CN104897960B - 基于加窗四谱线插值fft的谐波快速分析方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法及系统，涉及谐波分析领域。该方法包括以下步骤：信号预处理；确定四根谱线；计算四谱线插值算法的修正公式；计算基波参数；四谱线插值快速算法；确定谐波参数；进行误差分析。本发明从电力系统的电网信号加窗后的频域表达式入手，根据窗函数主瓣内任意相邻谱线相位相差π的规律，推导出加窗FFT后的真实谱线点附近最大的四根谱线之间的相位规律，提出一种加窗四谱线插值FFT快速算法。相对于双谱线和三谱线插值算法，本发明能有效提高谐波分析的精度；利用该快速算法，计算某次谐波仅需要1次模的运算，能够有效降低计算量和计算时间，显著提升计算速度。

Description

基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法及系统

技术领域

本发明涉及谐波分析领域，具体是涉及一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法及系统。

背景技术

随着大量非线性电力电子器件的使用，使得电网中谐波污染问题日益严重。谐波问题不仅恶化电能质量，对电网的安全稳定和经济运行也造成较大影响。因此，对系统中谐波参数进行高精度测量，对于减少谐波危害，维护电网安全稳定、高效运行是十分必要的。

FFT(Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换)是目前用于电力系统谐波分析最常用的算法，但采用FFT对信号进行频谱分析很难做到同步采样和整周期截断，所带来的频谱泄露和栅栏效应会导致谐波的频率、幅值和相位等参数测量不准，无法满足测量要求。

为了解决这一问题，加窗插值FFT算法被广泛应用：运用各种特殊窗函数对信号进行截断，然后结合谱线插值FFT进行谐波分析，从而提高测量精度。

常用的窗函数有：汉宁(Hanning)窗函数、布莱克曼(Blackman)窗函数、布莱克曼汉斯(Blackman-Harris)窗函数、纳托尔(Nuttall)窗函数、莱夫文森特(Rife-Vincent)窗函数以及各种组合窗函数。

在加窗基础上，D.Agrez和庞浩等人各自提出了双谱线的修正算法，Wu Jing、牛胜锁和黄冬梅等人提出了三谱线修正算法。这些改进降低了频谱泄漏和栅栏效应的影响，提高了谐波分析的准确性。

然而，在工程实际使用中，双谱线和三谱线插值算法仍然无法满足高精度的谐波分析要求，并且随着所采用谱线数目增多，求模的计算量也迅速增加，导致计算速度较慢。

发明内容

本发明的目的是为了克服上述背景技术的不足，提供一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法及系统，能够有效提高谐波分析的精度；利用该快速算法，计算某次谐波仅需要1次模的运算，能够有效降低计算量和计算时间，显著提升计算速度。

本发明提供一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法，包括以下步骤：

S1、信号预处理：

互感器采集电网信号，将互感器采集到的离散电网信号x(n)，传输到上位机，n为采样点的序数，n为自然数；采用离散余弦窗函数w(n)，对电网信号x(n)进行加窗截断，得到加窗信号x_w(n)：

x_w(n)＝x(n)w(n) (1)

离散余弦窗函数w(n)的表达式为：

其中，N为采样点数，N为正整数，n＝0,1,2...N-1；Σ表示求和；m为窗函数的累加次数，m＝0,1,2...M-1；M为窗函数项数，M为正整数；b_m为窗函数系数；

对公式(1)的加窗信号进行FFT变换后，得到加窗FFT频谱：

其中，W(·)为窗函数的频谱，k为正整数，X(k)表示第k次谐波的频谱，A_k为第k次谐波的幅值，j表示虚数单位，e是自然对数的底数，为第k次谐波的初始相位，第一次谐波为基波，f_s为采样频率，f₀为基波频率，Δf为离散频率间隔，且Δf＝f_s/N；

令：k₀＝f₀/Δf，k₀为真实频谱的谱线位置；

忽略负频率点处旁瓣的影响，公式(3)变为：

S2、确定四根谱线：

在步骤S1得到的加窗FFT频谱峰值附近区域，k₀处频率点左右各两条的谱线分别为：第k₁、k₂、k₃、k₄根，k₁、k₂、k₃、k₄均为正整数，k₁、k₂、k₃、k₄的关系为：k₂＝k₁+1，k₃＝k₂+1，k₄＝k₃+1，这四根谱线对应的幅值分别为y₁、y₂、y₃、y₄；

记变量α＝k-k₂-0.5，由于0≤k-k₂≤1，则-0.5≤α≤0.5；

记变量

S3、计算四谱线插值算法的修正公式：

根据公式(4)和(5)得到：

采用多项式逼近方法，计算奇函数β＝g^-1(α)，表达式为：

α≈p₁₁×β+p₁₃×β³+…+p_1pβ^p (7)

p₁₁，p₁₃；…p_1p为多项式逼近的奇次项系数，p是奇数；

根据公式(4)，求得电网信号第i次谐波的幅值A_i：

其中，i为正整数，y_i为加窗FFT后第i次谐波的幅值；

考虑到y₂、y₃是离真实谱线点最近的两根谱线，基波幅值A₁为：

根据公式(7)的逼近方法，N＞1000时，窗函数系数为实系数，公式(9)表示为：

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)u(α)，

其中，u(α)为修正公式，且为偶函数，逼近多项式不含奇次项；

四谱线修正公式为：u(α)＝(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (10)

公式(10)中，p₂₀,p₂₂…p_2d为多项式逼近的偶次项系数，d为拟合的最高阶次，且d为偶数；

S4、计算基波参数：

计算基波频率f₀、基波幅值A₁：

f₀＝k·Δf＝(k₂+α+0.5)Δf (11)

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (12)

根据公式(4)，得出基波的相位：

仿照基波参数的求取，根据公式(6)、(7)、(11)、(12)、(13)，进行各次谐波参数的分析；

考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：

由于N>>1，得到：

S5、加窗四谱线插值快速算法：

根据公式(5)和(12)，计算变量β和幅值A₁的时候，需求出(y₄+3y₃+3y₂+y₁)：

令变量：

根据公式(4)，得到：

根据公式(13)，得到：arg(W(k))＝-kπ (18)

将公式(17)代入公式(16)，得到：

分析得出：X(k₁)与X(k₃)同相位，X(k₂)与X(k₄)同相位；且X(k₁)与X(k₂)，X(k₂)与X(k₃)，X(k₃)与X(k₄)之间的相位之差均为π，那么：

令：

其中，C为T1的模，D为T2的模；

则：

其中：Re表示取实部，Im表示取虚部；

分析得出：计算各次谐波的参数时，仅在计算幅值A_k的时候，需要进行一次求模运算；根据公式(5)计算变量β时，利用T1和T2的实部或虚部进行快速计算；同理，根据同一个主瓣相邻4根谱线的相位关系，求最大谱线时，直接利用插值前FFT运算结果的实部和虚部来寻求最大的向量；

S6、确定谐波参数：确定基波频率f₀后，在范围(kf₀-5,kf₀+5)内重复步骤S2～S5，直到所有谐波参数计算完毕；

S7、进行误差分析：在同样窗函数条件下，分析加窗四谱线插值快速算法的误差，并与双谱线算法的误差、三谱线插值算法的误差进行比较。

在上述技术方案的基础上，所述电网信号包括电流信号、电压信号；所述真实频谱的谱线位置k₀为小数。

在上述技术方案的基础上，所述窗函数系数b_m满足以下约束条件：

本发明还提供一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析系统，包括信号预处理单元、谱线确定单元、修正公式计算单元、基波参数计算单元、四谱线插值快速计算单元、谐波参数确定单元、误差分析单元，其中：

所述信号预处理单元，用于对信号进行预处理：

互感器采集电网信号，将互感器采集到的离散电网信号x(n)，传输到上位机，n为采样点的序数，n为自然数；采用离散余弦窗函数w(n)，对电网信号x(n)进行加窗截断，得到加窗信号x_w(n)：

x_w(n)＝x(n)w(n) (1)

离散余弦窗函数w(n)的表达式为：

其中，N为采样点数，N为正整数，n＝0,1,2...N-1；Σ表示求和；m为窗函数的累加次数，m＝0,1,2...M-1；M为窗函数项数，M为正整数；b_m为窗函数系数；

对公式(1)的加窗信号进行FFT变换后，得到加窗FFT频谱：

其中，W(·)为窗函数的频谱，k为正整数，X(k)表示第k次谐波的频谱，A_k为第k次谐波的幅值，j表示虚数单位，e是自然对数的底数，为第k次谐波的初始相位，第一次谐波为基波，f_s为采样频率，f₀为基波频率，Δf为离散频率间隔，且Δf＝f_s/N；

令：k₀＝f₀/Δf，k₀为真实频谱的谱线位置；

忽略负频率点处旁瓣的影响，公式(3)变为：

所述谱线确定单元，用于确定四根谱线：

在信号预处理单元得到的加窗FFT频谱峰值附近区域，k₀处频率点左右各两条的谱线分别为：第k₁、k₂、k₃、k₄根，k₁、k₂、k₃、k₄均为正整数，k₁、k₂、k₃、k₄的关系为：k₂＝k₁+1，k₃＝k₂+1，k₄＝k₃+1，这四根谱线对应的幅值分别为y₁、y₂、y₃、y₄；

记变量α＝k-k₂-0.5，由于0≤k-k₂≤1，则-0.5≤α≤0.5；

记变量

所述修正公式计算单元，用于计算四谱线插值算法的修正公式：

根据公式(4)和(5)得到：

采用多项式逼近方法，计算奇函数β＝g^-1(α)，表达式为：

α≈p₁₁×β+p₁₃×β³+…+p_1pβ^p (7)

p₁₁，p₁₃；…p_1p为多项式逼近的奇次项系数，p是奇数；

根据公式(4)，求得电网信号第i次谐波的幅值A_i：

其中，i为正整数，y_i为加窗FFT后第i次谐波的幅值；

考虑到y₂、y₃是离真实谱线点最近的两根谱线，基波幅值A₁为：

根据公式(7)的逼近方法，N＞1000时，窗函数系数为实系数，公式(9)表示为：

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)u(α)，

其中，u(α)为修正公式，且为偶函数，逼近多项式不含奇次项；

四谱线修正公式为：u(α)＝(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (10)

公式(10)中，p₂₀,p₂₂…p_2d为多项式逼近的偶次项系数，d为拟合的最高阶次，且d为偶数；

所述基波参数计算单元，用于计算基波参数：

计算基波频率f₀、基波幅值A₁：

f₀＝k·Δf＝(k₂+α+0.5)Δf (11)

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (12)

根据公式(4)，得出基波的相位：

仿照基波参数的求取，根据公式(6)、(7)、(11)、(12)、(13)，进行各次谐波参数的分析；

考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：

由于N>>1，得到：

所述四谱线插值快速计算单元，用于进行四谱线插值快速计算：

根据公式(5)和(12)，在计算变量β和幅值A₁的时候，需要求出(y₄+3y₃+3y₂+y₁)：

令变量：

根据公式(4)，得到：

根据公式(13)，得到：arg(W(k))＝-kπ (18)

将公式(17)代入公式(16)，得到：

分析得出：X(k₁)与X(k₃)同相位，X(k₂)与X(k₄)同相位；且X(k₁)与X(k₂)，X(k₂)与X(k₃)，X(k₃)与X(k₄)之间的相位之差均为π，那么：

令：

其中，C为T1的模，D为T2的模；

则：

其中：Re表示取实部，Im表示取虚部；

分析得出：计算各次谐波的参数时，仅在计算幅值A_k的时候，需要进行一次求模运算；根据公式(5)计算变量β时，利用T1和T2的实部或虚部进行快速计算；同理，根据同一个主瓣相邻4根谱线的相位关系，求最大谱线时，直接利用插值前FFT运算结果的实部和虚部，来寻求最大的向量；

所述谐波参数确定单元，用于确定谐波参数：确定基波频率f₀后，在范围(kf₀-5,kf₀+5)内，所述谱线确定单元、修正公式计算单元、基波参数计算单元、四谱线插值快速计算单元重复进行计算，直到所有谐波参数计算完毕；

所述误差分析单元，用于进行误差分析：在同样窗函数条件下，分析加窗四谱线插值快速算法的误差，并与双谱线算法的误差、三谱线插值算法的误差进行比较。

与现有技术相比，本发明的优点如下：

本发明从电力系统的电网信号(电流信号或电压信号)加窗后的频域表达式入手，根据窗函数主瓣内任意相邻谱线相位相差π的规律，推导出加窗FFT后的真实谱线点附近最大的四根谱线之间的相位规律，提出一种加窗四谱线插值FFT快速算法。多种常用的余弦窗函数计算实例表明，相对于双谱线和三谱线插值算法，本发明能够有效提高谐波分析的精度；利用该快速算法，计算某次谐波仅需要1次模的运算，能够有效降低计算量和计算时间，显著提升计算速度，具有较高的实用价值。

附图说明

图1是本发明实施例中基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法的流程图。

图2是本发明实施例中相邻四条谱线的相位图。

图3是本发明实施例中谐波信号的波形图。

图4是Hanning窗函数的幅频特性图。

图5是Black窗函数的幅频特性图。

图6是Black-harris窗函数的幅频特性图。

图7是4项最大旁瓣衰减窗函数的幅频特性图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步的详细描述。

参见图1所示，本发明实施例提供一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法，包括以下步骤：

S1、信号预处理：

互感器采集电网信号，电网信号包括电流信号、电压信号，将互感器采集到的离散电网信号x(n)，传输到上位机，n为采样点的序数，n为自然数；采用离散余弦窗函数w(n)，对电网信号x(n)进行加窗截断，得到加窗信号x_w(n)：

x_w(n)＝x(n)w(n) (1)

离散余弦窗函数w(n)的表达式为：

其中，N为采样点数，N为正整数，n＝0,1,2...N-1；Σ表示求和；m为窗函数的累加次数，m＝0,1,2...M-1；M为窗函数项数，M为正整数；b_m为窗函数系数，窗函数系数b_m满足以下约束条件：

对公式(1)的加窗信号进行FFT变换后，得到加窗FFT频谱：

其中，W(·)为窗函数的频谱，k为正整数，X(k)表示第k次谐波的频谱，A_k为第k次谐波的幅值，j表示虚数单位，e是自然对数的底数，为第k次谐波的初始相位，第一次谐波为基波，f_s为采样频率，f₀为基波频率，Δf为离散频率间隔，且Δf＝f_s/N。

令：k₀＝f₀/Δf，k₀为真实频谱的谱线位置，由于非同步采样或非整周期截断，k₀一般为小数，不为整数。

若忽略负频率点处旁瓣的影响，公式(3)变为：

S2、确定四根谱线：

在步骤S1得到的加窗FFT频谱峰值附近区域，k₀处频率点左右各两条的谱线分别为：第k₁、k₂、k₃、k₄根，k₁、k₂、k₃、k₄均为正整数，k₁、k₂、k₃、k₄的关系为：k₂＝k₁+1，k₃＝k₂+1，k₄＝k₃+1，这四根谱线对应的幅值分别为y₁、y₂、y₃、y₄。

为方便计算，记变量α＝k-k₂-0.5，由于0≤k-k₂≤1，则-0.5≤α≤0.5；

记变量

S3、计算四谱线插值算法的修正公式：

根据公式(4)和(5)得到：

当N值比较大，例如：N＞1000时，公式(6)可以化简为一个函数β＝g(α)，其反函数为α＝g^-1(β)。由于所采用的余弦窗系数均为实系数，其频率响应是偶对称的，因而g(·)和g^-1(·)均为奇函数。

采用多项式逼近方法，计算奇函数β＝g^-1(α)，表达式为：

α≈p₁₁×β+p₁₃×β³+…+p_1pβ^p (7)

p₁₁，p₁₃；…p_1p为多项式逼近的奇次项系数，p是奇数。

根据公式(4)，求得电网信号第i次谐波的幅值A_i：

其中，i为正整数，y_i为加窗FFT后第i次谐波的幅值；

以基波为例，考虑到y₂、y₃是离真实谱线点最近的两根谱线，给予较大权重，可以得到基波幅值A₁：

根据公式(7)的逼近方法，当N比较大，例如N＞1000时，窗函数系数为实系数，公式(9)可表示为：

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)u(α)，

其中，u(α)为修正公式，且为偶函数，逼近多项式不含奇次项。

四谱线修正公式如下：

u(α)＝(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (10)

公式(10)中，p₂₀,p₂₂…p_2d为多项式逼近的偶次项系数，d为拟合的最高阶次，且d为偶数。

S4、计算基波参数：

考虑到y₂、y₃是离真实谱线点最近的两根谱线，给予较大权重，可以得到基波频率f₀、基波幅值A₁：

f₀＝k·Δf＝(k₂+α+0.5)Δf (11)

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (12)

根据公式(4)，还可以得出基波的相位：

仿照基波参数的求取，根据公式(6)、(7)、(11)、(12)、(13)，即可进行各次谐波参数的分析。

考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：

由于N>>1，可以得到：

S5、加窗四谱线插值快速算法：

根据公式(5)和(12)，在计算变量β和幅值A₁的时候，需要求出(y₄+3y₃+3y₂+y₁)。

令变量：

根据公式(4)可以得到：

根据公式(13)可得到：arg(W(k))＝-kπ (18)

将公式(17)代入公式(16)可得到：

分析得出：X(k₁)与X(k₃)同相位，X(k₂)与X(k₄)同相位；且X(k₁)与X(k₂)，X(k₂)与X(k₃)，X(k₃)与X(k₄)之间的相位之差均为π，相邻四条谱线的相位图参见图2所示，那么：

由图2可知：

因此，可以再次令：

其中，C为T1的模，D为T2的模。

则：

其中：Re表示取实部，Im表示取虚部。

由以上分析得出：计算各次谐波的参数时候，仅在计算幅值A_k的时候，需要进行一次求模运算。根据公式(5)计算变量β时，可以利用T1和T2的实部或虚部进行快速计算。

同理，根据同一个主瓣相邻4根谱线的相位关系，求最大谱线时，直接利用插值前FFT运算结果的实部和虚部，来寻求最大的向量。

S6、确定谐波参数：确定基波频率f₀后，在范围(kf₀-5,kf₀+5)内，重复步骤S2～S5，直到所有谐波参数计算完毕。

S7、进行误差分析：在同样窗函数条件下，分析加窗四谱线插值快速算法的误差，并与双谱线算法的误差、三谱线插值算法的误差进行比较。

S1、S2、S3、S4、S6、S7形成一个完整的基于加窗四谱线插值FFT的高精度谐波分析方法，能够有效提高谐波分析的精度。

步骤S5的作用是提高计算速度，在S4、S6之间增加步骤S5，每次谐波仅需一次模运算，计算量小，能够有效提升计算速度，在同样窗函数下，能获得更高的精度，具有较高的实用价值。

下面通过一个具体实施例来进行详细说明。选定一个电网信号的谐波，谐波的波形参见图3所示。

步骤1、信号的预处理：

将互感器采集到的离散电网信号x(n)，信号模型参见表1所示。为了验证所提算法的精度，进行10次谐波仿真分析。信号模型为：

其中：基波频率f₀为50.5Hz，采样频率f_s为5120Hz，采样点数N为1024。

表1、电网信号的谐波参数

对信号x(n)进行加窗处理，选取4种常用加窗函数，其系数参见表2所示。

表2、常用窗函数系数

加窗FFT变换后得到信号频谱：

步骤2、确定四根谱线：

在45～55Hz中寻求实部(或虚部)最大四根谱线，分别为X(k₁)、X(k₂)、X(k₃)、X(k₄)。令：

那么

步骤3、计算四谱线插值算法的修正公式：

根据具体实施方式中步骤S3的推导，表2中的4种窗函数的修正公式α＝g^-1(β)，u(α)分别如下：

(1)Hanning窗：

α＝1.13013682β-0.18408680β³+0.07224859β⁵-0.04451832β⁷u(α)＝0.53549869+0.17622103α²+0.09310826α⁴+0.06644946α⁶

Hanning窗函数的幅频特性参见图4所示。

(2)Balckman窗：

α＝1.44649012β-0.29326578β³+0.13858447β⁵-0.09578617β⁷u(α)＝1.1575129+0.56110888α²+0.38707997α⁴+0.33290703α⁶

Black窗函数的幅频特性参见图5所示。

(3)Balckman-harris窗：

α＝1.85862073β-0.40299738β³+0.19725715β⁵-0.13293118β⁷u(α)＝1.24914356+0.88776025α²+0.73879907α⁴-0.69429366α⁶

Black-harris窗函数的幅频特性参见图6所示。

(4)4项最大旁瓣衰减窗：

α＝2.37540983β-0.43478665β³+0.19124517β⁵-0.11511086β⁷u(α)＝1.34456750+1.36577423α²+1.25666570α⁴+1.17989176α⁶

4项最大旁瓣衰减窗函数的幅频特性参见图7所示。

步骤4、计算基波参数：

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)u(α)

f₀＝k·Δf＝(k₂+α+0.5)Δf

步骤5、四谱线插值快速算法：

根据S5所述快速算法，可以对步骤2和步骤4中的两个量的求取采用快速算法：

及A₁＝N^-1|T2|u(α)

步骤6、确定谐波参数：确定基波频率f0后，在范围(kf₀-5,kf₀+5)内重复步骤2～5，直到所有谐波参数计算完毕。

步骤7、进行误差分析：仿真实验的误差分析比较结果参见表3～表6所示，其中，D_Ai表示基波和各次谐波幅值测量值的相对误差；D_f0表示基波频率测量值的相对误差；表示基波和各次谐波初始相位测量值的相对误差，均用百分比表示。

表3、Hanning窗和Blackman窗的频率、幅值相对误差

表4、Hanning窗和Blackman窗的相位相对误差

表5、Blackman-harris窗和四项最大旁瓣衰减窗的频率、幅值相对误差

表6、Blackman-harris窗和四项最大旁瓣衰减窗的相位相对误差

从表3～表6数据可以看出，本发明实施例所推导的加窗四谱线插值FFT快速算法，计算结果普遍好于双谱线和三谱线插值算法，并且计算每次谐波仅需一次模运算，能够有效节约计算量和计算时间，显著提升计算速度。

本发明实施例还提供一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析系统，包括信号预处理单元、谱线确定单元、修正公式计算单元、基波参数计算单元、四谱线插值快速计算单元、谐波参数确定单元、误差分析单元，其中：

信号预处理单元，用于对信号进行预处理：互感器采集电网信号，电网信号包括电流信号、电压信号，将互感器采集到的离散电网信号x(n)，传输到上位机，n为采样点的序数，n为自然数；采用离散余弦窗函数w(n)，对电网信号x(n)进行加窗截断，得到加窗信号x_w(n)：

x_w(n)＝x(n)w(n) (1)

离散余弦窗函数w(n)的表达式为：

其中，N为采样点数，N为正整数，n＝0,1,2...N-1；Σ表示求和；m为窗函数的累加次数，m＝0,1,2...M-1；M为窗函数项数，M为正整数；b_m为窗函数系数，窗函数系数b_m满足以下约束条件：

对公式(1)的加窗信号进行FFT变换后，得到加窗FFT频谱：

其中，W(·)为窗函数的频谱，k为正整数，X(k)表示第k次谐波的频谱，A_k为第k次谐波的幅值，j表示虚数单位，e是自然对数的底数，为第k次谐波的初始相位，第一次谐波为基波，f_s为采样频率，f₀为基波频率，Δf为离散频率间隔，且Δf＝f_s/N。

令：k₀＝f₀/Δf，k₀为真实频谱的谱线位置，由于非同步采样或非整周期截断，k₀一般不为整数。

若忽略负频率点处旁瓣的影响，公式(3)变为：

谱线确定单元，用于确定四根谱线：

在信号预处理单元得到的加窗FFT频谱峰值附近区域，k₀处频率点左右各两条的谱线分别为：第k₁、k₂、k₃、k₄根，k₁、k₂、k₃、k₄均为正整数，k₁、k₂、k₃、k₄的关系为：k₂＝k₁+1，k₃＝k₂+1，k₄＝k₃+1，这四根谱线对应的幅值分别为y₁、y₂、y₃、y₄。

为方便计算，记变量α＝k-k₂-0.5，由于0≤k-k₂≤1，则-0.5≤α≤0.5；

记变量

修正公式计算单元，用于计算四谱线插值算法的修正公式：

根据公式(4)和(5)得到：

当N值比较大，例如：N＞1000时，公式(6)可以化简为一个函数β＝g(α)，其反函数为α＝g^-1(β)。由于所采用的余弦窗系数均为实系数，其频率响应是偶对称的，因而g(·)和g^-1(·)均为奇函数。

采用多项式逼近方法，计算奇函数β＝g^-1(α)，表达式为：

α≈p₁₁×β+p₁₃×β³+…+p_1pβ^p (7)

p₁₁，p₁₃；…p_1p为多项式逼近的奇次项系数，p是奇数。

根据公式(4)，求得电网信号第i次谐波的幅值A_i：

其中，i为正整数，y_i为加窗FFT后第i次谐波的幅值；

以基波为例，考虑到y₂、y₃是离真实谱线点最近的两根谱线，给予较大权重，可以得到基波幅值A₁：

根据公式(7)的逼近方法，当N比较大，例如N＞1000时，窗函数系数为实系数，公式(9)可表示为：

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)u(α)，

其中，u(α)为修正公式，且为偶函数，逼近多项式不含奇次项。

四谱线修正公式如下：

u(α)＝(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (10)

公式(10)中，p₂₀,p₂₂…p_2d为多项式逼近的偶次项系数，d为拟合的最高阶次，且d为偶数。

基波参数计算单元，用于计算基波参数：

考虑到y₂、y₃是离真实谱线点最近的两根谱线，给予较大权重，可以得到基波频率f₀、基波幅值A₁：

f₀＝k·Δf＝(k₂+α+0.5)Δf (11)

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (12)

根据公式(4)还可以得出基波的相位：

仿照基波参数的求取，根据公式(6)、(7)、(11)、(12)、(13)，即可进行各次谐波参数的分析。

考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：

由于N>>1，可以得到：

四谱线插值快速计算单元，用于进行四谱线插值快速计算：

由公式(5)和(12)可知，在计算变量β和幅值A₁的时候，需要求出(y₄+3y₃+3y₂+y₁)。

令变量：

根据公式(4)可以得到：

根据公式(13)可得到：arg(W(k))＝-kπ (18)

将公式(17)代入公式(16)可得到：

分析得出：X(k₁)与X(k₃)同相位，X(k₂)与X(k₄)同相位；且X(k₁)与X(k₂)，X(k₂)与X(k₃)，X(k₃)与X(k₄)之间的相位之差均为π，相邻四条谱线的相位图参见图2所示，那么：

由图2可知：

因此，可以再次令：

其中，C为T1的模，D为T2的模。

则：

其中：Re表示取实部，Im表示取虚部。

由以上分析可知，计算各次谐波的参数时候，仅在计算幅值A_k的时候，需要进行一次求模运算。根据公式(5)计算变量β时，可以利用T1和T2的实部或虚部进行快速计算。同理，根据同一个主瓣相邻4根谱线的相位关系，求最大谱线时，直接利用插值前FFT运算结果的实部和虚部，来寻求最大的向量。

谐波参数确定单元，用于确定谐波参数：确定基波频率f₀后，在范围(kf₀-5,kf₀+5)内，谱线确定单元、修正公式计算单元、基波参数计算单元、四谱线插值快速计算单元重复进行计算，直到所有谐波参数计算完毕。

误差分析单元，用于进行误差分析：在同样窗函数条件下，分析加窗四谱线插值快速算法的误差，并与双谱线算法的误差、三谱线插值算法的误差进行比较。

本领域的技术人员可以对本发明实施例进行各种修改和变型，倘若这些修改和变型在本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则这些修改和变型也在本发明的保护范围之内。

说明书中未详细描述的内容为本领域技术人员公知的现有技术。

Claims (8)

1.一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、信号预处理：

互感器采集电网信号，将互感器采集到的离散电网信号x(n)，传输到上位机，n为采样点的序数，n为自然数；采用离散余弦窗函数w(n)，对电网信号x(n)进行加窗截断，得到加窗信号x_w(n)：

x_w(n)＝x(n)w(n) (1)

离散余弦窗函数w(n)的表达式为：

<mrow> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mi>N</mi> </mfrac> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，N为采样点数，N为正整数，n＝0,1,2...N-1；Σ表示求和；m为窗函数的累加次数，m＝0,1,2...M-1；M为窗函数项数，M为正整数；b_m为窗函数系数；

对公式(1)的加窗信号进行FFT变换后，得到加窗FFT频谱：

其中，W(·)为窗函数的频谱，k为正整数，X(k)表示第k次谐波的频谱，A_k为第k次谐波的幅值，j表示虚数单位，e是自然对数的底数，为第k次谐波的初始相位，第一次谐波为基波，f_s为采样频率，f₀为基波频率，Δf为离散频率间隔，且Δf＝f_s/N；

令：k₀＝f₀/Δf，k₀为真实频谱的谱线位置；

忽略负频率点处旁瓣的影响，公式(3)变为：

S2、确定四根谱线：

在步骤S1得到的加窗FFT频谱峰值附近区域，k₀处频率点左右各两条的谱线分别为：第k₁、k₂、k₃、k₄根，k₁、k₂、k₃、k₄均为正整数，k₁、k₂、k₃、k₄的关系为：k₂＝k₁+1，k₃＝k₂+1，k₄＝k₃+1，这四根谱线对应的幅值分别为y₁、y₂、y₃、y₄；

记变量α＝k-k₂-0.5，由于0≤k-k₂≤1，则-0.5≤α≤0.5；

记变量 <mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

S3、计算四谱线插值算法的修正公式：

根据公式(4)和(5)得到：

<mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

采用多项式逼近方法，计算奇函数β＝g^-1(α)，表达式为：

<mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;ap;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>13</mn> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>...</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>p</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

p₁₁，p₁₃；…p_1p为多项式逼近的奇次项系数，p是奇数；

根据公式(4)，求得电网信号第i次谐波的幅值A_i：

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，i为正整数，y_i为加窗FFT后第i次谐波的幅值；

考虑到y₂、y₃是离真实谱线点最近的两根谱线，基波幅值A₁为：

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据公式(7)的逼近方法，N＞1000时，窗函数系数为实系数，公式(9)表示为：

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)u(α)，

其中，u(α)为修正公式，且为偶函数，逼近多项式不含奇次项；

四谱线修正公式为：u(α)＝(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (10)

公式(10)中，p₂₀,p₂₂…p_2d为多项式逼近的偶次项系数，d为拟合的最高阶次，且d为偶数；

S4、计算基波参数：

计算基波频率f₀、基波幅值A₁：

f₀＝k·Δf＝(k₂+α+0.5)Δf (11)

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (12)

根据公式(4)，得出基波的相位：

仿照基波参数的求取，根据公式(6)、(7)、(11)、(12)、(13)，进行各次谐波参数的分析；

考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：

<mrow> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>N</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>N</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由于N>>1，得到：

<mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>N</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>W</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>N</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

S5、加窗四谱线插值快速算法：

根据公式(5)和(12)，计算变量β和幅值A₁的时候，需求出(y₄+3y₃+3y₂+y₁)：

令变量： <mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据公式(4)，得到：

根据公式(13)，得到：arg(W(k))＝-kπ (18)

将公式(17)代入公式(16)，得到：

分析得出：X(k₁)与X(k₃)同相位，X(k₂)与X(k₄)同相位；且X(k₁)与X(k₂)，X(k₂)与X(k₃)，X(k₃)与X(k₄)之间的相位之差均为π，那么：

<mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

令：

其中，C为T1的模，D为T2的模；

则： <mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>Re</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>Re</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>Im</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>Im</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中：Re表示取实部，Im表示取虚部；

分析得出：计算各次谐波的参数时，仅在计算幅值A_k的时候，需要进行一次求模运算；根据公式(5)计算变量β时，利用T1和T2的实部或虚部进行快速计算；同理，根据同一个主瓣相邻4根谱线的相位关系，求最大谱线时，直接利用插值前FFT运算结果的实部和虚部来寻求最大的向量；

S6、确定谐波参数：确定基波频率f₀后，在范围(kf₀-5,kf₀+5)内重复步骤S2～S5，直到所有谐波参数计算完毕；

S7、进行误差分析：在同样窗函数条件下，分析加窗四谱线插值快速算法的误差，并与双谱线算法的误差、三谱线插值算法的误差进行比较。

2.如权利要求1所述的基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法，其特征在于：所述电网信号包括电流信号、电压信号。

3.如权利要求1所述的基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法，其特征在于：所述真实频谱的谱线位置k₀为小数。

4.如权利要求1或2或3所述的基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法，其特征在于：

所述窗函数系数b_m满足以下约束条件：

<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mrow> </mrow>

5.一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析系统，其特征在于：包括信号预处理单元、谱线确定单元、修正公式计算单元、基波参数计算单元、四谱线插值快速计算单元、谐波参数确定单元、误差分析单元，其中：

所述信号预处理单元，用于对信号进行预处理：

互感器采集电网信号，将互感器采集到的离散电网信号x(n)，传输到上位机，n为采样点的序数，n为自然数；采用离散余弦窗函数w(n)，对电网信号x(n)进行加窗截断，得到加窗信号x_w(n)：

x_w(n)＝x(n)w(n) (1)

离散余弦窗函数w(n)的表达式为：

<mrow> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mi>N</mi> </mfrac> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，N为采样点数，N为正整数，n＝0,1,2...N-1；Σ表示求和；m为窗函数的累加次数，m＝0,1,2...M-1；M为窗函数项数，M为正整数；b_m为窗函数系数；

对公式(1)的加窗信号进行FFT变换后，得到加窗FFT频谱：

其中，W(·)为窗函数的频谱，k为正整数，X(k)表示第k次谐波的频谱，A_k为第k次谐波的幅值，j表示虚数单位，e是自然对数的底数，为第k次谐波的初始相位，第一次谐波为基波，f_s为采样频率，f₀为基波频率，Δf为离散频率间隔，且Δf＝f_s/N；

令：k₀＝f₀/Δf，k₀为真实频谱的谱线位置；

忽略负频率点处旁瓣的影响，公式(3)变为：

所述谱线确定单元，用于确定四根谱线：

在信号预处理单元得到的加窗FFT频谱峰值附近区域，k₀处频率点左右各两条的谱线分别为：第k₁、k₂、k₃、k₄根，k₁、k₂、k₃、k₄均为正整数，k₁、k₂、k₃、k₄的关系为：k₂＝k₁+1，k₃＝k₂+1，k₄＝k₃+1，这四根谱线对应的幅值分别为y₁、y₂、y₃、y₄；

记变量α＝k-k₂-0.5，由于0≤k-k₂≤1，则-0.5≤α≤0.5；

记变量 <mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

所述修正公式计算单元，用于计算四谱线插值算法的修正公式：

根据公式(4)和(5)得到：

<mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

采用多项式逼近方法，计算奇函数β＝g^-1(α)，表达式为：

<mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;ap;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>13</mn> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>...</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>p</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

p₁₁，p₁₃；…p_1p为多项式逼近的奇次项系数，p是奇数；

根据公式(4)，求得电网信号第i次谐波的幅值A_i：

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，i为正整数，y_i为加窗FFT后第i次谐波的幅值；

考虑到y₂、y₃是离真实谱线点最近的两根谱线，基波幅值A₁为：

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>1.5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据公式(7)的逼近方法，N＞1000时，窗函数系数为实系数，公式(9)表示为：

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)u(α)，

其中，u(α)为修正公式，且为偶函数，逼近多项式不含奇次项；

四谱线修正公式为：u(α)＝(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (10)

公式(10)中，p₂₀,p₂₂…p_2d为多项式逼近的偶次项系数，d为拟合的最高阶次，且d为偶数；

所述基波参数计算单元，用于计算基波参数：

计算基波频率f₀、基波幅值A₁：

f₀＝k·Δf＝(k₂+α+0.5)Δf (11)

A₁＝N^-1(y₄+3y₃+3y₂+y₁)(p₂₀+p₂₂α²+…+p_2dα^d) (12)

根据公式(4)，得出基波的相位：

仿照基波参数的求取，根据公式(6)、(7)、(11)、(12)、(13)，进行各次谐波参数的分析；

考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：

<mrow> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>N</mi> </mfrac> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>N</mi> </mfrac> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由于N>>1，得到：

<mrow> <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>N</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>N</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

所述四谱线插值快速计算单元，用于进行四谱线插值快速计算：

根据公式(5)和(12)，在计算变量β和幅值A₁的时候，需要求出(y₄+3y₃+3y₂+y₁)：

令变量： <mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据公式(4)，得到：

根据公式(13)，得到：arg(W(k))＝-kπ (18)

将公式(17)代入公式(16)，得到：

分析得出：X(k₁)与X(k₃)同相位，X(k₂)与X(k₄)同相位；且X(k₁)与X(k₂)，X(k₂)与X(k₃)，X(k₃)与X(k₄)之间的相位之差均为π，那么：

<mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

令：

其中，C为T1的模，D为T2的模；

则： <mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>Re</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>Re</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>Im</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>Im</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中：Re表示取实部，Im表示取虚部；

分析得出：计算各次谐波的参数时，仅在计算幅值A_k的时候，需要进行一次求模运算；根据公式(5)计算变量β时，利用T1和T2的实部或虚部进行快速计算；同理，根据同一个主瓣相邻4根谱线的相位关系，求最大谱线时，直接利用插值前FFT运算结果的实部和虚部，来寻求最大的向量；

所述谐波参数确定单元，用于确定谐波参数：确定基波频率f₀后，在范围(kf₀-5,kf₀+5)内，所述谱线确定单元、修正公式计算单元、基波参数计算单元、四谱线插值快速计算单元重复进行计算，直到所有谐波参数计算完毕；

所述误差分析单元，用于进行误差分析：在同样窗函数条件下，分析加窗四谱线插值快速算法的误差，并与双谱线算法的误差、三谱线插值算法的误差进行比较。

6.如权利要求5所述的基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析系统，其特征在于：所述电网信号包括电流信号、电压信号。

7.如权利要求5所述的基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析系统，其特征在于：所述真实频谱的谱线位置k₀为小数。

8.如权利要求5或6或7所述的基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析系统，其特征在于：

所述窗函数系数b_m满足以下约束条件：

<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>.</mo> </mrow>