CN101441233A - 基于Kaiser窗双谱线插值FFT的基波与谐波检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Kaiser窗双谱线插值FFT(快速傅立叶变换)的基波与谐波检测方法：对被测信号进行模数转换和低通滤波处理，采用可自由选择主瓣与旁瓣衰减之间的比重、设计实现灵活、旁瓣电平低、衰减速度快的Kaiser窗对信号进行加窗FFT运算，运用双谱线插值算法检测被测信号中的基波和各谐波量。包括下列方面：(1)模数转换与数字低通滤波；(2)基于Kaiser窗的FFT运算；(3)双谱线插值和多项式拟合求取基波与谐波参数。

Description

基于Kaiser窗双谱线插值FFT的基波与谐波检测方法

技术领域

本发明涉及一种用于信号中基波与谐波参数检测的方法。具体是一种基于Kaiser窗双谱线插值FFT(快速傅立叶变换)的基波与谐波参数检测方法，属于信号处理技术领域，也可用于其它信号的谱分析。

背景技术

以电力信号检测为例，随着电力电子技术的发展，非线性设备在电力系统中得到广泛应用，非线性设备带来的谐波问题对电力系统安全、稳定、经济运行构成的威胁日趋严重。基波与谐波的精确测量可为电网电能计量、谐波潮流计算、设备入网检测、电力系统谐波补偿与抑制等提供科学依据。

基波与谐波分量检测方法一般有：(1)基于频域分析的FFT方法，其特点是电网频率波动时，检测精度较低；(2)滤波器检测谐波方法，其特点是难以获得理想频率特性；(3)基于瞬时无功功率理论的方法，其特点是计算量大，处理复杂；(4)基于神经网络理论和小波变换的方法，其特点是计算量大，难以在嵌入式系统中实现。

基于FFT的基波、谐波分析算法，易于在DSP(数字信号处理器)上实现，是当今应用最广泛的一种谐波分析方法。在电力系统中，电网电压、电流畸变导致基波频率变化，由于非同步采样造成FFT算法存在频谱泄露和栅栏效应等问题，使得基波与谐波检测的精度受到影响。减少FFT算法的频谱泄露和栅栏效应影响、提高电测量中基波和各谐波检测精度是电测量信号分析和电能质量管理中的难题。

已有专利文件“测量工厂谐波的方法和测量仪”(200310105446.2)，“计量工厂谐波的方法和计量仪”(200310105446.2)，“电力系统谐波定量计量方法和计量仪”(98110414.2)等。其发明的目的是精确定量地测量电力系统中谐波电压、电流的动态特性。已有技术的不足之处是：已有技术提供了一些基波与谐波测量的电气设备设计方法，但由于谐波具有多样性、随机性和多态性等特征，基波频率波动造成的频谱泄露和栅栏效应依然存在，因此实时、高精度的基波与谐波测量分析难以实现。

经文献检索发现，对信号采用加窗插值的法，可有效实现实时、高精度的基波与谐波测量。目前，国内外学者提出了一系列加窗插值FFT算法，但均属于采用基本窗函数和广义余弦窗函数对信号加权，对于动态信号分析效果受到窗函数固定旁边性能的制约。而Kaiser窗可定义一组可调的窗函数，其主瓣能量和旁瓣能量的比例近乎最大，且可自由选择主瓣宽度和旁瓣高度之间的比重。针对此特点，何益宏等学者提出以实时无功理论为基础，采用Kaiser窗对信号取样(何益宏，卓放等.Kaiser窗在谐波电流检测中的应用，电网技术，2003，27(1)：9-12)；吴峻等学者提出基于Kaiser窗的频率测量法(吴峻，吴崇昊.基于Kaiser窗的改进傅氏测频算法，江苏电机工程，2008，27(4)：17-19)，以上文献均未涉及基于Kaiser窗插值FFT处理的相关处理方法。

发明内容

为克服已有技术、方法的不足，本发明的目的在于提供基于Kaiser窗双谱线插值FFT方法，该方法能快速、准确检测信号中基波和各谐波分量。

设包含多项整数次谐波的时域被测信号为

式中，H表示谐波的项数；r_h代表谐波的次数；当h＝1时，r_h＝1，f₁、A₁、

分别为基波的频率(Hz)、幅值(V)和初相位(°)；当h≠1时，r_h、A_h、

分别为第h项谐波的次数、幅值(V)和初相位(°)。信号x(t)经过采样率为f_s的数据采集系统后，得到离散序列

根据傅立叶变换的定义，信号x(n)的连续傅立叶变换为

$X\left(f\right)=\underset{n=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)e^{-j2\mathrm{\πfn}}---\left(3\right)$

在嵌入式系统上或计算机上实现时，数据总是有限长的，即相当于信号x(n)被一个窗函数w(n)(n＝0，1，…N-1)截短为N点长序列。加窗后，信号频谱由原来的谱线变为以f₀为中心向两边扩展的连续谱，信号频谱旁瓣之间的相互干扰，能量泄露到整个频带，即为频谱泄露。

对X(f)以离散频率间隔Δf＝f_S/N进行离散化，可得到X(kΔf)(k＝0，1，…N-1，代表离散频谱线的序号)。由于电网频率并非恒定，存在一定波动，加上被测信号中可能存在间谐波(即非整数次谐波)，因而难以严格做到同步采样。非同步采样造成峰值频率很难正好位于离散谱线频点上，即f₀＝k₀Δf(k₀为非整数)，导致的对信号峰值点的观测偏差，即为栅栏效应。

基于以上分析，本发明提出的基于Kaiser窗的基波与谐波检测方法，其特征在于：对被测信号进行模数转换和低通滤波处理，采用可自由选择主瓣与旁瓣衰减之间的比重、设计实现灵活、旁瓣电平低、衰减速度快的Kaiser窗对信号进行加窗FFT运算，运用双谱线插值算法检测被测信号中的基波和各谐波量。它包括下列步骤：

(1)模数转换与低通滤波

高速模数转换器将被测信号(模拟量)x(t)转换为数字量，采样频率为f_S，该数字量作为基波与谐波检测处理的输入量。根据谐波分析精度要求，确定需检测的最高次谐波次数及频率f_MAX，设计截止频率为稍大于f_MAX的低通数字滤波器，输入量经过数字低通滤波器后，得到去除高频信号分量的输入量x(n)。

式中，H为所含最高谐波的次数。

(2)构建离散Kaiser窗(根据设计精度要求选择参数β)

Kaiser窗是一种最优化窗，其离散表达式为

$w\left(n\right)=\frac{I_0\left[\mathrm{\β}\sqrt{1-{\left(\frac{n}{N/2}\right)}^2}\right]}{I_0\left(\mathrm{\β}\right)},$ 0≤|n|≤N/2            (5)

式中，I₀(β)是第1类变形零阶贝塞尔函数，β是窗函数的形状参数，为任意正数值；N为FFT运算的数据长度，也是窗函数的长度(n＝1，2，…N-1)。

Kaiser窗的连续频谱函数，其频域表示为

$W\left(w\right)=\frac{N}{I_0\left(\mathrm{\β}\right)}\·\frac{\sinh \left(\sqrt{{\mathrm{\β}}^2-{(\mathrm{Nw}/2)}^2}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\β}}^2-{(\mathrm{Nw}/2)}^2}}---\left(6\right)$

图2分别给出了β＝[0，4，8，11]时Kaiser窗的离散时域特性图，可见，β值越大，Kaiser窗越窄。图3分别给出了β＝[0，4，8，11]时Kaiser窗的幅频特性图，其中，β＝0，Kaiser窗已退化为矩形窗。当β＝11时，旁瓣衰减速率达到18分贝/倍频程，旁瓣电平达到了-82.3分贝。随着β值增大，Kaiser窗函数频谱的旁瓣峰值越小，渐近衰减速率越大，同时，主瓣相应也加宽。因此，具体β值可根据实际精度要求选定，体现了应用Kaiser窗设计实现的灵活性。

(3)基于Kaiser窗的FFT运算

根据检测精度的要求，确定FFT运算的数据长度N。为便于嵌入式系统实现，本发明考虑只含有单次谐波存在的情况，将去除高频分量的输入信号量x(n)进行加Kaiser窗FFT运算，可得到加窗后信号的离散傅立叶变换的表达式为

       

式中，r_hf₁＝k_hΔf为第h项谐波的峰值频率，W(·)是Kaiser窗的连续频谱函数。

(4)双谱线插值算法

不失一般性，设需要测量的为第i(i≤H)项谐波，为简单起见，忽略其余各次谐波对第i项谐波的泄漏影响，此时，式(7)变为

由于栅栏效应，第i项谐波的峰值频率k_iΔf很难正好位于抽样频点上，即k_i一般不是整数。设在峰值频点附近抽样得到的幅值最大和次最大谱线分别为k_i1和k_i2，k_i1≤k_i≤k_i2(＝k_i1+1)，这两条谱线的幅值分别为 $y_1=\left|X_W^{\′}\left(k_{i1}\mathrm{\Δf}\right)\right|$ 和 $y_2=\left|X_W^{\′}\left(k_{i2}\mathrm{\Δf}\right)\right|,$ 设λ＝(y₂-y₁)/(y₂+y₁)、α＝k_i—k_i1—0.5，，可知α取值范围为[-0.5，0.5]，可得以α为自变量，以λ为因变量的函数关系λ＝h(α)，有

$\mathrm{\λ}=\frac{\left|W\left(\frac{2\mathrm{\π}(-\mathrm{\α}+0.5)}{N}\right)\right|-\left|W\left(\frac{2\mathrm{\π}(-\mathrm{\α}-0.5)}{N}\right)\right|}{\left|W\left(\frac{2\mathrm{\π}(-\mathrm{\α}+0.5)}{N}\right)\right|+\left|W\left(\frac{2\mathrm{\π}(-\mathrm{\α}-0.5)}{N}\right)\right|}---\left(9\right)$

其反函数为α＝h^-1(λ)。由λ可求出参数α，则被测信号的频率计算公式为

f_i＝k_iΔf＝(α+k_i1+0.5)Δf           (10)

被测信号的幅值计算公式为

$A_i=\frac{A_{i1}\left|W\left(\frac{2\mathrm{\π}(k_{i1}-k_i)}{N}\right)\right|+A_{i2}\left|W\left(\frac{2\mathrm{\π}(k_{i2}-k_i)}{N}\right)\right|}{\left|W\left(\frac{2\mathrm{\π}(k_{i1}-k_i)}{N}\right)\right|+\left|W\left(\frac{2\mathrm{\π}(k_{i2}-k_i)}{N}\right)\right|}---\left(11\right)$

被测信号的初相位计算公式

由此可计算出被测信号基波与谐波的真实频率和各项参数。

本发明所述的模数转换是指通过对被测信号(可以是电压或电流信号等)进行高速模数转换，将被测信号转换为数字量。

本发明所述的低通滤波是指能将被测信号中高频信号进行滤除的滤波算法。根据模数转换速率和谐波分析要求，确定被测信号进行谐波分析的最高次数和低通数字滤波器的各参数，对被测信号进行低通滤波处理，可以消除高次谐波对谐波分析结果的影响。

本发明所述的信号数据长度N是进行一次FFT变换的数据长度，N根据谐波检测精度和计算机或嵌入式系统设备的运行速度综合考虑确定。

本发明所述的Kaiser窗是一类最优化窗函数，可自由选择主瓣宽度和旁瓣高度之间的比重。在非同步采样情况下，不加窗的FFT运算将存在严重的频谱泄露和栅栏效应，检测精度低，加Kaiser窗双谱线插值FFT算法的频谱泄露和栅栏效应能显著降低，能提高基波与谐波检测精度。

本发明所述的双谱线插值FFT算法是指在非同步采样情况下，离散谱线与真实频率点存在偏差，通过寻找真实频率点附近的两根峰值谱线，采用多项式拟合的方法求取真实谱线处的频率值、幅值和初相位。

本发明与已有技术相比有以下优点：1、本发明可以对被测信号的基波与谐波分量进行快速、准确检测；2、本发明可以克服被测信号频率波动的影响，实现频率准确测量；3、本发明便于嵌入式系统实现，可以连续、长期对被测信号进行检测。

附图说明

图1是本发明的基波与谐波测量原理框图

图2是β＝[0，4，8，11]时的Kaiser窗离散时域特性图

图3是β＝[0，4，8，11]时的Kaiser窗幅频特性图

图4是FFT双谱线插值算法示意图

图5是本发明的基波与谐波测量流程框图

具体实施方式

本发明提出了一种基于Kaiser窗双谱线插值FFT的基波与谐波检测方法。以下结合附图作详述，但不作为本发明的限定。

本实施例为可用于实现电力系统谐波电能计量的三相多功能谐波电能表的谐波参数检测部分。

设定本实施例中谐波检测最高次数为21次，模数转换器采用TDK公司生产的71M6513H，CPU采用ADI公司生产的BF533处理器，主要参数选择如下：

(1)采样速率：f_s＝2520.6；

(2)电网基波频率：在50Hz左右波动；

(3)FFT运算数据长度：N＝512。

本实施例的处理流程框图如图1所示，信号经过A/D转换(模数转换)后送入DSP(BF533)进行处理，BF533完成构建离散Kaiser窗，进行加窗插值FFT运算，得到各次谐波参数。

本实施例中离散Kaiser窗的表达式如下

$w\left(n\right)=\frac{I_0\left[\mathrm{\β}\sqrt{1-{\left(\frac{n}{N/2}\right)}^2}\right]}{I_0\left(\mathrm{\β}\right)},$ 0≤|n|≤N/2          (13)

式中，I₀(β)是第1类变形零阶贝塞尔函数，β是窗函数的形状参数，为任意正数值；N为FFT运算的数据长度，也是窗函数的长度(n＝1，2，…N-1)。

图2分别给出了β＝[0，4，8，11]时Kaiser窗的离散时域特性图，可见，β值越大，Kaiser窗越窄。图3分别给出了β＝[0，4，8，11]时Kaiser窗的幅频特性图，其中，β＝0，Kaiser窗已退化为矩形窗。当β＝11时，旁瓣衰减速率达到18分贝/倍频程，旁瓣电平达到了-82.3分贝。随着β值增大，Kaiser窗函数频谱的旁瓣峰值越小，渐近衰减速率越大，同时，主瓣相应也加宽。本实施例选择β＝11时的Kaiser窗进行FFT处理。

本实施例中双谱线插值算法的示意图如图4所示，k₁和k₂分别表示真实频率点附近的两根谱线，以基频f_s＝50Hz为例，则k₁和k₂将位于40～60Hz频率范围内，找出该范围内的两根峰值谱线，则真实频率点位于两根谱线之间。两条谱线的幅值分别为 $y_1=\left|X_W^{\′}\left(k_1\mathrm{\Δf}\right)\right|$ 和 $y_2=\left|X_W^{\′}\left(k_2\mathrm{\Δf}\right)\right|,$ 设λ＝(y₂-y₁)/(y₂+y₁)、α＝k_i—k_i1—0.5，，可知α取值范围为[-0.5，0.5]。

Kaiser窗的频谱幅度函数为

$W\left(w\right)=\frac{N-1}{I_0\left(\mathrm{\β}\right)}\·\frac{\sinh \left(\sqrt{{\left(\mathrm{\β}\right)}^2-{[(N-1)w/2]}^2}\right)}{\sqrt{{\left(\mathrm{\β}\right)}^2-{[(N-1)w/2]}^2}}\·e^{-j\frac{N-1}{2}w}---\left(14\right)$

令w＝2πk/N，可得

$W\left(\frac{2\mathrm{\πk}}{N}\right)=\frac{N-1}{I_0\left(\mathrm{\β}\right)}\·\frac{\sinh \left(\sqrt{{\mathrm{\β}}^2-{[(N-1)\mathrm{\πk}/N]}^2}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\β}}^2-{[(N-1)\mathrm{\πk}/N]}^2}}\·e^{-j\frac{N-1}{N}\mathrm{\πk}}---\left(15\right)$

进行多项式拟合逼近，得到基于Kaiser窗的计算公式为

α＝H(λ)＝4.26201515λ+0.50674586λ³+0.22516483λ⁵

       +0.13687018λ⁷                     (16)

频率计算公式为

f₀＝k₀Δf＝(α+k₁+0.5)Δf                   (17)

幅值计算公式为

$A=\frac{(y_1+y_2)}{N}\·(3.81160858+0.79465173{\mathrm{\α}}^2+0.08673112{\mathrm{\α}}^4$

    $+0.00679640{\mathrm{\α}}^6)---\left(18\right)$

相位计算公式为

本实施例的基波与谐波参数检测误差结果如下：

表1 基波～21次谐波幅值相对误差(％)

 

谐波次数	1	2	3	4	5	6	7
								误差	9.2E-2	8.6E-2	9.2E-2	8.7E-2	9.1E-2	8.8E-2	9.1E-2
谐波次数	8	9	10	11	12	13	14
								误差	8.8E-2	9.1E-2	9.0E-2	9.1E-2	8.9E-2	9.1E-2	9.0E-2
谐波次数	15	16	17	18	19	20	21
								误差	9.0E-2	9.0E-2	9.0E-2	9.1E-2	9.0E-2	9.1E-2	9.0E-2

表2 基波～21次谐波初相位相对误差(％)

 

谐波次数	1	2	3	4	5	6	7
								误差	6.0E-5	9.3E-5	4.9E-6	3.9E-6	9.0E-7	2.3E-6	2.0E-7
谐波次数	8	9	10	11	12	13	14
								误差	4.2E-6	2.3E-6	2.6E-6	5.3E—5	1.8E-6	1.2E-5	1.8E-5
谐波次数	15	16	17	18	19	20	21
								误差	5.0E-6	2.3E-6	1.3E-6	2.8E-4	2.8E-4	-4.4E-5	6.7E-5

本实施例还采用了其他经典窗进行了实验，结果表明，Kaiser窗具有良好的频谱泄漏抑制作用，采用基于Kaiser窗双谱线插值FFT的基波与谐波检测方法能够在较短数据长度的情况下对谐波进行准确分析，有利于高精度谐波分析算法的嵌入式系统实现。

Claims (5)

1.一种用于信号处理的基于Kaiser窗双谱线插值FFT的基波与谐波参数检测方法，其特征是：对被测信号进行模数转换和低通滤波处理，采用可自由选择主瓣与旁瓣衰减之间的比重、设计实现灵活、旁瓣电平低、衰减速度快的Kaiser窗对信号进行加窗FFT处理，运用双谱线插值算法检测被测信号中的基波和各谐波量。

2.根据权利要求1所述的模数转换是指通过对被测信号(可以是电压或电流信号等)进行高速模数转换，将被测信号转换为数字量。

3.根据权利要求1所述的低通滤波是指能将被测信号中高频信号进行滤除的滤波算法。根据模数转换速率和谐波分析要求，确定被测信号进行谐波分析的最高次数和低通数字滤波器的各参数，对被测信号进行低通滤波处理，可以消除高次谐波对谐波分析结果的影响。

4.根据权利要求1所述的Kaiser窗是可自由选择主瓣与旁瓣衰减之间的比重的一类最优化窗函数，在非同步采样情况下，不加窗的FFT运算将存在严重的频谱泄露和栅栏效应，检测精度低，加Kaiser窗双谱线插值FFT算法的频谱泄露和栅栏效应能显著降低，能有效提高基波与谐波检测精度，且设计实现灵活。

5.根据权利要求1述的双谱线插值FFT算法是指在非同步采样情况下，离散谱线与真实频率谱线存在偏差，通过寻找真实频率点附近的两根峰值谱线，采用多项式拟合的方法，求出实用的插值计算式，由此求取真实谱线处的频率值、幅值和初相位。

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