WO2020157998A1 - メッシュ簡略化装置およびメッシュ簡略化用プログラム - Google Patents

メッシュ簡略化装置およびメッシュ簡略化用プログラム Download PDF

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Inventor
庄一 土江
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日本ユニシス株式会社
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
    • G06T17/00—Three dimensional [3D] modelling, e.g. data description of 3D objects
    • G06T17/20—Finite element generation, e.g. wire-frame surface description, tesselation
    • G06T17/205—Re-meshing

Definitions

  • the present invention relates to a mesh simplification device and a mesh simplification program, and more particularly to a technique for performing mesh simplification on shape data composed of very fine mesh elements for expressing subtle shape changes. It is about.
  • CAD Computer Aided Design
  • CAD data is created from measurement data of a clay model formed by a clay modeler using a clay spatula (curve ruler).
  • the mesh element used in the present invention is a triangle.
  • the mesh composed of triangular elements will be referred to as a triangular mesh hereinafter.
  • Patent Document 1 discloses that both end points of an edge are contracted to their midpoints only when a certain condition is satisfied. That is, the fitting device described in Patent Document 1 performs contraction when both end points of the edge are not on the feature boundary and the edge itself is not the feature boundary. As a result, the mesh generated by processing can be simplified while maintaining the design features of the original data as much as possible.
  • FIG. 9A shows a triangular mesh which is original data.
  • JP 2006-277712 A Japanese Patent No. 4701119 Japanese Patent No. 4714444 JP 2005-242647 A JP, 2005-242651, A
  • the present invention has been made to solve such a problem, and in the process of simplifying a triangular mesh by edge contraction, the number of mesh elements is minimized without generating a topology-incorrect element called inside-out.
  • the purpose is to be able to reduce.
  • the present invention it is determined whether or not the flipping of the triangular element occurs when the edge, which is one side of the triangular element forming the mesh, is contracted, and it is determined that the flipping does not occur. If it is determined that the edge flipping occurs, the edge reduction is performed after performing processing for avoiding the occurrence of the flipping.
  • the edge contraction is performed after performing the predetermined processing for avoiding the inside-out occurrence.
  • About is made.
  • the number of mesh elements is reduced as much as possible by the edge reduction without causing the topology-incorrect element of turning over. can do.
  • FIG. 1 is a block diagram showing a functional configuration example of a mesh simplification device according to this embodiment.
  • the mesh simplification device of the present embodiment has, as its functional configuration, a shape data input unit 1, an inside-out determination unit 2, an avoidance processing unit 3, an edge reduction unit 4, a smoothing unit 5, and a value.
  • the number determination unit 6 is provided.
  • Each of these functional blocks 1 to 6 can be configured by any of hardware, DSP (Digital Signal Processor), and software.
  • DSP Digital Signal Processor
  • each of the functional blocks 1 to 6 is actually configured by including a CPU, RAM, ROM of a computer, and a program stored in a recording medium such as RAM, ROM, hard disk or semiconductor memory. Is realized by operating.
  • the shape data input unit 1 inputs shape data represented by a triangular mesh.
  • a triangular mesh provided as measurement data of a shape such as a clay model is input.
  • Each triangular element of the mesh consists of three vertices and three edges connecting the vertices. The vertices and edges are shared between adjacent mesh elements.
  • the number of triangles is reduced by simplifying the triangular mesh input by the shape data input unit 1 while maintaining the design features of the original data as much as possible.
  • the mesh is simplified by contracting the edges.
  • the vertex B is integrated into the vertex A or the vertex A is integrated into the vertex B.
  • the target edge When executing edge reduction continuously, it is necessary to determine the order of the edges to be reduced (hereinafter, this is called the target edge).
  • the contraction is executed in the ascending order of the edge length. It should be noted that when the contraction of a certain target edge is executed, the lengths of the edges around the target edge change, so that it is necessary to rationally determine the order of the target edges. Details of this will be described later.
  • the inside-out determination unit 2 determines whether the mesh element (triangle element) is turned over due to contraction for the target edge with the triangular mesh input by the shape data input unit 1.
  • the inside-out judging unit 2 determines the inner angle of the figure formed by the edge connecting the other end points of the plurality of edges connected to the first end point of the target edge and the second edge of the target edge. It is determined whether or not the inside angle of the figure formed by the edge connecting the other end points of the plurality of edges connected to the end point is 180 degrees or more, and if there is an interior angle of 180 degrees or more. It is determined that the inside-out of the mesh will occur.
  • FIG. 2 is a diagram for explaining the processing content of the inside-out determination unit 2.
  • FIG. 2A shows a triangular mesh which is the original data. This is the same as FIG. 9(a). Now, assume that the edge connecting the two vertices A and B is the target edge, and the inside-out determination unit 2 determines whether or not the inside-out occurs when the edge is contracted.
  • the inside-out determination unit 2 determines the other end points a1 to a7 of the plurality of edges (7 edges in this example) connected to the first end point A of the target edge.
  • the internal angles ⁇ 1 and ⁇ 2 of the first figure formed by the edges connecting the two are detected.
  • the inside-out determination unit 2 determines the other end points b1 to b5 of the plurality of edges (five edges in this example) connected to the second end point B of the target edge.
  • the internal angles ⁇ 3 and ⁇ 4 of the second figure formed by the edges connecting the two are detected.
  • the four interior angles ⁇ 1 to ⁇ 4 are interior angles of vertices common to the first figure and the second figure.
  • the inside-out judging unit 2 judges whether or not the inside angles ⁇ 1 to ⁇ 4 are 180 degrees or more, and when the inside angle is 180 degrees or more, it is judged that the mesh is turned inside out. In the example of FIG. 2, since the interior angle ⁇ 1 is 180 degrees or more, it is determined that the inside-out occurs in the contraction in which the vertex A is integrated with the vertex B.
  • the avoidance processing unit 3 performs a predetermined process for avoiding the occurrence of the turning over of the mesh element when the turning over determination unit 2 determines that the turning over of the mesh element occurs. There are the following two types of processing methods, and either one may be applied.
  • the avoiding processing unit 3 moves the apexes forming the interior angle of 180 degrees or more so that the interior angle becomes less than 180 degrees.
  • smoothing of the triangle a process for making the triangle as close as possible to an equilateral triangle
  • FIG. 3 is a diagram for explaining the first processing method (smoothing).
  • 3A is the same as FIG. 2A, showing a state before smoothing
  • FIG. 3B shows a state after smoothing.
  • the apex a7 forming the interior angle ⁇ 1 of 180 degrees or more moves to the apex a7′, and both end points A and B of the target edge move to the apex A′ and B′.
  • the interior angle ⁇ 1 ′ newly formed at the vertex a7′ by such smoothing becomes 180 degrees or less.
  • the avoidance processing unit 3 connects, to the apex, an edge corresponding to the opposite side of the apex of the mesh on the inside angle side among the meshes including the apex forming the interior angle of 180 degrees or more.
  • the interior angle becomes less than 180 degrees.
  • FIG. 4 is a diagram for explaining this second processing method (edge exchange).
  • FIG. 4A is the same as FIG. 2A and shows a state before edge exchange
  • FIG. 4B shows a state after edge exchange.
  • An edge E1 corresponding to the opposite side of the apex a7 forming an interior angle of 180 degrees or more is changed to an edge E1′ connected to the apex a7.
  • the interior angle ⁇ 1 ′ newly formed at the apex a7 by such edge exchange becomes 180 degrees or less.
  • This edge exchange corresponds to the processing of exchanging the diagonal line of a quadrangle formed by two mesh elements sharing the edge E1 corresponding to the opposite side of the vertex a7.
  • a known technique can be applied to this as well.
  • the edge contracting unit 4 is in a state after the avoidance processing unit 3 performs a predetermined processing when the inside-out determination unit 2 determines that the mesh element is turned over (FIG. 3B or FIG. 4B). The state of) is reduced to the target edge. On the other hand, the edge contracting unit 4 contracts the target edge for the state where the predetermined processing by the avoidance processing unit 3 is not performed when the inside-out determination unit 2 determines that the mesh is not turned over. ..
  • FIG. 5 is a diagram showing an example in which the target edge is contracted to the state of FIG. 3B formed by the smoothing by the avoidance processing unit 3.
  • FIG. 5A shows a state before the edge contraction
  • FIG. 5B shows a state after the edge contraction.
  • FIG. 5A is the same as FIG. 3B.
  • FIG. 5B whether the vertex B′ is integrated into the vertex A′ to perform the edge reduction, or the vertex A′ is integrated into the vertex B′ to perform the edge reduction, The inside out of the mesh does not occur.
  • FIG. 6 is a diagram showing an example of a case where the target edge is contracted with respect to the state of FIG. 4B formed by the edge exchange by the avoidance processing unit 3.
  • FIG. 6A shows a state before the edge contraction
  • FIG. 6B shows a state after the edge contraction.
  • FIG. 6A is the same as FIG. 4B.
  • the mesh is turned over. Does not occur.
  • the smoothing unit 5 smoothes the slender triangular elements that can occur due to the contraction of the target edge by the edge contracting unit 4 so as to approach the equilateral triangle. For example, when the edge contraction is performed by integrating the vertex B'with the vertex A'as in the upper side of FIG. 5B, the three mesh elements M1 to M3 are deformed by the edge contraction. The smoothing unit 5 smoothes the three mesh elements M1 to M3 and their surrounding mesh elements.
  • the smoothed vertices that are performed to bring the triangular element closer to an equilateral triangle are input by the shape data input unit 1.
  • a process of projecting the smoothed vertex on the closest point of the input mesh may be performed.
  • the first method is to determine a target edge for each one of the edges.
  • the second method is to determine the edge of interest by determining the valences of both end points of the edge.
  • One neighborhood of the edge is defined as shown in FIG.
  • One neighborhood of an edge shown in FIG. 7A is included in a plurality of triangular elements that share one of the vertices X and Y at both end points of one edge E as one of the vertices.
  • Edge group When a new target edge is determined, one neighborhood of the new target edge does not overlap with one neighborhood of the edge that has already been contracted. That is, a new edge of interest is sequentially determined in such a manner that one neighborhood of the already contracted edge and one neighborhood of the newly selected attention edge do not overlap.
  • FIG. 7(b) shows an example of one neighborhood of edges that do not overlap.
  • FIG. 7C shows a state after contracting the target edge included in the range of one neighborhood. If edge reduction processing is performed over the entire area of the input mesh, it becomes impossible to select a new edge of interest that does not overlap one neighborhood, but in that case, the information that edge reduction has been completed is cleared once, and Repeat the contraction.
  • Edge reduction not only changes the length of the associated surrounding edges, but also the valence of the reduced vertices.
  • Valence is the number of edges connected to a vertex. For example, it is assumed that the edge contraction of FIG. 9B is performed on FIG. 9A. In this case, the valence of the vertex A was "7" before the contraction, but "8" after the contraction.
  • the valency of the vertex after contraction will be further increased, and the mesh element connected to that vertex will be an extremely elongated triangular shape.
  • the valence is “6” or a value that is as close to that as possible.
  • the valence is determined and the edge of interest is determined so that a mesh that does not include extremely long and narrow triangles can be generated.
  • FIG. 8 is a flowchart showing an operation example of the mesh simplification device according to the present embodiment configured as described above.
  • the shape data input unit 1 inputs a triangular mesh that becomes the shape data of the model (step S1).
  • the mesh simplification device orders and specifies the target edge from the plurality of edges forming the input triangular mesh (step S2).
  • step S2 the mesh simplification device creates a list in which the edges of the triangular mesh input by the shape data input unit 1 are sorted in ascending order of length, and sets an unprocessed flag for each edge. Then, the edge of interest is specified in order from the beginning of the list. If the unprocessed flag is set on the specified edge of interest and the edge in the vicinity of it, the processing from step S3 is executed to set the processed flag to the processed edge of interest and the edge in the vicinity of one. On the other hand, if the processed flag is set on any of the specified target edge or one of its neighboring edges, another edge other than the one neighboring is designated as the target edge.
  • the valence determination unit 6 determines whether or not the sum of the valences of both end points of the one target edge specified as described above exceeds a predetermined value Vsum (step S3). If the sum of the valences exceeds the predetermined value Vsum, the process proceeds to step S8.
  • the inside-out determination unit 2 contracts the target edge specified in step S2. If so, it is determined whether or not the mesh element is turned over (step S4).
  • the avoidance processing unit 3 performs a predetermined processing (smoothing or edge exchange) on the mesh elements existing around the target edge to avoid the inside-out. Perform (step S5).
  • the edge contracting unit 4 contracts the target edge with respect to the state after the predetermined processing is performed by the avoidance processing unit 3 (step S6).
  • step S4 determines whether the inside out will occur. If it is determined in step S4 that the inside out will not occur, the inside out determination unit 2 skips step S5 and proceeds to step S6. In this case, the edge contracting unit 4 contracts the target edge for a state in which the avoiding processing unit 3 has not performed the predetermined processing. After that, the smoothing unit 5 performs smoothing for bringing the elongated triangular elements that can occur due to the reduction of the target edge by the edge reduction unit 4 closer to an equilateral triangle (step S7).
  • the mesh simplification device determines whether or not a predetermined end condition is satisfied (step S8). For example, it is possible to determine that the end condition is satisfied when the ratio of simplification (the ratio of the number of mesh elements after simplification to the initial number of mesh elements) reaches a predetermined value. Alternatively, it may be determined that the end condition is satisfied when the edge reduction is executed a predetermined number of times. If the ending condition is not satisfied, the process returns to step S2.
  • the processing of steps S2 to S7 is repeatedly executed, the edges for which the unprocessed flag is raised disappears and the reduction processing cannot be performed (the state shown in FIG. 7C). In this case, as shown in FIG.
  • the mesh after the contraction processing is regarded as the input mesh, the processed flag is changed to the unprocessed flag, and the processing from step S2 is continued.
  • the process of the flowchart shown in FIG. 8 ends.
  • the target edge is contracted with respect to the triangular mesh expressing the shape data of the model, and the flipping occurs. If it is determined that the target edge is not processed, the target edge is contracted as it is, while if it is determined that the flipping occurs, a predetermined process is performed on the triangular elements around the target edge to prevent the flipping. Then, the edge of interest is contracted.
  • the contraction is not simply performed for the edge, but the flipping occurs.
  • the edge is contracted after performing a predetermined process for avoiding.
  • the number of triangular elements forming the mesh can be reduced as much as possible, that is, the mesh can be simplified.
  • the smoothing or the edge exchange is performed as the predetermined processing for avoiding the turning over, but both may be performed. For example, until the first end condition regarding the mesh simplification ratio is satisfied, smoothing is performed in relation to the target edge at which the inside-out occurs, and then until the second end condition regarding the mesh simplification ratio is satisfied. It is possible to execute the edge exchange in relation to the target edge at which the inside out occurs. These may be reversed in order.
  • the smoothing unit 5 smoothes the mesh after the edge contracting unit 4
  • the present invention is not limited to this.
  • the smoothing of the mesh may be performed immediately after the shape data input unit 1 inputs the shape data. By doing so, it becomes possible to omit smoothing during the turning-over avoiding processing by the avoiding processing section 3.
  • the vertex B when contracting an edge connecting two vertices A and B, the vertex B is integrated into the vertex A or the vertex A is integrated into the vertex B, but the present invention is not limited to this. ..
  • the two vertices A and B may be contracted to the midpoint. It is considered that the contraction with respect to the middle point of the edge is a simplification of the mesh corresponding to the Laplacian smoothing. By repeating the contraction and simplification, the noise of the mesh is simultaneously smoothed.
  • determining whether or not to reduce the edge of interest by determining the valence has been described, but in addition to this, whether or not to reduce the edge of interest based on other conditions May be determined. For example, it may be determined whether or not the edge of interest corresponds to a feature portion (ridge line, boundary line, etc.) of the shape of the model, and the edge corresponding to the feature portion may not be reduced. It is also possible to detect the magnitude of the shape change before and after the edge reduction, and not perform the reduction when the magnitude exceeds a predetermined value.
  • the valence of “6” cannot always be said to be an ideal condition for the shape of the triangular element to approach an equilateral triangle. In this case, it is effective to limit the reduction target edges to those that do not belong to the feature portion. This is because the shape of the portion that is not the characteristic portion is relatively simple and the change in curvature is gradual, so that the same idea as that of the plane can be applied to the valence.

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Abstract

エッジとよばれるメッシュを構成する三角形要素の一辺を縮約した場合に三角形要素の裏返りが発生するか否かを判定する裏返り判定部２と、裏返りが発生すると判定された場合にその発生を回避するための加工を行う回避加工部３と、裏返りが発生しないと判定された場合はそのままエッジ縮約を行う一方、裏返りが発生すると判定された場合はその発生を回避するための加工が行われた後にエッジ縮約を行うエッジ縮約部４とを備え、従来手法では裏返りが発生するとの理由からエッジ縮約が行われなかった場合でも、回避加工部３の導入によりメッシュの要素数を極力削減、すなわちメッシュを簡略化できるようにする。

Description

メッシュ簡略化装置およびメッシュ簡略化用プログラム
　本発明は、メッシュ簡略化装置およびメッシュ簡略化用プログラムに関し、特に、微妙な形状変化を表現するために非常に細かいメッシュ要素で構成された形状データに対してメッシュの簡略化を行うための技術に関するものである。
　一般に、製品の設計を行う際には、ＣＡＤ（Computer Aided Design）によって製品の形状データを生成することが行われている。形状データを生成する１つの方法として、モデルとなる物体の測定データからその物体の曲面モデルをＣＡＤによって再構築する方法が広く利用されている。例えば、自動車の曲面形状の場合、クレイモデラが粘土ヘラ（カーブ定規）を使って造形したクレイモデルの測定データからＣＡＤデータを作成することが行われている。
　クレイモデルなどの意匠測定データは、デザイナの意図による微妙な形状変化が重要で、その微妙な変化を表現するために非常に細かいピッチで測定される。その結果、膨大な要素数で構成されたメッシュが生成される。ところが、当該メッシュは計算負荷の増大に繋がるため、元データとの差異が許容誤差の範囲内に納まるような適切なデータ加工によって、メッシュの要素数を削減することが求められている。本発明で扱うメッシュ要素は三角形とする。なお、三角形要素からなるメッシュを以降、三角形メッシュという。
　メッシュの簡略化を行う方法の１つとして、エッジとよばれるメッシュを構成する三角形要素の一辺の縮約（contraction）法が知られている（例えば、特許文献１参照）。特許文献１には、一定の条件を満たす場合にのみ、エッジの両端点をその中点に縮約することが開示されている。すなわち、特許文献１に記載のフィッティング装置では、エッジの両端点がともに特徴境界上になく、かつエッジ自身も特徴境界でない場合に縮約を行う。その結果、加工によって生成されるメッシュが元データのデザイン特徴を極力維持した状態でメッシュの簡略化を行うことができる。
　しかしながら、単純なエッジ縮約によるメッシュの簡略化では、図９に示すように、裏返りというトポロジ不正の三角形要素が容易に発生してしまう。図９（ａ）は元データとなる三角形メッシュを示している。いま、２つの頂点Ａ，Ｂを結ぶエッジの縮約として、図９（ｂ）のように頂点Ｂを頂点Ａに統合する場合と、図９（ｃ）のように頂点Ａを頂点Ｂに統合する場合の２つを考える。
　図９（ｃ）の場合にはエッジの交差がみられるが、この交差エッジを含む三角形要素において裏返りが生じている。裏返りを引き起こすエッジ縮約は不正な加工とみなされ、そうしたエッジ縮約によるメッシュの簡略化は認められない。裏返りが発生するか否かを判定し、裏返りが発生する場合にはメッシュの簡略化を行わないようにする技術が知られている（例えば、特許文献２～５参照）。
特開２００６－２７７７１２号公報 特許第４７０１１１９号公報 特許第４７１４４４４号公報 特開２００５－２４２６４７号公報 特開２００５－２４２６５１号公報
　上記特許文献２～５のように、裏返りが発生する場合にはエッジ縮約によるメッシュの簡略化を行わないとしたならば、入力データ中に当該エッジが多く含まれているほど、メッシュの簡略化が十分に行われないという問題が生じる。
　本発明は、このような問題を解決するために成されたものであり、エッジ縮約による三角形メッシュの簡略化プロセスにおいて、裏返りというトポロジ不正な要素を発生させることなく、メッシュの要素数を極力削減できるようにすることを目的とする。
　上記した課題を解決するために、本発明では、メッシュを構成する三角形要素の一辺であるエッジを縮約した場合に三角形要素の裏返りが発生するか否かを判定し、裏返りが発生しないと判定された場合はそのままエッジ縮約を行う一方、裏返りが発生すると判定された場合はその発生を回避するための加工を行った後にエッジ縮約を行うようにしている。
　上記のように構成した本発明によれば、従来では裏返りが発生するとの理由からエッジ縮約が行われなかった場合でも、裏返りの発生を回避するための所定の加工を行った上でエッジ縮約が行われる。これにより、入力メッシュの中に裏返りが発生するようなエッジが多く含まれている場合であっても、裏返りというトポロジ不正な要素を発生させることなく、エッジ縮約によってメッシュの要素数を極力削減することができる。
本実施形態によるメッシュ簡略化装置の機能構成例を示すブロック図である。 本実施形態による裏返り判定部の処理内容を説明するための図である。 本実施形態による回避加工部が行う第１の加工方法（平滑化）を説明するための図である。 本実施形態による回避加工部が行う第２の加工方法（エッジ交換）を説明するための図である。 本実施形態の回避加工部による平滑化によって形成された状態に対して注目エッジの縮約を行った場合の例を示す図である。 本実施形態の回避加工部によるエッジ交換によって形成された状態に対して注目エッジの縮約を行った場合の例を示す図である。 オーバーラップしないエッジの１近傍単位の処理例を説明するための図である。 本実施形態によるメッシュ簡略化装置の動作例を示すフローチャートである。 エッジ縮約による三角形要素の裏返りを説明するための図である。
　以下、本発明の一実施形態を図面に基づいて説明する。図１は、本実施形態によるメッシュ簡略化装置の機能構成例を示すブロック図である。図１に示すように、本実施形態のメッシュ簡略化装置は、その機能構成として、形状データ入力部１、裏返り判定部２、回避加工部３、エッジ縮約部４、平滑化部５および価数判定部６を備えている。
　これらの各機能ブロック１～６は、ハードウェア、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ソフトウェアの何れによっても構成することが可能である。例えばソフトウェアによって構成する場合、上記各機能ブロック１～６は、実際にはコンピュータのＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭなどを備えて構成され、ＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクまたは半導体メモリ等の記録媒体に記憶されたプログラムが動作することによって実現される。
　形状データ入力部１は、三角形メッシュで表現された形状データを入力する。本実施形態では、クレイモデルなどの形状の測定データとして与えられる三角形メッシュを入力する。メッシュの各三角形要素は、３つの頂点と、それらの頂点間を結ぶ３つのエッジとから成る。頂点およびエッジは、隣接するメッシュ要素間で共有されている。
　本実施形態のメッシュ簡略化装置では、形状データ入力部１により入力された三角形メッシュを簡略化することにより、元データのデザイン特徴を極力維持した状態で三角形数を削減する。メッシュの簡略化は、エッジの縮約によって行う。特に、本実施形態では、図９に示したように、２つの頂点Ａ，Ｂを結ぶエッジを縮約する場合、頂点Ｂを頂点Ａに統合または頂点Ａを頂点Ｂに統合することによって行う。
　エッジ縮約を連続して実行する場合、縮約の対象とするエッジ（以下、これを注目エッジという）の順番を決める必要がある。本実施形態では、エッジの長さが短い順に縮約を実行する。なお、ある注目エッジの縮約を実行すると、その周辺のエッジの長さが変化するため、注目エッジの順番を合理的に決める必要がある。これについての詳細は後述する。
　裏返り判定部２は、形状データ入力部１により入力された三角形メッシュのある注目エッジについて、縮約によりメッシュ要素（三角形要素）の裏返りが発生するか否かを判定する。本実施形態では、裏返り判定部２は、注目エッジの第１の端点に接続される複数のエッジの他方の端点間を接続するエッジにより形成される図形の内角、および、注目エッジの第２の端点に接続される複数のエッジの他方の端点間を接続するエッジにより形成される図形の内角の中に１８０度以上のものがあるか否かを判定し、１８０度以上の内角がある場合にメッシュの裏返りが発生すると判定する。
　図２は、裏返り判定部２の処理内容を説明するための図である。図２（ａ）は元データとなる三角形メッシュを示している。これは、図９（ａ）と同じものである。いま、２つの頂点Ａ，Ｂを結ぶエッジを注目エッジとし、これを縮約した場合に裏返りが発生するか否かを裏返り判定部２が判定するものとする。
　まず、裏返り判定部２は、図２（ｂ）に示すように、注目エッジの第１の端点Ａに接続される複数のエッジ（この例では７本のエッジ）の他方の端点ａ１～ａ７の間を接続するエッジにより形成される第１の図形の内角θ１，θ２を検出する。また、裏返り判定部２は、図２（ｃ）に示すように、注目エッジの第２の端点Ｂに接続される複数のエッジ（この例では５本のエッジ）の他方の端点ｂ１～ｂ５の間を接続するエッジにより形成される第２の図形の内角θ３，θ４を検出する。ここで、４つの内角θ１～θ４は、第１の図形と第２の図形とで共通する頂点の内角である。
　裏返り判定部２は、これらの内角θ１～θ４の中に１８０度以上のものがあるか否かを判定し、１８０度以上の内角がある場合にメッシュの裏返りが発生すると判定する。図２の例では、内角θ１が１８０度以上であるので、頂点Ａを頂点Ｂに統合する縮約では裏返りが発生すると判定する。
　回避加工部３は、裏返り判定部２によりメッシュ要素の裏返りが発生すると判定された場合、その発生を回避するための所定の加工を行う。加工方法には次の２種類があり，その何れかを適用すればよい。
　第１の加工方法として、回避加工部３は、１８０度以上の内角を形成している頂点を移動させて、内角が１８０度未満となるようにする。頂点の移動には、三角形の平滑化（できるだけ正三角形に近づけるような処理）を適用する。図３は、この第１の加工方法（平滑化）を説明するための図である。図３（ａ）は図２（ａ）と同じもので、平滑化前の状態を示し、図３（ｂ）は平滑化後の状態を示す。１８０度以上の内角θ１を形成している頂点ａ７は頂点ａ７’に、注目エッジの両端点Ａ，Ｂは頂点Ａ’，Ｂ’に移動している。このような平滑化によって頂点ａ７’に新たに形成された内角θ１’は１８０度以下となる。
　平滑化の処理方法については公知の技術を適用することが可能である。また、ここでは３つの頂点ａ７，Ａ，Ｂを移動させることによってメッシュの平滑化を行う例を示したが、１８０度以上の内角を形成している頂点ａ７のみを移動させるようにしてもよい。
　第２の加工方法として、回避加工部３は、１８０度以上の内角を形成している頂点を含むメッシュのうち、当該内角側にあるメッシュの当該頂点の対辺に相当するエッジを当該頂点に接続するエッジに変えるエッジ交換を行うことにより、内角が１８０度未満となるようにする。図４は、この第２の加工方法（エッジ交換）を説明するための図である。図４（ａ）は図２（ａ）と同じもので、エッジ交換前の状態を示し、図４（ｂ）はエッジ交換後の状態を示す。１８０度以上の内角を形成している頂点ａ７の対辺に相当するエッジＥ１は、当該頂点ａ７に接続するエッジＥ１’に変更されている。このようなエッジ交換によって頂点ａ７に新たに形成された内角θ１’は１８０度以下となる。
　このエッジ交換は、頂点ａ７の対辺に相当するエッジＥ１を共有する２つのメッシュ要素により形成される四角形の対角線を交換する処理に相当するものである。これについても公知の技術を適用することが可能である。
　エッジ縮約部４は、裏返り判定部２によりメッシュ要素の裏返りが発生すると判定された場合、回避加工部３により所定の加工が行われた後の状態（図３（ｂ）または図４（ｂ）の状態）に対して注目エッジの縮約を行う。一方、エッジ縮約部４は、裏返り判定部２によりメッシュの裏返りが発生しないと判定された場合、回避加工部３による所定の加工が行われていない状態に対して注目エッジの縮約を行う。
　図５は、回避加工部３による平滑化によって形成された図３（ｂ）の状態に対して注目エッジの縮約を行った場合の例を示す図である。図５（ａ）はエッジ縮約前の状態を示し、図５（ｂ）はエッジ縮約後の状態を示している。図５（ａ）は、図３（ｂ）と同じものである。図５（ｂ）に示すように、頂点Ｂ’を頂点Ａ’に統合することによってエッジ縮約を行っても、頂点Ａ’を頂点Ｂ’に統合することによってエッジ縮約を行っても、メッシュの裏返りは発生しない。
　図６は、回避加工部３によるエッジ交換によって形成された図４（ｂ）の状態に対して注目エッジの縮約を行った場合の例を示す図である。図６（ａ）はエッジ縮約前の状態を示し、図６（ｂ）はエッジ縮約後の状態を示している。図６（ａ）は、図４（ｂ）と同じものである。図６（ｂ）に示すように、頂点Ｂを頂点Ａに統合することによってエッジ縮約を行っても、頂点Ａを頂点Ｂに統合することによってエッジ縮約を行っても、メッシュの裏返りは発生しない。
　平滑化部５は、エッジ縮約部４による注目エッジの縮約によって発生しうる細長い三角形要素を正三角形に近づけるための平滑化を行う。例えば、図５（ｂ）の上側のように頂点Ｂ’を頂点Ａ’に統合することによってエッジ縮約を行った場合、そのエッジ縮約によって３つのメッシュ要素Ｍ１～Ｍ３が変形している。平滑化部５は、この３つのメッシュ要素Ｍ１～Ｍ３およびその周辺のメッシュ要素の平滑化を行う。
　なお、メッシュで表現された形状が曲面である場合（単純な平面形状に限らない場合）に、三角形要素を正三角形に近づけるために行った平滑化後の頂点が、形状データ入力部１により入力された元のメッシュから離れてしまうことを防ぐために、平滑化後の頂点を入力メッシュの最近点に投影するという処理を行うようにしてもよい。
　以上のような処理により、１つの注目エッジに対する縮約および関連するメッシュ要素の平滑化が終了する。本実施形態では、このような処理を他のエッジに対しても逐次適用して処理する。上述したように、エッジ縮約をどのようなルールで逐次実行すべきかについての戦略が重要である。本実施形態では、２つの方法を取り入れている。１つ目の方法は、エッジの１近傍毎に注目エッジを決定するものである。２つ目の方法は、エッジの両端点の価数を判定して注目エッジを決定するものである。以下、これらについて順に説明する。
　まず、注目エッジを決定する１つ目の方法を説明する。エッジの１近傍を図７（a）のように定義する。図７（ａ）に示すエッジの１近傍とは、ある１つのエッジＥに対して、その両端点の頂点Ｘ，Ｙの何れか一方を頂点の１つとして共有する複数の三角形要素に含まれるエッジ群とする。新たに注目エッジを決定するときは、新たな注目エッジの１近傍が、既にエッジ縮約済みのエッジの１近傍とオーバーラップしないようにする。すなわち、既に縮約済みのエッジの１近傍と新たに選択する注目エッジの１近傍とがオーバーラップしないような態様で、新たな注目エッジを順次決定していく。
　図７（ｂ）は、オーバーラップしないエッジの１近傍の例を示す。また、図７（ｃ）は、ある１近傍の範囲に含まれる注目エッジを縮約した後の状態を示す。入力メッシュの全域に渡ってエッジ縮約の処理が行われると、１近傍がオーバーラップしない新たな注目エッジを選択できなくなるが、その場合は、エッジ縮約済みという情報を一旦クリアして、エッジ縮約を繰り返す。
　このように、オーバーラップしない１近傍毎にエッジ縮約処理を行うことにより、エッジ縮約が同位置周辺に集中してしまわないようにすることができる。なお、ここではエッジの１近傍を例示したが、エッジの近傍をどのように設定するかについては任意に設計することが可能である。
　次に、注目エッジを決定する２つ目の方法を説明する。エッジ縮約を行うと、関連した周囲のエッジの長さが変わるだけでなく、縮約後の頂点の価数も変化する。価数とは、頂点に接続するエッジの数である。例えば、図９（ａ）に対して、図９（ｂ）のエッジ縮約を行ったとする。この場合、頂点Ａの価数は、縮約前は“７”であったのに対し、縮約後は“８”となっている。
　大きな価数を両端点にもつエッジの縮約を行うと、縮約後の頂点の価数はさらに大きくなり、その頂点に接続するメッシュ要素は極端に細長い形状の三角形となってしまう。平滑化によって三角形メッシュの各要素の形状をできるだけ正三角形に近づけようとする場合、価数は“６”またはそれにできるだけ近い数値であることが望ましい。本実施形態では、極端に細長い三角形をできるだけ含まないメッシュを生成できるように、価数を判定して注目エッジの決定を行うようにしている。
　価数判定部６は、注目エッジの両端点の価数の合計が所定値を超えるか否かを判定する。例えば、図２（ａ）に示すメッシュに対して、２つの頂点Ａ，Ｂを結ぶエッジを縮約するか否かを判定することを考える。この場合、頂点Ａの価数は“７”、頂点Ｂの価数は“５”であるから、価数の合計は“１２”である。価数判定部６は、この価数の合計が所定値Ｖsum（例えば、Ｖsum＝１２）を超えるか否かを判定する。そして、価数判定部６により価数の合計が所定値Ｖsumを超えないと判定された場合に限り、裏返り判定部２、回避加工部３およびエッジ縮約部４の処理を実行する。
　図８は、上記のように構成した本実施形態によるメッシュ簡略化装置の動作例を示すフローチャートである。まず、形状データ入力部１ではモデルの形状データとなる三角形メッシュを入力する（ステップＳ１）。次いで、メッシュ簡略化装置は、入力された三角形メッシュを構成する複数のエッジの中から注目エッジを順序付けして特定する（ステップＳ２）。
　このステップＳ２において、メッシュ簡略化装置は、形状データ入力部１により入力された三角形メッシュの各エッジについて、長さが短い順にソートしたリストを作成し、各エッジに対して未処理フラグを立てる。そして、リストの先頭から順番に注目エッジを特定していく。特定した注目エッジとその１近傍のエッジに未処理フラグが立っていれば、ステップＳ３以降の処理を実行し、処理した注目エッジおよび１近傍のエッジに処理済フラグを立てる。一方、特定した注目エッジまたはその１近傍のエッジの何れかに処理済フラグが立っていれば、１近傍以外にある別のエッジを注目エッジとして特定する。
　価数判定部６は、以上のようにして特定された１つの注目エッジの両端点の価数の合計が所定値Ｖsumを超えるか否かを判定する（ステップＳ３）。価数の合計が所定値Ｖsumを超える場合、処理はステップＳ８に遷移する。
　一方、価数判定部６により、当該注目エッジの両端点の価数の合計が所定値Ｖsumを超えないと判定された場合、裏返り判定部２は、ステップＳ２で特定された注目エッジを縮約した場合にメッシュ要素の裏返りが発生するか否かを判定する（ステップＳ４）。ここで、裏返りが発生すると判定された場合、回避加工部３は、注目エッジの周辺に存在するメッシュ要素に対して、裏返りの発生を回避するための所定の加工（平滑化またはエッジ交換）を行う（ステップＳ５）。そして、エッジ縮約部４は、回避加工部３により所定の加工が行われた後の状態に対して注目エッジの縮約を行う（ステップＳ６）。
　一方、ステップＳ４において、裏返り判定部２により裏返りが発生しないと判定された場合、ステップＳ５を飛ばしてステップＳ６に遷移する。この場合、エッジ縮約部４は、回避加工部３による所定の加工が行われていない状態に対して注目エッジの縮約を行う。その後、平滑化部５は、エッジ縮約部４による注目エッジの縮約によって発生しうる細長い三角形要素を正三角形に近づけるための平滑化を行う（ステップＳ７）。
　以上の処理によって１つの注目エッジに対する処理が終わった後、メッシュ簡略化装置は、所定の終了条件を満たすか否かを判定する（ステップＳ８）。例えば、簡略化できた割合（当初のメッシュ要素数に対する簡略化後のメッシュ要素数の割合など）が所定値に達した場合に終了条件を満たすと判定することが可能である。あるいは、エッジ縮約を所定回数実行した場合に終了条件を満たすと判定するようにしてもよい。終了条件を満たしていない場合、処理はステップＳ２に戻る。なお、ステップＳ２～Ｓ７の処理を繰返し実行すると、未処理フラグの立ったエッジが無くなり、縮約処理ができない状態（図７（ｃ）のような状態）となる。この場合は、図７（ｃ）に示すように縮約処理された後のメッシュを入力メッシュと見立てて処理済みフラグを未処理フラグに変更し、ステップＳ２からの処理を継続する。一方、終了条件を満たした場合、図８に示すフローチャートの処理は終了する。
　以上詳しく説明したように、本実施形態では、モデルの形状データを表現する三角形メッシュに対して、注目エッジを縮約した場合にメッシュ要素の裏返りが発生するか否かを判定し、裏返りが発生しないと判定された場合はそのまま注目エッジの縮約を行う一方、裏返りが発生すると判定された場合は、注目エッジの周辺の三角形要素に対して裏返りの発生を回避するための所定の加工を行った上で注目エッジの縮約を行うようにしている。
　このように構成した本実施形態によれば、エッジを縮約するとメッシュ要素の裏返りが発生すると判定された場合でも、そのエッジに関して単純に縮約を行わないようにするのではなく、裏返りの発生を回避するための所定の加工を行った上でエッジの縮約が行われる。これにより、メッシュを構成する三角形要素数を極力低減すること、すなわちメッシュを簡略化することができる。
　なお、上記実施形態では、裏返りの発生を回避するための所定の加工として、平滑化またはエッジ交換の何れか一方を行うものとして説明したが、両方を行うようにしてもよい。例えば、メッシュ簡略化の割合に関する第１の終了条件を満たすまでは、裏返りが発生する注目エッジに関連して平滑化を実行し、その後、メッシュ簡略化の割合に関する第２の終了条件を満たすまで、裏返りが発生する注目エッジに関連してエッジ交換を実行するようにすることが可能である。これらは順番を逆としてもよい。
　また、上記実施形態では、エッジ縮約部４によるエッジ縮約の後に平滑化部５によるメッシュの平滑化を行う例について説明したが、本発明はこれに限定されない。例えば、エッジ縮約後におけるメッシュの平滑化に加えて、形状データ入力部１により形状データを入力した直後にもメッシュの平滑化を行うようにしてもよい。このようにすれば、回避加工部３による裏返り回避加工の中での平滑化を省くことが可能となる。
　また、上記実施形態では、２つの頂点Ａ，Ｂを結ぶエッジを縮約する場合、頂点Ｂを頂点Ａに統合または頂点Ａを頂点Ｂに統合するようにしたが、本発明はこれに限定されない。例えば、２つの頂点Ａ，Ｂをその中点に縮約するようにしてもよい。エッジの中点に対する縮約は、ラプラシアン平滑化に相当するメッシュの簡略化と考えられ、当該縮約を繰り返しながら簡略化を行うことにより、同時にメッシュのノイズも平滑化される。
　また、上記実施形態では、価数の判定により注目エッジを縮約するか否かを決定する例について説明したが、これに加えて、他の条件に基づいて注目エッジを縮約するか否かを決定するようにしてもよい。例えば、注目エッジがモデルの形状の特徴部（稜線や境界線など）に相当するか否かを判定し、特徴部に相当するエッジについては縮約を行わないようにしてもよい。また、エッジ縮約を行う前と行った後の形状変化の大きさを検出し、その大きさが所定値を超える場合には縮約を行わないようにしてもよい。
　特に、メッシュで表現された形状が曲面である場合は、価数が“６”であることが、三角形要素の形状が正三角形に近づくための理想条件であるとは必ずしも言い切れない。この場合、縮約の対象とするエッジを特徴部に属さないものに限定することが有効である。特徴部でない部分の形状は、比較的単純で曲率変化も緩やかであるため、価数については平面の場合と同様の考え方を適用することができるからである。
　その他、上記実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の一例を示したものに過ぎず、これによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその要旨、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。
　１　形状データ入力部
　２　裏返り判定部
　３　回避加工部
　４　エッジ縮約部
　５　平滑化部
　６　価数判定部

Claims (8)

  1. 　三角形要素からなるメッシュで表現された形状データを入力する形状データ入力部と、
    　上記メッシュの三角形要素の一辺である注目エッジについて、当該注目エッジを縮約した場合に三角形要素の裏返りが発生するか否かを判定する裏返り判定部と、
    　上記裏返り判定部により裏返りが発生すると判定された場合、上記裏返りの発生を回避するための所定の加工を行う回避加工部と、
    　上記裏返り判定部により裏返りが発生すると判定された場合、上記回避加工部により上記所定の加工が行われた後の状態に対して上記注目エッジの縮約を行う一方、上記裏返り判定部により裏返りが発生しないと判定された場合、上記回避加工部による上記所定の加工が行われていない状態に対して上記注目エッジの縮約を行うエッジ縮約部とを備えたことを特徴とするメッシュ簡略化装置。
  2. 　上記裏返り判定部は、上記注目エッジの第１の端点に接続される複数のエッジの他方の端点間を接続するエッジにより形成される図形の内角、および、上記注目エッジの第２の端点に接続される複数のエッジの他方の端点間を接続するエッジにより形成される図形の内角の中に１８０度以上のものがあるか否かを判定し、１８０度以上の内角がある場合にメッシュの裏返りが発生すると判定することを特徴とする請求項１に記載のメッシュ簡略化装置。
  3. 　上記回避加工部は、上記１８０度以上の内角を形成している頂点を三角形の平滑化によって移動させて、内角が１８０度未満となるようにすることを特徴とする請求項２に記載のメッシュ簡略化装置。
  4. 　上記回避加工部は、上記１８０度以上の内角を形成している頂点を含むメッシュ要素のうち、当該内角側にあるメッシュ要素の当該頂点の対辺に相当するエッジを当該頂点に接続するエッジに変えるエッジ交換を行うことにより、上記１８０度以上の内角が１８０度未満となるようにすることを特徴とする請求項２に記載のメッシュ簡略化装置。
  5. 　上記エッジ縮約部による上記注目エッジの縮約によって発生しうる細長い三角形要素を正三角形に近づけるための平滑化を行う平滑化部を更に備えたことを特徴とする請求項１～４の何れか１項に記載のメッシュ簡略化装置。
  6. 　上記エッジ縮約部は、上記形状データ入力部により入力された形状データに対して、上記注目エッジの近傍エッジが既に縮約済みのエッジの近傍エッジとオーバーラップしないような態様で上記注目エッジを決定して、上記エッジの縮約を順次行うことを特徴とする請求項１～５の何れか１項に記載のメッシュ簡略化装置。
  7. 　上記注目エッジの両端点の価数の合計が所定値を超えるか否かを判定する価数判定部を更に備え、
    　上記価数判定部により上記価数の合計が所定値を超えないと判定された場合に限り、上記裏返り判定部、上記回避加工部および上記エッジ縮約部の処理を実行することを特徴とする請求項１～６の何れか１項に記載のメッシュ簡略化装置。
  8. 　三角形要素からなるメッシュで表現された形状データを入力する形状データ入力手段、
    　上記メッシュの三角形要素の一辺である注目エッジについて、当該注目エッジを縮約した場合に三角形要素の裏返りが発生するか否かを判定する裏返り判定手段、
    　上記裏返り判定手段により裏返りが発生すると判定された場合、上記裏返りの発生を回避するための所定の加工を行う回避加工手段、および
    　上記裏返り判定手段により裏返りが発生すると判定された場合、上記回避加工手段により上記所定の加工が行われた後の状態に対して上記注目エッジの縮約を行う一方、上記裏返り判定手段により裏返りが発生しないと判定された場合、上記回避加工手段による上記所定の加工が行われていない状態に対して上記注目エッジの縮約を行うエッジ縮約手段
    としてコンピュータを機能させることを特徴とするメッシュ簡略化用プログラム。
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