CN103869314A - 双飞移变双基地前视合成孔径雷达成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双飞移变双基地前视合成孔径雷达成像方法，针对双飞移变双基地前视合成孔径雷达成像中强距离方位耦合和二维空变性问题，本发明的方法首先采用改进的Keystone变换，去除二维空变的RCM并完成距离压缩，然后采用扩展的非线性CS算法将同一距离单元的目标点的多普勒质心和调频斜率均衡，最后通过方位向压缩得到成像结果。本发明的方法有效解决了移变双基地前视模式下的二维空变问题，从而实现了移变双基地前视SAR的精确聚焦。本发明较好地解决了空变的距离徙动和多普勒参数问题，可用于双飞移变双基地前视合成孔径雷达成像。

Description

双飞移变双基地前视合成孔径雷达成像方法

技术领域

本发明属于雷达技术领域，涉及合成孔径雷达（SAR）成像技术中的移变双基地前视SAR（TV-BFSAR）的成像方法。

背景技术

合成孔径雷达（SAR）可以全天时、全天候地提供观测区域的高分辨率图像，双基地SAR由于收发分置而有着很多突出的优点，它能获取目标的非后向散射信息，具有作用距离远、隐蔽性和抗干扰性强等特点。它可以分为固定发射站模式、移不变模式和双飞移变模式。与前两种模式相比，双飞移变模式双基地SAR为发射站和接收站提供了更大的自由性和机动性，因而更适合实际的飞行情况和复杂的应用需求。

在双飞移变双基地前视模式下，由于接收机和发射机的速度大小和方向不同，收发双站相对位置随着时间而变化，导致相同双基斜距和的目标具有不同的距离单元徙动（RCM）和不同的多普勒参数，这种问题称之为方位空变；加之具有传统单基SAR相同的距离空变，因而移变双基地前视SAR具有二维空变性。传统的成像算法，如距离多普勒（RD）、ChirpScaling(CS)和Omega-K等算法均不能直接对移变双基地前视SAR的回波数据进行成像；RD算法忽略了二次距离压缩（SRC）的二维空变性，Omega-K忽略了RCM和多普勒参数的方位向空变性。在文献“Wang R,Loffeld O,Nies H,et al.Image formation algorithm for bistaticforward-looking SAR”（Geoscience and Remote Sensing Symposium(IGARSS),2010IEEEInternational.IEEE,2010:4091-4094.）中，提出了一种range-Doppler算法，但是该方法忽略了距离方位耦合的空变性，不能用于移变模式中；在文献“Shin H S,Lim J T.Omega-k algorithmfor airborne forward-looking bistatic spotlight SAR imaging”（《Geoscience and Remote SensingLetters》,IEEE,2009,6(2):312-316.）中，提出了一种Omega-K算法，但是该算法是将系统进行了单双基转化近似得到的，其实用性受到限制；在文献“Focusing bistatic forward-lookingSAR with stationary transmitter based on keystone transform and nonlinear chirp scaling”（《IEEEGeoscience Remote Sensing Letters》vol.11,no.1,2014.)中，提出用一阶Keystone变换来去除二维空变的线性RCM，但是该方法忽略了残余的高阶RCM，使得距离向聚焦效果变差；在文献“Some Reflections on Bistatic SAR of Forward-Looking Configuration(《IEEE Geoscience andRemote Sensing Letters》，vol.5,no.4,2008.)中，采用的RD算法对对固定发射站双基地前视SAR回波进行成像，但是该方法忽略了沿方位向空变的RCM和多普勒参考函数，导致了聚焦效果变差，而且上述两种方法均是针对发射站固定的双基前视SAR提出的，不能用于双飞移变双基地前视SAR成像处理。

发明内容

本发明的目的是针对现有术存在的缺陷，设计一种移变双基地前视合成孔径雷达频域成像处理方法，解决传统SAR成像方法和现有双基地成像方法无法处理的移变双基地前视SAR的二维空变问题，从而实现了移变双基地前视SAR的精确聚焦。

为了方便描述本发明的内容，首先对以下术语进行解释：

术语1：双基地SAR

双基地SAR是指发射站和接收站分置于不同平台上的SAR系统，其中至少有一个平台为运动平台，在概念上属于双基地雷达。

术语2：双飞移变双基地前视SAR（TV-BFSAR）

双飞移变双基地前视SAR是双基地SAR的一种，接收站前视成像，接收站和发射站的飞行速度的大小和方向不同。

本发明的技术方案为：一种双飞移变双基地前视合成孔径雷达成像方法，具体包括如下步骤：

步骤一：成像系统建模；

发射平台位置记为(x_T,y_T,z_T)，接收站零时刻位置记为(x_R,y_R,z_R),接收站沿Y轴运动,速度记为V_R，发射站的飞行方向与y轴夹角为α，速度记为V_T；参考点坐标为(0,0)，任意点坐标记为P(x,y)，具体示意图如图1所示；

双飞移变双基地前视SAR的距离历史和为R(t;x,y)＝R_R(t;x,y)+R_T(t;x,y)，其中，t为方位时间变量，R_R(t;x,y)，R_T(t;x,y)分别为发射站和接收站的距离历史，

$R_R(t;x,y)=\sqrt{r_{0R}^2+V_R^2{(t-t_R)}^2-2r_{0R}{V}_R(t-t_R)\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{dR}}}---\left(1\right)$

$R_T(t;x,y)=\sqrt{r_{0T}^2+V_T^2{(t-t_T)}^2-2r_{0T}{V}_T(t-t_T)\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{dT}}}---\left(2\right)$

其中，t_R和t_T分别为接收站和发射站波束中心穿越时刻且t_R＝y/V_R，t_R＝y/V_Tcosα，r_0R和r_0T为波束中心穿越时刻的接收站与发射站斜距；

$r_{0R}\left(x\right)=\sqrt{x^2+y_R^2+h_R^2}---\left(3\right)$

$r_{0T}(x,y)=\sqrt{{(x-(x_T+y\tan \mathrm{\α}))}^2+y_T^2+h_T^2}---\left(4\right)$

设发射信号为线性调频信号，则目标点P(x,y)的回波为：

$\begin{array}{c}{S}_r(t,\mathrm{\τ};x,y)={\mathrm{\ω}}_r(\mathrm{\τ}-\frac{R(t;x,y)}{c}){\mathrm{\ω}}_a(t-t_R)\\ \×\exp \left\{\mathrm{j\π}{K}_r{(\mathrm{\τ}-\frac{R(t;x,y)}{c})}^2\right\}\exp \{-j2\mathrm{\π}{f}_c\frac{R(t;x,y)}{c}\}\end{array}---\left(5\right)$

其中，τ为距离向时间变量，ω_r[·]和ω_a[·]分别代表距离时间窗和方位时间窗，K_r是发射信号的时间调频斜率，c为光速，f_c为载波频率；

步骤二：一阶空变距离徙动校正；

将双基距离历史展开到方位向时间的三阶项，并利用驻定相位原理将点目标回波变换到方位时域距离频域，

其中，R(0;x,y)为零时刻点目标斜距，A′、B′和C′分别为方位向时间t的一阶、二阶和三阶展开系数，距离向FFT后，点目标回波的相位变为：

其中，f_τ为距离向频率；

在距离频域方位时域进行Keystone变换，去除二维空变的线性距离单元徙动，即进行如下变换：

$t=\frac{f_c}{f_{\mathrm{\τ}}+f_c}{t}_m---\left(7\right)$

其中，t_m为变换后的方位向时间变量；

步骤三：距离压缩和二阶距离徙动校正；

Keystone变换过后，将回波相位对f_τ进行二阶泰勒展开得到

可以看出，距离向的调频斜率发生了变化，所以，变换后采用新的调频斜率构造距离向压缩函数：

${\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{Rcom}}(f_{\mathrm{\τ}};\mathrm{0,0})=\exp \{\mathrm{\π}\frac{{f_{\mathrm{\π}}}^2}{K^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)}---\left(9\right)$

其中，

$K^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)=\frac{1}{\frac{1}{K_r}+\frac{B^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)t_m^2}{c{f}_c}+\frac{C^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)t_m^3}{c{f}_c}}---\left(10\right)$

其中，B′(0,0),C′(0,0)代表场景中心的双基距离展开系数B′和C′的值；

距离向压缩后，回波信号的一次RCM已经去除，但是还有二次RCM残余，在二维时域乘以如下相位因子去除残余RCM：

${\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RCMC}}=\exp \{-\mathrm{j\π}\frac{B^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)}{c}{t}_m^2{f}_{\mathrm{\τ}}---\left(11\right)$

这里忽略了三阶残余RCM；

步骤四：多普勒质心和调频斜率的多项式拟合；

Keystone变换和距离向压缩后，目标点的多普勒质心和调频斜率沿方位向是空变的。将同一距离单元的目标点的多普勒质心和多普勒调频斜率随方位向的空变分别建模为一次函数和二次函数，并通过曲线拟合得到下述关系：其中，t_R＝y/V_R：

f_dc＝f_dc0+at_R   （12）

$f_{\mathrm{dr}}=r_{\mathrm{dr}0}+{\mathrm{bt}}_R+{\mathrm{dt}}_R^2---\left(13\right)$

f_dc0为参考点的多普勒质心，f_dr0为参考点的多普勒调频斜率。a、b和d分别为拟合系数。

步骤五：参考点方位频率中心对齐；

对回波相位乘以

H_DC0(t)＝exp{-j2πf_dc0t}   （14）

参考点的方位向频谱移动到了PRF的中心且去除了部分方位向时间t_R和方位向频率f_a的耦合。

步骤六：四次滤波与非线性CS；

经过步骤二、三，点目标在距离向得到了很好的聚焦并且空变的一阶RCM和二阶RCM得到了校正，然而，keystone变换造成了目标点的多普勒质心和调频斜率沿方位向是空变的。因此，使用四次滤波和非线性CS对同一距离单元的目标点的多普勒质心和调频斜率进行均衡。

在方位向频域对回波进行四次滤波：

$H_{1F}\left(f_a\right)=\exp \left\{\mathrm{j\π}(Y_3{f}_a^3+Y_4{f}_a^4)\right\}---\left(15\right)$

滤波后将回波变换至二维时域，进行方位向非线性CS：

$H_{\mathrm{NLCS}}\left(t_m\right)=\exp \left\{\mathrm{j\π}(q_2{t}_m^2+q_3{t}_m^3+q_4{t}_m^4)\right\}---\left(16\right)$

其中，Y₃，Y₄，q₂，q₃，q₄分别为四次滤波和非线性CS系数：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_2-a\\ Y_3=\frac{b(2q_2+a{f}_{\mathrm{dr}0})-f_{d3}(a+q_2)}{3{(f_{\mathrm{dr}0}-a)}^2{q}_2{f}_{\mathrm{dr}0}}\\ q_3=\frac{2b(q_2+a)(a_2+f_{\mathrm{dr}0})-f_{d3}{(a+q_2)}^2-q_2[b(2q_2+a+f_{\mathrm{dr}0})-f_{d3}(a+q_2)]}{3{(f_{\mathrm{dr}0}-a)}^2}\\ Y_4=\frac{L/6-M(a-f_{\mathrm{dr}0})/4}{{(f_{\mathrm{dr}0}-a)}^2{a}_2{f}_{\mathrm{dr}0}^2(q_2+f_{\mathrm{dr}0})}\\ q_4=\frac{M/4-(f_{\mathrm{dr}0}-a)f_{\mathrm{dr}0}^3{q}_2{Y}_4}{a-f_{\mathrm{dr}0}}\end{array}\right.$

其中，f_d3为三阶多普勒系数；

$\begin{array}{c}L=-[c{(q_2+f_{\mathrm{dr}0})}^2-b^2(q_2+f_{\mathrm{dr}0})]-3f_{d3}b(a+q_2)\\ +3Y_3{q}_{2}b{f}_{\mathrm{dr}0}(3f_{\mathrm{dr}0}{q}_2-2a{q}_2+f_{\mathrm{dr}0}a)-3q_{3}b(q_2-2f_{\mathrm{dr}0}+3a)\end{array}$

$M=-3f_{d3}b+3Y_3{q}_{2}b{f}_{\mathrm{dr}0}^2-3q_{3}b$

步骤七：方位向压缩；

将经过非线性CS后的回波信号进行方位向压缩，方位向参考函数为：

$H_{\mathrm{AC}}(f_a,\mathrm{\τ})=\exp \left\{\mathrm{j\π}(\frac{f_a^2}{q_2+f_{\mathrm{dr}0}}-\frac{(f_{d3}/3+Y_3{f}_{\mathrm{dr}0}^3+q_3)f_a^3}{{(q_2+f_{\mathrm{dr}0})}^3}-\frac{(Y_4{f}_{\mathrm{dr}0}^4+q_4)f_a^4}{{(q_2+f_{\mathrm{dr}0})}^4})\right\}---\left(17\right)$

将压缩后的信号进行方位向傅里叶反变换，即可得到聚焦的SAR图像。

本发明的有益效果：本发明的方法首先采用改进的Keystone变换，去除二维空变的RCM并完成距离压缩，然后采用扩展的非线性CS算法将同一距离单元的目标点的多普勒质心和调频斜率均衡，最后通过方位向压缩得到成像结果。本发明的方法有效解决了移变双基地前视模式下的二维空变问题，从而实现了移变双基地前视SAR的精确聚焦。

附图说明

图1是本发明实施例的几何结构图。

图2是本发明提供方法的流程框图。

图3是本发明具体实施方式采用的移变模式双基地前视SAR系统参数表。

图4是本发明具体实施方式中采用的目标场景布置图。

图5是本发明具体实施方式中对图4中7个点目标进行成像的结果示意图。

图6是图4中O、P1、P2点的成像结果示意图。其中（a）为O点，（b）为P1点，（c）为P2点。

具体实施方式

本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在Matlab2012上验证正确。

本发明实施例的几何结构图如图1所示，下面结合具体实施方式对本发明作进一步的详细描述。

步骤一：对成像区域任意一点目标，计算接收站距离历程和发射站距离，产生TV-BFSAR点目标仿真回波矩阵，记为S(t,τ)，仿真所需的参数如图3所示，目标场景如图4所示。图中的黑色圆点为布置于地面上的7个点目标。这7个点沿x方向（切航迹）间隔350米，坐标分别为(-54.6576,350）米、(-443.4703,350)米、(-872.9143,350)米、(707.1249,-350)米、(381.2807,-350)米、(32.1523,-350)米。

对产生的回波矩阵S(t,τ)进行距离向FFT，将回波变换到距离频域方位时域，得到矩阵记为S(t,f_τ)：

S(t,f_τ)＝FFT_range{S(t,τ)}   （18）

步骤二：对S(t,f_τ)进行Keystone变换，去除空变的一次距离徙动，得到变换后的回波和矩阵S(t_m,f_τ)。

步骤三：将步骤三得到的回波矩阵S(t_m,f_τ)乘以距离向压缩因子ψ_Rcom(f_τ,t_m)得到距离压缩的回波矩阵S₁(t_m,f_τ)，之后乘以φ_RCMC(t_m,f_τ)进行二阶距离徙动校正去除残余距离徙动，得到距离徙动校正的回波矩阵：

$\begin{array}{c}{S}_2(t_m,f_{\mathrm{\π}})=S(t_m,f_{\mathrm{\τ}})\·{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{Rcom}}(t_m,f_{\mathrm{\τ}})\·{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RCMC}}(t_m,f_{\mathrm{\τ}})\\ =S(t_m,f_{\mathrm{\τ}})\·\exp \left\{\mathrm{\π}\frac{f_{\mathrm{\τ}}^2}{K^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)}\right\}\·\exp \{-\mathrm{j\π}\frac{B^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)}{c}{t}_m^2{f}_{\mathrm{\τ}}\end{array}---\left(19\right)$

步骤四：对多普勒质心和调频斜率的方位向空变性进行多项式拟合，得到f_dc对方位向位置的一阶拟合多项式和的f_dr二阶拟合多项式：f_dc＝f_dc0+at_R，

步骤五：对回波相位乘以H_DC0(t_m,τ)，以去除参考点的多普勒质心。经过上述相位相乘，参考点的方位向频谱移动到了PRF的中心得到S₃(t_m,τ)：

S₃(t_m,τ)＝IFFT_range{S₂(t_m,f_τ)}·H_DC0(t_m,τ)   （20）

步骤六：将步骤六得到的矩阵S₃(t_m,τ)变换到方位向频域得到S₃(f_a,τ)，乘以四次滤波矩阵H_1F(f_a,τ)，得到S₄(f_a,τ)，将S₄(f_a,τ)变换到二维时域，乘以非线性CS因子H_NLCS(t_m,τ)得到S₅(t_m,τ)，完成非线性CS，实现方位向多普勒质心和调频斜率的均衡：

S₃(f_a,τ)＝FFT_azimuth{S₃(t_m,τ)}   （21）

S₄(f_a,τ)＝S₃(f_a,τ)·H_1F(f_a,τ)   （22）

S₅(t_m,τ)＝IFFT_azimuth{S₄(f_a,τ)}·H_NLCS(t_m,τ)   （23）

步骤七：将S₅(t_m,τ)变换到方位向频域并乘以方位向压缩因子H_AC(f_a,τ)，最后变换到二维时域得到聚焦的SAR图像S₆(t_m,τ)：

S₆(t_m,τ)＝IFFT_azimuth{FFT_azimuth{S₅(t_m,τ)}·H_AC(f_a,τ)}   （24）

成像结果如图5、图6所示。其中，图6中6（a）为O点，（b）为P1点，（c）为P2点。

通过上述实施例可以看出，本发明的方法利用一阶Keystone变换来去除二维空变的线性距离徙动，并提出了二阶距离徙动校正方法来去除残余的距离徙动，使用非线性CS对方位向空变的多普勒质心和调频斜率进行均衡，从而解决了双基地前视模式下二维空变的问题，实现对移变模式下双基地前视SAR回波的精确聚焦。。本发明的优点是与现有双基地前视SAR频域成像方法相比，成像精度更高。本发明的方法可以应用于地球遥感、自主着落、自主导航等领域。

Claims (1)

1.一种双飞移变双基地前视合成孔径雷达成像方法，具体包括如下步骤：

步骤一：成像系统建模；

发射平台位置记为(x_T,y_T,z_T)，接收站零时刻位置记为(x_R,y_R,z_R),接收站沿Y轴运动,速度记为V_R，发射站的飞行方向与y轴夹角为α，速度记为V_T；参考点坐标为(0,0)，任意点坐标记为P(x,y)，

双飞移变双基地前视SAR的距离历史和为R(t;x,y)＝R_R(t;x,y)+R_T(t;x,y)，其中，t为方位时间变量，R_R(t;x,y)，R_T(t;x,y)分别为发射站和接收站的距离历史，

$R_R(t;x,y)=\sqrt{r_{0R}^2+V_R^2{(t-t_R)}^2-2r_{0R}{V}_R(t-t_R)\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{dR}}}---\left(1\right)$

$R_T(t;x,y)=\sqrt{r_{0T}^2+V_T^2{(t-t_T)}^2-2r_{0T}{V}_T(t-t_T)\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{dT}}}---\left(2\right)$

其中，t_R和t_T分别为接收站和发射站波束中心穿越时刻且t_R＝y/V_R，t_R＝y/V_Tcosα，r_0R和r_0T为波束中心穿越时刻的接收站与发射站斜距；

$r_{0R}\left(x\right)=\sqrt{x^2+y_R^2+h_R^2}---\left(3\right)$

$r_{0T}(x,y)=\sqrt{{(x-(x_T+y\tan \mathrm{\α}))}^2+y_T^2+h_T^2}---\left(4\right)$

设发射信号为线性调频信号，则目标点P(x,y)的回波为：

$\begin{array}{c}{S}_r(t,\mathrm{\τ};x,y)={\mathrm{\ω}}_r(\mathrm{\τ}-\frac{R(t;x,y)}{c}){\mathrm{\ω}}_a(t-t_R)\\ \×\exp \left\{\mathrm{j\π}{K}_r{(\mathrm{\τ}-\frac{R(t;x,y)}{c})}^2\right\}\exp \{-j2\mathrm{\π}{f}_c\frac{R(t;x,y)}{c}\}\end{array}---\left(5\right)$

其中，τ为距离向时间变量，ω_r[·]和ω_a[·]分别代表距离时间窗和方位时间窗，K_r是发射信号的时间调频斜率，c为光速，f_c为载波频率；

步骤二：一阶空变距离徙动校正；

将双基距离历史展开到方位向时间的三阶项，并利用驻定相位原理将点目标回波变换到方位时域距离频域，

其中，R(0;x,y)为零时刻点目标斜距，A′、B′和C′分别为方位向时间t的一阶、二阶和三阶展开系数，距离向FFT后，点目标回波的相位变为：

其中，f_τ为距离向频率；

在距离频域方位时域进行Keystone变换，去除二维空变的线性距离单元徙动，即进行如下变换：

$t=\frac{f_c}{f_{\mathrm{\τ}}+f_c}{t}_m---\left(7\right)$

其中，t_m为变换后的方位向时间变量；

步骤三：距离压缩和二阶距离徙动校正；

Keystone变换过后，将回波相位对f_τ进行二阶泰勒展开得到

变换后采用新的调频斜率构造距离向压缩函数：

${\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{Rcom}}(f_{\mathrm{\τ}};\mathrm{0,0})=\exp \{\mathrm{\π}\frac{{f_{\mathrm{\π}}}^2}{K^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)}---\left(9\right)$

其中，

$K^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)=\frac{1}{\frac{1}{K_r}+\frac{B^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)t_m^2}{c{f}_c}+\frac{C^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)t_m^3}{c{f}_c}}---\left(10\right)$

其中，B′(0,0),C′(0,0)代表场景中心的双基距离展开系数B′和C′的值；

在二维时域乘以如下相位因子去除残余RCM：

${\mathrm{\φ}}_{\mathrm{RCMC}}=\exp \{-\mathrm{j\π}\frac{B^{\′}\left(\mathrm{0,0}\right)}{c}{t}_m^2{f}_{\mathrm{\τ}}---\left(11\right)$

步骤四：多普勒质心和调频斜率的多项式拟合；

将同一距离单元的目标点的多普勒质心和多普勒调频斜率随方位向的空变分别建模为一次函数和二次函数，

f_dc＝f_dc0+at_R   （12）

$f_{\mathrm{dr}}=r_{\mathrm{dr}0}+{\mathrm{bt}}_R+{\mathrm{dt}}_R^2---\left(13\right)$

其中，t_R＝y/V_R，f_dc0为参考点的多普勒质心，f_dr0为参考点的多普勒调频斜率，a、b和d分别为拟合系数；

步骤五：参考点方位频率中心对齐；

对回波相位乘以

H_DC0(t)＝exp{-j2πf_dc0t}   （14）

参考点的方位向频谱移动到了PRF的中心且去除了部分方位向时间t_R和方位向频率f_a的耦合；

步骤六：四次滤波与非线性CS；

使用四次滤波和非线性CS对同一距离单元的目标点的多普勒质心和调频斜率进行均衡：

在方位向频域对回波进行四次滤波：

$H_{1F}\left(f_a\right)=\exp \left\{\mathrm{j\π}(Y_3{f}_a^3+Y_4{f}_a^4)\right\}---\left(15\right)$

滤波后将回波变换至二维时域，进行方位向非线性CS：

$H_{\mathrm{NLCS}}\left(t_m\right)=\exp \left\{\mathrm{j\π}(q_2{t}_m^2+q_3{t}_m^3+q_4{t}_m^4)\right\}---\left(16\right)$

其中，Y₃，Y₄，q₂，q₃，q₄分别为四次滤波和非线性CS系数：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_2-a\\ Y_3=\frac{b(2q_2+a{f}_{\mathrm{dr}0})-f_{d3}(a+q_2)}{3{(f_{\mathrm{dr}0}-a)}^2{q}_2{f}_{\mathrm{dr}0}}\\ q_3=\frac{2b(q_2+a)(a_2+f_{\mathrm{dr}0})-f_{d3}{(a+q_2)}^2-q_2[b(2q_2+a+f_{\mathrm{dr}0})-f_{d3}(a+q_2)]}{3{(f_{\mathrm{dr}0}-a)}^2}\\ Y_4=\frac{L/6-M(a-f_{\mathrm{dr}0})/4}{{(f_{\mathrm{dr}0}-a)}^2{a}_2{f}_{\mathrm{dr}0}^2(q_2+f_{\mathrm{dr}0})}\\ q_4=\frac{M/4-(f_{\mathrm{dr}0}-a)f_{\mathrm{dr}0}^3{q}_2{Y}_4}{a-f_{\mathrm{dr}0}}\end{array}\right.$

其中，

$\begin{array}{c}L=-[c{(q_2+f_{\mathrm{dr}0})}^2-b^2(q_2+f_{\mathrm{dr}0})]-3f_{d3}b(a+q_2)\\ +3Y_3{q}_{2}b{f}_{\mathrm{dr}0}(3f_{\mathrm{dr}0}{q}_2-2a{q}_2+f_{\mathrm{dr}0}a)-3q_{3}b(q_2-2f_{\mathrm{dr}0}+3a)\end{array}$

$M=-3f_{d3}b+3Y_3{q}_{2}b{f}_{\mathrm{dr}0}^2-3q_{3}b$

步骤七：方位向压缩；

将经过非线性CS后的回波信号进行方位向压缩，方位向参考函数为：

$H_{\mathrm{AC}}(f_a,\mathrm{\τ})=\exp \left\{\mathrm{j\π}(\frac{f_a^2}{q_2+f_{\mathrm{dr}0}}-\frac{(f_{d3}/3+Y_3{f}_{\mathrm{dr}0}^3+q_3)f_a^3}{{(q_2+f_{\mathrm{dr}0})}^3}-\frac{(Y_4{f}_{\mathrm{dr}0}^4+q_4)f_a^4}{{(q_2+f_{\mathrm{dr}0})}^4})\right\}---\left(17\right)$

将压缩后的信号进行方位向傅里叶反变换，即可得到聚焦的SAR图像。

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