CN103076807B - 一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法，考虑柔性附件相对于航天器本体无转动的情形。首先建立欠驱动柔性航天器的动力学模型，并用(w，z)参数描述了其姿态运动。然后在欠驱动轴角速度和模态坐标不为零的情况下，由于欠驱动轴没有控制力矩驱动，但驱动轴角速度会对欠驱动轴角速度产生耦合影响，因此设计中间控制律ω_c1,ω_c2使得欠驱动轴稳定。其次把ω₁,ω₂当作虚拟控制输入，设计出稳定运动学参数的虚拟控制律ω_d1,ω_d2。最后利用退步控制方法设计出稳定驱动轴角速度和振动模态的控制输入。该方法既为柔性航天器的在轨运行提供一种故障预案，提高系统的可靠性，又能为小型柔性航天器应用两个推力器进行姿态控制的系统提供一种解决方案。

Description

一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法

【技术领域】

本发明涉及一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法，一种在只有两轴控制力矩输出的情况下，实现带柔性附件航天器的三轴姿态稳定的控制方法，属于欠驱动柔性航天器姿态稳定控制的应用技术领域。

【背景技术】

航天器在轨运行时，各种各样的故障是影响航天器工作寿命的主要因素，其中执行机构故障尤为常见。由执行机构故障引起的独立控制输入个数少于自由度个数的航天器称为欠驱动航天器。对于欠驱动系统的研究，为完整驱动系统提供一个应急控制手段，即如果完整驱动系统遭遇故障不能正常运行时，可采用欠驱动系统的控制策略，利用剩下的仍能正常工作的控制力矩对系统进行有效控制，以降低由于某些控制输入发生故障导致整体系统瘫痪而带来的损失。另外，小型航天器由于体积、质量和经济成本的限制，往往不可能像大型航天器一样为提高可靠性而配置冗余的执行机构，此时，在保证姿态控制任务顺利实现的前提下最小化执行机构显得特别有价值。因此，研究欠驱动航天器的姿态控制不仅为大型航天器的姿态控制系统提供一种故障预案，而且对小卫星和深空探测器等对质量、体积和经济成本有特别限制的航天器更具有特殊意义。

随着航天技术的发展，目前航天器往往带有大型柔性帆板或其它柔性附件。在这种航天器的飞行和控制过程中，作用在航天器上的控制力矩不仅会引起航天器姿态的改变，而且可能会激起柔性附件的弹性振动，这些附件的振动进而又会影响航天器的运动和控制。当这类航天器的执行机构出现故障导致控制输入个数少于航天器自由度个数时，称为欠驱动柔性航天器。由于在轨运行中的航天器大都带有柔性附件，因此相比于欠驱动刚体航天器，研究欠驱动柔性航天器的姿态控制问题更符合工程实际需求，并且对控制方法的设计也提出了更高的要求。

针对这类应用需求，本发明提出一种仅利用两个推力器的带柔性附件航天器的三轴姿态控制方法，既为柔性航天器的在轨运行控制提供一种故障预案，提高系统的可靠性，又能为小型柔性航天器应用两个推力器进行姿态控制的系统提供一种解决方案。

【发明内容】

本发明的目的是：针对带柔性附件的航天器，在基于两个推力器为有效控制力矩的情况下，提供了一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法。本发明既可用于推力器执行机构中的部分推力器失效后的两轴控制力矩的欠驱动柔性航天器姿态控制，又适用于仅安装有两个推力器的微小型卫星的姿态控制。

本发明首先建立柔性航天器的动力学模型，并用(w,z)参数描述了其姿态运动。然后在欠驱动轴角速度和模态坐标不为零的情况下，由于欠驱动轴没有控制力矩驱动，但驱动轴角速度会对欠驱动轴角速度产生耦合影响，因此设计稳定动力学方程的中间控制律ω_c1,ω_c2，使得欠驱动轴稳定。其次把ω₁,ω₂当作虚拟控制输入，设计出稳定运动学参数的虚拟控制律ω_d1,ω_d2。最后利用退步控制方法设计出稳定驱动轴角速度和振动模态的控制输入。

本发明用到的坐标系定义如下：

惯性标系ox_iy_iz_i(s_i)：为地心赤道惯性坐标系，ox_i由地球球心指向春分点方向；oz_i沿垂直于地球赤道平面并指向北极的方向；oy_i由右手定则确定。

航天器本体坐标系o_bx_by_bz_b(s_b)：航天器本体坐标系三轴分别取为沿其惯性主轴方向，其中o_bx_b指向飞行前方；o_bz_b是航天器竖轴指向下，即朝向中心天体(地球)球心的方向；o_by_b由右手定则确定。

柔性附件体坐标系o_fx_fy_fz_f(s_f)：原点位于柔性附件与航天器本体的连接点处，o_fx_f、o_fz_f、o_fy_f与柔性附件固连，且构成右手定则。

本发明考虑柔性附件相对于航天器本体无转动的情形，所述本体坐标系的定义为o_bx_by_bz_b(s_b)。一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法，基于推力器实现，步骤如下：

步骤一，建立系统模型。

假设柔性航天器的挠性变形很小，对变量做一阶线性化处理，运用动量矩定理建立柔性航天器的旋转运动模型；运用变分原理建立柔性附件的振动运动模型；考虑柔性附件相对于航天器本体无转动的情形，假设o_bz_b轴的推力器发生了故障，建立欠驱动柔性航天器的动力学模型为：

$J_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1-(J_2-J_3){\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+P_1^T{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_1=T_1$

$J_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2-(J_3-J_1){\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+P_2^T{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_2=T_2$

$J_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_3-(J_1-J_2){\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2+P_3^T{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_3=0$

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_1+2{\mathrm{\ξ}}_1{\mathrm{\Λ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_1+{\mathrm{\Λ}}_1^2{\mathrm{\η}}_1+P_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1=0$

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_2+2{\mathrm{\ξ}}_2{\mathrm{\Λ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_2+{\mathrm{\Λ}}_2^2{\mathrm{\η}}_2+P_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2=0$

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_3+2{\mathrm{\ξ}}_3{\mathrm{\Λ}}_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3+{\mathrm{\Λ}}_3^2{\mathrm{\η}}_3+P_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_3=0$

其中ω₁∈R^1×1,ω₂∈R^1×1,ω₃∈R^1×1表示航天器本体系s_b各轴相对于惯性系s_i的角速度在本体系s_b下的表述，分别表示对ω₁,ω₂,ω₃进行一次时间求导，分别表示对η₁,η₂,η₃进行二次时间求导，(l₁+l₂+l₃＝n)分别对应本体系s_b三轴的柔性模态坐标，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件对航天器本体的柔性耦合系数矩阵，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件模态频率矩阵，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件模态阻尼矩阵，J₁,J₂,J₃分别表示航天器本体系o_bx_b，o_by_b，o_bz_b轴的转动惯量分量，T₁,T₂分别表示航天器本体系上的两个控制力矩分量。

采用(w,z)参数来描述航天器相对于惯性坐标系的姿态，其对应的姿态运动学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{w}}_1={\mathrm{\ω}}_3{w}_2+(1+w_1^2-w_2^2){\mathrm{\ω}}_1/2+w_1{w}_2{\mathrm{\ω}}_2\\ {\stackrel{\·}{w}}_2=-{\mathrm{\ω}}_3{w}_1+(1-w_1^2+w_2^2){\mathrm{\ω}}_2/2+w_1{w}_2{\mathrm{\ω}}_1\\ \stackrel{\·}{z}={\mathrm{\ω}}_3+w_1{\mathrm{\ω}}_2-w_2{\mathrm{\ω}}_1\end{array}\right.$

其中，表示对w₁,w₂,z进行一次时间求导。

由欠驱动柔性航天器的动力学方程可知，o_bx_b轴，o_by_b轴角速度各受控制力矩T₁,T₂驱动，而o_bz_b轴角速度没有控制力矩驱动，但o_bx_b轴，o_by_b轴角速度会对o_bz_b轴角速度有耦合影响；另外，由姿态运动学方程可知，参量z与无力矩轴相对应，参量w与有力矩轴相对应，物理意义明显，参量z对参量w没有耦合效应，而参量w对参量z有耦合效应，这为欠驱动轴的设计提供了方便，因此该姿态描述参数在欠驱动的应用中比较广泛。

步骤二，针对动力学方程的o_bz_b轴设计控制律。

如果初始条件ω₃≠0,η₃≠0，则针对o_bz_b轴的动力学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_3-(J_1-J_2){\mathrm{\ω}}_{c1}{\mathrm{\ω}}_{c2}+P_3^T{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_3=0\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_3+2{\mathrm{\ξ}}_3{\mathrm{\Λ}}_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3+{\mathrm{\Λ}}_3^2{\mathrm{\η}}_3+P_3{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_3=0\end{array}\right.$

构造准李雅普诺夫函数：

$V_1=\frac{1}{2}(J_3{\mathrm{\ω}}_3^2+2{\mathrm{\ω}}_3{P}_3^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3+{{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3}^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3+{{\mathrm{\η}}_3}^T{\mathrm{\Λ}}_3^2{\mathrm{\η}}_3)$

其中，V₁表示o_bz_b轴的动力学方程的准李雅普诺夫函数。

对上式中的进行矩阵变换，则得：

$\begin{array}{c}{J}_3{\mathrm{\ω}}_3^2+2{\mathrm{\ω}}_3{P}_3^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3+{{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3}^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3\\ ={(\sqrt{J_3}{\mathrm{\ω}}_3+{\sqrt{J_3}}^{-1}{P}_3^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3)}^T(\sqrt{J_3}{\mathrm{\ω}}_3+{\sqrt{J_3}}^{-1}{P}_3^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3)+{{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3}^T(E_3-P_3{J_3}^{-1}{P}_3^T){\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3\end{array}$

其中是单位矩阵。因此，若成立，则函数V₁相对于是正定函数。

对V₁求导，则得：为了使负定，设计中间控制律：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{c1}=-\mathrm{sgn}(J_1-J_2)\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\ω}}_3\right)\sqrt{\left|{\mathrm{\ω}}_3\right|}\\ {\mathrm{\ω}}_{c2}=k\sqrt{\left|{\mathrm{\ω}}_3\right|}\end{array}\right.$

其中，k表示控制常数，sgn(·)表示·的符号函数，ω_c1,ω_c2表示o_bx_b轴，o_by_b轴的中间控制律。

将上式中间控制律代入则得

${\stackrel{\·}{V}}_1=-k|J_1-J_2|{{\mathrm{\ω}}_3}^2-2{\mathrm{\ξ}}_3{{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3}^T{\mathrm{\Λ}}_3^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3$

由推出进一步求导，则得代入o_bz_b轴的动力学方程可知η₃＝0。根据李雅普诺夫稳定性定理可知：当采用控制律ω_c1,ω_c2作为理想角速度输入时，o_bz_b轴动力学系统是渐近稳定的。即当t→∞时，

步骤三，针对运动学方程设计控制律。

当ω₃＝0,η₃＝0时，则针对运动学方程设计准李雅普诺夫函数

$V_2=w_1^2+w_2^2+\frac{1}{2}{z}^2>0$

其中，V₂表示运动学方程的准李雅普诺夫函数。

对上式求导，为使负定，设计虚拟控制律：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{d1}=-k_1\frac{w_1}{1+w_1^2+w_2^2}+\mathrm{\μ}\frac{z+{\mathrm{\ω}}_3/\mathrm{\μ}}{w_1^2+w_2^2}{w}_2\\ {\mathrm{\ω}}_{d2}=-k_1\frac{w_2}{1+w_1^2+w_2^2}-\mathrm{\μ}\frac{z+{\mathrm{\ω}}_3/\mathrm{\μ}}{w_1^2+w_2^2}{w}_1\end{array}\right.$

其中，k₁,μ表示控制常数，k₁>0,μ>0.5k₁。ω_d1,ω_d2表示o_bx_b轴，o_by_b轴的虚拟控制律。

将上式代入则得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-k_1{w}_1^2-k_1{w}_2^2-\mathrm{\&mu;}{z}^2<0$

根据李雅普诺夫稳定性定理可知：当采用控制律ω_d1,ω_d2作为理想角速度输入时，运动学系统是渐近稳定的。即当t→∞时，w₁→0,w₂→0,z→0。

步骤四，针对动力学方程的o_bx_b轴和o_by_b轴设计控制律。

考虑o_bx_b轴和o_by_b轴的动力学方程设计控制律。在步骤三给出的虚拟控制角速度ω_d1,ω_d2下，系统柔性振动模态坐标η_d1,η_d2应满足：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}+2{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}+{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2{\mathrm{\&eta;}}_{d1}+P_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}=0$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}+2{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}+{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2{\mathrm{\&eta;}}_{d2}+P_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}=0$

其中，表示对η_d1,η_d2进行一次时间求导。表示对η_d1,η_d2进行二次时间求导。

引入误差Δω₁＝ω₁-ω_d1,Δω₂＝ω₂-ω_d2,Δη₁＝η₁-η_d1,Δη₂＝η₂-η_d2，则o_bx_b轴和o_by_b轴的动力学方程进一步转化为误差的形式如下所示：

$J_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1=T_1+(J_2-J_3){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3-J_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}-P_1^T(\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1})$

$J_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=T_2+(J_3-J_1){\mathrm{\&omega;}}_1{\mathrm{\&omega;}}_3-J_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}-P_2^T(\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2})$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+2{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_1+P_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1=0$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+2{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_2+P_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=0$

针对上述误差动力学模型，构造准李雅普诺夫函数：

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}(J_1\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&eta;}}_1}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_1+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\\ +J_2\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_2}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&eta;}}_2}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_2+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)\end{array}$

其中，V表示o_bx_b轴和o_by_b轴的动力学方程的准李雅普诺夫函数。

对上式中的和进行矩阵变换，则得：

$\begin{array}{c}{J}_1\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\\ ={(\sqrt{J_1}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1+{\sqrt{J_1}}^{-1}{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)}^T(\sqrt{J_1}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1+{\sqrt{J_1}}^{-1}{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T(E_1-P_1{J_1}^{-1}{P}_1^T)\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\end{array}$

$\begin{array}{c}{J}_2\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_2}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2\\ ={(\sqrt{J_2}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2+{\sqrt{J_2}}^{-1}{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)}^T(\sqrt{J_2}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2+{\sqrt{J_2}}^{-1}{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T(E_2-P_2{J_2}^{-1}{P}_2^T)\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2\end{array}$

其中是单位矩阵。因此，若成立，则函数V相对于是正定函数。

对V求导，为了使负定，设计

$\left\{\begin{array}{c}{T}_1=-\mathrm{\&alpha;\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1-(J_2-J_3){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3+J_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}+P_1^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}\\ T_2=-\mathrm{\&alpha;\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2-(J_3-J_1){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3+J_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}+P_2^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}\end{array}\right.$

其中，α表示控制常数。

代入则得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-\mathrm{\&alpha;\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2-\mathrm{\&alpha;\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_2}^2-2\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1-2\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2$

由推出Δω₁＝0,Δω₂＝0,进一步求导，则得

代入误差动力学方程可知Δη₁＝0,Δη₂＝0。于是只包含系统的零解。根据LaSalle不变集定理可知，系统是渐近稳定的。即当t→∞时，Δω₁→0,Δη₁→0,Δω₂→0,Δη₂→0。

经过上述证明过程，得到控制律T₁,T₂在的情况下，可使系统渐近稳定，即能够保证实际角速度ω₁,ω₂趋向于理想角速度ω_d1,ω_d2。

然而，在所有时间点上并不是都有ω₁＝ω_d1,ω₂＝ω_d2，因此在控制律T₁,T₂作用下的完整闭环系统的稳定性仍需严格证明。该证明用李雅普诺夫稳定性定理和LaSalle不变集定理证得，属于本领域专业人员的公知原理，详细的证明过程在此不再赘述。

其中，在步骤一中所述的建立柔性航天器的动力学模型，其建立的方法如下：用动量矩原理建立柔性航天器本体的旋转运动模型和运用变分原理建立柔性附件的振动模型，该部分内容属于该领域的公知理论。

本发明一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法，其优点和有益效果是：

(1)本发明在航天器只具有两轴姿态控制力矩输出能力的条件下实现三轴姿态稳定控制，传统航天器在失去某一轴姿态控制能力时，姿态将失稳，不能进行三轴姿态稳定控制，从而也无法保证载荷工作的条件，而采用本发明的方法，可在此情况下实现三轴姿态稳定控制，从而挽救航天器，具有极高的经济价值；

(2)本发明由于可采用产生两轴力矩的推力器实现三轴姿态稳定控制，极大提高航天器的寿命。对于普通航天器，一般至少配置能产生三轴力矩的推力器，采用本发明的方法，在没有推力器失效的情况下，就关掉某轴推力器的方法，只采用两轴推力器进行三轴姿态稳定控制，在某一轴推力器失效的情况下，再启动此前没有进入控制回路的推力器，继续采用两轴推力器完成三轴姿态控制，可使系统寿命延长一倍，具有极大的经济价值；

(3)与现有技术中的欠驱动控制方法相比，传统的方法一般针对刚体航天器，没有考虑实际工程应用条件下的柔性附件因素。而由于航天器的运动和控制会与柔性附件的弹性振动相互影响，因此相比于欠驱动刚体航天器，欠驱动柔性航天器的姿态控制问题的研究更符合工程实际需求。本发明在基于两个推力器为有效控制力矩的情况下，为欠驱动柔性航天器提供了一种姿态稳定控制方法。

(4)本发明既可用于推力器执行机构中的部分推力器失效后的两轴控制力矩的欠驱动柔性航天器姿态控制，又适用于仅安装有两个推力器的微小型卫星的姿态控制。

【附图说明】

图1为惯性坐标系；

图2为航天器本体坐标系；

图3为柔性附件体坐标系、本体坐标系和惯性坐标系之间的示意关系图；

图4为两个推力器的航天器模型；

图5为本发明流程图；

【具体实施方式】

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步的详细描述。

本发明用到的坐标系定义如下：

惯性标系ox_iy_iz_i(s_i)：为地心赤道惯性坐标系，ox_i由地球球心指向春分点方向；oz_i沿垂直于地球赤道平面并指向北极的方向；oy_i由右手定则确定，如图1所示。

航天器本体坐标系o_bx_by_bz_b(s_b)：航天器本体坐标系三轴分别取为沿其惯性主轴方向，其中o_bx_b指向飞行前方；o_bz_b是航天器竖轴指向下，即朝向中心天体(地球)球心的方向；o_by_b由右手定则确定，如图2所示。

柔性附件体坐标系o_fx_fy_fz_f(s_f)：原点位于柔性附件与航天器本体的连接点处，o_fx_f、o_fz_f、o_fy_f与柔性附件固连，且构成右手定则。考虑柔性附件相对于航天器本体无转动的情形，惯性标系(s_i)、航天器本体坐标系(s_b)和柔性附件体坐标系(s_f)的关系如图3所示。

由于航天器的控制包括滚动、俯仰、偏航三轴，因此要实现在轨正常工作，至少需要配置能产生三个轴控制力矩的推力器，采用相应推力器即可对相应轴姿态进行控制，如图4所示。然而推力器具有可靠性问题，由于某些原因或长时间工作，可能失效，可能在某一轴失去控制力矩，例如图4中的提供控制力矩T₃的推力器失效，此时，航天器三轴中只有两轴具有姿态控制力矩输出能力，理论上讲，此时航天器只具有两个控制输入，而要完成三轴控制，即是一个欠驱动控制问题。

如图5所示，本发明提出了一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法，基于推力器实现，步骤如下：

步骤一，建立系统模型。

考虑柔性附件相对于航天器本体无转动的情形建立柔性航天器的动力学模型。假设柔性航天器的挠性变形很小，对变量做一阶线性化处理，运用动量矩定理建立柔性航天器的旋转运动模型如式(1a)所示；运用变分原理建立柔性附件的振动运动模型如式(1b)所示：

$J\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}+{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}\mathrm{J\&omega;}+P^T\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=T---\left(1a\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+2\mathrm{\&xi;\&Lambda;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+{\text{\&Lambda;}}^2\mathrm{\&eta;}+P\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}=0---\left(1b\right)$

其中ω表示航天器本体系相对于惯性系的角速度在本体系下的表述，表示对ω进行一次时间求导，ω^×表示叉乘运算的反对称矩阵，J表示航天器的转动惯量，η是航天器柔性模态坐标，P^T是柔性附件对航天器本体的柔性耦合系数矩阵，Λ是柔性附件模态频率矩阵，ξ是柔性附件模态阻尼矩阵，T表示航天器的推力器产生的力矩。

不失一般性，假设o_bz_b轴的推力器发生了故障(对o_bx_b，o_by_b轴发生故障的情况，可作类似处理)，式(1)的欠驱动柔性动力学方程写为式(2a)～式(2f)所示：

$J_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1-(J_2-J_3){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3+P_1^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1=T_1---\left(2a\right)$

$J_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2-(J_3-J_1){\mathrm{\&omega;}}_3{\mathrm{\&omega;}}_1+P_2^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2=T_2---\left(2b\right)$

$J_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_3-(J_1-J_2){\mathrm{\&omega;}}_1{\mathrm{\&omega;}}_2+P_3^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3=0---\left(2c\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+2{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2{\mathrm{\&eta;}}_1+P_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1=0---\left(2d\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+2{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2{\mathrm{\&eta;}}_2+P_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=0---\left(2e\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+2{\mathrm{\&xi;}}_3{\mathrm{\&Lambda;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&Lambda;}}_3^2{\mathrm{\&eta;}}_3+P_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_3=0---\left(2f\right)$

其中，ω₁∈R^1×1,ω₂∈R^1×1,ω₃∈R^1×1表示航天器本体系s_b各轴相对于惯性系s_i的角速度在本体系s_b下的表述，分别表示对ω₁,ω₂,ω₃进行一次时间求导，分别表示对η₁,η₂,η₃进行二次时间求导，(l₁+l₂+l₃＝n)分别对应本体系s_b三轴的柔性模态坐标，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件对航天器本体的柔性耦合系数矩阵，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件模态频率矩阵，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件模态阻尼矩阵，J₁,J₂,J₃分别表示航天器本体系o_bx_b，o_by_b，o_bz_b轴的转动惯量分量，T₁,T₂分别表示航天器本体系上的两个控制力矩分量。

根据Tsiotras的推导，采用(w,z)参数来描述航天器相对于惯性坐标系的姿态，其对应的姿态运动学方程如式(3)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1={\mathrm{\&omega;}}_3{w}_2+(1+w_1^2-w_2^2){\mathrm{\&omega;}}_1/2+w_1{w}_2{\mathrm{\&omega;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2=-{\mathrm{\&omega;}}_3{w}_1+(1-w_1^2+w_2^2){\mathrm{\&omega;}}_2/2+w_1{w}_2{\mathrm{\&omega;}}_1\\ \stackrel{\&CenterDot;}{z}={\mathrm{\&omega;}}_3+w_1{\mathrm{\&omega;}}_2-w_2{\mathrm{\&omega;}}_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，表示对w₁,w₂,z进行一次时间求导。

分析动力学方程式(2)可知，o_bx_b轴，o_by_b轴角速度各受控制力矩T₁,T₂驱动，而o_bz_b轴角速度没有控制力矩驱动，但o_bx_b轴，o_by_b轴角速度会对该轴角速度有耦合影响；另外，分析运动学方程(3)可知，参量z与无力矩轴相对应，参量w与有力矩轴相对应，物理意义明显，参量z对参量w没有耦合效应，而参量w对参量z有耦合效应，这为欠驱动轴的设计提供了方便，因此该姿态描述参数在欠驱动的应用中比较广泛。

步骤二，针对动力学方程的o_bz_b轴设计控制律。

如果初始条件ω₃≠0,η₃≠0，则首先针对动力学方程的o_bz_b轴设计控制律，即针对方程如式(4)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_3-(J_1-J_2){\mathrm{\&omega;}}_{c1}{\mathrm{\&omega;}}_{c2}+P_3^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3=0\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+2{\mathrm{\&xi;}}_3{\mathrm{\&Lambda;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&Lambda;}}_3^2{\mathrm{\&eta;}}_3+P_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_3=0\end{array}\right.---\left(4\right)$

构造准李雅普诺夫函数如式(5)所示：

$V_1=\frac{1}{2}(J_3{\mathrm{\&omega;}}_3^2+2{\mathrm{\&omega;}}_3{P}_3^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{{\mathrm{\&eta;}}_3}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_3^2{\mathrm{\&eta;}}_3)---\left(5\right)$

其中，V₁表示o_bz_b轴的动力学方程的准李雅普诺夫函数。

对上式中的进行矩阵变换，则得：

$\begin{array}{c}{J}_3{\mathrm{\&omega;}}_3^2+2{\mathrm{\&omega;}}_3{P}_3^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3\\ ={(\sqrt{J_3}{\mathrm{\&omega;}}_3+{\sqrt{J_3}}^{-1}{P}_3^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3)}^T(\sqrt{J_3}{\mathrm{\&omega;}}_3+{\sqrt{J_3}}^{-1}{P}_3^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3)+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3}^T(E_3-P_3{J_3}^{-1}{P}_3^T){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3\end{array}$

其中是单位矩阵。因此，若成立，则函数V₁相对于ω₃，η₃是正定函数。

对V₁求导，则得：为了使负定，设计中间控制律如式(6)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{c1}=-\mathrm{sgn}(J_1-J_2)\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&omega;}}_3\right)\sqrt{\left|{\mathrm{\&omega;}}_3\right|}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{c2}=k\sqrt{\left|{\mathrm{\&omega;}}_3\right|}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，k表示控制常数，sgn(·)表示·的符号函数，ω_c1,ω_c2表示o_bx_b轴，o_by_b轴的中间控制律。

代入则得如式(7)所示：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=-k|J_1-J_2|{{\mathrm{\&omega;}}_3}^2-2{\mathrm{\&xi;}}_3{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_3^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3---\left(7\right)$

由推出进一步求导，则得代入方程式(4)可知η₃＝0。根据李雅普诺夫稳定性定理可知：当采用控制律式(6)的ω_c1,ω_c2作为理想角速度输入时，系统(4)是渐近稳定的。即当t→∞时，

步骤三，针对运动学方程设计控制律。

当ω₃＝0,η₃＝0时，则针对运动学方程设计准李雅普诺夫函数如式(8)所示：

$V_2=w_1^2+w_2^2+\frac{1}{2}{z}^2>0---\left(8\right)$

其中，V₂表示运动学方程的准李雅普诺夫函数。

对上式求导，为使负定，设计控制律如式(9)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{d1}=-k_1\frac{w_1}{1+w_1^2+w_2^2}+\mathrm{\&mu;}\frac{z+{\mathrm{\&omega;}}_3/\mathrm{\&mu;}}{w_1^2+w_2^2}{w}_2\\ {\mathrm{\&omega;}}_{d2}=-k_1\frac{w_2}{1+w_1^2+w_2^2}-\mathrm{\&mu;}\frac{z+{\mathrm{\&omega;}}_3/\mathrm{\&mu;}}{w_1^2+w_2^2}{w}_1\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，k₁,μ表示控制常数，k₁>0,μ>0.5k₁。ω_d1,ω_d2表示o_bx_b轴，o_by_b轴的虚拟控制律。

将上式代入则得如式(10)所示：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-k_1{w}_1^2-k_1{w}_2^2-\mathrm{\&mu;}{z}^2<0---\left(10\right)$

根据李雅普诺夫稳定性定理可知：当采用控制律式(9)的ω_d1,ω_d2作为理想角速度输入时，运动学系统(3)是渐近稳定的。即当t→∞时，w₁→0,w₂→0,z→0。

步骤四，针对动力学方程的o_bx_b轴和o_by_b轴设计控制律。

考虑o_bx_b轴和o_by_b轴的动力学方程，即针对方程式(2a)，(2b)，(2d)和(2e)设计控制律。在步骤三给出的虚拟控制角速度ω_d1,ω_d2下，系统柔性振动模态坐标η_d1,η_d2应满足如下式(11a)和(11b)所示：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}+2{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}+{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2{\mathrm{\&eta;}}_{d1}+P_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}=0---\left(11a\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}+2{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}+{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2{\mathrm{\&eta;}}_{d2}+P_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}=0---\left(11b\right)$

其中，表示对η_d1,η_d2进行一次时间求导。表示对η_d1,η_d2进行二次时间求导。

引入Δω₁＝ω₁-ω_d1,Δω₂＝ω₂-ω_d2,Δη₁＝η₁-η_d1,Δη₂＝η₂-η_d2，则动力学方程(2a)，(2b)，(2d)和(2e)进一步转化为如式(12a)～(12d)所示：

$J_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1=T_1+(J_2-J_3){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3-J_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}-P_1^T(\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1})---\left(12a\right)$

$J_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=T_2+(J_3-J_1){\mathrm{\&omega;}}_1{\mathrm{\&omega;}}_3-J_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}-P_2^T(\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2})---\left(12b\right)$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+2{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_1+P_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1=0---\left(12c\right)$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+2{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_2+P_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=0---\left(12d\right)$

针对式(12a)～(12d)，构造准李雅普诺夫函数如式(13)所示：

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}(J_1\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&eta;}}_1}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_1+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\\ +J_2\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_2}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&eta;}}_2}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_2+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)\end{array}---\left(13\right)$

其中，V表示o_bx_b轴和o_by_b轴的动力学方程的准李雅普诺夫函数。

对上式中的和进行矩阵变换，则得：

$\begin{array}{c}{J}_1\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\\ ={(\sqrt{J_1}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1+{\sqrt{J_1}}^{-1}{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)}^T(\sqrt{J_1}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1+{\sqrt{J_1}}^{-1}{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T(E_1-P_1{J_1}^{-1}{P}_1^T)\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\end{array}$

$\begin{array}{c}{J}_2\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_2}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2\\ ={(\sqrt{J_2}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2+{\sqrt{J_2}}^{-1}{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)}^T(\sqrt{J_2}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2+{\sqrt{J_2}}^{-1}{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T(E_2-P_2{J_2}^{-1}{P}_2^T)\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2\end{array}$

其中是单位矩阵。因此，若成立，则函数V相对于ω₁，ω₂，η₂是正定函数。

对V求导，为了使负定，设计控制律如式(14)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_1=-\mathrm{\&alpha;\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1-(J_2-J_3){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3+J_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}+P_1^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}\\ T_2=-\mathrm{\&alpha;\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2-(J_3-J_1){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3+J_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}+P_2^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，α表示控制常数。

代入则得如式(15)所示：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-\mathrm{\&alpha;\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2-\mathrm{\&alpha;\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_2}^2-2\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1-2\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2---\left(15\right)$

由推出Δω₁＝0,Δω₂＝0,进一步求导，则得

代入方程式(12c)～(12d)可知Δη₁＝0,Δη₂＝0。于是只包含系统(12a)～(12d)的零解。根据LaSalle不变集定理可知，系统是渐近稳定的。即当t→∞时，Δω₁→0,Δη₁→0,Δω₂→0,Δη₂→0。

经过上述证明过程，得到控制律T₁,T₂在的情况下，可使系统渐近稳定，即能够保证实际角速度ω₁,ω₂趋向于理想角速度ω_d1,ω_d2。

然而，在所有时间点上并不是都有ω₁＝ω_d1,ω₂＝ω_d2，因此在控制律T₁,T₂作用下的完整闭环系统的稳定性仍需严格证明。该证明用李雅普诺夫稳定性定理和LaSalle不变集定理证得，属于本领域专业人员的公知原理，详细的证明过程在此不再赘述。

Claims (2)

1.一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法，其特征在于：其步骤如下：

步骤一，建立系统模型；

假设柔性航天器的挠性变形很小，对变量做一阶线性化处理，运用动量矩定理建立柔性航天器的旋转运动模型；运用变分原理建立柔性附件的振动运动模型；考虑柔性附件相对于航天器本体无转动的情形，假设o_bz_b轴的推力器发生了故障，建立欠驱动柔性航天器的动力学模型为：

$J_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1-(J_2-J_3){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3+P_1^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1=T_1$

$J_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2-(J_3-J_1){\mathrm{\&omega;}}_3{\mathrm{\&omega;}}_1+P_2^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2=T_2$

$J_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_3-(J_1-J_2){\mathrm{\&omega;}}_1{\mathrm{\&omega;}}_2+P_3^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3=0$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+2{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2{\mathrm{\&eta;}}_1+P_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1=0$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+2{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2{\mathrm{\&eta;}}_2+P_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=0$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+2{\mathrm{\&xi;}}_3{\mathrm{\&Lambda;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&Lambda;}}_3^2{\mathrm{\&eta;}}_3+P_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_3=0$

其中ω₁∈R^1×1,ω₂∈R^1×1,ω₃∈R^1×1表示航天器本体系s_b各轴相对于惯性系s_i的角速度在本体系s_b下的表述，ω₁,ω₂为实际角速度，分别表示对ω₁,ω₂,ω₃进行一次时间求导，分别表示对η₁,η₂,η₃进行二次时间求导，分别对应本体系s_b三轴的柔性模态坐标，其中，l₁+l₂+l₃＝n，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件对航天器本体的柔性耦合系数矩阵，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件模态频率矩阵，分别对应本体系s_b三轴的柔性附件模态阻尼矩阵，J₁,J₂,J₃分别表示航天器本体系o_bx_b，o_by_b，o_bz_b轴的转动惯量分量，T₁,T₂分别表示航天器本体系上的两个控制力矩分量；

采用(w,z)参数来描述航天器相对于惯性坐标系的姿态，其对应的姿态运动学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1={\mathrm{\&omega;}}_3{w}_2+(1+w_1^2-w_2^2){\mathrm{\&omega;}}_1/2+w_1{w}_2{\mathrm{\&omega;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2=-{\mathrm{\&omega;}}_3{w}_1+(1-w_1^2+w_2^2){\mathrm{\&omega;}}_2/2+w_1{w}_2{\mathrm{\&omega;}}_1\\ \stackrel{\&CenterDot;}{z}={\mathrm{\&omega;}}_3+w_1{\mathrm{\&omega;}}_2-w_2{\mathrm{\&omega;}}_1\end{array}\right.$

其中，表示对w₁,w₂,z进行一次时间求导；

由欠驱动柔性航天器的动力学方程可知，o_bx_b轴，o_by_b轴角速度各受控制力矩T₁,T₂驱动，而o_bz_b轴角速度没有控制力矩驱动，但o_bx_b轴，o_by_b轴角速度会对o_bz_b轴角速度有耦合影响；另外，由姿态运动学方程可知，参量z与无力矩轴相对应，参量w与有力矩轴相对应，参量z对参量w没有耦合效应，而参量w对参量z有耦合效应；

步骤二，针对动力学方程的o_bz_b轴设计控制律；

如果初始条件ω₃≠0,η₃≠0，则针对o_bz_b轴的动力学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_3-(J_1-J_2){\mathrm{\&omega;}}_{c1}{\mathrm{\&omega;}}_{c2}+P_3^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3=0\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+2{\mathrm{\&xi;}}_3{\mathrm{\&Lambda;}}_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{\mathrm{\&Lambda;}}_3^2{\mathrm{\&eta;}}_3+P_3{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_3=0\end{array}\right.$

构造准李雅普诺夫函数：

$V_1=\frac{1}{2}(J_3{\mathrm{\&omega;}}_3^2+2{\mathrm{\&omega;}}_3{P}_3^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{{\mathrm{\&eta;}}_3}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_3^2{\mathrm{\&eta;}}_3)$

其中，V₁表示o_bz_b轴的动力学方程的准李雅普诺夫函数；

对上式中的进行矩阵变换，则得：

$\begin{array}{c}{J}_3{\mathrm{\&omega;}}_3^2+2{\mathrm{\&omega;}}_3{P}_3^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3\\ ={(\sqrt{J_3}{\mathrm{\&omega;}}_3+{\sqrt{J_3}}^{-1}{P}_3^T{\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}}_3)}^T(\sqrt{J_3}{\mathrm{\&omega;}}_3+{\sqrt{J_3}}^{-1}{P}_3^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3)+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3}^T(E_3-P_3{J_3}^{-1}{P}_3^T){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3\end{array}$

其中是单位矩阵，因此，若成立，则函数V₁相对于是正定函数；

对V₁求导，则得：为了使负定，设计中间控制律：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{c1}=-\mathrm{sgn}(J_1-J_2)\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&omega;}}_3\right)\sqrt{\left|{\mathrm{\&omega;}}_3\right|}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{c2}=k\sqrt{\left|{\mathrm{\&omega;}}_3\right|}\end{array}\right.$

其中，k表示控制常数，sgn(·)表示·的符号函数，ω_c1,ω_c2表示o_bx_b轴，o_by_b轴的中间控制律；

将上式中间控制律代入则得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=-k\left|J_1-J_2\right|{{\mathrm{\&omega;}}_3}^2-2{\mathrm{\&xi;}}_3{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_3^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3$

由推出进一步求导，则得代入o_bz_b轴的动力学方程可知η₃＝0，根据李雅普诺夫稳定性定理可知：当采用中间控制律ω_c1,ω_c2作为输入时，o_bz_b轴动力学系统是渐近稳定的，即当t→∞时，ω₃→0,η₃→0；

步骤三，针对运动学方程设计控制律；

当ω₃＝0,η₃＝0时，则针对运动学方程设计准李雅普诺夫函数：

$V_2=w_1^2+w_2^2+\frac{1}{2}{z}^2>0$

其中，V₂表示运动学方程的准李雅普诺夫函数；

对上式求导，为使负定，设计虚拟控制律：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{d1}=-k_1\frac{w_1}{1+w_1^2+w_2^2}+\mathrm{\&mu;}\frac{z+{\mathrm{\&omega;}}_3/\mathrm{\&mu;}}{w_1^2+w_2^2}{w}_2\\ {\mathrm{\&omega;}}_{d2}=-k_1\frac{w_2}{1+w_1^2+w_2^2}-\mathrm{\&mu;}\frac{z+{\mathrm{\&omega;}}_3/\mathrm{\&mu;}}{w_1^2+w_2^2}{w}_1\end{array}\right.$

其中，k₁,μ表示控制常数，k₁>0,μ>0.5k₁，ω_d1,ω_d2表示o_bx_b轴，o_by_b轴的虚拟控制律；

将上式代入则得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-k_1{w}_1^2-k_1{w}_2^2-{\mathrm{\&mu;z}}^2<0$

根据李雅普诺夫稳定性定理可知：当采用虚拟控制律ω_d1,ω_d2作为理想角速度输入时，运动学系统是渐近稳定的，即当t→∞时，w₁→0,w₂→0,z→0；

步骤四，针对动力学方程的o_bx_b轴和o_by_b轴设计控制律；

考虑o_bx_b轴和o_by_b轴的动力学方程设计控制律，在步骤三给出的虚拟控制律ω_d1,ω_d2下，系统柔性振动模态坐标η_d1,η_d2应满足：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}+2{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}+{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2{\mathrm{\&eta;}}_{d1}+P_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}=0$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}+2{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}+{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2{\mathrm{\&eta;}}_{d2}+P_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}=0$

其中，表示对η_d1,η_d2进行一次时间求导，表示对η_d1,η_d2进行二次时间求导；

引入误差Δω₁＝ω₁-ω_d1,Δω₂＝ω₂-ω_d2,Δη₁＝η₁-η_d1,Δη₂＝η₂-η_d2，则o_bx_b轴和o_by_b轴的动力学方程进一步转化为误差的形式如下所示：

$J_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1=T_1+(J_2-J_3){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3-J_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}-P_1^T(\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1})$

$J_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=T_2+(J_3-J_1){\mathrm{\&omega;}}_1{\mathrm{\&omega;}}_3-J_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}-P_2^T(\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2})$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+2{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2{\mathrm{\&Delta;\&eta;}}_1+P_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_1=0$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+2{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2{\mathrm{\&Delta;\&eta;}}_2+P_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_2=0$

针对上述误差动力学模型，构造准李雅普诺夫函数：

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}(J_1\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&eta;}}_1}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_1^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_1+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\\ +J_2\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_2}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&eta;}}_2}^T{\mathrm{\&Lambda;}}_2^2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&eta;}}_2+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)\end{array}$

其中，V表示o_bx_b轴和o_by_b轴的动力学方程的准李雅普诺夫函数；

对上式中的和进行矩阵变换，则得：

$\begin{array}{c}{J}_1\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2+2\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Delta;\&eta;}}}_1}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\\ ={(\sqrt{J_1}{\mathrm{\&Delta;\&omega;}}_1+{\sqrt{J_1}}^{-1}{P}_1^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}}_1)}^T(\sqrt{J_1}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_1+{\sqrt{J_1}}^{-1}{P}_1^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1)+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Delta;\&eta;}}}_1}^T(E_1-P_1{J_1}^{-1}{P}_1^T){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1\end{array}$

$\begin{array}{c}{J}_2\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&omega;}}_2}^2+\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2+\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2\\ ={(\sqrt{J_2}{\mathrm{\&Delta;\&omega;}}_2+{\sqrt{J_2}}^{-1}{P}_2^T\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}}_2)}^T(\sqrt{J_2}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&omega;}}_2+{\sqrt{J_2}}^{-1}{P}_2^T{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2)+{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Delta;\&eta;}}}_2}^T(E_2-P_2{J_2}^{-1}{P}_2^T){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2\end{array}$

其中 $E_1\&Element;R^{l_1\&times;l_1},E_2\&Element;R^{l_2\&times;l_2}$ 是单位矩阵，因此，若 $E_1-P_1{J_1}^{-1}{P}_1^T>0,E_2-P_2{J_2}^{-1}{P}_2^T>0$ 成立，则函数V相对于是正定函数；

对V求导，为了使负定，设计：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_1=-{\mathrm{\&alpha;\&Delta;\&omega;}}_1-(J_2-J_3){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3+J_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d1}+P_1^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d1}\\ T_2=-{\mathrm{\&alpha;\&Delta;\&omega;}}_2-(J_3-J_1){\mathrm{\&omega;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_3+J_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{d2}+P_2^T{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_{d2}\end{array}\right.$

其中，α表示控制常数；

代入则得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=-{{\mathrm{\&alpha;\&Delta;\&omega;}}_1}^2-{{\mathrm{\&alpha;\&Delta;\&omega;}}_2}^2-2\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1}^T{\mathrm{\&xi;}}_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1-2\mathrm{\&Delta;}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2}^T{\mathrm{\&xi;}}_2{\mathrm{\&Lambda;}}_2\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2$

由推出Δω₁＝0,Δω₂＝0,进一步求导，则得，

代入误差动力学方程后有Δη₁＝0,Δη₂＝0，于是只包含系统的零解，根据LaSalle不变集定理，系统是渐近稳定的，即当t→∞时，

Δω₁→0,Δω₂→0,Δη₁→0,Δη₂→0；

经过上述证明过程，得到控制律T₁,T₂在的情况下，可使系统渐近稳定，即能够保证实际角速度ω₁,ω₂趋向于理想角速度ω_d1,ω_d2。

2.根据权利要求1所述的一种欠驱动柔性航天器姿态稳定的控制方法，其特征在于：在步骤一所述的欠驱动柔性航天器的动力学模型，包括欠驱动柔性航天器的旋转运动模型和柔性附件的振动运动模型。