CN105759612B - 带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法 - Google Patents

Abstract

一种带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法，它包括以下三个步骤：一、三体微分对策模型建模；包括交战三方的动力学模型、交战三方线性化交战模型、三体微分对策模型；二、对原三体微分对策模型进行降维处理得到新三体微分对策模型；三、基于最优控制理论求解新三体微分对策模型，得到导弹的最优控制律；通过上述步骤即得到带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法；本发明具有十分简洁的表达式，且其各项的物理意义清晰明确；其突防脱靶量大，落点精度高，同时能够满足落角约束。

Description

带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法

技术领域

本发明提供了带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法，它涉及微分对策反拦截机动突防、落点精度控制和落角约束控制，属于航天技术、武器技术领域

背景技术

随着现代制导律以及反导系统的发展，导弹的生存环境恶化，机动突防是提高导弹生存概率的重要手段，因此很有必要进行深入研究。

现今，研究较多的导弹的机动突防方式主要有两类：程序式机动和最优机动(最优机动是假设拦截弹采用比例导引律(后面直接用PN表示比例导引律)条件下，以脱靶量最大为目的，基于最优控制理论得到的最优机动方式，后续涉及“最优机动”时，与此处相同，不再说明)。程序式机动工程实现性强且对落点精度的影响小，但是突防概率低；最优机动突防概率高，但是容易引起大的落点偏差。

微分对策理论研究的是双边或者多边同时达到性能指标最优的问题，本发明基于微分对策理论，研究导弹反拦截机动突防，同时对导弹的落点精度、落角约束进行控制，使得本发明在保持高突防概率的条件下，能够以特定的终端角度，精确地打击目标。

发明内容

本发明的目的是提供带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法，通俗地讲，是找到一种最优的控制律，使得导弹能够以最大的脱靶量突防防御弹，实现反拦截机动突防，同时能够以最小的落点偏差命中目标，并且严格满足终端落角约束，实现以特定的终端角度精确地打击目标。因而，既需要关注导弹和防御弹之间的交战、又需要关注导弹和目标之间的交战。本发明将导弹攻防对抗研究的主体由传统的两个参与方(即目标、导弹)扩展到三个参与方(即目标弹、导弹、防御弹)。首先根据交战三方的相对运动学关系建立了三体微分对策模型。该模型的指标函数包含了导弹突防防御弹的脱靶量、导弹打击目标的落点精度、导弹打击目标的终端碰撞角误差。如此，就可以将本发明所关心的突防脱靶量、落点精度以及落角约束放到一个模型中进行研究。其次，为了简化微分对策问题求解难度，引入新的状态量，对原三体微分对策模型进行降维处理，得到新的三体微分对策模型，大大简化了后续求解难度。最后，基于最优控制理论对新的三体微分对策模型进行求解，即可得到本发明的解析表达式。

本发明带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法，它包括以下三个步骤：

步骤一：三体微分对策模型建模；包括交战三方的动力学模型、交战三方线性化交战模型、三体微分对策模型；

1.交战三方动力学模型

研究的是导弹的末制导律，在末段，相对速度较大，交战时间很短，假设交战三方的加速度方向垂直于各自的速度方向，即加速度只改变速度的方向而不改变速度的大小，这一假设比较符合实际，在末制导律的设计中很常用。

动力学模型反映的是加速度和速度的关系，根据上述加速度方向垂直于速度方向假设，可以写出交战三方的动力学模型，具体为：

式中，a_M、a_T、a_D分别为导弹、目标和防御弹的实际加速度大小；V_M、V_T、V_D分别为导弹、目标和防御弹的速度大小；γ_M、γ_T、γ_D分别为导弹、目标和防御弹的弹道倾角；

分别为γ_M、γ_T、γ_D对时间的一阶导数；

2.交战三方线性化交战模型

交战参与方有导弹、目标及防御弹三个，涉及到两个初始碰撞三角形，分别是导弹-目标初始碰撞三角形、导弹-防御弹初始碰撞三角形。研究的是交战的末制导段，在该段，相对速度较大，交战时间很短；另一方面，认为中制导能够为末制导提供很高的制导精度，故可以假设交战参与方的弹道可以沿着对应的初始碰撞三角形进行线性化。线性化假设在末制导律的设计中非常普遍，也具有很高的精度。

(1)根据序号1中加速度垂直于速度方向这一假设，对于导弹和目标这一对交战方，可以写出，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度，具体如下：

假设导弹和目标的弹道可以沿着导弹-目标初始碰撞三角形进行线性化，即二者的弹道与初始碰撞三角形对应边的偏差量很小，转化成数学语言就是有如下表达式成立：

γ_T≈γ_T0、γ_M≈γ_M0、λ_MT≈λ_MT0

从而，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度可以简化为如下形式：

上述三个式子中，字母M、T分别表示导弹和目标；a_M、a_T分别为导弹和目标的实际加速度大小；γ_M、γ_T分别为导弹和目标的弹道倾角，γ_M0、γ_T0是对应的初值；λ_MT是导弹-目标交战主体对应的目标视线角，λ_MT0是对应的初值；

是导弹和目标在垂直于二者初始视线方向上的相对加速度，积分两次即可得到y_MT，对于线性化交战模型，y_MT在拦截时刻的值即为导弹拦截目标的脱靶量；

(2)根据序号1中加速度垂直于速度方向这一假设，对于导弹和防御弹这一对交战方，可以写出，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度，具体如下：

假设导弹和防御弹的弹道可以沿着导弹-防御弹初始碰撞三角形进行线性化，即二者的弹道与初始碰撞三角形对应边的偏差量很小，转化成数学语言就是有如下表达式成立：

γ_D≈γ_D0、γ_M≈γ_M0、λ_MD≈λ_MD0

从而，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度可以简化为如下形式：

上述三个式子中，字母M、D分别表示导弹和防御弹；a_M、a_D分别为导弹和防御弹的实际加速度大小；γ_M、γ_D分别为导弹和防御弹的弹道倾角，γ_M0、γ_D0是对应的初值；λ_MD是导弹-防御弹交战主体对应的目标视线角，λ_MD0是对应的初值；

是导弹和防御弹在垂直于二者初始视线方向上的相对加速度，积分两次即可得到y_MD，对于线性化交战模型，y_MD在拦截时刻的值即为防御弹拦截导弹的脱靶量；

为使微分方程形式简洁，便于书写，将上列(1)和(2)中相对加速度表达式

写成如下形式：

式中，θ_T0、θ_M0、θ_D0、θ₀的表达式如下：

θ_T0＝γ_T0-λ_MT0

θ_M0＝γ_M0+λ_MT0

θ_D0＝γ_D0-λ_MD0

θ₀＝λ_MT0-λ_MD0

式中，γ_T0、γ_M0、γ_D0、λ_MT0、λ_MD0的定义同序号2；

3.三体微分对策模型

(1)三体微分对策模型的系统方程

将上面序号1处的动力学模型和序号2处的线性化化交战相对运动学模型写成一个微分方程组，如下：

本发明研究的是导弹反拦截机动突防，同时对导弹的落点精度、落角约束进行控制，使得在保持导弹高突防概率的条件下，能够以特定的终端角度，精确地打击目标。在序号2线性化交战模型处已经交代过，对于线性化交战模型，导弹和防御弹之间的脱靶量就是y_MD在拦截时刻的值，导弹和目标之间的脱靶量就是y_MT在拦截时刻的值，导弹和目标的终端碰撞角度就是γ_M+γ_T在拦截时刻的值。因此，研究的状态变量须包含：y_MD、γ_M+γ_T。再结合上述微分方程组，三体微分对策模型的状态变量归纳如下：

式中，X表示状态变量矢量，它是个5维的列向量，上标T表示向量转置，x_i,i＝1…7表示第i个状态变量；

表示y_MT对时间的一阶导数，反映的是导弹和目标在垂直初始目标视线方向上的相对速度；

表示y_MD对时间的一阶导数，反映的是导弹和防御弹在垂直初始目标视线方向上的相对速度；γ_C表示期望的导弹打击目标的弹道倾角。

假设导弹和防御弹的交战完成时刻要早于导弹和目标交战完成时刻，则防御弹和导弹交战完成后，防御弹消失，剩下导弹和目标，交战的主体由原来的三个变成了两个，为了保持三体微分对策模型的一致性，引入阶跃函数δ，阶跃函数的定义如下：

式中，t是当前时刻，t_f2是防御弹和导弹交战的完成时刻。

分别将上述5个状态变量对时间求一阶导数，并结合上述微分方程组，可以得到如下由5个微分方程组成的微分方程组：

将上述微分方程组写成状态空间形式，具体如下：

式中，上标T表示向量转置；A、B和C均为常系数矩阵，表达式如下：

上述状态空间表达式即为三体微分对策模型的系统方程。式中，上标T表示矩阵或者向量的转置；

是目标的初始速度在沿着导弹和目标之间初始视线方向上的分量；

是导弹的初始速度在沿着导弹目标之间初始视线方向上的分量；θ₀的定义同上面的序号2；u_M、u_T、u_D是分别是导弹、目标和防御弹的控制量；u_M、u_T、u_D、

表达式为：

u_T＝a_T cosθ_T0

u_M＝a_M cosθ_M0

u_D＝a_D cosθ_D0

u_M是导弹的控制量，本发明的目的就是找到导弹的最优的控制律

使得导弹能够以较大的脱靶量突防防御弹(保证自身的生存概率)，同时以期望的碰撞角度精确地命中目标(保证落点精度和落角约束)，在此之前，需要给出指标函数。

(2)三体微分对策模型的指标函数

序号(1)给出了三体微分对策模型的系统方程，对于一个完整微分对策模型，还需要补充指标函数。

导弹一方面要以较大的脱靶量突防防御弹，保证自身的生存概率，另一方面要以较小的落点偏差命中目标，保证命中精度，同时期望以特定的终端角度命中目标。对于导弹来说，期望突防防御弹的脱靶量最大、攻击目标的落点偏差最小以及终端碰撞角度与期望碰撞角度的偏差最小，同时自身消耗的能量最小。对于防御弹和目标这一对组合来说，期望防御弹拦截导弹的脱靶量最小、目标规避导弹攻击的落点偏差最大以及终端碰撞角度与期望终端碰撞角度的偏差最大，同时消耗的能量最小。

在序号2线性化交战模型处已经交代过，对于线性化交战模型，导弹和目标之间的脱靶量(或者说导弹攻击目标的落点偏差)可以用y_MT在对应拦截时刻的值表示，防御弹和导弹之间的脱靶量也可以用y_MD在对应拦截时刻的值表示，各自的能量消耗可以通过控制量平方对时间的积分来表示，因此，三体微分对策模型的指标函数可以用下式表示：

对于导弹来说，期望找到最优控制律使得指标函数J最大，即maxJ，对于目标和防御弹这对组合来说，期望找到最优控制律使得指标函数J最小，即minJ，这是一个典型的双边最优控制问题，后续需要应用最优控制理论进行求解。

上式中，J是三体微分对策模型的指标函数；t_f1、t_f2分别导弹和目标之间、导弹和防御弹之间的拦截时刻；y_MT(t_f1)是在拦截时刻t_f1，导弹和目标在垂直于二者初始视线方向上的偏差量，即导弹和目标之间的落点偏差；y_MD(t_f2)是在拦截时刻t_f2，导弹和防御弹在垂直于二者初始视线方向上的偏差量，即导弹和防御弹之间的脱靶量；δ_γ(t_f1)是在拦截时刻t_f1，导弹和目标的实际碰撞角与期望碰撞角之差；a_MT、a_MD、a_γ分别是与y_MT(t_f1)、y_MD(t_f2)和δ_γ(t_f1)相关的权重系数，均为非负数；u_M、u_T、u_D分别为导弹、目标及防御弹的控制量，定义同步骤一的序号1；β_T、β_D分别是与u_T、u_D积分相关的权重系数，均为非负数；t是当前时刻，右侧积分项表示对t的积分；t_f1、t_f2的表达式如下所示：

t_f1＝R_MT0/(V_Mcosθ_M0+V_Tcosθ_T0)

t_f2＝R_MD0/(V_Mcosθ_M0+V_Dcosθ_D0)

式中，V_M、V_T、V_D分别为导弹、目标及防御弹的速度大小；R_MT0、R_MD0分别为导弹和目标、导弹和防御弹之间的初始距离；θ_M0、θ_T0、θ_D0的定义同序号2；

如此，就建立了三体微分对策模型。本步骤中，序号1和2提供了三体微分对策模型的原始微分方程组，序号3的(1)对原始微分方程组进行处理，得到三体微分对策模型的系统方程，结合(2)的指标函数，组成了三体微分对策模型。

步骤二：对原三体微分对策模型进行降维处理得到新三体微分对策模型；包括广义零控脱靶量矢量的定义、新三体微分对策模型的系统方程、新三体微分对策模型指标函数；

1.广义零控脱靶量矢量的定义

原三体微分对策模型的系统方程包含五个微分方程，是五维的，后续求解需要进行多次积分，处理起来较为复杂。为了简化后续求解难度，定义一个新的状态变量矢量，即广义零控脱靶量矢量AZEM。该AZEM的定义式如下：

式中，AZEM是三维列向量，包含了z₁、z₂、z₃三个量，z₁表示从当前时刻t到拦截时刻t_f1，导弹和目标都不施加控制时，得到的导弹和目标之间的脱靶量，即零控脱靶量；z₂表示从当前时刻t到拦截时刻t_f2，防御弹和导弹都不施加控制时，得到的导弹和防御弹之间的脱靶量；z₃表示从当前时刻t到拦截时刻t_f1，导弹和目标都不施加控制时，得到的在拦截时刻t_f1，导弹和目标之间实际碰撞角与期望碰撞角之差，即零控碰撞角误差；D是常系数矩阵；Φ(t_f-t)是原三体微分对策模型的，从t时刻到t_f时刻的状态转移矩阵，关于状态转移矩阵的概念可以参考现代控制理论相关书目；t_f1、t_f2分别是导弹和目标的拦截时刻、导弹和防御弹的拦截时刻；D矩阵的表达式为：

状态转移矩阵可以通过下式进行求解：

Φ(t_f-t)＝L^-1[(sI-A)^-1]

式中，I是5阶单位矩阵；A是原三体微分对策模型系统方程中的常系数矩阵(参考步骤一)；s是频域变量；(sI-A)^-1表示对矩阵(sI-A)求逆；L^-1(·)表示拉普拉斯逆变换；

代入步骤一中系数矩阵A的表达式，可以得到状态转移矩阵的表达式为：

将状态转移矩阵Φ(t_f-t)、系数矩阵D以及原三体微分对策模型的状态变量矢量X代入AZEM的定义式中，可以得到AZEM的表达式如下：

式中，y_MT、y_MD、

γ_M、γ_T、γ_C的定义同步骤一；t_go1和t_go2是导弹和目标、导弹和防御弹之间的剩余飞行时间，表达式如下：

t_go1＝t_f1-t

t_go2＝t_f2-t

式中，t_f1、t_f2的定义同步骤一；t表示当前时刻；

2.新三体微分对策模型系统方程

序号1定义了广义零控脱靶量矢量AZEM，它包含三个分量z₁、z₂、z₃，三者的表达式同序号1。将z₁、z₂、z₃的对时间t求一阶导数，得到三个微分方程：

式中，

分别表示AZEM的三个分量z₁、z₂、z₃对时间t的一阶导数；u_M、u_T、u_D、θ₀、

δ的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同本步骤的序号1。

这三个微分方程等价替换原三体微分对策模型的系统方程，构成了新三体微分对策模型的系统方程。可以看出，原三体微分对策模型的系统方程包含5个微分方程，本步骤通过定义新的状态变量矢量AZEM后，只需要用3个微分方程就能够等价替换原5个微分方程，大大简化了后续求解难度。

3.新三体微分对策模型指标函数

根据零控脱靶量的物理意义可知，在拦截时刻，零控脱靶量就是实际交战的脱靶量，零控碰撞角误差就是实际交战时的终端碰撞角误差，因此有下式成立：

y_MT(t_f1)＝z₁(t_f1)

y_MD(t_f2)＝z₂(t_f2)

δ_γ(t_f1)＝z₃(t_f1)

从而，原三体微分对策模型的指标函数就可以等价替换为如下形式：

式中，J′是与原指标函数等价的新指标函数，它是新三体微分对策模型的指标函数；z₁(t_f1)是z₁在拦截时刻t_f1对应的值；z₂(t_f2)是z₂在拦截时刻t_f2对应的值；z₃(t_f1)是z₃在拦截时刻t_f1对应的值；z₁、z₁、z₁是AZEM的三个分量；u_M、u_T、u_D、t_f1、t_f2、a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D的定义同步骤一；对于导弹来说，期望使得指标函数最大，即maxJ′，对于目标和防御弹这一对组合来说期望指标函数最大，即minJ′，这是一个典型的双边最优控制问题，需要用最优控制理论和方法进行求解，求解过程在步骤三给出。

本步骤中，序号1通过定义新的状态变量AZEM，将原五维的系统方程降阶成三维的系统方程，构成了序号2处的新三体微分对策模型的系统方程，结合序号3处新三体微分对策模型的指标函数，共同组成了新三体微分对策模型。新模型是三维的，相比于原五维模型，形式上更简洁，后续求解也更加简单。

步骤三：基于最优控制理论求解新三体微分对策模型，得到导弹的最优控制律；包括新三体微分对策模型的哈密顿函数、新三体微分对策模型对应的最优控制问题的求解；

1.新三体微分对策模型的哈密顿函数

新三体微分对策模型实际上是一个双边最优控制问题，要求解该最优控制问题，首先需要建立模型所对应的哈密顿函数。根据最优控制理论相关知识，新三体微分对策模型所对应的哈密顿函数为：

将

表达式(步骤二的序号2)带入上式，即可得到哈密顿函数的表达式，如下：

式中，H是新三体微分对策模型对应的哈密顿函数；λ₁、λ₂、λ₃分别是与

相关的协态变量；

的定义骤二的序号2；u_M、u_T、u_D、β_T、β_D的定义同步骤一；，

的定义同步骤一。

2.新三体微分对策模型对应的最优控制问题的求解

新三体微分对策模型实际上是双边最优控制问题，导弹期望指标函数最大，目标和防御弹则期望指标函数最小，这是一个典型的双边最优控制问题。对该问题，最优控制理论给出了具体的求解方法。下面基于最优控制理论和方法，求解新三体微分对策模型对应的最优控制问题，具体如下：

在最优控制理论中，协态方程反映的是哈密顿函数对状态量的偏导数与协态变量一阶导数的关系，具体为

式中，X是任意最优控制问题的状态变量矢量。

对于新三体微分对策模型，状态变量矢量是AZEM，它包含z₁、z₂、z₃三个状态量，可得本问题的协态方程：

式中

分别是协态变量λ₁、λ₂、λ₃对时间的导数；

分别表示哈密顿函数H对状态量z₁、z₂、z₃的偏导数，z₁、z₂、z₃的定义同步骤二；

由于本问题的哈密顿函数H不显含状态量z₁、z₂、z₃，故：

从而有：

在最优控制理论和方法中，通常将指标函数中与终端状态相关项记为

是终端时刻t_f和终端状态X(t_f)的函数。横截条件反映的是协态变量的终端值与

函数与对应状态变量偏导数的关系，具体为：

式中，X是任意最优控制问题的状态变量矢量，λ是对应的协态变量矢量，t_f是对应的终端时刻。

针对本问题，首先根据指标函数J′的表达式(步骤二的序号3处)：

可以写出

函数表达式为：

式中，z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

再根据

函数，可以写出本问题的横截条件，如下：

式中，

表示

函数对状态量z₁、z₂、z₃的偏导数。代入

的表达式，得到λ₁、λ₂、λ₃在拦截时刻的值：

λ₁(t_f1)＝-α_MTz₁(t_f1)，λ₂(t_f2)＝α_MDz₂(t_f2)，λ₃(t_f1)＝-α_γz₃(t_f1)

式中，λ₁(t_f1)是协态变量λ₁在拦截时刻t_f1对应的值；λ₂(t_f2)是协态变量λ₂在终端时刻值t_f2对应的值；λ₃(t_f1)是协态变量λ₃在终端时刻值t_f1对应的值；t_f1、t_f2的定义同步骤一；z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

根据协态方程结果和λ₁(t_f1)、λ₂(t_f2)、λ₃(t_f1)的表达式，可得到协态变量λ₁、λ₂、λ₃的表达式为：

λ₁＝-α_MTz₁(t_f1)，λ₂＝α_MDz₂(t_f2)，λ₃＝-α_γz₃(t_f1)

式中，z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

在最优控制理论中，耦合方程反映的是哈密顿函数与控制量的关系，当控制量使得哈密顿函数取得极值时，即为最优控制律，耦合方程表达式为：

式中，u是任意最优控制问题的控制量矢量。

对于本问题，控制量矢量u＝[u_T；u_D；u_M]，即本问题的耦合方程为：

式中，

分别表示哈密顿函数H对控制量u_M、u_T、u_D的偏导数；u_M、u_T、u_D的定义同步骤一；

将本步骤序号1处哈密顿函数H的表达式代入上述耦合方程，即可得到如下方程组：

代入上面求得的λ₁、λ₂、λ₃表达式，就可以得到交战三方的最优控制律，具体如下：

式中，

分别是导弹、目标、防御弹的最优控制律；a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D、θ₀、t_f1、t_f2、

δ的定义同步骤一；z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)、t_go1、t_go2的定义同步骤二；

可以发现三者的最优控制律均是z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的显示表达式，然而，在实际交战中，并不知道终端时刻的零控脱靶量值z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)，只能够通过当前交战双方的信息计算当前时刻的零控脱靶量z₁(t)、z₂(t)、z₃(t)，因此，很有必要建立z₁(t)、z₂(t)、z₃(t)和z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的显示关系。

将三者的最优控制律

代入新三体微分对策模型的系统方程(步骤二的序号2)：

可以得到：

将上述微分方程在在[t，t_f1]内对时间积分，且考虑到阶跃函数δ的表达式(步骤一)：

以及，导弹和防御弹的交战完成时刻要先于导弹和目标的交战完成时刻这一假设，即t_f2＜t_f1。得到关于z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的线性方程组：

式中，t是当前时刻，z₁(t)是当前时刻，导弹和目标之间的零控脱靶量，z₂(t)是当前时刻，导弹和防御弹之间的零控脱靶量，z₃(t)是当前时刻，导弹和目标之间的零控碰撞角误差，后面为了书写方便，分别记为z₁、z₂、z₃(后面不再说明)。

系数矩阵K的表达式如下：

式中，a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D、θ₀、

δ的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同步骤二；

根据克莱姆法则，求解上述线性方程组，得到z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的表达式如下：

式中，Δ是矩阵K的行列式；Δ₁₁、Δ₁₂、Δ₁₃、Δ₂₁、Δ₂₂、Δ₂₃、Δ₃₁、Δ₃₂、Δ₃₃是行列式Δ对应下标元素的代数余子式，如Δ₁₂表示行列式Δ对应第1行第2列元素的代数余子式；

上述表达式建立了终端时刻零控脱靶量z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)与当前时刻零控脱靶量z₁、z₂、z₃的显示关系。将z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的表达式代入导弹的最优控制律

中，并进行整理，即得到导弹的最优控制律：

即是带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法。式中，第一项用于导引导弹精确打击目标，即落点精度控制作用，第二项用于导引导弹规避防御弹的拦截，即起反拦截机动突防作用，第三项用于整形自身弹道，满足终端落角约束。t_go1、t_go2、z₁、z₂、z₃定义同步骤二；N_M1是与z₁相关的有效导航系数；N_M2是与z₂相关的有效导航系数；N_M3是与z₃相关的有效导航系数。N_M1、N_M2、N_M3的表达式为：

式中，a_MT、a_MD、a_γ、θ₀、

的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同步骤二；Δ、Δ₁₁、Δ₁₂、Δ₁₃、Δ₂₁、Δ₂₂、Δ₂₃、Δ₃₁、Δ₃₂、Δ₃₃的定义同步骤三；

通过上述三个步骤即可得到本发明方法，即带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法。步骤一主要是对三体对抗微分对策问题进行描述，建立三体微分对策初始模型；步骤二主要是从简化最优控制问题的求解难度出发，通过定义广义零控脱靶量矢量AZEM对原始三体微分对策模型(五维)进行降维处理，得到新三体微分对策模型(三维)，大大简化了后续求解难度；步骤三是基于最优控制理论对新三体微分对策模型所对应的双边最优控制问题进行求解，最终得到了导弹的最优控制律，即带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法。

本发明的优点在于：

(1)本发明是带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法，它同时考虑了导弹的反拦截机动突防、落点精度以及落角约束控制，使得导弹在突防过程能够兼顾落点精度控制和落角约束。它的表达式包含了三项，与z₂相关项用于导引导弹规避防御弹的拦截，即起反拦截机动突防作用，与z₁相关项用于导引导弹精确打击目标，即起控制落点精度作用，与z₃相关项用于整形自身弹道，满足落角约束。

(2)本发明同传统的程序式机动相比，其突防脱靶量大；同最优机动相比，其落点精度高，同时能够满足落角约束，故而本发明的综合性能优异。

(3)本发明具有十分简洁的表达式，表达式中的各项的物理意义清晰明确。

附图说明

图1是本发明所述方法的流程图。

图2是交战三方的几何关系图。

图3是导弹M采用本发明方法进行突防和打击目标时，在不同的期望碰撞角条件下，交战三方的弹道曲线族。

上述图中，涉及到的符号、代号说明如下：

图2～3中字母M、T、D分别表示导弹、目标及防御弹。图2，OXY表示惯性坐标系；V_M、V_T、V_D、γ_M、γ_T、γ_D分别为导弹、目标及防御弹的速度、导弹倾角；r_MT、λ_MT分别导弹和目标之间的距离、视线角，r_MT0、λ_MT0是对应的初值；r_MD、λ_MD分别导弹和防御弹之间的距离、视线角，r_MD0、λ_MD0是对应的初值；y_MD是导弹和防御弹在垂直于二者初始视线方向上的偏差量；y_MT是弹道和目标在垂直于二者初始目标视线方向上的偏差量。图3中，横坐标X表示惯性坐标系的X轴，单位为米，符号m；纵坐标Y表示惯性坐标系的Y轴，单位为米，符号m。

具体实施方式

下面将结合附图和实施案例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法，它包括三个步骤，具体流程如图1所示，下面我们具体介绍上述三个步骤。

步骤一：三体微分对策模型建模；包括交战三方的动力学模型、交战三方线性化交战模型、三体微分对策模型；

1.交战三方的动力学模型

研究的是导弹的末制导律，在末段，相对速度较大，交战时间很短，假设交战三方的加速度方向垂直于各自的速度方向，即加速度只改变速度的方向而不改变速度的大小，这一假设比较符合实际，在末制导律的设计中很常用。

动力学模型反映的是加速度和速度的关系，根据上述加速度方向垂直于速度方向假设，可以写出交战三方的动力学模型，具体为：

式中，a_M、a_T、a_D分别为导弹、目标和防御弹的实际加速度大小；V_M、V_T、V_D分别为导弹、目标和防御弹的速度大小；γ_M、γ_T、γ_D分别为导弹、目标和防御弹的弹道倾角；

分别为γ_M、γ_T、γ_D对时间的一阶导数；

2.交战三方线性化交战模型

交战参与方有导弹、目标及防御弹三个，涉及到两个初始碰撞三角形，分别是导弹-目标初始碰撞三角形、导弹-防御弹初始碰撞三角形。研究的是交战的末制导段，在该段，相对速度较大，交战时间很短；另一方面，认为中制导能够为末制导提供很高的制导精度，故可以假设交战参与方的弹道可以沿着对应的初始碰撞三角形进行线性化。线性化假设在末制导律的设计中非常普遍，也具有很高的精度，是一种合理的假设。

(1)根据序号1中加速度垂直于速度方向这一假设，对于导弹和目标这一对交战方，可以写出，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度，具体如下：

假设导弹和目标的弹道可以沿着导弹-目标初始碰撞三角形进行线性化，即二者的弹道与初始碰撞三角形对应边的偏差量很小，转化为数学语言就是有如下表达式成立：

γ_T≈γ_T0、γ_M≈γ_M0、λ_MT≈λ_MT0 (3)

从而，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度可以简化为如下形式：

上述三个式子中，字母M、T分别表示导弹和目标；a_M、a_T分别为导弹和目标的实际加速度大小；γ_M、γ_T分别为导弹和目标的弹道倾角，γ_M0、γ_T0是对应的初值；λ_MT是导弹-目标交战主体对应的目标视线角，λ_MT0是对应的初值；

是导弹和目标在垂直于二者初始视线方向上的相对加速度，积分两次即可得到y_MT，对于线性化交战模型，y_MT在拦截时刻的值即为导弹拦截目标的脱靶量；

(2)根据序号1中加速度垂直于速度方向这一假设，对于导弹和防御弹这一对交战方，可以写出，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度，具体如下：

假设导弹和防御弹的弹道可以沿着导弹-防御弹初始碰撞三角形进行线性化，即二者的弹道与初始碰撞三角形对应边的偏差量很小，转化为数学语言就是有如下表达式成立：

γ_D≈γ_D0、γ_M≈γ_M0、λ_MD≈λ_MD0 (6)

从而，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度可以简化为如下形式：

上述三个式子中，字母M、D分别表示导弹和防御弹；a_M、a_D分别为导弹和防御弹的实际加速度大小；γ_M、γ_D分别为导弹和防御弹的弹道倾角，γ_M0、γ_D0是对应的初值；λ_MD是导弹-防御弹交战主体对应的目标视线角，λ_MD0是对应的初值；

是导弹和防御弹在垂直于二者初始视线方向上的相对加速度，积分两次即可得到y_MD，对于线性化交战模型，y_MD在拦截时刻的值即为防御弹拦截导弹的脱靶量；

为使微分方程形式简洁，便于书写，将上列(1)和(2)中相对加速度表达式(4)和(7)写出如下形式：

式中，θ_T0、θ_M0、θ_D0、θ₀的表达式如下：

式中，γ_T0、γ_M0、γ_D0、λ_MT0、λ_MD0的定义同本步骤序号2。式(8)即是线性化交战相对运动学模型。

3.三体微分对策模型

(1)三体微分对策模型的系统方程

将上面序号1处的动力学环节模型(1)和序号2处的线性化交战相对运动学模型(8)写成一个微分方程组，如下：

本发明研究的是导弹反拦截机动突防，同时对导弹的落点精度、落角约束进行控制，使得在保持导弹高突防概率的条件下，能够以特定的终端角度，精确地打击目标。因此，需要研究的状态量有导弹突防防御弹的脱靶量(即y_MD在拦截时刻的值)、导弹打击目标的落点精度(即y_MT在拦截时刻的值)以及导弹命中目标的碰撞角度(即γ_M+γ_T在拦截时刻的值)。在序号2线性化交战模型处已经交代过，对于线性化交战模型，导弹和防御弹之间的脱靶量就是y_MD在拦截时刻的值，导弹和目标之间的脱靶量就是y_MT在拦截时刻的值，导弹和目标的终端碰撞角度就是γ_M+γ_T在拦截时刻的值。因此，研究的状态变量须包含：y_MD、γ_M+γ_T。再结合上述微分方程组(10)，三体微分对策模型的状态变量归纳如下：

式中，X表示状态变量矢量，它是个5维的列向量，上标T表示向量转置，x_i,i＝1…5表示第i个状态变量；

表示y_MT对时间的一阶导数，反映的是导弹和目标在垂直初始目标视线方向上的相对速度；

表示y_MD对时间的一阶导数，反映的是导弹和防御弹在垂直初始目标视线方向上的相对速度；γ_C表示期望的导弹打击目标的弹道倾角。

假设导弹和防御弹的交战完成时刻要早于导弹和目标交战完成时刻，则防御弹和导弹交战完成后，防御弹消失，剩下导弹和目标，交战的主体由原来的三个变成了两个，为了保持三体微分对策模型的一致性，引入阶跃函数δ，阶跃函数的定义如下：

式中，t是当前时刻，t_f2是防御弹和导弹交战的完成时刻。

分别将5个状态变量对时间求一阶导数，并结合微分方程组(10)，可以得到如下由五个微分方程组成的微分方程组：

将上述微分方程组写成状态空间形式，具体如下：

式中，上标T表示向量转置；A、B和C均为常系数矩阵，表达式如下：

上述状态空间表达式即为三体微分对策模型的系统方程。式中，上标T表示矩阵或者向量的转置；

是目标的初始速度在沿着导弹和目标之间初始视线方向上的分量；

是导弹的初始速度在沿着导弹目标之间初始视线方向上的分量；θ₀的定义同上面的序号2；u_M、u_T、u_D是分别是导弹、目标和防御弹的控制量；u_M、u_T、u_D、

表达式为：

(2)三体微分对策模型的指标函数

序号(1)给出了三体微分对策模型的系统方程，对于一个完整微分对策模型，还需要补充指标函数。

导弹一方面要以较大的脱靶量突防防御弹，保证自身的生存概率，另一方面要以较小的落点偏差命中目标，保证命中精度，同时期望以特定的终端角度命中目标。对于导弹来说，期望突防防御弹的脱靶量最大、攻击目标的落点偏差最小以及终端碰撞角度与期望碰撞角度的偏差最小，同时自身消耗的能量最小。对于防御弹和目标这一对组合来说，期望防御弹拦截导弹的脱靶量最小、目标规避导弹攻击的落点偏差最大以及终端碰撞角度与期望终端碰撞角度的偏差最大，同时消耗的能量最小。

在本步骤的序号2处已经交代过，对于线性化交战模型，导弹和目标之间的脱靶量(或者说导弹攻击目标的落点偏差)可以用y_MT在对应拦截时刻的值表示，防御弹和导弹之间的脱靶量也可以用y_MD在对应拦截时刻的值表示，各自的能量消耗可以通过控制量的平方对时间的积分来表示，因此，三体微分对策模型的指标函数可以用下式表示：

对于导弹来说，期望找到最优控制律使得指标函数J最大，即maxJ，对于目标和防御弹这对组合来说，期望找到最优控制律使得指标函数J最小，即minJ，这是一个典型的双边最优控制问题，后续需要应用最优控制理论进行求解。

上式中，J是三体微分对策模型的指标函数；t_f1、t_f2分别导弹和目标之间、导弹和防御弹之间的拦截时刻(即交战完成时刻)；y_MT(t_f1)是在拦截时刻t_f1，导弹和目标在垂直于二者初始视线方向上的偏差量，即导弹和目标之间的落点偏差；y_MD(t_f2)是在拦截时刻t_f2，导弹和防御弹在垂直于二者初始视线方向上的偏差量，即导弹和防御弹之间的脱靶量；δ_γ(t_f1)是在拦截时刻t_f1，导弹和目标的实际碰撞角与期望碰撞角之差；a_MT、a_MD、a_γ分别是与y_MT(t_f1)、y_MD(t_f2)和δ_γ(t_f1)相关的权重系数，均为非负数；u_M、u_T、u_D分别为导弹、目标及防御弹的控制量，定义同步骤一的序号1；β_T、β_D分别是与u_T、u_D积分相关的权重系数，均为非负数；t是当前时刻，右侧积分项表示对t的积分；t_f1、t_f2的表达式如下所示：

式中，V_M、V_T、V_D分别为导弹、目标及防御弹的速度大小；R_MT0、R_MD0分别为导弹和目标、导弹和防御弹之间的初始距离；θ_M0、θ_T0、θ_D0的定义同序号2；

如此，就建立了三体微分对策模型。本步骤中，序号1和2提供了三体微分对策模型的原始微分方程组，序号3的(1)对原始微分方程组进行处理，得到三体微分对策模型的系统方程，结合(2)的指标函数，组成了三体微分对策模型。

步骤二：对原三体微分对策模型进行降维处理得到新三体微分对策模型；包括广义零控脱靶量矢量的定义、新三体微分对策模型的系统方程、新三体微分对策模型指标函数；

1.广义零控脱靶量矢量的定义

原三体微分对策模型的系统方程包含五个微分方程，是五维的，后续求解需要进行多次积分，处理起来较为复杂。为了简化后续求解难度，定义一个新的状态变量矢量，即广义零控脱靶量矢量AZEM。AZEM的定义式如下：

式中，AZEM是三维列向量，包含了z₁、z₂、z₃三个量，z₁表示从当前时刻t到拦截时刻t_f1，导弹和目标都不施加控制时得到的脱靶量，即零控脱靶量；z₂表示从当前时刻t到拦截时刻t_f2，防御弹和导弹都不施加控制时得到的脱靶量；z₃表示从当前时刻t到拦截时刻t_f1，导弹和目标都不施加控制时，导弹和目标之间实际碰撞角与期望碰撞角之差，即零控碰撞角误差；D是常系数矩阵；Φ(t_f-t)是原三体微分对策模型的，从t时刻到t_f时刻的状态转移矩阵，关于状态转移矩阵的概念可以参考现代控制理论相关书目；t_f1、t_f2分别是导弹和目标的拦截时刻、导弹和防御弹的拦截时刻；D矩阵的表达式为：

状态转移矩阵可以通过下式进行求解：

Φ(t_f-t)＝L^-1[(sI-A)^-1] (21)

式中，I是5阶单位矩阵；A是原三体微分对策模型系统方程中的常系数矩阵(式(15))；s是频域变量；(sI-A)^-1表示对矩阵(sI-A)求逆；L^-1(·)表示拉普拉斯逆变换；

将系数矩阵A的表达式(15)带入式(21)，就可以得到状态转移矩阵的表达式为：

将状态转移矩阵Φ(t_f-t)的表达式(22)、系数矩阵D表达式(20)以及原三体微分对策模型的状态变量矢量X的表达式(11)代入AZEM的定义式(19)中，可以得到AZEM的表达式如下：

式中，y_MT、y_MD、

γ_M、γ_T、γ_C的定义同步骤一；t_go1和t_go2是导弹和目标、导弹和防御弹之间的剩余飞行时间，表达式如下：

式中，t_f1、t_f2的定义同步骤一；t表示当前时刻。

2.新三体微分对策模型系统方程

序号1定义了广义零控脱靶量矢量AZEM，它包含三个分量z₁、z₂、z₃。将z₁、z₂、z₃的表达式(23)分别对时间t求一阶导数并考虑原三体微分对策模型的系统方程(13)，得到三个新的微分方程：

式中，

分别表示AZEM的三个分量z₁、z₂、z₃对时间t的一阶导数；u_M、u_T、u_D、θ₀、

δ的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同式(24)。

这三个新的微分方程(25)等价替换原三体微分对策模型的系统方程(13)，构成了新三体微分对策模型的系统方程。可以看出，原三体微分对策模型的系统方程包含5个微分方程，本步骤通过定义新的状态变量矢量ZEM后，只需要用3个微分方程就能够等价替换原5个微分方程，大大简化了后续求解难度。

3.新三体微分对策模型指标函数

根据零控脱靶量的物理意义可知，在拦截时刻，零控脱靶量就是实际交战的脱靶量，因此有下式成立：

从而，原三体微分对策模型的指标函数就可以等价转换为如下形式：

式中，J′是与原指标函数(17)等价的新指标函数，它是新三体微分对策模型的指标函数；z₁(t_f1)是z₁在拦截时刻t_f1对应的值；z₂(t_f2)是z₂在拦截时刻t_f2对应的值；z₃(t_f1)是z₃在拦截时刻t_f1对应的值；z₁、z₁、z₁是AZEM的三个分量；u_M、u_T、u_D、t_f1、t_f2、a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D的定义同步骤一；

对于导弹来说，期望使得指标函数最大，即maxJ′，对于目标和防御弹这一对组合来说期望指标函数最小，即minJ′，这是一个典型的双边最优控制问题，需要用最优控制理论进行求解，求解过程在步骤三给出。

本步骤中，序号1通过定义新的状态变量AZEM，将原五维的系统方程降阶成三维的系统方程，构成了序号2处的新三体微分对策模型的系统方程，结合序号3处新三体微分对策模型的指标函数，共同组成了新三体微分对策模型。新模型是三维的，相比于原五维模型，形式上更简洁，后续求解也更加简单。

步骤三：基于最优控制理论求解新三体微分对策模型，得到导弹的最优控制律；包括新三体微分对策模型的哈密顿函数、新三体微分对策模型对应的最优控制问题的求解；

1.新三体微分对策模型的哈密顿函数

新三体微分对策模型实际上是双边最优控制问题，导弹期望指标函数最大，即maxJ′，目标和防御弹组合则期望指标函数最小，即minJ′，这是一个典型的双边最优控制问题。要求解该最优控制问题，首先需要建立模型所对应的哈密顿函数。根据最优控制理论相关知识，新三体微分对策模型所对应的哈密顿函数为：

式中，H是新三体微分对策模型的哈密顿函数；λ₁、λ₂、λ₃分别是与

相关的协态变量；

的表达式同步骤二的序号2；u_M、u_T、u_D、β_T、β_D的定义同步骤一；

将

的表达式(25)代入哈密顿函数的表达式(28)，即可得到本模型对应的哈密顿函数，具体如下：

式中，

t_go1、t_go2、θ₀、δ的定义同步骤一。

2.新三体微分对策模型对应的最优控制问题的求解

新三体微分对策模型实际上是双边最优控制问题，对该问题，最优控制理论给出了具体的求解方法。下面基于最优控制理论，求解新三体微分对策模型对应的最优控制问题，如下：

在最优控制理论中，协态方程反映的是哈密顿函数对状态量的偏导数与协态变量一阶导数的关系，具体为：

式中，X是任意最优控制问题的状态变量矢量。

对于本问题，状态变量矢量为AZEM，它包含z₁、z₂、z₃三个变量，则协态方程具体为：

式中

分别是协态变量λ₁、λ₂、λ₃对时间的导数；H是本模型的哈密顿函数，表达式为(29)；

分别表示哈密顿函数H对状态量z₁、z₂、z₃的偏导数，z₁、z₂、z₃的定义同步骤二；

由于本问题的哈密顿函数H(式(29))不显含状态量z₁、z₂、z₃，故：

从而有：

在最优控制理论中，通常将指标函数中与终端状态相关项记为

函数是终端时刻t_f和终端状态X(t_f)的函数。横截条件反映的是协态变量的终端值和

与对应状态变量偏导数的关系，具体为：

针对本问题指标函数J′的表达式，可以写出

函数的表达式为：

式中，z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

再根据

函数的表达式(34)，可以得到本问题的横截条件，如下：

式中，

表示

对状态量z₁、z₂、z₃的偏导数。代入

的表达式(34)到式(35)，得到λ₁、λ₂、λ₃在拦截时刻的值(即终端值)，如下：

式中，λ₁(t_f1)是协态变量λ₁在拦截时刻t_f1对应的值；λ₂(t_f2)是协态变量λ₂在终端时刻值t_f2对应的值；λ₃(t_f1)是协态变量λ₃在终端时刻值t_f1对应的值；t_f1、t_f2的定义同步骤一；z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

根据协态方程的结果(式子(32))和λ₁(t_f1)、λ₂(t_f2)、λ₃(t_f1)的表达式(36)，可得到协态变量λ₁、λ₂、λ₃的表达式为：

λ₁＝-α_MTz₁(t_f1)，λ₂＝α_MDz₂(t_f2)，λ₃＝-α_γz₃(t_f1) (37)

式中，z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

在最优控制理论中，耦合方程反映的是哈密顿函数与控制量的关系，当控制量使得哈密顿函数取得极值时，即为最优控制律，耦合方程表达式为：

式中，u是任意最优控制问题的控制量矢量。对于本问题，控制量矢量u＝[u_T；u_D；u_M]，即本问题的耦合方程为：

式中，

分别表示哈密顿函数H对控制量u_M、u_T、u_D的偏导数；u_M、u_T、u_D的定义同步骤一；

将哈密顿函数H的表达式(29)代入上述耦合方程(39)，即可得到如下方程组：

代入λ₁、λ₂、λ₃表达式(37)到式(40)，就可以得到三者的最优控制律，具体如下：

式中，

分别是导弹、目标、防御弹的最优控制律；a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D、θ₀、t_f1、t_f2、

δ的定义同步骤一；z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)、t_go1、t_go2的定义同步骤二；

可以发现三者的最优控制律都是z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的显示表达式，然而，在实际交战中，并不知道终端时刻的零控脱靶量z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)，只能够通过交战双方的当前信息计算当前时刻的零控脱靶量z₁(t)、z₂(t)、z₃(t)，因此，很有必要建立z₁(t)、z₂(t)、z₃(t)和z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的显示关系。

将三者的最优控制律

的表达式(41)代入新三体微分对策模型的系统方程(式子(25))，得到：

将上述微分方程在在[t，t_f1]内对时间积分，且考虑到阶跃函数δ的表达式(12)，以及，导弹和防御弹的交战完成时刻要先于导弹和目标的交战完成时刻这一假设，即t_f2＜t_f1。得到关于z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的线性方程组：

系数矩阵K的表达式如下：

式中，a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D、θ₀、

δ的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同(24)。

根据克利姆法则，求解上述线性方程组(43)，得到z₁(t_f1)、_z2(t_f2)、z₃(t_f1)表达式如下：

式中，z₁、z₂、z₃的定义同步骤二；Δ是矩阵K的行列式；Δ₁₁、Δ₁₂、Δ₁₃、Δ₂₁、Δ₂₂、Δ₂₃、Δ₃₁、Δ₃₂、Δ₃₃是行列式Δ对应下标元素的代数余子式，如Δ₁₂表示行列式Δ对应第1行第2列元素的代数余子式。

上述表达式建立了终端时刻零控脱靶量z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)与当前时刻零控脱靶量z₁、z₂、z₃的显示关系。将z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的表达式(45)代入导弹的最优控制律

中(式子(41)的第三式)，并进行整理，即得到导弹的最优控制律：

即是带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法。式中，第一项用于导引导弹精确打击目标，即落点精度控制作用，第二项用于导引导弹规避防御弹的拦截，即起反拦截机动突防作用，第三项用于整形自身弹道，满足终端落角约束。t_go1、t_go2、z₁、z₂、z₃定义同步骤二；N_M1是与z₁相关的有效导航系数；N_M2是与z₂相关的有效导航系数；N_M3是与z₃相关的有效导航系数。N_M1、N_M2、N_M3的表达式为：

式中，a_MT、a_MD、a_γ、θ₀、

的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同步骤二；Δ、Δ₁₁、Δ₁₂、Δ₁₃、Δ₂₁、Δ₂₂、Δ₂₃、Δ₃₁、Δ₃₂、Δ₃₃的定义同(45)。

通过上述三个步骤即可得到本发明方法，即带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法。步骤一主要是对三体对抗微分对策问题进行描述，建立三体微分对策初始模型；步骤二主要是从简化最优控制问题的求解难度出发，通过定义广义零控脱靶量矢量AZEM对原始三体微分对策模型(五维)进行降维处理，得到新三体微分对策模型(三维)，大大简化了后续求解难度；步骤三是基于最优控制理论对新三体微分对策模型所对应的双边最优控制问题进行求解，最终得到了导弹的最优控制律，即带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法。

实施案例

为了检验本发明的效果，针对巡航导弹攻击水面目标案例，进行数值仿真校验。巡航导弹攻击水面目标，水面目标方发射防御弹对巡航导弹进行拦截，防御弹采用的导引律为PN，有效导航比取3。在本案例中，巡航导弹，即发明中的导弹，对应字母M，采用本发明方法进行突防和打击目标，水面目标对应着本发明中所述的目标，字母为T，防御弹字母为D。

上面在推导本发明方法时，假设交战模型可以沿着各自对应的初始碰撞三角形进行线性化处理。仿真中为了更加贴近实际交战情形，用到的交战模型是二维非线性模型，首先根据图2中交战三方的几何关系，可以写出如下的相对运动学方程组：

假设交战三方的实际加速度方向均垂直于各自的速度方向，则有如下动力学方程组

式(48)～(49)中的相关参数的定义同“具体实施方式”一节。

仿真用到的软件是matalb2011a，仿真过程中的参数设置如表1所示，表中，下标0表示对应量的初始值；单位g表示重力加速度常量，取为9.8m/s²，单位中m表示米，s表示秒；表中单位deg表示角度；其他参数、单位的定义同“具体实施方式”一节。弹道积分方法采用四阶龙格库塔法，积分步长0.01秒。

表1 仿真参数设置

参数	取值	参数	取值
				V<sub>M0</sub>/(m/s)	300	λ<sub>MD0</sub>/(deg)	0
V<sub>T0</sub>/(m/s)	25	γ<sub>M0</sub>/(deg)	-1
				V<sub>D0</sub>/(m/s)	400	γ<sub>T0</sub>/(deg)	0
a<sub>Mmax</sub>/(g)	8	γ<sub>D0</sub>/(deg)	1
				a<sub>Tmax</sub>/(g)	0	a<sub>MT</sub>	10<sup>5</sup>
a<sub>Dmax</sub>/(g)	10	a<sub>MD</sub>	10<sup>8</sup>
				R<sub>MT0</sub>/(m)	6000	a<sub>γ</sub>	10<sup>8</sup>
R<sub>MD0</sub>/(m)	6000	β<sub>T</sub>	100
				λ<sub>MT0</sub>/(deg)	0	β<sub>D</sub>	0.8

图3是不同期望碰撞角条件下，交战三方的弹道曲线族，可以看出巡航导弹先是进行反拦截机动突防，突防防御弹之后，又以期望的碰撞角度精确地命中目标。

表2是对应的仿真结果，其中期望碰撞角是指巡航导弹命中目标时，它的弹道倾角和目标的弹道倾角之和的期望值或者要求值；实际碰撞角是指仿真中巡航导弹命中目标时，它的弹道倾角和目标的弹道倾角之和的实际值；碰撞角误差是指实际碰撞角和期望碰撞角之差；突防脱靶量是指巡航导弹突防防御弹时对应的脱靶量；落点偏差是指巡航导弹打击目标时的脱靶量。

表2 仿真结果列表

可以看出，采用本发明进行突防和打击任务的巡航导弹，同时获得了大的突防脱靶量(脱靶量最大46.8113m，最小13.9871m)、小的落点偏差(最大落点偏差0.1201m)同时严格满足落角约束(最大碰撞角误差0.0023°)。说明采用本发明后，巡航导弹既能够成功突防防御弹的拦截，最后又能以期望的终端碰撞角度精确地命中目标。

综上所述，通过上述步骤，推到出了本发明方法，即带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法，案例仿真结果表明本发明方法既能够以较大的脱靶量成功突防防御弹的拦截，保证自身的生存概率，又能够以特定的期望碰撞角度、以很小的落点偏差精确地命中目标，综合性能优异。

Claims (1)

1.一种带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法，其特征在于：它包括以下三个步骤：

步骤一：三体微分对策模型建模；包括交战三方的动力学模型、交战三方线性化交战模型、三体微分对策模型；

1.1交战三方动力学模型

导弹的末制导律，在末段，相对速度大，交战时间很短，交战三方的加速度方向垂直于各自的速度方向，即加速度只改变速度的方向而不改变速度的大小；

动力学模型反映的是加速度和速度的关系，根据上述加速度方向垂直于速度方向，得到交战三方的动力学模型，具体为：

式中，a_M、a_T、a_D分别为导弹、目标和防御弹的实际加速度大小；V_M、V_T、V_D分别为导弹、目标和防御弹的速度大小；γ_M、γ_T、γ_D分别为导弹、目标和防御弹的弹道倾角；

分别为γ_M、γ_T、γ_D对时间的一阶导数；

1.2交战三方线性化交战模型

交战参与方有导弹、目标及防御弹三个，涉及到两个初始碰撞三角形，分别是导弹-目标初始碰撞三角形、导弹-防御弹初始碰撞三角形；交战的末制导段，在该段，相对速度大，交战时间很短；另一方面，认为中制导能够为末制导提供很高的制导精度，故交战参与方的弹道沿着对应的初始碰撞三角形进行线性化；

1.2a.根据步骤1.1中加速度垂直于速度方向，对于导弹和目标这一对交战方，能得到，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度，具体如下：

导弹和目标的弹道沿着导弹-目标初始碰撞三角形进行线性化，即二者的弹道与初始碰撞三角形对应边的偏差量很小，转化成数学语言就是有如下表达式成立：

γ_T≈γ_T0、γ_M≈γ_M0、λ_MT≈λ_MT0 (3)

从而，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度简化为如下形式：

公式(2)、(3)、(4)中，字母M、T分别表示导弹和目标；a_M、a_T分别为导弹和目标的实际加速度大小；γ_M、γ_T分别为导弹和目标的弹道倾角，γ_M0、γ_T0是对应的初值；λ_MT是导弹-目标交战主体对应的目标视线角，λ_MT0是对应的初值；

是导弹和目标在垂直于二者初始视线方向上的相对加速度，积分两次即得到y_MT，对于线性化交战模型，y_MT在拦截时刻的值即为导弹拦截目标的脱靶量；

1.2b.根据步骤1.1中加速度垂直于速度方向，对于导弹和防御弹这一对交战方，能得到，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度，具体如下：

导弹和防御弹的弹道沿着导弹-防御弹初始碰撞三角形进行线性化，即二者的弹道与初始碰撞三角形对应边的偏差量很小，转化成数学语言就是有如下表达式成立：

γ_D≈γ_D0、γ_M≈γ_M0、λ_MD≈λ_MD0 (6)

从而，二者在垂直于目标视线方向上的相对加速度化为如下形式：

公式(5)、(6)、(7)中，字母M、D分别表示导弹和防御弹；a_M、a_D分别为导弹和防御弹的实际加速度大小；γ_M、γ_D分别为导弹和防御弹的弹道倾角，γ_M0、γ_D0是对应的初值；λ_MD是导弹-防御弹交战主体对应的目标视线角，λ_MD0是对应的初值；

是导弹和防御弹在垂直于二者初始视线方向上的相对加速度，积分两次即得到y_MD，对于线性化交战模型，y_MD在拦截时刻的值即为防御弹拦截导弹的脱靶量；

为使微分方程形式简洁，便于书写，将上列(4)和(7)中相对加速度表达式

写成如下形式：

式中，θ_T0、θ_M0、θ_D0、θ₀的表达式如下：

式中，γ_T0、γ_M0、γ_D0、λ_MT0、λ_MD0的定义同步骤1.2；

1.3三体微分对策模型

1.3a.三体微分对策模型的系统方程

将上面步骤1.1处的动力学模型和步骤1.2处的线性化交战相对运动学模型写成一个微分方程组，如下：

该带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法研究的是导弹反拦截机动突防，同时对导弹的落点精度、落角约束进行控制，使得在保持导弹高突防概率的条件下，能够以终端角度，精确地打击目标；在步骤1.2线性化交战模型处已经交代过，对于线性化交战模型，导弹和防御弹之间的脱靶量就是y_MD在拦截时刻的值，导弹和目标之间的脱靶量就是y_MT在拦截时刻的值，导弹和目标的终端碰撞角度就是γ_M+γ_T在拦截时刻的值；因此，状态变量须包含：y_MD、γ_M+γ_T；再结合上述微分方程组，三体微分对策模型的状态变量归纳如下：

式中，X表示状态变量矢量，它是个5维的列向量，上标T表示向量转置，x_i,i＝1…5表示第i个状态变量；

表示y_MT对时间的一阶导数，反映的是导弹和目标在垂直初始目标视线方向上的相对速度；

表示y_MD对时间的一阶导数，反映的是导弹和防御弹在垂直于二者初始视线方向上的相对加速度；γ_C表示导弹打击目标的弹道倾角；

导弹和防御弹的交战完成时刻要早于导弹和目标交战完成时刻，则防御弹和导弹交战完成后，防御弹消失，剩下导弹和目标，交战的主体由原来的三个变成了两个，为了保持三体微分对策模型的一致性，引入阶跃函数δ，阶跃函数的定义如下：

式中，t是当前时刻，t_f2是防御弹和导弹交战的完成时刻；

分别将上述x₁,x₂,x₃,x₄,x₅5个状态变量对时间求一阶导数，并结合上述微分方程组，得到如下由5个微分方程组成的微分方程组：

将上述微分方程组写成状态空间形式，具体如下：

式中，上标T表示向量转置；A、B和C均为常系数矩阵，表达式如下：

上述状态空间表达式即为三体微分对策模型的系统方程；式中，上标T表示矩阵或者向量的转置；

是目标的初始速度在沿着导弹和目标之间初始视线方向上的分量；

是导弹的初始速度在沿着导弹目标之间初始视线方向上的分量；θ₀的定义同上面的步骤1.2；u_M、u_T、u_D是分别是导弹、目标和防御弹的控制量；u_M、u_T、u_D、

表达式为：

u_M是导弹的控制量，该带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法的目的就是找到导弹的最优的控制律

使得导弹能够以大的脱靶量突防防御弹即保证自身的生存概率，同时以碰撞角度精确地命中目标即保证落点精度和落角约束，在此之前，需要给出指标函数；

1.3b.三体微分对策模型的指标函数

步骤1.3a给出了三体微分对策模型的系统方程，对于一个完整微分对策模型，还需要补充指标函数；

导弹一方面要以大的脱靶量突防防御弹，保证自身的生存概率，另一方面要以小的落点偏差命中目标，保证命中精度，同时以终端角度命中目标；对于导弹来说，突防防御弹的脱靶量最大、攻击目标的落点偏差最小以及终端碰撞角度与碰撞角度的偏差最小，同时自身消耗的能量最小；对于防御弹和目标这一对组合来说，防御弹拦截导弹的脱靶量最小、目标规避导弹攻击的落点偏差最大以及终端碰撞角度与终端碰撞角度的偏差最大，同时消耗的能量最小；

在步骤1.2线性化交战模型处已经交代过，对于线性化交战模型，导弹和目标之间的脱靶量即导弹攻击目标的落点偏差用y_MT在对应拦截时刻的值表示，防御弹和导弹之间的脱靶量也能用y_MD在对应拦截时刻的值表示，各自的能量消耗通过控制量平方对时间的积分来表示，因此，三体微分对策模型的指标函数用下式表示：

对于导弹来说，找到最优控制律使得指标函数J最大，即max J，对于目标和防御弹这对组合来说，找到最优控制律使得指标函数J最小，即min J，这是一个典型的双边最优控制问题，后续需要应用最优控制理论进行求解；

上式中，J是三体微分对策模型的指标函数；t_f1、t_f2分别导弹和目标之间、导弹和防御弹之间的拦截时刻；y_MT(t_f1)是在拦截时刻t_f1，导弹和目标在垂直于二者初始视线方向上的偏差量，即导弹和目标之间的落点偏差；y_MD(t_f2)是在拦截时刻t_f2，导弹和防御弹在垂直于二者初始视线方向上的偏差量，即导弹和防御弹之间的脱靶量；δ_γ(t_f1)是在拦截时刻t_f1，导弹和目标的实际碰撞角与碰撞角之差；a_MT、a_MD、a_γ分别是与y_MT(t_f1)、y_MD(t_f2)和δ_γ(t_f1)相关的权重系数，均为非负数；u_M、u_T、u_D分别为导弹、目标及防御弹的控制量，定义同步骤1.1；β_T、β_D分别是与u_T、u_D积分相关的权重系数，均为非负数；t是当前时刻，右侧积分项表示对t的积分；t_f1、t_f2的表达式如下所示：

式中，V_M、V_T、V_D分别为导弹、目标及防御弹的速度大小；R_MT0、R_MD0分别为导弹和目标、导弹和防御弹之间的初始距离；θ_M0、θ_T0、θ_D0的定义同步骤1.2；

如此，就建立了三体微分对策模型；步骤1.1和1.2提供了三体微分对策模型的原始微分方程组，步骤1.3a对原始微分方程组进行处理，得到三体微分对策模型的系统方程，结合步骤1.3b的指标函数，组成了三体微分对策模型；

步骤二：对原三体微分对策模型进行降维处理得到新三体微分对策模型；包括广义零控脱靶量矢量的定义、新三体微分对策模型的系统方程、新三体微分对策模型指标函数；

2.1广义零控脱靶量矢量的定义

原三体微分对策模型的系统方程包含五个微分方程，是五维的，后续求解需要进行多次积分，处理起来较为复杂；为了简化后续求解难度，定义一个新的状态变量矢量，即广义零控脱靶量矢量AZEM；该AZEM的定义式如下：

式中，AZEM是三维列向量，包含了z₁、z₂、z₃三个量，z₁表示从当前时刻t到拦截时刻t_f1，导弹和目标都不施加控制时，得到的导弹和目标之间的脱靶量，即零控脱靶量；z₂表示从当前时刻t到拦截时刻t_f2，防御弹和导弹都不施加控制时，得到的导弹和防御弹之间的脱靶量；z₃表示从当前时刻t到拦截时刻t_f1，导弹和目标都不施加控制时，得到的在拦截时刻t_f1，导弹和目标之间实际碰撞角与碰撞角之差，即零控碰撞角误差；D是常系数矩阵；Φ(t_f-t)是原三体微分对策模型的，从t时刻到t_f时刻的状态转移矩阵；t_f1、t_f2分别是导弹和目标的拦截时刻、导弹和防御弹的拦截时刻；D矩阵的表达式为：

状态转移矩阵通过下式进行求解：

Φ(t_f-t)＝L^-1[(sI-A)^-1] (22)

式中，I是5阶单位矩阵；A是原三体微分对策模型系统方程中的常系数矩阵；s是频域变量；(sI-A)^-1表示对矩阵(sI-A)求逆；L^-1(·)表示拉普拉斯逆变换；

代入步骤一中系数矩阵A的表达式，得到状态转移矩阵的表达式为：

将状态转移矩阵Φ(t_f-t)、系数矩阵D以及原三体微分对策模型的状态变量矢量X代入AZEM的定义式中，得到AZEM的表达式如下：

式中，y_MT、y_MD、

γ_M、γ_T、γ_C的定义同步骤一；t_go1和t_go2是导弹和目标、导弹和防御弹之间的剩余飞行时间，表达式如下：

式中，t_f1、t_f2的定义同步骤一；t表示当前时刻；

2.2新三体微分对策模型系统方程

步骤2.1定义了广义零控脱靶量矢量AZEM，它包含三个分量z₁、z₂、z₃，三者的表达式同步骤2.1；将z₁、z₂、z₃的对时间t求一阶导数，得到三个微分方程：

式中，

分别表示AZEM的三个分量z₁、z₂、z₃对时间t的一阶导数；u_M、u_T、u_D、θ₀、

δ的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同步骤2.1；

这三个微分方程等价替换原三体微分对策模型的系统方程，构成了新三体微分对策模型的系统方程；能看出，原三体微分对策模型的系统方程包含5个微分方程，本步骤2.2通过定义新的状态变量矢量AZEM后，只需要用3个微分方程就能够等价替换原5个微分方程，大大简化了后续求解难度；

2.3新三体微分对策模型指标函数

根据零控脱靶量的物理意义得出，在拦截时刻，零控脱靶量就是实际交战的脱靶量，零控碰撞角误差就是实际交战时的终端碰撞角误差，因此有下式成立：

从而，原三体微分对策模型的指标函数就能等价替换为如下形式：

式中，J′是与原指标函数等价的新指标函数，它是新三体微分对策模型的指标函数；z₁(t_f1)是z₁在拦截时刻t_f1对应的值；z₂(t_f2)是z₂在拦截时刻t_f2对应的值；z₃(t_f1)是z₃在拦截时刻t_f1对应的值；z₁、z₁、z₁是AZEM的三个分量；u_M、u_T、u_D、t_f1、t_f2、a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D的定义同步骤一；对于导弹来说，使得指标函数最大，即max J′，对于目标和防御弹这一对组合来说指标函数最大，即min J′，这是一个典型的双边最优控制问题，需要用最优控制理论和方法进行求解，求解过程在步骤三给出；

步骤2.1通过定义新的状态变量AZEM，将原五维的系统方程降阶成三维的系统方程，构成了步骤2.2处的新三体微分对策模型的系统方程，结合步骤2.3处新三体微分对策模型的指标函数，共同组成了新三体微分对策模型；新模型是三维的，相比于原五维模型，形式上更简洁，后续求解也更加简单；

步骤三：基于最优控制理论求解新三体微分对策模型，得到导弹的最优控制律；包括新三体微分对策模型的哈密顿函数、新三体微分对策模型对应的最优控制问题的求解；

3.1新三体微分对策模型的哈密顿函数

新三体微分对策模型实际上是一个双边最优控制问题，要求解该最优控制问题，首先需要建立模型所对应的哈密顿函数；根据最优控制理论相关知识，新三体微分对策模型所对应的哈密顿函数为：

将

表达式带入上式，即得到哈密顿函数的表达式，如下：

式中，H是新三体微分对策模型对应的哈密顿函数；λ₁、λ₂、λ₃分别是与

相关的协态变量；

的定义见步骤2.2；u_M、u_T、u_D、β_T、β_D的定义同步骤一，

的定义同步骤一；

3.2新三体微分对策模型对应的最优控制问题的求解

新三体微分对策模型实际上是双边最优控制问题，导弹指标函数最大，目标和防御弹则指标函数最小，这是一个典型的双边最优控制问题；对该问题，最优控制理论给出了具体的求解方法；下面基于最优控制理论，求解新三体微分对策模型对应的最优控制问题，具体如下：

在最优控制理论中，协态方程反映的是哈密顿函数对状态量的偏导数与协态变量一阶导数的关系，具体为

式中，X是任意最优控制问题的状态变量矢量；

对于新三体微分对策模型，状态变量矢量是AZEM，它包含z₁、z₂、z₃三个状态量，得到本问题的协态方程：

式中

分别是协态变量λ₁、λ₂、λ₃对时间的导数；

分别表示哈密顿函数H对状态量z₁、z₂、z₃的偏导数，z₁、z₂、z₃的定义同步骤二；

由于本问题的哈密顿函数H不显含状态量z₁、z₂、z₃，故：

从而有：

在最优控制理论中，将指标函数中与终端状态相关项记为

是终端时刻t_f和终端状态X(t_f)的函数；横截条件反映的是协态变量的终端值与

函数与对应状态变量偏导数的关系，具体为：

式中，X是任意最优控制问题的状态变量矢量，λ是对应的协态变量矢量，t_f是对应的终端时刻；

针对本问题，首先根据指标函数J′的表达式即步骤2.3处：

得到

函数表达式为：

式中，z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

再根据

函数，能得到本问题的横截条件，如下：

式中，

表示

函数对状态量z₁、z₂、z₃的偏导数，代入

的表达式，得到λ₁、λ₂、λ₃在拦截时刻的值：

λ₁(t_f1)＝-α_MTz₁(t_f1)，λ₂(t_f2)＝α_MDz₂(t_f2)，λ₃(t_f1)＝-α_γz₃(t_f1) (38)

式中，λ₁(t_f1)是协态变量λ₁在拦截时刻t_f1对应的值；λ₂(t_f2)是协态变量λ₂在终端时刻值t_f2对应的值；λ₃(t_f1)是协态变量λ₃在终端时刻值t_f1对应的值；t_f1、t_f2的定义同步骤一；z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

根据协态方程结果和λ₁(t_f1)、λ₂(t_f2)、λ₃(t_f1)的表达式，得到协态变量λ₁、λ₂、λ₃的表达式为：

λ₁＝-α_MTz₁(t_f1)，λ₂＝α_MDz₂(t_f2)，λ₃＝-α_γz₃(t_f1) (39)

式中，z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的定义同步骤二；a_MT、a_MD、a_γ的定义同步骤一；

在最优控制理论中，耦合方程反映的是哈密顿函数与控制量的关系，当控制量使得哈密顿函数取得极值时，即为最优控制律，耦合方程表达式为：

式中，u是任意最优控制问题的控制量矢量；

对于本问题，控制量矢量u＝[u_T；u_D；u_M]，即本问题的耦合方程为：

式中，

分别表示哈密顿函数H对控制量u_M、u_T、u_D的偏导数；u_M、u_T、u_D的定义同步骤一；

将步骤3.1处哈密顿函数H的表达式代入上述耦合方程，即得到如下方程组：

代入上面求得的λ₁、λ₂、λ₃表达式，就能得到交战三方的最优控制律，具体如下：

式中，

分别是导弹、目标、防御弹的最优控制律；a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D、θ₀、t_f1、t_f2、

δ的定义同步骤一；z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)、t_go1、t_go2的定义同步骤二；

发现三者的最优控制律均是z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的显示表达式，然而，在实际交战中，并不知道终端时刻的零控脱靶量值z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)，只能够通过当前交战双方的信息计算当前时刻的零控脱靶量z₁(t)、z₂(t)、z₃(t)，因此，建立z₁(t)、z₂(t)、z₃(t)和z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的显示关系；

将三者的最优控制律

代入新三体微分对策模型的系统方程即步骤2.2：

得到：

将上述微分方程在[t，t_f1]内对时间积分，且考虑到步骤一中的阶跃函数δ的表达式：

以及，导弹和防御弹的交战完成时刻要先于导弹和目标的交战完成时刻，即

得到关于z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的线性方程组：

式中，t是当前时刻，z₁(t)是当前时刻，导弹和目标之间的零控脱靶量，z₂(t)是当前时刻，导弹和防御弹之间的零控脱靶量，z₃(t)是当前时刻，导弹和目标之间的零控碰撞角误差，后面为了书写方便，分别记为z₁、z₂、z₃；

系数矩阵K的表达式如下：

式中，a_MT、a_MD、a_γ、β_T、β_D、θ₀、

δ的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同步骤二；

根据克莱姆法则，求解上述线性方程组，得到z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的表达式如下：

式中，Δ是矩阵K的行列式；Δ₁₁、Δ₁₂、Δ₁₃、Δ₂₁、Δ₂₂、Δ₂₃、Δ₃₁、Δ₃₂、Δ₃₃是行列式Δ对应下标元素的代数余子式；

上述表达式建立了终端时刻零控脱靶量z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)与当前时刻零控脱靶量z₁、z₂、z₃的显示关系，将z₁(t_f1)、z₂(t_f2)、z₃(t_f1)的表达式代入导弹的最优控制律

中，并进行整理，即得到导弹的最优控制律：

即是带落角约束的微分对策反拦截机动突防/精确打击导引方法；式中，第一项用于导引导弹精确打击目标，即落点精度控制作用，第二项用于导引导弹规避防御弹的拦截，即起反拦截机动突防作用，第三项用于整形自身弹道，满足终端落角约束；t_go1、t_go2、z₁、z₂、z₃定义同步骤二；N_M1是与z₁相关的有效导航系数；N_M2是与z₂相关的有效导航系数；N_M3是与z₃相关的有效导航系数；N_M1、N_M2、N_M3的表达式为：

式中，a_MT、a_MD、a_γ、θ₀、

的定义同步骤一；t_go1、t_go2的定义同步骤二；Δ、Δ₁₁、Δ₁₂、Δ₁₃、Δ₂₁、Δ₂₂、Δ₂₃、Δ₃₁、Δ₃₂、Δ₃₃的定义同步骤三。

Images