CN108801193A - 一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法 - Google Patents

Abstract

一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，属于三坐标测量机的精度评定技术领域。包括以下步骤：(1)建立误差变异理论模型；(2)在a,b,c三个面上分别锁定Z、X、Y坐标轴，沿两条其他坐标轴方向上的直线测量多个测量点坐标，将多个测量点坐标形成的曲线拟合为拟合直线，以形成测量与数据处理图；(3)根据测量与数据处理图对误差变异理论模型进行变形，得到直线度误差与垂直度误差。本发明从误差变异规律出发，通过简单的标准立方体量块和数值计算，进行三坐标测量机的快速误差测定。

Description

一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法

技术领域

本发明涉及三坐标测量机的精度评定技术领域，尤其涉及一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法。

背景技术

三坐标测量机通过接触测量的方式，获得接触点的空间坐标信息，反映零件的实际制造尺寸以及表面平面度等信息，广泛的应用于实验室科学研究和工业生产中；三坐标测量机的规格很多，但基本组成大致相同，主要由测量机主体、测量系统、控制系统和软件系统组成；测量机主体的运动部件包括沿X轴移动的主滑架、沿Y轴移动的副滑架和沿Z轴移动的副滑架三个运动导轨，三坐标测量机的X、Y、Z运动导轨相互垂直，可测量出空间范围内各测量点的坐标位置，将这些测量点的坐标经过计算处理，拟合形成测量元素，如圆、球、圆柱、圆锥、曲面等，经过数学计算得出其形状、位置公差及其他几何量数据；所以三坐标测量机就是进行点的采集、整理与计算的机器，因此，原始点采集的精确程度是误差产生的根本原因，在用三坐标测量机进行工件几何量测定之前，首先必须对三坐标测量机进行测头精度的标定。

申请号为201810052472X、名称为：“一种三坐标测量机的误差调节装置”的中国专利，公开了一种三坐标测量机的误差调节装置，包括水平方向上的误差调节组件和竖直方向上的误差调节组件，水平方向上的误差调节组件至少包括X方向上的水平误差调节组件、Y方向上的水平误差组件中的一个；竖直方向上的误差调节组件至少包括能够实现对测量机头的竖直方向上调节的粗调组件和微调组件。该发明的误差调节装置，其在水平方向上直接采用高精度滚轮的方式进行调节，而在竖直方向上，利用粗调和微调的双重模式进行调节，调节精度高，粗调采用螺纹方式调节，调节速度快，微调采用磁致伸缩调节，调节进度高，但是这种调节方式未能考虑到误差变异因素。

公开号为CN1055812A、名称为“三坐标测量机21项机构误差的一维球列测量法和测量装置及装置的自检方法”的中国专利，提出在三座标测量机上用安装于测头座上的磁性球座对置于测量空间的由一系列等间距钢球组成的一维球列进行三维定位测量。通过自检法即180°转位法和平移法将测量读数分离计算出一维球列的直线度误差间距误差。将一维球列在测量空间14个不同安装位置获得的测量读数通过简单的代数运算就可以等到测量机的21项机构误差。该方法使用磁性球座和一系列钢球进行三维定位测量，运算相对简单，但操作复杂。

申请号为2013101067502、名称为“一种三坐标测量机二维平台误差的高精度校正方法”的中国专利，公开了利用精度要求低于或等于待测三坐标测量机二维平台的刚性栅格板作为辅助测量装置,并根据测得的六位姿状态下坐标测量机上各个标记点的坐标,运用基于最小二乘法的自校正算法将待测二维平台误差以及所使用的栅格板标尺误差从原始测量数据中分离出来,由此可实现对三坐标测量机二维平台的高精度校正。但是该方法涉及高维离差方程组的求解，运算量偏大。

发明内容

为解决现有的三坐标测量机误差测量方法需要特殊的标定量块或装置，或者需要进行大量的数值计算的问题，本发明提供了一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，包括以下步骤：

(1)建立误差变异理论模型；

(2)在a,b,c三个面上分别锁定Z、X、Y坐标轴，沿两条其他坐标轴方向上的直线测量多个测量点坐标，将多个测量点坐标形成的曲线拟合为拟合直线，以形成测量与数据处理图；所述的a,b,c三个面为标准量块上彼此两两相互垂直的面，并且a面与理论坐标系XYZ的ZOX面平行，b面与理论坐标系XYZ的ZOY面平行，c面与理论坐标系XYZ的XOY面平行；

(3)根据测量与数据处理图对误差变异理论模型进行变形，得到直线度误差与垂直度误差。

进一步的，所述误差变异理论模型为：

其中：α，β，γ为X、Y、Z三轴相对于理论坐标系XYZ三个方向i,j,k上的角度误差标记；x,y,z为测量点在测量机坐标系XYZ上三个坐标的坐标值；Δxy为X向导轨在Y轴方向直线度误差的误差值，Δxz为X向导轨在Z轴方向直线度误差的误差值，Δyx为Y向导轨在X轴方向直线度误差的误差值，Δyz为Y向导轨在Z轴方向直线度误差的误差值，Δzx为Z向导轨在X轴方向直线度误差的误差值，Δzy为Z向导轨在Y轴方向直线度误差的误差值；Δx_b，Δy_b和Δz_b为测量点位置变异量在X、Y、Z三轴方向上的分量。

进一步的，所述步骤(1)包括以下具体步骤：

S1.1建立理想状态下测量系统模型；

S1.2获取测量点在测量机坐标系中，在线性误差和角度误差综合影响下的坐标点实际矢量模型；

S1.3通过在误差状态下的位置变异矢量获取误差变异理论模型。

进一步的，所述步骤S1.1具体为：

建立理想状态下测量系统模型：

其中为测量点在测量机坐标系中的理想矢量；为工件坐标系的原点在测量机坐标系中的位置矢量；为测量点在工件坐标系中的理想矢量；由于测量工件为误差可忽略的标准量块，对不做展开，为常矢量；将在分别对应X、Y、Z轴的三个测量方向i,j,k上进行展开表达如下：

进一步的，所述步骤S1.2具体为：

测量点在测量机坐标系中，在线性误差和角度误差综合影响下的实际矢量模型表示为下式：

其中：为回转运动群；为角度矢量；为测量点在测量机坐标系中，仅在线性误差影响下的实际矢量，具体公式如下：

其中：为X向导轨在Y方向直线度误差，为其矢量方向；为X向导轨在Z方向直线度误差，为其矢量方向；为Y向导轨在X方向直线度误差，为其矢量方向；为Y向导轨在Z方向直线度误差，为其矢量方向；为Z向导轨在X方向直线度误差，为其矢量方向；为Z向导轨在Y方向直线度误差，为其矢量方向。

进一步的，所述步骤S1.3具体为：

在误差状态下，位置变异矢量为：

解算公式(7)并略去二阶小量，得到位置变异矢量表达如下：

其中：

由于公式(8)恒等，得到误差变异理论模型如下：

进一步的，所述步骤(2)包括以下具体步骤：

S2.1锁定Z坐标，测头在XOY平面内运动，获得a面和b面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将a面上的曲线拟合为拟合直线L_axy，将b面上的曲线拟合为拟合直线L_byx，以形成测量与数据处理图a；

S2.2锁定X坐标，测头在ZOY平面内运动，获得a面和c面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将a面上的曲线拟合为拟合直线L_azy，将c面上的曲线拟合为拟合直线L_cyz，以形成测量与数据处理图b；

S2.3锁定Y坐标，测头在ZOX平面内运动，获得b面和c面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将b面上的曲线拟合为拟合直线L_bzx，将c面上的曲线拟合为拟合直线L_cxz，以形成测量与数据处理图c。

进一步的，所述步骤(3)包括以下具体步骤：

S3.1根据测量与数据处理图a对误差变异理论模型变形如下：

式中(Δzx+β·z)与(Δzy-α·z)为常值，拟合直线L_axy的极差为X向导轨在Y方向的直线度误差e_xy，拟合直线L_byx的极差为Y向导轨在X方向的直线度误差e_yx，拟合直线L_axy与拟合直线L_byx的夹角与90°之差的绝对值为X、Y两向导轨在XOY平面内的垂直度误差δ_xy；

S3.2根据测量与数据处理图b对误差变异理论模型变形如下：

式中(Δxy+γ·x)与(Δxz-β·x)为常值，拟合直线L_azy的极差为Z向导轨在Y方向的直线度误差e_zy，拟合直线L_cyz的极差为Y向导轨在Z方向的直线度误差e_yz，拟合直线L_azy与拟合直线L_cyz的夹角与90°之差的绝对值为Y、Z两向导轨在ZOY平面内的垂直度误差δ_yz，拟合直线L_cyz与XOY平面在ZOY平面内的夹角与90°之差的绝对值为Z向导轨与XOY平面在ZOY平面内的垂直度误差δ_z(yoz)；

S3.3根据测量与数据处理图c对误差变异理论模型变形如下：

式中(Δyx-γ·y)与(Δyz+α·y)为常值，拟合直线L_bzx的极差为Z向导轨在X方向的直线度误差e_zx，拟合直线L_cxz的极差为X向导轨在Z方向的直线度误差e_xz，拟合直线L_bzx与拟合直线L_cxz的夹角与90°之差的绝对值为X、Z两向导轨在ZOX平面内的垂直度误差δ_xz，拟合直线L_bzx与XOY平面在ZOX平面内的夹角与90°之差的绝对值为Z向导轨与XOY平面在ZOX平面内的垂直度误差δ_z(xoz)。

本发明的有益效果是：从误差变异规律出发，通过简单的标准立方体量块和数值计算，进行三坐标测量机的快速误差测定，将被测样件选为误差可以忽略的立方体标准量块，并精确放置于三坐标测量机的基准台面之上，这样检测过程的变异反映的就是三坐标测量机本身存在的诸多误差，然后通过进行本发明特定条件下的测量操作及相应的数据处理，能够得到三坐标测量机三个导轨的直线度误差和相互的垂直度误差。

附图说明

图1为本发明误差测量系统及标准量块的示意图；

图2为本发明测量与数据处理图a的示意图；

图3为本发明测量与数据处理图b的示意图；

图4为本发明测量与数据处理图c的示意图。

具体实施方式

一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，包括以下步骤：

(1)建立误差变异理论模型；

S1.1建立理想状态下测量系统模型：

其中为测量点在测量机坐标系中的理想矢量；为工件坐标系的原点在测量机坐标系中的位置矢量；为测量点在工件坐标系中的理想矢量；由于测量工件为误差可忽略的标准量块，可对不做展开，为常矢量；将在分别对应X、Y、Z轴的三个测量方向i,j,k上进行展开表达如下：

其中：x,y,z为测量点在测量机坐标系XYZ上三个坐标的坐标值；

S1.2由于测量机导轨的直线度误差和垂直度误差将会引起测量点位置的变异，从而导致测量数据的改变，所以各导轨在对应的两个方向上的直线度误差和角度误差可表示如下：

[1]X向导轨：

Y方向直线度误差：(其中：Δxy为误差值，为其矢量方向)；

Z方向直线度误差：(其中：Δxz为误差值，为其矢量方向)；

[2]Y向导轨：

X方向直线度误差：(其中：Δyx为误差值，为其矢量方向)；

Z方向直线度误差：(其中：Δyz为误差值，为其矢量方向)；

[3]Z向导轨：

X方向直线度误差：(其中：Δzx为误差值，为其矢量方向)；

Y方向直线度误差：(其中：Δzy为误差值，为其矢量方向)；

[4]X、Y、Z三轴相对于理论坐标系XYZ三个方向i,j,k上的角度误差记为：α,β,γ；

因为角度矢量为：

回转运动群的定义为：

其中：E为三阶单位阵：

测量点在测量机坐标系中，仅在线性误差影响下的实际矢量为：

所以测量点在测量机坐标系中，在线性误差和角度误差综合影响下的实际矢量模型表示为下式：

S1.3在误差状态下，位置变异矢量为：

根据公式(5)和公式(6)解算公式(7)得到下式：

其中为二阶小量，略去公式(7.1)中的二阶小量，得到位置变异矢量表达如下：

其中：

由于公式(8)恒等，所以可以得到误差变异理论模型如下：

其中：α，β，γ为X、Y、Z三轴相对于理论坐标系XYZ三个方向i,j,k上的角度误差标记；x,y,z为测量点在坐标系XYZ上三个坐标的坐标值；Δxy为X向导轨在Y轴方向直线度误差的误差值，Δxz为X向导轨在Z轴方向直线度误差的误差值，Δyx为Y向导轨在X轴方向直线度误差的误差值，Δyz为Y向导轨在Z轴方向直线度误差的误差值，Δzx为Z向导轨在X轴方向直线度误差的误差值，Δzy为Z向导轨在Y轴方向直线度误差的误差值；Δx_b，Δy_b和Δz_b为测量点位置变异量在X、Y、Z三轴方向上的分量，可表达为对应等号右边引起变异的各误差因素，包括直线度误差和角度误差，其中角度误差随x,y,z的变化而变化。

(2)根据公式(10)误差变异理论模型所表达的误差关系原理，若三坐标测量机各导轨存在误差，在对标准量块进行测量时如果与原值存在误差，则可反映三坐标测量机本身的测量误差；

公式(10)中,X、Y、Z三个方向上的误差分量由引起变异的各误差因素共同作用产生，为了将各因素的作用中以区分，采用分别锁定X、Y、Z其中的一个坐标轴，对标准量块上沿垂直于某一导轨的直线进行测量的方式。测量过程中，测量点的坐标相对于原直线就会出现一定的波动，利用线性拟合方法可求得实际测量点的拟合直线。这些直线的直线度误差和角度误差能够反映三坐标机本身的测量误差。

在a,b,c三个面上分别锁定Z、X、Y坐标轴，沿两条其他坐标轴方向上的直线测量多个测量点坐标，将多个测量点坐标形成的曲线拟合为拟合直线，以形成测量与数据处理图；所述的a,b,c三个面为标准量块上彼此两两相互垂直的面，并且a面与理论坐标系XYZ的ZOX面平行，b面与理论坐标系XYZ的ZOY面平行，c面与理论坐标系XYZ的XOY面平行；

S2.1锁定Z坐标，测头在XOY平面内运动，获得a面和b面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将a面上的曲线拟合为拟合直线L_axy，将b面上的曲线拟合为拟合直线L_byx，以形成测量与数据处理图a；

S2.2锁定X坐标，测头在ZOY平面内运动，获得a面和c面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将a面上的曲线拟合为拟合直线L_azy，将c面上的曲线拟合为拟合直线L_cyz，以形成测量与数据处理图b；

S2.3锁定Y坐标，测头在ZOX平面内运动，获得b面和c面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将b面上的曲线拟合为拟合直线L_bzx，将c面上的曲线拟合为拟合直线L_cxz，以形成测量与数据处理图c。

(3)根据测量与数据处理图对误差变异理论模型进行变形，得到直线度误差与垂直度误差。

S3.1根据测量与数据处理图a对误差变异理论模型变形如下：

因为式中(Δzx+β·z)与(Δzy-α·z)为常值，所以拟合直线L_axy的极差即为X向导轨在Y方向的直线度误差e_xy，拟合直线L_byx的极差即为Y向导轨在X方向的直线度误差e_yx，拟合直线L_axy与拟合直线L_byx的夹角与90°之差的绝对值即为X、Y两向导轨在XOY平面内的垂直度误差δ_xy；

S3.2根据测量与数据处理图b对误差变异理论模型变形如下：

因为式中(Δxy+γ·x)与(Δxz-β·x)为常值，所以拟合直线L_azy的极差即为Z向导轨在Y方向的直线度误差e_zy，拟合直线L_cyz的极差即为Y向导轨在Z方向的直线度误差e_yz，拟合直线L_azy与拟合直线L_cyz的夹角与90°之差的绝对值即为Y、Z两向导轨在ZOY平面内的垂直度误差δ_yz，拟合直线L_cyz与XOY平面在ZOY平面内的夹角与90°之差的绝对值为Z向导轨与XOY平面在ZOY平面内的垂直度误差δ_z(yoz)；

S3.3根据测量与数据处理图c对误差变异理论模型变形如下：

因为式中(Δyx-γ·y)与(Δyz+α·y)为常值，所以拟合直线L_bzx的极差即为Z想导轨在X方向的直线度误差e_zx，拟合直线L_cxz的极差即为X向导轨在Z方向的直线度误差e_xz，拟合直线L_bzx与拟合直线L_cxz的夹角与90°之差的绝对值即为X、Z两向导轨在ZOX平面内的垂直度误差δ_xz，拟合直线L_bzx与XOY平面在ZOX平面内的夹角与90°之差的绝对值为Z向导轨与XOY平面在ZOX平面内的垂直度误差δ_z(xoz)。

本发明运用误差与变异的共性规律实现了三坐标测量机测量系统误差分析、数据处理与误差评定；在三坐标测量机测量样件的整个过程中，不可避免地存在各种测量误差，首先是被测样件存在有误差，这也是三坐标测量机检测的根本意义所在，其次是三坐标测量机本身存在各种误差，再者是被测样件的对正误差，所以三坐标测量机测量样件的整个过程是在这些误差的综合影响下完成的。于是，在误差条件下，实际的测量过程将偏离理论测量过程，这种偏离称为测量过程的变异，如果把整个测量作为一个系统考察的话，那么各类误差相当是系统的“输入”，而变异是这种输入的外部表征结果，即一种“输出”；本发明正是通过检测测量过程的这种变异来最终得到三坐标测量机的诸多误差，具体地，被测样件选为误差可以忽略的立方体标准量块，并精确放置于三坐标测量机的基准台面之上，这样检测过程的变异反映的就是三坐标测量机本身存在的诸多误差，进一步地，通过进行特定条件下的测量操作及相应的数据处理，能够得到三坐标测量机三个导轨的直线度误差(6个)和相互的垂直度误差(5个)。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立误差变异理论模型；

(2)在a,b,c三个面上分别锁定Z、X、Y坐标轴，沿两条其他坐标轴方向上的直线测量多个测量点坐标，将多个测量点坐标形成的曲线拟合为拟合直线，以形成测量与数据处理图；所述的a,b,c三个面为标准量块上彼此两两相互垂直的面，并且a面与理论坐标系XYZ的ZOX面平行，b面与理论坐标系XYZ的ZOY面平行，c面与理论坐标系XYZ的XOY面平行；

(3)根据测量与数据处理图对误差变异理论模型进行变形，得到直线度误差与垂直度误差。

2.根据权利要求1所述的一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，其特征在于，所述误差变异理论模型为：

其中：α，β，γ为X、Y、Z三轴相对于理论坐标系XYZ三个方向i,j,k上的角度误差标记；x,y,z为测量点在测量机坐标系XYZ上三个坐标的坐标值；Δxy为X向导轨在Y轴方向直线度误差的误差值，Δxz为X向导轨在Z轴方向直线度误差的误差值，Δyx为Y向导轨在X轴方向直线度误差的误差值，Δyz为Y向导轨在Z轴方向直线度误差的误差值，Δzx为Z向导轨在X轴方向直线度误差的误差值，Δzy为Z向导轨在Y轴方向直线度误差的误差值；Δx_b，Δy_b和Δz_b为测量点位置变异量在X、Y、Z三轴方向上的分量。

3.根据权利要求2所述的一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，其特征在于，所述步骤(1)包括以下具体步骤：

S1.1建立理想状态下测量系统模型；

S1.2获取测量点在测量机坐标系中，在线性误差和角度误差综合影响下的坐标点实际矢量模型；

S1.3通过在误差状态下的位置变异矢量获取误差变异理论模型。

4.根据权利要求3所述的一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，其特征在于，所述步骤S1.1具体为：

建立理想状态下测量系统模型：

其中为测量点在测量机坐标系中的理想矢量；为工件坐标系的原点在测量机坐标系中的位置矢量；为测量点在工件坐标系中的理想矢量；由于测量工件为误差可忽略的标准量块，对不做展开，为常矢量；将在分别对应X、Y、Z轴的三个测量方向i,j,k上进行展开表达如下：

5.根据权利要求3所述的一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，其特征在于，所述步骤S1.2具体为：

测量点在测量机坐标系中，在线性误差和角度误差综合影响下的实际矢量模型表示为下式：

其中：为回转运动群；为角度矢量；为测量点在测量机坐标系中，仅在线性误差影响下的实际矢量，具体公式如下：

其中：为X向导轨在Y方向直线度误差，为其矢量方向；为X向导轨在Z方向直线度误差，为其矢量方向；为Y向导轨在X方向直线度误差，为其矢量方向；为Y向导轨在Z方向直线度误差，为其矢量方向；为Z向导轨在X方向直线度误差，为其矢量方向；为Z向导轨在Y方向直线度误差，为其矢量方向。

6.根据权利要求3所述的一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，其特征在于，所述步骤S1.3具体为：

在误差状态下，位置变异矢量为：

解算公式(7)并略去二阶小量，得到位置变异矢量表达如下：

其中：

由于公式(8)恒等，得到误差变异理论模型如下：

7.根据权利要求1所述的一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，其特征在于，所述步骤(2)包括以下具体步骤：

S2.1锁定Z坐标，测头在XOY平面内运动，获得a面和b面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将a面上的曲线拟合为拟合直线L_axy，将b面上的曲线拟合为拟合直线L_byx，以形成测量与数据处理图a；

S2.2锁定X坐标，测头在ZOY平面内运动，获得a面和c面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将a面上的曲线拟合为拟合直线L_azy，将c面上的曲线拟合为拟合直线L_cyz，以形成测量与数据处理图b；

S2.3锁定Y坐标，测头在ZOX平面内运动，获得b面和c面上标准量块各测量点坐标数据，将各测量点坐标数据作为曲线的峰谷点并将其分别连接成为两条曲线，将b面上的曲线拟合为拟合直线L_bzx，将c面上的曲线拟合为拟合直线L_cxz，以形成测量与数据处理图c。

8.根据权利要求2所述的一种基于误差与变异规律的三坐标测量机误差测量方法，其特征在于，所述步骤(3)包括以下具体步骤：

S3.1根据测量与数据处理图a对误差变异理论模型变形如下：

式中(Δzx+β·z)与(Δzy-α·z)为常值，拟合直线L_axy的极差为X向导轨在Y方向的直线度误差e_xy，拟合直线L_byx的极差为Y向导轨在X方向的直线度误差e_yx，拟合直线L_axy与拟合直线L_byx的夹角与90°之差的绝对值为X、Y两向导轨在XOY平面内的垂直度误差δ_xy；

S3.2根据测量与数据处理图b对误差变异理论模型变形如下：

式中(Δxy+γ·x)与(Δxz-β·x)为常值，拟合直线L_azy的极差为Z向导轨在Y方向的直线度误差e_zy，拟合直线L_cyz的极差为Y向导轨在Z方向的直线度误差e_yz，拟合直线L_azy与拟合直线L_cyz的夹角与90°之差的绝对值为Y、Z两向导轨在ZOY平面内的垂直度误差δ_yz，拟合直线L_cyz与XOY平面在ZOY平面内的夹角与90°之差的绝对值为Z向导轨与XOY平面在ZOY平面内的垂直度误差δ_z(yoz)；

S3.3根据测量与数据处理图c对误差变异理论模型变形如下：

式中(Δyx-γ·y)与(Δyz+α·y)为常值，拟合直线L_bzx的极差为Z向导轨在X方向的直线度误差e_zx，拟合直线L_cxz的极差为X向导轨在Z方向的直线度误差e_xz，拟合直线L_bzx与拟合直线L_cxz的夹角与90°之差的绝对值为X、Z两向导轨在ZOX平面内的垂直度误差δ_xz，拟合直线L_bzx与XOY平面在ZOX平面内的夹角与90°之差的绝对值为Z向导轨与XOY平面在ZOX平面内的垂直度误差δ_z(xoz)。