CN102999678A - 一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法 - Google Patents

Abstract

一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法，步骤如下：1、性能指标的数学建模，确定汽车结构的设计变量，根据有限元计算结果确定观测点处的噪声指标，建立多目标优化模型；2、利用区间来描述系统的各不确定参数；3、基于区间序关系和灵敏度分析，对噪声指标进行目标函数的鲁棒性处理；4、基于区间可能度，对约束条件进行可行鲁棒性转换；5、利用改进的泰勒展开方法，变两层嵌套优化问题为常规的单层优化问题；6、对转换后的确定性多目标优化问题求解，确定汽车各部件设计值，以达到最优的降噪效果。本发明可系统化解决含区间参数的汽车降噪问题，增强了对参数变化波动的不敏感性，提高了汽车结构的使用安全性和降噪性能的稳定性。

Description

一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法

技术领域

本发明涉及以降噪为目的汽车结构优化设计方法领域，特别涉及一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法。

背景技术

随着我国航空航天、汽车、船舶等技术密集型产业的快速发展，以及人们对舒适性与安全性要求的提高，使得振动和噪声问题更为突出。其中，汽车舱室内的噪声除损害乘客的身体健康外，还会导致驾驶员的疲劳，从而间接影响到行车安全；过高的噪声产生的结构振动会加速汽车部件的老化，缩短汽车的使用寿命。如何精确的分析汽车等大型复杂结构的噪声特征，通过实施有效的主动措施对结构进行优化设计，改善结构系统的声学特性，成为目前工程领域所关注的核心技术和热点问题之一。

众所周知，不确定性广泛存在于客观世界中，汽车等工程结构在生产设计和使用中不可避免地要遇到载荷、结构尺寸、材料特性等的不确定性影响及各种突发性外在因素的影响，这些都会对结构的振动特性及噪声指标产生影响，导致结构不能正常使用，甚至出现失效的可能性。传统的汽车结构噪声分析和优化设计都是基于确定性模型实施的，不能体现出实际问题含有不确定性的客观本质，常常这些设计方案会带来材料的大量浪费以及一定的不安全因素。

为尽可能降低各种不确定性对汽车舒适性能的影响，设计者应在设计阶段就预测可能发生的变化，并采取相应的主动控制措施，增强参数变化波动的不敏感性，从而提高汽车结构的使用安全性和降噪性能的稳定性，这就是基于鲁棒理念进行汽车降噪方法研究的初衷。对于实际的汽车降噪问题，要获得足够的不确定性信息，来构造相关参数的概率分布函数或模糊隶属度函数往往显得非常困难或成本过高。而区间优化是一类相对较新的不确定性优化方法，它利用区间描述变量的不确定性，只需要通过较少的信息获得变量的上下界，因此体现出更好的方便性和经济性。另外，汽车噪声指标相对结构参数来说均是非线性的，而非线性区间优化的复杂程度和求解的困难程度要远远高于线性区间优化，国内外对其研究工作也只在最近几年才开始展开。因此，提出基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法，对于弥补现有汽车结构噪声分析和优化设计的不足，具有重要的工程应用价值。

发明内容

本发明的技术解决问题：克服现有技术的有关汽车降噪的结构优化存在的不足，提供一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法，将鲁棒优化的理念引入到含有区间不确定参数的汽车结构优化实际问题中，得到了一种降低舱室噪声水平的汽车结构稳健性设计方案。

本发明技术解决方案：一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法，包括以下步骤：

步骤一：确定需要进行优化设计的汽车结构的基本设计变量以及相关的设计参数，其中基本设计变量x＝(x₁,x₂,x₃,x₄)^T包括：

x₁、x₂、x₃、x₄：分别表示前窗玻璃、后窗玻璃、车顶、车身的厚度；

根据实际物理意义和厚度尺寸约束，确定以上设计变量的初始范围；

设计参数包括三种固体材料的物理属性，如材料密度ρ_i，弹性模量E_ii＝1,2,3；舱室内空气的密度ρ以及声音在空气中的传播速度v；汽车车顶所承受的外载激励幅值F。为方便起见，将此优化模型中所涉及到的所有设计参数表示为向量α的形式，即：

α＝(ρ₁,ρ₂,ρ₃,E₁,E₂,E₃,ρ,v,F)^T

步骤二：建立汽车结构和舱内流体的有限元模型，采用耦合数值计算方法对此结构-声场耦合系统进行频域分析，求得各节点在不同频率下的声压级L_p(α,x,ω_i)。分析步长设定为2Hz，选取80Hz-100Hz域内的11个离散频率。将座位上两个观测点处的平均声压级

作为衡量车内噪声水平的指标，即：

$L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}(\mathrm{\α},x)=\frac{1}{11}\underset{i=1}{\overset{11}{\mathrm{\Σ}}}{L}_p^{\left(1\right)}(\mathrm{\α},x,{\mathrm{\ω}}_i)$

$L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}(\mathrm{\α},x)=\frac{1}{11}\underset{i=1}{\overset{11}{\mathrm{\Σ}}}{L}_p^{\left(2\right)}(\mathrm{\α},x,{\mathrm{\ω}}_i)$

根据以上声学计算结果，以车内两个观测点处的平均声压级作为设计目标，以结构的总质量不超过初值，各部件的最大应力不超过许用应力作为约束条件，不妨统一表示为g_j(α,x)≤0j＝1,2...m，j为约束编号，m代表约束的个数；建立如下一个非线性多目标优化模型：

$\underset{x}{\min }f(\mathrm{\α},x)=(f_1(\mathrm{\α},x),f_2(\mathrm{\α},x),...,f_k(\mathrm{\α},x))$

s.t.g_j(α,x)≤0j＝1,2,...,m

$\underset{\‾}{x}\≤x\≤\stackrel{\‾}{x}$

其中x,

是步骤一中所定义的设计变量初始范围的上下界；k为目标函数的个数。

步骤三：充分考虑实际工程问题的不确定性，利用区间来描述此结构-声场耦合系统的各不确定参数

其中α^I为一区间向量， α分别表示参数向量α的上下界。

步骤四：目标函数鲁棒性实现

当汽车降噪优化模型中的设计参数向量α在其区间范围内变化时，步骤二中各目标函数不再是传统意义上的固定函数，而是转化为区间函数。需要对非线性多目标优化模型的每个目标函数做针对性的鲁棒化处理，使性能指标受设计变量和设计参数不确定因素影响的波动范围尽可能的小。具体的处理方法有如下两种：

（1）基于区间序关系的目标函数鲁棒性实现

在对步骤二所建立的优化模型进行求解时，需要比较不同设计向量下的目标函数区间的优劣。对于极小化问题，定义如下的区间序关系“≤_cw”，用于定性的判断区间数 $A^I=[\underset{\‾}{A},\stackrel{\‾}{A}]$ 和 $B^I=[\underset{\‾}{B},\stackrel{\‾}{B}]$ 之间的优劣关系：

其中

为区间数A^I的中点，

为区间数A^I的半径；同理，

为区间数B^I的中点，

为区间数B^I的半径。该序关系表达了决策者对区间中点和半径的偏好，这与鲁棒优化设计中对目标函数的鲁棒性要求是一致的。因此步骤二优化模型中的目标函数f_i(α,x)1≤i≤k，在

条件下就转化为该区间函数的中点最小和半径最小的双目标函数，即：

$\min f_i({\mathrm{\α}}^I,x)=\min (f_i^c({\mathrm{\α}}^I,x),f_i^w({\mathrm{\α}}^I,x))$

其中 $f_i^c({\mathrm{\α}}^I,x)=\frac{{\stackrel{\‾}{f}}_i({\mathrm{\α}}^I,x)+\underset{\‾}{f_i}({\mathrm{\α}}^I,x)}{2},$ $f_i^w({\mathrm{\α}}^I,x)=\frac{{\stackrel{\‾}{f}}_i({\mathrm{\α}}^I,x)+\underset{\‾}{f_i}({\mathrm{\α}}^I,x)}{2}.$

而由于设计参数不确定性造成的目标函数上下界由下式定义：

${\stackrel{\‾}{f}}_i({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\max }{f}_i(\mathrm{\α},x)$ $\underset{\‾}{f_i}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\min }{f}_i(\mathrm{\α},x)$

（2）基于灵敏度分析的目标函数鲁棒性实现

为了使性能函数对不确定性参数的变化不太敏感，则在原区间结构优化设计问题目标函数f_j(α,x)1≤j≤k中增加一个关于目标函数灵敏度的新函数，构成一个多目标优化设计问题，即：

minf_j(α^I,x)＝min(f_j(α^c,x),δf_j(α^c,x))

为方便起见，本发明采用泰勒展式中的线性项来逼近δf_j(α^c,x)，即：

$\mathrm{\δ}{f}_j({\mathrm{\α}}^c,x)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\frac{\∂f_j(\mathrm{\α},x)}{\∂{\mathrm{\α}}_i}\right|}_{{\mathrm{\α}}^c}|{{\mathrm{\α}}_i}^w$

其中α^c为区间参数向量的中值；α_i ^w为区间参数α_i的半径；l为所有区间参数的数量。

步骤五：约束条件鲁棒性实现

考虑到设计者对约束条件可以容忍某种程度破坏的前提下，针对决策者的偏好信息，给出约束条件的可能度指标，利用区间可能度的计算公式，建立约束条件的鲁棒转化模型，在计及各种变量波动变化条件下，使得设计点仍在可行域内，满足可行鲁棒性的要求。具体的处理方法有如下两种：

（1）基于最坏情况的转换模型

最坏情况分析法就是假定所有不确定因素以一种最差的组合方式同时发生，是不确定因素对约束性能影响的一种最坏情况。分析约束函数在这种情况下可行域的变化状态，并强制将原约束的可行域减小到能保证所有优化解始终位于可行域的范围内，满足下式：

${\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≤0$ j＝1,2,...,m

其中表示由设计参数不确定性造成的约束函数的上界，即：

${\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\max }{g}_j(\mathrm{\α},x)$

通过限制约束函数波动的最大幅度，来获取设计解的鲁棒可行性。这种基于最坏情况的数学转化模型适合于某些对约束鲁棒性有着极高要求的场合。

（2）基于偏好信息的转换模型

若决策者要求第j个约束条件成立的可能性为

那么此约束条件可以表示为：

其中为决策者对约束条件鲁棒可行性的要求，取值在0到1之间；Poss表示条件成立的概率，可以通过如下区间可能度计算公式来求解：

$\mathrm{Poss}(g_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≤0)=\left\{\begin{array}{cc}1& {\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≤0\\ -\frac{{\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)}{{\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)-{\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)}& {\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≤0\≤{\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\\ 0& {\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≥0\end{array}\right.$

其中 g _j(α^I,x)分别为区间函数g_j(α^I,x)的上界和下界，即：

${\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\max }{g}_j(\mathrm{\α},x)$ ${\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\min }{g}_j(\mathrm{\α},x)$

步骤六：嵌套优化问题的简化处理

通过步骤四和步骤五的处理，步骤二中建立的优化模型转换为复杂的嵌套优化问题。外层优化用于设计向量的寻优，而内层优化则用于计算不确定目标函数和约束函数的区间上下界。对于非线性程度比较高的函数，传统线性逼近方法可以近似求得非线性函数的上下界，但有时会带来比较大的偏差。本发明借助于改进的泰勒展开方法，可以快速准确的确定含区间参数非线性函数的响应范围，从而避免了区间优化中的内层优化，变两层嵌套优化问题为常规的单层优化问题，从而大大提高了优化计算效率。具体实施方法如下：

对于含有区间参数向量α＝(α₁,α₂,...,α_l)^T的函数u(α₁,α₂,...,α_l)，首先通过空间近似曲面的导轨生成方式得到此函数的近似表示：

$u\left(\mathrm{\α}\right)=u({\mathrm{\α}}_1,{\mathrm{\α}}_2,...,{\mathrm{\α}}_2)=\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j\right)-(l-1)\·u\left({\mathrm{\α}}^c\right)$

其中 $\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j\right)=u(0,...,{\mathrm{\α}}_j,...,0)$ j＝1,2,...,l

然后，借助于泰勒展式，容易得到函数u(α₁,α₂，...,α_l)在

条件下最大值和最小值：

$\stackrel{\‾}{u}\left(\mathrm{\α}\right)=\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}[\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j^c\right)+|\frac{\∂\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j^c\right)}{\∂{\mathrm{\α}}_j}\left|{\mathrm{\α}}_j^w\right]-(l-1)\·u\left({\mathrm{\α}}^c\right)$

$\underset{\‾}{u}\left(\mathrm{\α}\right)=\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}[\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j^c\right)+|\frac{\∂\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j^c\right)}{\∂{\mathrm{\α}}_j}\left|{\mathrm{\α}}_j^w\right]-(l-1)\·u\left({\mathrm{\α}}^c\right)$

如此一来，通过区间分析方法，可近似求得非线性区间目标函数和约束函数的上下界，避免了区间优化中的内层优化，变两层嵌套优化问题为常规的单层优化问题，从而大大提高了优化计算效率。

步骤七：确定性多目标优化问题的求解

根据步骤四中关于目标函数和步骤五中关于约束条件的鲁棒性处理方法，以及步骤六中对嵌套优化问题的简化处理，原含区间参数的非线性多目标优化问题转化为目标函数数量扩张的单层确定性优化问题。采用模拟退火算法，编写适用于多目标优化的计算程序，定义最大循环次数Iter_max和收敛因子ε，当如下3个条件中的任一个得到满足时，计算终止：

（1）循环迭代次数n＞Iter_max；

（2）在连续两次迭代过程中，目标函数相对变化量满足

（3）||x⁽ⁱ⁺¹⁾-x⁽ⁱ⁾||₂＜ε；

其中f_kk＝1,2,...表示转换后所得优化模型中所有的目标函数；|| ||₂表示向量的2范数。

当达到条件（1）时，给定设计变量新的初值，并带入到算法中重新计算；当算法因条件（2）或（3）终止时，取第i次迭代过程的计算结果x⁽ⁱ⁾作为设计变量的最优值，完成以汽车降噪为目的的鲁棒优化设计过程。以达到最优的降噪效果。

本发明与现有技术相比的优点在于：

（1）鉴于汽车噪声舱室内指标关于结构参数呈现非线性的特点，针对性地提出了非线性区间优化模型的转化原则及高效的求解方法，扩大了不确定优化方法在汽车降噪领域中的应用范围。

（2）与传统的汽车降噪优化问题相比，所建立的优化模型充分考虑到实际工程中材料参数的不确定性，从而提高汽车结构的使用安全性和降噪性能的稳定性，计算结果对汽车结构设计具有更重要的指导意义。

（3）基于区间序关系和灵敏度分析，对优化模型中的目标函数和约束条件采用不同的鲁棒处理方法，充分满足了汽车舱室噪声指标对结构参数变化波动不敏感的设计需要。

（4）基于改进的泰勒展开方法，提高了近似求解非线性函数响应区间的精度，可以快速、准确的求得汽车声学性能指标等非线性函数的响应范围，从而避免了嵌套优化问题中的内层优化，大大提高了含区间参数汽车降噪问题的优化效率。

附图说明

图1汽车降噪的非线性多目标区间鲁棒优化流程；

图2汽车结构-声场耦合系统有限元模型示意图；

图3目标函数鲁棒性实现原理示意图；

图4约束条件鲁棒性实现原理示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

为了详细介绍本发明，首先介绍本发明中使用的区间分析操作的数学定义及其基本的四则运算法则。

设R为实数域，对于给定的两个实数

且

则：

$x^I=[\underset{\‾}{x},\stackrel{\‾}{x}]=\{x\∈R|\underset{\‾}{x}\≤x\≤\stackrel{\‾}{x}\}---\left(1\right)$

称为有界闭区间，也叫区间数，简称区间。其中称x为区间的下界或下端点，称

为区间的上界或上端点。如果两个区间

和相应的上下端点分别相等，则称此两个区间相等，即若x＝y且

则x^I＝y^I。另外称

和

分别为区间x^I的中点和半径。

对于实数域内任意的两个区间

其区间四则运算定义为：

$x^I+y^I=[\underset{\‾}{x},\stackrel{\‾}{x}]+[\underset{\‾}{y},\stackrel{\‾}{y}]=[\underset{\‾}{x}+\underset{\‾}{y},\stackrel{\‾}{x}+\stackrel{\‾}{y}]$

$x^I-y^I=[\underset{\‾}{x},\stackrel{\‾}{x}]+[\underset{\‾}{y},\stackrel{\‾}{y}]=[\underset{\‾}{x}-\stackrel{\‾}{y},\stackrel{\‾}{x}-\underset{\‾}{y}]$                                                         (2)

$x^I\·y^I=[\underset{\‾}{x},\stackrel{\‾}{x}]\·[\underset{\‾}{y},\stackrel{\‾}{y}]=\left[\min \right\{\underset{\‾}{x}\underset{\‾}{y},\underset{\‾}{x}\stackrel{\‾}{y},\stackrel{\‾}{x}\underset{\‾}{y},\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\},$ $\max \{\underset{\‾}{x}\underset{\‾}{y},\underset{\‾}{x}\stackrel{\‾}{y},\stackrel{\‾}{x}\underset{\‾}{y},\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\}]$

$x^I/x^I=[\underset{\‾}{x},\stackrel{\‾}{x}]/[\underset{\‾}{y},\stackrel{\‾}{y}]=[\underset{\‾}{x},\stackrel{\‾}{x}]\·[1/\stackrel{\‾}{y},1/\underset{\‾}{y}]$ $0\∉y^I$

以下详细介绍基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法：

本发明适用于含有区间不确定参数的汽车结构多目标优化问题。本实施方式以汽车舱室降噪为例，具体说明所述的区间鲁棒优化方法，其中涉及到的噪声指标等均为结构物理参数的非线性函数。另外，此汽车降噪的非线性多目标区间鲁棒优化方法可以推广到其他含有区间参数的复杂结构的优化设计中。

汽车结构-声场耦合系统有限元模型如图2所示：汽车结构如前后窗玻璃、车顶、车声、仪器板等用二维四边形壳单元来模拟，座椅用三维六面体固体单元来模拟，舱室内的空气用三维六面体流体单元来模拟。在驾驶员和乘客所在位置提取两个节点，作为观测点。观测点处的声学指标用来衡量舱室内的平均噪声水平。

此汽车降噪的优化过程如图1所示，充分考虑系统本身及外载荷的不确定性，利用区间对不确定参数进行定量化描述，基于区间序关系和区间可能度建立优化问题中目标函数和约束条件的转换模型，同时利用改进的泰勒展开方法快速求得非线性区间函数的上下界。采用模拟退火算法，编写适用于多目标优化的计算程序，可根据设计者所关注的噪声指标选取最优的汽车结构设计变量值。可分为如下几个步骤进行：

步骤一：确定需要进行优化设计的汽车结构的基本设计变量以及相关的设计参数，其中基本设计变量x＝(x₁,x₂,x₃,x₄)^T包括：

x₁、x₂、x₃、x₄：分别表示前窗玻璃、后窗玻璃、车顶、车身的厚度。

初始设计时，设计变量的厚度设定为x₁＝45mm,x₂＝61mm,x₃＝26mm,x₄＝63mm。

为了保证结构的强度要求和质量要求，以上设计变量有自身的尺寸要求，即：

10mm≤x_i≤70mmi＝1,2,3,4

此汽车结构模型中，前后窗采用密度ρ₁＝3090kg/m³，弹性模量E₁＝70GPa的玻璃材料；车顶和车身结构采用密度ρ₂＝8500kg/m³，弹性模量E₂＝200GPa的金属材料；仪器板和座椅采用密度ρ₃＝1.104kg/m³，弹性模量E₃＝3.3MPa的泡沫材料；舱室内空气的密度为ρ＝1.225kg/m³，声音在空气中的传播速度为v＝340m/s；汽车车顶承受幅值为F＝5N的简谐激励。为方便起见，将此优化模型中所涉及到的所有设计参数表示为向量α的形式α＝(ρ₁,ρ₂,ρ₃,E₁,E₂,E₃,ρ，v,F)^T；

步骤二：根据图2所示的汽车有限元模型，采用耦合数值计算方法对此结构-声场耦合系统进行频域分析，求得各节点在不同频率下的声压级L_p(α,x,ω_i)。分析步长设定为2Hz，选取80Hz-100Hz域内的11个离散频率。提取两个观测点处的平均声压级

作为衡量车内噪声水平的指标，即：

$L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}(\mathrm{\α},x)=\frac{1}{11}\underset{i=1}{\overset{11}{\mathrm{\Σ}}}{L}_p^{\left(1\right)}(\mathrm{\α},x,{\mathrm{\ω}}_i)$

$L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}(\mathrm{\α},x)=\frac{1}{11}\underset{i=1}{\overset{11}{\mathrm{\Σ}}}{L}_p^{\left(2\right)}(\mathrm{\α},x,{\mathrm{\ω}}_i)$

其中ω_i为离散频率，满足ω_i＝[80+2×(i-1)]Hzi＝1,2,...,11。另外，需要说明的是，舱内的噪声指标是关于物理参数的一种复杂的非线性表达，从理论上直接求解是非常困难的，所以本发明依托与有限元数值计算的结果来进行。

以两个观测点处的平均声压级

和

作为设计目标，以结构的总质量不超过初值4168kg为约束条件，建立如下一个非线性多目标优化模型：

$\underset{x}{\min }f(\mathrm{\α},x)=(L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}(\mathrm{\α},x),L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}(\mathrm{\α},x))$

s.t.M(α,x)≤4168kg

10mm≤x_i≤70mm i＝1,2,3,4

步骤三：充分考虑实际工程问题的不确定性，由于信息量较少，本发明中利用区间来描述此结构-声场耦合系统的各不确定参数。不妨设定步骤一中所列出的各设计参数在其中值附近存在5%的摄动，即α∈α^I＝α^c*[0.95,1.05]；

步骤四：目标函数鲁棒性实现

当优化模型中的设计参数向量α在其区间范围α^I＝α^c*[0.95,1.05]内变化时，步骤二中所计算得到的观测点处的平均声压级

和

不再是传统意义上的固定函数，而是转化为区间函数，设计参数的不确定性对目标函数的影响如图3所示，其中x_a、x_b分别表示传统最优解和鲁棒最优解，Δp为不确定参数的波动量。在相同的设计参数波动范围Δp内，鲁棒最优解x_b所对应的性能波动值Δf_b明显小于传统优化解x_a所对应的性能波动值Δf_a。因此，需要对这两个非线性目标函数做针对性的鲁棒化处理，使噪声指标受设计参数不确定因素影响的波动范围尽可能的小。目标函数鲁棒性的实现方法为：基于不同的衡量标准，可以灵活建立评估目标函数区间“好坏”的比较原则，即所谓的区间序关系；同时也可以通过级数展开方法建立目标函数对不确定参数的灵敏度函数，二者均是通过增加额外的目标函数来降低性能指标受不确定因素影响的波动范围，以满足目标鲁棒性的要求，具体的处理方法为：

（1）基于区间序关系的目标函数鲁棒性实现

在对步骤二所建立的优化模型进行求解时，需要比较不同设计向量下的目标函数区间的优劣。对于本实施方案中的极小化问题，定义如下的区间序关系“≤_cw”，用于定性的判断区间数 $A^I=[\underset{\‾}{A},\stackrel{\‾}{A}]$ 和 $B^I=[\underset{\‾}{B},\stackrel{\‾}{B}]$ 之间的优劣关系：

其中

为区间数A^I的中点，

为区间数A^I的半径；同理，

为区间数B^I的中点，

为区间数B^I的半径。该序关系表达了决策者对区间中点和半径的偏好。步骤二优化模型中，基于观测点1的目标函数

采用此鲁棒性实现方法，则在

条件下就转化为该区间函数的中点最小和半径最小的双目标函数，即：

$\min L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)=\min ({L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}}^c({\mathrm{\α}}^I,x),{L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}}^w({\mathrm{\α}}^I,x))---\left(4\right)$

其中 ${L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}}^c({\mathrm{\α}}^I,x)=\frac{{\stackrel{\‾}{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)+{\underset{\‾}{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)}{2},$ ${L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}}^w({\mathrm{\α}}^I,x)=\frac{{\stackrel{\‾}{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)-{\underset{\‾}{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)}{2}.$

而由于设计参数不确定性造成的目标函数上下界由下式定义：

${\stackrel{\‾}{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\max }{L}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}(\mathrm{\α},x)$ ${\underset{\‾}{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\min }{L}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}(\mathrm{\α},x)---\left(5\right)$

（2）基于灵敏度分析的目标函数鲁棒性实现

为了使噪声性能函数对不确定性参数的变化不太敏感，则在步骤二优化设计问题中基于观测点2的目标函数

中增加一个关于目标函数灵敏度的新目标函数，构成一个多目标优化设计问题，即：

$\min L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)=\min (L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}({\mathrm{\α}}^c,x),\mathrm{\δ}{L}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}({\mathrm{\α}}^c,x))---\left(6\right)$

本发明采用一阶泰勒展开来逼近

即：

$\mathrm{\δ}{L}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}({\mathrm{\α}}^c,x)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\frac{\∂L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}(\mathrm{\α},x)}{\∂{\mathrm{\α}}_i}\right|}_{{\mathrm{\α}}^c}|{{\mathrm{\α}}_i}^w=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}|\frac{\∂L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}({\mathrm{\α}}^c,x)}{\∂{\mathrm{\α}}_i}|{{\mathrm{\α}}_i}^w$

其中α^c为区间参数向量的中值；α_i ^w为区间参数α_i的半径；l＝9为本实施方案总系统所有区间参数的个数。

步骤五：约束条件鲁棒性实现

考虑到设计者对约束条件可以容忍某种程度破坏的前提下，针对决策者的偏好信息，给出约束条件的可能度指标，利用区间可能度的计算公式，建立约束条件的鲁棒转化模型，在计及各种变量波动变化条件下，使得设计点仍在可行域内，满足可行鲁棒性的要求，如图4所示。图中A和B分别表示传统最优解和鲁棒最优解，实线和虚线是分别表示传统优化和鲁棒优化所对应的可行域边界。可以看出，传统最优解A往往位于可行域边界或其附近，但是由于不确定性因素的影响，约束条件会发生变化，其中一种情况就是可行域边界从实线变化到虚线，那么传统最优解A位于新可行域之外，不符合设计要求；而鲁棒最优解B则仍满足新约束条件的要求。约束条件鲁棒性的实现有两种方法：基于最坏情况的转换模型、基于偏好信息的转换模型。本实施方案中，为了达到更好的汽车降噪效果，允许结构总质量适当程度的超出初始值，因此采用上述第二种模型来处理原优化模型中的约束条件。

要求优化模型(3)式中的关于汽车结构总质量约束条件成立的可能性为

即：

其中

为决策者对约束条件鲁棒可行性的要求；Poss表示该条件成立的概率，具体的可以通过如下区间可能度计算公式来求解：

$\mathrm{Poss}(M({\mathrm{\α}}^I,x)\≤4168\mathrm{kg})=\left\{\begin{array}{cc}1& \stackrel{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)\≤4168\mathrm{kg}\\ \frac{4186-\underset{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)}{\stackrel{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)-\underset{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)}& \underset{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)\≤4168\mathrm{kg}\≤\stackrel{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)\\ 0& \underset{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)\≥4168\mathrm{kg}\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中

M(α^I,x)分别为区间函数M(α^I,x)的上界和下界，即：

$\stackrel{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\max }M(\mathrm{\α},x)$ $\underset{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\min }M(\mathrm{\α},x)---\left(9\right)$

步骤六：嵌套优化问题的简化处理

通过步骤四和步骤五的处理，步骤二中建立的优化模型转换为复杂的嵌套优化问题。外层优化用于设计向量x＝(x₁,x₂,x₃,x₄)^T的寻优，而内层优化则用于计算不确定目标函数

和约束函数M(α^I,x)关于区间设计参数α^I的上下界，如式(5)、(9)所示。对于非线性程度比较高的函数，传统线性逼近方法会带来比较大的偏差。本发明借助于改进的泰勒展开方法，可以快速准确的确定含区间参数非线性函数的响应范围，从而避免了区间优化中的内层优化，变两层嵌套优化问题为常规的单层优化问题，从而大大提高了优化计算效率。具体实施方法如下：

首先通过空间近似曲面的导轨生成方式得到区间函数

M(α^I,x)的近似表

$L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{j=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}_j,x)-8\·L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^c,x)$                               (10)

$M({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{j=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{M}({\mathrm{\α}}_j,x)-8\·M({\mathrm{\α}}^c,x)$

其中 ${\tilde{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}_j,x)=L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}(0,...,{\mathrm{\α}}_j,...,0,x)$ $\tilde{M}({\mathrm{\α}}_j,x)=M(0,...,{\mathrm{\α}}_j,...,0,x)$ j＝1,2,...,9

然后，借助于泰勒展式，容易得到(10)式所示函数在

条件下最大值和最小值

${\stackrel{\‾}{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{j=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}[{\tilde{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}_j^c,x)+|\frac{\∂{\tilde{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}_j^c,x)}{\∂{\mathrm{\α}}_j}\left|{\mathrm{\α}}_j^w\right]-8\·L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^c,x)$

${\underset{\‾}{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{j=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}[{\tilde{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}_j^c,x)+|\frac{\∂{\tilde{L}}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}_j^c,x)}{\∂{\mathrm{\α}}_j}\left|{\mathrm{\α}}_j^w\right]-8\·L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}({\mathrm{\α}}^c,x)$               (11)

$\stackrel{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{j=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}[\tilde{M}({\mathrm{\α}}_j^c,x)+|\frac{\∂\tilde{M}({\mathrm{\α}}_j^c,x)}{\∂{\mathrm{\α}}_j}\left|{\mathrm{\α}}_j^w\right]-8\·M({\mathrm{\α}}^c,x)$

$\underset{\‾}{M}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{j=1}{\overset{9}{\mathrm{\Σ}}}[\tilde{M}({\mathrm{\α}}_j^c,x)+|\frac{\∂\tilde{M}({\mathrm{\α}}_j^c,x)}{\∂{\mathrm{\α}}_j}\left|{\mathrm{\α}}_j^w\right]-8\·M({\mathrm{\α}}^c,x)$

如此一来，通过区间分析方法，可近似求得式(5)、(9)中非线性区间目标函数和约束函数的上下界，变两层嵌套优化问题为常规的单层优化问题，从而大大提高了优化计算效率。

步骤七：确定性多目标优化问题的求解

通过步骤四中对目标函数和步骤五中对约束条件的鲁棒性处理，基于(4)、(6)、(7)式，可以将(3)所示的优化模型转化为目标函数数量扩张的确定性优化问题：

$\underset{x}{\min }({L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}}^c({\mathrm{\α}}^I,x),{L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(1\right)}}^w({\mathrm{\α}}^I,x),L_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}({\mathrm{\α}}^c,x),\mathrm{\δ}{L}_{p-\mathrm{ave}}^{\left(2\right)}({\mathrm{\α}}^c,x))$

s.t.Poss(M(α^I,x)≤4168kg)≥0.9                   (12)

10mm≤x_i≤70mm i＝1,2,3,4

利用步骤六中对嵌套优化问题的简化处理，变两层嵌套优化为常规的单层优化。采用模拟退火算法，编写适用于此多目标优化的计算程序。考虑到计算精度和计算耗费之间的关系，定义最大循环次数Iter_max＝2000和收敛因子ε＝10^-4，当如下3个条件中的任一个得到满足时，计算终止：

（1）循环迭代次数n＞Iter_max；

（2）在连续两次迭代过程中，目标函数相对变化量满足

（3）||x⁽ⁱ⁺¹⁾-x⁽ⁱ⁾0₂＜ε；

其中f_kk＝1,2,3,4表示(12)式中的四个目标函数；|| ||₂表示向量的2范数。

当达到条件（1）时，给定设计变量新的初值，并带入到算法中重新计算；当算法因条件（2）或（3）终止时，取第i次迭代过程的计算结果x⁽ⁱ⁾作为设计变量的最优值，完成此汽车降噪的鲁棒优化设计，得到汽车结构各部件的最优设计值，达到最优的降噪效果。

以上所述的仅为本发明的较佳实施例而已，本发明不仅仅局限于上述实施例，凡在本发明的精神和原则之内所作的局部改动、等同替换、改进等均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一：确定需要进行优化设计的汽车结构的基本设计变量以及相关的设计参数，其中所述基本设计变量x＝(x₁,x₂,x₃,x₄)^T包括：前窗玻璃、后窗玻璃、车顶、车身的厚度；根据实际物理意义，确定以上设计变量的初始范围；所述设计参数包括材料的物理属性及结构所承受的外载激励；为方便起见，所有设计参数表示为向量α的形式；

步骤二：建立汽车结构和舱内空气的有限元模型，采用耦合数值计算方法对此汽车结构-声场耦合系统进行频域分析，求得各节点在不同频率下的声压级，以汽车内观测点处的平均声压级作为设计目标，以汽车结构的总质量不超过初值，各部件的最大应力不超过许用应力作为约束条件，建立如下一个非线性多目标优化模型：

$\underset{x}{\min }f(\mathrm{\α},x)=(f_1(\mathrm{\α},x),f_2(\mathrm{\α},x),...,f_k(\mathrm{\α},x))$

s.t.g_j(α,x)≤0j＝1,2,...,m

$\underset{\‾}{x}\≤x\≤\stackrel{\‾}{x}$

其中x,

是步骤一中所定义的设计变量初始范围的上下界；k为目标函数的个数；

步骤三：充分考虑实际工程问题的不确定性，利用区间来描述此汽车结构-声场耦合系统中的各个不确定参数其中α^I为一区间向量， α分别表示参数向量α的上下界；

步骤四：目标函数鲁棒性实现

（41）基于区间序关系的目标函数鲁棒性实现

定义如下的区间序关系“≤_cw”，用于定性的判断区间数

和之间的优劣关系：

其中

为区间数A^I的中点，

为区间数A^I的半径。步骤二优化模型中的部分目标函数f_i(α,x)1≤i≤k，在

条件下就转化为该区间函数的中值最小和半径最小的双目标函数，即：

$\min f_i({\mathrm{\α}}^I,x)=\min (f_i^c({\mathrm{\α}}^I,x),f_i^w({\mathrm{\α}}^I,x))$

其中 $f_i^c({\mathrm{\α}}^I,x)=\frac{{\stackrel{\‾}{f}}_i({\mathrm{\α}}^I,x)+\underset{\‾}{f_i}({\mathrm{\α}}^I,x)}{2},$ $f_i^w({\mathrm{\α}}^I,x)=\frac{{\stackrel{\‾}{f}}_i({\mathrm{\α}}^I,x)+\underset{\‾}{f_i}({\mathrm{\α}}^I,x)}{2};$

而由于设计参数不确定性造成的目标函数上下界由下式定义：

${\stackrel{\‾}{f}}_i({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\max }{f}_i(\mathrm{\α},x)$ $\underset{\‾}{f_i}({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\min }{f}_i(\mathrm{\α},x);$

（42）基于灵敏度分析的目标函数鲁棒性实现

在原区间结构优化设计问题目标函数f_i(α,x)1≤j≤k中增加一个关于目标函数灵敏度的新函数，构成一个多目标优化设计问题，即：

minf_j(α^I,x)＝min(f_j(α^c,x),δf_j(α^c,x))

其中灵敏度函数δf_j(α^c,x)采用泰勒展式近似地表示为：

$\mathrm{\δ}{f}_j({\mathrm{\α}}^c,x)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\frac{\∂f_j(\mathrm{\α},x)}{\∂{\mathrm{\α}}_i}\right|}_{{\mathrm{\α}}^c}|{{\mathrm{\α}}_i}^w$

其中α^c为区间参数向量的中值；α_i ^w为区间参数α_i的半径；l为所有区间参数的个数；

步骤五：约束条件鲁棒性实现

针对决策者的偏好信息，给出约束条件的可能度指标，利用区间可能度的计算公式，建立约束条件的鲁棒转化模型：

（51）基于最坏情况的转换模型

强制将原约束的可行域减小到能保证所有优化解始终位于可行域的范围内，即：

${\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≤0$ j＝1,2,...,m

其中 ${\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)$ 表示约束函数的上界，即 ${\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\max }{g}_j(\mathrm{\α},x);$

这种基于最坏情况的数学转化模型适合于某些对约束鲁棒性有着极高要求的场合；

（52）基于偏好信息的转换模型

若决策者要求第j个约束条件成立的可能性为

那么此约束条件表示为：

其中

为决策者对约束条件鲁棒可行性的要求，取值在0到1之间；Poss表示条件成立的概率，通过如下区间可能度计算公式来求解：

$\mathrm{Poss}(g_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≤0)=\left\{\begin{array}{cc}1& {\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≤0\\ -\frac{{\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)}{{\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)-{\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)}& {\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≤0\≤{\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\\ 0& {\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)\≥0\end{array}\right.$

其中

g _j(α^I,x)分别为区间函数g_j(α^I,x)的上界和下界，即：

${\stackrel{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\max }{g}_j(\mathrm{\α},x)$ ${\underset{\‾}{g}}_j({\mathrm{\α}}^I,x)=\underset{\mathrm{\α}\∈{\mathrm{\α}}^I}{\min }{g}_j(\mathrm{\α},x);$

步骤六：嵌套优化问题的简化处理

借助于改进的泰勒展开方法，快速准确的确定含区间参数非线性函数的响应范围，避免了区间优化中的内层优化，变两层嵌套优化问题为常规的单层优化问题：

首先通过空间近似曲面的导轨生成方式得到非线性函数u(α)的近似表示：

$u\left(\mathrm{\α}\right)=u({\mathrm{\α}}_1,{\mathrm{\α}}_2,...,{\mathrm{\α}}_2)=\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j\right)-(l-1)\·u\left({\mathrm{\α}}^c\right)$

其中 $\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j\right)=u(0,...,{\mathrm{\α}}_j,...,0)$ j＝1,2,...,l

然后，借助于泰勒展式，得到函数u(α₁,α₂,...,α_l)在

条件下最大值和最小值：

$\stackrel{\‾}{u}\left(\mathrm{\α}\right)=\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}[\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j^c\right)+|\frac{\∂\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j^c\right)}{\∂{\mathrm{\α}}_j}\left|{\mathrm{\α}}_j^w\right]-(l-1)\·u\left({\mathrm{\α}}^c\right)$

$\underset{\‾}{u}\left(\mathrm{\α}\right)=\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}[\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j^c\right)+|\frac{\∂\tilde{u}\left({\mathrm{\α}}_j^c\right)}{\∂{\mathrm{\α}}_j}\left|{\mathrm{\α}}_j^w\right]-(l-1)\·u\left({\mathrm{\α}}^c\right);$

步骤七：确定性多目标优化问题的求解

对于经过以上鲁棒性处理而转换得到的单层确定性优化问题，采用智能优化中的模拟退火算法，编写适用于多目标优化的计算程序，定义收敛条件，根据设计者所关注的指标选取汽车结构各部件的最优设计值，以达到最优的降噪效果。

2.根据权利要求1所述的一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法，其特征在于：所述步骤四中的目标鲁棒性的实现方法为：基于不同的衡量标准，灵活建立评估目标函数区间“好坏”的比较原则，即所谓的区间序关系；同时也通过级数展开方法建立目标函数对不确定参数的灵敏度函数，二者均是通过增加额外的目标函数来降低性能指标受不确定因素影响的波动范围，以满足观测点处噪声性能的目标鲁棒性的要求。

3.根据权利要求1所述的一种基于非线性多目标区间鲁棒优化的汽车降噪方法，其特征在于：所述步骤五中的可行鲁棒性的实现方法为：根据决策者对各约束条件满足要求的程度，灵活建立各约束条件成立的可能性指标，取值从0到1，并根据可能度计算公式，将原约束条件转化为能够表达决策者偏好信息的形式，以满足可行鲁棒性的要求。

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