CN108650029B - 一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法，属于量子安全直接通信技术领域。该方法首先在接收端和发送端采用量子随机数序列约束替换LDPC码的Tanner表示图中的奇偶校验码约束，得到LDPC‑QRS码的Tanner表示图；在发送端，利用LDPC‑QRS码的Tanner表示图对发送信息序列进行编码，得到对应的发送码字；然后将发送码字发送到量子信道上进行传输，接收端收到对应的接收码字；在接收端，利用LDPC‑QRS的Tanner表示图对接收码字进行译码，得到对应的接收信息序列。本发明方法具有接近香农理论限的优异纠错性能，可以有效实现量子安全直接通信系统中信息的可靠传输。

Description

一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法

技术领域

本发明属于量子安全直接通信领域，特别涉及一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法。

背景技术

量子安全直接通信技术是一种新型的安全通信技术，可以在量子信道中安全地直接传输信息。在量子安全直接通信中，信息传输过程可以分为以下三个阶段：(1)接收者置备一系列单光子，然后利用本地产生的随机序列对单光子进行相位调制，并将调制后的单光子序列通过量子信道发送给发送者。(2)发送者将收到的单光子序列分成两部分，利用其中一部分进行测量，另一部分通过量子存储器进行存储。然后将测量结果以及测量基通过公开信道发送给接收者。接收者根据发送者公布的测量基以及测量结果，进行窃听检测，并将检测结果再次返回给发送者。(3)发送者根据窃听检测结果，判断是否存在窃听：如果存在窃听，则不进行信息的传输；如果不存在窃听，则对信息序列进行编码，得到发送码字。利用发送码字对量子存储器中存储的单光子进行相位调制，然后通过量子信道发送给接收者。接收者在收到经过相位调制的单光子序列后，完成解调以及译码。在信息传输过程的第(3)阶段，由于量子信道的衰减效应以及单光子源的非理想特性，导致接收端的单光子接收率往往很小，通常在万分之四到千分之二之间。这就意味着发送码字中的绝大多数传输符号无法被接收端成功地接收。因此，发送端与接收端需要使用纠错码对发送信息序列分别进行编码和译码，同时编译码码率应小于等于接收端的单光子的接收率，从而保证传输的可靠性。

在现有纠错码方案中，低密度奇偶校验码(low-density parity-check codes，以下简称LDPC码)具有最为强大的纠错能力，已经被广泛应用于无线通信、光通信、深空通信等各个领域之中。但是，传统LDPC码的编译码码率往往较高，如在美国航空航天局制定的CCSDS通信标准中，LDPC码的编译码码率在1/2到4/5之间。欧洲卫星通信标准DVBS-2中，LDPC码的编译码码率在1/4到9/10之间。目前，满足极低码率约束(即码率低于千分之二)的LDPC码的编译码方法设计存在巨大的技术挑战——不仅满足LDPC码构造约束的高性能LDPC码字极为稀少，同时高性能的低码率LDPC码的编译码矩阵往往异常复杂，编译码运算复杂度非常高。开发高性能的、低实现复杂度的极低码率编译码技术，对于解决量子直接安全通信中的信息的可靠传输问题，具有非常重要的意义。

LDPC码的校验矩阵H_T的结构可以用Tanner表示图来描述。图1是一个LDPC码的校验矩阵及其对应的的Tanner表示图.Tanner表示图由变量节点(图中用小圆圈表示)，校验节点(图中用小方块表示)与连接变量节点和校验节点的边三部分组成。其中，编号为i的变量节点代表LDPC码的校验矩阵中的第i列，编号为j的校验节点代表LDPC码的校验矩阵中的第j行。连接编号为i的变量节点与编号为j的校验节点的边代表位于矩阵H_T中的第i行第j列的元素为非零1元素。与某个变量节点与校验节点相连的边的数目称为该变量节点或者是校验节点的度。对于度为λ_i的变量节点，其满足码长为λ_i+1比特，信息序列长度为1比特的重复码约束。对于度为ρ_i的校验节点，其满足码长为ρ_j比特，信息序列长度为ρ_j-1的奇偶校验码约束。

图1中的矩阵是LDPC码的校验矩阵，LDPC码的Tanner表示图就是用来描述校验矩阵的。编号为1的方块代表H_T的第一行，编号为1的圆圈代表H_T的第一列，以此类推。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足之处，提出了一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法。该方法具有接近香农理论限的优异性能，且可以用较低的复杂度实现，可以有效保证量子安全直接通信系统中信息的可靠传输。

本发明提出一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法，其特征在于，包括步骤：

1)接收端和发送端采用量子随机数序列约束替换LDPC码的Tanner表示图中的奇偶校验码约束，得到LDPC-QRS码的Tanner表示图；具体步骤如下：

1.1)在接收端，利用量子随机数发生器产生两个L比特长的量子随机数序列p₀＝(p_0,1,p_0,2,...,p_0,j,...,p_0,L)和p₁＝(p_1,1,p_1,2,...,p_1,j,...,p_1,L)，其中，L为正整数，p_0,j与p_1,j的取值为1或者0，j＝1,2,...,L；然后利用两个量子随机数序列约束替换LDPC码Tanner表示图中的奇偶校验码约束，将满足码长为ρ_j比特、信息序列长度为ρ_j-1比特的奇偶校验码约束的校验用一个码长为L比特，信息序列长度为1比特的量子随机数序列约束代替，对应一个QRS校验节点，得到LDPC-QRS码的Tanner表示图；

1.2)接收端通过公开信道，将步骤1.1)生成的两个量子随机数序列p₀与p₁发送给发送端，发送端利用两个量子随机数序列约束替换LDPC码Tanner表示图中的奇偶校验码约束，得到与步骤1.1)中相同的LDPC-QRS码的Tanner表示图；

2)在发送端，利用步骤1.2)得到的LDPC-QRS码的Tanner表示图对发送信息序列进行编码，得到对应的发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)；具体步骤如下：

2.1)在发送端，将发送信息序列m与LDPC的Tanner表示图对应的编码矩阵G相乘，即x＝m×G，得到发送信息序列的LDPC编码码字x＝(x₀,x₁,...,x_i,...,x_n-1)；其中，G的大小为k×n，m的长度为k比特，k和n均为正整数；x_i的取值为+1或者0，i＝0,1,...,n-1；

2.2)在发送端，利用步骤1.2)得到的LDPC-QRS码的Tanner表示图对步骤2.1)得到的编码码字x＝(x₀,x₁,...,x_i,...,x_n-1)进行扩展，得到发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)，其中，s_i是长度为L比特的向量；扩展方式如下：如果x_i＝0，则s_i＝p₀；如果x_i＝1，则s_i＝p₁；

3)在发送端，将步骤2)得到的发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)发送到量子信道上进行传输，接收端收到对应的接收码字r＝(r₀,r₁,...,r_i,...,r_n-1)，其中r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)，r_i,j的取值为+1，-1或者0，j＝0,1,...,L-1；

4)在接收端，利用步骤1.1)得到的LDPC-QRS的Tanner表示图对接收码字r＝(r₀,r₁,...,r_i,...,r_n-1)进行译码，得到对应的接收信息序列；具体步骤如下：

4.1)在接收端，计算得到接收码字r对应的对数似然比向量LLR(r)＝[LLR(r₀),LLR(r₁),...,LLR(r_i),...,LLR(r_n-1)]；具体步骤如下：

4.1.1)对r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)与p₀＝(p_0,1,p_0,2,...,p_0,j,...,p_0,L)进行逐元素的对比；统计r_i,j＝p_0,j＝0或者r_i,j＝p_0,j＝1出现的次数记为t₁；统计r_i,j＝0且p_0,j＝1或者r_i,j＝1且p_0,j＝0出现的次数记为t₂；

4.1.2)对r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)与p₁＝(p_1,1,p_1,2,...,p_1,j,...,p_1,L)进行逐元素对比；统计r_i,j＝p_1,j＝0或者r_i,j＝p_1,j＝1出现的次数记为t₃；统计r_i,j＝0且p_1,j＝1或者r_i,j＝1且p_1,j＝0出现的次数记为t₄；

4.1.3)按照下式计算LLR(r_i)，得到接收码字r对应的对数似然比向量LLR(r)：

其中，Pr(r_i|s_i＝p₀)与Pr(r_i|s_i＝p₁)为量子信道的转移概率，q为量子信道的比特翻转概率；

4.2)在接收端，利用LDPC的Tanner表示图对应的译码矩阵H对步骤4.1)得到的LLR(r)进行译码，得到接收信息序列m′；其中H的大小为(n-k)×n，m′的长度为k比特；具体步骤如下：

4.2.1)利用LDPC译码矩阵H，使用步骤4.1)中得到的对数似然比向量LLR(r)，通过译码算法进行译码；设置最大迭代次数为正整数iter_max并进行判定：若迭代次数小于iter_max，则对每次迭代后得到的新的对数似然比向量LLR_t进行硬判决，其中t代表迭代次数，得到硬判决序列d，若d满足校验方程H·(d)^T＝0，则译码成功，结束迭代，进入步骤4.2.2)；否则继续迭代直到迭代次数等于iter_max，结束迭代，进入步骤4.2.2)；

4.2.2)对步骤4.2.1)中迭代结束时得到的对数似然比向量进行硬判决，得到的硬判决序列中的前k比特即为接收信息序列m′，译码结束。

本发明的特点及有益效果：

与传统的LDPC码的编译码方法相比，本发明发明方法可以灵活地实现码率的拓展，同时具有逼近香农限的优异纠错性能，可以有效纠正传输符号在单光子量子信道中发生的错误，从而解决了量子安全直接通信中信息的可靠传输问题。该方法还具有较低的编译码运算复杂度，有利于在量子安全直接通信系统中的硬件实现。

附图说明

图1是传统LDPC码的校验矩阵及Tanner表示图。

图2是本发明方法的整体流程图。

图3是本发明的LDPC-QRS码的Tanner表示图。

具体实施方式

本发明提出的一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法，下面结合附图及具体实施例进一步详细描述如下。

本发明提出的一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法，该方法在收发两端采用量子随机数序列约束替换传统LDPC码的Tanner表示图中的单奇偶校验码约束，从而得到LDPC-QRS码的Tanner表示图；在发送端，发送者利用LDPC-QRS码的Tanner表示图对发送信息序列进行编码，得到对应的发送码字；在接收端，接收者利用LDPC-QRS码的Tanner表示图对接收码字进行译码，得到对应的接收信息序列。整体流程如图2所示，该方法包括以下步骤：

1)接收端和发送端采用量子随机数序列约束替换LDPC码的Tanner表示图中的奇偶校验码约束，得到LDPC-QRS码的Tanner表示图；具体步骤如下：

1.1)在接收端，利用量子随机数发生器产生两个L比特长的量子随机数序列p₀＝(p_0,1,p_0,2,...,p_0,j,...,p_0,L)和p₁＝(p_1,1,p_1,2,...,p_1,j,...,p_1,L)，其中，L为正整数，p_0,j与p_1,j的取值为1或者0，j＝1,2,...,L。然后利用-这两个量子随机数序列约束替换LDPC码Tanner表示图中的奇偶校验码约束，即将满足码长为ρ_j比特，信息序列长度为ρ_j-1比特的奇偶校验码约束的校验用一个码长为L比特、信息序列长度为1比特的量子随机数序列约束代替，对应一个QRS校验节点(图3是本发明的LDPC-QRS码的Tanner表示图。图3中用内含字母M的小方框表示一个QRS校验节点)，得到LDPC-QRS码的Tanner表示图，如图3所示；

除了QRS校验节点，LDPC-QRS码的Tanner表示图还包括QRS变量节点(图3中用灰色小圆圈表示)与LDPC变量节点(图3中用白色小圆圈表示)。其中，QRS变量节点代表对应的量子随机数序列中的比特；LDPC变量节点与传统LDPC码Tanner表示图中变量节点代表相同含义。

1.2)接收端通过公开信道，将步骤1.1)生成的两个量子随机序列p₀与p₁发送给发送端，发送端利用该两个量子随机数序列约束替换LDPC码Tanner表示图中的奇偶校验码约束，得到与步骤1.1)中相同的LDPC-QRS码的Tanner表示图；

2)在发送端，发送者利用步骤1.2)得到的LDPC-QRS码的Tanner表示图对发送信息序列进行编码，得到对应的发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)；具体步骤如下：

2.1)在发送端，将发送信息序列m与LDPC的Tanner表示图对应的编码矩阵G相乘，即x＝m×G，得到发送信息序列的LDPC编码码字x＝(x₀,x₁,...,x_i,...,x_n-1)。其中，G的大小为k×n，m的长度为k比特，k和n均为正整数；x_i的取值为+1或者0，i＝0,1,...,n-1；

2.2)在发送端，利用步骤1.2)得到的LDPC-QRS码的Tanner表示图对步骤2.1)得到的编码码字x＝(x₀,x₁,...,x_i,...,x_n-1)进行扩展，得到发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)，其中，s_i是长度为L比特的向量；扩展方式如下：如果x_i＝0，则s_i＝p₀；如果x_i＝1，则s_i＝p₁；

3)在发送端，将步骤2)得到的发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)发送到量子信道上进行传输，接收端收到对应的接收码字r＝(r₀,r₁,...,r_i,...,r_n-1)，其中r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)，r_i,j的取值为+1，-1或者0，j＝0,1,...,L-1；

4)在接收端，接收者利用步骤1.1)得到的LDPC-QRS的Tanner表示图对接收码字r＝(r₀,r₁,...,r_i,...,r_n-1)进行译码，得到对应的接收信息序列；具体步骤如下：

4.1)在接收端，计算得到接收码字r对应的对数似然比向量LLR(r)＝[LLR(r₀),LLR(r₁),...,LLR(r_i),...,LLR(r_n-1)]；具体步骤如下：

4.1.1)对r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)与p₀＝(p_0,1,p_0,2,...,p_0,j,...,p_0,L)进行逐元素的对比；统计r_i,j＝p_0,j＝0或者r_i,j＝p_0,j＝1出现的次数，将两种情况出现的总次数记为t₁；统计r_i,j＝0且p_0,j＝1或者r_i,j＝1且p_0,j＝0出现的次数，将两种情况出现的次数记为t₂。

4.1.2)对r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)与p₁＝(p_1,1,p_1,2,...,p_1,j,...,p_1,L)进行逐元素对比；统计r_i,j＝p_1,j＝0或者r_i,j＝p_1,j＝1出现的次数，将两种情况出现的总次数记为t₃；统计r_i,j＝0且p_1,j＝1或者r_i,j＝1且p_1,j＝0出现的次数，将两种情况出现的次数记为t₄。

4.1.3)按照下式计算LLR(r_i)，得到接收码字r对应的对数似然比向量LLR(r)：

其中，Pr(r_i|s_i＝p₀)与Pr(r_i|s_i＝p₁)为量子信道的转移概率，q为量子信道的比特翻转概率；

4.2)在接收端，利用LDPC的Tanner表示图对应的译码矩阵H对步骤4.1)得到的LLR(r)进行译码，得到接收信息序列m′；其中H的大小为(n-k)×n，m′的长度为k比特；具体步骤如下：

4.2.1)利用LDPC译码矩阵H，使用步骤4.1)中得到的对数似然比向量LLR(r)，通过已有的译码算法，如标准消息传递算法进行译码；设置最大迭代次数为正整数iter_max并进行判定：若迭代次数小于iter_max，则对每次迭代后得到的新的对数似然比向量LLR_t进行硬判决，其中t代表迭代次数，得到硬判决序列d，若d满足校验方程H·(d)^T＝0，则译码成功，结束迭代，进入步骤4.2.2)；否则继续迭代直到迭代次数等于iter_max，结束迭代，进入步骤4.2.2)。

4.2.2)对步骤4.2.1)中迭代结束时得到的对数似然比向量进行硬判决，得到的硬判决序列中的前k比特即为接收明文m_i′，译码结束。

本发明提出的一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法，下面通过实施例进一步进行具体的说明。

本实施例采用已有的CCSDS标准中大小为1024×1408的LDPC码的生成矩阵作为本发明实施例中使用的LDPC编码矩阵G，即k＝1024，n＝1408；采用相同的LDPC码的校验矩阵作为本发明实施例中使用的译码矩阵H。本实施例中采用PN23序列中的前8192个比特作为量子随机数序列p₀，即L＝8192；PN23序列中的后8192个比特作为量子随机数序列p₁。本实施例中信息传输的具体实施步骤如下：

1)接收端和发送端采用量子随机数序列约束替换LDPC码的Tanner表示图中的奇偶校验码约束，得到LDPC-QRS码的Tanner表示图；

2)在发送端，发送者利用LDPC-QRS码的Tanner表示图对发送信息序列进行编码，得到对应的发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)；具体步骤如下：

2.1)在发送端，将发送信息序列m与LDPC的Tanner表示图对应的编码矩阵G相乘，即x＝m×G，得到发送信息序列的LDPC编码码字x＝(x₀,x₁,...,x_i,...,x_n-1)。其中，G的大小为k×n，m的长度为k＝1024比特；x_i的取值为+1或者0，正整数i＝0,1,...,1407；

2.2)在发送端，利用LDPC-QRS码的Tanner表示图将编码码字x＝(x₀,x₁,...,x_i,...,x_n-1)进行扩展，得到发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1),其中，s_i是长度为L比特的向量；扩展方式如下：如果x_i＝0，则s_i＝p₀；如果x_i＝1，则s_i＝p₁；

3)在发送端，将发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)发送到量子信道上进行传输，接收端收到接收码字r＝(r₀,r₁,...,r_i,...,r_n-1)，其中r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)，r_i,j的取值为+1，-1或者0，正整数j＝0,1,...,8191；

4)在接收端，接收者利用LDPC-QRS的Tanner表示图对接收码字r＝(r₀,r₁,...,r_i,...,r_n-1)进行译码，得到对应的接收信息序列；

4.1)在接收端，计算得到接收码字r对应的对数似然比向量LLR(r)＝[LLR(r₀),LLR(r₁),...,LLR(r_i),...,LLR(r_n-1)]；

4.1.1)对r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)与p₀＝(p_0,1,p_0,2,...,p_0,L)进行逐元素的对比。统计r_i,j＝p_0,j＝0或者r_i,j＝p_0,j＝1出现的次数，将两种情况出现的总次数记为t₁；统计r_i,j＝0且p_0,j＝1或者r_i,j＝1且p_0,j＝0出现的次数，将两种情况出现的次数记为t₂。

4.1.2)对r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)于p₁＝(p_1,1,p_1,2,...,p_1,j,...,p_1,L)进行逐元素对比。统计r_i,j＝p_1,j＝0或者r_i,j＝p_1,j＝1出现的次数，将两种情况出现的总次数记为t₃；统计r_i,j＝0且p_1,j＝1或者r_i,j＝1且p_1,j＝0出现的次数，将两种情况出现的次数记为t₄。

4.1.3)按照下式计算LLR(r_i)，，得到接收码字r对应的对数似然比向量LLR(r)：

4.2)在接收端，利用LDPC的Tanner表示图对应的译码矩阵H对LLR(r)＝[LLR(r₀),LLR(r₁),...,LLR(r_i),...,LLR(r_n-1)]进行译码，得到接收信息序列m′；m′的长度为1024比特。具体步骤如下：

4.2.1)利用LDPC译码矩阵H，使用步骤4.3)中得到的对数似然比向量LLR(r)＝[LLR(r₀),LLR(r₁),...,LLR(r_i),...,LLR(r_n-1)]，通过标准消息传递算法进行译码；设置最大迭代次数为正整数iter_max＝63并进行判定：若迭代次数小于iter_max，对每次迭代后得到的新的对数似然比向量LLR_t进行硬判决，得到硬判决序列d，若d满足校验方程H·(d)^T＝0，则译码成功，结束迭代；否则继续迭代直到迭代次数等于iter_max，结束迭代。

4.2.2)对步骤4.2.1)中迭代结束时得到的对数似然比向量进行硬判决，得到的硬判决序列中的前1024比特即为接收信息序列m′，译码结束。

本实施例的效果：

在量子安全直接通信系统中，我们分别采用本发明中提出的基于LDPC-QRS码的纠错编译码方法与传统的重复码(Repetition Codes，简称RC)编译码方法，对接收端在不同信号接收率下恢复的接收信息序列的误比特率(BER)进行了测试，测试结果如表1所示。从表1中可以看出，在接收端信号的接收率大于或者等于0.00034的情况下，采用本发明中提出的基于LDPC-QRS码的极低码率纠错编译码方法，接收端恢复的接收信息序列的误比特率为0。考虑到量子安全直接通信系统在正常工作状态下，接收端信号的接收率往往大于0.0004。因此，我们的方法可以有效地保证量子安全直接通信系统中信息的可靠传输。同时，与传统的RC编译码方法相比，本发明可以有效降低接收信息序列的误比特率(BER，具有明显的性能优势。

表1本发明方法与传统的RC编译码方法的误比特率对比表

Claims (1)

1.一种适用于量子安全直接通信的纠错编译码方法，其特征在于，包括步骤：

1)接收端和发送端采用量子随机数序列约束替换LDPC码的Tanner表示图中的奇偶校验码约束，得到LDPC-QRS码的Tanner表示图；具体步骤如下：

1.1)在接收端，利用量子随机数发生器产生两个L比特长的量子随机数序列p₀＝(p_0,1,p_0,2,...,p_0,j,...,p_0,L)和p₁＝(p_1,1,p_1,2,...,p_1,j,...,p_1,L)，其中，L为正整数，p_0,j与p_1,j的取值为1或者0，j＝1,2,...,L；然后利用两个量子随机数序列约束替换LDPC码Tanner表示图中的奇偶校验码约束，将满足码长为ρ_j比特、信息序列长度为ρ_j-1比特的奇偶校验码约束的校验用一个码长为L比特，信息序列长度为1比特的量子随机数序列约束代替，对应一个QRS校验节点，得到LDPC-QRS码的Tanner表示图；

1.2)接收端通过公开信道，将步骤1.1)生成的两个量子随机数序列p₀与p₁发送给发送端，发送端利用两个量子随机数序列约束替换LDPC码Tanner表示图中的奇偶校验码约束，得到与步骤1.1)中相同的LDPC-QRS码的Tanner表示图；

2)在发送端，利用步骤1.2)得到的LDPC-QRS码的Tanner表示图对发送信息序列进行编码，得到对应的发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)；具体步骤如下：

2.1)在发送端，将发送信息序列m与LDPC的Tanner表示图对应的编码矩阵G相乘，即x＝m×G，得到发送信息序列的LDPC编码码字x＝(x₀,x₁,...,x_i,...,x_n-1)；其中，G的大小为k×n，m的长度为k比特，k和n均为正整数；x_i的取值为+1或者0，i＝0,1,...,n-1；

2.2)在发送端，利用步骤1.2)得到的LDPC-QRS码的Tanner表示图对步骤2.1)得到的编码码字x＝(x₀,x₁,...,x_i,...,x_n-1)进行扩展，得到发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)，其中，s_i是长度为L比特的向量；扩展方式如下：如果x_i＝0，则s_i＝p₀；如果x_i＝1，则s_i＝p₁；

3)在发送端，将步骤2)得到的发送码字s＝(s₀,s₁,...,s_i,...,s_n-1)发送到量子信道上进行传输，接收端收到对应的接收码字r＝(r₀,r₁,...,r_i,...,r_n-1)，其中r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)，r_i,j的取值为+1，-1或者0，j＝0,1,...,L-1；

4)在接收端，利用步骤1.1)得到的LDPC-QRS的Tanner表示图对接收码字r＝(r₀,r₁,...,r_i,...,r_n-1)进行译码，得到对应的接收信息序列；具体步骤如下：

4.1)在接收端，计算得到接收码字r对应的对数似然比向量LLR(r)＝[LLR(r₀),LLR(r₁),...,LLR(r_i),...,LLR(r_n-1)]；具体步骤如下：

4.1.1)对r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)与p₀＝(p_0,1,p_0,2,...,p_0,j,...,p_0,L)进行逐元素的对比；统计r_i,j＝p_0,j＝0或者r_i,j＝p_0,j＝1出现的次数记为t₁；统计r_i,j＝0且p_0,j＝1或者r_i,j＝1且p_0,j＝0出现的次数记为t₂；

4.1.2)对r_i＝(r_i,0,r_i,1,...,r_i,j,...,r_i,L-1)与p₁＝(p_1,1,p_1,2,...,p_1,j,...,p_1,L)进行逐元素对比；统计r_i,j＝p_1,j＝0或者r_i,j＝p_1,j＝1出现的次数记为t₃；统计r_i,j＝0且p_1,j＝1或者r_i,j＝1且p_1,j＝0出现的次数记为t₄；

4.1.3)按照下式计算LLR(r_i)，得到接收码字r对应的对数似然比向量LLR(r)：

其中，Pr(r_i|s_i＝p₀)与Pr(r_i|s_i＝p₁)为量子信道的转移概率，q为量子信道的比特翻转概率；

4.2)在接收端，利用LDPC的Tanner表示图对应的译码矩阵H对步骤4.1)得到的LLR(r)进行译码，得到接收信息序列m′；其中H的大小为(n-k)×n，m′的长度为k比特；具体步骤如下：

4.2.1)利用LDPC译码矩阵H，使用步骤4.1)中得到的对数似然比向量LLR(r)，通过译码算法进行译码；设置最大迭代次数为正整数iter_max并进行判定：若迭代次数小于iter_max，则对每次迭代后得到的新的对数似然比向量LLR_t进行硬判决，其中t代表迭代次数，得到硬判决序列d，若d满足校验方程H·(d)^T＝0，则译码成功，结束迭代，进入步骤4.2.2)；否则继续迭代直到迭代次数等于iter_max，结束迭代，进入步骤4.2.2)；

4.2.2)对步骤4.2.1)中迭代结束时得到的对数似然比向量进行硬判决，得到的硬判决序列中的前k比特即为接收信息序列m′，译码结束。

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