CN104504215A - 基于单位分解“有限元-无网络”单元的汽车车内声场预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测的方法，包括如下步骤：利用汽车车内空气声腔网格模型；利用一层相连节点关系定义汽车车内空气声腔网格模型的单元节点支撑域；在汽车车内声腔网格模型的节点支撑域内利用径向点插值法构造局部近似函数，同时在汽车车内声腔的全局网格范围内利用等参单元形函数近似；按等参单元积分方式构造汽车车内声腔模型的高斯积分点处形函数及其梯度；构造汽车车内声腔问题声学方程的伽辽金弱形式，将得到汽车车内声腔网格模型的系统方程,进而预测汽车车内声腔模态频率及振型,同时预测发动机激励下汽车车内声腔的声学响应，并对计算结果进行评价。本发明方法在汽车车内声场振动噪声预测问题中能够得到比有限元法更好的计算结果。

Description

基于单位分解“有限元-无网络”单元的汽车车内声场预测方法

技术领域

本发明涉及汽车车内声场计算的预测方法，具体涉及一种基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场计算预测方法。

背景技术

目前，汽车的车内声腔声场预测分析是车身NVH(Noise、Vibration、Harshness，噪声、振动与声振粗糙度)性能CAE(computer Aided Engineering，计算机辅助工程)分析中的一项重要工作，它对车身NVH性能预测以及指导NVH性能开发都有十分重要的意义。

目前，汽车的车内声场仿真预测方法有解析法和数值法，其中解析法一般只针对简单问题和模型；数值法是目前主流的预测方法，包括有限元法和边界元法，并在许多商业软件如Nastran、Virtual.LAB等中广泛应用。许多工程师对这些方法使用比较娴熟，在汽车车内声场性能预测与分析中广泛采用。但这类方法也存在一些问题，有限元法存在声学数值色散效应,预测结果受模型网格尺寸大小和计算频率的高低的影响较大,而边界元法的系统矩阵是非对称满阵、计算效率低下，矩阵的计算复杂，其应用前景还不如有限元法广阔。

为满足汽车的车内声场分析问题预测结果的可靠性，汽车设计工程师需要在建模过程中对网格尺寸、模型质量等进行检查，这需要耗费较多的前处理时间和人力，因此，有必要对发明一些新的预测方法以降低预测结果受模型质量的影响。另外，由于汽车设计工程师们已经习惯了运用有限元网格模型进行分 析，这就要求新的预测方法最好是基于有限元网格模型，这样能更好地保证模型的通用性。

发明内容

为了克服上述现有技术中存在的缺陷，本发明的目的是提供一种基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法，该方法在形函数构造时针对汽车车内声场模型的全局域采用六面体的等参单元形函数近似，在其模型节点的支撑域内采用径向点插值法近似，形成混合的汽车车内声场模型的有限元-径向点插值形函数，该形函数集成了RPIM和FEM形函数的优点，能降低数值色散误差，提高了汽车车内声场分析的计算精度和分析频率范围。

为了实现本发明的上述目的，本发明提供一种基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法，包括如下步骤：

2、包括如下步骤：

S1、建立汽车车内声腔网格模型，即对汽车车内声腔模型进行网格划分，网格单元采用六面体单元，每个六面体单元包含8节点；

S2、利用一层相连节点关系定义汽车车内声腔模型的单元节点支撑域；

S3、构造汽车车内声场点的近似函数；

S4、构造汽车车内声场模型六面体单元形函数的完整形式及声压梯度形式；

S5，构造基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型

首先利用标准的Galerkin方法得到汽车车内声场预测模型的伽辽金弱形式；接着对其进行离散处理，得到汽车车内声场预测模型的离散方程，从而构造基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型；

S6，利用基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型对汽 车声腔的模态频率、振型进行计算；

S7，利用基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型可对车内声场的声学响应进行仿真预测。

本发明的有益效果在于；

(1)本发明采用基于单位分解有限元-无网格单元的形函数来改善车内声场预测模型的硬度，降低其预测过程中的数值误差，获得比有限元法更好的计算结果，有限元-无网格法对汽车车内声场模型的网格质量要求比有限元法要低，分析频率带宽更宽。这一优点为本发明解决汽车的车内声场预测问题提供了技术基础。利用本发明进行分析汽车车内声场预测时，采用基于单位分解有限元-无网格单元的形函数降低了车内声腔模型的硬度，减少数值色散效应，提高了车内声场频率响应分析的精度和分析频率范围，进而获得更准确的预测结果。

(2)本发明在汽车车内声场分析问题中，能够得到更好的计算效果，更高有效的分析频带宽，而且该方法对模型的质量要求更低(如网格模型粗糙)，这样能降低更多的前处理时间，在汽车产品的开发设计应用中前景广阔。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1是本发明基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法的流程图；

图2是本发明一种优选实施方式中汽车车内声场六面体网格示意图；

图3是本发明一种优选实施方式中汽车车内声场模型节点支撑域的选择示意图；

图4是本发明一种优选实施方式中汽车车内声场模型示意图；

图5是本发明一种优选实施方式中汽车车内声场频率响应预测结果。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

本发明中汽车车内声场预测问题采用传统的有限元网格模型，并采用基于单位分解的有限元-无网格单元形函数对汽车车内声场进行近似处理，将混合有限元-无网格单元形函数代入至汽车车内声场波动方程的伽辽金弱形式中，获得基于单位分解的有限元-无网格单元的车内声场离散波动方程，计算汽车车内声场模态频率及其振型，并根据汽车车内声场的激励边界计算汽车车内声场的频率响应，对汽车车内声场问题进行预测。

本发明提供了一种基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法，如图1所示，下面结合图1对本发明的预测方法进行详细说明。

本发明所述的基于单位分解的有限元-无网格单元的车内声场预测方法包括如下步骤：

S1，建立汽车车内声腔网格模型。

本步骤可利用传统的前处理软件(如Hypermesh)对汽车车内声腔模型进行网格划分，网格单元采用六面体单元，每个六面体单元包含8节点。网格尺寸为100mm×100mm×100mm。如图2所示的汽车车内声场的六面体网格模型，它由420个六面体单元组成。

S2，选择汽车车内声场模型各节点的支撑域。

本发明中采用径向点插值法对汽车车内声场点进行局部近似，首先要构造模型各节点的支撑域。本发明中利用一层相连节点关系来定义汽车车内声场模型的节点的支撑域。如图3所示，为了得到点i的支撑域，首先选择其自身，另外还需要选择一层相连的节点从编号1至26。

S3，构造汽车车内声场点的近似函数。

本步骤利用有限元法和径向点插值法构造汽车车内声场点的声压近似函数。首先在车内声场全局范围内利用三维有限元等参单元形函数进行全局近似，再利用径向点插值法对S2中的汽车车内声场点支撑域进行局部近似。在进行局部近似中，优先选择耦合多项式基的径向点插值法进行近似，并通过已知的支撑域节点声压向量计算径向点插值函数的各项系数。步骤3的详细过程如下：

S3.1，构造汽车车内声场点的声压变量的局部近似函数。

利用径向点插值法对S2中的汽车车内声场点的支撑域进行声压变量的局部近似，并获得声压变量的局部近似函数。在本发明的一种优选实施中，采用耦合多项式基的径向点插值法对汽车车内声场点声压变量进行局部近似。

首先，对汽车车内声场内任意点x，近似声压p^h(x)可以通过以下插值方式得到：

$p^h\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Φ}}_i\left(x\right)p_i$

式中n表示汽车车内声场点x的局部支撑域所包含的节点数；p_i表示其节点x_i(i＝1,2,...,n)的声压值；Φ_i为相应的形函数，它由车内声场节点的支撑域内所有节点构造。

接着，利用耦合多项式基的径向点插值法，对汽车车内声场的声压进行近 似，得到：

$p^h\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{R}_i\left(x\right)a_i+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{q}_j\left(x\right)b_j=R^T\left(x\right)\mathrm{\α}+q^T\left(x\right)b$

式中R_i(x)是汽车车内声场节点的径向基函数，n是汽车车内声场节点的径向基函数的项数，q_j(x)是多项式基函数，m是多项式基函数的项数。汽车车内声场节点的径向基函数采用多二次径向基函数，可以写成：

R_i(x)＝[(x-x_i)²+(y-y_i)²+(z-z_i)²+(α_cd_c)²]^q，

式中q和α_c为形状参数，分别为1.03和0.5；d_c为汽车车内声场单元的等效长度。汽车车内声场模型的线性多项式基向量可以写成如下形式：q^T(x)＝[1 x y z]。

通过车内声场节点的支撑域内节点声压值可计算各项系数，得到车内声场内任一点的声压变量形函数表达式：

${\mathrm{\Φ}}_k\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{R}_i\left(x\right){\stackrel{\‾}{G}}_{(i,k)}+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{q}_j\left(x\right){\stackrel{\‾}{G}}_{(n+j,k)},$

式中为矩阵G^-1中的元素，其中 $G=\left[\begin{array}{cc}{R}_q& q_m\\ q_m^T& 0\end{array}\right].$ 其中R_q为径向基函数的动差矩阵，可以写成：

矩阵q_m表示为：

是q_m矩阵的转置。 

至此，汽车车内声场节点i的声压近似函数由RPIM近似得到，可以写成：

$p_i^h(x,y,z)={\mathrm{\Φ}}_i{p}_i,i=\mathrm{1,2},...,8$

${\mathrm{\Φ}}_i=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\Φ}}_1^i& {\mathrm{\Φ}}_2^i& {\mathrm{\Φ}}_3^i& ...& {\mathrm{\Φ}}_n^i\end{array}\right]$ p_i＝[p₁ p₂ p₃ … p_n]^T

式中Φⁱ为由汽车车内声场节点i通过RPIM构成的形函数；为汽车车内声场节点i的支撑域内各节点声压值所组成的向量；n为其节点i的所有支撑节点数。值得注意的是，汽车车内声场单元内所有节点的支撑点数目并不一致，n随汽车车内声场中节点i的变化而不同。

S3.2，构造汽车车内声场点的声压向量全局近似函数。

利用传统的有限元法对汽车车内声场网格模型进行分析，在全局范围内构造六面体的等参单元形函数作为汽车车内声场网格模型的全局近似函数。

汽车车内声场内任意点的声压p(x,y,z)，

p(x,y,z)＝Np^e，

式中N为车内声场模型的三维有限元等参单元形函数。向量p^e表示相应的车内声场模型三维单元的节点声压函数p_i(x,y,z)(i＝1,2,...,8)，可表示为：

p^e＝{p₁(x,y,z) p₂(x,y,z) p₃(x,y,z) p₄(x,y,z) 

                ，

p₅(x,y,z) p₆(x,y,z) p₇(x,y,z) p₈(x,y,z)}^T

式中p_i(x,y,z)|i＝1,2...8为车内声场模型节点局部近似函数，可在S3.1中获得；

S4，构造汽车车内声场模型六面体单元形函数的完整形式及声压梯度形式。

根据S3中汽车车内声场点的声压变量的近似函数形式，结合有限元法中单元形函数的组成形式，构造基于单位分解有限元-无网格单元形函数的完整形式。根据完整的单元形函数推导其声压梯度形式。

S4.1，构造汽车车内声场模型六面体单元形函数的完整形式。

利用S3中汽车车内声场点的声压变量的近似函数形式，将六面体单元中各节点组合起来，按有限元法中单元形函数的组成方式构造基于单位分解有限元-无网格单元的完整形函数。

在汽车车内声场模型中，基于单位分解有限元-无网格单元的形函数完整形式可写成：

矩阵Φ_8×M由Φ_i(i＝1,2,3,…,8)组装得到,列数M等于车内声场单元支撑域的节点数。为方便起见，前8列分别对应单元8个节点；其它列对应于汽车车内声场对于单元的支撑域节点。

如前所述，汽车车内声场内任意点的声压p(x,y,z)即可写成：

$p(x,y,z)=\underset{1\×8}{N}\left(\underset{8\×M}{\mathrm{\Φ}}\underset{M\×1}{p}\right)=\left(\underset{1\×M}{\mathrm{N\Φ}}\right)\underset{M\×1}{p}\≡\underset{1\×M}{\mathrm{\ψ}}\underset{M\×1}{p}$

因此，基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型的形函数矩阵可以写成：

$\underset{1\×M}{\mathrm{\Ψ}}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\Ψ}}_1& {\mathrm{\Ψ}}_2& {\mathrm{\Ψ}}_3,& ...& {\mathrm{\Ψ}}_M\end{array}\right]=\underset{1\×8}{N}\underset{8\×M}{\mathrm{\Φ}}$

S4.2，构造汽车车内声场模型六面体单元的声压梯度计算形式。

根据S4.1中完整形函数公式，利用梯度计算方法求解其微分形式，即得到汽车车内声场模型六面体单元的声压梯度计算形式。

对形函数矩阵求微分，得到基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型中声压梯度矩阵：

Ψ_,x＝[Ψ_1,x Ψ_2,x Ψ_3,x, … Ψ_M,x]≡N_,xΦ+NΦ_,x

Ψ_,y＝[Ψ_1,y Ψ_2,y Ψ_3,y, … Ψ_M,y]≡N_,yΦ+NΦ_,y

Ψ_,z＝[Ψ_1,z Ψ_2,z Ψ_3,z, … Ψ_M,z]≡N_,zΦ+NΦ_,z

S5，构造基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型。

首先利用标准的Galerkin方法可得到汽车车内声场预测模型的伽辽金弱形式；接着对其进行离散处理，得到汽车车内声场预测模型的离散方程，这样就构造了基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型。

利用标准的Galerkin方法，构造汽车车内声场预测模型的伽辽金弱形式如下：

$-{\∫}_{\mathrm{\Ω}}\▿\mathrm{\Ψ}\·\▿\mathrm{\ΨPd\Ω}+k^2{\∫}_{\mathrm{\Ω}}\mathrm{\Ψ}\·\mathrm{\ΨPd\Ω}-\mathrm{i\ρ\ω}{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_n}\mathrm{\Ψ}\·v_{n}d{\mathrm{\Γ}}_n-\mathrm{i\ρ\ω}{A}_n{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_x}\mathrm{\Ψ}\·\mathrm{\ΨPd}{\mathrm{\Γ}}_x=0$

在整个汽车车内声场模型内对上述伽辽金弱形式进行离散处理，得到基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型：

(K-k²M+iρωC)p＝F

式中k和ω分别表示车内声场预测问题的波数和圆频率；K为其刚度矩阵，写成：K＝∫_ΩB^TBdΩ。其中B为车内声场预测模型的声压梯度矩阵，可以写成：

$B=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Ψ}}_{1,x}& {\mathrm{\Ψ}}_{2,x}& ...& {\mathrm{\Ψ}}_{M,x}\\ {\mathrm{\Ψ}}_{1,y}& {\mathrm{\Ψ}}_{2,y}& ...& {\mathrm{\Ψ}}_{M,y}\\ {\mathrm{\Ψ}}_{1,z}& {\mathrm{\Ψ}}_{2,z}& ...& {\mathrm{\Ψ}}_{M,z}\end{array}\right]$

M为汽车车内声场模型的质量矩阵：Μ＝∫_ΩΨ^TΨdΩ；C为汽车车内声场的声学阻尼矩阵： $C={\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_3}{\mathrm{\Ψ}}^T\mathrm{\Ψ}{A}_n\mathrm{d\Ω};$

F为汽车车内声场所受的激励向量：P为车内声场边界上的节点激励向量：P＝{p₁,p₂,…,p_n}^T。

S6，利用基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型对汽车声腔的模态频率、振型进行计算。

根据S5中汽车车内声场预测模型中K矩阵和M矩阵，按公式(K-λ_iM)Φ_i＝0，求出特征值为λ_i和特征向量Φ_i。其中λ_i＝(ω/c)²为汽车车内声场的模态频率，而特征向量Φ_i即汽车车内声场的模态振型。在计算过程中需要定义汽车车内的材料属性：波速c＝343m/s，密度ρ_f＝1.225kg/m³。运用基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法计算其模态频率和模态振型，同时给出了参考结果，参考结果则由精细汽车车内声场网格模型(3264六面体)通过商业软件Nastran的数值实验得到，可以视为近似结果，如表1所示。

表1

S7，利用基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型可对车内声场的声学响应进行仿真预测。

在S6的基础上，本步骤利用基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型对其声学响应进行预测。首先设置汽车车内声场预测模型的边界条件：声阻抗系数A_n＝0.000144m/(Pa.s)，载荷激励为发动机传递汽车车内声腔的振动速度V＝0.001m/s，幅值频率范围50-150Hz，如图4所示。运用基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法计算驾驶员右耳处的声压频率响应，频率范围50-150Hz，步长1Hz。上述预测结果如图5所示。

从图5和表1中可以看出：基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法在分析汽车车内声场问题时具有比有限元法更高的精度，其结果更接近参考结果值，表明基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法能获得良好的分析结果。

基于以上方法介绍和数值实验分析，证明了基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法非常适合于汽车车内声场问题的预测，其预测精度比传统方法要高；对汽车声场模型的质量要求更低。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由权利要求及其等同物限定。

Claims (4)

1.一种基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场预测方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、建立汽车车内声腔网格模型，即对汽车车内声腔模型声腔模型进行网格划分，网格单元采用六面体单元，每个六面体单元包含8节点；

S2、利用一层相连节点关系定义汽车车内声腔模型的单元节点支撑域；

S3、构造汽车车内声场点的近似函数；

S4、构造汽车车内声场模型六面体单元形函数的完整形式及声压梯度形式；

S5、构造基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场预测模型；

首先利用标准的Galerkin方法得到汽车车内声场预测模型的伽辽金弱形式；接着对其进行离散处理，得到汽车车内声场预测模型的离散方程，从而构造基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型；

S6、利用基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场预测模型对汽车声腔的模态频率、振型进行计算；

S7、利用基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场预测模型对车内声场的声学响应进行仿真预测。

2.根据权利要求1所述的基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场预测方法，其特征在于，步骤3通过以下方式实现：

S3.1、构造汽车车内声场点的声压变量的局部近似函数；

利用径向点插值法对S2中的汽车车内声场点的支撑域进行声压变量的局部近似，并获得声压变量的局部近似函数；

首先，对汽车车内声场内任意点x|(x＝x,y,z)，近似声压p^h(x)可以通过以下插值方式得到：

$p^h\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Φ}}_i\left(x\right)p_i$

式中n表示汽车车内声场点x的局部支撑域所包含的节点数；p_i表示其节点x_i(i＝1,2,...,n)的声压值；Φ_i为相应的形函数，它由车内声场节点的支撑域内所有节点构造；

接着，利用耦合多项式基的径向点插值法，对汽车车内声场的声压进行近似，得到：

$p^h\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{R}_i\left(x\right)a_i+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{q}_j\left(x\right)b_j=R^T\left(x\right)\mathrm{\α}+q^T\left(x\right)b$

式中R_i(x)是汽车车内声场节点的径向基函数，n是汽车车内声场节点的径向基函数的项数，q_j(x)是多项式基函数，m是多项式基函数的项数；汽车车内声场节点的径向基函数采用多二次径向基函数，可以写成：

R_i(x)＝[(x-x_i)²+(y-y_i)²+(z-z_i)²+(α_cd_c)²]^q，

式中q和α_c为形状参数，分别为1.03和0.5；d_c为汽车车内声场单元的等效长度；汽车车内声场模型的线性多项式基向量可以写成如下形式：q^T(x)＝[1 x y z]；

通过车内声场节点的支撑域内节点声压值可计算各项系数，得到车内声场内任一点的声压变量形函数Φ_k(x)(k＝1,2,...,n)表达式：

${\mathrm{\Φ}}_k\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{R}_i\left(x\right){\stackrel{\‾}{G}}_{(i,k)}+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{q}_j\left(x\right){\stackrel{\‾}{G}}_{(n+j,k)},$

式中为矩阵G^-1中的元素，其中 $G=\left[\begin{array}{cc}{R}_q& q_m\\ q_m^T& 0\end{array}\right];$ 其中R_q为径向基函数的动差矩阵，可以写成：

矩阵q_m表示为：

是q_m矩阵的转置；

至此，汽车车内声场节点i的声压近似函数由RPIM近似得到，可以写成：

$p_i^h(x,y,z)={\mathrm{\Φ}}_i{p}_i,i=\mathrm{1,2},...,8$

${\mathrm{\Φ}}_i=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\Φ}}_1^i& {\mathrm{\Φ}}_2^i& {\mathrm{\Φ}}_3^i& ...& {\mathrm{\Φ}}_n^i\end{array}\right]$  p_i＝[p₁ p₂ p₃ … p_n]^T

式中Φⁱ为由汽车车内声场节点i通过RPIM构成的形函数；为汽车车内声场节点i的支撑域内各节点声压值所组成的向量；n为其节点i的所有支撑节点数；

S3.2、构造汽车车内声场点的声压向量全局近似函数

利用传统的有限元法对汽车车内声场网格模型进行分析，在全局范围内构造六面体的等参单元形函数作为汽车车内声场网格模型的全局近似函数；

汽车车内声场内任意点的声压p(x,y,z)，

p(x,y,z)＝Np^e，

式中N为车内声场模型的三维有限元等参单元形函数；向量p^e表示相应的车内声场模型三维单元的节点声压函数p_i(x,y,z)(i＝1,2,...,8)，可表示为：

p^e＝{p₁(x,y,z) p₂(x,y,z) p₃(x,y,z) p₄(x,y,z)

                                              ，

p₅(x,y,z) p₆(x,y,z) p₇(x,y,z) p₈(x,y,z)}^T

式中p_i(x,y,z)|i＝1,2...8为车内声场模型节点局部近似函数，可在S3.1中获得；

3.根据权利要求1所述的基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测方法，其特征在于，步骤4通过以下方式实现：

S4.1、构造汽车车内声场模型六面体单元形函数的完整形式

利用S3中汽车车内声场点的声压变量的近似函数形式，将六面体单元中各节点组合起来，按有限元法中单元形函数的组成方式构造基于单位分解有限元-无网格单元的完整形函数；

在汽车车内声场模型中，基于单位分解“有限元-无网格”单元的形函数完整形式可写成：

矩阵Φ_8×M由Φ_i(i＝1,2,3,…,8)组装得到,列数M等于车内声场单元支撑域的节点数；

汽车车内声场内任意点的声压p(x,y,z)即可写成：

$p(x,y,z)=\underset{1\×8}{N}\left(\underset{8\×M}{\mathrm{\Φ}}\underset{M\×1}{p}\right)=\left(\underset{1\×M}{\mathrm{N\Φ}}\right)\underset{M\×1}{p}\≡\underset{1\×M}{\mathrm{\Ψ}}\underset{M\×1}{p}$

因此，基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场预测模型的形函数矩阵可以写成：

$\underset{1\×M}{\mathrm{\Ψ}}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\Ψ}}_1& {\mathrm{\Ψ}}_2& {\mathrm{\Ψ}}_3,& ...& {\mathrm{\Ψ}}_M\end{array}\right]=\underset{1\×8}{N}\underset{8\×M}{\mathrm{\Φ}}$

S4.2、构造汽车车内声场模型六面体单元的声压梯度计算形式

根据S4.1中完整形函数公式，利用梯度计算方法求解其微分形式，即得到汽车车内声场模型六面体单元的声压梯度计算形式，对形函数矩阵求微分，得到基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场预测模型中声压梯度矩阵Ψ_,x、Ψ_,y和Ψ_,z：

Ψ_,x＝[Ψ_1,x Ψ_2,x Ψ_3,x, …Ψ_M,x]≡N_,xΦ+NΦ_,x

Ψ_,y＝[Ψ_1,y Ψ_2,y Ψ_3,y, …Ψ_M,y]≡N_,yΦ+NΦ_,y。

Ψ_,z＝[Ψ_1,z Ψ_2,z Ψ_3,z, …Ψ_M,z]≡N_,zΦ+NΦ_,z

4.根据权利要求1所述的基于单位分解“有限元-无网格”单元的汽车车内声场预测方法，其特征在于，步骤5通过以下方式实现：

利用标准的Galerkin方法，构造汽车车内声场预测模型的伽辽金弱形式如下：

$-{\∫}_{\mathrm{\Ω}}\▿\mathrm{\Ψ}\·\▿\mathrm{\ΨPd\Ω}+k^2{\∫}_{\mathrm{\Ω}}\mathrm{\Ψ}\·\mathrm{\ΨPd\Ω}-\mathrm{i\ρ\ω}{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_n}\mathrm{\Ψ}\·v_{n}d{\mathrm{\Γ}}_n-\mathrm{i\ρ\ω}{A}_n{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_x}\mathrm{\Ψ}\·\mathrm{\ΨPd}{\mathrm{\Γ}}_x=0$

在整个汽车车内声场模型内对上述伽辽金弱形式进行离散处理，得到基于单位分解有限元-无网格单元的汽车车内声场预测模型：

(K-k²M+iρωC)p＝F

式中k和ω分别表示车内声场预测问题的波数和圆频率；K为其刚度矩阵，写成：K＝∫_ΩB^TBdΩ；其中B为车内声场预测模型的声压梯度矩阵，可以写成：

$B=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Ψ}}_{1,x}& {\mathrm{\Ψ}}_{2,x}& ...& {\mathrm{\Ψ}}_{M,x}\\ {\mathrm{\Ψ}}_{1,y}& {\mathrm{\Ψ}}_{2,y}& ...& {\mathrm{\Ψ}}_{M,y}\\ {\mathrm{\Ψ}}_{1,z}& {\mathrm{\Ψ}}_{2,z}& ...& {\mathrm{\Ψ}}_{M,z}\end{array}\right]$

M为汽车车内声场模型的质量矩阵：Μ＝∫_ΩΨ^TΨdΩ；C为汽车车内声场的声学阻尼矩阵： $C={\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_3}{\mathrm{\Ψ}}^T\mathrm{\Ψ}{A}_n\mathrm{d\Ω};$

F为汽车车内声场所受的激励向量：P为车内声场边界上的节点激励向量：P＝{p₁,p₂,…,p_n}^T。