CN102998975B - 一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，针对带有两个推力器的欠驱动航天器，设计对系统的广义模型误差具有鲁棒性的角速度稳定控制律。首先建立了包含广义模型误差的系统模型，在理想欠驱动航天器角速度方程的基础上，得到包括系统惯量不确定性、执行机构安装误差以及角速度的测量误差等广义模型误差的系统动力学方程。然后针对推导的系统设计了一种鲁棒控制方法，并证明了全局渐近稳定。最后，引入同质系统的概念，分析并证明了该控制律使得原系统全局渐近稳定。该方法为实际工程应用的欠驱动航天器提供了理论基础，控制律形式简单。本发明可用于各类采用推力器的欠驱动航天器的角速度稳定的鲁棒控制。

Description

一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法

【技术领域】

本发明涉及一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，实现了航天器在只具有两轴控制力矩输出能力的情况下，进行三轴角速度稳定控制的目的，属于欠驱动航天器部分姿态稳定控制的应用技术领域。

【背景技术】

欠驱动航天器是指独立控制输入个数少于航天器自由度个数的航天器。由于空间环境复杂恶劣，航天器长期运行后难免会产生故障，其中执行机构故障尤为常见。而对于小型航天器而言，由于体积、质量和经济成本的限制，往往不可能像大型航天器一样为提高可靠性而配置冗余的执行机构，在保证姿态控制任务顺利实现的前提下最小化执行机构显得特别有价值。因此，研究欠驱动航天器的姿态控制不仅为大型航天器的姿态控制系统提供一种故障预案，而且对小卫星和深空探测器等对质量、体积和经济成本有特别限制的航天器更具有特殊意义。

在欠驱动航天器姿态控制问题的研究中需要考虑的实际工程因素包括系统惯量不确定性、外部干扰力矩、执行机构安装不确定性及执行机构输出力矩饱和等。这些工程因素对欠驱动航天器的姿态控制任务产生的影响与完全驱动的情况并无区别。只是欠驱动航天器应对这些干扰与不确定性的能力相对较弱，甚至受这些因素的影响很大，很难进行鲁棒性控制器设计。在这些因素的影响作用下，理想情况下设计的欠驱动航天器控制器不能直接应用于实际工程中。

为了解决实际工程应用中采用推力器的欠驱动航天器角速度的稳定控制问题，本发明提出一种鲁棒控制方法。

【发明内容】

本发明的目的是针对现有控制技术中，对实际工程因素影响下的欠驱动系统研究的不足，提供了一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，它实现了航天器在只具有两轴姿态控制力矩输出能力的情况下，在有系统转动惯量不确定性、本体坐标系不确定性、推力器安装不确定性以及推力器安装误差导致的干扰力矩等广义模型误差时，进行三轴角速度稳定控制的目的。因此，首先建立这些因素的模型，假定这些干扰因素的影响都是小量（这与工程实际相符），在理想欠驱动航天器角速度方程的基础上，得到了包括系统转动惯量不确定性、本体坐标系不确定性、推力器安装不确定性以及推力器安装误差导致的干扰力矩等广义模型误差的系统动力学方程。然后针对推导的系统动力学方程设计了一种鲁棒控制方法，并证明了全局渐近稳定。最后，引入同质系统的概念，分析并证明了该鲁棒控制律能使原系统全局渐近稳定。本发明为实际工程应用中的欠驱动航天器稳定控制方案提供了解决办法，具有极大的工程实用价值。

本发明一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，是基于推力器实现。该方法的实现步骤如下：

步骤一：建立包含广义模型误差的系统方程

在有两个有效力矩驱动的情况下，欧拉角速度方程如式(1)所示：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}=B{\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\τ}}_1& {\mathrm{\τ}}_2\end{array}\right]}^T---\left(1\right)$

其中，ω表示航天器本体系相对于惯性系的角速度在本体坐标系下的表述；表示对ω进行一次时间求导；ω^x表示叉乘运算的反对称矩阵；J=diag{J₁,J₂,J₃}表示航天器的转动惯量；J₁,J₂,J₃分别表示为航天器本体坐标系的x，y，z轴上的转动惯量分量；τ₁,τ₂分别表示航天器的推力器在本体轴上产生的两个力矩分量；矩阵B∈R^3×2表述了力矩τ₁,τ₂在航天器本体系的安装方位；

受实际工程因素的影响，参数ω会不精确，而测量坐标系中的实际测量角速度是可以精确测量的，其表示航天器的测量本体系相对于惯性系的角速度在测量本体坐标系下的表述，假设表示为本体坐标系F_b到测量坐标系的坐标转换矩阵，那么ω和的关系如式(2)所示：

$\widehat{\mathrm{\ω}}=R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}---\left(2\right)$

假设转动惯量的实际测量值为同时考虑推力器产生的两个实际测量力矩导致的控制量干扰，更精确地考虑推力器的安装位置及力矩方向的实际测量矩阵为了便于计算，假设安装位置表示如式(3)所示：

$\hat{B}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，1代表该安装位置有力矩作用，0代表该安装位置无力矩作用；

此时测量系统表示为式(4)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_1={\hat{a}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1}{{\hat{J}}_1}\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_2={\hat{a}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2}{\widehat{J_2}}\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_3={\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，分别表示在航天器本体坐标系的x，y，z轴上的角速度分量， ${\hat{a}}_1=({\hat{J}}_2-{\hat{J}}_3)/{\hat{J}}_1,$ ${\hat{a}}_2=({\hat{J}}_3-{\hat{J}}_1)/{\hat{J}}_2,$ ${\hat{a}}_3=({\hat{J}}_1-{\hat{J}}_2)/{\hat{J}}_3;$

在条件 $\left|\right|J-\hat{J}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},$ $\left|\right|B-\hat{B}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},$ $\left|\right|R_{{\hat{F}}_b{F}_b}-I_3\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}$ 存在的情况下，其中 $\left|\right|J-\hat{J}\left|\right|,$ $\left|\right|B-\hat{B}\left|\right|,$ $\left|\right|R_{{\hat{F}}_b{F}_b}-I_3\left|\right|$ 分别表示对 求二次范数，ε是任意小量，即假定广义模型误差对系统的影响都是小量，针对实际测量系统设计反馈控制律如式(5)所示：

$\hat{T}\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=({\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right),{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right))---\left(5\right)$

其中，表示由力矩和组成的力矩向量；使得系统关于稳定点ω＝0渐近稳定，即系统对广义模型误差具有鲁棒性；

将式(2)代入式(5)，得到如式(6)所示：

$T\left(\mathrm{\ω}\right)=({\mathrm{\τ}}_1\left(\mathrm{\ω}\right),{\mathrm{\τ}}_2\left(\mathrm{\ω}\right))=({\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right),{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right))---\left(6\right)$

其中，T(ω)表示由力矩τ₁(ω)和τ₂(ω)组成的力矩向量；

步骤二：针对包含广义模型误差的测量模型设计控制律

针对实际测量系统，设计如下控制律，如式(7)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)={\hat{J}}_1(-{\hat{a}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3+\mathrm{\λ}{\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2-k_1({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3){|\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3|)\\ {\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)={\hat{J}}_2(-({\hat{a}}_2+\mathrm{\μ}{\hat{a}}_3){\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-k_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{|\widehat{\mathrm{\ω}}}_2|)\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，和分别表示和的绝对值，λ，μ，k₁,k₂为系统常数，且满足λ≠0,μ>0,k₁>0,k₂>0；

实际测量系统在控制律的作用下是全局渐近稳定的，闭环系统如式(8)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_1=\mathrm{\λ}{\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2-k_1({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3)|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3|\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_2=-\mathrm{\μ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-k_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\left|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\right|\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_3={\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\end{array}\right.---\left(8\right)$

取李雅普诺夫函数，如式(9)所示：

$V\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=\frac{1}{2}{({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3)}^2+\frac{1}{2}{{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2}^2+\frac{\mathrm{\μ}}{2}{{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3}^2---\left(9\right)$

其中，表示为系统关于的李雅普诺夫函数；

对求导，得到如式(10)所示：

$\stackrel{\·}{V}\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=-k_1{|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3|}^3-k_2{\left|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\right|}^3---\left(10\right)$

即由式(9)和式(10)得到，满足 由此说明，实际测量系统的任何轨迹都是有界的，根据LaSalle不变集定理，该系统最大不变集为对于集合S中的任何轨迹求导即有代入系统得到，即：同时由 ${\widehat{\mathrm{\ω}}}_1=\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3$ 得到 ${\widehat{\mathrm{\ω}}}_1\left(t\right)=0;$

也就是说，实际测量系统是全局渐近稳定的，稳定点为：

步骤三：证明实际测量控制律对系统的广义模型误差具有鲁棒性

首先给出同质系统的定义：

函数是同质度为k的同质向量场，其中k≥1，当且仅当f(cx)=c^kf(x),其中c为任意常数，x为系统变量；若系统的向量场为同质向量场时，则此系统为同质系统；

其次给出同质系统的性质：

假设系统关于原点x=0是渐近稳定的，若满足如式(11)所示：

|g(y)|≤M|y|^k    (11)

其中，y为系统变量，g(y)为y的向量场，M为任意常数，则称同质系统关于原点y=0也是渐近稳定的；

接下来回到原系统，原系统如式(12)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1=({\hat{a}}_1+{\mathrm{\η}}_1){\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+(1+{\mathrm{\η}}_4)\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_5\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2=({\hat{a}}_2+{\mathrm{\η}}_2){\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\η}}_6\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+(1+{\mathrm{\η}}_7)\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_3=({\hat{a}}_3+{\mathrm{\η}}_3){\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2+{\mathrm{\η}}_8\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_9\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，常数η_i,i＝1,…,3由J,决定，常数η_i，i＝4,…,9由J,B,决定，存在常数使得：1)任意J,B均保证广义模型误差对系统的影响都是小量，即满足 $\left|{\mathrm{\η}}_i(J,\hat{J})\right|\≤{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ}),$ (i＝1,…,3)，且 $\left|{\mathrm{\η}}_i(J,\hat{J},B,\hat{B})\right|\≤{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ}),$ (i＝4,…,9)；

2). $\underset{\mathrm{\ϵ}\→0}{\lim }{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ})=0;$

把公式（12）化成与实际测量系统同质的形式，并考虑到原系统的实际控制律与可测控制律的关系，则写为如式(13)所示：

$\stackrel{\·}{y}=f\left(y\right)+g\left(y\right)---\left(13\right)$

其中，

y=ω

$f\left(y\right)=\left[\begin{array}{c}{\hat{a}}_1{\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}\\ {\hat{a}}_2{\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\\ {\hat{a}}_3{\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2\end{array}\right]$

$g\left(y\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\η}}_1{\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+{\mathrm{\η}}_4\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_{1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_5\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_{2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}}{{\hat{J}}_2}+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)-{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}\\ {\mathrm{\η}}_2{\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\η}}_6\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_7\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)-{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\\ {\mathrm{\η}}_3{\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2+{\mathrm{\η}}_8\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_9\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\end{array}\right]$

显然，同质向量场f的同质度为2，原系统与实际测量系统为同质系统；

利用同质的概念可知，g(y)的同质度也为2，其存在：1).任意矩阵J,B,F_b均保证广义模型误差对系统的影响都是小量，即 $\left|g\left(\mathrm{\ω}\right)\right|\≤M(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ}){\left|\mathrm{\ω}\right|}^2;$ 2). $\underset{\mathrm{\ϵ}\→0}{\lim }M(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ})=0;$

根据同质系统的性质可知，由“在实际测量控制律的作用下，实际测量系统关于原点是全局渐近稳定的”，推得：“在实际测量控制律的作用下，原系统关于原点ω＝0是全局渐近稳定的”，同时也意味着控制律对系统的广义模型误差具有鲁棒性；

其中，步骤一中所述的广义模型误差是指系统转动惯量不确定性、本体坐标系不确定性、推力器安装不确定性以及推力器安装误差导致的干扰力矩。

本发明一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，其优点和有益效果是：

(1)本发明可以在航天器只具有两轴控制力矩输出能力的条件下实现三轴角速度稳定控制，传统航天器在失去某一轴控制能力时，航天器将失稳，不能进行三轴角速度稳定控制，从而也无法保证载荷工作的条件，而采用本发明的方法，可在此情况下实现三轴角速度稳定控制，从而挽救航天器，具有极高的经济价值；

(2)本发明由于可采用产生两轴力矩的推力器实现三轴角速度稳定控制，可以极大提高航天器的寿命。对于普通航天器，一般至少配置能产生三轴力矩的推力器，采用本发明的方法，可以在没有推力器失效的情况下，就关掉某轴推力器的方法，只采用两轴推力器进行三轴角速度稳定控制，在某一轴推力器失效的情况下，再启动此前没有进入控制回路的推力器，继续采用两轴推力器完成三轴角速度控制，可使系统寿命延长一倍，具有极大的经济价值；

(3)与现有技术中的欠驱动控制方法相比，传统的方法一般没有考虑实际工程应用条件下的广义模型误差。欠驱动航天器应对这些干扰与不确定性的能力相对较弱，甚至受这些因素的影响很大，很难进行鲁棒性控制器设计。本发明考虑了实际工程角度的转动惯量不确定、本体坐标系不确定性、推力器安装方位不确定性以及推力器安装误差导致的干扰力矩，设计了一种鲁棒控制方法。本发明的方法为欠驱动航天器在实际工程应用中提供了理论分析依据，具有极大的工程价值。

【附图说明】

图1为两个推力器的航天器模型；

图2为航天器本体坐标系及估计本体坐标系；

图3为地心赤道惯性坐标系；

图4为本发明流程图；

【具体实施方式】

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行进一步的详细描述。

由于航天器的控制包括滚动、俯仰、偏航三轴，因此要实现在轨正常工作，至少需要配置能产生三个轴控制力矩的推力器，采用相应推力器即可对相应轴姿态进行控制，如图1所示。然而推力器具有可靠性问题，由于某些原因或长时间工作，可能失效，可能率先在某一轴失去控制力矩，例如图1中的提供控制力矩T₃的推力器失效，此时，航天器三轴中只有两轴具有姿态控制力矩输出能力，理论上讲，此时航天器只具有两个控制输入，而要完成三轴控制，即是一个欠驱动控制问题。

本发明假设本体系F_b的实际测量坐标系为而坐标系中的各个参变量都是可测量的或者是已知的。那么就需要针对已知量进行设计，使得真实系统可以稳定，即针对实际测量系统设计对广义模型误差有鲁棒性的控制律。

本发明中涉及的几种坐标系定义如下：

a.本体坐标系ox_by_bz_b(F_b)：航天器本体坐标系三轴分别取为沿其惯性主轴方向，其中ox_b指向飞行前方；oz_b是航天器朝向中心天体(地球)球心的方向；oy_b由右手定则确定，如图2。

b.实际测量本体坐标系航天器实际测量本体坐标系三轴分别取为沿其实际测量的惯性主轴方向，其中指向实际测量的飞行前方；是航天器朝向中心天体(地球)球心的方向；由右手定则确定，如图2。

c.惯性标系ox_iy_iz_i(F_i)：为地心赤道惯性坐标系，ox_i由地球球心指向春分点方向；oz_i沿垂直于地球赤道平面并指向北极的方向；oy_i由右手定则确定，如图3。

如图4所示，本发明基于实际工程应用背景，提出了一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，基于推力器实现。本发明一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，其实施步骤如下：

第一步，建立包含广义模型误差的系统方程

在有两个有效力矩驱动的情况下，欧拉角速度方程如式(14)所示：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}=B{\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\τ}}_1& {\mathrm{\τ}}_2\end{array}\right]}^T---\left(14\right)$

其中，ω表示航天器本体系相对于惯性系的角速度在本体坐标系下的表述，表示对ω进行一次时间求导，ω^x表示叉乘运算的反对称矩阵，J=diag{J₁,J₂,J₃}表示航天器的转动惯量，J₁,J₂,J₃分别表示为航天器本体坐标系的x，y，z轴上的转动惯量分量，τ₁,τ₂分别表示航天器的推力器在本体轴上产生的两个力矩分量，矩阵B∈R^3×2表述了力矩τ₁,τ₂在航天器本体系的安装方位。

由于受实际工程因素的影响，(14)中参数难免会不精确。假设测量坐标系中的实际测量角速度其表示航天器实际测量本体系相对于惯性系的角速度在实际测量本体坐标系下的表述，假设表示为坐标系F_b到坐标系的坐标转换矩阵，那么ω和的关系如式(15)所示：

$\widehat{\mathrm{\ω}}=R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}---\left(15\right)$

假设实际测量的转动惯量为同时考虑推力器产生的两个实际测量力矩导致的控制量干扰，更精确地考虑推力器的安装位置及力矩方向的实际测量矩阵

控制系统(14)在坐标系下可以表述如式(16)所示：

$\hat{J}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}+{\widehat{\mathrm{\ω}}}^{\×}\hat{J}\widehat{\mathrm{\ω}}=\hat{B}{\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1& {\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\end{array}\right]}^T---\left(16\right)$

简单起见，我们考虑推力器安装在惯量主轴方向上的最简单情况，即如式(17)所示：

$\hat{B}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]---\left(17\right)$

其中，1代表该安装位置有力矩作用，0代表该安装位置无力矩作用。

此时系统(16)可以简化如式(18)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_1={\hat{a}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1}{{\hat{J}}_1}\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_2={\hat{a}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2}{\hat{J}2}\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_3={\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\end{array}\right.---\left(18\right)$

其中，分别表示在航天器本体坐标系的x，y，z轴上的角速度分量， ${\hat{a}}_1=({\hat{J}}_2-{\hat{J}}_3)/{\hat{J}}_1,$ ${\hat{a}}_2=({\hat{J}}_3-{\hat{J}}_1)/{\hat{J}}_2,$ ${\hat{a}}_3=({\hat{J}}_1-{\hat{J}}_2)/{\hat{J}}_3.$

本发明的设计目的是：针对系统(18)设计反馈控制律如式(19)所示：

$\hat{T}\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=({\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right),{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right))---\left(19\right)$

使得在条件如式(20)所示：

$\left|\right|J-\hat{J}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},$ $\left|\right|B-\hat{B}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},$ $\left|\right|R_{{\hat{F}}_b{F}_b}-I_3\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}---\left(20\right)$

成立时，其中||·||表示对·的二次范数，ε是任意小量，控制律(19)与原系统(14)组成的闭环系统关于稳定点ω＝0渐近稳定，即系统对广义模型误差具有鲁棒性。

由式(15)可知，该控制律(19)以ω为变量可以写为如式(21)所示：

$T\left(\mathrm{\ω}\right)=({\mathrm{\τ}}_1\left(\mathrm{\ω}\right),{\mathrm{\τ}}_2\left(\mathrm{\ω}\right))=({\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right),{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right))---\left(21\right)$

其中，T(ω)表示由力矩τ₁(ω)和τ₂(ω)组成的力矩向量。

第二步，针对包含广义模型误差的测量模型设计控制律

针对系统(18)，设计如下控制律如式(22)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)={\hat{J}}_1(-{\hat{a}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3+\mathrm{\λ}{\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2-k_1({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3){|\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3|)\\ {\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)={\hat{J}}_2(-({\hat{a}}_2+\mathrm{\μ}{\hat{a}}_3){\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-k_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{|\widehat{\mathrm{\ω}}}_2|)\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中，|·|表示·的绝对值，λ，μ，k₁,k₂为系统常数，且满足λ≠0,μ>0,k₁>0,k₂>0。下面证明系统(18)在控制律(22)的作用下是全局渐近稳定的。

系统(18)和控制律(22)组成的闭环系统如式(23)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_1=\mathrm{\λ}{\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2-k_1({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3)|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3|\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_2=-\mathrm{\μ}{\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-k_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\left|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\right|\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_3={\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\end{array}\right.---\left(23\right)$

取李雅普诺夫函数如式(24)所示：

$V\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=\frac{1}{2}{({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3)}^2+\frac{1}{2}{{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2}^2+\frac{\mathrm{\μ}}{2}{{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3}^2---\left(24\right)$

其中，表示为系统关于的李雅普诺夫函数。

对沿着系统(23)的轨迹对时间求导，得到导数如式(25)所示

$\stackrel{\·}{V}\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=-k_1{|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3|}^3-k_2{\left|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\right|}^3---\left(25\right)$

即满足 由此说明，系统(23)的任何轨迹都是有界的。根据LaSalle不变集定理，系统(23)的最大不变集为对于集合S中的任何轨迹求导即有代入式(23)得到，即：同时由可以得到

综上所述，系统(18)是全局渐近稳定的，稳定点为：

第三步，证明实际测量控制律对系统的广义模型误差具有鲁棒性

首先给出同质系统的定义：

函数是同质度为k的同质向量场(其中k≥1)，当且仅当f(cx)=c^kf(x),其中c为任意常数，x为系统变量。若系统的向量场为同质向量场时，则此系统为同质系统。

其次给出同质系统的性质：

假设系统关于原点x＝0是渐近稳定的，若满足如式(26)所示：

|g(y)|≤M|y|^k    (26)

其中，y为系统变量，g(y)为y的向量场，M为任意常数。则称同质系统关于原点y=0也是渐近稳定的。

接下来回到原系统(14)，可以写为如式(27)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1=({\hat{a}}_1+{\mathrm{\η}}_1){\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+(1+{\mathrm{\η}}_4)\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_5\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2=({\hat{a}}_2+{\mathrm{\η}}_2){\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\η}}_6\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+(1+{\mathrm{\η}}_7)\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_3=({\hat{a}}_3+{\mathrm{\η}}_3){\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2+{\mathrm{\η}}_8\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_9\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\end{array}\right.---\left(27\right)$

其中，常数η_i,(i＝1,…,3)由J,决定，常数η_i,(i＝4,…,9)由J,B,决定。存在常数使得：1).任意矩阵J,B均满足式(20)从而保证广义模型误差对系统的影响都是小量，即满足 $\left|{\mathrm{\η}}_i(J,\hat{J})\right|\≤{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ}),$ (i=1,…,3), $\left|{\mathrm{\η}}_i(J,\hat{J},B,\hat{B})\right|\≤{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ}),$ (i＝4,…,9);2). $\underset{\mathrm{\ϵ}\→0}{\lim }{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ})=0.$

下面把式(27)化为与式(18)同质的形式，考虑到原系统的实际控制律(21)，则(27)可以写为如式(28)所示：

$\stackrel{\·}{y}=f\left(y\right)+g\left(y\right)---\left(28\right)$

其中，

y=ω    (29)

$f\left(y\right)=\left[\begin{array}{c}{\hat{a}}_1{\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}\\ {\hat{a}}_2{\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\\ {\hat{a}}_3{\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2\end{array}\right]---\left(30\right)$

$g\left(y\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\η}}_1{\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+{\mathrm{\η}}_4\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_5\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)-{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}\\ {\mathrm{\η}}_2{\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\η}}_6\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_7\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)-{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\\ {\mathrm{\η}}_3{\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2+{\mathrm{\η}}_8\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_9\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\end{array}\right]---\left(31\right)$

对比系统(18)，写为如下式(32)所示：

$\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)---\left(32\right)$

其中，

$x=\widehat{\mathrm{\ω}}---\left(33\right)$

$f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{\hat{a}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)}{{\hat{J}}_1}\\ {\hat{a}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)}{{\hat{J}}_2}\\ {\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\end{array}\right]---\left(34\right)$

显然，式(30)描述的f(y)和(34)描述的f(x)为同一个向量场，且该向量场f为同质向量场，其同质度为2。因此系统(28)与系统(32)为同质系统，即：原系统(14)与测量系统(18)为同质系统。

利用同质的概念可知，g(y)的同质度也为2。其存在：1).任意J,B,F_b均满足式(20)从而保证广义模型误差对系统的影响都是小量，即2).

综上所述，根据同质系统的性质可知，由“在控制律(22)的作用下，系统(18)关于原点是全局渐近稳定的”，可以推得：“在控制律(22)的作用下，系统(14)关于原点ω=0是全局渐近稳定的”。同时也意味着控制律(22)对系统的广义模型误差具有鲁棒性。

本发明所述的一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，其特征在于：由于欠驱动航天器应对这些干扰与不确定性的能力相对较弱，甚至受这些因素的影响很大，很难进行鲁棒性控制器设计，因此在问题的研究中，假定这些干扰因素的影响都是小量（这与工程实际相符），即： 在这个前提下，分析设计了欠驱动角速度稳定的鲁棒控制律。

Claims (2)

1.一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，其特征在于：步骤如下：

步骤一：建立包含广义模型误差的系统方程

在有两个有效力矩驱动的情况下，欧拉角速度方程如式(1)所示：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}=B{\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\τ}}_1& {\mathrm{\τ}}_2\end{array}\right]}^T---\left(1\right)$

其中，ω表示航天器本体系相对于惯性系的角速度在本体坐标系下的表述；表示对ω进行一次时间求导；ω^×表示叉乘运算的反对称矩阵；J＝diag{J₁,J₂,J₃}表示航天器的转动惯量；J₁,J₂,J₃分别表示为航天器本体坐标系的x，y，z轴上的转动惯量分量；τ₁,τ₂分别表示航天器的推力器在本体轴上产生的两个力矩分量；矩阵B∈R^3×2表述了力矩τ₁,τ₂在航天器本体系的安装方位；

受实际工程因素的影响，参数ω会不精确，而测量坐标系中的实际测量角速度是可以精确测量的，其表示航天器的测量本体系相对于惯性系的角速度在测量本体坐标系下的表述，假设表示为本体坐标系F_b到测量坐标系的坐标转换矩阵，那么ω和的关系如式(2)所示：

$\widehat{\mathrm{\ω}}=R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}---\left(2\right)$

假设转动惯量的实际测量值为同时考虑推力器产生的两个实际测量力矩导致的控制量干扰，更精确地考虑推力器的安装位置及力矩方向的实际测量矩阵为了便于计算，假设安装位置表示如式(3)所示：

$\hat{B}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，1代表该安装位置有力矩作用，0代表该安装位置无力矩作用；

此时测量系统表示为式(4)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_1={\hat{a}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1}{{\hat{J}}_1}\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_2={\hat{a}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2}{{\hat{J}}_2}\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_3={\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，分别表示在航天器本体坐标系的x，y，z轴上的角速度分量， ${\hat{a}}_1=({\hat{J}}_2-{\hat{J}}_3)/{\hat{J}}_1,{\hat{a}}_2=({\hat{J}}_3-{\hat{J}}_1)/{\hat{J}}_2,{\hat{a}}_3=({\hat{J}}_1-{\hat{J}}_2)/{\hat{J}}_3;$

在条件 $\left|\right|J-\hat{J}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},\left|\right|B-\hat{B}\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},\left|\right|R_{{\hat{F}}_b{F}_b}-I_3\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}$ 存在的情况下，其中 $\left|\right|J-\hat{J}\left|\right|,\left|\right|B-\hat{B}\left|\right|,\left|\right|R_{{\hat{F}}_b{F}_b}-I_3\left|\right|$ 分别表示对求二次范数，ε是任意小量，即假定广义模型误差对系统的影响都是小量，针对实际测量系统设计反馈控制律如式(5)所示：

$\hat{T}\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=({\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right),{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right))---\left(5\right)$

其中，表示由力矩和组成的力矩向量；使得系统关于稳定点ω＝0渐近稳定，即系统对广义模型误差具有鲁棒性； $I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\∈R^{3\×3},$ 即I₃为一个3×3阶的单位阵；

将式(2)代入式(5)，得到如式(6)所示：

$T\left(\mathrm{\ω}\right)=({\mathrm{\τ}}_1\left(\mathrm{\ω}\right),{\mathrm{\τ}}_2\left(\mathrm{\ω}\right))=({\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right),{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right))---\left(6\right)$

其中，T(ω)表示由力矩τ₁(ω)和τ₂(ω)组成的力矩向量；

步骤二：针对包含广义模型误差的测量模型设计控制律

针对实际测量系统，设计如下控制律，如式(7)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)={\hat{J}}_1(-{\hat{a}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3+\mathrm{\λ}{\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2-k_1({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3)|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3\left|\right)\\ {\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)={\hat{J}}_2(-({\hat{a}}_2+\mathrm{\μ}{\hat{a}}_3){\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-k_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\left|\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，和分别表示和的绝对值，λ,μ,k₁,k₂为系统常数，且满足λ≠0,μ＞0,k₁＞0,k₂＞0；

实际测量系统在控制律的作用下是全局渐近稳定的，闭环系统如式(8)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_1=\mathrm{\λ}{\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2-k_1({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3)|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3|\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_2=-\mathrm{\μ}{\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-k_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\left|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\right|\\ {\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}}_3={\hat{a}}_3{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\end{array}\right.---\left(8\right)$

取李雅普诺夫函数，如式(9)所示：

$V\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=\frac{1}{2}{({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3)}^2+\frac{1}{2}{{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2}^2+\frac{\mathrm{\μ}}{2}{{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3}^2---\left(9\right)$

其中，表示为系统关于的李雅普诺夫函数；

对求导，得到如式(10)所示：

$\stackrel{\·}{V}\left(\widehat{\mathrm{\ω}}\right)=-k_1{|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_1-\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3|}^3-k_2{\left|{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2\right|}^3---\left(10\right)$

即由式(9)和式(10)得到，满足由此说明，实际测量系统的任何轨迹都是有界的，根据LaSalle不变集定理，该系统最大不变集为对于集合S中的任何轨迹求导即有代入系统得到，即：同时由 ${\widehat{\mathrm{\ω}}}_1=\mathrm{\λ}{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3$ 得到 ${\widehat{\mathrm{\ω}}}_1\left(t\right)=0;$

也就是说，实际测量系统是全局渐近稳定的，稳定点为：

步骤三：证明实际测量控制律对系统的广义模型误差具有鲁棒性

首先给出同质系统的定义：

函数是同质度为k的同质向量场，其中k≥1，当且仅当f(cx)＝c^kf(x),其中c为任意常数，x为系统变量；若系统的向量场为同质向量场时，则此系统为同质系统；

其次给出同质系统的性质：

假设系统关于原点x＝0是渐近稳定的，若满足如式(11)所示：

|g(y)|≤M|y|^k                 (11)

其中，y为系统变量，g(y)为y的向量场，M为任意常数，则称同质系统关于原点y＝0也是渐近稳定的；

接下来回到原系统，原系统如式(12)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1=({\hat{a}}_1+{\mathrm{\η}}_1){\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+(1+{\mathrm{\η}}_4)\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_5\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2=({\hat{a}}_2+{\mathrm{\η}}_2){\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\η}}_6\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+(1+{\mathrm{\η}}_7)\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_3=({\hat{a}}_3+{\mathrm{\η}}_3){\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2+{\mathrm{\η}}_8\frac{{\mathrm{\τ}}_1}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_9\frac{{\mathrm{\τ}}_2}{{\hat{J}}_2}\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，常数η_i,i＝1,…,3由决定，常数η_i,i＝4,…,9由决定，存在常数使得：1).任意J,B均保证广义模型误差对系统的影响都是小量，即满足 $\left|{\mathrm{\η}}_i(J,\hat{J})\right|\≤{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ}),(i=1,\·\·\·,3),$ 且 $\left|{\mathrm{\η}}_i(J,\hat{J},B,\hat{B})\right|\≤{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ}),(i=4,\·\·\·,9);$

2). $\underset{\mathrm{\ϵ}\→0}{\lim }{\mathrm{\η}}_0(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ})=0;$

把公式(12)化成与实际测量系统同质的形式，并考虑到原系统的实际控制律与可测控制律的关系，则写为如式(13)所示：

$\stackrel{\·}{y}=f\left(y\right)+g\left(y\right)---\left(13\right)$

其中，

y＝ω

$f\left(y\right)=\left[\begin{array}{c}{\hat{a}}_1{\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}\\ {\hat{a}}_2{\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\\ {\hat{a}}_3{\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2\end{array}\right]$

$g\left(y\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\η}}_1{\mathrm{\ω}}_2{\mathrm{\ω}}_3+{\mathrm{\η}}_4\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_5\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)-{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}\\ {\mathrm{\η}}_2{\mathrm{\ω}}_3{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\η}}_6\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_7\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}+\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)-{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\\ {\mathrm{\η}}_3{\mathrm{\ω}}_1{\mathrm{\ω}}_2+{\mathrm{\η}}_8\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_1\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_1}+{\mathrm{\η}}_9\frac{{\widehat{\mathrm{\τ}}}_2\left(R_{{\hat{F}}_b{F}_b}\mathrm{\ω}\right)}{{\hat{J}}_2}\end{array}\right]$

显然，同质向量场f的同质度为2，原系统与实际测量系统为同质系统；

利用同质的概念可知，g(y)的同质度也为2，其存在：1).任意矩阵J,B,F_b均保证广义模型误差对系统的影响都是小量，即 $\left|g\left(\mathrm{\ω}\right)\right|\≤M(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ}){\left|\mathrm{\ω}\right|}^2;$ 2). $\underset{\mathrm{\ϵ}\→0}{\lim }M(\hat{J},\hat{B},\mathrm{\ϵ})=0;$

根据同质系统的性质可知，由“在实际测量控制律的作用下，实际测量系统关于原点是全局渐近稳定的”，推得：“在实际测量控制律的作用下，原系统关于原点ω＝0是全局渐近稳定的”，同时也意味着控制律对系统的广义模型误差具有鲁棒性。

2.根据权利要求1所述的一种欠驱动航天器角速度稳定的鲁棒控制方法，其特征在于：步骤一中所述的广义模型误差是指系统转动惯量不确定性、本体坐标系不确定性、推力器安装不确定性以及推力器安装误差导致的干扰力矩。