CN102130745A - 一种改进的ldpc码的线性规划译码方法 - Google Patents

Abstract

一种改进的LDPC码的线性规划译码方法，属于通信技术领域。该方法应用于通信系统的译码模块，在原始线性规划译码的基础上，通过自适应添加有效冗余校验来提高译码模块的性能，有效改善整个通信系统的通信质量。在寻找有效冗余校验方面，该方法首先通过对原始校验矩阵进行有目的的初等行变换，得到一个类单位矩阵的等价校验矩阵，再根据等价校验矩阵中的冗余校验方程来自适应产生有效冗余校验不等式，因此具有自适应性。和原始线性规划译码相比，本发明所涉及的改进的线性规划译码，具有自适应提高译码性能的特点。

Description

一种改进的LDPC码的线性规划译码方法

技术领域

本发明涉及一种改进的、应用于LDPC码的线性规划译码方法，属于通信技术领域。

背景技术

低密度奇偶校验码(Low Densty Parity Check Code，LDPC)是一类具有稀疏校验矩阵的线性分组码，由Robert G.Gallager博士于1963年提出的。它不仅有逼近Shannon限的良好性能，而且译码复杂度较低，结构灵活，是近年信道编码领域的研究热点，目前已广泛应用于深空通信、光纤通信、卫星数字视频和音频广播等领域。因此对LDPC码的译码算法的研究也尤为重要。

LDPC码的线性规划(linear programming，LP)译码方法由J.Feldman等人于2005年提出，这种方法建立在线性规划松弛的基础上，是最大似然译码的一种近似。线性规划译码具有最大似然特性，即，一旦线性规划输出为码字，那么肯定是最大似然码字。这个特性使得线性规划译码器在性能分析方面比传统迭代译码要方便很多。并且，一旦译码模型建立，便可利用优化算法来求解线性规划问题。但在译码性能上，原始线性规划译码虽然好过最小和译码，但还是不如置信算法。这是因为原始线性规划译码模型中的可行域多面体是一个经过松弛的多面体，即有整数顶点，又有分数顶点，并且只有整数顶点才和码字一一对应。线性规划的最优解总在其可行多面体的顶点处取得，所以无论整数顶点还是分数顶点都是其可能最优解。当线性规划收敛于分数解的时候，就会出现译码错误。所以，原始线性规划译码虽然操作比较简单，但译码性能不够理想。“Using linear programming to decode binary linear codes”【IEEE Trans.Inf.Theory，vol.51，no.3，Mar.2005.】一文即属于此列。

发明内容

针对原始线性规划译码的译码性能不理想，本发明提出了一种改进的LDPC码的线性规划译码方法。该方法在原始线性规划译码的基础上，采用一种自适应寻找有效冗余校验的算法，利用添加冗余校验对原始线性规划译码输出的错误分数解进行纠正，从而改进译码的性能。

本发明译码方法是由以下方式来实现的：

一种改进的LDPC码的线性规划译码方法，用于通信系统信号接收端的译码模块，以实现从含有噪声及干扰的接收序列中最大化无失真地恢复出信道发端信息的功能；预先设C是一个具有m×n维校验矩阵H＝{h_j，i}的n长二进制LDPC码，I和J分别表示其变量节点的集合和校验节点的集合，其中，I＝{1，2，......，n}，J＝{1，2，......，m}；N(j)表示同校验节点j相连的变量节点的集合，即N(j)＝{i：i∈I，h_i，j＝1}；V表示N(j)的具有奇数个元素的子集；C_j表示第j个校验节点的本地码，即所有满足第j个校验方程的二进制序列的集合，P_j表示C_j的凸包；假设码C中的码字y经过一个二进制离散无记忆对称信道后，信道收端接收到一个受过噪声和干扰影响的序列y*；该方法步骤如下：

A.初始化

将信道收端收到的第i(i＝1，2，......，n)个变量节点的消息初始化为该节点的对数最大似然消息γ_i；在高斯白噪声信道下，采用二进制相移键控调制时，

${\mathrm{\γ}}_i=\ln \left(\frac{\mathrm{Pr}\left[y_i^{*}\right|y_i=0]}{\mathrm{Pr}\left[y_i^{*}\right|y_i=1]}\right)=\frac{2y_i^{*2}}{{\mathrm{\σ}}^2}---\left(1\right)$

其中y_i表示信道发送端的符号，σ²为该信道的噪声方差，Pr[·]表示对括号里所表示的事件求概率；

B.建立原始线性规划译码模型，求解线性规划问题

将本地码字凸包的交集P作为原始线性规划的可行域多面体，即可行域多面体其中P_j表示满足第j个校验方程的本地码字的凸包，将

作为目标函数，表示将接收序列中第i(i＝1，2，......，n)个变量节点的消息比特译为“1”的总代价，其中f_i表示原始线性规划可行域中可行点的第i个元素的取值，建立如下原始线性规划译码模型：

最小化：γ^Tf  使得：f∈P，        (2)

其中，γ＝[γ₁，γ₂，......γ_n]^T表示由所有变量节点的初始消息组成的列向量，γ^T表示γ的转置向量，f＝[f₁，f₂，......，f_n]^T表示可行域中的可行点，根据奇偶校验方程得可行域多面体P的表达式为：

0≤f_i≤1，i＝1，2，......，n，                 (3)

$\underset{i\∈V}{\mathrm{\Σ}}{f}_i-\underset{i\∈N\left(j\right)\backslash V}{\mathrm{\Σ}}{f}_i\≤\left|V\right|-1,$ $\∀V\⊆N\left(j\right),$ j＝1，2，......，m，               (4)

其中，f_i表示变量节点i在可行点f中的取值，N(j)表示同校验节点j相连的变量节点的集合，V表示N(j)的具有奇数个元素的子集，符号“|·|”表示取集合中元素的个数，

表示集合与集合之间的从属关系，即“属于或者等于”，符号“·\·”表示左右两个集合的差集，符号

表示对集合中的任何一个取值；不等式(3)将变量节点的集合I中每个变量节点的取值都限制在区间[0，1]上，不等式(4)将不满足任何校验方程的具有坏结构的二进制序列排除出可行域；求解上述原始线性规划问题，其最优解即为可行域多面体P中使目标函数取最小值的点；

C.判决

如果原始线性规划的最优解f^Δ全由整数元素组成，即对任意变量节点i(i＝1，2，......，n)，其在点f^Δ中的取值

都满足

其中f^Δ表示原始线性规划可行域中具有最小目标函数值的点，译码终止，译码器将原始最优解作为最大似然码字输出，否则，此解为错误解，进入下一步；

D.添加冗余重新译码

记当前错误解为f^err，从当前错误解中将取值为分数的变量节点提取出来，假设共有L个这样的变量节点，令对原始校验矩阵H进行自适应初等行变换得到其等价校验矩阵

对校验节点j(j＝1，2，......，min{m，L})，记

k_j＝|K_j|，

其中

表示矩阵

中同第j个校验节点相连的变量节点的集合，U表示在当前错误解f^err中取值为分数的变量节点的集合，u表示集合U中的变量节点，

表示变量节点u在错误解f^err中的取值，A_j表示矩阵

中既与校验节点j相连又在错误解f^err中取值为分数的变量节点的集合，s表示集合A_j中的变量节点，K_j表示矩阵

中既与校验节点j相连又在错误f^err中取值为1的变量节点的集合，k_j表示集合K_j中元素的个数，K′_j表示矩阵中既与校验节点j相连又在错误f^err中取值为0的变量节点的集合，h表示集合K_j中的变量节点，

表示变量节点h在错误解f^err中的取值，h′表示集合K′_j中的变量节点，

表示变量节点h′在错误解f^err中的取值，当|A_j|＝1时，即矩阵

中与校验节点j相连的变量节点中有且只有一个在错误解f^err中取值为分数，如果k_j是奇数，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h-f_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j-1,---\left(5\right)$

其中f_h、f_s、f_h′分别表示变量节点h、s、h′在可行点f中的取值，如果k_j是偶数，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h+f_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j,---\left(6\right)$

当|A_j|≥2时，如果k_j是奇数并且

其中

表示变量节点s在错误解f^err中的取值，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h-\underset{s\∈A_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j-1,---\left(7\right)$

如果k_j是偶数，记s^max为集合A_j中在错误解f^err中取值最大的那个变量节点，记该变量节点在错误解f^err中的取值为

那么有

如果

那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h+f_{s^{\max }}-\underset{s\∈A_j\backslash s^{\max }}{\mathrm{\Σ}}{f}_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j;---\left(8\right)$

其中

表示变量节点s^max在可行点f中的取值；将得到的所有冗余校验不等式添加至原始线性规划问题中，重新译码；

E.判断结果输出

如果此时的解全由整数元素组成，译码模块输出最大似然码字，否则，译码模块输出错误或者返回步骤D，继续添加冗余，重新译码，直到获得最大似然码字或者达到预期要求；

F.算法结束，译码终止。

上述步骤D中所述的对原始校验矩阵H进行自适应初等行变换得到等价校验矩阵其详细步骤如下：

1)初始化，输入矩阵H，令计数变量l＝1；

2)取H矩阵第l列中除第l个元素外其余所有非零元素，设共有D个，记其行标的集合为T^l，即

其中t表示集合T^l中的元素，

表示矩阵第t行第u_l的元素，m表示矩阵的行数；如果l∈T^l，直接进入到4)，否则，继续下一步；

3)对H矩阵中第t₁与第l行中对应位置的元素进行模二和运算，用得到的结果更新矩阵第l行中的元素，即对矩阵的任意列g(g＝1，2，......，n)，令

其中h_l，g表示矩阵第l行第g列的元素，表示矩阵第t₁行第g列的元素；

4)将H矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素分别与第l行中的对应位置的元素进行模二和运算，用所得结果更新矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素；更新变量l＝l+1；

5)如果l≤L且l≤m，返回步骤2)，其中L表示错误解f^err中取值为分数的变量节点的数目，否则，继续下一步；

6)步骤终止，获得矩阵

上述步骤4)中所述的将矩阵H第t₁，t₂，......，t_D行中的元素分别与第l行中的对应位置的元素进行模二和运算并用所得结果更新矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素，具体步骤如下：

i、初始化，令d＝1，其中d表示集合T^l中元素的下标，d∈{1，2，......，D}，D为H矩阵第l列中除第l个元素外其余所有非零元素的个数；

ii、对矩阵的任意列g(g＝1，2，......，n)，用元素

与h_l，g的模二和来更新矩阵中第t_d行第g列的元素即令

其中

表示矩阵第t_d行第g列的元素，h_l，g表示矩阵第l行第g列的元素；更新集合T^l中元素的下标d＝d+1；

iii、如果d≤D，返回步骤ii；否则，进入下一步；

iv、终止。

本发明利用对原始校验矩阵进行初等行变化得到冗余奇偶校验方程，从而得到新的奇偶校验不等式，通过对原始线性规划译码添加这些新的限制条件，在不影响码C的基础上，缩小了可行域范围，减少了可能的分数解，从而提高了译码性能；假设共有W个冗余奇偶校验不等式，改进的线性规划译码模型如下：

最小化：γ^Tf

使得：f∈P且 ${\mathrm{\λ}}_1^{T}f\≤{\mathrm{\β}}_1,$ ${\mathrm{\λ}}_2^{T}f\≤{\mathrm{\β}}_2,$ ${\mathrm{\λ}}_W^{T}f\≤{\mathrm{\β}}_W;---\left(9\right)$

其中，对任意的w∈{1，2，......，W}，λ_w表示一个n维列向量，表示λ_w的转置向量，β_w表示一个数值，

表示新添加的冗余校验不等式。

这种改进的线性规划译码算法通过添加冗余校验提高了译码模块的译码性能，并且针对不同的错误分数解添加不同的有效冗余校验，因此具有自适应改进译码性能的特点。相比较于原始线性规划译码，这种改进的线性规划译码，有效提高了信道收端译码模块的纠错能力，从而改善了整个通信系统的通信质量。

附图说明

图1是本发明译码方法的流程框图，其中A-F为其各个步骤。

图2是图1中步骤D所示的对原始校验矩阵H进行自适应初等行变换得到等价校验矩阵

的流程框图，其中1)-6)为其各个步骤。

图3是图2中步骤4)所示方法的流程图，其中i-iv为其各个步骤。

具体实施方式：

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明，但不限于此。

实施例：

一种改进的LDPC码的线性规划译码方法，用于通信系统信号接收端的译码模块，以实现从含有噪声及干扰的接收序列中最大化无失真地恢复出信道发端信息的功能；预先设C是一个具有m×n维校验矩阵H＝{h_j，i}的n长二进制LDPC码，I和J分别表示其变量节点的集合和校验节点的集合，其中，I＝{1，2，......，n}，J＝{1，2，......，m}；N(j)表示同校验节点j相连的变量节点的集合，即N(j)＝{i：i∈I，h_i，j＝1}；V表示N(j)的具有奇数个元素的子集；C_j表示第j个校验节点的本地码，即所有满足第j个校验方程的二进制序列的集合，P_i表示C_j的凸包；假设码C中的码字y经过一个二进制离散无记忆对称信道后，信道收端接收到一个受过噪声和干扰影响的序列y*；如图1所示，该方法步骤如下：

A.初始化

将信道收端收到的第i(i＝1，2，......，n)个变量节点的消息

初始化为该节点的对数最大似然消息γ_i；在高斯白噪声信道下，采用二进制相移键控调制时，

${\mathrm{\γ}}_i=\ln \left(\frac{\mathrm{Pr}\left[y_i^{*}\right|y_i=0]}{\mathrm{Pr}\left[y_i^{*}\right|y_i=1]}\right)=\frac{2y_i^{*2}}{{\mathrm{\σ}}^2}---\left(1\right)$

其中y_i表示信道发送端的符号，σ²为该信道的噪声方差，Pr[·]表示对括号里所表示的事件求概率；

B.建立原始线性规划译码模型，求解线性规划问题

将本地码字凸包的交集P作为原始线性规划的可行域多面体，即可行域多面体

其中P_j表示满足第j个校验方程的本地码字的凸包，将

作为目标函数，表示将接收序列中第i(i＝1，2，......，n)个变量节点的消息比特译为“1”的总代价，其中f_i表示原始线性规划可行域中可行点的第i个元素的取值，建立如下原始线性规划译码模型：

最小化：γ^Tf  使得：f∈P，          (2)

其中，γ＝[γ₁，γ₂，......γ_n]^T表示由所有变量节点的初始消息组成的列向量，γ^T表示γ的转置向量，f＝[f₁，f₂，......，f_n]^T表示可行域中的可行点，根据奇偶校验方程得可行域多面体P的表达式为：

0≤f_i≤1，i＝1，2，......，n，         (3)

$\underset{i\∈V}{\mathrm{\Σ}}{f}_i-\underset{i\∈N\left(j\right)\backslash V}{\mathrm{\Σ}}{f}_i\≤\left|V\right|-1,$ $\∀V\⊆N\left(j\right),$ j＝1，2，......，m，(4)

其中，f_i表示变量节点i在可行点f中的取值，N(j)表示同校验节点j相连的变量节点的集合，V表示N(j)的具有奇数个元素的子集，符号“|·|”表示取集合中元素的个数，

表示集合与集合之间的从属关系，即“属于或者等于”，符号“·\·”表示左右两个集合的差集，符号

表示对集合中的任何一个取值；不等式(3)将变量节点的集合I中每个变量节点的取值都限制在区间[0，1]上，不等式(4)将不满足任何校验方程的具有坏结构的二进制序列排除出可行域；求解上述原始线性规划问题，其最优解即为可行域多面体P中使目标函数取最小值的点；

C.判决

如果原始线性规划的最优解f^Δ全由整数元素组成，即对任意变量节点i(i＝1，2，......，n)，其在点f^Δ中的取值

都满足

其中f^Δ表示原始线性规划可行域中具有最小目标函数值的点，译码终止，译码器将原始最优解作为最大似然码字输出，否则，此解为错误解，进入下一步；

D.添加冗余重新译码

记当前错误解为f^err，从当前错误解中将取值为分数的变量节点提取出来，假设共有L个这样的变量节点，令

对原始校验矩阵H进行自适应初等行变换得到其等价校验矩阵

对校验节点j(j＝1，2，......，min{m，L})，记

k_j＝|K_j|，

其中

表示矩阵中同第j个校验节点相连的变量节点的集合，U表示在当前错误解f^err中取值为分数的变量节点的集合，u表示集合U中的变量节点，

表示变量节点u在错误解f^err中的取值，A_j表示矩阵

中既与校验节点j相连又在错误解f^err中取值为分数的变量节点的集合，s表示集合A_j中的变量节点，K_j表示矩阵

中既与校验节点j相连又在错误f^err中取值为1的变量节点的集合，k_j表示集合K_j中元素的个数，K′_j表示矩阵

中既与校验节点j相连又在错误f^err中取值为0的变量节点的集合，h表示集合K_j中的变量节点，

表示变量节点h在错误解f^err中的取值，h′表示集合K′_j中的变量节点，表示变量节点h′在错误解f^err中的取值，当|A_j|＝1时，即矩阵

中与校验节点j相连的变量节点中有且只有一个在错误解f^err中取值为分数，如果k_j是奇数，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h-f_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j-1,---\left(5\right)$

其中f_h、f_s、f_h′分别表示变量节点h、s、h′在可行点f中的取值，如果k_j是偶数，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h+f_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j,---\left(6\right)$

当|A_j|≥2时，如果k_j是奇数并且

其中

表示变量节点s在错误解f^err中的取值，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h-\underset{s\∈A_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j-1,---\left(7\right)$

如果k_j是偶数，记s^max为集合A_j中在错误解f^err中取值最大的那个变量节点，记该变量节点在错误解f^err中的取值为

那么有

如果

那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h+f_{s^{\max }}-\underset{s\∈A_j\backslash s^{\max }}{\mathrm{\Σ}}{f}_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j;---\left(8\right)$

其中

表示变量节点s^max在可行点f中的取值；将得到的所有冗余校验不等式添加至原始线性规划问题中，重新译码；

E.判断结果输出

如果此时的解全由整数元素组成，译码模块输出最大似然码字，否则，译码模块输出错误或者返回步骤D，继续添加冗余，重新译码，直到获得最大似然码字或者达到预期要求；

F.算法结束，译码终止。

上述步骤D中所述的对原始校验矩阵H进行自适应初等行变换得到等价校验矩阵如图2所示，其详细步骤如下：

1)初始化，输入矩阵H，令计数变量l＝1；

2)取H矩阵第l列中除第l个元素外其余所有非零元素，设共有D个，记其行标的集合为T^l，即

其中t表示集合T^l中的元素，表示矩阵第t行第u_l的元素，m表示矩阵的行数；如果l∈T^l，直接进入到4)，否则，继续下一步；

3)对H矩阵中第t₁与第l行中对应位置的元素进行模二和运算，用得到的结果更新矩阵第l行中的元素，即对矩阵的任意列g(g＝1，2，......，n)，令

其中h_l，g表示矩阵第l行第g列的元素，表示矩阵第t₁行第g列的元素；

4)将H矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素分别与第l行中的对应位置的元素进行模二和运算，用所得结果更新矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素；更新变量l＝l+1；

5)如果l≤L且l≤m，返回步骤2)，其中L表示错误解f^err中取值为分数的变量节点的数目，否则，继续下一步；

6)步骤终止，获得矩阵

上述步骤4)中所述的将矩阵H第t₁，t₂，......，t_D行中的元素分别与第l行中的对应位置的元素进行模二和运算并用所得结果更新矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素，如图3所示，具体步骤如下：

i、初始化，令d＝1，其中d表示集合T^l中元素的下标，d∈{1，2，......，D}，D为H矩阵第l列中除第l个元素外其余所有非零元素的个数；

ii、对矩阵的任意列g(g＝1，2，......，n)，用元素

与h_l，g的模二和来更新矩阵中第t_d行第g列的元素

即令

其中表示矩阵第t_d行第g列的元素，h_l，g表示矩阵第l行第g列的元素；更新集合T^l中元素的下标d＝d+1；

iii、如果d≤D，返回步骤ii；否则，进入下一步；

iv、终止。

Claims (3)

1.一种改进的LDPC码的线性规划译码方法，用于通信系统信号接收端的译码模块，以实现从含有噪声及干扰的接收序列中最大化无失真地恢复出信道发端信息的功能；预先设C是一个具有m×n维校验矩阵H＝{h_j，i}的n长二进制LDPC码，I和J分别表示其变量节点的集合和校验节点的集合，其中，I＝{1，2，......，n}，J＝{1，2，......，m}；N(j)表示同校验节点j相连的变量节点的集合，即N(j)＝{i：i∈I，h_i，j＝1}；V表示N(j)的具有奇数个元素的子集；C_j表示第j个校验节点的本地码，即所有满足第j个校验方程的二进制序列的集合，P_i表示C_j的凸包；假设码C中的码字y经过一个二进制离散无记忆对称信道后，信道收端接收到一个受过噪声和干扰影响的序列y*；该方法步骤如下：

A.初始化

将信道收端收到的第i(i＝1，2，......，n)个变量节点的消息

初始化为该节点的对数最大似然消息γ_i；在高斯白噪声信道下，采用二进制相移键控调制时，

${\mathrm{\γ}}_i=\ln \left(\frac{\mathrm{Pr}\left[y_i^{*}\right|y_i=0]}{\mathrm{Pr}\left[y_i^{*}\right|y_i=1]}\right)=\frac{2y_i^{*2}}{{\mathrm{\σ}}^2}---\left(1\right)$

其中y_i表示信道发送端的符号，σ²为该信道的噪声方差，Pr[·]表示对括号里所表示的事件求概率；

B.建立原始线性规划译码模型，求解线性规划问题

将本地码字凸包的交集P作为原始线性规划的可行域多面体，即可行域多面体

其中P_i表示满足第j个校验方程的本地码字的凸包，将

作为目标函数，表示将接收序列中第i(i＝1，2，......，n)个变量节点的消息比特译为“1”的总代价，其中f_i表示原始线性规划可行域中可行点的第i个元素的取值，建立如下原始线性规划译码模型：

最小化：γ^Tf  使得：f∈P，        (2)

其中，γ＝[γ₁，γ₂，......γ_n]^T表示由所有变量节点的初始消息组成的列向量，γ^T表示γ的转置向量，f＝[f₁，f₂，......，f_n]^T表示可行域中的可行点，根据奇偶校验方程得可行域多面体P的表达式为：

0≤f_i≤1，i＝1，2，......，n，     (3)

$\underset{i\∈V}{\mathrm{\Σ}}{f}_i-\underset{i\∈N\left(j\right)\backslash V}{\mathrm{\Σ}}{f}_i\≤\left|V\right|-1,$ $\∀V\⊆N\left(j\right),$ j＝1，2，......，m，(4)

其中，f_i表示变量节点i在可行点f中的取值，N(j)表示同校验节点j相连的变量节点的集合，V表示N(j)的具有奇数个元素的子集，符号“|·|”表示取集合中元素的个数，

表示集合与集合之间的从属关系，即“属于或者等于”，符号“·\·”表示左右两个集合的差集，符号表示对集合中的任何一个取值；不等式(3)将变量节点的集合I中每个变量节点的取值都限制在区间[0，1]上，不等式(4)将不满足任何校验方程的具有坏结构的二进制序列排除出可行域；求解上述原始线性规划问题，其最优解即为可行域多面体P中使目标函数取最小值的点；

C.判决

如果原始线性规划的最优解f^Δ全由整数元素组成，即对任意变量节点i(i＝1，2，......，n)，其在点f^Δ中的取值

都满足其中f^Δ表示原始线性规划可行域中具有最小目标函数值的点，译码终止，译码器将原始最优解作为最大似然码字输出，否则，此解为错误解，进入下一步；

D.添加冗余重新译码

记当前错误解为f^err，从当前错误解中将取值为分数的变量节点提取出来，假设共有L个这样的变量节点，令对原始校验矩阵H进行自适应初等行变换得到其等价校验矩阵

对校验节点j(j＝1，2，......，min{m，L})，记

k_j＝|K_j|，

其中

表示矩阵

中同第j个校验节点相连的变量节点的集合，U表示在当前错误解f^err中取值为分数的变量节点的集合，u表示集合U中的变量节点，

表示变量节点u在错误解f^err中的取值，A_j表示矩阵中既与校验节点j相连又在错误解f^err中取值为分数的变量节点的集合，s表示集合A_j中的变量节点，K_j表示矩阵

中既与校验节点j相连又在错误f^err中取值为1的变量节点的集合，k_j表示集合K_j中元素的个数，K′_j表示矩阵

中既与校验节点j相连又在错误f^err中取值为0的变量节点的集合，h表示集合K_j中的变量节点，

表示变量节点h在错误解f^err中的取值，h′表示集合K′_j中的变量节点，

表示变量节点h′在错误解f^err中的取值，当|A_j|＝1时，即矩阵

中与校验节点j相连的变量节点中有且只有一个在错误解f^err中取值为分数，如果k_j是奇数，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h-f_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j-1,---\left(5\right)$

其中f_h、f_s、f_h′分别表示变量节点h、s、h′在可行点f中的取值，如果k_j是偶数，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h+f_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j,---\left(6\right)$

当|A_j|≥2时，如果k_j是奇数并且

其中

表示变量节点s在错误解f^err中的取值，那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h-\underset{s\∈A_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j-1,---\left(7\right)$

如果k_j是偶数，记s^max为集合A_j中在错误解f^err中取值最大的那个变量节点，记该变量节点在错误解f^err中的取值为

那么有如果

那么关于校验节点j的有效冗余校验为

$\underset{h\∈K_j}{\mathrm{\Σ}}{f}_h+f_{s^{\max }}-\underset{s\∈A_j\backslash s^{\max }}{\mathrm{\Σ}}{f}_s-\underset{h^{\′}\∈K_j^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{h^{\′}}\≤k_j;---\left(8\right)$

其中

表示变量节点s^max在可行点f中的取值；将得到的所有冗余校验不等式添加至原始线性规划问题中，重新译码；

E.判断结果输出

如果此时的解全由整数元素组成，译码模块输出最大似然码字，否则，译码模块输出错误或者返回步骤D，继续添加冗余，重新译码，直到获得最大似然码字或者达到预期要求；

F.算法结束，译码终止。

2.如权利要求1所述的一种改进的LDPC码的线性规划译码方法上述步骤D中所述的对原始校验矩阵H进行自适应初等行变换得到等价校验矩阵

其详细步骤如下：

1)初始化，输入矩阵H，令计数变量l＝1；

2)取H矩阵第l列中除第l个元素外其余所有非零元素，设共有D个，记其行标的集合为T^l，即其中t表示集合T^l中的元系，

表示矩阵第t行第u_l的元素，m表示矩阵的行数；如果l∈T^l，直接进入到4)，否则，继续下一步；

3)对H矩阵中第t₁与第l行中对应位置的元素进行模二和运算，用得到的结果更新矩阵第l行中的元素，即对矩阵的任意列g(g＝1，2，......，n)，令

其中h_l，g表示矩阵第l行第g列的元素，

表示矩阵第t₁行第g列的元素；

4)将H矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素分别与第l行中的对应位置的元素进行模二和运算，用所得结果更新矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素；更新变量l＝l+1；

5)如果l≤L且l≤m，返回步骤2)，其中L表示错误解f^err中取值为分数的变量节点的数目，否则，继续下一步；

6)步骤终止，获得矩阵

3.如权利要求2上述步骤4)中所述的将矩阵H第t₁，t₂，......，t_D行中的元素分别与第l行中的对应位置的元素进行模二和运算并用所得结果更新矩阵第t₁，t₂，......，t_D行中的元素，具体步骤如下：

i、初始化，令d＝1，其中d表示集合T^l中元素的下标，d∈{1，2，......，D}，D为H矩阵第l列中除第l个元素外其余所有非零元素的个数；

ii、对矩阵的任意列g(g＝1，2，......，n)，用元素

与h_l，g的模二和来更新矩阵中第t_d行第g列的元素

即令

其中

表示矩阵第t_d行第g列的元素，h_l，g表示矩阵第l行第g列的元素；更新集合T^l中元素的下标d＝d+1；

iii、如果d≤D，返回步骤ii；否则，进入下一步；

iv、终止。

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