CN102967862B - 双飞移变模式双基地合成孔径雷达成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双飞移变模式双基地合成孔径雷达成像方法，本发明的方法基于对双飞移变模式双基地SAR广义Loffeld模型二维频谱的二维空间线性化，得到一种频率变换，即对频谱相位沿接收站最短斜距进行线性展开，导出Stolt频率变换表达式，实现残余相位的空域线性化和频域线性化，解决了传统SAR成像方法和现有移不变双基地SAR成像方法无法解决双飞移变模式双基地SAR的二维空变，以及现有双飞移变模式双基地SAR成像方法精度较低的问题。本方法形式简单，精度较高，同时运算效率较高，能够满足双飞移变双基地SAR成像处理的要求。

Description

双飞移变模式双基地合成孔径雷达成像方法

技术领域

本发明属于雷达技术领域，具体涉及一种双飞移变模式双基地合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar，SAR)的成像方法。

背景技术

SAR是一种全天时、全天候的现代高分辨率微波遥感成像雷达，在军事侦察、地形测绘、植被分析、海洋及水文观测、环境及灾害监视、资源勘探以及地壳微变检测等领域，SAR发挥了越来越重要的作用。

双基地SAR由于收发分置而有着很多突出的优点，它能获取目标的非后向散射信息，具有作用距离远、隐蔽性和抗干扰性强等特点。另外，由于双基地SAR接收机不含大功率器件，其功耗低、体积小、重量轻，便于多种类型的飞机携带，造价较低。总之，双基地SAR作为一种空间对地观测的新手段，在民用和军用领域都有着广阔的发展空间。

根据收发站的相对位置关系，双基地SAR可以分为移不变模式和移变模式，其中移不变模式指收发站平行飞行且速度相同的双基地SAR，移变模式指收发站速度矢量不同的双基地SAR。移变模式又可以分为双飞移变模式和一站固定移变模式，与后者相比，双飞移变模式在实际应用中更加普遍。

在双飞移变双基地模式下，由于收发双站相对位置随着时间而变化，导致相同双基斜距和的目标具有不同的距离单元徙动（RCM）和不同的多普勒调频斜率，这种问题称之为方位空变；加之具有传统单基地SAR相同的距离空变特性，因而双飞移变双基地SAR系统具有二维空变特性。传统的成像方法，如距离多普勒、Chirp Scaling和Omega-K等方法均不能直接应用于双飞移变模式双基地SAR，因为它们均是基于方位非空变假设下的成像处理方法。

在申请号CN201210232933.4中给出了一种针对一站固定式双基地SAR的波数域成像方法，但是该方法不能应用于双飞移变模式。针对双飞移变模式双基地SAR，在文献:Focusing of general bistatic SAR configuration data with2-D inverse scaled FFT,K.Natroshvili,O.Loffeld,H.Nies,A.M.Ortiz,and S.Knedlik,IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,vol.44,no.10,pp.2718–2727,2006.中，和申请号CN200710049774.3中提出了一种逆尺度傅立叶变换成像方法；在文献:Processing the azimuth variant bistatic sar data by using monostatic imagingalgorithms based on two-dimensional principle of stationary phase,R.Wang,Y.K.Deng,O.Loffeld,H.Nies,I.Walterscheid,T.Espeter,J.Klare,and J.Ender,IEEE Trans.Geosci.RemoteSens.,vol.49,no.10,pp.3504–3520,2011.中提出了一种chirp scaling的成像方法；在文献:Results of a space-surface bistatic SAR image formation algorithm,M.Antoniou,R.Saini,and M.Cherniakov,IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,vol.45,no.11,pp.3359–3371,2007.中提出了一种距离多普勒成像方法；在文献:Focusing bistatic SAR data using the nonlinear chirp scalingalgorithm,F.H.Wong,I.G.Cumming,and Y.L.Neo，IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,vol.46,no.9,pp.2493–2505,2008.中提出了一种非线性CS方法，但是上述方法只是把方位空变建模成了一种尺度变换，都忽略了距离单元徙动随方位向的空变性。在文献:EfficientTime-Domain Image Formation with Precise Topography Accommodation for General BistaticSAR Configurations,M.Rodriguez-Cassola,P.Prats,G.Krieger,and A.Moreira，IEEE Trans.on Aerosp.and Electronic Systems,47,no.4,pp.2949-2966,2011中提出了一种时域反投影成像方法，但是该方法运算量巨大，难以满足合成孔径雷达成像处理的要求。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有的双飞移变模式双基地合成孔径雷达成像方法存在的上述问题，提出了一种双飞移变模式双基地合成孔径雷达成像方法。

为了方便描述本发明的内容，首先对以下术语进行解释：

术语1：双基地SAR（bistatic SAR）

双基地SAR是指系统发射站和接收站分置于不同平台上的SAR系统，其中至少有一个平台为运动平台，在概念上属于双基地雷达。

术语2：双飞移变模式双基地SAR

双飞移变模式双基地SAR是双基地SAR的一种，在该模式中，收发站均在空中飞行，但是速度矢量不同，导致其收发双站相对位置会随着时间而变化。

术语3：二维空变

二维空变是指同一方位向不同距离向的目标具有不同的RCM和多普勒调频斜率，同一距离向不同方位向的目标也具有不同的RCM和多普勒调频斜率。

本发明的技术方案是：一种双飞移变模式双基地合成孔径雷达成像方法，流程示意图如图1所示，具体包括如下步骤：

步骤一：对原始回波数据进行二维傅立叶变换；

首先设定两直角坐标系(x,y,z)和(x′,y′,z)，两坐标系的关系为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中,α为y与y′之间的夹角；

在直角坐标系(x,y,z)中接收站零时刻位置记为(x_R,y_R,h_R)，在直角坐标系(x′,y′,z)中发射站平台位置记为(x′_T,y′_T,h_T)；接收站速度记为v_R，并沿y轴运动，发射站速度记为v_T，并沿y′轴运动，任意成像点坐标记为P(x,y)，在坐标系(x′,y′,z)中该点坐标为(x′,y′)；双基地距离和为R_b(η;x,y)=R_T(η;x,y)+R_R(η;x,y)，其中，η为方位时间，R_T(η;x,y),R_R(η;x,y)分别为发射站和接收站的距离历程：

$R_T(\mathrm{\η};x,y)=\sqrt{r_T^2+v_T^2{(\mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_{0T})}^2}---\left(2\right)$

$R_R(\mathrm{\η};x,y)=\sqrt{r_R^2+v_R^2{(\mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_{0R})}^2}---\left(3\right)$

r_T和r_R分别为发射站和接收站的最短斜距，具体表示为

η为方位向时间变量，且η_0T=(y′-y′_T)/v_T,η_0R=(y-y_R)/v_R；

原始回波数据S(τ,η)在距离频域、方位时域的表达式为：

$\begin{array}{c}S(f,\mathrm{\η};x,y)\\ =S_0\left(f\right)\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R_T(\mathrm{\η};x,y)+R_R(\mathrm{\η};x,y)}{c}\}\end{array}---\left(4\right)$

其中，τ为距离时间，f为距离频率，且rect[·]为矩形窗函数，B_r为发射信号带宽，K_r为发射信号的调频斜率，f₀为系统载频，c为光速；

基于广义Loffeld变换，得到原始回波在二维频域的表达式为：

S_2df(f,f_η;x,y)=S₀(f)exp{-jΦ_G(f,f_η;x,y)}            (5)

其中，f_η为方位频率，

${\mathrm{\Φ}}_G(f,f_{\mathrm{\η}};x,y)=\frac{2\mathrm{\π}}{c}[r_T{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})+r_R{F}_R(f,f_{\mathrm{\η}})+2\mathrm{\π}[f_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right){\mathrm{\η}}_{0T}+f_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right){\mathrm{\η}}_{0R}]---\left(6\right)$

$F_T(f,f_{\mathrm{\η}})=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{c{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)}{v_T}\right)}^2}---\left(7\right)$

$F_R(f,f_{\mathrm{\η}})=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{c{f}_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)}{v_R}\right)}^2}---\left(8\right)$

f_ηT(f_η)和f_ηR(f_η)分别为发射站和接收站的多普勒频率：

$\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)=f_{\mathrm{\ηcT}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrT}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})\\ f_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)=f_{\mathrm{\ηcR}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrR}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})\end{array}---\left(9\right)$

其中，f_ηcT，f_ηcR分别为发射站和接收站对应的多普勒质心；f_ηrT，f_ηrR分别为发射站和接收站对应的多普勒调频斜率；f_ηc和f_ηr为系统总的多普勒质心和多普勒调频斜率；

步骤二：选取参考点，对步骤一中得到的二维频域数据进行参考函数匹配，完成粗聚焦；

选取场景中心为参考点，在直角坐标系(x,y,z)中该点坐标为(x₀,y₀)，在(x′,y′,z)中该点坐标为(x′₀,y′₀)，该点回波的二维频谱为：

S_2df(f,f_η;x₀,y₀)=S₀(f)exp{-jΦ_G(f,f_η;x₀,y₀)}              (10)

其中，

${\mathrm{\Φ}}_G(f,f_{\mathrm{\η}};x_0,y_0)=\frac{2\mathrm{\π}}{c}[r_{T0}{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})+r_{R0}{F}_R(f,f_{\mathrm{\η}})]+2\mathrm{\π}[f_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right){\mathrm{\η}}_{0T0}+f_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right){\mathrm{\η}}_{0R0}]---\left(11\right)$

r_T0和r_R0分别为参考点处r_T和r_R的值： $r_{T0}=\sqrt{{(x_0^{\′}-x_T^{\′})}^2+h_T^2},$ $r_{R0}=\sqrt{{(x_0-x_R)}^2+h_R^2},$ η_0T0=(y′₀-y′_T)/v_T,η_0R0=(y₀-y_R)/v_R，y′₀和y₀分别为参考点处y′和y的值。

参考函数匹配的操作为：

“*”为共轭运算，则匹配后的残余相位为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RES}}(f,f_{\mathrm{\η}};r_R,y,r_{R0},y_0)=-{\mathrm{\Φ}}_G(f,f_{\mathrm{\η}};x,y)+{\mathrm{\Φ}}_G(f,f_{\mathrm{\η}};x_0,y_0)\\ -\frac{2\mathrm{\π}}{c}[(r_T-r_{T0})F_T(f,f_{\mathrm{\η}})+(r_R-r_{R0})F_R(f,f_{\mathrm{\η}})]\\ -2\mathrm{\π}[\frac{y^{\′}-y_0^{\′}}{v_T}{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)+\frac{y-y^{\′}}{v_R}{f}_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)]\end{array}---\left(12\right)$

根据步骤一中r_T和r_R的表达式，将r_T在(r_R0,y₀)处关于r_R和y进行线性泰勒展开，得到：

r_T(r_R,y)≈r_T0+a_rΔr+a_yΔy                   (13)

其中，r_T0=r_T(r_R0,y₀),Δr=r_R-r_R0，Δy=y-y₀，

$\begin{array}{c}{a}_r={\frac{\∂r_T(r_R,y)}{\∂r_R}|}_{r_R=r_{R0},y=y_0}{=\frac{{\∂r}_T}{{\∂x}^{\′}}\frac{{\∂x}^{\′}}{\∂x}\frac{\∂x}{{\∂r}_R}|}_{r_R=r_{R0},y=y_0}\\ =\frac{-x_{T^{\′}}}{\sqrt{x_{T^{\′}}^2+h_T^2}}\cos \mathrm{\α}\frac{r_{R0}}{\sqrt{r_{R0}^2-h_R^2}}\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}_y={\frac{\∂r_T(r_R,y)}{\∂y}|}_{r_R=r_{R0},y=y_0}{=\frac{{\∂r}_T}{{\∂x}^{\′}}\frac{{\∂x}^{\′}}{\∂y}|}_{r_R=r_{R0},y=y_0}\\ =\frac{x_{T^{\′}}}{\sqrt{x_{T^{\′}}^2+h_T^2}}\sin \mathrm{\α}\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_r={\frac{\∂{\mathrm{\η}}_{0T}\left(y^{\′}\right)}{{\∂r}_R}|}_{r_R=r_{R0},y=y_0}{=\frac{{\∂\mathrm{\η}}_{0T}}{{\∂y}^{\′}}\frac{{\∂y}^{\′}}{\∂x}\frac{\∂x}{{\∂r}_R}|}_{r_R=r_{R0},y=y_0}\\ =\frac{1}{v_T}\sin \mathrm{\α}\frac{r_{R0}}{\sqrt{r_{R0}^2-h_R^2}}\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_y={\frac{\∂{\mathrm{\η}}_{0T}\left(y^{\′}\right)}{\∂y}|}_{r_R=r_{R0},y=y_0}{=\frac{{\∂\mathrm{\η}}_{0T}}{{\∂y}^{\′}}\frac{{\∂y}^{\′}}{\∂y}|}_{r_R=r_{R0},y=y_0}\\ =\frac{1}{v_T}\cos \mathrm{\α}\end{array}$

残余相位（12）可以简化成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RES}}(f,f_{\mathrm{\η}};r_R,y,r_{R0},y_0)=-2\mathrm{\π}[\frac{a_r{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})+F_R(f,f_{\mathrm{\η}})}{c}+g_r{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)]\mathrm{\Δr}\\ -2\mathrm{\π}[\frac{a_y{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})}{c}+\frac{f_{\mathrm{\ηR}}(f,f_{\mathrm{\η}})}{v_R}+g_y{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)]\mathrm{\Δy}\end{array}---\left(14\right)$

步骤三：对步骤二中的匹配结果进行Stolt频率变换，

令式（14）中Δr的系数和Δy的系数分别为一个新的频率变量，则得到所述Stolt频率变换的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_r{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})+F_R(f,f_{\mathrm{\η}})+g_r{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)c=f^{\′}+f_0\\ \frac{a_y{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})}{c}{v}_R+f_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)+g_y{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)v_R=f_{\mathrm{\η}}^{\′}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中,f′为变换后的距离频率,f′_η为变换后的方位频率。

由于该频率变换为非线性变换，所以需要进行二维插值来实现。该频率变换可以完成残余距离单元徙动矫正，残余二次距离压缩和残余方位压缩。

完成该变换后，则式（14）变为：

${\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RES}}(f,f_{\mathrm{\η}};r_R,y,r_{R0},y_0)=-\frac{2\mathrm{\π}}{c}(f^{\′}+f_0)\mathrm{\Δr}-2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{\η}}^{\′}\frac{\mathrm{\Δy}}{v_R}---\left(16\right)$

步骤四：对步骤三中频率变换的结果进行二维傅立叶反变换，得到成像结果：

S_image(r_R,y)≈sinc(r_R-Δr)sinc(y-Δy)                (17)

其中，sinc(·)为辛格函数。

本发明的有益效果：本发明的方法基于对双飞移变模式双基地SAR广义Loffeld模型二维频谱的二维空间线性化，得到一种频率变换，即对频谱相位沿接收站最短斜距进行线性展开，导出Stolt频率变换表达式，实现残余相位的空域线性化和频域线性化，解决了传统SAR成像方法和现有移不变双基地SAR成像方法无法解决双飞移变模式双基地SAR的二维空变，以及现有双飞移变模式双基地SAR成像方法精度较低的问题。与现有双飞移变双基地SAR波数域方法相比，本发明的方法形式简单，精度较高，能够满足双飞移变双基地SAR成像处理的要求。本发明可以应用于地球遥感等领域。

附图说明

图1是本发明的双飞移变模式双基地合成孔径雷达成像方法的流程框图。

图2是本发明具体实施方式采用的双飞移变双基地斜视SAR系统结构图。

图3是本发明具体实施方式采用的双飞移变双基地斜视SAR系统参数表。

图4是本发明具体实施方式中采用的目标场景布置图。

图5是本发明具体实施方式中回波二维频谱。

图6是本发明具体实施方式中经过二维Stolt变换后的二维频谱。

图7是本发明具体实施方式中对图4中9个点目标进行成像的结果。

具体实施方式

本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在Matlab2010上验证正确。下面就具体实施方式对本发明作进一步的详细描述。

双飞移变双基地斜视SAR系统结构图如图2所示，本实施例中的SAR系统参数表如图3所示，在使用本发明的方法之前，首先对成像参数初始化，生成目标回波信号

采用图3中给出的系统参数，对图4中的点目标逐点生成回波数据，累加得到目标回波S(τ,η)。图4中的黑色圆点为布置于地面上的共9个点目标。这9个点沿x方向（切航迹）间隔500米，沿y方向（沿航迹）间隔100米。接收平台沿y轴运动。

本发明方法的具体实施步骤如下：

步骤一：对产生的回波数据S(τ,η)分别进行方位向和距离向FFT，得到双飞移变模式双基地SAR二维频谱S_2df(f,f_η)。

步骤二：选取成像区域中心点即O点为参考点，其二维频谱记为S_2df(f,f_η;x=0,y=0)。利用参考点二维频谱对双飞移变模式双基地SAR进行粗匹配聚焦，即用步骤二得到的回波S_2df(f,f_η)与参考点二维频谱S_2df(f,f_η;x=0,y=0)共轭相乘：

得到匹配后的数据S_RES(f,f_η)，并利用表达式（13）计算系数a_r,a_y,g_r,g_y。

步骤三：利用8点sinc插值，对步骤二得到的二维频域数据S_RES(f,f_η)进行如等式（15）所示的二维频率stolt变换，从而实现了频率的线性化，得到变换后的数据S_RES(f′,f′_η)。

步骤四：将步骤三得到频率变换后的数据S_RES(f′,f′_η)进行二维IFFT操作，得到聚焦SAR图像S_image(r_R,y)。

至此，完成双飞移变模式双基地合成孔径波数域雷达成像处理，成像结果如图7所示。

可以看出，本发明的方法是基于对双飞移变模式双基地SAR广义Loffeld模型二维频谱的二维空间线性化，得到一种频率变换，该变换可完成二维空变矫正、残余距离单元徙动矫正、残余二次距离压缩和残余方位压缩，从而实现双飞移变模式双基地SAR的精确聚焦。从图7中也可以看出，本发明的成像方法可以很好的实现双飞移变模式双基地SAR成像处理，实现了对双飞移变模式双基地SAR回波的精确聚焦。

Claims (1)

1.一种双飞移变模式双基地合成孔径雷达成像方法，具体包括如下步骤：

步骤一：对原始回波数据进行二维傅立叶变换；

设定两直角坐标系(x,y,z)和(x′,y′,z)，两坐标系的关系为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中,α为y与y′之间的夹角；

在直角坐标系(x,y,z)中接收站零时刻位置记为(x_R,y_R,h_R)，在直角坐标系(x′,y′,z)中发射站平台位置记为(x′_T,y′_T,h_T)；接收站速度记为v_R，并沿y轴运动，发射站速度记为v_T，并沿y′轴运动，任意成像点坐标记为P(x,y)，在坐标系(x′,y′,z)中该点坐标为(x′,y′)；双基地距离和为R_b(η;x,y)=R_T(η;x,y)+R_R(η;x,y)，其中，η为方位时间，R_T(η;x,y),R_R(η;x,y)分别为发射站和接收站的距离历程：

$R_T(\mathrm{\η};x,y)=\sqrt{r_T^2+v_T^2{(\mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_{0T})}^2}---\left(2\right)$

$R_R(\mathrm{\η};x,y)=\sqrt{r_R^2+v_R^2{(\mathrm{\η}-{\mathrm{\η}}_{0R})}^2}---\left(3\right)$

r_T和r_R分别为发射站和接收站的最短斜距，具体表示为

η为方位向时间变量，且η_0T=(y′-y′_T)/v_T,η_0R=(y-y_R)/v_R；

原始回波数据S(τ,η)（τ为距离时间）在距离频域、方位时域的表达式为：

$\begin{array}{c}S(f,\mathrm{\η};x,y)\\ =S_0\left(f\right)\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R_T(\mathrm{\η};x,y)+R_R(\mathrm{\η};x,y)}{c}\}\end{array}---\left(4\right)$

其中，f为距离频率，

且rect[·]为矩形窗函数，B_r为发射信号带宽，K_r为发射信号的调频斜率，f₀为系统载频，c为光速；

基于广义Loffeld变换，得到原始回波在二维频域的表达式为：

S_2df(f,f_η;x,y)=S₀(f)exp{-jΦ_G(f,f_η;x,y)}            (5)

其中，f_η为方位频率，

${\mathrm{\Φ}}_G(f,f_{\mathrm{\η}};x,y)=\frac{2\mathrm{\π}}{c}[r_T{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})+r_R{F}_R(f,f_{\mathrm{\η}})+2\mathrm{\π}[f_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right){\mathrm{\η}}_{0T}+f_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right){\mathrm{\η}}_{0R}]---\left(6\right)$

$F_T(f,f_{\mathrm{\η}})=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{c{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)}{v_T}\right)}^2}---\left(7\right)$

$F_R(f,f_{\mathrm{\η}})=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{c{f}_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)}{v_R}\right)}^2}---\left(8\right)$

f_ηT(f_η)和f_ηR(f_η)分别为发射站和接收站的多普勒频率：

$\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)=f_{\mathrm{\ηcT}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrT}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})\\ f_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)=f_{\mathrm{\ηcR}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrR}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})\end{array}---\left(9\right)$

其中，f_ηcT，f_ηcR分别为发射站和接收站对应的多普勒质心；f_ηrT，f_ηrR分别为发射站和接收站对应的多普勒调频斜率；f_ηc和f_ηr为系统总的多普勒质心和多普勒调频斜率；

步骤二：选取参考点，对步骤一中得到的二维频域数据进行参考函数匹配，完成粗聚焦；

选取场景中心为参考点，在直角坐标系(x,y,z)中该点坐标为(x₀,y₀)，在(x′,y′,z)中该点坐标为(x′₀,y′₀)，该点回波的二维频谱为：

S_2df(f,f_η;x₀,y₀)=S₀(f)exp{-jΦ_G(f,f_η;x₀,y₀)}          (10)

其中，

${\mathrm{\Φ}}_G(f,f_{\mathrm{\η}};x_0,y_0)=\frac{2\mathrm{\π}}{c}[r_{T0}{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})+r_{R0}{F}_R(f,f_{\mathrm{\η}})]+2\mathrm{\π}[f_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right){\mathrm{\η}}_{0T0}+f_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right){\mathrm{\η}}_{0R0}]---\left(11\right)$

r_T0和r_R0分别为参考点处r_T和r_R的值： $r_{T0}=\sqrt{{(x_0^{\′}-x_T^{\′})}^2+h_T^2},$ $r_{R0}=\sqrt{{(x_0-x_R)}^2+h_R^2},$ η_0T0=(y′₀-y′_T)/v_T,η_0R0=(y₀-y_R)/v_R，y′₀和y₀分别为参考点处y′和y的值；

参考函数匹配的操作为：

“*”为共轭运算，则匹配后的残余相位为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RES}}(f,f_{\mathrm{\η}};r_R,y,r_{R0},y_0)=-\frac{2\mathrm{\π}}{c}[(r_T-r_{T0})F_T(f,f_{\mathrm{\η}})+(r_R-r_{R0})F_R(f,f_{\mathrm{\η}})\\ -2\mathrm{\π}[\frac{y^{\′}-y_0^{\′}}{v_T}{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)+\frac{y-y^{\′}}{v_R}{f}_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)]\end{array}---\left(12\right)$

根据步骤一中r_T和r_R的表达式，将r_T在(r_R0,y₀)处关于r_R和y进行线性泰勒展开，得到：

r_T(r_R,y)≈r_T0+a_rΔr+a_yΔy                 (13)

其中，r_T0=r_T(r_R0,y₀),Δr=r_R-r_R0，Δy=y-y₀，

$a_r=\frac{-x_{T^{\′}}}{\sqrt{x_{T^{\′}}^2+h_T^2}}\cos \mathrm{\α}\frac{r_{R0}}{\sqrt{r_{R0}^2-h_R^2}}$

$a_y=\frac{x_{T^{\′}}}{\sqrt{x_{T^{\′}}^2+h_T^2}}\sin \mathrm{\α}$

$g_r=\frac{1}{v_T}\sin \mathrm{\α}\frac{r_{R0}}{\sqrt{r_{R0}^2-h_R^2}}$

$g_y=\frac{1}{v_T}\cos \mathrm{\α}$

残余相位（12）可以简化成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RES}}(f,f_{\mathrm{\η}};r_R,y,r_{R0},y_0)=-2\mathrm{\π}[\frac{a_r{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})+F_R(f,f_{\mathrm{\η}})}{c}+g_r{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)]\mathrm{\Δr}\\ -2\mathrm{\π}[\frac{a_y{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})}{c}+\frac{f_{\mathrm{\ηR}}(f,f_{\mathrm{\η}})}{v_R}+g_y{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)]\mathrm{\Δy}\end{array}---\left(14\right)$

步骤三：对步骤二中的匹配结果进行Stolt频率变换，

令式（14）中Δr的系数和Δy的系数分别为一个新的频率变量，则得到所述Stolt频率变换的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_r{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})+F_R(f,f_{\mathrm{\η}})+g_r{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)c=f^{\′}+f_0\\ \frac{a_y{F}_T(f,f_{\mathrm{\η}})}{c}{v}_R+f_{\mathrm{\ηR}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)+g_y{f}_{\mathrm{\ηT}}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)v_R=f_{\mathrm{\η}}^{\′}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中,f′为变换后的距离频率,f′_η为变换后的方位频率；

完成该变换后，则式（14）变为：

${\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RES}}(f,f_{\mathrm{\η}};r_R,y,r_{R0},y_0)=-\frac{2\mathrm{\π}}{c}(f^{\′}+f_0)\mathrm{\Δr}-2\mathrm{\π}{f}_{\mathrm{\η}}^{\′}\frac{\mathrm{\Δy}}{v_R}---\left(16\right)$

步骤四：对步骤三中频率变换的结果进行二维傅立叶反变换，得到成像结果：

S_image(r_R,y)≈sinc(r_R-Δr)sinc(y-Δy)            (17)

其中，sinc(·)为辛格函数。

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