CN110119153B - 一种光压力矩主动辅助下的欠驱动航天器姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种光压力矩主动辅助下的欠驱动航天器姿态控制方法，以带有飞轮和两对太阳帆板的航天器为对象，首先建立带挠性附件的挠性航天器的动力学模型和航天器姿态运动学方程；再建立简化的太阳光压力矩解析模型；设计线性二次型最优控制器得到三轴期望力矩，对光压力矩特性进行分析，将三轴力矩分配给太阳光压力矩以及飞轮力矩；在假设帆板表面特性不变的情况下，根据简化的帆板太阳光压力矩模型求反解，直接得到具有解析形式的太阳帆板转角操纵律；之后通过求解带有约束的非线性规划问题,得到基于数值优化的太阳帆板的转角操纵律。本发明可以有效改善姿态可控性并提升控制性能，采用操纵律与控制律分离的控制方案，更契合工程实际。

Description

一种光压力矩主动辅助下的欠驱动航天器姿态控制方法

【技术领域】

本发明涉及一种光压力矩主动辅助下的欠驱动航天器姿态控制方法，尤其涉及一种针对采用飞轮作为姿态控制执行机构的欠驱动航天器，设计的利用太阳光压力矩主动辅助的姿态控制方法，属于航天器动力学与姿态控制领域。

【背景技术】

欠驱动航天器指的是执行机构提供的独立控制力矩个数少于系统运动自由度的航天器。对于微小卫星和深空探测器等需长时间工作的卫星，有关欠驱动航天器的姿态动力学与控制问题的研究，能够提高其姿态控制系统的可靠性，延长航天器的工作寿命，同时有利于减少执行机构的配置，从而减小航天器的质量和功耗。

目前已有的对使用角动量交换装置的欠驱动航天器的研究都是在忽略环境干扰力矩，系统总角动量守恒的条件下得到的。而航天器在实际运行中，环境力矩是不可忽略的，这导致目前已有的欠驱动控制研究成果很难应用于工程实际。环境力矩在全驱动航天器姿态控制系统设计中通常作为干扰力矩处理，而对于欠驱动航天器，若作为干扰力矩，势必会进一步增大欠驱动控制系统设计的难度。借鉴早期的航天器常利用环境力矩做被动/半被动稳定控制，因而在欠驱动航天器的控制问题研究中，如果将环境力矩作为辅助力矩联合控制姿态，可以有效改善姿态可控性并提升控制性能。Flynn M等人将太阳光压力矩引入带两个飞轮的欠驱动航天器模型，在线性化区域内通过太阳光压的辅助并设计LQR控制器可以在一定的时间内实现航天器的姿态稳定控制。Kumar K D和Patel T R等人仅用太阳光压力矩实现了卫星俯仰轴的稳定控制。特别值得指出的是，Kepler天文望远镜在两个飞轮相继失效后，确实利用太阳光压力矩辅助从而恢复了控制性能，这也验证了环境力矩辅助欠驱动航天器实现姿态控制是切实可行的。然而，此方向的研究才刚刚起步，国内也鲜见公开发表的成果。

对于太阳光压力矩在航天器控制领域的应用，最显著的成果就是太阳帆航天器，太阳帆航天器是一种通过太阳光压作用产生推力的新型航天器。目前，已经在空间飞行验证成功的有美国Nanosail-D太阳帆以及日本的IKAROS太阳帆，国内对太阳帆的研究还处于理论仿真验证的阶段。在以上这些太阳帆航天器的成功在轨实验中，改变太阳光压力矩方式大体为三种：改变质心形心距离、改变光照面积、以及改变反射率。对于带有太阳帆板航天器而言，质心形心距离由其自身结构特性决定，在不添加其他模块的情况下，一般很难改变；而改变反射率对于太阳能电池帆板的充电性能会产生影响。因此，最便于工程实现的是在一定范围内通过改变帆板转角来改变光照面积从而产生可控的光压力矩，这也是本发明的重点所在。不同于开普勒天文望远镜利用被动光压力力矩来辅助姿态控制，本发明通过调节帆板转角主动控制光压力矩的大小和方向，并辅助飞轮实现航天器的姿态稳定控制，以得到更好的可控性与稳定性。

【发明内容】

本发明的目的在于针对解决现有技术中使用角动量交换装置的欠驱动航天器的研究都是在忽略环境干扰力矩的条件下进行，因而研究成果很难应用于工程实际的问题，提出一种光压力矩主动辅助下的欠驱动航天器姿态控制方法，具体是一种以飞轮为执行机构的航天器，在光压力矩主动辅助下进行联合姿态控制，操纵律与控制律分离的控制方案，实现对飞轮失效的欠驱动航天器的姿态控制。

基本思路如下：假设太阳帆板转速和转角在较小范围内，航天器姿态角和角速度也在一定的小角度线性化的范围内，可以忽略太阳帆板的挠性振动，得到简化的刚体航天器的动力学模型并将系统方程线性化，并设计线性二次型最优(LQR)控制器得到三轴期望力矩，在假设帆板表面特性不变的情况下，可以根据简化的帆板太阳光压力矩模型可以得到太阳帆板转角的解析操纵律；之后，为了满足能源的需求，考虑到帆板的光电转化效率，帆板转角受到太阳方向的限制，通过将求解帆板转角转化为带约束的非线性规划问题,得到帆板转角受限制的太阳帆板的转角数值操纵律，系统结构图见附图2。

针对上述问题，本发明的技术方案如下：

以带有飞轮和两对太阳帆板的航天器为研究对象，首先建立带挠性附件的挠性航天器的动力学模型(包括航天器中心刚体的转动方程、帆板的转动方程以及振动方程)和航天器姿态运动学方程；再建立简化的太阳光压力矩解析模型；设计线性二次型最优(LQR)控制器得到三轴期望力矩，对光压力矩特性进行分析，将三轴力矩分配给太阳光压力矩以及飞轮力矩；在假设帆板表面特性不变的情况下，可以根据简化的帆板太阳光压力矩模型求反解，可以直接得到具有解析形式的太阳帆板转角操纵律；之后，为了满足能源的需求，考虑到帆板的光电转化效率，帆板转角受到太阳方向的限制，通过求解带有约束的非线性规划问题,得到基于数值优化的太阳帆板的转角操纵律。

具体的操作步骤如下：

步骤1：应用本发明基于如下假设

为得到适合于控制器设计的系统方程，做出以下假设1～4。

假设1：航天器本体系视为主轴坐标系，惯性积可忽略，且飞轮转动惯量相对航天器本体转动惯量为小量，视为I_t＝I_b，I_t表示为含有飞轮转动惯量的系统总转动惯量矩阵，I_b表示为航天器中心刚体转动惯量。

假设2：控制任务过程中，航天器姿态角和角速度始终处于小角度范围内。

假设3：帆板质量远小于航天器中心本体，帆板的刚性转动和挠性振动对中心刚体姿态运动的影响可以忽略。(其中，中心本体及中心刚体，为同一概念：转动和振动时，用中心刚体的概念是对物体属性的说明；质量时，用中心本体的概念，是指除去帆板外的飞行器主体)

假设4：太阳光压力矩为主要的环境力矩，其它环境力矩作为外干扰可以忽略不计。

为了简化太阳光压力矩模型形式，对航天器的表面材料特性做出如下假设5～8。

假设5：对于航天器中心本体，不希望体内温度过高，材料和涂层应选择吸收率ρ_a→0，反射率ρ_s→1，而对于太阳帆板，则希望吸收率ρ_a→1，反射率ρ_s→0，以保证太阳能电池阵的光电转化效率。

假设6：根据关于中心本体太阳光压力矩的推论，可以忽略中心本体的光压力矩。

假设7：由于本发明的控制方案是基于光压力矩辅助姿态稳定控制，因此不会涉及到较大角度的机动，因此三轴的姿态角均处于一定的小角度范围内。

假设8：两个相对安装的太阳帆板是关于本体系X轴轴对称的，因此有r₁＝-r₂，r_j(j＝1,2)为航天器中心刚体质心到帆板质心的方向矢量。

步骤2：建立带挠性附件的挠性航天器的动力学模型和线性化的航天器姿态运动学方程。具体包括如下步骤：

步骤2.1：定义坐标系

本发明针对对象为带两个太阳帆板加中心刚体的航天器，运行的轨道为日心轨道坐标系，航天器结构和相关坐标系定义如附图1所示。

a.日心惯性坐标系f_e(o_ex_ey_ez_e)

日心惯性坐标系的原点固连在太阳中心上，o_ex_e轴在黄道平面内，指向某个恒星，o_ez_e轴垂直于黄道平面，o_ey_e在黄道平面内，根据与轴o_ex_e、o_ez_e轴满足右手定则。

b.日心轨道坐标系f_o(o_ox_oy_oz_o)

日心轨道坐标系的原点固连在航天器质心o_o，o_oz_o轴指向太阳中心，o_ox_o轴位于日心轨道平面内，垂直于o_oz_o轴，并指向航天器运动方向，o_oy_o与o_ox_o轴、o_oz_o轴构成右手坐标系。该坐标系随着航天器的轨道运动以角速度ω_o绕o_oy_o轴负向旋转，ω_o即为航天器的轨道角速度。

c.本体坐标系f_b(o_bx_by_bz_b)

此坐标系与航天器固连，原点o_b位于航天器质心，o_bx_b轴指向航天器运动方向，为滚动轴，o_bz_b轴垂直于飞行轨道平面指向飞行器下方，为偏航轴，o_by_b与o_bx_b轴、o_bz_b轴构成右手坐标系，为俯仰轴。航天器的姿态运动可以用本体系与日心轨道系的相对方位来描述。

d.帆板固连坐标系f_ak(o_akx_aky_akz_ak)

为了描述帆板的旋转运动以及挠性形变，还需要建立与中心本体相连的各个帆板的固连坐标系f_ak(o_akx_aky_akz_ak),k＝1,2，其原点为帆板与中心本体连接处的中心，三轴方向与中心本体坐标系一致，且帆板可以绕Y_ak轴旋转，角度定义为β_i(i＝1,2)；其与中心本体之间的关系如附图1所示。

步骤2.2：建立动力学模型

中心刚体转动方程：

太阳帆板转动方程：

太阳帆板振动方程：

其中，I_t表示为含有飞轮转动惯量的系统总转动惯量矩阵，ω_b为航天器绝对角速度在本体坐标系下的分量列阵，C为飞轮安装矩阵，I_w为飞轮组转动惯量对角阵；Ω为飞轮转速列向量，本发明中假设飞轮安装构型为三正交加一斜装，且安装在X_b轴与斜装的两个飞轮失效，失效视为转速为零。

表示飞轮组提供的力矩，T_srp表示太阳光压力矩。Λ_ak为帆板的模态频率对角阵，ξ_ak为帆板的模态阻尼矩阵，I_ak为帆板的转动惯量在本体坐标系下的分量列阵，T_ak为作用在太阳帆板上的外力矩，R_bak为帆板转动对中心刚体转动的刚性耦合系数矩阵，η_ak为归一化后的模态坐标，F_bak为帆板振动对中心刚体转动的柔性耦合系数矩阵，F_ak为帆板振动对自身转动的柔性耦合系数矩阵。

基于假设1-4，航天器的动力学模型退化为普通刚体航天器动力学模型：

其中，T_w＝T_r+T_srp代表飞轮组提供的力矩和太阳光压力矩之和，h＝[h_x h_y h_z]^T＝CI_wΩ，表示飞轮的角动量。

步骤2.3：建立运动学方程

运动学方程：

其中，

为欧拉角速度列阵；

姿态角

θ,ψ为航天器的滚动角、俯仰角和偏航角；姿态角速度

分别为

θ,ψ关于时间的导数。

根据小角度假设，简化后的运动学方程为：

步骤3：建立太阳光压力矩解析模型

太阳帆板的光压力矩在本体轴上的分量：

T_srpy＝0 (8)

其中，P≈4.56×10^-6N/m²为辐射压强，A表示照射的面积，β_j(j＝1,2)为帆板转角，r_j(j＝1,2)为航天器中心刚体质心到帆板质心的距离，ρ_a表示吸收比例系数，ρ_s表示镜面反射系数，ρ_d表示漫反射系数，ρ_a+ρ_s+ρ_d＝1。

基于假设5-8，将两个相对安装的太阳帆板的太阳光压力矩简化为如下形式：

步骤4：姿态控制律设计

步骤4.1：建立状态方程

基于小角度时的运动学简化方程(6)，将系统线性化为线性标准状态方程：

其中，x为6×1的状态向量，u为3×1的控制向量，A和B为相应维数的常值矩阵。

步骤4.2：线性二次型最优控制律设计

定义性能指标为系统的二次型指标函数：

式中，Q和R分别为6×6的非负定对称权重矩阵和3×3的正定对称权重矩阵。根据LQR理论，使得上述性能指标最小的最优控制律为

u＝-Kx＝-R^-1B^TPx (14)

其中，K为线性反馈增益矩阵，P为6×6的非负定对称矩阵，是如下黎卡提方程的唯一正定解：

A^TP+PA-PBR^-1B^TP+Q＝0_6×6 (15)；

步骤4.3：求解三轴期望姿态控制力矩

三轴期望姿态控制力矩：

步骤4.4：力矩分配与飞轮操纵律设计

期望力矩将由飞轮力矩和太阳光压力矩共同提供。

飞轮的角加速度的操纵律：

步骤4.5：解析形式的帆板转角操纵律设计

满足

的情况下，为了保证操纵律的连续性，给出一组解析解：

步骤5：基于数值优化的帆板转角操纵律设计

将帆板转角操纵律设计问题转换为每个采样时刻的帆板转角的带约束非线性优化问题：

其中，优化性能指标函数为：

acos(s·n_j)的物理意义是太阳帆板法向量与太阳方向矢量的夹角，优化的目的是实现在满足控制力矩的同时，帆板转角保持在较小范围内以保证帆板的光电转化效率。而硬约束的存在保证了帆板转角处于一定范围内，并且保证光压力矩能够提供我们所期望的姿态控制力矩。为使光压力矩提供期望的控制力矩该约束条件成立，可以在控制律设计中对期望力矩进行限幅，可以在参数整定中将该轴期望力矩控制在一个合理的范围内。在帆板参数固定的情况下，且在三轴欧拉角均为小量的假设条件下，光压力矩存在上限：

因此，当航天器的几何尺寸以及表面材料特性参数确定之后，即可确定太阳光压力矩的大概范围，并据此对LQR控制器的权重矩阵进行适当调整，以得到合适的控制参数。但由于对光压力矩进行了限幅，那么实际上控制器的控制性能已经并不是传统意义上最优控制器，而是满足人为约束的“次优”。

本发明一种光压力矩主动辅助下的欠驱动航天器姿态控制方法，其优点及功效在于：

1)本发明将光压力矩这种环境干扰力矩作为辅助力矩联合控制姿态，可以有效改善姿态可控性并提升控制性能，而航天器在实际运行中，环境力矩是不可忽略的，因此在相比之下，本发明更契合工程实际。

2)本发明设计了两种操纵律，一是根据简化的帆板太阳光压力矩模型求反解得到的解析形式的太阳帆板转角操纵律，二是考虑到能源的需求，考虑到翻版的光电转化效率，帆板转角收到太阳方向的限制，求解带有约束的非线性规划问题，得到的基于数值优化的太阳帆板的转角操纵律，可以满足工程实际的要求，契合工程应用实际。

3)由于挠性航天器动力学与运动学方程具有较强的非线性，此外，太阳光压力矩同样受到航天器表面材料特性，受照面积，太阳入射角等因素的影响，而这种强非线性会大大增加控制器设计的难度。因此，本发明采用操纵律与控制律分离的控制方案，契合工程应用实际。

【附图说明】

图1为带帆板的航天器示意图。

图2为本发明姿态控制方法流程框图。

图3为航天器在本体系下的示意图。

【具体实施方式】

下面结合附图1-3所示，以某型号的航天器为例，具体说明本发明的实施流程。

首先给出航天器的几何参数如下：

假设航天器由中心本体和两个帆板组成，中心刚体和帆板均为分布均匀的六面体，且帆板具有一个转动自由度，其在航天器本体系下的示意图如附图3所示。航天器中心本体尺寸为50×25×20cm³，两个太阳帆板的几何尺寸为80×25×1cm³，两个太阳帆板安装点在中心体机械坐标系下的坐标分别为(0,±21,0)cm。

下面开始设置控制律对航天器的姿态进行控制。

1、应用本发明基于如下假设。

按照前述步骤1中做出假设。

2、建立带挠性附件的挠性航天器的动力学模型和线性化的航天器姿态运动学方程。

2.1定义坐标系：按照前述步骤2.1中定义相关坐标系。

2.2建立动力学模型

航天器位于距离太阳一个天文单位的日心轨道上，太阳方向矢量在该轨道系中始终为s_o＝L_bo[0 0 1]^T，航天器中心刚体转动惯量为

中心刚体对称安装两个太阳帆板，其相对系统质心的惯量矩阵分别为

执行机构为三正交加一斜装的飞轮组，其安装矩阵为

飞轮组转动惯量对角阵为I_w＝1×10^-5diag(1 1 1 1)kg·m²。则考虑执行机构以及太阳帆板的航天器整体转动惯量矩阵I_t的计算公式为

I_t＝I_b+I_bal+I_bar+CI_wC^T

飞轮初始转速为Ω＝[0 0 0 0]^Trad/s，假设只有安装在本体系Y轴和Z轴的飞轮正常工作，故障的飞轮转速视为0。

航天器动力学模型：

其中，T_w＝T_r+T_srp代表飞轮组提供的力矩和太阳光压力矩之和，h＝[h_x h_y h_z]^T＝CI_wΩ，表示飞轮的角动量。

2.3建立运动学方程

ω_o基于轨道参数确定。由于航天器位于距离太阳一个天文单位的日心轨道，因此：

其中μ为太阳引力常数，为1.327366×10²⁰m³/s²，R为轨道半径，为1.495979×10⁸km。

计算得到：ω₀＝1.991164×10^-7rad/s。

简化后的运动学方程：

3、建立太阳光压力矩解析模型

由于在控制器设计中只考虑到了帆板的光压力矩，且帆板上下两个帆面为主要的光压力矩来源。因此帆板主要受照表面面积A＝0.2m²，且该表面中心距离航天器质心的矢量长度为r＝0.61m，帆板表面材料特性参数分别为ρ_a＝0.75，ρ_d＝0，ρ_s＝0.25。太阳光压系数P＝4.5598×10^-6N/m²，干扰力矩T_d的表达式为：

两个相对安装的太阳帆板的太阳光压力矩简化为如下形式：

4、姿态控制律设计

具体包括如下子步骤：

4.1建立状态方程

将系统线性化为线性标准状态方程：

其中，x为6×1的状态向量，u为3×1的控制向量，A和B为相应维数的常值矩阵。

4.2线性二次型最优控制律设计

定义性能指标为系统的二次型指标函数：

式中，Q和R分别为6×6的非负定对称权重矩阵和3×3的正定对称权重矩阵。根据LQR理论，使得上述性能指标最小的最优控制律为

u＝-Kx＝-R^-1B^TPx (31)

其中，K为线性反馈增益矩阵，P为6×6的非负定对称矩阵，是如下黎卡提方程的唯一正定解：

A^TP+PA-PBR^-1B^TP+Q＝0_6×6 (32)

在基于解析形式的帆板转角操纵律中，选取LQR控制器参数为Q＝diag(0.01 1 11×10⁴ 100 100)，R＝diag(1×10⁹ 100 100)，航天器初始的姿态参数为θ₀＝[-8 10 9]°，ω_b0＝[1.5 1.5 1.5]°/s。

在基于数值优化的帆板转角操纵律中，同样选取LQR控制器参数为Q＝diag(0.011 1 1×10^-4 100 100)，R＝diag(1×10⁹ 100 100)，并且取相同的初始姿态参数。

4.3求解三轴期望姿态控制力矩

三轴期望姿态控制力矩：

4.4力矩分配与飞轮操纵律设计

期望力矩将由飞轮力矩和太阳光压力矩共同提供。

飞轮的角加速度的操纵律：

4.5解析形式的帆板转角操纵律设计

满足

的情况下，为了保证操纵律的连续性，给出一组解析解：

5、基于数值优化的帆板转角操纵律设计

将帆板转角操纵律设计问题转换为每个采样时刻的帆板转角的带约束非线性优化问题：

其中，优化性能指标函数为：

acos(s·n_j)的物理意义是太阳帆板法向量与太阳方向矢量的夹角，优化的目的是实现在满足控制力矩的同时，帆板转角保持在较小范围内以保证帆板的光电转化效率。而硬约束的存在保证了帆板转角处于一定范围内，并且保证光压力矩能够提供我们所期望的姿态控制力矩。为使光压力矩提供期望的控制力矩该约束条件成立，可以在控制律设计中对期望力矩进行限幅，可以在参数整定中将该轴期望力矩控制在一个合理的范围内。在帆板参数固定的情况下，且在三轴欧拉角均为小量的假设条件下，光压力矩存在上限：

综上所述，本发明采用操纵律与控制律分离的控制方案，在举例中采用控制律公式(31)、解析形式的太阳帆板操纵律公式(36)和数值优化的太阳帆板操纵律公式(37)-(40)，能够保证系统公式(24)、(25)即使在飞轮失效的情况下三轴姿态镇定。

本发明所介绍的利用光压力矩主动辅助进行对欠驱动航天器的姿态控制方法，特征在于：由于挠性航天器动力学与运动学方程具有较强的非线性，太阳光压力矩同样受到航天器表面材料特性，受照面积，太阳入射角等因素的影响，而这种强非线性会大大增加控制器设计的难度。因此，本发明采用操纵律与控制律分离的控制方案；另一方面，为了满足能源的需求，考虑到帆板的光电转化效率，帆板转角受到太阳方向的限制，设计了基于数值优化的太阳帆板的转角操纵律，使得两个帆板在提供足够光压力矩的同时，使帆板尽量对准太阳方向，且最终稳定时，两个帆板转角均趋近于0，而此时航天器也已经趋近于姿态稳定状态，因此两个帆板均正对太阳，有着最大的光电转化效率。

Claims (1)

1.一种光压力矩主动辅助下的欠驱动航天器姿态控制方法，其特征在于：首先建立带挠性附件的挠性航天器的动力学模型和航天器姿态运动学方程，其中航天器的动力学模型包括航天器中心刚体的转动方程、帆板的转动方程以及振动方程；再建立简化的太阳光压力矩解析模型；设计线性二次型最优控制器得到三轴期望力矩，对光压力矩特性进行分析，将三轴期望力矩分配给太阳光压力矩以及飞轮力矩；在假设帆板表面特性不变的情况下，根据简化的太阳光压力矩解析模型求反解，直接得到具有解析形式的太阳帆板转角操纵律；之后，为了满足能源的需求，考虑到帆板的光电转化效率，帆板转角受到太阳方向的限制，通过求解带有约束的非线性规划问题,得到基于数值优化的太阳帆板的转角操纵律；

其中，步骤1：首先做出如下假设：

为得到适合于控制器设计的系统方程，做出以下假设1～4：

假设1：航天器本体系视为主轴坐标系，惯性积可忽略，且飞轮转动惯量相对航天器本体转动惯量为小量，视为I_t＝I_b，I_t表示为含有飞轮转动惯量的系统总转动惯量矩阵，I_b表示为航天器中心刚体转动惯量；

假设2：控制任务过程中，航天器姿态角和角速度始终处于小角度范围内；

假设3：帆板质量远小于航天器中心本体，帆板的刚性转动和挠性振动对中心刚体姿态运动的影响可以忽略；

假设4：太阳光压力矩为主要的环境力矩，其它环境力矩作为外干扰可以忽略不计；

为了简化太阳光压力矩模型形式，对航天器的表面材料特性做出如下假设5～8：

假设5：对于航天器中心本体，不希望体内温度过高，材料和涂层应选择吸收率ρ_a→0，反射率ρ_s→1，而对于太阳帆板，则希望吸收率ρ_a→1，反射率ρ_s→0，以保证太阳能电池阵的光电转化效率；

假设6：根据关于中心本体太阳光压力矩的推论，可以忽略中心本体的光压力矩；

假设7：由于控制方案是基于光压力矩辅助姿态稳定控制，因此不会涉及到较大角度的机动，因此三轴的姿态角均处于一定的小角度范围内；

假设8：两个相对安装的太阳帆板是关于本体系X轴轴对称的，因此有r₁＝-r₂，r_j(j＝1,2)为航天器中心刚体质心到帆板质心的方向矢量；

步骤2：建立带挠性附件的挠性航天器的动力学模型和线性化的航天器姿态运动学方程；具体包括如下步骤：

步骤2.1：定义坐标系

针对对象为带两个太阳帆板加中心刚体的航天器，运行的轨道为日心轨道坐标系；

a.日心惯性坐标系f_e(o_ex_ey_ez_e)

日心惯性坐标系的原点固连在太阳中心上，o_ex_e轴在黄道平面内，指向某个恒星，o_ez_e轴垂直于黄道平面，o_ey_e轴在黄道平面内，并且与o_ex_e轴、o_ez_e轴满足右手定则；

b.日心轨道坐标系f_o(o_ox_oy_oz_o)

日心轨道坐标系的原点固连在航天器质心o_o，o_oz_o轴指向太阳中心，o_ox_o轴位于日心轨道平面内，垂直于o_oz_o轴，并指向航天器运动方向，o_oy_o与o_ox_o轴、o_oz_o轴构成右手坐标系；该坐标系随着航天器的轨道运动以角速度ω_o绕o_oy_o轴负向旋转，ω_o即为航天器的轨道角速度；

c.本体坐标系f_b(o_bx_by_bz_b)

此坐标系与航天器固连，原点o_b位于航天器质心，o_bx_b轴指向航天器运动方向，为滚动轴，o_bz_b轴垂直于飞行轨道平面指向飞行器下方，为偏航轴，o_by_b与o_bx_b轴、o_bz_b轴构成右手坐标系，为俯仰轴；航天器的姿态运动用本体坐标系与日心轨道坐标系的相对方位来描述；

d.帆板固连坐标系f_ak(o_akx_aky_akz_ak)

为了描述帆板的旋转运动以及挠性形变，还需要建立与中心本体相连的各个帆板的固连坐标系f_ak(o_akx_aky_akz_ak),k＝1,2，其原点为帆板与中心本体连接处的中心，三轴方向与中心本体坐标系一致，且帆板绕Y_ak轴旋转，角度定义为β_i(i＝1,2)；

步骤2.2：建立动力学模型

中心刚体转动方程：

太阳帆板转动方程：

太阳帆板振动方程：

其中，ω_b为航天器绝对角速度在本体坐标系下的分量列阵，C为飞轮安装矩阵，I_w为飞轮组转动惯量对角阵；Ω为飞轮转速列向量，假设飞轮安装构型为三正交加一斜装，且安装在X_b轴与斜装的两个飞轮失效，失效视为转速为零；

表示飞轮组提供的力矩，T_srp表示太阳光压力矩；Λ_ak为帆板的模态频率对角阵，ξ_ak为帆板的模态阻尼矩阵，I_ak为帆板的转动惯量在本体坐标系下的分量列阵，T_ak为作用在太阳帆板上的外力矩，R_bak为帆板转动对中心刚体转动的刚性耦合系数矩阵，η_ak为归一化后的模态坐标，F_bak为帆板振动对中心刚体转动的柔性耦合系数矩阵，F_ak为帆板振动对自身转动的柔性耦合系数矩阵；

基于假设1-4，航天器的动力学模型退化为普通刚体航天器动力学模型：

其中，T_w＝T_r+T_srp代表飞轮组提供的力矩和太阳光压力矩之和，h＝[h_x h_y h_z]^T＝CI_wΩ，表示飞轮的角动量；

步骤2.3：建立运动学方程

运动学方程：

其中，

为欧拉角速度列阵；

姿态角

θ,ψ为航天器的滚动角、俯仰角和偏航角；姿态角速度

分别为

θ,ψ关于时间的导数；

根据小角度假设，简化后的运动学方程为：

步骤3：建立太阳光压力矩解析模型

太阳帆板的光压力矩在本体轴上的分量：

T_srpy＝0 (8)

其中，P≈4.56×10^-6N/m²为辐射压强，H_j表示第j块帆板照射的面积，β_j(j＝1,2)为帆板转角，r_j(j＝1,2)为航天器中心刚体质心到第j块帆板质心的距离，ρ_a表示吸收比例系数，ρ_s表示镜面反射系数，ρ_d表示漫反射系数，ρ_a+ρ_s+ρ_d＝1；

基于假设5-8，将两个相对安装的太阳帆板的太阳光压力矩简化为如下形式：

步骤4：姿态控制律设计

步骤4.1：建立状态方程

基于小角度时的运动学简化方程(6)，将系统线性化为线性标准状态方程：

其中，x为6×1的状态向量，u为3×1的控制向量，A和B为相应维数的常值矩阵；

步骤4.2：线性二次型最优控制律设计

定义性能指标为系统的二次型指标函数：

式中，Q和R分别为6×6的非负定对称权重矩阵和3×3的正定对称权重矩阵；根据LQR理论，使得上述性能指标最小的最优控制律为

u＝-Kx＝-R^-1B^TGx (14)

其中，K为线性反馈增益矩阵，G为6×6的非负定对称矩阵是如下黎卡提方程的唯一正定解：

A^TG+GA-GBR^-1B^TG+Q＝0_6×6 (15)；

步骤4.3：求解三轴期望姿态控制力矩

三轴期望姿态控制力矩：

步骤4.4：力矩分配与飞轮操纵律设计

期望力矩将由飞轮力矩和太阳光压力矩共同提供；

飞轮的角加速度的操纵律：

步骤4.5：解析形式的帆板转角操纵律设计

满足

的情况下，为了保证操纵律的连续性，给出一组解析解：

步骤5：基于数值优化的帆板转角操纵律设计

将帆板转角操纵律设计问题转换为每个采样时刻的帆板转角的带约束非线性优化问题：

其中，优化性能指标函数为：

acos(s·n_j)的物理意义是太阳帆板法向量与太阳方向矢量的夹角，优化的目的是实现在满足控制力矩的同时，帆板转角保持在较小范围内以保证帆板的光电转化效率；而硬约束的存在保证了帆板转角处于一定范围内，并且保证光压力矩能够提供我们所期望的姿态控制力矩；为使光压力矩提供期望的控制力矩该约束条件成立，在控制律设计中对期望力矩进行限幅，在参数整定中将该轴期望力矩控制在一个合理的范围内；在帆板参数固定的情况下，且在三轴欧拉角均为小量的假设条件下，光压力矩存在上限：

当航天器的几何尺寸以及表面材料特性参数确定之后，即确定太阳光压力矩的范围，并据此对LQR控制器的权重矩阵进行调整，得到控制参数。

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