CN102880056A - 基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法，属于飞行器控制领域，用于解决现有的高超声速飞行器离散自适应控制难以工程实现的技术问题。该方法首先将高超声速飞行器的高度子系统模型转化为严格反馈形式，进一步通过欧拉法建立原有系统的离散严格反馈形式；考虑系统的因果关系，建立原系统的等价模型；利用等价模型，分析系统不确定性的历史信息，用于滑模控制器设计；采用标称系统，通过误差反馈，按照反步法策略设计控制器；本发明结合计算机控制的特点，通过模型转换得到的控制器有效避免了非因果问题，并且不需要设计复杂的自适应估计策略即可实现高超声速飞行器的高度和速度跟踪。

Description

基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种高超声飞行器控制方法，特别是涉及一种基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法，属于飞行器控制领域。

背景技术

高超声速飞行器由于其突出的飞行能力，使得全球实时打击成为可能，因此受到国内外的广泛关注；NASA X-43A试飞成功证实了这项技术的可行性；受自身复杂动力学特性的影响以及机体发动机一体化设计，高超声速飞行器弹性机体、推进系统以及结构动态之间的耦合更强，模型的非线性度也更高；此外，受飞行高度、马赫数和飞行条件影响，飞行器对外界条件非常敏感。

针对高超声速飞行器的控制大都集中在连续域内；随着计算机技术的发展，未来高超声速飞行器的控制系统需要使用计算机完成，因此研究高超声速飞行器的离散自适应控制具有重要的意义；离散控制器的设计通常可采用两种方法：1)根据连续控制对象设计控制器，然后将连续的控制器离散化；2)直接根据离散化的控制对象设计离散控制器；第1种方法需要较快的采样速率，对系统的硬件提出了很高的要求。

《高超声速飞行器基于Back-stepping的离散控制器设计》(高道祥，孙增圻，杜天容，《控制与决策》，2009年第24卷第3期)一文采用第二种方法将高度子系统转化为一个四阶模型，通过设计虚拟控制量(航迹角，俯仰角以及俯仰角速度)分别实现对上一状态量的控制，最后利用舵偏角控制俯仰角速度；该方法仅利用当前时刻与下一时刻的信息，对于所需虚拟控制量的未来信息采用标称系统进行近似预估；由于系统动力学参数存在不确定性，系统状态的未来信息无从得知，无法按照相关的表达式获取虚拟控制量的未来信息，存在非因果问题，难以工程实现。

发明内容

为克服现有技术在高超声速飞行器离散自适应控制难以工程实现的不足，本发明提出了一种基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法，该方法通过对已有的高超声速飞行器离散欧拉模型进行变换，得到等价模型，同时考虑系统的不确定性，基于标称反馈和误差反馈，设计滑模自适应控制方法，便于工程实现。

本发明解决其技术问题采用的技术方案是：一种基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法，通过以下步骤实现：

(a)高超声速飞行器的纵向通道动力学模型为：

$\stackrel{\·}{V}=\frac{T\cos \mathrm{\α}-D}{m}-\frac{\mathrm{\μ}\sin \mathrm{\γ}}{r^2}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{h}=V\sin \mathrm{\γ}---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}=\frac{L+T\sin \mathrm{\α}}{\mathrm{mV}}}-\frac{\mathrm{\μ}-V^{2}r\cos \mathrm{\γ}}{V{r}^2}---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}=q-\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}---\left(4\right)$

$\stackrel{\·}{q}=\frac{M_{\mathrm{yy}}}{I_{\mathrm{yy}}}---\left(5\right)$

该模型由五个状态变量X_s＝[V，h，α，γ，q]^T和两个控制输入U_c＝[δ_e，β]^T组成；其中，V表示速度，γ表示航迹倾角，h表示高度，α表示攻角，q表示俯仰角速度，δ_e是舵偏角，β为节流阀开度；T、D、L和M_yy分别代表推力、阻力、升力和俯仰转动力矩；m、I_yy、μ和r代表质量、俯仰轴的转动惯量、引力系数以及距地心的距离；

(b)定义X＝[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，其中x₁＝h，x₂＝γ，x₃＝θ，x₄＝q，θ＝α+γ；因为γ非常小，取sinγ≈γ；考虑到Tsinα远小于L，在控制器设计过程中近似忽略；

高度子系统(2)-(5)写成以下严格反馈形式：

${\stackrel{\·}{x}}_1=V\sin x_2\≈{\mathrm{Vx}}_2=f_1\left(x_1\right)+g_1\left(x_1\right)x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=f_2(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)x_3$

${\stackrel{\·}{x}}_3=f_3(x_1{,x}_2,x_3)+g_3(x_1,x_2,x_3)x_4$

${\stackrel{\·}{x}}_4=f_4(x_1,x_2,x_3,x_4)+g_4(x_1,x_2,x_3,x_4)u_A$

u_A＝δ_e

速度子系统(1)写为如下形式：

$\stackrel{\·}{V}=f_V+g_V{u}_V$

u_V＝β

其中f_i，g_i，i＝1，2，3，4，V是根据(1)-(5)得到的未知项，分为标称值f_iN，g_iN与不确定性Δf_i，Δg_i；

(c)考虑采样时间T_s非常小，通过欧拉近似法得到高度子系统离散模型：

x_i(k+1)＝x_i(k)+T_s[f_i(k)+g_i(k)x_i+1(k)]

                                          (6)

x₄(k+1)＝x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

其中i＝1，2，3；

通过欧拉近似法建立速度子系统的离散模型：

V(k+1)＝V(k)+T_s[f_V(k)+g_V(k)u_V(k)]

进一步建立系统(6)的等价模型

x₁(k+4)＝x₁(k+3)+T_s[f₁(k+3)+g₁(k+3)x₂(k+3)]

x₂(k+3)＝x₂(k+2)+T_s[f₂(k+2)+g₂(k+2)x₃(k+2)]

                                             (7)

x₃(k+2)＝x₃(k+1)+T_s[f₃(k+1)+g₃(k+1)x₄(k+1)]

x₄(k+1)＝x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

通过以下定义，得到式(7)的简化形式(8)：

$F_i^C\left(X\left(k\right)\right)=x_i(k+4-i)+T_s{f}_i(k+4-i),$ $G_i^C\left(X\left(k\right)\right)=T_s{g}_i(k+4-i)$

相应的标称值记为： $F_{\mathrm{iN}}^C\left(X\left(k\right)\right),G_{\mathrm{iN}}^C\left(X\left(k\right)\right),i=\mathrm{1,2,3,4};$

$x_i(k+5-i)=F_i^C\left(X\left(k\right)\right)+G_i^C\left(X\left(k\right)\right)x_{i+1}(k+4-i)$ (8)

$x_4(k+1)=F_4^C\left(X\left(k\right)\right)+G_4^C\left(X\left(k\right)\right)u_A\left(k\right),i=\mathrm{1,2,3}$

(d)考虑动力学参数未知，采用标称值进行设计，利用滑模控制实现指令跟踪；

定义滑模面z₁(k)＝x₁(k)-x_1d(k)，设计虚拟控制量

这里x_1d(k+4)为高度参考指令在k+4时刻的值，C₁＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₁＞0，ε₁＞0为到达速度，sgn(·)为取符号函数；k₁＝k-4；

当k＞4，

否则取为零；

定义滑模面z₂(k)＝x₂(k)-x_2d(k)，设计虚拟控制量

其中C₂＞0为趋近速度指数，满足1-TsC₂＞0，ε₂＞0为到达速度；k₂＝k-3；

当k＞3，

否则取为零；

定义滑模面z₃(k)＝x₃(k)-x_3d(k)，设计虚拟控制量

其中C₃＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₃＞0，ε₃＞0为到达速度；k₃＝k-2；

当k＞2，

否则取为零；

定义滑模面z₄(k)＝x₄(k)-x_4d(k)，设计实际控制量

其中C₄＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₄＞0，ε₄＞0为到达速度；k₄＝k-1；

当k＞1，

否则取为零；

针对速度子系统，定义滑模面z_V(k)＝V(k)-V_d(k)，

相应的标称值记为：

和

设计控制器

其中C_V＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC_V＞0，ε_V＞0为到达速度；k_V＝k-1；

当k＞1，

否则取为零；

(e)根据得到的舵偏角u_A(k)和节流阀开度u_V(k)，返回到高超声速飞行器的动力学模型(1)-(5)，对高度和速度进行跟踪控制。

本发明与现有技术相比有益效果为：

(1)本发明通过将原有模型进行转换得到等价模型，充分利用原有系统的分层递阶特点，有效避免了“非因果”设计难以工程实现问题；

(2)结合等价模型，控制器充分考虑未来输出，具有预测功能；考虑系统存在参数不确定性，采用滑模控制器，提高系统的鲁棒性；

(3)根据等价模型采用离散形式，利用系统状态和标称信息，直接分析计算系统不确定部分的历史信息用于控制反馈，无需进行复杂自适应估计，适于工程实现；

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法的流程图。

具体实施方式

参照图1，本发明基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法通过以下步骤实现：

(a)考虑公式组(1)-(5)的高超声速飞行器纵向通道动力学模型

$\stackrel{\·}{V}=\frac{T\cos \mathrm{\α}-D}{m}-\frac{\mathrm{\μ}\sin \mathrm{\γ}}{r^2}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{h}=V\sin \mathrm{\γ}---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}=\frac{L+T\sin \mathrm{\α}}{\mathrm{mV}}}-\frac{\mathrm{\μ}-V^{2}r\cos \mathrm{\γ}}{V{r}^2}---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}=q-\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}---\left(4\right)$

$\stackrel{\·}{q}=\frac{M_{\mathrm{yy}}}{I_{\mathrm{yy}}}---\left(5\right)$

该模型由五个状态变量X_s＝[V，h，α，γ，q]^T和两个控制输入U_c＝[δ_e，β]^T组成；其中，V表示速度，γ表示航迹倾角，h表示高度，α表示攻角，q表示俯仰角速度，δ_e是舵偏角，β为节流阀开度；T、D、L和M_yy分别代表推力、阻力、升力和俯仰转动力矩；m、I_yy、μ和r代表质量、俯仰轴的转动惯量、引力系数以及距地心的距离；

相关的力矩及参数定义如下：

$\stackrel{\‾}{q}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{V}^2,$ $L=\stackrel{\‾}{q}S{C}_L,$ $D=\stackrel{\‾}{q}S{C}_D,$ $T=\stackrel{\‾}{q}S{C}_T,$

$M=\stackrel{\‾}{q}S\stackrel{\‾}{c}(C_M\left(\mathrm{\α}\right)+C_M\left(q\right)+C_M\left({\mathrm{\δ}}_e\right)),$ CL＝0.6203α，

C_D＝0.6450α²+0.0043378α+0.003772，

C_M(α)＝-0.035α²+0.036617α+5.3261×10^-6，

$C_M\left(q\right)=(q\stackrel{\‾}{c}/2V)\×(-6.796{\mathrm{\α}}^2+0.3015\mathrm{\α}-0.2289)$

C_M(δ_e)＝0.0292(δ_e-α)

其中

表示动压，ρ表示空气密度，C_i(j)，i＝D，L，M，T，j＝α，β，q，δ_e表示j对i的系数，

表示平均气动弦长，S表示气动参考面积；

(b)为便于设计，定义X＝[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，其中x₁＝h，x₂＝γ，x₃＝θ，x₄＝q，θ＝α+γ；因为γ非常小，取sinγ≈γ；考虑到Tsinα远小于L，在控制器设计过程中近似忽略；

高度子系统(2)-(5)写成以下严格反馈形式：

${\stackrel{\·}{x}}_1=V\sin x_2\≈{\mathrm{Vx}}_2=f_1\left(x_1\right)+g_1\left(x_1\right)x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=f_2(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)x_3$

${\stackrel{\·}{x}}_3=f_3(x_1{,x}_2,x_3)+g_3(x_1,x_2,x_3)x_4$

${\stackrel{\·}{x}}_4=f_4(x_1,x_2,x_3,x_4)+g_4(x_1,x_2,x_3,x_4)u_A$

u_A＝δ_e

其中f₁＝0，g₁＝V， $f_2=-(\mathrm{\μ}-V^{2}r)\cos \mathrm{\γ}/\left({\mathrm{Vr}}^2\right)-0.6203\stackrel{\‾}{q}\mathrm{S\γ}/\left(\mathrm{mV}\right),$ $g_2=0.6203\stackrel{\‾}{q}S/\left(\mathrm{mV}\right),$

f₃＝0，g₃＝1， $f_4=\stackrel{\‾}{q}S\stackrel{\‾}{c}[C_M\left(\mathrm{\α}\right)+C_M\left(q\right)-0.0292\mathrm{\α}]/I_{\mathrm{yy}},$ $g_4=0.0292\stackrel{\‾}{q}S\stackrel{\‾}{c}/I_{\mathrm{yy}};$

速度子系统(1)写成如下形式：

$\stackrel{\·}{V}=f_V+g_V{u}_V$

u_V＝β

其中 $f_V=\left\{\begin{array}{cc}-(\frac{D}{m}+\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2})& \mathrm{\&beta;}<1\\ -(\frac{D}{m}+\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2})+\frac{0.0224\stackrel{\&OverBar;}{q}S\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;1\end{array},,\right.$ $g_V=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\stackrel{\&OverBar;}{q}S\&times;0.02576\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}<1\\ \frac{\stackrel{\&OverBar;}{q}S\&times;0.00336\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;1\end{array}\right.;$

这里f_i，g_i，i＝1，2，3，4，V是根据(1)-(5)得到的未知项，分为标称值f_iN，g_iN与不确定性Δf_i，Δg_i；

(c)考虑采样时间T_s非常小，通过欧拉近似法得到离散模型：

x_i(k+1)＝x_i(k)+T_s[f_i(k)+g_i(k)x_i+1(k)]，i＝1，2，3

                                                  (6)

x₄(k+1)＝x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

V(k+1)＝V(k)+T_s[f_V(k)+g_V(k)u_V(k)]

对i＝1，2，3，进行两步预测得到

x_i(k+2)＝x_i(k+1)+T_s[f_i(k+1)+g_i(k+1)x_i+1(k+1)]

对i＝1，2，进行三步预测得到

x_i(k+3)＝x_i(k+2)+T_s[f_i(k+2)+g_i(k+2)x_i+1(k+2)]

对i＝1，进行四步预测得到

x_i(k+4)＝x_i(k+3)+T_s[f_i(k+3)+g_i(k+3)x_i+1(k+3)]

仅x₄(k+1)、x₃(k+2)、x₂(k+3)和x₁(k+4)依赖于u_A(k)和当前的系统状态X(k)；至此得到高度子系统离散模型的等价系统

x₁(k+4)＝x₁(k+3)+T_s[f₁(k+3)+g₁(k+3)x₂(k+3)]

x₂(k+3)＝x₂(k+2)+T_s[f₂(k+2)+g₂(k+2)x₃(k+2)]

                                             (7)

x₃(k+2)＝x₃(k+1)+T_s[f₃(k+1)+g₃(k+1)x₄(k+1)]

x₄(k+1)＝x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

定义

$F_1^C\left(X\left(k\right)\right)=x_1(k+3)+T_s{f}_1(k+3)$ $F_2^C\left(X\left(k\right)\right)=x_2(k+2)+T_s{f}_2(k+2)$

$G_1^C\left(X\left(k\right)\right)T_s{g}_1(k+3),$ $G_2^C\left(X\left(k\right)\right)=T_s{g}_2(k+2),$

$F_3^C\left(X\left(k\right)\right)=x_3(k+1)+T_s{f}_3(k+1)$ $F_4^C\left(X\left(k\right)\right)=x_4\left(k\right)+T_s{f}_4\left(k\right)$

$G_3^C\left(X\left(k\right)\right)=T_s{g}_3(k+1),$ $G_4^C\left(X\left(k\right)\right)=T_s{g}_4\left(k\right)$

相应的标称值记为：

i＝1，2，3，4；

得到

$x_1(k+4)=F_1^C\left(X\left(k\right)\right)+G_1^C\left(X\left(k\right)\right)x_2(k+3)$

$x_2(k+3)=F_2^C\left(X\left(k\right)\right)+G_2^C\left(X\left(k\right)\right)x_3(k+2)$ (8)

$x_3(k+2)=F_3^C\left(X\left(k\right)\right)+G_3^C\left(X\left(k\right)\right)x_4(k+1)$

$x_4(k+1)=F_4^C\left(X\left(k\right)\right)+G_4^C\left(X\left(k\right)\right)u_A\left(k\right)$

(d)考虑动力学参数未知，采用标称值进行设计，利用滑模控制实现指令跟踪；

定义滑模面z₁(k)＝x₁(k)-x_1d(k)，设计虚拟控制量

这里x_1d(k+4)为高度参考指令在k+4时刻的值，C₁＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₁＞0，ε₁＞0为到达速度，sgn(·)为取符号函数；k₁＝k-4；

当k＞4，否则取为零；这里为根据x₁(k)和k₁时刻等价模型的标称信息计算得到的系统不确定性的估计值；

定义滑模面z₂(k)＝x₂(k)-x_2d(k)，设计虚拟控制量

其中C₂＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₂＞0，ε₂＞0为到达速度；k₂＝k-3；

当k＞3，

否则取为零；这里

为根据x₂(k)和k₂时刻等价模型的标称信息计算得到的系统不确定性的估计值；

定义滑模面z₃(k)＝x₃(k)-x_3d(k)，设计虚拟控制量

其中C₃＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₃＞0，ε₃＞0为到达速度；k₃＝k-2；

当k＞2，否则取为零；这里

为根据x₃(k)和k₃时刻等价模型的标称信息计算得到的系统不确定性的估计值；

定义滑模面z₄(k)＝x₄(k)-x_4d(k)，设计实际控制量

其中C₄＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₄＞0，ε₄＞0为到达速度；k₄＝k-1；

当k＞1，

否则取为零；这里

为根据x₄(k)和k₄时刻等价模型的标称信息计算得到的系统不确定性的估计值；

针对速度子系统，定义z_V(k)＝V(k)-V_d(k)，

相应的标称值记为：

和

设计控制器

其中C_V＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC_V＞0，ε_V＞0为到达速度；k_V＝k-1；

当k＞1，否则取为零；这里

为根据V(k)和k_V时刻速度子系统离散模型的标称信息计算得到的系统不确定性的估计值；

(e)根据得到的舵偏角u_A(k)和节流阀开度u_V(k)，返回到高超声速飞行器的动力学模型(1)-(5)，对高度和速度进行跟踪控制。

本发明未详细说明部分属于领域技术人员公知常识。

Claims (1)

1.一种基于等价模型的高超声速飞行器离散滑模控制方法，通过以下步骤实现：(a)高超声速飞行器的纵向通道动力学模型为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\frac{T\cos \mathrm{\&alpha;}-D}{m}-\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2}---\left(1\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{h}=V\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(2\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}=\frac{L+T\sin \mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{mV}}-\frac{\mathrm{\&mu;}-V^{2}r\cos \mathrm{\&gamma;}}{{\mathrm{Vr}}^2}---\left(3\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=q-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}---\left(4\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{q}=\frac{M_{\mathrm{yy}}}{I_{\mathrm{yy}}}---\left(5\right)$ 该模型由五个状态变量X_s＝[V，h，α，γ，q]^T和两个控制输入U_c＝[δ_e，β]^T组成；其中，V表示速度，γ表示航迹倾角，h表示高度，α表示攻角，q表示俯仰角速度，δ_e是舵偏角，β为节流阀开度；T、D、L和M_yy分别代表推力、阻力、升力和俯仰转动力矩；m、I_yy、μ和r代表质量、俯仰轴的转动惯量、引力系数以及距地心的距离；

(b)定义X＝[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，其中x₁＝h，x₂＝γ，x₃＝θ，x₄＝q，θ＝α+γ；因为γ非常小，取sinγ≈γ；考虑到Tsinα远小于L，在控制器设计过程中近似忽略；

高度子系统(2)-(5)写成以下严格反馈形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1={V\sin x}_2\&ap;{\mathrm{Vx}}_2=f_1\left(x_1\right)+g_1\left(x_1\right)x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_2(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)x_3$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=f_3(x_1,x_2,x_3)+g_3(x_1,x_2,x_3)x_4$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_4(x_1,x_2,x_3,x_4)+g_4(x_1,x_2,x_3,x_4)u_A$

u_A＝δ_e

速度子系统(1)写为如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=f_V+g_V{u}_V$

u_V＝β

其中f_i，g_i，i＝1，2，3，4，V是根据(1)-(5)得到的未知项，分为标称值f_iN，g_iN与不确定性Δf_i，Δg_i；

(c)考虑采样时间T_s非常小，通过欧拉近似法得到高度子系统离散模型：

x_i(k+1)＝x_i(k)+T_s[f_i(k)+g_i(k)x_i+1(k)]

(6)

x₄(k+1)＝x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

其中i＝1，2，3；

通过欧拉近似法建立速度子系统的离散模型：

V(k+1)＝V(k)+T_s[f_V(k)+g_V(k)u_V(k)]

进一步建立系统(6)的等价模型

x₁(k+4)＝x₁(k+3)+T_s[f₁(k+3)+g₁(k+3)x₂(k+3)]

x₂(k+3)＝x₂(k+2)+T_s[f₂(k+2)+g₂(k+2)x₃(k+2)]

(7)

x₃(k+2)＝x₃(k+1)+T_s[f₃(k+1)+g₃(k+1)x₄(k+1)]

x₄(k+1)＝x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

通过以下定义，得到式(7)的简化形式(8)：

$F_i^C\left(X\left(k\right)\right)=x_i(k+4-i)+T_s{f}_i(k+4-i),$ $G_i^C\left(X\left(k\right)\right)=T_s{g}_i(k+4-i)$

相应的标称值记为：

i＝1，2，3，4；

$x_i(k+5-i)=F_i^C\left(X\left(k\right)\right)+G_i^C\left(X\left(k\right)\right)x_{i+1}(k+4-i)$ (8)

$x_4(k+1)=F_4^C\left(X\left(k\right)\right)+G_4^C\left(X\left(k\right)\right)u_A\left(k\right),i=\mathrm{1,2,3}$

(d)考虑动力学参数未知，采用标称值进行设计，利用滑模控制实现指令跟踪；

定义滑模面z₁(k)＝x₁(k)-x_1d(k)，设计虚拟控制量

这里x_1d(k+4)为高度参考指令在k+4时刻的值，C₁＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₁＞0，ε₁＞0为到达速度，sgn(·)为取符号函数；k₁＝k-4；

当k＞4，

否则取为零；

定义滑模面z₂(k)＝x₂(k)-x_2d(k)，设计虚拟控制量

其中C₂＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₂＞0，ε₂＞0为到达速度；k₂＝k-3；

当k＞3，

否则取为零；

定义滑模面z₃(k)＝x₃(k)-x_3d(k)，设计虚拟控制量

其中C₃＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₃＞0，ε₃＞0为到达速度；k₃＝k-2；

当k＞2，

否则取为零；

定义滑模面z₄(k)＝x₄(k)-x_4d(k)，设计实际控制量

其中C₄＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC₄＞0，ε₄＞0为到达速度；k₄＝k-1；

当k＞1，

否则取为零；

针对速度子系统，定义滑模面z_V(k)＝V(k)-V_d(k)，

相应的标称值记为：和

设计控制器

其中C_V＞0为趋近速度指数，满足1-T_sC_V＞0，ε_V＞0为到达速度；k_V＝k-1；

当k＞1，

否则取为零；

(e)根据得到的舵偏角u_A(k)和节流阀开度u_V(k)，返回到高超声速飞行器的动力学模型(1)-(5)，对高度和速度进行跟踪控制。

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