CN108181810B - 一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法，属于生产调度及运筹学领域。该方法构建单机调度的鲁棒优化模型RSMSP，优化目标为寻找一个最优的工件加工序列，使得该序列在最差场景下的最大等待时间最小。求解时，将模型RSMSP转化为混合线性整数规划模型P；利用两阶段启发式求解算法对模型P进行求解，得到的最优加工序列即为鲁棒单机调度的最优方案。本发明采用区间估计的方式表达不确定参数，首次提出在无限场景集合中识别出有限个可能的最差场景的方法，更加符合生产实际，在信息贫瘠的情况下能够更大限度的降低决策风险，保证系统性能。

Description

一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法

技术领域

本发明属于生产调度及运筹学领域，特别涉及一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法。

背景技术

调度工作在生产过程中具有重要的作用，能够使企业以最小的物质消耗获得最大化的经济利益。目前调度工作已经渗透到制造业、物流业、服务业等方方面面，保证了企业生产和人民生活高效、有序、低成本的运转。单机调度是指一个工厂或机器加工多个产品时，指定合理的产品加工序列使得系统性能最优。在一个多工序生产系统中，经常存在一些瓶颈工序，用单机调度理论来优化这些工序中的工件加工顺序，可以有效的提高整个生产系统的性能。单机调度是许多复杂调度问题的基础，是非常常见的一类排序优化问题，可以应用于生产、生活的各个方面，例如在生产中，合理的调度方法可以有效提高生产效率，改善设备利用率，缩短生产周期。在物流业中，可以合理规划路线，缩短输送时间，提高服务质量。这些都会给企业带来很大的竞争优势。

以往对单机调度问题的研究主要集中于确定性问题，其中，所有的参数都是确定已知的，如加工时间、释放时间、交货期等等。若将基于确定性问题的单机调度的求解结果应用于存在大量不确定因素的现实生产过程中，将产生难以估计的后果。因此，考虑不确定性的单机调度问题渐渐引起了学术界的关注。随着生产数据的大量积累，可以统计出不确定参数的期望和方差，于是出现了随机调度理论。在随机调度模型中，将不确定性参数作为一个分布已知的随机变量，优化目标是期望系统长期性能良好。随机调度极大的推进了对不确定性问题的研究。

但是随着生产过程日渐复杂，产品更新换代加快，生产模式由大批量生产到小批量定制的逐渐转化等原因，很难积累到不确定参数的大量数据，因此精确的概率分布很难获得。此外，企业的管理越来越精细化，不仅追求长期发展目标，短期的利益也要顾及。这些都限制了随机调度理论在生产过程中的应用。为克服随机调度模型的不足，鲁棒调度模型应运而生。它通常用区间、离散场景或分布集合等简单直接的形式来刻画不确定性参数。此时，鲁棒调度的目标是首先找出最差场景，在最差场景下寻找最优序列，使得调度方法无论在实际生产中的各种不确定情况下，都能有比较好的性能，从而降低了决策风险。

目前的鲁棒单机调度模型大多需要不确定参数的一些概率分布信息，不适用于缺乏原始信息积累的产业。不确定参数的选择和鲁棒评价准则非常多样化，但对于基于释放时间不确定性，优化最大等待时间为目标的单机调度问题还没有相关技术。

发明内容

本发明的目的是为了克服已有技术的不足之处，提出一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法。本发明采用区间估计的方式表达不确定参数，首次提出在无限场景集合中识别出有限个可能的最差场景的方法，建立了鲁棒优化模型，并将其转化为一个混合整数线性规划问题，设计了快速求解算法。本发明更加符合生产实际，在信息贫瘠的情况下能够更大限度的降低决策风险，保证系统性能。

本发明提出的一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)构建单机调度的鲁棒优化模型RSMSP，模型的优化目标为寻找一个最优的工件加工序列，使得该序列在最差场景下的最大等待时间W-MWT最小；具体步骤如下：

1-1)模型RSMSP参数设定；

令集合J＝{1,2,...,n}表示n个相互独立的工件，则一个可行的工件加工序列由矩阵

表示，x_ij＝1表示工件j在加工序列的第i个位置上加工，反之x_ij＝0；因此，可行工件加工序列集合表示为：

每个工件加工序列中，第i个位置上工件加工前的等待时间由WT_i表示，则

其中，C_i表示加工序列中第i个位置上工件的完成时间，假设C₀＝0；r_j表示工件j的释放时间；

1-2)释放时间的随机性表示；

工件j的释放时间r_j属于一个估计的释放时间区间，即

其中r_j表示释放时间的下界，

表示释放时间的上界；每个工件随机的释放于其释放时间区间的任意时刻，因此，所有工件的释放时间组成一个场景，用r表示；所有的释放场景组合一个无限集合

且r∈S；

1-3)构建单机调度的鲁棒优化模型RSMSP，得到模型RSMSP的目标函数；

对于释放场景确定的确定性单机调度模型SMSP，模型优化目标为最小化最大等待时间，表达式如下：

其中，C(x,r)表示对于特定的加工序列x在特定的场景r发生时，可行的完成时间集合，记作：

令f^R(x)表示最差场景发生时的最大等待时间，则

单机调度的鲁棒优化模型RSMSP的目标函数表示为：

1-4)确定模型RSMSP的约束条件；具体如下：

1-4-1)当前工件的完成时间大于加工序列中上一个工件的完成时间与当前工件的加工时间之和，如式(3)所示：

其中，p_j表示工件j的加工时间；

1-4-2)当前工件的完成时间大于该工件释放时间与加工时间之和，如式(4)所示：

1-4-3)每个工件只可被加工一次，如式(5)所示：

1-4-4)机器一次只能加工一个工件，如式(6)所示：

1-4-5)可行加工序列x中的每个元素均是0-1变量，如式(7)所示：

x_ij∈{0,1},i＝1,...,n,j＝1,...,n (7)

2)将步骤1)建立的模型RSMSP转化为混合线性整数规划模型P，并求解模型P的下界；具体步骤如下：

2-1)建立可能的最差场景集合；

对于给定的加工序列，可能的最差场景集合为：U＝{r¹,r²,…,rⁿ}，其中，

对任意加工序列x∈X，存在r^*∈U，使得

成立；

2-2)将步骤1)建立的模型RSMSP转化为混合线性整数规划模型P；

将如式(2)所示的两层min-max优化模型RSMSP转化为确定性0-1混合整数线性规划模型P，表达式如下：

其中，f^*表示模型P的最优解，z表示W-MWT，

表示在r^k场景发生时工件j的释放时间，

表示在r^k场景发生时序列中第i个位置工件的完成时间；

2-3)确定模型P的下界；具体步骤如下：

2-3-1)生成集合U的m个子集V₁,V₂,…,V_m；

2-3-2)分别将步骤2-3-1)生成的每个子集V_l(l＝1,…,m)作为模型P中的可能最差场景集合，求解模型P，解记作

2-3-3)选出f_Vl中最大的一个值作为模型P的下界，记作：

3)对模型P求解；具体步骤如下：

3-1)生成初始序列；

3-1-1)当集合U中的第k个场景发生时，模型P等价于一个SMSP模型，利用DH算法求解该SMSP模型，得出一个加工序列x^k；对集合U中的n个场景分别利用DH算法求解n次SMSP模型，则分别得出n个可行加工序列记为x¹,x²,…,xⁿ；

所述DH算法为针对确定性模型SMSP的求解算法，DH算法如下：令d_j＝r_j+p_j，从0时刻开始，在每个工件加工完成后选择下一个加工工件，此时，若存在已经释放的工件，选择d_j最小的工件进行加工；若不存在已释放工件，则选择未释放的工件中r_j最小的工件进行加工；若选择时有多个工件满足条件，则在其中选择p_j最小的工件进行加工；

3-1-2)对步骤3-1-1)产生的每一个可行加工序列x¹,x²,…,xⁿ，遍历集合U中所有可能的最差场景，分别计算出每个可行加工序列在最差情况发生时的最大等待时间W-MWT；

3-1-3)选择步骤3-1-2)得到的最小W-MWT所对应的可行加工序列作为初始序列，进入步骤3-2)；

3-2)邻域搜索；具体步骤如下：

3-2-1)对初始序列，找出其中W-MWT最大的工件，将其位置标记为i；

3-2-2)对位置i之前的工件从头开始进行相邻工件的两两交换，每交换一次，产生一个新的可行加工序列，将所有新生成的可行加工序列记入集合PI；

3-2-3)计算集合PI中所有新可行加工序列的W-MWT，选出其中W-MWT最小的一个新可行加工序列，并判断该新序列的W-MWT与初始序列的W-MWT相比是否下降：若下降，则将该新序列作为新的初始序列，重新返回步骤3-2-1)；若不下降，则搜索结束，当前初始序列即为模型P的最优解，同时也是步骤1)建立的模型RSMSP的最优解，该最优解对应的工件加工序列即为鲁棒单机调度的最优方案。

本发明的特点及有益效果在于：

本发明提出的一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法是为了使优化方法能够应对实际生产中的不确定情况。本发明采用区间的形式表示不确定的释放时间(即工件到达单机地点，可以开始加工的时间)，以最小化最差场景下最大等待时间为目标建立鲁棒优化模型，并设计求解算法。由于不确定参数可以取区间上的任意取值，因此造成不确定场景有无限多个。本发明提出了在无限场景下识别出有限个可能的最差场景的方法，在此基础上将不可解的鲁棒优化模型转化为可解的混合整数线性规划模型，并设计了快速高效的求解算法，在降低决策风险的同时极大的保证了系统的高性能。本发明优点如下：

1)本发明对于鲁棒单机调度模型中的不确定参数，仅需估计出其区间，不需要知道精确的分布信息，更符合生产实际，尤其在新行业或者缺乏信息积累的行业，具有更高的实用性。

2)本发明将可能的最差场景由一个无限集合缩减到有限集合，由此可以将两层的鲁棒优化模型转化为一个混合整数线性规划模型。这样有利于设计快速高效的求解算法，降低决策风险，提高决策效率。

3)本发明提出了两阶段启发式求解算法，将该算法与商业求解器CPLEX进行对比，结果表明该算法具有很高的精度和效率。在工件数达到500时，算法能在5秒内求出具有较高精度的解，对于大规模问题非常适用。

4)本发明可以针对实际生产中，工件释放时间不确定的问题，制定出合理的加工序列，使得工件的最大等待时间最小，从而减少由于工件等待时间过长而失效造成的浪费。模型求解算法精确高效，生成的鲁棒调度方案能够在最恶劣的工件释放场景发生时达到良好的性能，极大的节省了决策时间，并降低了决策风险。

具体实施方式

本发明提出一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法，下面结合具体实施例进一步详细说明如下。

本发明提出了一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法，包括以下步骤：

1)构建单机调度的鲁棒优化模型RSMSP，该模型由目标函数和约束条件构成；具体步骤如下：

本发明所关注的是具有随机释放时间(Job Release Time，JRT)的单机调度问题，考虑在工件释放时间不确定的情况下，寻求使得单个工件最大等待时间最小的工件加工序列，并针对该问题建立了鲁棒优化模型RSMSP。在该问题中，所有工件均在一台机器上加工，工件一旦开始加工，不能被中断。假定所有工件的加工时间已知，工件随机释放于一个事先估计出的区间。模型RSMSP的优化目标为寻找一个最优的工件加工序列，使得该序列在最差场景下的最大等待时间(Maximal Waiting Time in Worst Case Scenario，W-MWT)最小。

1-1)模型RSMSP参数设定；

令集合J＝{1,2,...,n}表示n个相互独立的工件，则一个可行的工件加工序列可由矩阵

表示，x_ij＝1表示工件j在加工序列的第i个位置上加工，反之x_ij＝0。因此，可行工件加工序列集合表示为：

每个工件加工序列中，第i个位置上工件加工前的等待时间由WT_i表示，则

其中，C_i表示加工序列中第i个位置上工件的完成时间，假设C₀＝0；r_j表示工件j的释放时间；

1-2)释放时间的随机性表示；

工件j的释放时间由r_j表示，它属于一个估计的释放时间区间，即

其中

表示释放时间的下界，

表示释放时间的上界。每个工件都可随机的释放于其释放时间区间的任意时刻，因此，所有工件的释放时间组成一个场景，用r表示。所有的释放场景组合一个无限集合

则r∈S。

1-3)构建单机调度的鲁棒优化模型RSMSP，得到模型RSMSP的目标函数；

对于确定性模型SMSP，即释放场景确定，模型的优化目标为最小化最大等待时间(MWT)，表达式如下：

其中，C(x,r)表示对于特定的加工序列x在特定的场景r发生时，可行的完成时间集合，记作：

模型SMSP是强NP-难问题1|r_j|T_max(即，当工件的释放时间不相等时，最小化最大拖期的单机调度问题)的一个特例。

鲁棒调度的方法主要是用于优化最差场景下的目标函数性能，使得我们能够获得最差场景发生时最好的安全决策。因此，鲁棒优化包含两个阶段：一是找出可能的最差场景；二是指定可以在最差场景发生时仍然最优的加工序列。

令f^R(x)表示最差场景发生时的最大等待时间，则

基于以上讨论，本发明的单机调度鲁棒优化模型RSMSP的目标函数表示为：

1-4)确定模型RSMSP的约束条件；具体如下：

1-4-1)当前工件的完成时间必须大于加工序列中上一个工件的完成时间与当前工件的加工时间之和，如式(3)所示：

其中，p_j表示工件j的加工时间；C_i表示加工序列中第i个位置上工件的加工完成时间，假设C₀＝0；

1-4-2)当前工件的完成时间必须大于该工件释放时间与加工时间之和，如式(4)所示：

1-4-3)每个工件只可被加工一次，如式(5)所示：

1-4-4)机器一次只能加工一个工件，如式(6)所示：

1-4-5)可行加工序列x中的每个元素均是0-1变量，如式(7)所示：

x_ij∈{0,1},i＝1,…,n,j＝1,…,n。 (7)

2)将步骤1)建立的模型RSMSP转化为混合整数线性规划模型P，并求解模型P的下界；

本发明将在无限场景下寻优的鲁棒优化模型转化为混合整数线性规划模型进行求解；本发明通过在无限个释放场景中，识别出有限个可能的最差场景，将不可解的模型RSMSP转化为一个可解的混合整数线性规划模型P，具体步骤如下：

2-1)建立可能的最差场景集合；

考虑带有释放时间不确定性的n个工件的鲁棒优化模型，对于给定的加工序列，可能的最差场景集合为：U＝{r¹,r²,…,rⁿ}，其中，

对任意加工序列x∈X，存在r^*∈U，使得

成立。

2-2)将步骤1)建立的模型RSMSP转化为混合整数线性规划模型P；

模型RSMSP的优化目标为：寻找一个可行加工序列使得W-MWT最小。由于工件可以在其释放区间中的任意时刻释放，因此对于n个工件存在无限个释放场景。在无限的释放场景集合S中识别出最差场景非常困难，利用步骤2-1)中的结论，可以确定可能的最差场景属于一个只包含n个场景的集合U，因此两层min-max优化模型RSMSP(如式(2)所示)可以转化为以下的确定性0-1混合整数线性规划模型P：

其中，f^*表示模型P的最优解(即求解该模型产生的最优加工序列对应的W-MWT)，z表示W-MWT，

表示在r^k场景发生时工件j的释放时间，

表示在r^k场景发生时序列中第i个位置工件的完成时间。

模型P中有n²个0-1变量，(n²+1)个连续变量，和O(n²)个约束。求解相当耗时，当问题达到一定规模之后，很难在可接受的决策时间内得到性能良好的加工序列。为提高模型P的求解效率，提出了以下的两阶段启发式求解算法。

2-3)确定模型P的下界；

由于模型P的变量和约束规模庞大，在问题规模也较大时，很难在可接受的决策时间内用CPLEX等商业求解器精确求解出最优的加工序列。为评价后续提出的两阶段启发式求解算法的精度，设计了模型P下界的求解方法，具体步骤如下：

2-3-1)随机生成集合U的m个子集V₁,V₂,…,V_m(m根据决策时间的要求确定,确保决策时间足够计算出模型的下界，m∈[10,20])；

2-3-2)分别将每个子集V_l(l＝1,…,m)作为模型P中的可能最差场景集合，利用CPLEX精确求解模型P，解记作

2-3-3)选出

中最大的一个值作为模型P的下界，记作：

3)对模型P求解；

为快速求解模型P，本发明设计了两阶段启发式求解算法THA对鲁棒单机调度问题进行求解：在第一阶段，分别在n个可能的最差场景下，针对确定性单机调度问题SMSP设计启发式算法DH，得到n个可行加工序列。然后计算它们分别对应的W-MWT，选择W-MWT最小的一个序列作为初始序列。在这一阶段，分别针对产生序列和评价序列设计了加速算法；在第二阶段，提出了邻域搜索方法对初始序列性能进行改进。具体步骤如下：

3-1)生成初始序列；

首先对确定性模型SMSP设计求解算法，因为SMSP是强NP-难问题1|r_j|T_max的一个特例，目前还没有精确求解算法，因此本发明首先设计了如下的启发式算法DH，求解确定性模型SMSP，算法如下：令d_j＝r_j+p_j，从0时刻开始，在每个工件加工完成后都需要选择下一个加工工件，此时，若存在已经释放的工件，选择d_j最小的工件进行加工；若不存在已释放工件，则选择未释放的工件中r_j最小的工件进行加工。若选择时有多个工件满足条件，则在其中选择p_j最小的工件进行加工。

在DH算法的基础上，设计了求解模型P的启发式算法，命名为IDH，算法如下：

3-1-1)(生成序列)：当集合U中的第k个场景发生时，模型P等价于一个确定性单机模型SMSP，利用DH算法求解该SMSP模型，得出一个可行加工序列x^k。对集合U中的n个场景分别利用DH算法求解n次SMSP模型，则分别得出n个可行加工序列x¹,x²,…,xⁿ。

3-1-2)(评价序列)：对步骤3-1-1)产生的每一个可行加工序列x¹,x²,…,xⁿ，遍历集合U中所有可能的最差场景，分别计算出每个可行加工序列在最差场景发生时的最大等待时间(W-MWT)。

3-1-3)(选择最优序列)：选择步骤3-1-2)中得到的最小W-MWT所对应的可行加工序列作为THA算法的初始序列，进入步骤3-2)。

所述步骤3-1-1)生成序列的加速算法：

利用DH算法求解n次SMSP模型，产生了n个可行加工序列x¹,x²,…,xⁿ。通过分析这些序列之间的关系，提出了一种加速方法，其主旨思想为：对释放场景

即当所有工件都在释放区间的右端点释放时，采用DH算法产生了一个加工序列

并计算每个工件在这种场景发生时的完成时间

根据步骤2-1)的结论，对于每个可能的最差场景，只有一个工件在其释放区间左端点释放，其余都在右端点释放，即这些可能的最差场景与

相比，只有一个元素不同，由此推论，x¹,x²,…,xⁿ可以从

中继承一部分序列，从而节省了计算时间，实施步骤如下：

当最差场景集合U中任意场景

(其中[k]表示工件的标号，

表示序列

中排在第k个位置的工件的释放时间)发生时，将

与

逐个进行比较，找出使得

成立的位置i，在生成新序列x^k时，可以继承序列

中第i个位置之前的排序，并利用DH算法从第(i+1)个位置开始重新排序。对每一个序列我们都可以做这种比较和重排，理论上可以使算法最多减少1/2的计算时间。

所述步骤3-1-2)评价序列的加速算法：

经推导可得出：对于任意可行加工序列x，有：

因此，不需要通过对第一步中产生的序列x¹,x²,…,xⁿ分别遍历n种可能的最差场景来计算M-MWT。经过计算复杂度分析可知，不加速时需要O(n²)计算时间，加速后仅需要O(n)计算时间。

3-2)邻域搜索；

为改进初始序列的性能，设计了邻域搜索的方法，以较小的时间代价寻找性能更好的序列。具体步骤如下：

3-2-1)对初始序列，找出其中W-MWT最大的工件，将其位置标记为i；

3-2-2)对位置i之前的工件从头开始进行相邻工件的两两交换，每交换一次，产生一个新的可行加工序列，将所有新生成的可行加工序列记入集合PI；

3-2-3)计算集合PI中所有新可行加工序列的W-MWT，选出其中W-MWT最小的一个新可行加工序列，并判断该新序列的W-MWT与初始序列的W-MWT相比是否下降；若下降，则将该新序列作为新的初始序列，重新返回步骤3-2-1)；若不下降，则搜索结束。

邻域搜索出的当前的初始序列即为THA算法得出的鲁棒加工序列，即为模型P的最优解，也是步骤1)建立的RSMSP模型的最优解，该最优解对应的工件加工序列为该鲁棒单机调度的最优方案。

本发明所设计的鲁棒单机调度模型及其优化算法的性能分析如下：

(1)两阶段启发式算法的性能分析；

表1为本发明所设计的两阶段启发式算法THA与商业求解器CPLEX在求解精度与求解效率上的比较。为进行全面的对比，分别对工件数量为50，100，200，300，400，500等不同规模的问题进行了100次随机实验，设置最大计算时间为3600s。在计算下界时，设m＝10，每个子集中的元素数量为50。

表1 THA算法与CPLEX的性能对比

表1展示了THA算法相比于商业求解器CPLEX的性能和计算效率，实验结果表明，在问题规模较小(n≤100)时，CPLEX可以在1小时内求得问题的精确解，但非常耗时。当问题规模增大时，CPLEX在1小时内无法给出问题的精确解，而THA算法可以在5秒之内得到性能较好的鲁棒解，该解与下界的偏差小于5％，明显优于CPLEX在运行1小时后得到的结果与下界的偏差，说明本发明的THA算法在求解规模较大问题时，在解的精度和求解速度方面有非常明显的优势。

(2)THA算法中第二阶段比第一阶段的改进效果对比；

为了验证THA算法中第二阶段对第一阶段所产生初始解的改进效果，对算法在每个阶段的解的平均值、与下界的相对偏差和计算时间进行了比较，如表2所示。

表2 THA算法中两阶段算法的性能对比

表2中实验结果表明：算法的第二阶段相比第一阶段，解的精确性有非常大的改进，随着问题规模的不断增大，改进效果越来越明显，在工件数量达到500个时，将解与下界的偏差直接从19.82％缩小到5％以内。在计算时间上，第二阶段相比第一阶段耗费了稍多的时间代价，但是相差最大不超过1秒，因此，THA算法以较小的计算代价对第一阶段初始解产生了很大改进，进一步说明了算法具有良好的性能。

(3)解的鲁棒性评价；

最后，评价了模型RSMSP与THA算法求出的解的鲁棒性，对于每个规模的问题，用THA算法得出鲁棒解，记作x^D；同时取所有工件的释放区间的中位数，组成一个场景，在该场景下利用DH算法求解模型SMSP，得出非鲁棒解，记作x^R。

表3 解的鲁棒性评价表

n	W-MWT(x<sup>D</sup>)	W-MWT(x<sup>R</sup>)	DEV	R-DEV(％)
					50	28.66	19.20	9.46	33.01
100	28.13	19.11	9.02	32.07
					200	59.18	43.46	15.72	26.69
300	78.95	59.36	19.59	24.81
					400	144.58	120.43	24.15	16.67
500	121.55	105.47	16.08	13.23

共比较了如下四个评价指标：

W-MWT(x^D)＝max_r∈Uf(x^D,r)

W-MWT(x^R)＝max_r∈Uf(x^R,r)

DEV＝W-MWT(x^D)-W-MWT(x^R)

R-DEV＝[W-MWT(x^D)-W-MWT(x^R)]/W-MWT(x^R)

其中，W-MWT(x^D)表示非鲁棒序列x^D的W-MWT，W-MWT(x^R)表示鲁棒序列x^R的W-MWT，DEV和R-DEV分别表示鲁棒解与非鲁棒解之间W-MWT的绝对偏差和相对偏差。

表3中实验结果表明：相比于非鲁棒解，鲁棒解极大的降低了最差场景下的最大等待时间，使得序列能够更好的应对各种释放时间场景，降低了决策风险。

Claims (1)

1.一种基于区间不确定性的鲁棒单机调度方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)构建单机调度的鲁棒优化模型RSMSP，模型的优化目标为寻找一个最优的工件加工序列，使得该序列在最差场景下的最大等待时间W-MWT最小；具体步骤如下：

1-1)模型RSMSP参数设定；

令集合J＝{1,2,...,n}表示n个相互独立的工件，则一个可行的工件加工序列由矩阵

表示，x_ij＝1表示工件j在加工序列的第i个位置上加工，反之x_ij＝0；因此，可行工件加工序列集合表示为：

每个工件加工序列中，第i个位置上工件加工前的等待时间由WT_i表示，则

其中，C_i表示加工序列中第i个位置上工件的完成时间，假设C₀＝0；r_j表示工件j的释放时间；

1-2)释放时间的随机性表示；

工件j的释放时间r_j属于一个估计的释放时间区间，即

其中r_j表示释放时间的下界，

表示释放时间的上界；每个工件随机的释放于其释放时间区间的任意时刻，因此，所有工件的释放时间组成一个场景，用r表示；所有的释放场景组合一个无限集合

且r∈S；

1-3)构建单机调度的鲁棒优化模型RSMSP，得到模型RSMSP的目标函数；

对于释放场景确定的确定性单机调度模型SMSP，模型优化目标为最小化最大等待时间，表达式如下：

其中，C(x,r)表示对于特定的加工序列x在特定的场景r发生时，可行的完成时间集合，记作：

令f^R(x)表示最差场景发生时的最大等待时间，则

单机调度的鲁棒优化模型RSMSP的目标函数表示为：

1-4)确定模型RSMSP的约束条件；具体如下：

1-4-1)当前工件的完成时间大于加工序列中上一个工件的完成时间与当前工件的加工时间之和，如式(3)所示：

其中，p_j表示工件j的加工时间；

1-4-2)当前工件的完成时间大于该工件释放时间与加工时间之和，如式(4)所示：

1-4-3)每个工件只可被加工一次，如式(5)所示：

1-4-4)机器一次只能加工一个工件，如式(6)所示：

1-4-5)可行加工序列x中的每个元素均是0-1变量，如式(7)所示：

x_ij∈{0,1},i＝1,...,n,j＝1,...,n (7)

2)将步骤1)建立的模型RSMSP转化为混合线性整数规划模型P，并求解模型P的下界；具体步骤如下：

2-1)建立可能的最差场景集合；

对于给定的加工序列，可能的最差场景集合为：U＝{r¹,r²,…,rⁿ}，其中，

对任意加工序列x∈X，存在r^*∈U，使得

成立；

2-2)将步骤1)建立的模型RSMSP转化为混合线性整数规划模型P；

将如式(2)所示的两层min-max优化模型RSMSP转化为确定性0-1混合整数线性规划模型P，表达式如下：

(P)f^*＝min z

s.t.z≥0，

x∈X.

其中，f^*表示模型P的最优解，z表示W-MWT，

表示在r^k场景发生时工件j的释放时间，

表示在r^k场景发生时序列中第i个位置工件的完成时间；

2-3)确定模型P的下界；具体步骤如下：

2-3-1)生成集合U的m个子集V₁,V₂,…,V_m；

2-3-2)分别将步骤2-3-1)生成的每个子集V_l(l＝1,…,m)作为模型P中的可能最差场景集合，求解模型P，解记作

2-3-3)选出

中最大的一个值作为模型P的下界，记作：

3)对模型P求解；具体步骤如下：

3-1)生成初始序列；

3-1-1)当集合U中的第k个场景发生时，模型P等价于一个SMSP模型，利用DH算法求解该SMSP模型，得出一个加工序列x^k；对集合U中的n个场景分别利用DH算法求解n次SMSP模型，则分别得出n个可行加工序列记为x¹,x²,…,xⁿ；

所述DH算法为针对确定性模型SMSP的求解算法，DH算法如下：令d_j＝r_j+p_j，从0时刻开始，在每个工件加工完成后选择下一个加工工件，此时，若存在已经释放的工件，选择d_j最小的工件进行加工；若不存在已释放工件，则选择未释放的工件中r_j最小的工件进行加工；若选择时有多个工件满足条件，则在其中选择p_j最小的工件进行加工；

3-1-2)对步骤3-1-1)产生的每一个可行加工序列x¹,x²,…,xⁿ，遍历集合U中所有可能的最差场景，分别计算出每个可行加工序列在最差情况发生时的最大等待时间W-MWT；

3-1-3)选择步骤3-1-2)得到的最小W-MWT所对应的可行加工序列作为初始序列，进入步骤3-2)；

3-2)邻域搜索；具体步骤如下：

3-2-1)对初始序列，找出其中W-MWT最大的工件，将其位置标记为i；

3-2-2)对位置i之前的工件从头开始进行相邻工件的两两交换，每交换一次，产生一个新的可行加工序列，将所有新生成的可行加工序列记入集合PI；

3-2-3)计算集合PI中所有新可行加工序列的W-MWT，选出其中W-MWT最小的一个新可行加工序列，并判断该新序列的W-MWT与初始序列的W-MWT相比是否下降：若下降，则将该新序列作为新的初始序列，重新返回步骤3-2-1)；若不下降，则搜索结束，当前初始序列即为模型P的最优解，同时也是步骤1)建立的模型RSMSP的最优解，该最优解对应的工件加工序列即为鲁棒单机调度的最优方案。