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Die vorliegende Erfmdung bezieht sich auf eine neue Darstellung von negativen Zahlen im Rahmen des Unterrichts und im Besonderen auf das hierfür entwickelte Unterrichtsmaterial. Dieses stellt einen Satz von Einzelmaterialien dar, die untereinander durch die gemeinsame Idee, negative Zahlen als Löcher und positive Zahlen als Perlen (Kugeln) darzustellen, verbunden sind.
Diese Beschreibung hat die Form und das Wesen des neuen Materials zum Inhalt. Die Einführung und Verwendung im Unterricht, insbesondere deren sinnvolle Reihenfolge ist nicht Inhalt dieser
Schrift und wird nur insoweit berührt, als es zum Verständnis der Funktion und des Wesens unbedingt notwendig ist.
Bisheriger Stand der Technik Die Konzeption als Ergänzung zu bekanntem Material nach Montessori erfordert eine kurze Beschreibung der bisher bekannten verwandten Unterrichtsmaterialien für das Rechnen mit ganzen Zahlen.
Material zum Addieren und Subtrahieren Montessori verwendet unter anderem Perlenstäbchen unterschiedlicher, jedoch streng definierter Farben zur Darstellung von Zahlen. Hier sind das "bunte Perlenmaterial" und das "goldene Perlenmaterial" nach Montessori in Betracht zu ziehen.
Beim bunten Perlenmaterial ist die Grösse einer Zahl einerseits durch die Anzahl der Perlen, andererseits durch die Farbe des Stäbchens symbolisiert.
Für die Darstellung negativer Zahlen sind wiederum andersfarbige Stäbchen vorgesehen.
Durch dieses System kann zwar die Addition und Subtraktion im Zahlenraum Z (ganze Zahlen) durchgeführt werden, es sind aber viele Regeln zu beachten.
Material zum Multiplizieren und Dividieren Es werden in der Montessori-Pädagogik unter anderem Multiplikationsbretter und Divisionsbretter verwendet. Diese haben ein Raster von Mulden (9x9 bzw. 10x10), die zur Aufnahme jeweils einer Perle dienen. Durch Anfüllen von n Spalten in m Reihen kann das Produkt aus n und m gebildet und abgelesen werden. Andererseits kann durch Aufteilen von n Perlen auf m Spalten der Quotient n/m bestimmt werden. Zur Festlegung des Divisors dienen beim Divisionsbrett Spielkegel, die am oberen Rand aufgestellt werden.
Aufgabenstellung Mit den bisher bekannten Materialien können Rechenoperationen für positive Zahlen dargestellt werden. Für negative Zahlen können die Rechenoperationen Addition und Subtraktion mit Hilfe recht umfangreicher Regeln dargestellt werden, die Multiplikation und Division können nicht sinnvoll dargestellt werden.
Ziel der vorliegenden Entwicklung ist es, ein durchgehendes System von Materialien zu bieten, mit dessen Hilfe die Grundrechnungsarten für positive und negative ganze Zahlen einfach und übersichtlich veranschaulicht werden können, und das die wesentlichen Eigenschaften der negativen Zahlen nachbildet.
1. Fig. 1 Lochreihen - Draufsicht : beispielhafte Darstellung der Lochreihen gemäss
Anspruch 1, enthält auch eine Schnittdarstellung, die die Verwendung der bekannten
Perlenstäbchen nach Montessori (strichliert dargestellt) in Verbindung mit den Lochreihen zeigt.
2. Fig. 2 Rechenbretter: Ansicht der Vorder- und Rückseite der Rechenbretter gemäss Anspruch
3 ff. Enthält auch eine (vergrösserte) Schnittdarstellung der für die Rechenbretter
Verwendung findenden Bolzen gemäss Anspruch 5.
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Grundidee
Im Gegensatz zur Darstellung von negativen Zahlen mittels andersfarbigen Perlen ist der neue
Grundgedanke die Darstellung durch "Löcher", die in ihrem Wesen nach dazu geeignet sind, Perlen aufzunehmen, bzw. "fehlende" Perlen zu symbolisieren. Ausserdem kann dargestellt werden, dass gegengleiche Zahlen einander (in der Addition) aufheben. Gerade aus der Sicht der Montessori-
Pädagogik ist die unmittelbare konkrete Darstellung der massgeblichen Sachverhalte von besonderer
Bedeutung, was in den nun vorgestellten Materialien für das Rechnen im Zahlenraum Z seinen
Niederschlag findet.
"Z-Kette" - Zahlendarstellung in der Zahlengeraden
In Anlehnung an die Hunderter- oder Tausenderkette nach Montessori wird im vorliegenden
Materialsystem ein Ausschnitt aus der Zahlengeraden mittels Perlen und "Löchern dargestellt z
Kette"). Die einzelnen Positionen sind etwa eine Schrittweite der Kinder voneinander entfernt, was ein Abschreiten der Zahlengeraden in den positiven und in den negativen Zahlenraum ermöglicht.
Die Kinder können dadurch der Erweiterung des Zahlenstrahls mit ihrem gesamten Körper folgen.
Dieses Material besteht aus einer Schnur, in deren Mitte sich eine "Nullmarkierung" in Form einer
Schleife oder eines Fähnleins befmdet. Davon ausgehend sind in der einen Richtung Kugeln (etwa
Holzkugeln mit Durchmesser 4cm), in der anderen Richtung Ringe ("Löcher") mit einem
Innendurchmesser, der dem Kugeldurchmesser entspricht.
"Lochreihen" - Material zum Addieren und Subtrahieren
In Erweiterung zum bunten Perlenmaterial, bzw. als Alternative zum bereits bekannten "negativen
Schlangespiel" nach Maria Montessori sind die "Lochreihen" zu sehen. Diese sind gekennzeichnet durch die Tatsache, dass Lochreihen in der gleichen Farbe wie die Perlenstäbchen des bekannten
Materials nach Montessori verwendet werden, um negative Zahlen darzustellen. Diese Lochreihen bestehen
1. aus aneinander gereihten Ösen oder Schlaufen (1) oder einfach
2. aus in regelmässigen Abständen gelochten Streifen (3).
Wesentlich ist, dass der Abstand der Löcher dem Perlendurchmesser und damit dem Perlenabstand entspricht. Das Material, aus dem die Lochreihen hergestellt werden, kann beispielsweise Draht oder Kunststoff (Gestaltung gemäss Punkt 1.) oder Holz oder sogar Papier (Gestaltung gemäss Punkt 2) sein.
Wesentlich ist weiters, dass die Farbe vom bereits bekannten Farbsystem des bunten Perlenmaterials nach Montessori nicht massgeblich abweicht.
Die Lochreihen erlauben neben der Darstellung der negativen Zahlen an sich auch die Darstellung der Tatsache, dass gleich grosse positive und negative Zahlen einander aufheben. Wird ein Perlenstäbchen in eine gleich lange Lochreihe gelegt "löschen" sie einander : Perlen liegen in den Löchern und sind nicht mehr verfügbar, die Löcher werden von den Perlen ausgefüllt und sind nicht mehr als Loch vorhanden. In diesem Sinne kann die Lochreihe als Kern der Erfindung angesehen werden, eine Darstellung von negativen Zahlen für den Unterricht zu verwenden, die das Wesen der negativen Zahlen in verschiedener Hinsicht realitätsnah abbildet und einer Erweiterung zur Multiplikation und Division offen steht.
Die Multiplikation und Division von beliebigen Zahlen mit positivem Multiplikator und Divisor ist ebenfalls mittels Lochreihen darstellbar. Sobald aber der Multiplikator oder der Divisor negativ sind, ist eine weitere Komponente des neu entwickelten Unterrichtsmaterials notwendig.
Multiplikationsbrett für das Rechnen im Zahlenraum Z In Anlehnung an das Multiplikationsbrett nach Montessori und an die Idee des Lochmaterials werden die liegenden Muldenbretter durch stehende Lochplatten (6) ersetzt. Daher sprechen wir von einem Lochbrett mit zehn mal zehn zylindrischen Löchern (7). Dieses wird in einen stabilen Fuss hinein geschoben. Die Beschriftung aufder (positiven) Vorderseite entspricht genau der
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bekannten Beschriftung des herkömmlichen Multiplikationsbrettes (von links nach rechts aufsteigend von 1 bis 10). Aufder Rückseite läuft die Beschriftung von rechts nach links, so dass hinterjeder Zahl der Beschriftung die Gegenzahl zu liegen kommt.
Die einzulegenden Perlen werden zu Bolzen (10), die gekennzeichnet sind durch ein positives und ein negatives Ende. Das positive Ende ist konvex ausgeführt ("Perle") (8), das negative Ende konkav ("Loch") (9).
Das Ergebnis wird immer unabhängig vom Arbeitsvorgang aufder positiven Seite der Platte abgelesen.
Werden zwei positive Zahlen miteinander multipliziert, dann steckt man die Bolzen auf der positiven Seite so in die Löcher, dass die positiven Enden sichtbar sind. Die positiven Bolzenenden werden wie die eingelegten Perlen beim bekannten Material abgezählt.
Wird eine negative Zahl mit einer positiven Zahl multipliziert, dann steckt man die Bolzen aufder positiven Seite so in die Löcher, dass die negativen Enden sichtbar sind. Nun lassen sich die negativen Bolzenenden (Löcher) abzählen, wie es das Kind von den Lochreihen gewohnt ist.
Wird eine positive Zahl mit eine negativen Zahl multipliziert, dann werden die Bolzen in die negative Seite der Lochplatte gesteckt. Wieder werden sie so platziert, dass beim Arbeiten die positive Seite sichtbar ist. Am oberen Rand kann der negative Faktor abgelesen werden. Zum
Ablesen wird die Lochplatte wieder umgedreht, und die nun sichtbaren "Löcher" abgezählt.
Werden zwei negative Zahlen miteinander multipliziert, dann steckt man die Bolzen aufder negativen Seite so in die Löcher, dass die negativen Enden sichtbar sind. Danach wird die Platte zum Ablesen umgedreht. Aufder positiven Seite sind die (positiven) Bolzenenden (Perlen) sichtbar und werden wie gewohnt abgezählt.
Durch den Arbeitsvorgang wird den Kindern klar, dass das Produkt einer positiven mit einer negativen Zahl immer negativ ist, unabhängig wie die Multiplikation ausgeführt wird, andererseits ist auch klar, dass die Multiplikation von zwei negativen Zahlen genau das gleiche Ergebnis liefern muss, wie die Multiplikation der beiden (positiven) Gegenzahlen.
Divisionsbrett für das Rechnen im Zahlenraum Z (5) Das Divisionsbrett für ganze Zahlen ist ähnlich wie das Multiplikationsbrett für ganze Zahlen aufgebaut. Ein in einen Fuss geschobenes Brett (6) mit neunmal neun Löchern (7) und einer zusätzlichen Lochreihe für die Zählbolzen, die den Spielkegeln entsprechen. Diese ist aufder positiven Seite von links nach rechts aufsteigend von 1 bis 9, auf der negativen Seite von rechts nach links von -1 bis-9 absteigend beschriftet. Die Bolzen entsprechenjenen des Multiplikationsbrettes. Hinzu kommen spezielle Zählbolzen, die den Divisor darstellen und an beiden Enden flach ausgeführt sind.
Die Reihen der positiven Seite sind nach dem Farbencode des bunten Perlenmaterials nach Montessori markiert, sodass der Betrag des Quotienten einfach abgelesen werden kann. Im Gegensatz dazu ist die Codierung aufder negativen Seite durch ein schwarzes Feld ersetzt, das ein Ablesen aufdieser Seite verhindern soll.
Die Arbeitsweise ist analog der beim Multiplikationsbrett vorgestellten, nur dass die vorhandenen Bolzen (Dividend) aufdie mit Zählbolzen markierten Spalten (Divisor) aufgeteilt werden.
Gleiches gilt auch für die Steckrichtung der Bolzen und für das Ablesen des Ergebnisses auf der positiven Seite.
Diese beiden letztgenannten Materialkomponenten sind weiters dadurch gekennzeichnet, dass die Ergebnisse einer Multiplikation oder Division von positiven und/oder negativen Zahlen einschliesslich der Vorzeichenregelung mit nur einer "Spielregel" (Ablesung aufder positiven Seite) ersichtlich und "begreifbar" sind.
Weiteres Material Neben den bisher vorgestellten Materialkomponenten lässt sich die Idee der Lochdarstellung auf andere bereits bekannte Unterrichtsmaterialien anwenden:
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Beim "negativen Markenspiel" werden die Plättchen für negative Zahlen gelocht und stellen somit den Zusammenhang zum übrigen Lochmaterial her.
Bei Zahlenpfeilen werden die Pfeile für negative Zahlen ebenfalls gelocht und bieten so ein durchgängiges Prinzip.