CN101369133B - 基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法。本方法包括两个阶段：第一阶段，采用指数趋近率的滑模变结构控制方法对伺服系统进行控制，与此同时，利用灰色控制理论对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数进行估计；第二阶段，在需要的步数之后，在第一阶段控制律的基础上，根据估计参数，计算出灰色预测补偿控制量，将其和第一阶段控制量一起参与伺服系统的控制。本发明能确保低速摩擦伺服系统即使考虑到不确定部分及外界未知干扰的影响也能获得较好的鲁棒性，达到高精度跟踪效果。该控制方法，编程简单易懂，为非线性、不确定被控对象及外界未知干扰的系统提供了一种新的控制策略，具有一定的工程实用价值。

Description

基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法

技术领域

本发明涉及一种低速摩擦伺服系统的控制方法。具体是一种基于灰色预估器的滑模变结构控制方法应用在考虑到不确定部分及外界未知干扰影响的低速摩擦伺服系统中，该控制方法，编程简单易懂，为非线性、不确定被控对象及外界未知干扰的系统提供了一种新的控制策略，具有一定的工程实用价值。

背景技术

复杂伺服系统具有非线性和不确定性，存在很多不利于系统性能提高的因素，特别是摩擦存在于所有的运动中，尤其是对高性能伺服系统的影响更为突出。对于伺服系统来说，摩擦是影响系统低速性能的重要因素，它不但造成系统的稳态误差，而且使系统产生爬行、振荡。因此，建立精确的数学模型是不可能的，只能做合理的近似处理，要忽略对象中的不确定因素。由近似模型出发设计控制器，设计中被忽略的不确定因素会引起控制品质的恶化，甚至导致不稳定。因此，考虑对象的不确定性，使所设计的控制器在不确定性对系统品质的破坏最严重时也能满足要求，具有一定的理论和工程实际意义。由于滑模变结构控制的特点，使它很适合于伺服系统的控制。

但是，滑模变结构控制在本质上的不连续开关特性将会引起系统的抖振。因此，国内外针对滑模控制抗抖振问题的研究很多。目前，有代表性的研究工作主要有以下几个方面：①准滑动模态方法，即在边界层内是连续状态的反馈控制，可以有效地避免或消弱了抖振。②趋近率方法，通过调整趋近率的参数，既可以保证滑模到达过程的动态品质，又可以减弱控制信号的高频抖振，但较大的参数值会引起抖振。③滤波法，也就是对控制信号进行平滑滤波。④观测器方法，它是利用观测器来消除外界干扰及不确定项。⑤动态滑模方法，它是将常规变结构控制中的切换函数通过微分环节构成新的切换函数，得到在时间上本质连续的动态滑模控制律。⑥模糊方法，其柔化了控制信号，将不连续的控制信号连续化，模糊逻辑还可以实现滑模控制参数的自调整。⑦神经网络方法，采用神经网络实现对系统的非线性部分、不确定部分和未知外加干扰的在线估计，从而实现基于神经网络的等效控制。⑧遗传算法优化方法，它是建立在自然选择和自然遗传学机理基础上的迭代自适应概率性搜索算法，在解决非线性问题时表现出很好的鲁棒性、全局最优性、可并行性和高效率，具有很高的优化性能。⑨切换增益方法，由于抖振主要是由控制器的不连续切换项造成，因此，减小切换项的增益，便可有效地消弱抖振。⑩扇形区域法，利用滑动模面的滑动扇区，构造连续切换控制器，使得开关面上的控制信号是连续的。以上各种方法中，每种方法都有各自的优点和局限性，针对具体的问题需要进行具体的分析。譬如，趋近率方法在不确定性及干扰小的情况下会有很好的降抖振效果，在不确定性或干扰较大时，需要采用其它方法。面对复杂的控制问题，有时需要各种方法相互结合、相互补充，才能达到理想的滑模控制。本发明从一个新的控制角度和方法上提出了基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法，即采用灰色控制理论对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数粗略地进行估计，然后对不确定部分及外干扰给予一定的补偿，将灰色预测补偿部分和滑模变结构控制部分一起参与伺服系统的控制。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术存在的缺陷，提供一种基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法。即在伺服系统启动后，采用灰色控制理论对伺服系统不确定部分及外界未知干扰模型参数粗略地进行估计，然后对不确定部分及外干扰给予一定的补偿，将灰色预测补偿部分和滑模变结构控制部分一起参与伺服系统的控制，该方法具有一定的工程实用价值。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法，其特征是：针对低速摩擦伺服系统中具有非线性和不确定性及外界未知干扰的影响，提供一种基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法。即在伺服系统启动后，采用灰色控制理论对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数粗略地进行估计，然后对不确定部分及外干扰给予一定的补偿，将灰色预测补偿部分和滑模变结构控制部分一起参与伺服系统的控制。具体包括低速摩擦伺服系统的简化、滑模变结构控制、灰色预估器、基于灰色预估器的滑模变结构控制四个步骤，整体上分为两个控制阶段：第一阶段，采用指数趋近率的滑模变结构对伺服系统进行控制，与此同时，采用灰色控制理论对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数进行估计；第二阶段，在需要的步数之后，在第一阶段控制量的基础上，根据估计参数，计算出灰色预测补偿控制量，将其和第一阶段控制量一起参与伺服系统的控制。其中，基于灰色预估器的滑模变结构控制及其在低速摩擦伺服系统中的应用研究是本发明的创新之处。

具体实现如下：

1、低速摩擦伺服系统的简化

①Stribeck摩擦模型

伺服系统的摩擦动态特性是非常复杂的，目前已经提出了许多摩擦模型，其中，stribeck曲线是比较著名的摩擦模型。

Stribeck摩擦模型可表示为：

I、当

时，静摩擦为

$F_f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{-F}_m& F\left(t\right)>F_m\\ -F\left(t\right)& {-F}_m<F\left(t\right)<F_m\\ F_m& F\left(t\right)<-F_m\end{array}\right.---\left(1\right)$

II、当

时，动摩擦为

$F_f\left(t\right)=[F_c+{(F_m-F_c)}^{-{\mathrm{\&alpha;}}_1\left|\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}\left(t\right)}\right|}]\mathrm{sgn}\left[\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}\left(t\right)}\right]---\left(2\right)$

$F\left(t\right)=-J\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}\left(t\right)}$

其中，F(t)为驱动力，F_m为最大静摩擦力，F_c为库伦摩擦力，

为转动角速度，

为转动角加速度，J为转动惯量，α、α₁为非常小的、正的常数。

②一个典型伺服系统的描述

本发明所采用的典型伺服系统是三轴的，正常情况下可简化为线性二阶环节的系统，但是其在低速情况下具有较强的摩擦现象，因此具有非线性，很难用传统控制方法达到高精度控制。

根据伺服系统的结构，其位置状态方程可描述为

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{x_1\left(t\right)}\\ \stackrel{.}{x_2\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]u\left(t\right)-\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{J}\end{array}\right]F_f\left(t\right)---\left(3\right)$

式中，k_u为PWM功率放大器放大系数，R为电枢电阻，k_m为电机力矩系数，C_e为电压反馈系数，J为转动惯量，θ_r为指令信号，u为控制输入，x₁(t)＝θ(t)为转角，

为转速。

考虑到伺服系统不确定部分及外界未知干扰的影响(用D(x，t)来表示)，则其位置状态方程可进一步描述为

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{x_1\left(t\right)}\\ \stackrel{.}{x_2\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]u\left(t\right)-\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{J}\end{array}\right]F_f\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]D(x,t)---\left(4\right)$

2、滑模变结构控制器

设输入误差e＝θ_r-θ，误差变化率

滑模面参数C＝[c 1]，记θ_r为指令信号，为指令角速度信号，为指令角加速度信号，θ为转角，为转动角速度，为转动角加速度，则切换函数为

$\left\{\begin{array}{c}s=\mathrm{CE}=c({\mathrm{\&theta;}}_r-\mathrm{\&theta;})+({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})\\ \stackrel{.}{s}=c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+({\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}})=\mathrm{slaw}\end{array}\right.---\left(5\right)$

采用指数趋近率

slaw＝-εsgn(s)-ks    (6)

式中，增益参数ε＞0，趋近率参数k＞0，滑模面参数c满足滑模稳定条件。

考虑到伺服系统的摩擦力F_f的影响，由(3)式可得

$\mathrm{slaw}=c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+({\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}})=c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}{x}_2-\frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}u+\frac{F_f}{J}---\left(7\right)$

由(6)和(7)式计算得滑模变结构控制量

$u_s=\frac{\mathrm{JR}}{k_u{k}_m}\&times;[c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\mathrm{\&epsiv;sgn}\left(s\right)+\mathrm{ks}+\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}{x}_2+\frac{F_f}{J}]---\left(8\right)$

稳定性分析：

定义Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(9\right)$

式中s为切换函数，则

$\stackrel{.}{V}=s\stackrel{.}{s}=s[c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}]---\left(10\right)$

将(3)式代入(10)式中可得

$\stackrel{.}{V}=s[c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r+(\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}\stackrel{.}{x}-\frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}u+\frac{F_f}{J})]---\left(11\right)$

将(8)式代入(11)式中计算得到Lyapunov函数的到达条件

$\stackrel{.}{V}=s[-\mathrm{\&epsiv;sgn}\left(s\right)-\mathrm{ks}]=-\mathrm{\&epsiv;}\left|s\right|-{\mathrm{ks}}^2<0---\left(12\right)$

由上述证明可知，控制量(8)式满足滑模变结构控制的可达性条件，且保证滑模运动的稳定性。

3、灰色预估器

为了减弱伺服系统不确定部分及外界未知干扰的影响，以改善滑模变结构控制的性能并提高其鲁棒性，本发明采用灰色控制理论将伺服系统不确定部分及外干扰模型参数粗略地进行估计，然后对不确定和外干扰给予一定的补偿。

设伺服系统不确定部分符合匹配条件，即为bD(x，t)，其中b为伺服系统的输入矩阵，D(x，t)代表伺服系统不确定部分及外干扰，且

D(x，t)＝V₁x₁+V₂x₂+…+V_nx_n+f(t)

＝Vx^T+f(t)                                                   (13)

式中，干扰参数V＝(V₁ …V_i… V_n)，x＝(x₁ …x_i… x_n)，n为伺服系统阶数，并设f(t)为慢时变量。显然，如果能辨识出干扰参数V_i及慢时变量f(t)，便可得出D(x，t)与x_i的关系，从而可估计出对应于状态x的不确定量D(x，t)。

本发明采用累加生成方法，建立类似于GM(0，N)模型的D(x，t)的灰色模型。

灰色预估器的具体算法如下：

由(4)式可得

$D(x,t)={\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]}^{-1}(\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{x_1\left(t\right)}\\ \stackrel{.}{x_2\left(t\right)}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_2\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]u\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{J}\end{array}\right]F_f\left(t\right))---\left(14\right)$

其中，u(t)为指数趋近率的滑模变结构控制量，即u(t)＝u_s(t)。根据(14)式可得到关于D(x，t)的离散原始序列数据D⁽⁰⁾。

第一步，建立伺服系统不确定部分、外界未知干扰、状态量的原始数列D⁽⁰⁾、f⁽⁰⁾、x_i ⁽⁰⁾：

D⁽⁰⁾＝(D(1) D(2) … D(N)

f⁽⁰⁾＝(f(1) f(2) … f(N))

x₁ ⁽⁰⁾＝(x₁(1) x₁(2) … x₁(N)     (15)

x_n ⁽⁰⁾＝(x_n(1) x_n(2) … x_n(N))

式中，N＞＝n+1，n为伺服系统的阶数，本发明中低速摩擦伺服系统为二阶，即n＝2。

第二步，计算累加数列：

设D⁽¹⁾、f⁽¹⁾、x_i ⁽¹⁾(i＝1，2，…，n)为D⁽⁰⁾、f⁽⁰⁾、x_i ⁽⁰⁾的累加生成序列，即

$D^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}^{\left(0\right)}\left(m\right)---\left(16\right)$

$f^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}^{\left(0\right)}\left(m\right)---\left(17\right)$

$x_i^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^{\left(0\right)}\left(m\right)---\left(18\right)$

对于慢时变部分可认为

$\left\{\begin{array}{c}{f}^{\left(1\right)}\left(1\right)=f\left(1\right)=f\\ f^{\left(1\right)}\left(2\right)=2f\left(1\right)=2f\\ .\\ .\\ .\\ f^{\left(1\right)}\left(N\right)=(N+1)f\end{array}\right.---\left(19\right)$

第三步，检验：

记数据矩阵

$B=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{\left(1\right)}\left(1\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(1\right)& 1\\ x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(2\right)& 2\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ x_1^{\left(1\right)}\left(N\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(N\right)& N+1\end{array}\right]---\left(20\right)$

要求  |det(B^T B)|＞ε＞0，其中，ε为非常小的正数。

第四步，计算估计参数：

记参数序列

${\hat{V}}^{\left(1\right)T}={\left(\begin{array}{ccccc}{{\hat{V}}_1}^{\left(1\right)}& {{\hat{V}}_2}^{\left(1\right)}& ...& {{\hat{V}}_n}^{\left(1\right)}& \hat{f}\end{array}\right)}^T---\left(21\right)$

按最小二乘估计法可以得到

${\hat{V}}^{\left(1\right)T}={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{D}_N^{\left(1\right)}---\left(22\right)$

式中，

第五步，计算灰色预估模型：

将估计参数进行累加值还原为预估干扰参数及慢时变量

可得到(13)式的灰色预估模型：

$\hat{D}\left(k\right)={\hat{V}}_1{x}_1\left(k\right)+...+{\hat{V}}_i{x}_i\left(k\right)+...+{\hat{V}}_n{x}_n\left(k\right)+\hat{f}\left(t\right)---\left(23\right)$

4、基于灰色预估器的滑模变结构控制

①灰色滑模变结构控制律

第一阶段，采用指数趋近率(5)、(6)、(7)、(8)式对伺服系统进行控制，与此同时，利用灰色控制理论对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数进行估计。

第二阶段，在nN步之后，在第一阶段控制律的基础上，根据估计参数，计算出灰色预测补偿控制量

将其和第一阶段控制量u_s一起参与伺服系统的控制u＝u_s+u_c。如图3中所示。

②实施步骤

基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法，可以总结如下，其流程如图4所示。

Step1.启动低速摩擦伺服系统，采用滑模变结构进行控制，获得控制量u_s。

Step2.与step1同时，令u(t)＝u_s(t)，得到D(x，t)的离散序列数据D⁽⁰⁾。采用灰色控制理论对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数V_i及f(t)进行估计，计算出灰色预估模型

Step3.经nN步后，在滑模变结构控制律u_s的基础上，由估计参数求得灰色预测补偿控制u_c。

Step4.将u_s和u_c组成总的灰色滑模控制量u＝u_s+u_c，一起参与伺服系统的控制。

本发明的有益效果是：

由于复杂伺服系统具有非线性和不确定部分及外界未知干扰的影响，如果单纯采用常规PID控制，伺服系统鲁棒性差，不能达到较高的控制精度；单纯采用滑模变结构控制，由于滑模变结构在本质上的不连续开关特性将会引起伺服系统的抖振，鲁棒性稍差。本发明提出基于灰色预估器的滑模变结构控制方法，并将其应用在低速摩擦条件下、且考虑到不确定部分及外界未知干扰影响的伺服系统中。相比于常规控制，本发明提出的控制方法能够使伺服系统获得较好的鲁棒性，达到更高的控制精度。这种方法的应用是一个新的尝试，对滑模变结构理论及其在复杂伺服系统中应用的发展提供了一些参考价值及理论创新。并且该方法，编程简单易懂，为非线性、不确定被控对象及外界未知干扰影响的系统提供了一种新的控制策略，因此具有很好的工程实用价值。

附图说明

图1是PID控制方法在低速摩擦伺服系统中的应用框图。

图2是滑模变结构控制方法在低速摩擦伺服系统中的应用框图。

图3是基于灰色预估器的滑模变结构控制方法在低速摩擦伺服系统中的应用框图。

图4是基于灰色预估器的滑模变结构控制方法的流程图。

图5、6是本发明实施例中PID控制下的位置、速度跟踪曲线(忽略伺服系统不确定部分)。

图7、8是本发明实施例中滑模变结构控制下的位置、速度跟踪曲线(忽略伺服系统不确定部分)。

图9、10是本发明实施例中基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制下的位置、速度跟踪曲线(考虑伺服系统不确定部分及外界未知干扰)。图9、10是图3示例的实施结果。

具体实施方式

本发明的一个优选实施例结合附图说明如下：参见图3和图4，本基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法是在伺服系统启动后，利用灰色控制理论将伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数粗略地进行估计，然后对不确定部分及外干扰给于一定的补偿，将灰色预测补偿部分和滑模变结构控制部分一起参与伺服系统的控制，具体包括两个阶段：第一阶段，采用指数趋近率的滑模变结构对伺服系统进行控制，与此同时，采用灰色控制理论对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数进行估计；第二阶段，在需要的步数之后，在第一阶段控制律的基础上，根据估计参数，计算出灰色预测补偿控制量，将其和第一阶段控制量一起参与伺服系统的控制。

当考虑到伺服系统不确定部分及外界未知干扰的影响时，其系统方程可以表示如下：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{x_1\left(t\right)}\\ \stackrel{.}{x_2\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]u\left(t\right)-\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{J}\end{array}\right]F_f\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]D(x,t)$

其中，F_f(t)为stribeck摩擦模型曲线，是随时间变化的曲线；D(x，t)代表伺服系统不确定部分及外界未知干扰；x₁(t)＝θ(t)为转角，

为转速。

取R＝7.77Ω，k_m＝6N·m/A，C_e＝1.2V/(rad/s)，J＝0.6kg·m²，k_u＝11，F_c＝1.5N·m，F_m＝50N·m，α＝0.05，低速正弦输入信号θ_r(t)＝0.1sin(2πt)。在MATLAB软件的simulink环境下

①采用传统的PID控制方法(忽略伺服系统不确定部分的影响)

取PID控制为

对低速摩擦伺服系统进行实施，系统框图如图1所示，其中误差e(t)＝θ_r(t)-θ(t)，误差变化率

实施结果如图5、6所示。

②采用滑模变结构控制方法(忽略伺服系统不确定部分的影响)

设输入误差e＝θ_r-θ，误差变化率滑模面参数C＝[c 1]，记

则切换函数为

$\left\{\begin{array}{c}s=\mathrm{CE}=c({\mathrm{\&theta;}}_r-\mathrm{\&theta;})+({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})\\ \stackrel{.}{s}=c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+({\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}})=\mathrm{slaw}\end{array}\right.$

采用指数趋近率

slaw＝-εsgn(s)-ks

式中，增益参数ε＞0，趋近率参数k＞0，滑模面参数c满足滑模稳定条件。考虑到伺服系统的摩擦力F_f的影响，则趋近率可以表示为

$\mathrm{slaw}=c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+({\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}})=c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}{x}_2-\frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}u+\frac{F_f}{J}$

进一步计算可得滑模变结构控制量

$u_s=\frac{\mathrm{JR}}{k_u{k}_m}\&times;[c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\mathrm{\&epsiv;sgn}\left(s\right)+\mathrm{ks}+\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}{x}_2+\frac{F_f}{J}]$

系统框图如图2所示，取c＝28，k＝6，ε＝9，对低速摩擦伺服系统进行实施，结果如图7、8所示。

③采用基于灰色预估器的滑模变结构控制方法(考虑了伺服系统不确定部分及外界未知干扰的影响)

在滑模变结构控制的基础上，采用灰色预估器对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数进行预测补偿，以减弱伺服系统不确定部分及外界未知干扰的影响，进而改善滑模变结构控制的性能并提高其鲁棒性，其系统框图如图3所示。

灰色预估器的具体算法如下：

第一步，建立伺服系统不确定部分、外界未知干扰、状态量的原始数列D⁽⁰⁾、f⁽⁰⁾、x_i ⁽⁰⁾：

D⁽⁰⁾＝(D(1) D(2) … D(N))

f⁽⁰⁾＝(f(1) f(2) … f(N))

x₁ ⁽⁰⁾＝(x₁(1) x₁(2) … x₁(N))

x_n ⁽⁰⁾＝(x_n(1) x_n(2) … x_n(N))

式中，N＞＝n+1，n为伺服系统的阶数，本发明中低速摩擦伺服系统为二阶，即n＝2。

第二步，计算累加数列：

设D⁽¹⁾、f⁽¹⁾、x_i ⁽¹⁾ (其中i＝1，2，…，n)为D⁽⁰⁾、f⁽⁰⁾、x_i ⁽⁰⁾的累加生成序列，即

$D^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}^{\left(0\right)}\left(m\right)$

$f^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}^{\left(0\right)}\left(m\right)$

$x_i^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^{\left(0\right)}\left(m\right)$

对于慢时变部分可认为

$\left\{\begin{array}{c}{f}^{\left(1\right)}\left(1\right)=f\left(1\right)=f\\ f^{\left(1\right)}\left(2\right)=2f\left(1\right)=2f\\ .\\ .\\ .\\ f^{\left(1\right)}\left(N\right)=(N+1)f\end{array}\right.$

第三步，检验：

记数据矩阵

$B=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{\left(1\right)}\left(1\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(1\right)& 1\\ x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(2\right)& 2\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ x_1^{\left(1\right)}\left(N\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(N\right)& N+1\end{array}\right]$

要求  |det(B^TB)|＞ε＞0

第四步，计算估计参数：

记参数序列

按最小二乘估计法可以得到

${\hat{V}}^{\left(1\right)T}={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{D}_N^{\left(1\right)}$

式中，

第五步，计算灰色预估模型：

将估计参数进行累加值还原为预估干扰参数及慢时变量

可得到灰色预估模型：

$\hat{D}\left(k\right)={\hat{V}}_1{x}_1\left(k\right)+...+{\hat{V}}_i{x}_i\left(k\right)+...+{\hat{V}}_n{x}_n\left(k\right)+\hat{f}\left(t\right)$

基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法的流程如图4所示，伺服系统控制过程包括两个阶段：第一阶段，采用指数趋近率的滑模变结构对伺服系统进行控制，与此同时，利用灰色控制理论对伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数V_i及f(t)进行估计；第二阶段，在需要的步数nN(n＝2，N＝4)之后，在第一阶段控制律u_s的基础上，根据估计参数及

计算出灰色预测补偿控制量u_c，将其和第一阶段控制量u_s一起参与伺

服系统的控制u＝u_s+u_c。此时选取c＝28，k＝6，ε＝9，不确定部分参数初值为V₁＝4，V₂＝5，f＝-5，经过4个采样周期，得到干扰参数估计结果为V₁＝3.99609，V₂＝4.99963，f＝-4.99609，实施结果如图9、10所示。

Claims (1)

1.一种基于灰色预估器的低速摩擦伺服系统滑模变结构控制方法，其特征是：针对低速摩擦伺服系统中具有非线性和不确定性及外界未知干扰的影响，提出了一种基于灰色预估器的滑模变结构控制方法，即在伺服系统启动后，利用灰色控制理论将伺服系统的不确定部分及外界未知干扰模型参数粗略地进行估计，然后对不确定部分及外界未知干扰给予一定的补偿，将灰色预测补偿部分和滑模变结构控制部分一起参与伺服系统的控制，具体包括两个阶段：

第一阶段：采用指数趋近率的滑模变结构对伺服系统进行控制：

设输入误差e＝θ_r-θ，误差变化率

滑模面参数C＝[c 1]，记

θ_r为指令信号，为指令角速度信号，为指令角加速度信号，θ为转角，为转动角速度，为转动角加速度，则切换函数为

采用指数趋近率：slaw＝-εsgn(s)-ks，式中，增益参数ε＞0，趋近率参数k＞0，滑模面参数c满足滑模稳定条件；

根据伺服系统的结构，考虑到伺服系统的摩擦力F_f的影响，该伺服系统的位置状态方程可描述为

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{x_1\left(t\right)}\\ \stackrel{.}{x_2\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_2\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}\end{array}\right]u\left(t\right)-\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{J}\end{array}\right]F_f\left(t\right),$

式中，k_u为PWM功率放大器放大系数，R为电枢电阻，k_m为电机力矩系数，C_e为电压反馈系数，J为转动惯量，u为控制输入，x₁(t)＝θ(t)为转角，

为转速，

为转动角加速度；

则趋近率可以表示为

$\mathrm{slaw}=c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+({\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}})=c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}{x}_2-\frac{k_u{k}_m}{\mathrm{JR}}u+\frac{F_f}{J}$

进一步计算得到滑模变结构控制量

$u_s=\frac{\mathrm{JR}}{k_u{k}_m}\&times;[c({\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}})+{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\mathrm{\&epsiv;sgn}\left(s\right)+\mathrm{ks}+\frac{k_m{C}_e}{\mathrm{JR}}{x}_2+\frac{F_f}{J}];$

令u(t)＝u_s(t)，得到D(x，t)的离散序列数据D⁽⁰⁾，计算出灰色预估模型

第一步，建立伺服系统不确定部分、慢时变量、状态量的原始数列分别为D⁽⁰⁾、f⁽⁰⁾、x_i ⁽⁰⁾：

D⁽⁰⁾＝(D(1)D(2)…D(N))

f⁽⁰⁾＝(f(1)f(2)…f(N))

x₁ ⁽⁰⁾＝(x₁(1)x₁(2)…x₁(N))

.

.

.

x_n ⁽⁰⁾＝(x_n(1)x_n(2)…x_n(N))

式中，N＞＝n+1，n为伺服系统的阶数，低速摩擦伺服系统为二阶，即n＝2；

第二步，计算累加数列：

设D⁽¹⁾、f⁽¹⁾、x_i ⁽¹⁾，其中i＝1，2，…，n，为D⁽⁰⁾、f⁽⁰⁾、x_i ⁽⁰⁾的累加生成序列，即

$D^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}^{\left(0\right)}\left(m\right)$

$f^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}^{\left(0\right)}\left(m\right)$

$x_i^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^{\left(0\right)}\left(m\right)$

对于慢时变部分可认为

$\left\{\begin{array}{c}{f}^{\left(1\right)}\left(1\right)=f\left(1\right)=f\\ f^{\left(1\right)}\left(2\right)=2f\left(1\right)=2f\\ .\\ .\\ .\\ f^{\left(1\right)}\left(N\right)=(N+1)f\end{array}\right.$

第三步，检验：记数据矩阵

$B=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^{\left(1\right)}\left(1\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(1\right)& 1\\ x_1^{\left(1\right)}\left(2\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(2\right)& 2\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ x_1^{\left(1\right)}\left(N\right)& ...& x_n^{\left(1\right)}\left(N\right)& N+1\end{array}\right]$

要求|det(B^TB)|＞ε，其中，ε为非常小的正数；

第四步，计算估计参数：记参数序列

按最小二乘估计法可以得到

${\hat{V}}^{\left(1\right)T}={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{D}_N^{\left(1\right)}$

式中， $D_N^{\left(1\right)}={(D^{\left(1\right)}\left(1\right)D^{\left(1\right)}\left(2\right)...D^{\left(1\right)}\left(N\right))}^T$

第五步，计算灰色预估模型：将估计参数进行累加值还原为预估干扰参数及慢时变量可得到灰色预估模型：

$\hat{D}\left(k\right)={\hat{V}}_1{x}_1\left(k\right)+...+{\hat{V}}_i{x}_i\left(k\right)+...+{\hat{V}}_n{x}_n\left(k\right)+\hat{f}\left(t\right);$

第二阶段是：在nN步之后，在第一阶段控制量的基础上，根据估计参数，计算出灰色预测补偿控制量

将其和第一阶段控制量u_s一起参与伺服系统的控制u＝u_s+u_c。

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