CN101488760B - 一种低码率ldpc码的编码方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种低码率LDPC码的编码方法，步骤为：①分别构造矩阵H^p和H^d，H^p矩阵是双对角线矩阵，H^d是q×1的阵列矩阵，由q个循环移位的置换矩阵Q构成。置换矩阵Q由行重量和列重量均为1、每条对角线上最多只有一个元素取1、其余元素均为0的b×b阶Q置换矩阵形成；②构造尺寸等于bq×b(q+1)的H矩阵；③构造校验矢量c^p，c^p＝[p_l，l＝1，2，...M]^T，p_l表示任意第l个校验位的值，M为校验位长度；④根据校验矢量c^p＝{p_l}，输入的信息矢量c^d＝{d_j}，得到编码码字c＝[c^d c^p]。本发明方法中，Q置换矩阵的循环移位值使用的代数方法使置信传播迭代解码算法更容易并行实现；H^p矩阵的双对角线矩阵结构特征能使低率LDPC码以回带递归方式进行编码，并具有线性时间计算复杂度。它的仿真性能优于现有在用低率纠错码的性能，可以达到0.4dB的信噪比，并具有率兼容性。

Description

一种低码率LDPC码的编码方法

技术领域

本发明属于信息论信道编码技术领域，具体涉及一种低码率的低密度奇偶校验(LDPC)码的编码方法。本发明是提高信息传输可靠性的一种技术，它能在空间通信、卫星通信、移动通信和宽带无限通信等多个无线通信领域中得到应用。

背景技术

首先简要介绍一下低率码在纠错码领域的研究与应用现状：1)1992年在Galileo空间站上布署了一个级联码方案，它的内码是1/6码率的卷积码，解码采用大Viterbi解码器，外码是一个变码长的RS码，这个方案的运行信噪比为E_b/N₀＝0.8dB，误码率为P_b(E)≈2×10^-7，实际编码增益大约为8.8dB。2)低率码在美国内陆移动通信标准IS-95系统中得到应用，该系统的上行链路采用带宽扩展因子为4的伪随机序列，扩展因子64的余下部分是由正交调制和低率卷积码来完成的。3)1999年H.Jin和McEliece在实用代数纠错码年会上发表了“RA codes achieve AWGN channel capacity”一文。文中对不规则重复积累IRA码采用打孔和扩展的方式构造出率兼容(RC)IRA码，其中对IRA码的H矩阵进行扩展，可产生低率IRA码。例如，对于码率0.1、码长5120的IRA码，如果在扩展时合理的设计度为1的节点的比例，在误码率为10^-4～10^-5之间时，最好性能为1.6dB左右，离香农限大约2.9dB。4)2000年Sorokine、Kschischang和Pasupathy在IEEE杂志Transaction on Communications上发表的“Gallager Codes forCDMA Applications Part II：Implementations，Complexity，and SystemCapacity”一文，利用LDPC码为IS-95系统设计了码率为1/8的低率码，在误码率为6×10^-5时，信噪比为3.5dB。

对于码率趋近于零的信道编码，以每信息位信噪比形式表示时，加性高斯白噪声信道上的最大Shannon信道容量是-1.6dB。从这个理论似乎可以推知，码率越低，低率信道编码所达到的信噪比应该越低，获得的编码增益越高，但实际情况并非如此。最原始的低率信道编码方案是Hadamard码和超正交卷积码，这两类码只能提供较小的编码增益，它们均远离香农的信道容量限。Hadamard码的编码增益很低，即长度为4096的双正交Hadamard码，在信噪比为E_b/N₀≈4dB时，能达到误码率为P_b(E)＝10^-5的可靠通信，离香农限大约是6dB，仅提供了5.6dB的编码增益。超正交卷积码，从1/64码率到1/1024码率，具有相同的渐进编码增益7dB，离香农限5dB。由此可见，上述这些编码方案，随着码率的降低，并没有导致信噪比的下降。一般而言，高可靠性低复杂度的低率信道编码的设计一直是一个难点。

发明内容

本发明的目的在于提供一种低码率LDPC码的编码方法，该编码方法所获得的LDPC码具有计算复杂度低、数据处理速度高和性能优良(即在低误码率情况下，有很低的运行信噪比)的特点。

为实现上述发明目的，本发明提供的低码率LDPC码的编码方法，其步骤包括：

(1)分别构造矩阵H^p和H^d，其中，H^p为尺寸等于qb×qb的双对角线矩阵，其结构形式为下式(I)，b为大于等于5的正整数，q为大于等于3的正整数；矩阵H^d的结构形式为下式(II)，式(II)中a_i1表示是矩阵H^d中置换矩阵Q的循环移位值，其值由下式(III)计算得到，Q_ai1表示对置换矩阵Q循环移位a_i1次所得到的矩阵，i＝1，2，…，q；置换矩阵Q是行重量和列重量均为1的b×b方阵，且每条对角线上最多只有一个元素取1，其余元素均为0；

$H^d={[Q_{a_{11}},Q_{a_{21}},...,Q_{a_{i1}},...,Q_{a_{q1}}]}^T---\left(\mathrm{II}\right)$

$a_{i1}=\left\{\begin{array}{cc}0& i=1\\ 1+(i-1)(i-2)/2& 2\≤i\≤q\end{array}\right.---\left(\mathrm{III}\right)$

(2)按照下式(IV)构造H矩阵，其尺寸等于bq×b(q+1)，

(3)构造校验矢量c^p，c^p＝[p_l，l＝1，2，...M]^T，p_l表示任意第l个校验位的值，取值为0或1，M为校验位长度，其值等于q×b，

$p_l=\left\{\begin{array}{cc}\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{1j}^d{d}_j& l=1\\ p_{l-1}+\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{\mathrm{lj}}^d{d}_j& l\≥2\end{array}\right.$

其中h_lj ^d是H^d中第l行第j列的元素，1≤l≤M，1≤j≤K，d_j表示输入的信息矢量c^d＝{d_j}中的对应值；

(4)根据上述步骤所获得的校验矢量c^p＝{p_l}，以及输入的信息矢量c^d＝{d_j}，得到编码码字c＝[c^d c^p]。

本发明方法所得到的低率纠错码，即码率为1/(q+1)的低率码，当q＝4，5，6，7，8，9，10，...15时，码率的取值为：R＝1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9，1/10，...1/16。与现有的其它码率的LDPC码相比，本发明提供的低率LDPC码的行重量最多为3，表明其编码和解码复杂度是相同列重量下1/2率LDPC码编码和解码复杂度的1/t，其中3≤t≤6，它所需要的门电路和触发器的数量也相应的减少大约1/t。设P_b(E)表示误码率，E_b/N₀表示信噪比。在高斯白噪声信道上模拟仿真演示：在误码率为P_b(E)≈1×10^-7，1/6码率，10⁴码长时，信噪比性能达到E_b/N₀＝0.5dB；误码率为P_b(E)≈2×10^-6，1/8码率，10⁴码长时，信噪比性能达到E_b/N₀＝0.4dB，均能提供9.0dB以上的编码增益，这些性能优于目前在用低率码的最好性能。

附图说明

图1为低码率LDPC码的编码方法的流程示意图。

图2为不同码长0.25低率LDPC码在AWGN信道上的性能和香农限曲线图。

图3为码长为20160、不同码率(1/6和1/7)的低率LDPC码在AWGN信道上的性能曲线图。

具体实施方式

本发明的编码方法可以分成两步，第一步是构造稀疏奇偶校验矩阵H；第二步是根据构造出的H矩阵设计编码算法。

LDPC码定义为稀疏奇偶校验矩阵H的零空间，设c表示码字序列，T表示对码字求转置运算，即有Hc^T＝0。由定义可知，设计LDPC码，关键是设计H矩阵的结构，H矩阵结构的优与劣会产生三个方面的影响：一是迭代解码时，要用到H矩阵，其结构会影响迭代解码的性能，例如“1”元素越多，分布越不均匀，性能越好；二是迭代解码算法的复杂度与H矩阵的结构有关，也就是“1”元素的个数越少，解码复杂度越低；三是应将H矩阵的结构设计成有利于编码器的实现，最好是将信息位和校验位对应的矩阵分开，也就是将H矩阵设计成系统形式的。

设H^p表示校验位对应的矩阵，H^d表示信息位对应的矩阵，c^p表示校验位序列，c^d表示信息位序列；M表示H矩阵的行数，也是校验码位长度；N表示H矩阵的列数，也是码长；K表示信息位长度，R表示码率；b表示置换子矩阵的尺寸，q表示H矩阵的阵列行数，也是H矩阵的列重量，t表示H矩阵的阵列列数，也是H矩阵的行重量，也即b，q，t是H矩阵的结构参数，它们的取值范围是：b∈[5，∞)，q≥3，t＝1。由此可得到：码率为R＝t/(q+t)＝1/(q+1)，码长为N＝b(q+t)＝b(q+1)，信息位长度为K＝b×1＝b，校验位长度为M＝qb。

本发明的基本原理如下：首先构造H矩阵，可将阵列H矩阵分解为校验位矩阵H^p和信息位矩阵H^d，即H＝[H^d H^p]。H^p矩阵由双对角线矩阵构成，H^d矩阵由按一定规则选择的一组循环移位置换矩阵经适当排列构成。通过设计下标矩阵可以获得对置换矩阵的合适排列。这里的置换矩阵采用一种置换矩阵Q，它的结构是每行、每列、每对角线均只有一个1的方阵，置换矩阵Q所对应的Q矢量由b维皇后搜索算法得到。按下标矩阵设计好的下标值对置换矩阵Q进行循环移位操作，得到一组循环移位置换矩阵Q，将这组置换矩阵Q带入H^d矩阵，再与双对角线的H^p矩阵进行并置，就构成了H矩阵。然后根据构造出的H矩阵推导递归编码算法。根据LDPC码的定义表达式可以推知： ${\mathrm{Hc}}^T=\left[\begin{array}{cc}{H}^d& H^p\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}^d\\ c^p\end{array}\right]=H^d{c}^d+H^p{c}^p=0,$ 在二进制有限域上，由定义表达式可推出H^dc^d＝H^pc^p，对任给的信息序列c^d，根据上面构造的H^d和H^p矩阵，可以很容易推出求解校验位序列c^p的编码算法，由此求解码字序列c＝[c^d c^p]。

下面对本发明的低率LDPC码编码方法步骤作进一步详细的说明。1)构造置换矩阵Q。

常规的置换矩阵是行重量和列重量均为1的b×b方阵。本发明设计的置换矩阵Q为满足如下条件的置换矩阵：任意一个矩阵元素在二进制有限域上取值的b×b阶方阵，其行重量和列重量均为1，但其每条对角线上最多只有一个元素取1，其余元素均为0。b为大于等于5的正整数。

置换矩阵Q满足置换矩阵的约束条件，即每列、每行只有一个1元素，所以矩阵Q是置换矩阵，但矩阵Q多了对角线为1的约束条件。矩阵Q可以表示成矢量V_Q，二者是等效的，可以互相表示。规定V_Q矢量与矩阵的对应关系是：V_Q矢量中每个元素所在位置的序号表示Q置换矩阵中“1”元素所在列的序号，V_Q矢量中元素的值表示Q置换矩阵中“1”元素所在行的序号。

构成Q矩阵的b个列(或行)矢量是线性无关的，所以Q矩阵是满秩矩阵，秩为rank(Q)＝b。对Q矩阵进行初等行列变换，可以得到单位对角矩阵，由此也可以得到Q矩阵是满秩矩阵的结论。当b很小时，可用枚举排列方法举例说明置换Q矩阵的结构和分布。随着b的增大，很难用枚举排列的方法来设计Q矩阵的结构和布局，这时需要用计算机搜索的方法。本发明主要是采用皇后搜索算法。皇后搜索算法是这样描述的：由b×b个方块排成b行b列的正方形称为“b元棋盘”。若任意两个皇后位于b元棋盘上同一行、或同一列、或同一对角线，则称她们为互相攻击。求解b维皇后问题就是寻找在b×b的棋盘上b个皇后互不攻击的布局，即在每一行、每一列、每一对角线上，最多只能有唯一的一个皇后存在。从上面的描述中可以看出：在一个b×b的Q矩阵中，b个非零元素的排列形式等效于在一个b×b棋盘上b个皇后互不冲突的布局，只要用Q矩阵中的1元素取代棋盘上的皇后即可。所以Q矩阵的搜索问题可采用b维皇后搜索算法来求解。采用局部优化的皇后搜索算法，得到一个局部最优解的V_Q矢量，将V_Q矢量扩展成Q置换矩阵，这就完成了置换矩阵的设计。

2)构造H^d的整数下标矩阵S(H^d)

设S(H^d)矩阵表示H^d矩阵的整数下标矩阵，a_i1表示S(H^d)矩阵中的元素值，实际上是H^d矩阵中Q置换矩阵的循环移位值，也称为Q置换矩阵的下标值，i表示H^d矩阵的阵列行索引，从1到q索引，即i＝1，2，...，q，q表示H^d矩阵的阵列行数，q≥3。

整数下标矩阵S(H^d)有如下q×1的矩阵形式

$S\left(H^d\right)=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ .\\ .\\ .\\ a_{i1}\\ .\\ .\\ .\\ a_{q1}\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，下标值a_i1可用如下的下标计算表达式计算得到：

$a_{i1}=\left\{\begin{array}{cc}0& i=1\\ 1+(i-1)(i-2)/2& 2\≤i\≤q\end{array}\right.---\left(2\right)$

3)构造H^d的矩阵

将步骤1)中由皇后搜索算法得到的置换矩阵Q按步骤2)下标计算表达式设计的下标矩阵S(H^d)中的元素提供的值进行循环左移，得到一组置换矩阵 $Q_{a_{11}},Q_{a_{21}},...,Q_{a_{i1}},...,Q_{a_{q1}},$ 利用这组置换矩阵构成如下的H^d矩阵：

$H^d=\left[\begin{array}{c}{H}_{a_{11}}\\ H_{a_{21}}\\ .\\ .\\ .\\ H_{a_{i1}}\\ .\\ .\\ .\\ H_{a_{q1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Q}_{a_{11}}\\ Q_{a_{21}}\\ .\\ .\\ .\\ Q_{a_{i1}}\\ .\\ .\\ .\\ Q_{a_{q1}}\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中， $H_{a_{11}},H_{a_{21}},...,H_{a_{i1}},...,H_{a_{q1}}$ 表示H^d矩阵中的一组置换子矩阵，H^d矩阵是q×1的阵列矩阵；设 $Q_{a_{11}},Q_{a_{21}},...,Q_{a_{i1}},...,Q_{a_{q1}}$ 表示由(2)式的下标值进行循环移位得到的一组Q置换矩阵，用 $H^d={[Q_{a_{11}},Q_{a_{21}},...,Q_{a_{i1}},...,Q_{a_{q1}}]}^T$ 来表示这组置换矩阵，H^d矩阵也是q×1的阵列矩阵。H^d矩阵的尺寸是M×K＝bq×bt＝bq×b，(t＝1)。

4)构造H^p矩阵

H^p矩阵是双对角线矩阵，它的尺寸为M×M＝qb×qb，具有下列确定的结构形式：

5)构造H矩阵。

H矩阵具有系统的结构形式，即它由H^d和H^p矩阵并置构成，尺寸是M×N＝bq×b(q+t)＝bq×b(q+1)：

上述1)至5)步给出了H矩阵的设计步骤。

下面进一步给出编码算法的执行步骤：

6)给出定义表达式

设j表示信息位索引，即j＝1，2，...，K，d_j表示任意一位信息位的值，只能取0和1两个值，c^d＝[d_j，j＝1，2，...K]^T表示信息位构成的信息矢量；设l表示校验位索引，即l＝1，2，...，M，p_l表示任意一位校验位的值，只能取0和1两个值，c^p＝[p_l，l＝1，2，...M]^T表示校验位构成的校验矢量；设u表示码位索引，即u＝1，2，...，N，c_u表示任意一位码位的值，只能取0和1两个值，c＝[c^d c^p]＝[d_j p_l|j＝1，2，...K，l＝1，2，...M]^T＝[c_u，u＝1，2，...N]^T表示码矢量。根据LDPC码是稀疏奇偶校验矩阵的零空间的定义，可写出下列表达式：

${\mathrm{Hc}}^T=\left[\begin{array}{cc}{H}^d& H^p\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}^d\\ c^p\end{array}\right]=H^d{c}^d+H^p{c}^p=0---\left(6\right)$

给定二进制信息矢量c^d＝[d_j，j＝1，2，...K]^T，由于H^d和H^p都是定义在二进制有限域上的矩阵，在二进制运算规则下，根据(3)和(6)式，可得

H^pc^p＝H^dc^d    (7)

7)递归编码算法

由于H^p设计成了双对角线矩阵，在求解(7)式时，不需要对H^p矩阵求逆，而是先求第一行，得到第一行对应的校验位p₁，然后采用回代和递推的方式求解下面各行，得到p₂，p₃...直到最后一行p_M，最终求得c^p＝[p_l，l＝1，2，...M]^T。设h_lj ^d表示H^d中第l行第j列的元素，1≤l≤M，1≤j≤K。编码算法的递归计算表达式如下：

$p_l=\left\{\begin{array}{cc}\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{1j}^d{d}_j& l=1\\ p_{l-1}+\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{h}_{\mathrm{lj}}^d{d}_j& l\≥2\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中h_lj ^d是H^d中第l行第j列的元素，1≤l≤M，1≤j≤K。求出c^p后，即可求得码字矢量c＝[c^d c^p]＝[d_j p_i|j＝1，2，...K，l＝1，2，...M]^T＝[c_u，u＝1，2，...N]^T。

当(5)式的低率LDPC码的H矩阵构造出来以后，就可采用置信传播迭代解码算法(也称为和积解码算法)进行完全并行解码。

实例：下面给出本发明设计的低率LDPC码在高斯白噪声(AWGN)信道上的性能仿真曲线，以及它们到香农限的距离。

例1：

对q＝3，码率R＝1/4＝0.25的低率LDPC码，取不同码长N＝64800，16000，8000，4000，2000，1000，置换矩阵Q的尺寸分别为n＝16200，4000，2000，1000，500，250，仿真条件为200次最大迭代数，1000个传输分组。

它们在高斯白噪声信道上的误码率与信噪比曲线如图2所示。由图2可以看出，1/4低率LDPC码具有码长增加性能变好的特征。当码长为64800，误码率为10^-7时，信噪比在0.8dB左右，离1/4码率香农限的距离为1.593dB，与未编码BPSK的9.6dB相比，能获得9.8dB的编码增益。Galileo空间站上步署的1/6码率的卷积码和变长的RS码的级联码方案，在误码率为10^-7数量级时，信噪比为0.8dB，实际编码增益为9.8dB，本发明的低率LDPC码只需要采用1/4码率，就能获得相同的运行性能。

例2：

对q＝5，6，码率R＝1/6，1/7的低率LDPC码，取相同码长N＝20160，置换矩阵Q的尺寸分别为：n＝3360，2880，仿真条件仍为200次最大迭代数，1000个传输分组。

图3演示了1/6和1/7码率20160码长的低率LDPC码的误码率与信噪比特性曲线。由图中可以看出，1/6率LDPC码的性能优于1/7LDPC码的性能，但二者十分接近。这表明随着码率的减小，低率LDPC码的性能并不是越来越好。最好性能是1/6率LDPC码，它在10^-6误码率时，信噪比为0.478dB，离香农限(-1.061dB)的距离为1.534dB，提供的编码增益为10.12dB。1/7率LDPC码，它在10^-6误码率时，信噪比为0.52dB，离香农限(-1.158dB)的距离为1.678dB，提供的编码增益为10.08dB。1/6低率LDPC码与Galileo空间站上步署的1/6码率的卷积码和变长的RS码的级联码方案相比，在相同码率情况下，性能提高了0.322dB。

Claims (1)

1.一种低码率LDPC码的编码方法，其步骤包括：

(1)分别构造矩阵H^p和H^d，其中，H^p为尺寸等于qb×qb的双对角线矩阵，其结构形式为下式(I)，b为大于等于5的正整数，q为大于等于3的正整数；矩阵H^d的结构形式为下式(II)，式(II)中a_i1表示是矩阵H^d中置换矩阵Q的循环移位值，其值由下式(III)计算得到，Q_ai1表示对置换矩阵Q循环移位a_i1次所得到的矩阵，i＝1，2，…，q；置换矩阵Q是行重量和列重量均为1的b×b方阵，且每条对角线上最多只有一个元素取1，其余元素均为0；

式中T表示对矩阵进行转置；

(2)按照下式(IV)构造H矩阵，其尺寸等于bq×b(q+1)，

(3)构造校验矢量c^p，c^p＝[p_l，l＝1，2，...M]^T，p_l表示任意第l个校验位的值，取值为0或1，K表示信息位长度，其值等于b，M为校验位长度，其值等于q×b，

其中 

是H^d中第l行第j列的元素，1≤l≤M，1≤j≤K，d_j表示输入的信息矢量c^d＝{d_j}中的对应值；

(4)根据上述步骤所获得的校验矢量c^p＝{p_l}，以及输入的信息矢量c^d＝{d_j}，得到编码码字c＝[c^d c^p]。 

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