CN102744648B - 一种数控机床回转工作台误差测量与分离的方法 - Google Patents

Abstract

一种数控机床回转工作台误差测量与分离的方法，先在工作台面中心装夹金属圆环，垂直于金属圆环环面安装三个电涡流传感器，在金属圆环的外圈布置键相传感器，传感器输出接入数据采集设备，以工作台面中心为原点建立空间笛卡尔坐标系X-Y-Z，测试电涡流传感器的时域信号，转化为角域信号，得到任一时刻工作台面的实际平面方程求偏摆角，工作台沿Z轴的窜动量，本发明采用三只电涡流传感器和一个键相传感器对工作台台面的空间位置信息进行测试，结合误差解耦方法可完成工作台运动的误差测试与误差解耦，测量系统简单常见，测量方案便捷易行，数学模型直观明了。

Description

一种数控机床回转工作台误差测量与分离的方法

技术领域

本发明属于工程测试技术领域，具体涉及一种数控机床回转工作台误差测量与分离的方法。

背景技术

回转工作台是数控机床的关键运动部件，大量用于大型、复合数控机床，回转工作台的运动精度直接影响产品的加工质量。工作台的回转精度是机床几何精度的构成之一，也是影响机械加工中成形运动精度的一个重要因素，它对零件加工表面的几何形状精度、位置精度和表面粗糙度都有影响。目前尚无直接测量数控机床工作台回转误差的便捷技术和解耦回转工作台运动误差的数学模型。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺点，本发明提出一种数控机床回转工作台运动误差测量与分离的方法，该方法采用三只电涡流传感器和一个键相传感器对工作台台面的空间位置信息进行测试，结合误差解耦方法可完成工作台运动的误差测试与误差解耦。

为了达到上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种数控机床回转工作台误差测量与分离的方法，包括以下步骤：

第一步，在工作台面1中心装夹一个半径为工作台面半径1/3、表面粗糙度高于6级精度的金属圆环2作为涡流传感器的测量参照，垂直于金属圆环2环面安装第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4和第三电涡流传感器5，三个电涡流传感器不在同一直线上，测量并记三个电涡流传感器的空间坐标按传感器编号分别为(x₁,y₁,z₁ ¹)、(x₂,y₂,z₂ ¹)和(x₃,y₃,z₃ ¹)，同时，在金属圆环2的外圈布置键相传感器6，并将第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5和键相传感器6的输出接入数据采集设备7；

第二步，以工作台面1中心为原点建立空间笛卡尔坐标系X-Y-Z，则工作台在理想工作状态下时的台面为X-Y平面，其平面方程为z=0，法向量为

任意时刻工作台的运动误差用沿Z轴的窜动量d(ω)和实际工作台面与理想工作台面的夹角θ(ω)及其偏摆角θ的方位角α(ω)来描述，其中，α(ω)是正偏摆角水平投影线与X轴的夹角；

第三步，在工作台转速为10r/min时测试第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5输出的时域信号分别记为

和

并将其作为由金属圆环2表面误差导致的测量误差；在工作台转速为待测转速时测试第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5输出的时域信号分别记为s₁(t)、s₂(t)和s₃(t)；

第四步，将第三步所得到的等时间间隔的时域信号

s₁(t)、s₂(t)和s₃(t)转化为等角度间隔的角域信号

和则由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与三只电涡流传感器的距离波动信号为；

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1\left(\mathrm{\ω}\right)=s_1^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_1^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\\ z_2\left(\mathrm{\ω}\right)=s_2^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_2^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\\ z_3\left(\mathrm{\ω}\right)=s_3^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_3^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：z₁(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与第一电涡流传感器3的距离波动信号；

z₂(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与第二电涡流传感器4的距离波动信号；

z₃(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与第三电涡流传感器5的距离波动信号；

由于第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4和第三电涡流传感器5的X与Y坐标在测试时始终没有改变，故三只电涡流传感器的X与Y坐标在任一时刻都可以用第一步测量得到的(x₁,y₁)，(x₂,y₂)和(x₃,y₃)表示，将其表示为等角度间隔的角域信号(x₁(ω),y₁(ω))，(x₂(ω),y₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω))，则工作台工作时，任一时刻工作台面1实际平面位置由点序列(x₁(ω),y₁(ω),z₁(ω))、(x₂(ω),y₂(ω),z₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω),z₃(ω))确定；

第五步，将由第四步所得三个点序列信号(x₁(ω),y₁(ω),z₁(ω))、(x₂(ω),y₂(ω),z₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω),z₃(ω))中的各点带入式(2)

Ax+By+z=D             (2)

得到线性方程组

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Ax}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)+z_1\left(\mathrm{\ω}\right)=D\\ {\mathrm{Ax}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)+z_2\left(\mathrm{\ω}\right)=D\\ {\mathrm{Ax}}_3\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_3\left(\mathrm{\ω}\right)+z_3\left(\mathrm{\ω}\right)=D\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，A、B、D为工作台工作时工作台面1所在平面方程待求参数，解线性方程组得

$\left\{\begin{array}{c}A=\frac{y_1\left(\mathrm{\ω}\right)[z_2\left(\mathrm{\ω}\right)-z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+y_2\left(\mathrm{\ω}\right)[z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-z_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+y_3\left(\mathrm{\ω}\right)[z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}\\ B=-\frac{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[z_2\left(\mathrm{\ω}\right)-z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-z_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}\\ D=\frac{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)\left[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)z_2\left(\mathrm{\ω}\right){-y}_2\left(\mathrm{\ω}\right)z_1\left(\mathrm{\ω}\right)\right]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]{}_{}}\end{array}\right.---\left(4\right)$

将由式(4)所得的参数A、B、D代入式(2)即可得到任一时刻工作台面1的实际平面方程；

第六步，由第五步得到的工作台工作时工作台面1方程得到其法向量为

则偏摆角θ(ω)，即理想工作台面与工作台面1法向量

与

之间的夹角，由式(5)计算

$\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\ω}\right)=\arccos \frac{\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{n^0}}{\left|\stackrel{\→}{n}\right|\left|\stackrel{\→}{n^0}\right|}=\arccos \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+1}}---\left(5\right)$

第七步，设工作台面1的法向量

在X-Y平面上的投影向量的反向量为

由向量计算可知

则方位角α(ω)为与X轴的夹角，由式(6)计算，取逆时针方向为正，α(ω)的取值范围为-π～π，

$\mathrm{\α}\left(\mathrm{\ω}\right)={(-1)}^{\frac{2\mathrm{sgn}\left(B\right)-{(-1)}^{\left|\mathrm{sgn}\left(B\right)\right|}+1}{4}}\arccos \frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}---\left(6\right)$

其中，y=sgn(x)为符号函数；

第八步，将x=y=0代入由第五步所得的工作台工作时工作台面1平面方程式(2)得到z=D,则D即是工作台沿Z轴的窜动量d(ω)，当考虑工作台面1厚度时，工作台沿Z轴的窜动量d(ω)由式(7)修正

d(ω)=D+h(1-1/cosθ(ω))           (7)

其中，h—为工作台台面厚度。

本发明的有益效果是，通过三个电涡流传感器、键相传感器与数据采集系统组成的测量系统对数控机床工作台进行测量，根据测量信号可以分离出工作台的回转误差，得到工作台沿Z轴的窜动量、工作台的偏摆角以及偏摆角的方位角，为找出引起回转误差的原因、提高机床几何精度、控制和改善工件的加工质量提供了依据。测量系统简单常见，测量方案便捷易行，数学模型直观明了。

附图说明

图1为本发明金属圆环2与三个电涡流传感器和一个键相传感器的安装示意图。

图2为本发明理想工作台面与工作台工作时实际工作台面1的位置关系图，平面β⁰与平面β分别表示工作台的理想水平台面（X-Y平面）和实际运动的工作台面1，

与分别为两平面的法向量，平面γ为平面β⁰与β的公共正交平面，则平面γ与平面β⁰、β交线间的夹角θ即为平面β⁰与平面β的夹角，也等于法向量

与

的夹角大小，表示了工作台的偏摆角，平面γ与平面β的交线与X轴的夹角α表征了偏摆角θ的方位。

图3为本发明在工作台转速为10r/min时第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5和键相传感器6所获得的时域信号，图3-1s3,s4,s5分别为第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4和第三电涡流传感器5获得的位置信号，其中X轴表示时间，单位为秒，Y轴表示工作台的实际位置波动量，单位为毫米；图3-2为键相传感器6所获得的键相信号，其中X轴表示时间，单位为秒，Y轴表示传感器输出的电压值，单位为伏。

图4为本发明在工作台转速为120r/min时第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5和键相传感器6所获得的时域信号，图4-1s3,s4,s5分别为第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5获得的位置信号，其中X轴表示时间，单位为秒，Y轴表示工作台的实际位置波动量，单位为毫米；图4-2为键相传感器6所获得的键相信号，其中X轴表示时间，单位为秒，Y轴表示传感器输出的电压值，单位为伏。

图5为本发明由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5的距离波动信号，图5-1为第一电涡流传感器3处的距离波动信号，图5-2为第二电涡流传感器4处的距离波动信号，图5-3为第三电涡流传感器5处的距离波动信号。

图6为本发明在工作台转速为120r/min时经过解耦所得到的工作台沿Z轴的窜动量d(ω)与偏摆角θ(ω)及其方位角α(ω)图，图6-1为工作台沿Z轴的窜动量，其中X轴表示工作台转过的角度，单位为度，Y轴表示工作台的窜动量，单位为微米；图6-2为工作台的偏摆角，其中X轴表示工作台转过的角度，单位为度，Y轴表示工作台的偏摆角，单位为角秒；图6-3为工作台偏摆角的方位角，其中X轴表示工作台转过的角度，单位为度，Y轴表示偏摆方位角，单位为度。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细描述，以某型号的国产五轴联动车铣复合加工中心为例。

一种数控机床回转工作台误差测量与分离的方法，包括以下步骤：

第一步，如图1所示，在工作台面1中心装夹一个半径为工作台面半径1/3、表面粗糙度高于6级精度的金属圆环2作为涡流传感器的测量参照，垂直于金属圆环2环面安装第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4和第三电涡流传感器5，三个电涡流传感器不在同一直线上，测量并记三个电涡流传感器的空间坐标按传感器编号分别为(x₁,y₁,z₁ ¹)、(x₂,y₂,z₂ ¹)和(x₃,y₃,z₃ ¹)，同时，在金属圆环2的外圈布置键相传感器6，并将第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5和键相传感器6的输出接入数据采集设备7；

第二步，以工作台面1中心为原点建立空间笛卡尔坐标系X-Y-Z，则工作台在理想工作状态下时的台面为X-Y平面，其平面方程为z=0，法向量为

任意时刻工作台的运动误差用沿Z轴的窜动量d(ω)和实际工作台面与理想工作台面的夹角θ(ω)及其偏摆角θ的方位角α(ω)来描述，其中，α(ω)是正偏摆角水平投影线与X轴的夹角，偏摆角θ的方位角α(ω)的表示如图2所示；

第三步，在工作台转速为10r/min时测试第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5输出的时域信号分别记为

和

并将其作为由金属圆环2表面误差导致的测量误差，测试得到第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5和键相传感器6的时域信号如图3所示；在工作台转速为待测转速时，此时待测转速为120r/min，测试第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5输出的时域信号分别记为s₁(t)、s₂(t)和s₃(t)，测试得到第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4、第三电涡流传感器5和键相传感器6的时域信号如图4所示；

第四步，将第三步所得到的等时间间隔的时域信号

s₁(t)、s₂(t)和s₃(t)转化为等角度间隔的角域信号

和则由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与三只电涡流传感器的距离波动信号为；

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1\left(\mathrm{\ω}\right)=s_1^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_1^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\\ z_2\left(\mathrm{\ω}\right)=s_2^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_2^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\\ z_3\left(\mathrm{\ω}\right)=s_3^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_3^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：z₁(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与第一电涡流传感器3的距离波动信号；

z₂(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与第二电涡流传感器4的距离波动信号；

z₃(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面1与第三电涡流传感器5的距离波动信号；

由式（1）计算得到的结果如图5所示；

由于第一电涡流传感器3、第二电涡流传感器4和第三电涡流传感器5的X与Y坐标在测试时始终没有改变，故三只电涡流传感器的X与Y坐标在任一时刻都可以分别用第一步测量得到的(x₁,y₁)，(x₂,y₂)和(x₃,y₃)表示，将其表示为角度间隔的角域信号(x₁(ω),y₁(ω))，(x₂(ω),y₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω))，则工作台工作时，任一时刻工作台面1实际平面位置由点序列(x₁(ω),y₁(ω),z₁(ω))、(x₂(ω),y₂(ω),z₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω),z₃(ω))确定；

第五步，将由第四步所得三个点序列信号(x₁(ω),y₁(ω),z₁(ω))、(x₂(ω),y₂(ω),z₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω),z₃(ω))中的各点带入式(2)

Ax+By+z=D          (2)

得到线性方程组

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Ax}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)+z_1\left(\mathrm{\ω}\right)=D\\ {\mathrm{Ax}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)+z_2\left(\mathrm{\ω}\right)=D\\ {\mathrm{Ax}}_3\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_3\left(\mathrm{\ω}\right)+z_3\left(\mathrm{\ω}\right)=D\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，A、B、D为工作台工作时台面实际平面位置方程待求参

数，解线性方程组得

$\left\{\begin{array}{c}A=\frac{y_1\left(\mathrm{\ω}\right)[z_2\left(\mathrm{\ω}\right)-z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+y_2\left(\mathrm{\ω}\right)[z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-z_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+y_3\left(\mathrm{\ω}\right)[z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}\\ B=-\frac{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[z_2\left(\mathrm{\ω}\right)-z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-z_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}\\ D=\frac{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)\left[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)z_2\left(\mathrm{\ω}\right){-y}_2\left(\mathrm{\ω}\right)z_1\left(\mathrm{\ω}\right)\right]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]{}_{}}\end{array}\right.---\left(4\right)$

将由式(4)所得的参数A、B、D代入式(2)即可得到任一时刻工作台面1的实际平面方程；

第六步，由实际平面方程得到其法向量为

则偏摆角θ(ω)，即理想工作台面与工作台面1法向量

与

之间的夹角，由式(5)计算

$\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\ω}\right)=\arccos \frac{\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{n^0}}{\left|\stackrel{\→}{n}\right|\left|\stackrel{\→}{n^0}\right|}=\arccos \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+1}}---\left(5\right)$

计算得到的结果如图6中6-2所示，

第七步，设工作台面1的法向量

在X-Y平面上的投影向量的反向量为

由向量计算可知

则方位角α(ω)为与X轴的夹角，由式(6)计算，取逆时针方向为正，α(ω)的取值范围为-π～π，

$\mathrm{\α}\left(\mathrm{\ω}\right)={(-1)}^{\frac{2\mathrm{sgn}\left(B\right)-{(-1)}^{\left|\mathrm{sgn}\left(B\right)\right|}+1}{4}}\arccos \frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}---\left(6\right)$

其中，y=sgn(x)为符号函数；计算得到的结果如图6中6-3所示，

第八步，将x=y=0代入由第五步所得的工作台工作时工作台面1实际平面方程式(2)得到z=D,则D即是工作台沿Z轴的窜动量d(ω)，当考虑工作台面1厚度时，工作台沿Z轴的窜动量d(ω)由式(7)修正

d(ω)=D+h(1-1/cosθ(ω))            (7)

其中，h—为工作台台面厚度。计算得到的结果如图6中6-1所示。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于由本发明所提交的权利要求书确定的专利保护范围。

Claims (1)

1.一种数控机床回转工作台误差测量与分离的方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，在工作台面（1）中心装夹一个半径为工作台面半径1/3、表面粗糙度高于6级精度的金属圆环（2）作为涡流传感器的测量参照，垂直于金属圆环（2）环面安装第一电涡流传感器（3）、第二电涡流传感器（4）和第三电涡流传感器（5），三个电涡流传感器不在同一直线上，测量并记三个电涡流传感器的空间坐标按传感器编号分别为(x₁,y₁,z₁ ¹)、(x₂,y₂,z₂ ¹)和(x₃,y₃,z₃ ¹)，同时，在金属圆环（2）的外圈布置键相传感器（6），并将第一电涡流传感器（3）、第二电涡流传感器（4）、第三电涡流传感器（5）和键相传感器（6）的输出接入数据采集设备（7）；

第二步，以工作台面（1）中心为原点建立空间笛卡尔坐标系X-Y-Z，则工作台在理想工作状态下时的台面为X-Y平面，其平面方程为z=0，法向量为

任意时刻工作台的运动误差用沿Z轴的窜动量d(ω)和实际工作台面与理想工作台面的夹角θ(ω)及其偏摆角θ的方位角α(ω)来描述，其中，α(ω)是正偏摆角水平投影线与X轴的夹角；

第三步，在工作台转速为10r/min时测试第一电涡流传感器（3）、第二电涡流传感器（4）、第三电涡流传感器（5）输出的时域信号分别记为

和

并将其作为由金属圆环（2）表面误差导致的测量误差；在工作台转速为待测转速时测试第一电涡流传感器（3）、第二电涡流传感器（4）、第三电涡流传感器（5）输出的时域信号分别记为s₁(t)、s₂(t)和s₃(t)；

第四步，将第三步所得到的等时间间隔的时域信号

s₁(t)、s₂(t)和s₃(t)转化为等角度间隔的角域信号

和

则由工作台实际运动误差所导致的工作台面（1）与三只电涡流传感器的距离波动信号为；

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1\left(\mathrm{\ω}\right)=s_1^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_1^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\\ z_2\left(\mathrm{\ω}\right)=s_2^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_2^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\\ z_3\left(\mathrm{\ω}\right)=s_3^a\left(\mathrm{\ω}\right)-s_3^{a0}\left(\mathrm{\ω}\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：z₁(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面（1）与第一电涡流传感器（3）的距离波动信号；

z₂(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面（1）与第二电涡流传感器（4）的距离波动信号；

z₃(ω)—由工作台实际运动误差所导致的工作台面（1）与第三电涡流传感器（5）的距离波动信号；

由于第一电涡流传感器（3）、第二电涡流传感器（4）和第三电涡流传感器（5）的X与Y坐标在测试时始终没有改变，故三只电涡流传感器的X与Y坐标在任一时刻都可以用第一步测量得到的(x₁,y₁)，(x₂,y₂)和(x₃,y₃)表示，将其表示为等角度间隔的角域信号(x₁(ω),y₁(ω))，(x₂(ω),y₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω))，则工作台工作时，任一时刻工作台面（1）实际平面位置由点序列(x₁(ω),y₁(ω),z₁(ω))、(x₂(ω),y₂(ω),z₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω),z₃(ω))确定；

第五步，将由第四步所得三个点序列信号(x₁(ω),y₁(ω),z₁(ω))、(x₂(ω),y₂(ω),z₂(ω))和(x₃(ω),y₃(ω),z₃(ω))中的各点带入式(2)

Ax+By+z=D   (2)

得到线性方程组

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Ax}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_1\left(\mathrm{\ω}\right)+z_1\left(\mathrm{\ω}\right)=D\\ {\mathrm{Ax}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_2\left(\mathrm{\ω}\right)+z_2\left(\mathrm{\ω}\right)=D\\ {\mathrm{Ax}}_3\left(\mathrm{\ω}\right)+{\mathrm{By}}_3\left(\mathrm{\ω}\right)+z_3\left(\mathrm{\ω}\right)=D\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，A、B、D为工作台工作时工作台面（1）所在平面方程待求参数，解线性方程组得

$\left\{\begin{array}{c}A=\frac{y_1\left(\mathrm{\ω}\right)[z_2\left(\mathrm{\ω}\right)-z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+y_2\left(\mathrm{\ω}\right)[z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-z_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+y_3\left(\mathrm{\ω}\right)[z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}\\ B=-\frac{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[z_2\left(\mathrm{\ω}\right)-z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-z_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}\\ D=\frac{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)z_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)z_2\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)z_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)z_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)z_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)z_1\left(\mathrm{\ω}\right)]}{x_1\left(\mathrm{\ω}\right)[y_2\left(\mathrm{\ω}\right)-y_3\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_2\left(\mathrm{\ω}\right)[y_3\left(\mathrm{\ω}\right)-y_1\left(\mathrm{\ω}\right)]+x_3\left(\mathrm{\ω}\right)[y_1\left(\mathrm{\ω}\right)-y_2\left(\mathrm{\ω}\right)]}\end{array}\right.---\left(4\right)$

将由式(4)所得的参数A、B、D代入式(2)即可得到任一时刻工作台面（1）的实际平面方程；

第六步，由第五步得到的工作台工作时工作台面（1）方程得到其法向量为

则偏摆角θ(ω)，即理想工作台面与工作台面（1）法向量

与

之间的夹角，由式(5)计算

$\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\ω}\right)=\arccos \frac{\stackrel{\→}{n}\·\stackrel{\→}{n^0}}{\left|\stackrel{\→}{n}\right|\left|\stackrel{\→}{n^0}\right|}=\arccos \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+1}}---\left(5\right)$

第七步，设工作台面（1）的法向量

在X-Y平面上的投影向量的反向量为

由向量计算可知

则方位角α(ω)为

与X轴的夹角，由式(6)计算，取逆时针方向为正，α(ω)的取值范围为-π～π，

$\mathrm{\α}\left(\mathrm{\ω}\right)={(-1)}^{\frac{{2\mathrm{sgn}\left(B\right)-(-1)}^{\left|\mathrm{sgn}\left(B\right)\right|}+1}{4}}\arccos \frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}---\left(6\right)$

其中，y=sgn(x)为符号函数；

第八步，将x=y=0代入由第五步所得的工作台工作时工作台面（1）平面方程式(2)得到z=D,则D即是工作台沿Z轴的窜动量d(ω)，当考虑工作台面（1）厚度时，工作台沿Z轴的窜动量d(ω)由式(7)修正

d(ω)=D+h(1-1cosθ(ω))   (7)

其中，h—为工作台台面厚度。

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