CN109030941A - Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，包括步骤：S1：按照采样频率采集获得电压信号和电流信号；S2：对电压信号和电流信号分别施加Hanning自乘卷积窗函数，并进行FFT变换，得到对应的电压频谱和电流频谱；S3：分别检测电压频谱和电流频谱的基波和谐波的被检峰值处的最大谱线及与最大谱线相邻的两条谱线的幅值；S4：计算电压频谱和电流频谱的基波和谐波的幅值、相位和频率；S5：计算电压频谱和电流频谱的基波和各谐波的电能和总电能。本发明的一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，可进一步提高基波和谐波电能的计算精度，并能改善电能计量算法的计算稳定性。

Description

Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法

技术领域

本发明涉及电力系统谐波检测领域，尤其涉及一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法。

背景技术

随着越来越多的电气化铁道、电弧炉等非线性动态电力负荷的投入使用，在供电电网中产生了大量电力谐波，造成了供电电网电流、电压波形的畸变。这些干扰的存在，不仅导致供电电能质量恶化，危及供电系统的安全稳定运行，而且还影响电能计量的准确性。

为准确计量基波和谐波电能，首先应准确提取电网电压和电流信号中基波和各次谐波的幅值、频率及相位参量，常用的方法是对被测信号做加窗、傅里叶变换、插值修正等运算。具体是在对被测信号进行FFT前，施加合适的窗函数，以抑制因非同步采样和非整周期截断造成的频谱泄漏；再通过傅里叶变换分析离散频谱；最后借助插值修正，补偿栅栏效应导致的误差。截至目前，国内外学者已设计出多种基本窗函数，主要有Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、Rife-Vincent窗、Nutall窗、Kaiser窗及各种组合余弦窗等。一些学者在现有窗函数基础上，又提出了多种改进的优化窗函数。常用的插值方法主要包括单峰谱线、双峰谱线、三峰谱线和四峰谱线插值方法共四类。

由于窗函数的频谱性能是固定不变的，故在对动态信号进行加窗插值修正算法时，计算精度受到窗函数固定旁瓣性能的限制，导致被测信号中的谐波成分由于受到频谱泄露的影响的无法精确提取；

四类插值修正算法中，单峰谱线插值修正算法的修正公式较复杂、易受频谱泄漏影响；双峰谱线插值修正算法在峰值频点附近对泄漏谱线信息利用不充分，计算精度较差；四峰谱线插值修正算法计算准确度最高，但计算量也最大。

Hanning窗由于表达形式简单，已得到广泛应用，但分析谐波的计算精度不够高。

发明内容

针对上述现有技术中的不足，本发明提供一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，基于Hanning窗提供了一种主瓣宽度较窄、旁瓣峰值电平更低且旁瓣衰减速率较快的窗函数，以弥补自卷积、自乘窗函数性能的不足，并能综合发挥它们的性能优势，可进一步提高基波和谐波电能的计算精度，并能改善电能计量算法的计算稳定性。

为了实现上述目的，本发明提供一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，包括步骤：

S1：按照一采样频率采集获得一电压信号和一电流信号；

S2：对所述电压信号和所述电流信号分别施加Hanning自乘卷积窗函数，并进行FFT变换，得到对应的电压频谱和电流频谱；

S3：利用峰值检测技术，分别检测所述电压频谱和所述电流频谱的基波和谐波的被检峰值处的最大谱线及与所述最大谱线相邻的两条谱线的幅值；

S4：利用插值修正公式计算获得所述电压频谱和所述电流频谱的基波和谐波的幅值、相位和频率；

S5：根据电能计量算法，计算所述电压频谱和所述电流频谱的基波和各谐波的电能和总电能。

优选地，所述电压信号和所述电流信号可表示为采样序列x(n)：

其中，m表示谐波次数，A_m表示第m次谐波的幅值，θ_m表示第m次谐波的相位；f₀表示基波频率；f_s为所述采样频率。

优选地，所述S2步骤进一步包括步骤：

S21：将所述电压信号和所述电流信号的采样序列改用欧拉公式表示：

S22：对所述电压信号和所述电流信号改用欧拉公式表示的采样序列分别施加Hanning自乘卷积窗函数，并进行FFT变换；获得第一傅里叶表达式：

其中，w(n)为Hanning自乘卷积窗函数，w(n)的离散频谱为

S23：忽略负频点-mf₀处谱峰的旁瓣影响，x(n)加窗后在正频点mf₀附近的连续频谱函数为：

S24：对公式(4)进行离散采样，得到一离散傅里叶变换表达式：

其中，Δf＝f_s/N；Δf为离散频率间隔；N为采样数据长度；

S25：将所述电压信号的离散傅里叶变换表达式对应的频谱作为所述电压信号的电压频谱；将所述电流信号的离散傅里叶变换表达式对应的频谱作为所述电流信号的电流频谱。

优选地，所述S4进一步包括步骤：

S41：根据所述电压频谱和所述电流频谱的基波和谐波的被检峰值处的最大谱线及与所述最大谱线相邻的两条谱线的幅值，计算获得所述电压频谱和所述电流频谱对应的幅值比值参数β：

β＝(y₃-y₁)/y₂ (6)；

其中，y₁为所述最大谱线的幅值，y₂为与所述最大谱线相邻的一谱线的幅值，y₃为与所述最大谱线相邻的另一谱线的幅值；

S42：根据所述电压频谱和所述电流频谱对应的幅值比值参数β，计算获得所述电压频谱和所述电流频谱对应的频率修正系数α：

α＝1.52480689β-0.11446864β³+0.01729577β⁵-0.00311722β⁷ (7)；

S43：所述插值修正公式包括一幅值的通用插值修正公式、一相位的通用插值修正公式和一频率的通用插值修正公式；

所述幅值的通用插值修正公式为：

其中，A为幅值；g(α)为幅值修正系数公式；

g(α)＝2.13701523+0.35239951α²+0.03059746α⁴+0.00191082α⁶ (9)；

所述相位的通用插值修正公式为：

其中，k₁为所述最大谱线的峰值；

所述频率的通用插值修正公式为：

f₀＝(k₁-1+α)Δf (11)。

优选地，所述电能计量算法为：

其中，W_n为第n次谐波的有功电能，W₁为基波电能；U_n为所述电压频谱的第n次谐波的幅值，I_n为所述电流频谱的第n次谐波的幅值，U₁为所述电压频谱的基波幅值，I₁为所述电流频谱的基波幅值；α_n为所述电压频谱的第n次谐波的初相位，α₁为所述电压频谱的基波初相位；β_n为所述电流频谱的第n次谐波的初相位，β₁为所述电流频谱的基波初相位；T为基波周期；k为时间窗的个数；

W＝C_jW_j-C_pxW_px+C_oxW_ox (13)；

其中，W_j为基波电能，W_px为正向谐波电能，W_ox为反向谐波电能；C_j为基波电能加权系数；C_px为正向谐波电能加权系数；C_ox为反向谐波电能加权系数。

本发明由于采用了以上技术方案，使其具有以下有益效果：

本发明实施例的一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，与现有方法相比具有计算准确度和计算速度快的优势，并可有效抑制因非同步采样和非整周期截断等带来的频谱泄漏，也能明显补偿由栅栏效应带来的偏差，具有较高的计算准确度。

附图说明

图1为本发明实施例的Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法的流程图；

图2为本发明实施例的Hanning窗、Hanning二阶自乘窗、Hanning二阶自卷积窗以及Hanning自乘卷积窗函数的频谱特性对比图。

具体实施方式

下面根据附图1和图2，给出本发明的较佳实施例，并予以详细描述，使能更好地理解本发明的功能、特点。

请参阅图1，本发明提供一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，包括步骤：

S1：按照一采样频率采集获得一电压信号和一电流信号；其中，电压信号和电流信号可表示为采样序列x(n)：

其中，m表示谐波次数，A_m表示第m次谐波的幅值，θ_m表示第m次谐波的相位；f₀表示基波频率；f_s为采样频率。

S2：对电压信号和电流信号分别施加Hanning自乘卷积窗函数，并进行FFT变换，得到对应的电压频谱和电流频谱。

本实施例中，S2步骤进一步包括步骤：

S21：将电压信号和电流信号的采样序列改用欧拉公式表示：

S22：对电压信号和电流信号改用欧拉公式表示的采样序列分别施加Hanning自乘卷积窗函数，并进行FFT变换；获得第一傅里叶表达式：

其中，w(n)为Hanning自乘卷积窗函数，w(n)的离散频谱为

S23：忽略负频点-mf₀处谱峰的旁瓣影响，x(n)加窗后在正频点mf₀附近的连续频谱函数为：

S24：对公式(4)进行离散采样，得到一离散傅里叶变换表达式：

其中，Δf＝f_s/N；Δf为离散频率间隔；N为采样数据长度；

S25：将电压信号的离散傅里叶变换表达式对应的频谱作为电压信号的电压频谱；将电流信号的离散傅里叶变换表达式对应的频谱作为电流信号的电流频谱。

S3：利用峰值检测技术，分别检测电压频谱和电流频谱的基波和谐波的被检峰值处的最大谱线及与最大谱线相邻的两条谱线的幅值。

S4：利用插值修正公式计算获得电压频谱和电流频谱的基波和谐波的幅值、相位和频率。

其中，S4进一步包括步骤：

S41：根据电压频谱和电流频谱的基波和谐波的被检峰值处的最大谱线及与最大谱线相邻的两条谱线的幅值，计算获得电压频谱和电流频谱对应的幅值比值参数β：

β＝(y₃-y₁)/y₂ (6)；

其中，y₁为最大谱线的幅值，y₂为与最大谱线相邻的一谱线的幅值，y₃为与最大谱线相邻的另一谱线的幅值；

S42：根据电压频谱和电流频谱对应的幅值比值参数β，计算获得电压频谱和电流频谱对应的频率修正系数α：

α＝1.52480689β-0.11446864β³+0.01729577β⁵-0.00311722β⁷ (7)；

S43：插值修正公式包括一幅值的通用插值修正公式、一相位的通用插值修正公式和一频率的通用插值修正公式；

幅值的通用插值修正公式为：

其中，A为幅值；g(α)为幅值修正系数公式；

g(α)＝2.13701523+0.35239951α²+0.03059746α⁴+0.00191082α⁶ (9)；

相位的通用插值修正公式为：

其中，k₁为最大谱线的峰值；

频率的通用插值修正公式为：

f₀＝(k₁-1+α)Δf (11)。

S5：根据电能计量算法，计算电压频谱和电流频谱的基波和各谐波的电能和总电能。

其中，电能计量算法为：

其中，W_n为第n次谐波的有功电能，W₁为基波电能；U_n为电压频谱的第n次谐波的幅值，I_n为电流频谱的第n次谐波的幅值，U₁为电压频谱的基波幅值，I₁为电流频谱的基波幅值；α_n为电压频谱的第n次谐波的初相位，α₁为电压频谱的基波初相位；β_n为电流频谱的第n次谐波的初相位，β₁为电流频谱的基波初相位；T为基波周期；k为时间窗的个数；

W＝C_jW_j-C_pxW_px+C_oxW_ox (13)；

其中，W_j为基波电能，W_px为正向谐波电能，W_ox为反向谐波电能；C_j为基波电能加权系数；C_px为正向谐波电能加权系数；C_ox为反向谐波电能加权系数。

本发明实施例的一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，其原理如下：

基本Hanning窗的离散时域表达式为：

其频域表达式为

式中W_R(ω)为矩形窗的离散频谱函数，其表达式为：

Hanning自乘卷积窗的构成包括两部分：一是由若干个Hanning窗函数相乘得到的一个n阶Hanning自乘窗函数，这里仅选取2个Hanning窗做自乘，得到长度为N的二阶自乘窗，用whan2(n)表示，其时域表达式为：

Hanning二阶自乘窗函数whan2(n)的频域表达式为：

当||W_Han2(ω)|＝0时，需满足：

当d＝±1，m＝2时，得到|W_Han2(ω)|距离原点最近的两个零值点，其主瓣宽度为Bω＝12π/N，旁瓣峰值电平为-47dB，旁瓣衰减速率为30dB/oct。

二是将2个二阶Hanning自乘窗whan2(n)进行自卷积，得到最终的Hanning自乘卷积窗函数，用w(n)表示，即

w(n)＝whan2(n)*whan2(n) (20)；

Hanning自乘卷积窗w(n)是长度为2N-1的序列，通过在该序列末尾补零，得到长度为2N的序列。根据离散傅里叶变换的卷积性质，两个离散序列卷积的离散傅里叶变换，等于两个离散序列离散傅里叶变换的乘积，即

FFT[w(n)]＝FFT[whan2(n)*whan2(n)]＝W_Han2(ω)·W_Han2(ω) (21)；

Hanning窗、Hanning二阶自乘窗、Hanning二阶自卷积窗以及Hanning自乘卷积窗函数的频谱特性，请参阅图2所示。

从图2可看出，Hanning窗1和Hanning自卷积窗3的主瓣宽度为8π/N，Hanning自乘卷积窗4和Hanning自乘窗2的主瓣宽度为12π/N，但Hanning自乘卷积窗4明显具有最低的旁瓣峰值电平和最快的旁瓣衰减速率，分别为-93.5dB和60dB/oct，即：Hanning自乘卷积窗4的确具有较好的主瓣和旁瓣性能。

请返回图1，基于Hanning自乘卷积窗FFT三峰谱线插值修正公式、FFT的频移性和Hanning自乘-卷积窗函数的频谱在基波、谐波峰值频率点最大谱线及其左、右两条最近谱线的幅值，进行多项式拟合，得到信号基波、谐波的通用幅值、相位和频率插值修正公式。具体推导如下：假设含有多次谐波的信号，以采样频率fs离散采样后，得到采样序列x(n)：

其中，m表示谐波次数，A_m表示第m次谐波的幅值，θ_m表示第m次谐波的相位；f₀表示基波频率；f_s为采样频率。

将式(1)改用欧拉公式表示为：

对信号施加的窗函数为Hanning自乘卷积窗函数w(n)，其离散频谱为W(2πf/f_s)，则x(n)加窗后的FFT表达式为：

忽略负频点-mf₀处谱峰的旁瓣影响，x(n)加窗后在正频点mf₀附近的连续频谱函数为：

对式(4)进行离散采样，可得到其离散傅里叶变换的表达式为：

式中Δf₀＝f_s/N为离散频率间隔；N为采样数据长度。

以基波频率f₀＝k₀·Δf为例，由于电网频率存在波动性，且一般不是准确的50Hz，以固定频率对被测信号进行采样，就会发生栅栏效应，其最高离散谱线的频率点很难正好是频谱曲线峰值的频率，亦即k₀一般不是整数。设峰值点谱线k₀附近最大谱线第k₁条以及第k₁条左、右两边最近的谱线分别为k₂和k₃。设α＝k₀-k₁，由于k₂＝k₁-1≤k₁≤k₃＝k₁+1，α∈[-0.5,0.5]，k₂-k₀＝-1-α，k₃-k₀＝1-α。对应幅值分别为y₁＝|X(k₂Δf)|，y₂＝|X(k₁Δf)|，y₃＝|X(k₃Δf)|。令幅值比值参数β＝(y₃-y₁)/y₂，则有：

据多项式拟合公式polyfit(α,g(α),7)求出反函数α＝f^-1(β)，即可求出频率修正系数公式α：

α＝1.52480689β-0.11446864β³+0.01729577β⁵-0.00311722β⁷ (7)；

由式

则幅值A的修正公式为：

令

通过polyfit(α,g(α),7)程序进行多项式拟合，求出幅值修正系数公式g(α)，即：

g(α)＝2.13701523+0.35239951α²+0.03059746α⁴+0.00191082α⁶ (9)

于是，信号幅值的通用插值修正公式为：

相位的通用插值修正公式为：

频率的通用插值修正公式为：

f₀＝k₀·Δf＝(k₁-1+α)Δf (11)。

由三角函数的正交性可知，不同次电压与电流谐波分量之间不产生有功电能，故基波、谐波的电能计算公式简化为：

其中，W_n为第n次谐波的有功电能，W₁为基波电能；U_n为电压频谱的第n次谐波的幅值，I_n为电流频谱的第n次谐波的幅值，U₁为电压频谱的基波幅值，I₁为电流频谱的基波幅值；α_n为电压频谱的第n次谐波的初相位，α₁为电压频谱的基波初相位；β_n为电流频谱的第n次谐波的初相位，β₁为电流频谱的基波初相位；T为基波周期；k为时间窗的个数；按照IEC61000-4-7标准，一般取10个标准基波周期，即时间窗长度为200ms。

计算基波、谐波的总电能计算公式为

W＝C_jW_j-C_pxW_px+C_oxW_ox (13)；

其中，W_j为基波电能，W_px为正向谐波电能，W_ox为反向谐波电能；C_j为基波电能加权系数；C_px为正向谐波电能加权系数；C_ox为反向谐波电能加权系数。建议加权系数取值：C_j＝1，0<C_px<1，C_ox＞1。

本发明实施例的一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，综合了自乘窗和自卷积窗的优势，提供了一种Hanning自乘卷积窗函数，其具有较优的主瓣和旁瓣性能。基于Hanning自乘卷积窗FFT三峰插值修正公式、FFT的频移性以及Hanning自乘卷积窗函数的频谱，拟合推导出信号基波和谐波的通用幅值、相位和频率插值修正公式，并给出了基于该窗函数的一种电能计量新算法。计算精度对比仿真实验结果表明，本发明实施例的一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，具有较高的计算精度和更优的计算稳定性。

本实施例中，为了对提出的电能计量新算法进行数值仿真验证，可建立一含有多次谐波成分的电压信号和电流信号的数学模型:

公式(25)中基波频率f₀＝50.1Hz，采样频率f_s＝4000Hz。仿真计算采用的电压、电流信号模型的基波及各次谐波的幅值、相位参数，请见表1。

表1仿真信号的谐波成分

分别采用Hanning窗、二阶Hanning自乘窗、Hanning自乘-卷积窗进行加窗FFT三峰谱线插值修正的电能计量仿真计算，窗函数的长度均选为800点，基波频率为50.1Hz，仿真计算结果请参见表2。

表2电能计量仿真结果

通过表2可以看出，对基波电能的计算，基于Hanning自乘卷积窗的算法具有较高的计算精度；而且在计算各次谐波电能方面，基于Hanning自乘卷积窗算法的计算精度也较高，例如，比Hanning窗高一个数量级；且与二阶Hanning自乘窗相比，其计算各次谐波电能的精度也具有明显优势。

本发明实施例的一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，与其他三种插值算法相比具有计算准确度和计算速度快的优势，通过仿真对比实验结果表明，本发明可有效抑制因非同步采样和非整周期截断等带来的频谱泄漏，也能明显补偿由栅栏效应带来的偏差，具有较高的计算准确度。

以上结合附图实施例对本发明进行了详细说明，本领域中普通技术人员可根据上述说明对本发明做出种种变化例。因而，实施例中的某些细节不应构成对本发明的限定，本发明将以所附权利要求书界定的范围作为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，包括步骤：

S1：按照一采样频率采集获得一电压信号和一电流信号；

S2：对所述电压信号和所述电流信号分别施加Hanning自乘卷积窗函数，并进行FFT变换，得到对应的电压频谱和电流频谱；

S3：利用峰值检测技术，分别检测所述电压频谱和所述电流频谱的基波和谐波的被检峰值处的最大谱线及与所述最大谱线相邻的两条谱线的幅值；

S4：利用插值修正公式计算获得所述电压频谱和所述电流频谱的基波和谐波的幅值、相位和频率；

S5：根据电能计量算法，计算所述电压频谱和所述电流频谱的基波和各谐波的电能和总电能。

2.根据权利要求1所述的Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，其特征在于，所述电压信号和所述电流信号可表示为采样序列x(n)：

其中，m表示谐波次数，A_m表示第m次谐波的幅值，θ_m表示第m次谐波的相位；f₀表示基波频率；f_s为所述采样频率。

3.根据权利要求2所述的Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，其特征在于，所述S2步骤进一步包括步骤：

S21：将所述电压信号和所述电流信号的采样序列改用欧拉公式表示：

S22：对所述电压信号和所述电流信号改用欧拉公式表示的采样序列分别施加Hanning自乘卷积窗函数，并进行FFT变换；获得第一傅里叶表达式：

其中，w(n)为Hanning自乘卷积窗函数，w(n)的离散频谱为

S23：忽略负频点-mf₀处谱峰的旁瓣影响，x(n)加窗后在正频点mf₀附近的连续频谱函数为：

S24：对公式(4)进行离散采样，得到一离散傅里叶变换表达式：

其中，Δf＝f_s/N；Δf为离散频率间隔；N为采样数据长度；

S25：将所述电压信号的离散傅里叶变换表达式对应的频谱作为所述电压信号的电压频谱；将所述电流信号的离散傅里叶变换表达式对应的频谱作为所述电流信号的电流频谱。

4.根据权利要求3所述的Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，其特征在于，所述S4进一步包括步骤：

S41：根据所述电压频谱和所述电流频谱的基波和谐波的被检峰值处的最大谱线及与所述最大谱线相邻的两条谱线的幅值，计算获得所述电压频谱和所述电流频谱对应的幅值比值参数β：

β＝(y₃-y₁)/y₂ (6)；

其中，y₁为所述最大谱线的幅值，y₂为与所述最大谱线相邻的一谱线的幅值，y₃为与所述最大谱线相邻的另一谱线的幅值；

S42：根据所述电压频谱和所述电流频谱对应的幅值比值参数β，计算获得所述电压频谱和所述电流频谱对应的频率修正系数α：

α＝1.52480689β-0.11446864β³+0.01729577β⁵-0.00311722β⁷ (7)；

S43：所述插值修正公式包括一幅值的通用插值修正公式、一相位的通用插值修正公式和一频率的通用插值修正公式；

所述幅值的通用插值修正公式为：

其中，A为幅值；g(α)为幅值修正系数公式；

g(α)＝2.13701523+0.35239951α²+0.03059746α⁴+0.00191082α⁶ (9)；

所述相位的通用插值修正公式为：

其中，k₁为所述最大谱线的峰值；

所述频率的通用插值修正公式为：

f₀＝(k₁-1+α)Δf (11)。

5.根据权利要求4所述的Hanning自乘卷积窗FFT三谱线插值谐波分析方法，其特征在于，所述电能计量算法为：

其中，W_n为第n次谐波的有功电能，W₁为基波电能；U_n为所述电压频谱的第n次谐波的幅值，I_n为所述电流频谱的第n次谐波的幅值，U₁为所述电压频谱的基波幅值，I₁为所述电流频谱的基波幅值；α_n为所述电压频谱的第n次谐波的初相位，α₁为所述电压频谱的基波初相位；β_n为所述电流频谱的第n次谐波的初相位，β₁为所述电流频谱的基波初相位；T为基波周期；k为时间窗的个数；

W＝C_jW_j-C_pxW_px+C_oxW_ox (13)；

其中，W_j为基波电能，W_px为正向谐波电能，W_ox为反向谐波电能；C_j为基波电能加权系数；C_px为正向谐波电能加权系数；C_ox为反向谐波电能加权系数。