CN102706217B - 一种控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法，其可准确地控制多枚导弹对目标的攻击时间和攻击角度；该方法为：从多枚导弹中任意选取一枚为领弹，以目标为球心、领弹与目标之间的距离为半径构造虚拟球体；将剩余的导弹定义为从弹，在虚拟球体表面为每一从弹选定虚拟点，其中每一虚拟点与目标之间连线的方向为其对应从弹的预设的理想攻击角度；通过控制从弹运动轨迹逼近并跟踪虚拟点轨迹，从而实现对多枚导弹攻击角度和攻击时间的控制。本发明的控制导弹攻击角度和攻击时间的方法，其通过利用从弹对其对应的虚拟点的逼近并跟踪来实现，因此无需事先对每一从弹指定理想的攻击时间，便可对从弹的攻击角度和攻击时间进行控制。

Description

一种控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法

技术领域

本发明涉及一种控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法，属于制导技术领域。

背景技术

随着科学技术的高速发展，导弹防御系统的能力不断增强，单枚导弹作战在很多情况下已无法满足战场的要求，多枚导弹协同作战变得越来越重要。为了提高导弹协同作战的杀伤力，通常对攻击角度有要求，而为了实现饱和攻击，又对攻击时间有要求。如果多枚导弹能够从不同的角度同时攻击目标，将大大增强导弹的打击能力。

国内外关于对导弹攻击角度和攻击时间同时进行控制的技术还处于初级阶段。目前，国内外对于具有攻击角度约束的制导控制方法的研究开展得比较多，此方面的制导控制方法主要分为两类：基于最优控制理论的方法和基于比例导引律的方法。对具有攻击时间约束的导弹制导控制方法的研究相对来说比较少，而同时考虑对攻击角度和攻击时间进行控制的方法就更少。在先技术[1]（参见Lee J I,Jeon I S,Tahk M J.Guidance law to control impact time and angle.IEEETransactions on Aerospace and Electronic Systems,2007,43(1):301-310）中，基于最优控制理论提出了可同时控制多枚导弹攻击方位角和攻击时间的制导方法，但它只适用于导弹在二维平面攻击目标的情况。在先技术[2]（参见Jeon I S,Lee JI,Tahk M J.Guidance law to controlimpact time and angle.International Conference onControl and Automation.Hungary:Budapest,2005:852-857）中，基于传统的比例导引律设计了一种具有攻击角度和时间约束的、适用于反舰导弹的制导方法，但本方法只适用于攻击固定目标，而且并没有对制导方法参数的取值进行说明。在先技术[3]（参见张友安,马培蓓.带有攻击角度和攻击时间控制的三维制导,航空学报，2008，29(4):1020-1026）中，先基于李雅普诺夫稳定性理论设计了带有攻击角度控制的三维制导律，采用此制导律将导弹导引到预定的攻击角度上，然后通过圆弧机动飞行来对攻击时间进行控制,但此技术中需要预先设定理想攻击时间，而理想攻击时间的合理设定一直是一个难点。

发明内容

本发明要解决的技术问题是克服上述已有技术的困难，在不需要事先指定理想攻击时间以及不限定目标运动状态的前提下，提供一种控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法。

实现本发明的技术方案如下：

一种控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法，具体步骤为：

步骤一、在协同作战的多枚导弹中，任意选取一枚作为领弹，并根据武器系统的总体作战要求，为领弹选取任一制导律；同时以目标为球心，以领弹与目标之间的距离为半径构造虚拟球体；

步骤二、将剩余的导弹定义为从弹，根据导弹协同作战的需求，参考领弹对目标的攻击情况，为每一从弹设定理想攻击角度，该攻击角度都是以地面坐标系为基准设定的；同时在虚拟球体表面为每一从弹选定虚拟点，每一虚拟点与目标之间连线的方向为其对应从弹的理想攻击角度，其中虚拟点的位置随着领弹与目标的逼近不断更新；

步骤三、通过控制从弹运动轨迹跟踪并逼近虚拟点轨迹，从而实现对多枚导弹攻击角度和攻击时间的控制。

进一步地，本发明步骤三的过程为：

步骤101、在地面坐标系中，建立目标的运动模型、从弹的运动模型及虚拟点位置模型，根据所建立的模型在地面坐标系中建立从弹与虚拟点之间的相对运动模型；该步骤的具体过程为：

步骤I、在地面坐标系中建立目标的运动模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_T=V_T\cos {\mathrm{\θ}}_T\cos {\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{VT}}\\ {\stackrel{\·}{y}}_T=V_T\sin {\mathrm{\θ}}_T\\ {\stackrel{\·}{z}}_T={-V}_T\cos {\mathrm{\θ}}_T\sin {\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{VT}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中X_T＝[x_T,y_T,z_T]表示目标的位置，V_T为目标的速度，θ_T和ψ_VT为目标速度矢量与地面坐标系坐标轴的夹角；

步骤II、由于虚拟点与目标之间的距离等于领弹与目标之间的距离，虚拟点的运动方向为设定的从弹理想攻击角，因此，在地面坐标系中建立表征虚拟点位置模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_v=x_T-r_l\cos {\mathrm{\ϵ}}_y\cos {\mathrm{\ϵ}}_z\\ y_v=y_T-r_l\sin {\mathrm{\ϵ}}_y\\ z_v=z_T+r_l\cos {\mathrm{\ϵ}}_y\sin {\mathrm{\ϵ}}_z\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：X_v＝[x_v,y_v,z_v]为虚拟点的坐标，r_l为领弹与目标之间的距离，ε_y、ε_z分别为从弹在俯仰方向和偏航方向设定的理想攻击角;

步骤III、在地面坐标系中建立从弹的运动模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_m=V\cos \mathrm{\θ}\cos {\mathrm{\ψ}}_V\\ {\stackrel{\·}{y}}_m=V\sin \mathrm{\θ}\\ {\stackrel{\·}{z}}_m=-V\cos \mathrm{\θ}\sin {\mathrm{\ψ}}_V\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中：X_m＝[x_m,y_m,z_m]表示从弹的位置，V为从弹的速度，θ和ψ_V为从弹的弹道倾角和弹道偏角；

步骤IV、根据步骤I-III所建立的模型，在地面坐标系中建立从弹与虚拟点之间的相对运动模型；

从弹和虚拟点之间的相对位置为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_d=x_m-x_v\\ y_d=y_m-y_v\\ z_d=z_m-z_v\end{array}\right.---\left(4\right)$

对式（4）求导可得到从弹与虚拟点的相对速度差：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_d={\stackrel{\·}{x}}_m-{\stackrel{\·}{x}}_v\\ {\stackrel{\·}{y}}_d={\stackrel{\·}{y}}_m-{\stackrel{\·}{y}}_v\\ {\stackrel{\·}{z}}_d={\stackrel{\·}{z}}_m-{\stackrel{\·}{z}}_v\end{array}\right.---\left(5\right)$

将式（5）写为向量形式为：

${\stackrel{\·}{X}}_d={\stackrel{\·}{X}}_m-{\stackrel{\·}{X}}_T-T_4{\stackrel{\·}{r}}_l---\left(6\right)$

其中：X_d＝[x_d y_d z_d]^T，T₄＝[-cosε_ycosε_z-sinε_ycosε_ysinε_z]^T，领弹与目标之间的距离的变化率；

步骤102、建立描述从弹运动的质心动力学方程、姿态运动学方程以及姿态动力学方程，结合以上推导的从弹与虚拟点的相对运动模型，得到对从弹攻击角度和攻击时间进行控制的非线性控制模型，基于反馈线性化理论对所述非线性控制模型进行精确线性化，获取线性的控制模型；

步骤103、将线性化后的控制模型看作一个终端时间无限的状态调节器，采用线性二次型性能指标，基于最优控制理论设计从弹控制器，使控制器输出为零，利用该设计的从弹控制器实现对虚拟点的跟踪和逼近，从而实现对从弹攻击角度和攻击时间的控制。

进一步地，本发明当领弹按照指定的制导律飞向目标时，虚拟点轨迹为一条直线，为了降低对从弹可用过载和控制能量的要求，按照设定的时间步长对虚拟点位置模型进行改进设计，在地面坐标系中更新虚拟点虚拟点位置模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_v=x_T-\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\ϵ}}_y-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{zf}}+\frac{n({\mathrm{\ϵ}}_z-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{zf}})}{N}\left]\right\}\\ y_v=y_T-\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\sin \right[{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\ϵ}}_y-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\right\}\\ z_v=z_T+\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\ϵ}}_y-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\sin \right[{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{zf}}+\frac{n({\mathrm{\ϵ}}_z-{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{zf}})}{N}\left]\right\}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中：r_f为从弹与目标之间的距离，ε_yf、ε_zf分别为从弹在俯仰方向和偏航方向的实际视线角，N为整数且其取值方法为：

$N=k\frac{t_{\mathrm{go}}}{h},0<k\&le;1---\left(8\right)$

其中：t_go为预估的领弹飞行时间，h为设定的时间步长；

其中：n为取遍[1,2,…,N]的整数，当领弹飞过一个时间步长时，n取1，当领弹飞过两个时间步长时，n取2，并依次类推，直至领弹飞过N个时间步长，n取N为止。

有益效果

本发明在控制攻击时间方面：由于每一虚拟点与领弹处于同于虚拟球上，虚拟点跟随领弹一步步接近目标，利用从弹对其所对应的虚拟点的跟踪与逼近，因此在无需事先对每一从弹指定理想攻击时间的情况下，实现对目标攻击时间的控制，其可适用于攻击固定或不同运动状态的目标；在控制攻击角度方面：由于每一虚拟点与目标之间连线的方向为其对应从弹的理想攻击角度，在从弹跟踪与逼近虚拟点的过程中，其相对于目标的攻击角度也逐步逼近理想攻击角度，从而实现对目标攻击角度的控制；本发明基于虚拟点的方法能够实现对从弹攻击角度和攻击时间的有效控制，从而使从弹和领弹从预设的角度同时攻击目标，达到良好的协同作战效果。本发明可应用于各种类型的导弹，具有很大的应用灵活性和广阔的军事应用前景。

其次、本发明通过对虚拟点轨迹进行改进，其可满足降低从弹的过载要求。

附图说明

图1为本发明的总体示意图；

图2为三枚导弹协同攻击目标弹道图；

图3为两枚从弹攻击角度随时间变化图；

图4为两枚从弹推力随时间变化图；

图5为两枚从弹舵偏角随时间变化图；

图6为从弹1切向过载和法向过载随时间变化图；

图7为从弹2切向过载和法向过载随时间变化图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

当前，在多枚导弹协同作战研究领域中，如何控制各导弹的攻击时间和攻击角度，来提高对目标的打击力为当前所面临的主要问题。在本发明中：

如图1所示，从多枚导弹中任意选取一枚为领弹，以目标为球心、领弹与目标之间的距离为半径构造虚拟球体；将剩余的导弹定义为从弹，在虚拟球体表面为每一从弹选定虚拟点，其中每一虚拟点与目标之间连线的方向为其对应从弹的预设的理想攻击角度；通过控制从弹运动轨迹跟踪并逼近虚拟点轨迹，从而实现对多枚导弹攻击角度和攻击时间的控制。

本发明随着领弹与目标的逼近使得虚拟球体的半径逐步缩小，通过控制从弹运动轨迹对虚拟点的跟踪与逼近，从而达到对从弹攻击时间进行控制的目的；同时由于各虚拟点与目标之间连线的方向为其对应从弹的预设的理想攻击角度，在从弹的跟踪与逼近的过程中可以保证对从弹攻击角度的控制目的；因此本发明采用构造虚拟点的方法，其很好的实现对从弹攻击角度和攻击时间的控制。

对使用符号的注释：本发明中凡是出现符号上面带“·”的表达式，其采用课本上的表达式，即为对该符号的求导，例如下文中

为对x_m对时间的求导；凡是出现符号上带有“··”的表达式，其也采用课本上的表达式，即对该符号进行两次求导，例如下文出现的

其表示对r_l对时间进行两次求导。

本发明控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法，具体的过程为：

步骤一、在协同作战的多枚导弹中，任意选取一枚作为领弹，并根据武器系统的总体作战要求，为领弹选取任一制导律；如果强调领弹对目标的命中精度和领弹弹道的收敛性，则可选用比例导引律；如果强调领弹的攻击角度和对目标的毁伤效果，可选用具有角度约束的制导律；由于本发明并未对领弹采用的制导律有限制，因此，领弹可根据需要选用任一制导律。同时以目标为球心，以领弹与目标之间的距离为半径构造虚拟球体。

步骤二、将剩余的导弹定义从弹，根据导弹协同作战的需求，参考领弹对目标的攻击情况，为每一从弹设定理想的攻击角度ε_yi和ε_zi，从而实现领弹和从弹从不同的方向同时命中目标，对目标进行有效打击；其中ε_yi和ε_zi分别为从弹在俯仰方向和偏航方向设定的理想攻击角（为了描述方便，以下省去表示从弹序号的i）；同时，在虚拟球体表面为每一从弹选定虚拟点，其中每一虚拟点与目标之间连线的方向为其对应从弹的预设的理想攻击角度；该攻击角度都是以地面坐标系为基准设定的。

本发明设定从弹理想的攻击角度的具体过程为：根据目标的运动情况、领弹的初始状态、领弹采取的导引律等信息先估算出领弹的攻击角度（如领弹采用带有攻击角度约束的制导律，则可直接得知领弹的攻击角度），再根据导弹协同作战的需求，为每一从弹设定理想的攻击角度。例如：估算出的领弹的攻击角为(-2°,-25°)（括号内第一项指俯仰方向攻击角，第二项指偏航方向攻击角），为了实现对目标的立体多方向攻击，可设从弹的攻击角为(-5°,-75°)、(-10°,25°)、(-15°,75°)等。

步骤三、通过控制从弹运动轨迹跟踪并逼近虚拟点轨迹，从而实现对多枚导弹攻击角度和攻击时间的控制。

下面对步骤三的具体过程进行详细说明：

在地面坐标系中，建立目标的运动模型、从弹的运动模型及虚拟点位置模型，根据所建立的模型在地面坐标系中建立从弹与虚拟点之间的相对运动模型；该步骤的具体过程为：

步骤I、在地面坐标系中建立目标的运动模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_T=V_T\cos {\mathrm{\&theta;}}_T\cos {\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{VT}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_T=V_T\sin {\mathrm{\&theta;}}_T\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_T={-V}_T\cos {\mathrm{\&theta;}}_T\sin {\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{VT}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：X_T＝[x_T,y_T,z_T]表示目标的位置，V_T为目标的速度，θ_T和ψ_VT为目标速度矢量与地面坐标系坐标轴的夹角。

步骤II、由于虚拟点与目标之间的距离等于领弹与目标之间的距离，虚拟点的运动方向为设定的从弹理想攻击角，因此，在地面坐标系中建立表征虚拟点位置模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_v=x_T-r_l\cos {\mathrm{\&epsiv;}}_y\cos {\mathrm{\&epsiv;}}_z\\ y_v=y_T-r_l\sin {\mathrm{\&epsiv;}}_y\\ z_v=z_T+r_l\cos {\mathrm{\&epsiv;}}_y\sin {\mathrm{\&epsiv;}}_z\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：X_v＝[x_v,y_v,z_v]为虚拟点的坐标，r_l为领弹与目标之间的距离，ε_y、ε_z分别为从弹在俯仰方向和偏航方向设定的理想攻击角。

本步骤中，当领弹按照指定的制导律飞向目标时，虚拟点轨迹为一条直线，当基于控制器对从弹进行控制，使其逼近和跟踪此虚拟点轨迹时，要求从弹具有较大的过载和控制能量。为了降低对从弹可用过载和控制能量的要求，对虚拟点轨迹进行改进设计，改进后的虚拟点轨迹为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_v=x_T-\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_y-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{zf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_z-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{zf}})}{N}\left]\right\}\\ y_v=y_T-\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\sin \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_y-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\right\}\\ z_v=z_T+\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_y-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\sin \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{zf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_z-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{zf}})}{N}\left]\right\}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中：r_f为从弹与目标之间的距离，ε_yf、ε_zf分别为从弹的实际攻击角，N为整数且其取值方法为：

$N=k\frac{t_{\mathrm{go}}}{h},0<k\&le;1---\left(8\right)$

其中：t_go为预估的领弹飞行时间，h为设定的时间步长；

其中：n为取遍[1,2,…,N]的整数，当领弹飞过一个时间步长时，n取1，当领弹飞过两个时间步长时，n取2，并依次类推，直至领弹飞过N个时间步长，n取N为止。

采用上述方法改进后的虚拟点轨迹先弯曲再平直，从而降低了对从弹需用过载及控制能量的要求。

步骤III、在地面坐标系中建立从弹的运动模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_m=V\cos \mathrm{\&theta;}\cos {\mathrm{\&psi;}}_V\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_m=V\sin \mathrm{\&theta;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_m=-V\cos \mathrm{\&theta;}\sin {\mathrm{\&psi;}}_V\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中：X_m＝[x_m,y_m,z_m]表示从弹的位置，V为从弹的速度，θ和ψ_V为从弹的弹道倾角和弹道偏角。

步骤IV、根据步骤I-III所建立的模型，在地面坐标系中建立从弹与虚拟点之间的相对运动模型；

从弹和虚拟点之间的相对位置为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_d=x_m-x_v\\ y_d=y_m-y_v\\ z_d=z_m-z_v\end{array}\right.---\left(4\right)$

对上式求导可得到从弹与虚拟点的相对速度差：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_v\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_v\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_v\end{array}\right.---\left(5\right)$

将其写为向量形式为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_l---\left(6\right)$

其中X_d＝[x_d y_d z_d]^T，T₄＝[-cosε_ycosε_z-sinε_ycosε_ysinεz]^T，

领弹与目标之间的距离的变化率。

步骤102、建立描述从弹运动的质心动力学方程、姿态运动学方程以及姿态动力学方程，结合以上推导的从弹与虚拟点的相对运动模型，得到对从弹攻击角度和攻击时间进行控制的非线性控制模型，基于反馈线性化理论对所述非线性控制模型进行精确线性化，获取线性控制模型。

以下对本步骤的具体过程进行说明。

（I）将描述虚拟点和从弹相对运动的方程和从弹的质心动力学方程结合起来，进行精确线性化。

从弹的质心动力学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}m\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=P\cos \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}-X-\mathrm{mg}\sin \mathrm{\&theta;}\\ \mathrm{mV}\frac{\mathrm{d\&theta;}}{\mathrm{dt}}=P(\sin \mathrm{\&alpha;}\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V+\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V)+Y\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V-Z\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V-\mathrm{mg}\cos \mathrm{\&theta;}\\ -\mathrm{mV}\cos \mathrm{\&theta;}\frac{{\mathrm{d\&psi;}}_V}{\mathrm{dt}}=P(\sin \mathrm{\&alpha;}\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V-\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V)+Y\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V+Z\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中：m为从弹的质量，a为从弹的攻角，β为从弹的侧滑角，γ_V为从弹速度的倾斜角，g为重力加速度，P为从弹发动机的推力，X、Y、Z分别是从弹的阻力、升力和侧向力，其表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}X=c_x\mathrm{qS}\\ Y=c_y\mathrm{qS}\\ Z=c_z\mathrm{qS}\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中：c_x、c_y、c_z分别是从弹的阻力系数、升力系数和侧向力系数，其可以根据风洞试验获取；

是从弹的动压，ρ是大气密度，S是从弹的特征面积。

将推力P作为控制量，然后将式（9）变形为：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_V\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-g\sin \mathrm{\&theta;}-\frac{1}{m}X\\ -\frac{g}{V}\cos \mathrm{\&theta;}+\frac{\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}}Y-\frac{\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}}Z\\ -\frac{\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}\cos \mathrm{\&theta;}}Y-\frac{\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}\cos \mathrm{\&theta;}}z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{\cos \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}}{m}\\ \frac{\sin \mathrm{\&alpha;}\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V+\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}}\\ -\frac{\sin \mathrm{\&alpha;}\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V-\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}\cos \mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]P---\left(11\right)$

为了表述方便，令

$\stackrel{\&CenterDot;}{B}=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_V\end{array}\right]B_1=\left[\begin{array}{c}-g\sin \mathrm{\&theta;}-\frac{1}{m}X\\ -\frac{g}{V}\cos \mathrm{\&theta;}+\frac{\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}}Y-\frac{\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}}Z\\ -\frac{\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}\cos \mathrm{\&theta;}}Y-\frac{\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}\cos \mathrm{\&theta;}}Z\end{array}\right]B_2=\left[\begin{array}{c}\frac{\cos \mathrm{\&alpha;}\cos \mathrm{\&beta;}}{m}\\ \frac{\sin \mathrm{\&alpha;}\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V+\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}}\\ -\frac{\sin \mathrm{\&alpha;}\sin {\mathrm{\&gamma;}}_V-\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}\cos {\mathrm{\&gamma;}}_V}{\mathrm{mV}\cos \mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]$

则，式（11）结合第（6）式，得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_l\\ \stackrel{\&CenterDot;}{B}=B_1+B_{2}P\end{array}\right.---\left(12\right)$

接下来基于反馈线性化理论对式（12）进行精确线性化。设输出为控制模型中从弹与虚拟点的相对距离，即y＝X_d＝[x_d y_d z_d]^T，对控制模型中质心动力学方程进行微分同胚坐标变换，有：

$Z_1=L_{f_d}^{0}y=y={\left[\begin{array}{ccc}{x}_d& y_d& z_d\end{array}\right]}^T---\left(13\right)$

$Z_2=L_{f_d}^{1}y=\frac{\&PartialD;y}{\&PartialD;x}{f}_d=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_l\\ B_1\end{array}\right]={\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_l={\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_d---\left(14\right)$

其中：

表示求0阶李导数，

表示求1阶李导数，x＝[x_d,y_d,z_d,V,θ,ψ_V]^T，

对式（13）和式（14）求导得

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_1=Z_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_2=T_6{B}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}}_l+T_6{B}_{2}P\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中：

$T_6=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&theta;}\cos {\mathrm{\&psi;}}_V& -V\sin \mathrm{\&theta;}\cos {\mathrm{\&psi;}}_V& -V\cos \mathrm{\&theta;}\sin {\mathrm{\&psi;}}_V\\ \sin \mathrm{\&theta;}& V\cos \mathrm{\&theta;}& 0\\ -\cos \mathrm{\&theta;}\sin {\mathrm{\&psi;}}_V& V\sin \mathrm{\&theta;}\sin {\mathrm{\&psi;}}_V& -V\cos \mathrm{\&theta;}\cos {\mathrm{\&psi;}}_V\end{array}\right]---\left(16\right)$

由式（15）可看出，对Z1求二阶导数可显现控制量P。在式（15）中，α、β、γ_V为根据导弹的姿态角和几何关系方程求出，在此将其看作由式（15）表示的系统的输入。由式（15）可知，输出Z₁到P、α、β、γ_V的向量关系度为{2,2,2,2}，则系统关系度r＝2+2+2+2。而质心动力学系统的状态变量

有六个，即系统状态维数n＝6。系统维数不等于系统关系度即n≠r，为了实现精确线性化，可将P进行二阶动态扩展，从而实现关系度。令：

$\left\{\begin{array}{c}P={\mathrm{\&xi;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_1={\mathrm{\&xi;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_2=v_1\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中，ξ₁、ξ₂是动态扩展后引入的辅助状态，v₁是引入的新的控制量。将式（15）与式（17）合并可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_1=Z_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_2=T_6{B}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}}_l+T_6{B}_2{\mathrm{\&xi;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_1={\mathrm{\&xi;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_2=v_1\end{array}\right.---\left(18\right)$

（II）将表征从弹姿态运动学方程和姿态动力学方程进行反馈线性化。

导弹的姿态运动学方程为：

其中：ψ、γ分别为从弹的俯仰角、偏航角和倾斜角，ω_x、ω_y、ω_z为建立在从弹上的弹体坐标系相对地面坐标系的转动角速度在弹体坐标系各轴上的分量。

将式（19）变形为：

导弹的姿态动力学方程为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_x=\frac{1}{J_x}[M_x-(J_z-J_y){\mathrm{\&omega;}}_z{\mathrm{\&omega;}}_y]\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_y=\frac{1}{J_y}[M_y-(J_x-J_z){\mathrm{\&omega;}}_x{\mathrm{\&omega;}}_z]\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_z=\frac{1}{J_z}[M_z-(J_y-J_x){\mathrm{\&omega;}}_y{\mathrm{\&omega;}}_x]\end{array}\right.---\left(22\right)$

其中：J_x、J_y、J_z分别为从弹对于弹体坐标系（即惯性主轴系）各轴的转动惯量。M_x、M_y、M_z为作用在从弹上的所有外力对质心的力矩在弹体坐标系各轴上的分量。

气动力矩的计算公式为

$\left\{\begin{array}{c}{M}_x=m_x\mathrm{qSL}\\ M_y=m_y\mathrm{qSL}\\ M_z=m_z\mathrm{qSL}\end{array}\right.---\left(23\right)$

式（23）中，L为特征长度，m_x、m_y、m_z分别是滚转力矩系数、偏航力矩系数和俯仰力矩系数，其可以根据风洞试验获取。

且有

$\left\{\begin{array}{c}{m}_x=m_{x0}+m_x^{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+m_x^{{\mathrm{\&delta;}}_x}{\mathrm{\&delta;}}_x+m_x^{{\mathrm{\&omega;}}_x}{\mathrm{\&omega;}}_x\\ m_y=m_y^{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+m_y^{{\mathrm{\&delta;}}_y}{\mathrm{\&delta;}}_y+m_y^{{\mathrm{\&omega;}}_y}{\mathrm{\&omega;}}_y\\ m_z=m_{z0}+m_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+m_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}{\mathrm{\&delta;}}_z+m_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z\end{array}\right.---\left(24\right)$

式（24）中，δ_x、δ_y和δ_z分别为副翼、方向舵和升降舵的偏转角，也是整个控制模型的三个输入。m_x0、m_z0为由于从弹外形不对称引起的滚动力矩系数和俯仰力矩系数。

为气动力矩系数导数，例如

是m_x相对于β的导数。

将式（23）和（24）带入式（22），并变换形式为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_z\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{(J_y-J_x){\mathrm{\&omega;}}_y{\mathrm{\&omega;}}_x}{J_z}+\frac{m_{z0}+m_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+m_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z}{J_z}\mathrm{qSL}\\ -\frac{(J_x-J_z){\mathrm{\&omega;}}_x{\mathrm{\&omega;}}_z}{J_y}+\frac{m_{y0}+m_y^{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+m_y^{{\mathrm{\&omega;}}_y}{\mathrm{\&omega;}}_y}{J_y}\mathrm{qSL}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{m_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}\mathrm{qSL}}{J_z}& 0\\ 0& \frac{m_y^{{\mathrm{\&delta;}}_y}\mathrm{qSL}}{J_y}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_z\\ {\mathrm{\&delta;}}_y\end{array}\right]---\left(25\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_x=-\frac{(J_z-J_y){\mathrm{\&omega;}}_z{\mathrm{\&omega;}}_y}{J_x}+\frac{1}{J_x}\left[(m_{x0}+m_x^{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+m_x^{{\mathrm{\&omega;}}_x}{\mathrm{\&omega;}}_x)\mathrm{qSL}\right]+\frac{m_x^{{\mathrm{\&delta;}}_x}\mathrm{qSL}}{J_x}{\mathrm{\&delta;}}_x---\left(26\right)$

对式（20）和（21）求导并将式（25）、（26）带进去，得到姿态角加速度方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}=F_4^{\&prime;\&prime;}+G_4^{\&prime;\&prime;}{u}_2---\left(27\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}=F_6+G_3{u}_3+G_5{u}_2---\left(28\right)$

式（27）和（28）中，

$G_3=\frac{m_x^{{\mathrm{\&delta;}}_x}\mathrm{qSL}}{J_x}$

接下来对导弹姿态运动学方程和导弹姿态动力学方程进行线性化，为了实现俯仰和偏航运动的解耦控制，将滚转通道的运动独立出来进行分析。表征导弹俯仰和偏航通道运动的方程为式（20）和式（25）即：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_z\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{(J_y-J_x){\mathrm{\&omega;}}_y{\mathrm{\&omega;}}_x}{J_z}+\frac{m_{z0}+m_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+m_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z}{J_z}\mathrm{qSL}\\ -\frac{(J_x-J_z){\mathrm{\&omega;}}_x{\mathrm{\&omega;}}_z}{J_y}+\frac{m_{y0}+m_y^{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+m_y^{{\mathrm{\&omega;}}_y}{\mathrm{\&omega;}}_y}{J_y}\mathrm{qSL}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{m_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}\mathrm{qSL}}{J_z}& 0\\ 0& \frac{m_y^{{\mathrm{\&delta;}}_y}\mathrm{qSL}}{J_y}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_z\\ {\mathrm{\&delta;}}_y\end{array}\right]$

为了表述方便，令

$F_4^{\&prime;}=\left[\begin{array}{c}-\frac{(J_y-J_x){\mathrm{\&omega;}}_y{\mathrm{\&omega;}}_x}{J_z}+\frac{m_{z0}+m_z^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}+m_z^{{\mathrm{\&omega;}}_z}{\mathrm{\&omega;}}_z}{J_z}\mathrm{qSL}\\ -\frac{(J_x-J_z){\mathrm{\&omega;}}_x{\mathrm{\&omega;}}_z}{J_y}+\frac{m_{y0}+m_y^{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+m_y^{{\mathrm{\&omega;}}_y}{\mathrm{\&omega;}}_y}{J_y}\mathrm{qSL}\end{array}\right],G_4^{\&prime;}=\left[\begin{array}{cc}\frac{m_z^{{\mathrm{\&delta;}}_z}\mathrm{qSL}}{J_z}& 0\\ 0& \frac{m_y^{{\mathrm{\&delta;}}_y}\mathrm{qSL}}{J_y}\end{array}\right],$ 则其简化表达式为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}=F_3---\left(29\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}=F_4^{\&prime;}+G_4^{\&prime;}{u}_2---\left(30\right)$

接下来对由式（29）和（30）表征的导弹姿态运动非线性方程组进行线性化，其输出为

对系统进行微分同胚坐标变换，并引入新的状态变量，结果为：

其中：为了简便将

简写为

f_p＝[F₃ F₄′]^T，对式（32）进行求导得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_3^{\&prime;}=Z_4^{\&prime;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_4^{\&prime;}=F_4^{\&prime;\&prime;}+G_4^{\&prime;\&prime;}{u}_2\end{array}\right.---\left(33\right)$

表征导弹滚转通道的运动动力学方程组为式（21）和（26），即

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_x=-\frac{(J_z-J_y){\mathrm{\&omega;}}_z{\mathrm{\&omega;}}_y}{J_x}+\frac{1}{J_x}\left[(m_{x0}+m_x^{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+m_x^{{\mathrm{\&omega;}}_x}{\mathrm{\&omega;}}_x)\mathrm{qSL}\right]+\frac{m_x^{{\mathrm{\&delta;}}_x}\mathrm{qSL}}{J_x}{\mathrm{\&delta;}}_x,$

为了表述方便，令

$F_6^{\&prime;}=-\frac{(J_z-J_y){\mathrm{\&omega;}}_z{\mathrm{\&omega;}}_y}{J_x}+\frac{1}{J_x}\left[(m_{x0}+m_x^{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+m_x^{{\mathrm{\&omega;}}_x}{\mathrm{\&omega;}}_x)\mathrm{qSL}\right],G_3^{\&prime;}=\frac{m_x^{{\mathrm{\&delta;}}_x}\mathrm{qSL}}{J_x},$ 则简化后的表达式为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}=F_5---\left(34\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_x=F_6^{\&prime;}+G_3^{\&prime;}u---\left(35\right)$

设滚转通道的输出为γ，类似于俯仰通道和偏航通道，对系统进行微分同胚坐标变换并引入新的状态，变换结果为：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_5=L_{f_{\mathrm{\&gamma;}}}^0\mathrm{\&gamma;}=\mathrm{\&gamma;}\\ Z_6=L_{f_{\mathrm{\&gamma;}}}\mathrm{\&gamma;}=F_5\end{array}\right.---\left(36\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_5=Z_6\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_6=F_6+G_3{u}_3+G_5{u}_2\end{array}\right.---\left(37\right)$

其中：f_γ＝[F₅ F₆′]^T。

为了实现系统的关系度，将俯仰和偏航方向的姿态运动与进行了二阶动态扩展的辅助动态进行合并，结合式（33）和（18），合并后的新的状态为：

$Z_3=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_1\\ Z_3^{\&prime;}\end{array}\right]---\left(38\right)$

$Z_4=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_2\\ Z_4^{\&prime;}\end{array}\right]---\left(39\right)$

此时Z₃和Z₄分别包含3个状态变量，对其求导可得

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_3=Z_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_4=F_4+G_4{w}_1\end{array}\right.---\left(40\right)$

其中： $F_4=\left[\begin{array}{c}0\\ F_4^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right],G_4=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& G_4^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right],w_1=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ {\mathrm{\&delta;}}_z\\ {\mathrm{\&delta;}}_y\end{array}\right].$

（III）将分步线性化后的从弹与虚拟点相对运动模型、从弹质心动力学方程、从弹姿态运动学方程、从弹姿态动力学方程进行合并，得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_1=Z_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_2=T_6{B}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}}_l+T_6{B}_2{\mathrm{\&xi;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_3=Z_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_4=F_4+G_4{w}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_5=Z_6\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_6=F_6+G_3{\mathrm{\&delta;}}_x+G_5{u}_2\end{array}\right.---\left(41\right)$

此时，在式（41）表示的线性方程组中的新状态为：

从弹的输入为u＝[P,δ_z,δ_y,δ_x]，输出为y＝[x_d y_d z_d γ]^T。引入等效输入：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_1=F_4+G_4{w}_1\\ o_2=F_6+G_3{\mathrm{\&delta;}}_x+G_5{u}_2\end{array}\right.---\left(42\right)$

且令：

$f_z={\left[\begin{array}{c}{Z}_2\\ T_6{B}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}}_l+T_6{B}_2{\mathrm{\&xi;}}_1\\ Z_4\\ \stackrel{\&RightArrow;}{0}\\ Z_6\\ 0\end{array}\right]}_{14\&times;1}{g}_1={\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&RightArrow;}{0}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{0}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{0}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{I}\\ 0\\ 0\end{array}\right]}_{1\&times;4}{g}_2={\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&RightArrow;}{0}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{0}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{0}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{0}\\ 0\\ 1\end{array}\right]}_{1\&times;4}\stackrel{\&RightArrow;}{0}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\stackrel{\&RightArrow;}{I}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

则式（41）化为更直观的形式：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{Z}=f_z+g_1{o}_1+g_2{o}_2\\ y_o={\left[\begin{array}{cccc}{x}_d& y_d& z_d& \mathrm{\&gamma;}\end{array}\right]}^T\end{array}\right.---\left(43\right)$

此时可知，系统的输出为y_o＝[Z₁ Z₅]^T＝[x_d y_d z_dγ]^T，系统线性化前的控制输入为u＝[P δ_x δ_y δ_z]^T，系统线性化后的等效输入为o＝[o₁ o₂]^T，系统的状态为Z＝[Z₁ Z₂ Z₃ Z₄ Z₅ Z₆]^T，共14个状态变量即系统的维数n＝14。对系统输出Z₁求四阶导数，可显现控制量v₁、δ_y、δ_z。对系统输出Z₅求二阶导数，可显现控制量δ_x。所以输出Z₁到v₁、δ_y、δ_z的向量关系度为{4,4,4}，输出Z₅到δ_x的关系度为2。从而系统的关系度为r＝4+4+4+2＝14，则有系统的维数等于系统的关系度即n＝r＝14，因此，考虑从弹非线性动力学特性的控制模型可进行精确线性化。

（IV）对式（43）表示的综合考虑了从弹与虚拟点相对运动模型、从弹的质心动力学方程、从弹姿态运动学方程和从弹姿态动力学方程的控制模型进行整体精确线性化。针对式（43）表示的系统，其状态为f_z，由于滚转通道独立于俯仰和偏航通道求解，因此，将输出分解为

$\begin{array}{c}{y}_o=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]\\ y_1=\left[\begin{array}{ccc}{x}_d& y_d& z_d\end{array}\right]\\ y_2=\mathrm{\&gamma;}\end{array}---\left(44\right)$

然后，针对两部分输出分别进行微分同胚坐标变换，可得到新的状态变量为L＝[L₁,L₂,L₃,L₄,L₅,L₆]^T，其中： $L_1=L_{f_z}^0{y}_1,L_2=L_{f_z}{y}_1=Z_2,L_3=L_{f_z}^2{y}_1,L_4=L_{f_z}^3{y}_1,L_5=L_{f_z}^0{y}_2,$

对新的状态变量L求导得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{L}}_1=L_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{L}}_2=L_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{L}}_3=L_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{L}}_4=L_{f_z}^4{y}_1+L_{g_1}{L}_{f_z}^3{y}_1{o}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{L}}_5=L_6\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{L}}_6=L_{f_z}^2\mathrm{\&gamma;}+L_{g_2}{L}_{f_z}\mathrm{\&gamma;}{o}_2\end{array}\right.---\left(45\right)$

令式（45）所示系统的等效输入为q＝[q₁q₂]^T，其中

$q_1=L_{f_z}^4{y}_1+L_{g_1}{L}_{f_z}^3{y}_1{o}_1---\left(46\right)$

$q_2=L_{f_z}^2\mathrm{\&gamma;}+L_{g_2}{L}_{f_z}\mathrm{\&gamma;}{o}_2---\left(47\right)$

则线性化后的方程组即式（45）可写成状态方程为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{L}=A_{c}L+B_{c}q\\ Y=C_{c}L\end{array}\right.---\left(48\right)$

其中，系统的状态矩阵为：

$A_c={\left[\begin{array}{cccccccccccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}_{14\&times;1,}$

系统的控制输入矩阵为：

$B_c={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}_{14\&times;4,}$

系统的输出矩阵为：

$C_c={\left[\begin{array}{cccccccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]}_{4\&times;14}$

步骤103、将线性化后的控制模型看作一个终端时间无限的状态调节器，采用线性二次型性能指标，基于最优控制理论设计从弹控制器，使控制器输出为零，利用该设计的从弹控制器实现对虚拟点的跟踪和逼近，从而实现对从弹攻击角度和攻击时间的控制。

将线性化后的控制模型看作一个终端时间无限的状态调节器，此状态调节器问题的线性二次型性能指标为

$J\left(q\right)=\frac{1}{2}{L}^T\left(t_f\right)\mathrm{PL}\left(t_f\right)+\frac{1}{2}\underset{t_0}{\overset{t_f}{\&Integral;}}[L^T\left(t\right)Q\left(t\right)L\left(t\right)+q^T\left(t\right)\mathrm{Rq}\left(T\right)]\mathrm{dt}---\left(49\right)$

由于控制终点

所以最优控制性能指标为：

$J\left(q\right)=\frac{1}{2}\underset{t_0}{\overset{t_f}{\&Integral;}}[L^T\left(t\right)Q\left(t\right)L\left(t\right)+q^T\left(t\right)\mathrm{Rq}\left(t\right)]\mathrm{dt}---\left(50\right)$

在求解最优控制时，矩阵Q取常对角半正定阵，R取常对角正定阵。针对此状态调节器问题，基于最优控制理论，求得使式（50）所示的二次型性能指标的最小的解为：

$q=-R^{-1}{B}_c^T\mathrm{KL}---\left(51\right)$

其中K为最优控制黎卡提方程的解。求得等效控制输入q＝[q₁ q₂]^T后，再带入式（46）和（47），求出o₁、o₂，再根据式（42）可求得[v₁ δ_z δ_y δ_x]^T，对v₁进行两次积分，即得到推力P，至此，得到了对从弹的控制指令，从而实现对从弹攻击角度和攻击时间的控制。

以下对基于虚拟点轨迹设计的控制方法的验证。

以三枚导弹（包括一枚领弹和两枚从弹）协同攻击一个高价值指挥所为例，考虑到三枚导弹协同作战时，既能保证对目标的命中精度，又能从不同方向同时到达目标，设领弹采用传统的比例导引律，从弹1的理想攻击角度ε_y1＝-20°、ε_z1＝40°，从弹2的理想攻击角度为ε_y2＝-20°、ε_z2＝-85°。考虑到导弹的自身的发动机能力限制、操纵机构限制以及过载限制，设控制量满足约束：P≤10000N、|δ_z|≤15°、|δ_y|≤15°，切向过载和法向过载均不超过10。假设各枚导弹发射后先爬升，然后转入平飞，领弹在距目标10km时发现了目标，三枚导弹一齐转入末制导对目标进行协同攻击。由于领弹采用比例导引律攻击目标，从弹采用本发明涉及的控制方法进行控制，因此，主要关注从弹的运动参数变化情况。末制导阶段，领弹和从弹均在48.7秒时命中目标（弹目距离均小于1.2米），领弹和从弹能够保持倾斜稳定，领弹和从弹的弹道以及从弹的各特征参数变化如图2-7所示。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法，其特征在于，具体步骤为：

步骤一、在协同作战的多枚导弹中，任意选取一枚作为领弹，并根据武器系统的总体作战要求，为领弹选取任一制导律；同时以目标为球心，以领弹与目标之间的距离为半径构造虚拟球体；

步骤二、将剩余的导弹定义为从弹，根据导弹协同作战的需求，参考领弹对目标的攻击情况，为每一从弹设定理想攻击角度；同时在虚拟球体表面为每一从弹选定虚拟点，每一虚拟点与目标之间连线的方向为其对应从弹的理想攻击角度，其中虚拟点的位置随着领弹与目标的逼近不断更新；

步骤三、通过控制从弹运动轨迹跟踪并逼近虚拟点轨迹，从而实现对多枚导弹攻击角度和攻击时间的控制。

2.根据权利要求1所述控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法，其特征在于，所述步骤三的具体过程为：

步骤101、在地面坐标系中，建立目标的运动模型、从弹的运动模型及虚拟点位置模型，根据所建立的模型在地面坐标系中建立从弹与虚拟点之间的相对运动模型；该步骤的具体过程为：

步骤I、在地面坐标系中建立目标的运动模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_T=V_T\cos {\mathrm{\&theta;}}_T\cos {\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{VT}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_T=V_T\sin {\mathrm{\&theta;}}_T\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_T={-V}_T\cos {\mathrm{\&theta;}}_T\sin {\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{VT}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中X_T＝[x_T,y_T,z_T]表示目标的位置，V_T为目标的速度，θ_T和ψ_VT为目标速度矢量与地面坐标系坐标轴的夹角；

步骤II、在地面坐标系中建立表征虚拟点位置模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_v=x_T-r_l\cos {\mathrm{\&epsiv;}}_y\cos {\mathrm{\&epsiv;}}_z\\ y_v=y_T-r_l\sin {\mathrm{\&epsiv;}}_y\\ z_v=z_T+r_l\cos {\mathrm{\&epsiv;}}_y\sin {\mathrm{\&epsiv;}}_z\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：X_v＝[x_v,y_v,z_v]为虚拟点的坐标，r_l为领弹与目标之间的距离，ε_y、ε_z分别为从弹在俯仰方向和偏航方向设定的理想攻击角；

步骤III、在地面坐标系中建立从弹的运动模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_m=V\cos \mathrm{\&theta;}\cos {\mathrm{\&psi;}}_V\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_m=V\sin \mathrm{\&theta;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_m=-V\cos \mathrm{\&theta;}\sin {\mathrm{\&psi;}}_V\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中：X_m＝[x_m,y_m,z_m]表示从弹的位置，V为从弹的速度，θ和ψ_V为从弹的弹道倾角和弹道偏角；

步骤IV、根据步骤I-III所建立的模型，在地面坐标系中建立从弹与虚拟点之间的相对运动模型；

从弹和虚拟点之间的相对位置为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_d=x_m-x_v\\ y_d=y_m-y_v\\ z_d=z_m-z_v\end{array}\right.---\left(4\right)$

对式（4）求导可得到从弹与虚拟点的相对速度差：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_v\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_v\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_v\end{array}\right.---\left(5\right)$

将式（5）写为向量形式为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_l---\left(6\right)$

其中：X_d＝[x_d y_d z_d]^T，T₄＝[-cosε_ycosε_z-sinε_ycosε_ysinε_z]^T，

领弹与目标之间的距离的变化率；

步骤102、建立描述从弹运动的质心动力学方程、姿态运动学方程以及姿态动力学方程，结合以上推导的从弹与虚拟点的相对运动模型，得到对从弹攻击角度和攻击时间进行控制的非线性控制模型，基于反馈线性化理论对所述非线性控制模型进行精确线性化，获取线性控制模型；

步骤103、将线性化后的控制模型看作一个终端时间无限的状态调节器，采用线性二次型性能指标，基于最优控制理论设计从弹控制器，使控制器输出为零，利用该设计的从弹控制器实现对虚拟点的跟踪和逼近，从而实现对从弹攻击角度和攻击时间的控制。

3.根据权利要求1所述控制多枚导弹攻击角度和攻击时间的方法，其特征在于：所述步骤三的具体过程为：

步骤201、在地面坐标系中，建立目标的运动模型、从弹的运动模型及虚拟点位置模型，根据所建立的模型在地面坐标系中建立从弹与虚拟点之间的相对运动模型；该步骤的具体过程为：

步骤i、在地面坐标系中建立目标的运动模型：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_T=V_T\cos {\mathrm{\&theta;}}_T\cos {\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{VT}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_T=V_T\sin {\mathrm{\&theta;}}_T\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_T={-V}_T\cos {\mathrm{\&theta;}}_T\sin {\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{VT}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中X_T＝[x_T,y_T,z_T]表示目标的位置，V_T为目标的速度，θ_T和ψ_VT为目标速度矢量与地面坐标系坐标轴的夹角；

步骤ii、在地面坐标系中建立虚拟点位置模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_v=x_T-\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_y-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{zf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_z-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{zf}})}{N}\left]\right\}\\ y_v=y_T-\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\sin \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_y-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\right\}\\ z_v=z_T+\left\{\right[r_f+\frac{n(r_l-r_f)}{N}\left]\cos \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_y-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{yf}})}{N}\left]\sin \right[{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{zf}}+\frac{n({\mathrm{\&epsiv;}}_z-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{zf}})}{N}\left]\right\}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中：X_v＝[x_v,y_v,z_v]为虚拟点的坐标，r_f为从弹与目标之间的距离，ε_y、ε_z分别为从弹在俯仰方向和偏航方向设定的理想攻击角，ε_yf、ε_zf分别为从弹在俯仰方向和偏航方向的实际视线角，N为整数且其取值方法为：

$N=k\frac{t_{\mathrm{go}}}{h},0<k\&le;1---\left(8\right)$

其中：t_go为预估的领弹飞行时间，h为设定的时间步长；n为取遍[1,2,…，N]的整数，当领弹飞过一个时间步长时，n取1，当领弹飞过两个时间步长时，n取2，并依次类推，直至领弹飞过N个时间步长，n取N为止；

步骤iii、在地面坐标系中建立从弹的运动模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_m=V\cos \mathrm{\&theta;}\cos {\mathrm{\&psi;}}_V\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_m=V\sin \mathrm{\&theta;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_m=-V\cos \mathrm{\&theta;}\sin {\mathrm{\&psi;}}_V\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中：X_m＝[x_m,y_m,z_m]表示从弹的位置，V为从弹的速度，θ和ψ_V为从弹的弹道倾角和弹道偏角；

步骤iv、根据步骤i-iii所建立的模型，在地面坐标系中建立从弹与虚拟点之间的相对运动模型；

从弹和虚拟点之间的相对位置为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_d=x_m-x_v\\ y_d=y_m-y_v\\ z_d=z_m-z_v\end{array}\right.---\left(4\right)$

对式（4）求导可得到从弹与虚拟点的相对速度差：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_v\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_v\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_v\end{array}\right.---\left(5\right)$

将式（5）写为向量形式为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_d={\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_m-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_T-T_4{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_l---\left(6\right)$

其中：X_d＝[x_d y_d z_d]^T，T₄＝[-cosε_ycosε_z-sinε_ycosε_ysinε_z]^T，

领弹与目标之间的距离的变化率；

步骤202、建立描述从弹运动的质心动力学方程、姿态运动学方程以及姿态动力学方程，结合以上推导的从弹与虚拟点的相对运动模型，得到对从弹攻击角度和攻击时间进行控制的非线性控制模型，基于反馈线性化理论对所述非线性控制模型进行精确线性化，获取线性控制模型；

步骤203、将线性化后的控制模型看作一个终端时间无限的状态调节器，采用线性二次型性能指标，基于最优控制理论设计从弹控制器，使控制器输出为零，利用该设计的从弹控制器实现对虚拟点的跟踪和逼近，从而实现对从弹攻击角度和攻击时间的控制。

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