CN102798861A - 一种基于最优图像空间双基地合成孔径雷达成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于最优图像空间双基地合成孔径雷达成像方法，对于移变双基地SAR，由于其相对复杂的空间几何构型以及距离历史的二维空变特性，目前还没有统一的双基地SAR的投影关系；本发明通过计算得到最优投影向量，并利用二维非均匀快速傅里叶变换将双基地SAR回波信号映射至该投影空间中，进行聚焦处理，得到均方意义下的最优成像结果。本发明方法与现有的双基地SAR成像方法法相比，其优势在于能够获得统计意义上的最优聚焦性能。

Description

一种基于最优图像空间双基地合成孔径雷达成像方法

技术领域

本发明属于雷达技术领域，它特别涉及双基地合成孔径雷达（简称双基地SAR）的成像技术。

背景技术

双基地SAR就是指雷达发射机与接收机分置于两个不同运动平台的SAR系统。由于双基地SAR系统发射平台与接收平台分置，与传统单站SAR相比，平台关系更加灵活，具有更加丰富的空间、运动资源。不仅可以实现传统单站SAR的成像功能，而且具有以下几个方面的优势：

1、成像区域灵活。传统单站SAR的成像区域通常处于平台运动方向的侧视方向；而双基地SAR藉由收发平台之间的协作，与成像区域形成不同的空间位置关系，具备更加灵活的成像区域，包括相对于接收机位置的侧视、前视、下视以及后视方向的目标区域成像。

2、目标信息丰富。传统单站SAR只能获取目标区域的后向散射信息。而在双基地SAR系统中，由于收发平台分置，因此可以选取适宜的双基地角去获取更加丰富的目标信息，从而有利于对隐身目标的探测。

3、成本低。双基地SAR的接收机不含大功率微波器件，功耗和体积较小，重量轻，便于小型无人侦察机携带，从而大大降低了军事侦察的成本。

然而，双基地SAR带来的种种好处，是以雷达系统的复杂性为代价的。其发射机与接收机分置于不同运动平台的特点，给成像处理带来了一些具有研究意义的新课题，主要包括：

1、双基地SAR的距离历史为发射机、接收机距离历史之和，具有双根号形式，直接用驻定相位原理无法求解双基地SAR二维频谱的解析表达式，给双基地SAR成像算法的研究带来困难。

2、双基地SAR的移变特性，使点目标的距离徙动具有二维空变性，难以设计出高效而实用的成像算法。

雷达成像的本质是从场景空间到投影空间的映射。在传统单站SAR的成像处理中，通常以“最近斜距—零多普勒时间”（Closest range—Zero Doppler time）做为图像坐标。这是因为，单站SAR的距离历史在该投影空间下具有一维空变性。传统单站SAR的成像算法，包括距离多普勒算法、CS算法和Omega-K算法等，都是利用了这个特性，通过校正一个点目标的距离徙动达到校正一簇点目标距离徙动的效果，从而实现快速成像处理。然而，移变双基地SAR，由于其相对复杂的空间几何构型以及距离历史的二维空变特性，还没有统一的双基地SAR的图像坐标系。截止到目前，对于双基地SAR投影空间的选择问题，还没有做过专门的研究。

发明内容

本发明的目的是为克服现有的双基地SAR成像方法没有统一投影空间的不足，提供了一种基于最优图像空间双基地合成孔径雷达成像方法；该方法充分考虑了成像区域内各点目标距离历史的近似误差，能够保证得到均方意义下的最优聚焦效果。

为了方便描述本发明的内容，首先作以下术语定义：

定义1、双基地SAR系统相关参数描述

双基地SAR距离历史为

$R(u;P)=\sqrt{{\left|\right|V_T\left|\right|}^2\·u^2+2{V_T}^T(P_{0T}-P)\·u+{\left|\right|P_{0T}-P\left|\right|}^2}$

$+\sqrt{{\left|\right|V_R\left|\right|}^2\·u^2+2{V_R}^T(P_{0R}-P)\·u+{\left|\right|P_{0R}-P\left|\right|}^2}$

其中，u表示慢时间，P表示成像区域内一点目标的空间位置矢量，P_OT和P_OR分别为发射机和接收机在慢时刻零时的空间位置矢量；V_T和V_R分别为发射机和接收机的运动速度矢量。运算符^T表示矢量的转置，运算符‖·‖表示矢量的范数，关于矢量运算符详细说明请参见书籍《线性代数与空间解析几何（第3版）》，黄廷祝编著，高等教育出版社。

定义2、快速傅里叶变换

计算离散傅里叶变换的快速方法。目前世界上公认最快的快速傅里叶变换计算程序由FFTW提供，详细信息可参考http://www.fftw.org/。

定义3、特征值分解

特征值分解是线性代数里常用的一个计算方法，可以通过求解线性方程组来计算得到，详细计算方法请参见书籍《线性代数与空间解析几何（第3版）》，黄廷祝编著，高等教育出版社。

定义4、二维非均匀快速傅里叶变换

二维非均匀快速傅里叶变换定义为

$I_{k,l}=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{m,n}\exp (j\frac{2\mathrm{\π}}{M}{\mathrm{\α}}_{m,n}k+j\frac{2\mathrm{\π}}{N}{\mathrm{\β}}_{m,n}l)$

其中，M和N分别为二维信号x的第一维和第二维点数；m为二维信号x的第一维指标，且m=0,1,…,M-1，n为二维信号x的第二维指标，且n=0,1,…,N-1；α_m,n和β_m,n为非均匀采样的二维信号x_m,n在二维空间中的分布;

表示复数单位。I为二维非均匀傅里叶变换的输出信号，k为二维信号I的第一维指标，且k=0,1,…,M-1，l为二维信号I的第二维指标，且l＝0,1,…,N-1。二维非均匀快速傅里叶变换可以通过变换核函数插值以及传统快速傅里叶变换技术来实现。

本发明提供一种星机联合双基地合成孔径雷达频域成像方法，如图1所示，包含如下步骤：

步骤1、双基地SAR成像参数初始化

初始化成像参数包括：

快时间，记做t；慢时间，记做u；快频率，即快时间经过傅里叶变换所对应的频率，记做f；雷达工作频率，记做f_c；脉冲重复频率，记做PRF；电磁波传播速度，记做c；双基地SAR发射信号的带宽和脉宽，分别记做B和T_p；以上参数由雷达的系统参数给出。

慢时间位于时间坐标原点时，发射平台和接收平台的空间位置矢量，分别记做P_0T和P_OR；发射平台与接收平台的运动速度矢量，分别记做V_T和V_R。以上参数由雷达平台的运动参数给出。

观测区域，记做Ω；观测区域内共有K个点目标，其空间位置矢量分别P₁、P₂、…、P_k、…、P_K，对应的距离历史，分别记做R(u;P₁)、R(u;P₂)、…、R(u;P_k)、…、R(u;P_K)。以上参数由雷达系统的波束相关信息给出。

双基地SAR原始时域回波共包含N_a个脉冲，每个脉冲包含N_r个复数浮点数据，并以一个N_r行N_a列的数据矩阵存放（N_r和N_r均为正整数），记做s(t,u)。N_r和N_a由雷达系统的数据采集设备给出。

定义参考距离R_ref(u)，记做

$R_{\mathrm{ref}}\left(u\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}R(u;P_k)$

其中，u表示慢时间；K表示成像区域内点目标个数；k为自然数，且k=1,2,…,K；P_k表示成像区域内的第k个点目标的空间位置矢量；R(u;P_k)表示成像区域内的第k个点目标的距离历史，详细信息请参见定义一。

定义参考函数S_ref(f,u)，记做

$S_{\mathrm{ref}}(f,u)=\exp (\mathrm{j\π}\frac{T_p}{B}{f}^2+j2\mathrm{\π}\frac{f_c+f}{c}\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}R(u;P_k))$

其中，f表示快频率；u表示慢时间；

表示复数单位；B和T_p分别表示发射信号的带宽和脉宽；f_c表示雷达工作频率；c表示电磁波传播速度；K表示成像区域内点目标个数；k为自然数，且k=1,2,…,K；P_k表示成像区域内的第k个点目标的空间位置矢量；R(u;P_k)表示成像区域内的第k个点目标的距离历史，详细信息请参见定义一。

步骤2、快时间傅里叶变换

对原始时域回波s(t,u)的每一列数据，进行快速傅里叶变换，得到快时间傅里叶变换的结果同样为N_r行N_a列的回波信号S(f,u)。其中，t表示快时间，f表示快频率；u表示慢时间；数据的行数N_r和列数N_a的大小由雷达系统的数据采集设备给出。

步骤3、参考函数相乘

用信号S(f,u)与参考函数S_ref(f,u)相乘，得到参考函数相乘之后的结果S_RFM(f,u)，即

S_RFM(f,u)=S(f,u)·S_ref(f,u)

其中，f表示快频率；u表示慢时间；参考函数S_ref(f,u)由步骤1定义。

步骤4、计算最优投影基向量

步骤4.1）根据下式计算矩阵A(m,n)，矩阵A(m,n)为N_a行N_a列的方阵，N_a表示数据S_RFM(f,u)的列数，N_a的值由雷达系统的数据采集设备给出。m为自然数，且m=0,1,…,N_a-1；n为自然数，且n=0,1,…,N_a-1。

$A(m,n)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}[R(u_m;P_k)-R_{\mathrm{ref}}\left(u_m\right)][R(u_n;P_k)-R_{\mathrm{ref}}\left(u_n\right)]$

其中，

$u_m=\frac{m+N_a/2}{\mathrm{PRF}}$

$u_n=\frac{n+N_a/2}{\mathrm{PRF}}$

其中，m为自然数，且m=0,1,…,N_a-1；n为自然数，且n=0,1,…,N_a-1。N_a表示数据S_RFM(f,u)的列数，由雷达系统的数据采集设备给出；PRF表示雷达系统的脉冲重复频率。K表示成像区域内点目标个数；k为自然数，且k=1,2,…,K；P_k表示成像区域内的第k个点目标的空间位置矢量；R(u;P_k)表示成像区域内的第k个点目标的距离历史，详细信息请参见定义一；R_ref(u)表示参考函数，由步骤一所定义。

步骤4.2）采用传统常用的特征值分解方法对矩阵A(m,n)进行特征值分解，得到N_a个特征值σ₁、σ₂、…、

以及与特征值对应的特征向量α₁(n)、α₂(n)、…、

N_a表示数据S_RFM(f,u)的列数，由雷达系统的数据采集设备决定；n为自然数，且n=0,1,…,N_a-1。

步骤4.3）对N_a个特征值σ₁、σ₂、…、

按照由大到小的顺序重新排序，得到排序后的N_a个特征值

...、

以及与特征值对应的特征向量

...、

其中

和

即为双基地SAR的最优投影基向量。

步骤五、二维非均匀快速傅里叶变换

按照下式对参考函数相乘的结果S_RFM(f,u)进行二维非均匀快速傅里叶变换，得到双基地SAR图像I(k,l)。

$I(k,l)=\underset{n=-N_a/2}{\overset{N_a/2-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=-N_r/2}{\overset{N_r/2-1}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{RFM}}(\mathrm{m\Δf},\mathrm{n\Δu})\·\exp \left[\begin{array}{c}j2\mathrm{\π}\frac{f_c+\mathrm{m\Δf}}{c}{\widetilde{\mathrm{\α}}}_1\left(n\right)k\\ +j2\mathrm{\π}\frac{f_c+\mathrm{m\Δf}}{c}{\widetilde{\mathrm{\α}}}_2\left(n\right)l\end{array}\right]$

其中，Δf=B/N_r；Δu=1/PRF；

和为双基地SAR的最优投影基向量；B表示发射信号的带宽；PRF表示雷达系统的脉冲重复频率。m和n为自然数，且m=-N_r/2,-N_r/2+1,…,N_r/2-1，n=-N_a/2,N_a/2+1,…,N_a/2-1；f_c表示雷达系统的工作频率；c表示电磁波传播速度。k和l为自然数，且m=-N_r/2,-N_r/2+1,…,N_r/2-1，n=-N_a/2,N_a/2+1,…,N_a/2-1。该步骤的具体实现如下：

步骤5.1）根据下式计算得到二维信号Y(g,h)

$Y(g,h)=\underset{g=\mathrm{round}\left(2\frac{N_r(f_c+\mathrm{m\Δf}){\widetilde{\mathrm{\α}}}_1\left(n\right)}{c}\right)+p}{\mathrm{\Σ}}\underset{h=\mathrm{round}\left(2\frac{N_a(f_c+\mathrm{m\Δf}){\widetilde{\mathrm{\α}}}_2\left(n\right)}{c}\right)+q}{\mathrm{\Σ}}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(p,\frac{N_r(f_c+\mathrm{m\Δf}){\widetilde{\mathrm{\α}}}_1\left(n\right)}{c})\\ \×\mathrm{\ρ}(q,\frac{N_a(f_c+\mathrm{m\Δf}){\widetilde{\mathrm{\α}}}_2\left(n\right)}{c})\\ \×S_{\mathrm{RFM}}(\mathrm{m\Δf},\mathrm{n\Δu})\end{array}\right\}$

其中，函数ρ(q,c)为

$\mathrm{\ρ}(q,c)=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{\π}}}\exp \{-\frac{1}{4}{[\mathrm{round}\left(2c\right)+q-2c]}^2\}$

其中，round(·)表示四舍五入函数；g为整数，且g=-N_r-Q,-N_r-Q+1,…,N_r+Q；h为整数，且h=-N_a-Q,-N_a-Q+1,…,N_a+Q；行数N_r和列数N_a由雷达系统的数据采集设备决定；m和n为自然数，且m=-N_r/2,-N_r/2+1,…,N_r/2-1，n=-N_a/2,N_a/2+1,…,N_a/2-1；f_c表示雷达系统的工作频率；c表示电磁波传播速度；p和q为整数，且p=-Q,-Q+1,…,Q，q=-Q,-Q+1,…,Q；

和

为双基地SAR的最优投影基向量；

步骤5.2）利用快速傅里叶变换，根据下式计算得到二维信号

$\tilde{I}(k,l)=\underset{g=-N_r-Q}{\overset{N_r+Q}{\mathrm{\Σ}}}\underset{h=-N_a-Q}{\overset{N_a+Q}{\mathrm{\Σ}}}Y(g,h)\exp (j\frac{\mathrm{\π}}{N_r}\mathrm{gk}+j\frac{\mathrm{\π}}{N_a}\mathrm{hl})$

其中，g为整数，且g=-N_r-Q,-N_r-Q+1,…,N_r+Q；h为整数，且h=-N_a-Q,-N_a-Q+1,…,N_a+Q；行数N_r和列数N_a由雷达系统的数据采集设备决定；k为整数，且k=-N_r/2,-N_r/2+1,…,N_r/2-1；l为整数，且l=-N_a/2,-N_a/2+1,…,N_a/2-1。

步骤5.3）根据下式，计算得到最终的聚焦图像I(k,l)

$I(k,l)=\exp \left[{\mathrm{\π}}^2(\frac{k^2}{{N_r}^2}+\frac{l^2}{{N_a}^2})\right]\·\tilde{I}(k,l)$

其中，k为整数，且k=-N_r/2,-N_r/2+1,…,N_r/2-1；l为整数，且l＝-N_a/2,-N_a/2+1,…,N_a/2-1。行数N_r和列数N_a的大小由雷达系统的数据采集设备给出。

经过上述步骤处理，就从双基地SAR接收到的目标回波信号s(t,u)中获取具有高分辨率的目标成像结果聚焦图像I(k,l)。

需要说明的是，步骤4中的计算最优投影基向量过程，也可以根据双基地SAR的系统参数和运动参数进行离线计算；从而在实际成像处理时，经过步骤2的快时间傅里叶变换和步骤3的参考函数相乘，即能直接根据离线计算的最优投影基向量。

本发明的实质是，通过计算双基地SAR的最优投影基向量，并利用二维非均匀快速傅里叶变换对双基地SAR回波信号进行聚焦处理。该方法与现有的双基地SAR成像算法相比，其优势在于能够获得统计意义上的最优聚焦性能。

本发明的创新点在于，通过计算得到的最优投影向量，能够保证双基地SAR回波信号在均方意义下的最优聚焦结果。

本发明的基本原理是，通过计算得到最优投影向量，并利用二维非均匀快速傅里叶变换实现双基地SAR回波信号的聚焦处理。

本发明解决的技术问题是，移变双基地SAR，由于其相对复杂的空间几何构型以及距离历史的二维空变特性，还没有统一的双基地SAR的投影关系；本发明通过计算得到最优投影向量，并利用二维非均匀快速傅里叶变换将双基地SAR回波信号映射至该投影空间中，得到均方意义下的最优成像结果。

本发明的有益效果，通过计算得到双基地SAR的最优投影向量，保证本发明能够获得均方意义下的最优成像结果。

附图说明

图1为本发明实现步骤流程图。

图2为仿真中的点目标场景。X轴和Y轴分别表示地面坐标系上的两个坐标轴。O点为成像区域的中心点；A、B、C、D四个点目标分别位于1km×1km正方形区域内的四个顶点。

图3为点目标成像结果。V1轴和V2轴分别为双基地SAR图像的两个坐标轴，O’A’B’C’D’五个点目标图像分别为图2中五个点目标OABCD的成像结果。

具体实施方式

本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在MATLAB上验证正确。

步骤1、双基地SAR成像参数初始化。

本实施例分别采用TerraSAR-X卫星和机载PAMIR作为发射、接收平台，发射平台的运动速度矢量为[7600;0;0;](m/s)，在慢时刻零的空间位置矢量为[-300000;-500000;514000;](m)；接收平台的运动速度矢量为[0;-5000;6000;](m/s)，在慢时刻零的空间位置矢量为[100;0;0;](m)。发射信号的中心频率为10GHz，发射信号带宽为150MHz，合成孔径时间为1.024s。仿真成像场景内包含五个点目标，其中参考点目标位于中心，其余四个点目标分别在斜距向和方位向上距该参考点目标500米。

步骤2、快时间傅里叶变换

原始时域回波s(t,u)以一个1024行2048列的数据矩阵存放，其中每行数据是存放慢时间（方位向）回波信号的采样；每列的数据是存放快频率（斜距向）单脉冲回波信号的采样。对于中s(t,u)的每一列数据，进行快速傅里叶变换，得到回波信号S(f,u)。其中，t表示快时间，f表示快频率；u表示慢时间。

步骤3、参考函数相乘。

用回波信号S(f,u)与参考函数S_ref(f,u)相乘，得到参考函数相乘之后的结果S_RFM(f,u)，即

S_RFM(f,u)=S(f,u)·S_ref(f,u)

其中，t表示快时间，f表示快频率；u表示慢时间。

步骤4、计算最优投影基向量

在成像区域内，根据5个点目标的位置，求解得到双基地SAR的最优投影基向量和

步骤5、二维非均匀快速傅里叶变换

根据双基地SAR的最优投影基向量

和

对参考函数相乘之后的回波信号进行二维非均匀快速傅里叶变换。

经过上述步骤，即能获得基于最优投影空间的双基地SAR成像结果。利用本发明，聚焦结果为图3；由该图可知5个点目标都被聚焦在正确的位置上。

Claims (1)

1.一种基于最优图像空间双基地合成孔径雷达成像方法，其特征是它包含如下步骤：

步骤1、双基地SAR成像参数初始化

初始化成像参数包括：

快时间，记做t；慢时间，记做u；快频率，即快时间经过傅里叶变换所对应的频率，记做f；雷达工作频率，记做f_c；脉冲重复频率，记做PRF；电磁波传播速度，记做c；双基地SAR发射信号的带宽和脉宽，分别记做B和T_p；以上参数由雷达的系统参数给出；

慢时间位于时间坐标原点时，发射平台和接收平台的空间位置矢量，分别记做P_0T和P_OR；发射平台与接收平台的运动速度矢量，分别记做V_T和V_R；以上参数由雷达平台的运动参数给出；

观测区域，记做Ω；观测区域内共有K个点目标，其空间位置矢量分别P₁、P₂、…、P_k、…、P_K，对应的距离历史，分别记做R(u;P₁)、R(u;P₂)、…、R(u;P_k)、…、R(u;P_K)；以上参数由雷达系统的波束相关信息给出；

双基地SAR原始时域回波共包含N_a个脉冲，每个脉冲包含N_r个复数浮点数据，并以一个N_r行N_a列的数据矩阵存放，记做s(t,u)；N_r和N_r均为正整数N_r和N_a的大小由雷达系统的数据采集设备给出；

定义参考距离R_ref(u)，记做

$R_{\mathrm{ref}}\left(u\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}R(u;P_k)$

其中，u表示慢时间；K表示成像区域内点目标个数；k为自然数，且k=1,2,…,K；P_k表示成像区域内的第k个点目标的空间位置矢量；R(u;P_k)表示成像区域内的第k个点目标的距离历史；

定义参考函数S_ref(f,u)，记做

$S_{\mathrm{ref}}(f,u)=\exp (\mathrm{j\π}\frac{T_p}{B}{f}^2+j2\mathrm{\π}\frac{f_c+f}{c}\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}R(u;P_k))$

其中，f表示快频率；u表示慢时间；

表示复数单位；B和T_p分别表示发射信号的带宽和脉宽；f_c表示雷达工作频率；c表示电磁波传播速度；K表示成像区域内点目标个数；k为自然数，且k=1,2,…,K；P_k表示成像区域内的第k个点目标的空间位置矢量；R(u;P_k)表示成像区域内的第k个点目标的距离历史；

步骤2、快时间傅里叶变换

对原始时域回波s(t,u)的每一列数据，进行快速傅里叶变换，得到快时间傅里叶变换的结果同样为N_r行N_a列的回波信号S(f,u)；其中，t表示快时间，f表示快频率；u表示慢时间；数据的行数N_r和列数N_a的大小由雷达系统的数据采集设备给出；

步骤3、参考函数相乘

用信号S(f,u)与参考函数S_ref(f,u)相乘，得到参考函数相乘之后的结果S_RFM(f,u)，即

S_RFM(f,u)=S(f,u)·S_ref(f,u)

其中，f表示快频率；u表示慢时间；参考函数S_ref(f,u)由步骤1定义；

步骤4、计算最优投影基向量

步骤4.1）根据下式计算矩阵A(m,n)，矩阵A(m,n)为N_a行N_a列的方阵，N_a表示数据S_RFM(f,u)的列数，N_a的值由雷达系统的数据采集设备给出；m为自然数，且m=0,1,…,N_a-1；n为自然数，且n=0,1,…,N_a-1；

$A(m,n)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}[R(u_m;P_k)-R_{\mathrm{ref}}\left(u_m\right)][R(u_n;P_k)-R_{\mathrm{ref}}\left(u_n\right)]$

其中，

$u_m=\frac{m+N_a/2}{\mathrm{PRF}}$

$u_n=\frac{n+N_a/2}{\mathrm{PRF}}$

其中，m为自然数，且m=0,1,…,N_a-1；n为自然数，且n=0,1,…,N_a-1；N_a表示数据S_RFM(f，u)的列数，由雷达系统的数据采集设备给出；PRF表示雷达系统的脉冲重复频率；K表示成像区域内点目标个数；k为自然数，且k＝1，2，…，K；P_k表示成像区域内的第k个点目标的空间位置矢量；R(u；P_k)表示成像区域内的第k个点目标的距离历史；R_ref(u)表示参考函数，由步骤一所定义；

步骤4.2)采用传统常用的特征值分解方法对矩阵A(m，n)进行特征值分解，得到N_a个特征值σ₁、σ₂、…、

以及与特征值对应的特征向量α₁(n)、α₂(n)、…、

N_a表示数据S_RFM(f，u)的列数，由雷达系统的数据采集设备决定；n为自然数，且n＝0，1，…，N_a-1；

步骤4.3)对N_a个特征值σ₁、σ₂、…、

按照由大到小的顺序重新排序，得到排序后的N_a个特征值

…、以及与特征值对应的特征向量

…、其中

和

即为双基地SAR的最优投影基向量；

步骤五、二维非均匀快速傅里叶变换

按照下式对参考函数相乘的结果S_RFM(f，u)进行二维非均匀快速傅里叶变换，得到双基地SAR图像I(k，l)；

$I(k,l)=\underset{n=-N_a/2}{\overset{N_a/2-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=-N_r/2}{\overset{N_r/2-1}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{RFM}}(\mathrm{m\Δf},\mathrm{n\Δu})\·\exp \left[\begin{array}{c}j2\mathrm{\π}\frac{f_c+\mathrm{m\Δf}}{c}{\widetilde{\mathrm{\α}}}_1\left(n\right)k\\ +j2\mathrm{\π}\frac{f_c+\mathrm{m\Δf}}{c}{\widetilde{\mathrm{\α}}}_2\left(n\right)l\end{array}\right]$

其中，Δ＝B/N_r；Δu＝1/PRF；

和

为双基地SAR的最优投影基向量；B表示发射信号的带宽；PRF表示雷达系统的脉冲重复频率；m和n为自然数，且m＝-N_r/2，-N_r/2+1，…，N_r/2-1，  n＝-N_a/2，N_a/2+1，…，N_a/2-1；f_c表示雷达系统的工作频率；c表示电磁波传播速度；k和l为自然数，且m＝-N_r/2，-N_r/2+1，…，N_r/2-1，n＝-N_a/2，N_a/2+1，…，N_a/2-1；该步骤的具体实现如下：

步骤5.1）根据下式计算得到二维信号Y(g,h)

$Y(g,h)=\underset{g=\mathrm{round}\left(2\frac{N_r(f_c+\mathrm{m\Δf}){\widetilde{\mathrm{\α}}}_1\left(n\right)}{c}\right)+p}{\mathrm{\Σ}}\underset{h=\mathrm{round}\left(2\frac{N_a(f_c+\mathrm{m\Δf}){\widetilde{\mathrm{\α}}}_2\left(n\right)}{c}\right)+q}{\mathrm{\Σ}}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(p,\frac{N_r(f_c+\mathrm{m\Δf}){\widetilde{\mathrm{\α}}}_1\left(n\right)}{c})\\ \×\mathrm{\ρ}(q,\frac{N_a(f_c+\mathrm{m\Δf}){\widetilde{\mathrm{\α}}}_2\left(n\right)}{c})\\ \×S_{\mathrm{RFM}}(\mathrm{m\Δf},\mathrm{n\Δu})\end{array}\right\}$

其中，函数ρ(q,c)为

$\mathrm{\ρ}(q,c)=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{\π}}}\exp \{-\frac{1}{4}{[\mathrm{round}\left(2c\right)+q-2c]}^2\}$

其中，round(·)表示四舍五入函数；g为整数，且g=-N_r-Q,-N_r-Q+1,…,N_r+Q；h为整数，且h=-N_a-Q,-N_a-Q+1,…,N_a+Q；行数N_r和列数N_a由雷达系统的数据采集设备决定；m和n为自然数，且m=-N_r/2,-N_r/2+1,…,N_r/2-1，n=-N_a/2,N_a/2+1,…,N_a/2-1；f_c表示雷达系统的工作频率；c表示电磁波传播速度；p和q为整数，且p=-Q,-Q+1,…,Q，q=-Q,-Q+1,…,Q；和为双基地SAR的最优投影基向量；

步骤5.2）利用快速傅里叶变换，根据下式计算得到二维信号

$\tilde{I}(k,l)=\underset{g=-N_r-Q}{\overset{N_r+Q}{\mathrm{\Σ}}}\underset{h=-N_a-Q}{\overset{N_a+Q}{\mathrm{\Σ}}}Y(g,h)\exp (j\frac{\mathrm{\π}}{N_r}\mathrm{gk}+j\frac{\mathrm{\π}}{N_a}\mathrm{hl})$

其中，g为整数，且g=-N_r-Q,N_r-Q+1,…,N_r+Q；h为整数，且h=-N_a-Q,-N_a-Q+1,…,N_a+Q；行数N_r和列数N_a由雷达系统的数据采集设备决定；k为整数，且k=-N_r/2,-N_r/2+1,…,N_r/2-1；l为整数，且l=-N_a/2,-N_a/2+1,…,N_a/2-1；

步骤5.3）根据下式，计算得到最终的聚焦图像I(k,l)

$I(k,l)=\exp \left[{\mathrm{\π}}^2(\frac{k^2}{{N_r}^2}+\frac{l^2}{{N_a}^2})\right]\·\tilde{I}(k,l)$

其中，k为整数，且k=-N_r/2,-N_r/2+1,…,N_r/2-1；l为整数，且l＝-N_a/2,-N_a/2+1,…,N_a/2-1；行数N_r和列数N_a的大小由雷达系统的数据采集设备给出；

经过上述步骤处理，就从双基地SAR接收到的目标回波信号s(t,u)中获取具有高分辨率的目标成像结果聚焦图像I(k,l)。

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