖桥向模态质量参与率均大于70％。从图3、图4中可以看出，当振型矩阵的振型向量数目增加到10及其以上，且当传感器数目增加到一定数量时，信息熵开始小于临界信息熵Θ_T1＝-20.15。从图5中可以看出，当振型矩阵的振型向量数目增加到10及其以上时，累积有效竖桥向模态质量参与率均大于90％。因此，从理论上可认为当累积有效竖桥向模态质量参与率达到一定的百分比时，安装相应足够数量的倾角仪传感器就能够满足预测桥梁动挠度的相应精度要求。

当振型矩阵的振型向量数目为6阶，累积有效竖桥向模态质量参与率为72.8％时，从图2中可以看出，当布设的传感器数量增加到7时，信息熵开始小于关键断面位移矩阵相对误差为5％时的临界信息熵Θ_T2＝-11.91，因此，从理论上可认为振型矩阵取前6阶振型向量时，布设7个倾角仪传感器即可满足关键断面位移矩阵相对误差为5％的精度要求。当振型矩阵取前6阶振型向量，布设7个倾角仪时，基于本发明振型矩阵构造方法的倾角-动挠度算法所辨识的桥梁有限元模型中9个关键断面所在节点的竖向时程位移曲线与理论竖向时程位移曲线之间的关系如图6。从图6可以看出，所预测的桥梁有限元模型关键断面的竖向时程位移曲线与理论竖向时程位移曲线很好地吻合在一起。

当振型矩阵取前6阶振型向量时，在实验室的三跨连续钢构桥上布设7个倾角仪传感器。载重小车用于模拟经过桥梁的车辆，砝码与模型车的质量均为20kg，载重小车的总质量为40kg，模型载重小车在电机与滑轮装置的共同牵引下在连续钢构桥上以恒定的速度来回移动，载重车的移动速度为0.12m/s。接触式位移计安装在连续钢构桥的9个关键断面下，以测量载重小车在运动过程中桥梁关键断面的实际竖向变形。在实验中，倾角仪和接触式位移计的采样频率均为50Hz。在实验室中，当载重小车以恒定速度在桥上做往返运动时，倾角仪传感器所测的原始信号如图7，对倾角的原始信号做了小波去噪处理后的信号如图8。基于本发明振型矩阵构造方法的倾角-动挠度算法所辨识实验室中三跨连续刚构桥的9个关键断面测点的预测竖向时程位移与实测竖向时程位移的对比图如图9。

由图9可知，基于本发明振型矩阵构造方法的倾角-动挠度算法所辨识桥梁关键断面的预测竖向时程位移曲线与实测竖向时程位移曲线很好地吻合在一起，验证了本发明所构造算法的准确性。

Claims (4)

1.一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法：

步骤一、建立倾角仪所在桥梁节点的倾角来预测桥梁关键断面位移的倾角-动挠度结构动力学方程；

步骤二、在桥梁有限元模型中创建节点动力荷载来模拟桥面过车，节点动力荷载的大小与实验室载重小车的重量相一致，在桥面上的移动速度与载重小车的过车速度相一致；将有限元模型运行分析，提取出有限元模型中倾角仪布设节点的纵桥向竖直平面内的倾角时程数据与桥梁关键断面的竖向位移时程数据分别作为倾角-动挠度转化方程中倾角值和位移值的数据集，提取出有限元模型中特征值分析采用多重里兹向量法地面加速度Z方向，即竖桥向，分别分解为前3-前15阶的倾角仪布设节点的竖桥向位移振型向量与纵桥向竖直平面内的倾角振型向量作为倾角-动挠度转化方程中位移振型矩阵与倾角振型矩阵的候选集；

步骤三、采用信息熵作为衡量桥梁关键断面位移矩阵相对误差大小的指标，得到布设某固定数量与位置的倾角仪的各阶振型矩阵下的信息熵变化曲线；

步骤四、以预测的有限元模型中桥梁关键断面时程位移的相对误差等于2％、5％为界限确定出临界信息熵，各阶数振型矩阵下出现小于等于临界信息熵的最小阶数所对应的累积有效竖桥向模态质量参与率为满足相应精度要求的最小累积有效竖桥向模态质量参与率。

2.根据权利要求1所述的一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法，其特征在于，步骤一中倾角-动挠度结构动力学方程建立步骤如下：

步骤一一、对于梁式结构，根据结构动力学中的振型叠加法建立运动方程：

v_N＝Φ_Nq_m (1)

其中v_N∈R^N×1代表竖向位移矩阵，Φ_N∈R^N×m代表竖向位移振型矩阵，q_m∈R^m×1代表竖向位移矩阵的广义坐标向量矩阵，N代表布设倾角仪的个数，m代表所用阵型向量的阶数，在竖直平面内，Φ_N是关于桥梁纵桥向长度坐标x的函数矩阵，q_m是关于时间t的函数矩阵。

步骤一二、将公式(1)两边同时对x求偏导得：

其中θ_N∈R^N×1是纵桥向竖直平面内的倾角矩阵，Ψ_N∈R^N×m代表纵桥向竖直平面内的倾角振型矩阵，采用穆尔-彭罗斯广义逆来求解Ψ_N的伪逆；

当Ψ_N为列满秩矩阵时：

q_m＝(Ψ_N ^TΨ_N)^-1Ψ_N ^Tθ_N (3)

当Ψ_N为行满秩矩阵时：

q_m＝Ψ_N ^T(Ψ_NΨ_N ^T)^-1θ_N (4)

即使Ψ_N不是满秩矩阵，依然使用MATLAB中的命令来计算它的穆尔-彭罗斯广义逆；

由于q_m仅仅为时间t的函数，因此用来预测同一时刻桥梁其他P个断面的位移：

v_P＝Φ_Pq_m (5)

其中，其中Φ_P∈R^P×m，P代表沿桥梁关键断面测点的P个位置。

3.根据权利要求1所述的一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法，其特征在于，步骤三具体包括：采用信息熵作为衡量桥梁关键断面位移矩阵相对误差大小的指标，依据在于：对于服从均值为零，方差为σ²的随机变量s，其概率密度函数为p(s)，则其信息熵为：

设预测桥梁关键断面位移的误差矩阵ε＝[ε¹,···,ε^m,ε^P]∈R^H×P(m＝1,2,···,P)中每个误差向量ε^m服从均值为零，方差为的高斯分布，其中P代表桥梁关键断面的个数，此时模型的信息熵为：

其中为误差向量ε^m方差估计值。

4.根据权利要求1所述的一种基于累积模态质量参与率的桥梁动挠度振型矩阵构造方法，其特征在于，步骤四具体包括：

步骤四一、以预测的有限元模型中桥梁关键断面时程位移的相对误差等于m为界限确定出临界信息熵的步骤，其中，m＝2％或5％；

ε_H×P＝m×v_H×P (8)

其中v_H×P为P个桥梁关键断面的实际时程位移矩阵，它的每一列代表一个关键断面的时程位移数据，其中H为每个测点时程位移数据的长度。

模型的临界信息熵为：

其中Θ_T代表模型的临界信息熵；

步骤四二、确定出临界信息熵后，各阶数振型矩阵下出现小于等于临界信息熵的最小阶数所对应的累积有效竖桥向模态质量参与率为满足相应精度要求的最小累积有效竖桥向模态质量参与率。