CN101789795B - 基于多码率原模图ldpc码的编码方法及编码器 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多码率原模图LDPC码的编码方法及编码器。该方法包括：获取信息码向量s＝[S₁，S₂，...，S_n-3]，其中s_i(1≤i≤n-3)大小为1×N；确定校验矩阵H_(n-3)/n，其中，n≥5；依据所述校验矩阵对所述信息码向量进行编码，获取校验码向量p＝[P₁，P₂，P₃]。基于本发明，可大幅减少编码计算量，简化编码系统的实现，降低编码复杂度。

Description

基于多码率原模图LDPC码的编码方法及编码器

技术领域

本发明涉及信道编码技术领域，尤其涉及一种基于多码率原模图LDPC码的编码方法及编码器。

背景技术

Gallager在1962年提出了低密度奇偶校验码(简称为LDPC码)，但是一直没有得到编码界的重视，直到1996年，低密度奇偶校验码被再发现，并开始被广泛研究。近年来，LDPC码的很多研究成果表明LDPC码是一类性能优异的好码，数字视频广播标准DVB-S2、GB20600和宽带无线接入标准IEEE802.16e已经把LDPC码作为标准的信道编码。

LDPC码是线性分组码，其对应的校验矩阵H是一个几乎都是由0组成的稀疏矩阵。H矩阵的每一列对应码字中的一个比特位，每一行对应一个校验方程。H矩阵每一行中为1的元素表示这些元素所对应的比特位都属于一个奇偶校验方程。由于生成矩阵G和校验矩阵H正交：G×H^T＝0，由校验矩阵可以导出生成矩阵G。

众所周知，由于校验矩阵是稀疏的，LDPC码的信息传递译码器相对容易实现，但是LDPC码的生成矩阵不是稀疏的，导致编码复杂性相当高，硬件难以实现。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于多码率原模图LDPC码的编码方法及编码器。基于本发明，可大幅减少编码计算量，简化编码系统的实现，降低编码复杂度。

本发明公开了一种基于多码率原模图LDPC码的编码方法，包括如下步骤：信息码获取步骤，获取信息码向量s＝[S₁，S₂，...，S_n-3]，其中S_i(1≤i≤n-3)大小为1×N，N为子向量S_i的长度；校验矩阵确定步骤，确定校验矩阵H_(n-3)/n，其中，n≥5；编码步骤，依据所述校验矩阵对所述信息码向量进行编码，获取校验码向量p＝[P₁，P₂，P₃]。

上述编码方法中，优选所述校验矩阵确定步骤中，所述校验矩阵H_(n-3)/n结构如下：

$H_{(n-3)/n}=\left[\begin{array}{ccccccc}{A}_{1,n-3}& ...& A_{\mathrm{1,2}}& A_{\mathrm{1,1}}& A_{\mathrm{1,0}}& I& 0\\ A_{2,n-3}& ...& A_{\mathrm{2,2}}& A_{\mathrm{2,1}}& 0& I& I\\ A_{3,n-3}& ...& A_{\mathrm{3,2}}& A_{\mathrm{3,1}}& A_{\mathrm{3,0}}& 0& I\end{array}\right]$

其中，I和0分别是N×N大小的单位矩阵和零矩阵，A_i，j，i＝1，2，3，j＝1，2，...，n-3为分块循环矩阵，n为H_(n-3)/n的子矩阵的列数。

上述编码方法中，优选所述码率(n-3)/n(n≥5)原模图LDPC的码校验矩阵H_(n-3)/n中，子矩阵A_1，0和A_3，0的设计规则为：

A_1，0＝∏₁⊕∏₂， $A_{\mathrm{3,0}}=I^{a_1},$

以保证

是可逆的，

是N×N大小的单位矩阵向右移位a₁(0≤a₁≤N-1)的矩阵，∏₁和∏₂为子矩阵A_1，0中N×N大小的置换矩阵，其中N是4的倍数，所述∏₁和∏₂在第i行π_k(i)，k＝1，2列有非零元素，其中i∈{0，…，N-1}，并且

上述编码方法中，优选所述分块循环矩阵A_i，j，i＝1，2，3，j＝1，2，...，n-3的设计规则为：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right],$

其中， $1\≤k\≤\frac{(n-3)}{2},$

是N×N大小的单位矩阵向右移位x_i(0≤x_i≤N-1)的矩阵，其中参数x_i(0≤x_i≤N-1)通过约束优化在计算机上搜索得到；是第y_j个N×N大小的置换矩阵，y_j∈{1，2，...K}，K为

型矩阵的总数。

上述编码方法中，优选所述分块循环矩阵A_i，j中的

型矩阵设计规则为：

是第y_j个N×N大小的置换矩阵，N是4的倍数，该矩阵在第i行

列有非零元素，其中i∈{0，…，N-1}，并且

其中，i＝1，2，3，j＝1，2，...，n-3参数

和

通过约束优化在计算机上搜索得到。

上述编码方法中，优选所述参数x_i、

和

的约束优化方法包括：

步骤1：随机产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值；步骤2：随机产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与步骤1中的BER性能进行比较，若优于步骤1中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于步骤1中的BER性能，则重新搜索参数；步骤3：重复执行步骤2，直到得到一组码的BER性能良好的参数值x_i、θ_k和φ_k(j，N)。

上述编码方法中，优选所述编码步骤中，依据下式确定所述校验码向量p＝[P₁，P₂，P₃]：

$P_1^T={(A_{\mathrm{1,0}}\⊕A_{\mathrm{3,0}})}^{-1}\·(\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{i,n-2-j}\·{S_j}^T),$

${P_2}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{1,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕A_{\mathrm{1,0}}\·P_1^T,$

${P_3}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{2,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕P_2^T,$

其中

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right],$ $1\≤k\≤\frac{(n-3)}{2}.$

另一方面，本发明还提供了一种基于多码率原模图LDPC码的编码器，包括：信息码获取模块，用于获取信息码向量s＝[S₁，S₂，...，S_n-3]，其中S_i(1≤i≤n-3)大小为1×N，N为子向量S_i的长度；校验矩阵确定模块，码率为(n-3)/n(n≥5)；编码模块，用于依据所述校验矩阵对所述信息码向量进行编码，获取校验码向量p＝[P₁，P₂，P₃]。

上述编码器，优选所述校验矩阵确定模块中，码率(n-3)/n(n≥5)原模图LDPC的码校验矩阵H_(n-3)/n结构如下：

$H_{(n-3)/n}=\left[\begin{array}{ccccccc}{A}_{1,n-3}& ...& A_{\mathrm{1,2}}& A_{\mathrm{1,1}}& A_{\mathrm{1,0}}& I& 0\\ A_{2,n-3}& ...& A_{\mathrm{2,2}}& A_{\mathrm{2,1}}& 0& I& I\\ A_{3,n-3}& ...& A_{\mathrm{3,2}}& A_{\mathrm{3,1}}& A_{\mathrm{3,0}}& 0& I\end{array}\right]$

其中，I和0分别是N×N大小的单位矩阵和零矩阵，

A_i，j，i＝1，2，3，j＝1，2，...，n-3为分块循环矩阵，n为H_(n-3)/n的子矩阵的列数。

上述编码器，优选所述码率(n-3)/n(n≥5)原模图LDPC的码校验矩阵H_(n-3)/n中，子矩阵A_1，0和A_3，0的设计规则为：

A₁₀＝∏₁⊕∏₂， $A_{\mathrm{3,0}}=I^{a_1},$

以保证

是可逆的，

是N×N大小的单位矩阵向右移位a₁(0≤a₁≤N-1)的矩阵，∏₁和∏₂为子矩阵A_1，0中N×N大小的置换矩阵，其中N是4的倍数，所述∏₁和∏₂在第i行π_k(i)，k＝1，2列有非零元素，其中i∈{0，…，N-1}，并且

上述编码器，优选所述分块循环矩阵A_i，j，i＝1，2，3，j＝1，2，...，n-3的设计规则为：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right],$

其中， $1\≤k\≤\frac{(n-3)}{2},$

是N×N大小的单位矩阵向右移位x_i(0≤x_i≤N-1)的矩阵，其中参数x_i(0≤x_i≤N-1)通过约束优化在计算机上搜索得到；

是第y_j个N×N大小的置换矩阵，y_j∈{1，2，...K}，K为

型矩阵的总数。

上述编码器，优选所述分块循环矩阵A_i，j，i＝1，2，3，j＝1，2，...，n-3中的

型矩阵设计规则为：

是第y_j个N×N大小的置换矩阵，N是4的倍数，该矩阵在第i行

列有非零元素，其中i∈{0，…，N-1}，并且

其中参数

和

通过约束优化在计算机上搜索得到。

上述编码器，优选所述编码器还包括参数搜索模块，所述参数搜索模块用于通过计算机搜索所述参数x_i、

和

：第一搜索单元：随机产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值；第二搜索单元：随机产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与所述第一搜索单元中的BER性能进行比较。若优于所述第一搜索单元中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于所述第一搜索单元中的BER性能，则重新搜索参数。

上述编码器，优选，所述编码模块中，依据下式确定所述校验码向量p＝[P₁，P₂，P₃]：

$P_1^T={(A_{\mathrm{1,0}}\⊕A_{\mathrm{3,0}})}^{-1}\·(\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{i,n-2-j}\·{S_j}^T),$

${P_2}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{1,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕A_{\mathrm{1,0}}\·P_1^T,$

${P_3}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{2,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕P_2^T,$

其中，

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right],$ $1\≤k\≤\frac{(n-3)}{2}.$

本发明得到的校验矩阵H导致误码率性能良好的原模图LDPC码，快速编码算法够大幅减少计算量，从而简化编码复杂度，可作为国标GB20600LDPC码的替代码。

附图说明

图1是本发明基于多码率原模图LDPC码的编码方法实施例的步骤流程图；

图2是本发明实例3×5码率为2/5的原模图；

图3是本发明实例码率2/5原模图LDPC码的校验矩阵的二进制图；

图4是本发明实例码率1/2原模图LDPC码的校验矩阵的二进制图；

图5是本发明实例码率4/7原模图LDPC码的校验矩阵的二进制图；

图6是本发明实例三种不同码率(2/5、1/2和4/7)的原模图LDPC码的仿真BER性能对比曲线图；

图7是本发明实例码率2/5原模图LDPC码与码率2/5GB20600LDPC码的仿真BER性能对比曲线图；

图8是本发明基于多码率原模图LDPC码的编码器实施例的结构示意图。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

本发明针对现有原模图LDPC码存在编码复杂度高的问题，提出一种具有良好性能的可快速编码的多码率原模图LDPC码的设计方法，在编码时不需要生成矩阵，直接通过校验矩阵进行编码，快速编码算法能够大幅减少计算量，从而简化编码系统的实现，降低编码复杂度。实验同时表明本发明提出的原模图LDPC码同时具有良好的误码率性能。低编码复杂度和良好的误码率性能使得本发明提出的原模图LDPC码可作为国标GB20600LDPC码的替代码。本发明给出了三种码率2/5、1/2和4/7的原模图LDPC码的设计实例。

参照图1，本发明实施例提供一种编码方法，包括如下步骤：

信息码获取步骤110，获取信息码向量s＝[S₁，S₂，...，S_n-3]，其中S_i(1≤i≤n-3)大小为1×N；校验矩阵确定步骤120，确定校验矩阵H_(n-3)/n，其中，n≥5；编码步骤130，依据所述校验矩阵对所述信息码向量进行编码，获取校验码向量p＝[P₁，P₂，P₃]。

下面对上述步骤做出具体的说明。

考虑一般情况，本发明提出的码率n-3/n(n≥5)的可快速编码的原模图LDPC的码校验矩阵H_(n-3)/n，具有如下结构：

$H_{(n-3)/n}=\left[\begin{array}{ccccccc}{A}_{1,n-3}& ...& A_{\mathrm{1,2}}& A_{\mathrm{1,1}}& A_{\mathrm{1,0}}& I& 0\\ A_{2,n-3}& ...& A_{\mathrm{2,2}}& A_{\mathrm{2,1}}& 0& I& I\\ A_{3,n-3}& ...& A_{\mathrm{3,2}}& A_{\mathrm{3,1}}& A_{\mathrm{3,0}}& 0& I\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中A_1，0＝∏₁⊕∏₂， $A_{\mathrm{3,0}}=I^{a_1},$ 保证

是可逆的。

H_(n-3)/n中的子矩阵A_1，0中的置换矩阵∏₁和∏₂是N×N大小的置换矩阵，其中N是4的倍数，两矩阵在第i行π_k(i)，k＝1，2列有非零元素，其中i∈{0，…，N-1}，并且

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中 $1\≤k\≤\frac{(n-3)}{2}.$ 如上述，其中

是N×N大小的单位矩阵向右移位x_i(0≤x_i≤N-1)的矩阵，其中参数x_i(0≤x_i≤N-1)通过约束优化算法在计算机上搜索得到；

是第y_i个N×N大小的置换矩阵，其中N是4的倍数，该矩阵在第i行

列有非零元素，其中i∈{0，…，N-1}，y_j∈{1，2，...K}，K为

型矩阵的总数，并且

其中参数θ_k和φ_k(j，N)通过约束优化算法在计算机上搜索得到。

上述参数x_i、θ_k和φ_k(j，N)可以通过约束优化算法在计算机上搜索得到的，需要满足两个约束条件：1.LDPC码满足无四环条件；2.码的BER性能好。

x_i、和

参数搜索算法具体步骤如下：

步骤1：随即产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值。

步骤2：随即产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与步骤1中的BER性能进行比较。若优于步骤1中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于步骤1中的BER性能，则重新搜索参数。

步骤3：重复执行步骤2，直到得到一组码的BER性能良好的参数值x_i、θ_k和φ_k(j，N)。

现在，给出本发明提出的可快速编码的多码率原模图LDPC码的快速编码算法。

假设码向量c＝[S₁ S₂...S_n-3 P₁ P₂ P₃]，其中S₁，S₂，...，S_n-3是信息码向量，其中S_i(1≤i≤n-3)大小为1×N，(n-3)·N是信息码向量长度，P₁，P₂，P₃是校验码向量，大小为1×N。

根据校验矩阵与校验码的正交关系

H_(n-3)/n·c^T＝0                        (5)

有

$\left[\begin{array}{ccccccc}{A}_{1,n-3}& ...& A_{\mathrm{1,2}}& A_{\mathrm{1,1}}& A_{\mathrm{1,0}}& I& 0\\ A_{2,n-3}& ...& A_{\mathrm{2,2}}& A_{\mathrm{2,1}}& 0& I& I\\ A_{3,n-3}& ...& A_{\mathrm{3,2}}& A_{\mathrm{3,1}}& A_{\mathrm{3,0}}& 0& I\end{array}\right]\·{\left[\begin{array}{ccccccc}{S}_1& S_2& ...& S_{n-3}& P_1& P_2& P_3\end{array}\right]}^T=0---\left(6\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{1,n-3}\·{S_1}^T\⊕A_{1,n-4}\·{S_2}^T\⊕...\⊕A_{\mathrm{1,1}}\·{S_{n-3}}^T\⊕A_{\mathrm{1,0}}\·{P_1}^T\⊕{P_2}^T=0\\ A_{2,n-3}\·{S_1}^T\⊕A_{2,n-4}\·{S_2}^T\⊕...\⊕A_{\mathrm{2,1}}\·{S_{n-3}}^T\⊕{P_2}^T\⊕{P_3}^T=0\\ A_{3,n-3}\·{S_1}^T\⊕A_{3,n-4}\·{S_2}^T\⊕...\⊕A_{\mathrm{3,1}}\·{S_{n-3}}^T\⊕A_{\mathrm{3,0}}\·{P_1}^T\⊕{P_3}^T=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

在基2的有限域GF(2)内解上述方程组，则可得到P₁ ^T、P₂ ^T、P₃ ^T：

$P_1^T={(A_{\mathrm{1,0}}\⊕A_{\mathrm{3,0}})}^{-1}\·(\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{i,n-2-j}\·{S_j}^T)---\left(8\right)$

${P_2}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{1,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕A_{\mathrm{1,0}}\·P_1^T---\left(9\right)$

${P_3}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{2,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕P_2^T---\left(10\right)$

其中

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right]---\left(11\right)$

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right]---\left(12\right)$

其中 $1\≤k\≤\frac{(n-3)}{2}.$

这样，便可以通过上述方程，根据信息向量和校验矩阵直接求出码向量，而不需要求生成矩阵，这将大幅减少编码计算量和编码复杂度。

本发明实施例通对输入的信息采用本发明提出的可快速编码的多码率原模图LDPC码进行编码和相应解码，经过在AWGN信道中的仿真实验结果显示，三种不同码率(2/5、1/2和4/7)的可快速编码的原模图LDPC码都具有良好的“瀑布”特性，性能良好，是一种好码；在BER＝10^-7处，码率同为2/5情况下，与码长为7493的GB20600LDPC码相比，本发明提出的码长为5120的原模图LDPC码的BER性能获得约0.5dB的编码增益。实验结果表明：本发明提出的可快速编码的多码率原模图LDPC码可以替代国标GB20600LDPC码。

本发明实例提供一种具有良好性能的可快速编码的多码率原模图LDPC码的设计方法，取代GB20600标准中的LDPC码，可获得更高的编码增益和更小编码复杂度。

图2是本发明实例3×5码率为2/5的原模图。在这个图中，最粗的线条表示有3条平行边，最细的线条表示有1条平行边，粗细处于上述二者之间的线条表示有3条平行边。这个图包含|V|＝5变量节点，|C|＝3校验节点和|E|＝17边。

$H_p=\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 2& 1& 0\\ 1& 3& 0& 1& 1\\ 2& 1& 1& 0& 1\end{array}\right]$ 是图2相应的基础校验矩阵的示意图。如果原模图中的一个校验节点和一个变量节点之间有r条边相连，对应在H_p中的元素等于r。例如，第2个变量节点和第2个校验节点之间有3条平行边，对应在H_p中的元素等于3。

$H_{2/5}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\Π}}_6\⊕{\mathrm{\Π}}_7& I^{a_2}& {\mathrm{\Π}}_1\⊕{\mathrm{\Π}}_2& I& 0\\ I^{a_4}& {\mathrm{\Π}}_3\⊕{\mathrm{\Π}}_4\⊕{\mathrm{\Π}}_5& 0& I& I\\ {\mathrm{\Π}}_8\⊕{\mathrm{\Π}}_9& I^{a_3}& I^{a_1}& 0& I\end{array}\right]$ 是本发明实例码率2/5原模图LDPC(n＝5120，k＝2048)码的校验矩阵的示意图。

将矩阵H_p中元素“1”替换成N×N大小的单位矩阵的移位矩阵，“0”替换成N×N大小的零矩阵，“r”替换成r(r＞1)个N×N大小的置换矩阵模2加。在本发明实施例，我们令N＝1024。其中置换矩阵定义如下。

置换矩阵∏_k在第i行π_k(i)列有非零元素，其中i∈{0，…，N-1}，并且

$H_{1/2}=\left[\begin{array}{cc}\left.\begin{array}{c}{I}^{a_5}\\ {\mathrm{\Π}}_{10}\⊕{\mathrm{\Π}}_{11}\⊕{\mathrm{\Π}}_{12}\\ I^{a_6}\end{array}\right|& H_{2/5}\end{array}\right]$ 是本发明实例码率1/2原模图LDPC(n＝6144，k＝3072)码的校验矩阵。1/2码率的H_1/2矩阵通过在2/5码率的H_2/5矩阵的左侧增加结构为 $\left[\begin{array}{c}{I}^{a_9}\\ {\mathrm{\Π}}_{10}\⊕{\mathrm{\Π}}_{11}\⊕{\mathrm{\Π}}_{12}\\ I^{a_{10}}\end{array}\right]$ 的列得到，

$H_{1/2}=\left[\begin{array}{cc}\left.\begin{array}{c}{I}^{a_9}\\ {\mathrm{\Π}}_{10}\⊕{\mathrm{\Π}}_{11}\⊕{\mathrm{\Π}}_{12}\\ I^{a_{10}}\end{array}\right|& H_{2/5}\end{array}\right]$

其中，

和0分别是1024×1024大小的单位矩阵向右移位q_i(0≤a_i≤1023)的矩阵和零矩阵；∏₁～∏₉是1024×1024大小的置换矩阵，置换矩阵定义如下。

$H_{4/7}=\left[\begin{array}{cc}\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{13}\⊕{\mathrm{\Π}}_{14}\\ I^{a_7}\\ {\mathrm{\Π}}_{15}\⊕{\mathrm{\Π}}_{16}\end{array}\right|& H_{1/2}\end{array}\right]$ 是本发明实例码率4/7原模图LDPC(n＝7168，k＝4096)码的校验矩阵；4/7码率的H_4/7矩阵通过在1/2码率的H_1/2矩阵的左侧增加结构为 $\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{13}\⊕{\mathrm{\Π}}_{14}\\ I^{a_{11}}\\ {\mathrm{\Π}}_{15}\⊕{\mathrm{\Π}}_{16}\end{array}\right]$ 的列得到，

$H_{4/7}=\left[\begin{array}{cc}\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{13}\⊕{\mathrm{\Π}}_{14}\\ I^{a_{11}}\\ {\mathrm{\Π}}_{15}\⊕{\mathrm{\Π}}_{16}\end{array}\right|& H_{1/2}\end{array}\right]$

上述各码率原模图LDPC码的校验矩阵中有三个未知参数a_i、θ_k和φ_k(j，N)，确定这些参数便可得到校验矩阵H_2/5、H_1/2和H_4/7。

上述参数a_i、θ_k和φ_k(j，N)可以通过约束优化算法在计算机上搜索得到的，需要满足两个约束条件：1.LDPC码满足无四环条件；2.码的BER性能好。

a_i、θ_k和φ_k(j，N)参数搜索算法具体步骤如下：

步骤1：随即产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值。

步骤2：随即产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与步骤1中的BER性能进行比较。若优于步骤1中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于步骤1中的BER性能，则重新搜索参数。

步骤3：重复执行步骤2，直到得到一组码的BER性能良好的参数值a_i、θ_k和φ_k(j，N)。

经过上述约束优化算法的搜索得到：

参数a_i的值为a₁＝500，a₂＝500，a₃＝180，a₄＝300，a₅＝180，a₆＝500，a₇＝800，θ_k和φ_k(j，1024)的值如表1所示。

表1参数θ_k和φ_k(j，1024)的值

图3～5是分别是本发明实例码率2/5、1/2和4/7原模图LDPC码的校验矩阵的二进制图；图中，白色虚线表示校验矩阵中“1”的相应位置，其他部分为“0”。

具体仿真编码的过程中，使用的仿真参数为：系统使用的信道为AWGN信道，调制方式为BPSK调制，译码器使用BP算法，最大迭代次数为100次，每个SNR点有500数据帧。

图6是本发明实例三种不同码率(2/5、1/2和4/7)的原模图LDPC码的仿真BER性能对比曲线图。从图6中的BER(误码率)性能可得知，使用本发明中的码构造的三种不同码率2/5、1/2和4/7的原模图LDPC码误码率曲线6a、6b和6c具有良好的“瀑布”特性，在BER＝10^-7处，三种码率的曲线分别相差约0.2dB的编码增益，性能良好，说明本发明提出原模图LDPC码是一种好码。

图7是本发明实例码率2/5原模图LDPC码与码率2/5的GB20600LDPC码的仿真BER性能曲线对比图，GB20600LDPC码的误码率曲线为7a，本发明的原模图LDPC码的误码率曲线7b。从图7中的BER性能可得知，在BER＝10^-7处，与2/5码率GB20600LDPC码的相比，本发明提出的2/5码率原模图LDPC码的BER性能获得约0.5dB的编码增益，见误码率曲线15b。注意，本发明提出的2/5码率原模图LDPC码的码长只有5120，而2/5码率GB20600LDPC码的码长为7493。在相同码率的情况下，更短的码长意味着更快速编码和更低的实现复杂性。况且，本发明中的码构造本身就比较简单。

另一方面，本发明还提供了一种基于多码率原模图LDPC码的编码器的实施例。参照图8，该编码器包括：

信息码获取模块82，用于获取信息码向量s＝[S₁，S₂，...，S_n-3]，其中S_i(1≤i≤n-3)大小为1×N；校验矩阵确定模块84，用于依据所述信息码向量s＝[S₁，S₂，...，S_n-3]，确定校验矩阵(n-3)/n(n≥5)；编码模块86，用于依据所述校验矩阵对所述信息码向量进行编码，获取校验码向量p＝[P₁，P₂，P₃]。

上述编码器的原理与编码方法相同，相关之处互相参照即可。在此不再赘述。

以上对本发明所提供的一种基于多码率原模图LDPC码的编码方法及编码器进行详细介绍，本文中应用了具体实施例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处。综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (8)

1.一种基于多码率原模图LDPC码的编码方法，其特征在于，包括如下步骤：

信息码获取步骤，获取信息码向量s＝[S₁,S₂,...,S_n-3]，其中S_i大小为1×N，1≤i≤n-3，N为子向量S_i的长度；

校验矩阵确定步骤，确定校验矩阵H_(n-3)/n，其中，n≥5；所述校验矩阵H_(n-3)/n结构如下：

$H_{(n-3)/n}=\left[\begin{array}{ccccccc}{A}_{1,n-3}& ...& A_{\mathrm{1,2}}& A_{\mathrm{1,1}}& A_{\mathrm{1,0}}& I& 0\\ A_{2,n-3}& ...& A_{\mathrm{2,2}}& A_{\mathrm{2,1}}& 0& I& I\\ A_{3,n-3}& ...& A_{\mathrm{3,2}}& A_{\mathrm{3,1}}& A_{\mathrm{3,0}}& 0& I\end{array}\right]$

其中，I和0分别是N×N大小的单位矩阵和零矩阵，A_i,j,i＝1,2,3,j＝1,2,...,n-3为分块循环矩阵，n为H_(n-3)/n的子矩阵的列数；

子矩阵A_1,0和A_3,0的设计规则为：

$A_{\mathrm{1,0}}={\mathrm{\Π}}_1\⊕{\mathrm{\Π}}_2,A_{\mathrm{3,0}}=I^{a_1},$

以保证

是可逆的，

是N×N大小的单位矩阵向右移位a₁的矩阵，0≤a₁≤N-1，Π₁和Π₂为子矩阵A_1,0中N×N大小的置换矩阵，其中N是4的倍数，所述Π₁和Π₂在第i行π_k(i),k＝1,2列有非零元素，其中i∈{0,...,N-1}，并且

${\mathrm{\π}}_k\left(i\right)=\frac{N}{4}\left(({\mathrm{\θ}}_k+|\underset{\‾}{4i}/\underset{\‾}{N}\left|\right)\mathrm{mod}4\right)+({\mathrm{\φ}}_k\left(\right|\underset{\‾}{4i}/\underset{\‾}{N}|,N)+i)\mathrm{mod}\frac{N}{4},k=\mathrm{1,2};$

其中，θ_k和φ_k(j,N)可以通过约束优化算法在计算机上搜索得到；所述参数θ_k和φ_k(j,N)约束优化方法包括：

步骤1：随机产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值；

步骤2：随机产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与步骤1中的BER性能进行比较，若优于步骤1中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于步骤1中的BER性能，则重新搜索参数；

步骤3：重复执行步骤2，直到得到一组码的BER性能良好的参数值θ_k和φ_k(j,N)；

编码步骤，依据所述校验矩阵对所述信息码向量进行编码，获取校验码向量p＝[P₁,P₂,P₃]。

2.根据权利要求1所述的编码方法，其特征在于，所述分块循环矩阵A_i,j,i＝1,2,3,j＝1,2,...,n-3的设计规则为：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right],$

其中，是N×N大小的单位矩阵向右移位x_i的矩阵，0≤x_i≤N-1，其中参数x_i通过约束优化在计算机上搜索得到；是第y_j个N×N大小的置换矩阵，y_j∈{1,2,...K}，K为

型矩阵的总数;

所述参数x_i约束优化方法包括：

步骤1：随机产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值；

步骤2：随机产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与步骤1中的BER性能进行比较，若优于步骤1中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于步骤1中的BER性能，则重新搜索参数；

步骤3：重复执行步骤2，直到得到一组码的BER性能良好的参数值x_i。

3.根据权利要求2所述的编码方法，其特征在于，所述分块循环矩阵A_i,j中的

型矩阵设计规则为：

是第y_j个N×N大小的置换矩阵，N是4的倍数，该矩阵在第i行

列有非零元素，其中i∈{0,...,N-1}，并且

${\mathrm{\π}}_{y_j}\left(i\right)=\frac{N}{4}\left(({\mathrm{\θ}}_{y_j}+|\underset{\‾}{4i}/\underset{\‾}{N}\left|\right)\mathrm{mod}4\right)+({\mathrm{\φ}}_{y_j}\left(\right|\underset{\‾}{4i}/\underset{\‾}{N}|,N)+i)\mathrm{mod}\frac{N}{4},$

其中，i＝1,2,3,j＝1,2,...,n-3，参数

和

通过约束优化在计算机上搜索得到；

所述参数和

的约束优化方法包括：

步骤1：随机产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值；

步骤2：随机产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与步骤1中的BER性能进行比较，若优于步骤1中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于步骤1中的BER性能，则重新搜索参数；

步骤3：重复执行步骤2，直到得到一组码的BER性能良好的参数值

和

4.根据权利要求1所述的编码方法，其特征在于，所述编码步骤中，依据下式确定所述校验码向量p＝[P₁,P₂,P₃]：

${P_1}^T={(A_{\mathrm{1,0}}\⊕A_{\mathrm{3,0}})}^{-1}\·(\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{i,n-2-j}\·{S_j}^T),$

${P_2}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{1,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕A_{\mathrm{1,0}}\·{P_1}^T,$

${P_3}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{2,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕{P_2}^T,$

其中

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right],$

其中 $1\≤k\≤\frac{(n-3)}{2}.$

5.一种基于多码率原模图LDPC码的编码器，其特征在于，包括：

信息码获取模块，用于获取信息码向量s＝[S₁,S₂,...,S_n-3]，其中S_i大小为1×N，1≤i≤n-3，N为子向量S_i的长度；

校验矩阵确定模块，码率为(n-3)/n(n≥5)；

所述校验矩阵确定模块中，码率(n-3)/n(n≥5)原模图LDPC的码校验矩阵H_(n-3)/n结构如下：

$H_{(n-3)/n}=\left[\begin{array}{ccccccc}{A}_{1,n-3}& ...& A_{\mathrm{1,2}}& A_{\mathrm{1,1}}& A_{\mathrm{1,0}}& I& 0\\ A_{2,n-3}& ...& A_{\mathrm{2,2}}& A_{\mathrm{2,1}}& 0& I& I\\ A_{3,n-3}& ...& A_{\mathrm{3,2}}& A_{\mathrm{3,1}}& A_{\mathrm{3,0}}& 0& I\end{array}\right]$

其中，I和0分别是N×N大小的单位矩阵和零矩阵，A_i,j,i＝1,2,3,j＝1,2,...,n-3为分块循环矩阵，n为H_(n-3)/n的子矩阵的列数；

子矩阵A_1,0和A_3,0的设计规则为：

$A_{\mathrm{1,0}}={\mathrm{\Π}}_1\⊕{\mathrm{\Π}}_2,A_{\mathrm{3,0}}=I^{a_1},$

以保证

是可逆的，

是N×N大小的单位矩阵向右移位a₁的矩阵，0≤a₁≤N-1，Π₁和Π₂为子矩阵A_1,0中N×N大小的置换矩阵，其中N是4的倍数，所述Π₁和Π₂在第i行π_k(i),k＝1,2列有非零元素，其中i∈{0,...,N-1}，并且

${\mathrm{\π}}_k\left(i\right)=\frac{N}{4}\left(({\mathrm{\θ}}_k+|\underset{\‾}{4i}/\underset{\‾}{N}\left|\right)\mathrm{mod}4\right)+({\mathrm{\φ}}_k\left(\right|\underset{\‾}{4i}/\underset{\‾}{N}|,N)+i)\mathrm{mod}\frac{N}{4},k=\mathrm{1,2};$

其中，θ_k和φ_k(j,N)可以通过约束优化算法在计算机上搜索得到；

所述编码器还包括参数搜索模块，所述参数搜索模块用于通过计算机搜索所述参数θ_k和φ_k(j,N)：

第一搜索单元：随机产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值；

第二搜索单元：随机产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与所述第一搜索单元中的BER性能进行比较；若优于所述第一搜索单元中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于所述第一搜索单元中的BER性能，则重新搜索参数。

编码模块，用于依据所述校验矩阵对所述信息码向量进行编码，获取校验码向量p＝[P₁,P₂,P₃]。

6.根据权利要求5所述的编码器，其特征在于，所述分块循环矩阵A_i,j,i＝1,2,3,j＝1,2,...,n-3的设计规则为：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right],$

其中，

是N×N大小的单位矩阵向右移位x_i的矩阵，0≤x_i≤N-1，其中参数x_i通过约束优化在计算机上搜索得到；是第y_j个N×N大小的置换矩阵，y_j∈{1,2,...K}，K为

型矩阵的总数;

所述编码器还包括参数搜索模块，所述参数搜索模块用于通过计算机搜索所述参数x_i：

第一搜索单元：随机产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值；

第二搜索单元：随机产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与所述第一搜索单元中的BER性能进行比较；若优于所述第一搜索单元中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于所述第一搜索单元中的BER性能，则重新搜索参数。

7.根据权利要求6所述的编码器，其特征在于，所述分块循环矩阵A_i,j,i＝1,2,3,j＝1,2,...,n-3中的

型矩阵设计规则为：

是第y_j个N×N大小的置换矩阵，N是4的倍数，该矩阵在第i行

列有非零元素，其中i∈{0,...,N-1}，并且

${\mathrm{\π}}_{y_j}\left(i\right)=\frac{N}{4}\left(({\mathrm{\θ}}_{y_j}+|\underset{\‾}{4i}/\underset{\‾}{N}\left|\right)\mathrm{mod}4\right)+({\mathrm{\φ}}_{y_j}\left(\right|\underset{\‾}{4i}/\underset{\‾}{N}|,N)+i)\mathrm{mod}\frac{N}{4},$

其中参数

和

通过约束优化在计算机上搜索得到；

所述编码器还包括参数搜索模块，所述参数搜索模块用于通过计算机搜索所述参数和

第一搜索单元：随机产生一组未知参数初始值，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，作为BER参考值；

第二搜索单元：随机产生一组新的未知参数，验证产生的校验矩阵有无四环，若有，重新搜索；若无，计算码的BER性能，并与所述第一搜索单元中的BER性能进行比较；若优于所述第一搜索单元中的BER性能，则保留参数的数值，并作为新的BER参考值；若差于所述第一搜索单元中的BER性能，则重新搜索参数。

8.根据权利要求5所述的编码器，其特征在于，所述编码模块中，依据下式确定所述校验码向量p＝[P₁,P₂,P₃]：

${P_1}^T={(A_{\mathrm{1,0}}\⊕A_{\mathrm{3,0}})}^{-1}\·(\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{i,n-2-j}\·{S_j}^T),$

${P_2}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{1,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕A_{\mathrm{1,0}}\·{P_1}^T,$

${P_3}^T=\underset{j=1}{\overset{n-3}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{2,n-2-j}\·{S_j}^T\⊕{P_2}^T,$

其中，

$\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k-1}\\ A_{\mathrm{2,2}k-1}\\ A_{\mathrm{3,2}k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}^{x_1}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_1}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_2}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_3}\\ I^{x_2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1,2}k}\\ A_{\mathrm{2,2}k}\\ A_{\mathrm{3,2}k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Π}}_{y_4}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_5}\\ I^{x_3}\\ {\mathrm{\Π}}_{y_6}\⊕{\mathrm{\Π}}_{y_7}\end{array}\right],$

其中 $1\≤k\≤\frac{(n-3)}{2}.$

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